Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für...
-
Upload
annikin-lauck -
Category
Documents
-
view
115 -
download
0
Transcript of Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für...
![Page 1: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/1.jpg)
Ingo Rechenberg
PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung „Evolutionsstrategie I“
Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie
Objektiver, subjektiver und algorithmischer Zufall
Weiterverwendung nur unter Angabe der Quelle gestattet
![Page 2: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/2.jpg)
Treibstoff für den
Optimierungsmotor
Evolutionsstrategie
![Page 3: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/3.jpg)
Zufalls-
Maschinen
![Page 4: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/4.jpg)
Normalverteilung
Die normale Verteilung des Zufalls
![Page 5: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/5.jpg)
Francis Galton
und sein Nagelbrett
Sir Francis Galton (1822 - 1911)
![Page 6: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/6.jpg)
Senkrecht aus der Wand ragende Nägel
34
52
1
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5+++++
Chips, die auf der einen Seite ein Minus- und auf der anderen Seite ein Plus-Zeichen tragen.
Wir erhalten das Ergebnis +2 auch, indem wir alle Vorzeichen addieren und das Ergebnis durch 2 dividieren
![Page 7: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/7.jpg)
Mechanischer Zufallszahlengenerator
„Turbulenzklappe“
1968 für die Evolutionsstrategie entwickelt
Text
![Page 8: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/8.jpg)
Physikalischer Zufallszahlengenerator als USB-Stecker
Das Zufallssignal wird von der thermischen Rauschquelle, generiert, die eine Z-Diode liefert.
Firma: Westphal Electronic
Preis: 340 Euro
PRG310
![Page 9: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/9.jpg)
Der Zufall im täglichen Leben und auch der Zufall in der klassischen Physik ist ein scheinbarer Zufall. Der deutsche Physiker Werner Heisenberg hat dies auch als subjektiven Zufall bezeichnet, womit gemeint ist: Es ist ausschließlich unser momentanes Unwissen, das Unwissen des Subjekts, das es uns so erscheinen lässt, als wäre ein bestimmtes Ereignis rein zufällig gewesen. In Wirklichkeit gibt es dafür jedoch einen wohl definierten Grund.
Nur in Quantenphysik existiert der objektive Zufall. Kommt ein System in einen Quantenzustand, sind mehrere Zustände gleichzeitig in einer Raum-Zeit-Wahr-scheinlichkeitswelle vorhanden. Bricht diese Welle z. B. durch eine Messung zu-sammen, ist nur noch ein Zustand vorhanden. Dabei ist es objektiv zufällig, wel-chen der gleichberechtigten Zustände das physikalische Objekt dabei annimmt.
Subjektiver und objektiver Zufall
![Page 10: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/10.jpg)
Die genaue Ortsfestlegung des Elektrons in y-Richtung bedingt eine hohe Unschärfe der Geschwindigkeit in y-Richtung
Heisenbergsche Unschärferelation
4ΔΔ hpy y
Für m = konst.
4ΔΔ hvy y
y
Plancksches Wirkungsquantum
h = 6,63·10-34 Js
Prinzip eines Quanten-Zufallszahlengenerators
Elektronenquelle
Elektron
?
klick = “1”
klick = “0”
Detektoren
mvp
![Page 11: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/11.jpg)
Photonenquelle
Halbdurchlässiger S piegel
Photon
Photonen-Detektor
50%
50%? “1”
“0”
Quanten-Zufallszahlen-Generator
Schneller Quanten-Zufallszahlen-Generator Der Quanten-Zufallszahlen-Generator (QRNG), den ein Aussteller auf der CeBIT 2004 zeigt, ist noch ein-mal kleiner, leistungsfähiger und preisgünstiger als sein Vorgängermodell. Im Vergleich zu anderen Gene-ratoren, die auf so genannten chaotischen Prozessen basieren, nutzt das vorgestellte Modell mit der zufäl-ligen Reflexion oder Transmission eines einzelnen Photons an einem halbtransparenten Spiegel einen fundamentalen quantenphysikalischen Prozess aus.
Text
![Page 12: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/12.jpg)
9 0 1 7 7 4 7 0 9 4 7 8 6 9 1 7 9 7 8 4 6 3 1 4 6 1 1 3 7 6 1 3 5 6 0 2 2 3 1 9 5 1 2 2 5 5 1 8 4 1 2 6 0 7 8 7 2 2 2 9 9 8 1 9 7 4 6 7 1 6 3 1 5 6 1 3 4 2 7 9 4 8 2 2 1 0 3 7 0 3 1 9 0 2 6 8 9 3 2 1 1 9 8 9 6 2 4 6 7 0 7 1 9 8 7 2 2 9 8 1 9 4 5 6 4 0 9 4 1 0 1 3 1 4 2 2 5 7 1 1 8 7 1 1 6 4 2 1 8 7 8 1 4 4 4 4 6 4 4 7 2 6 1 0 6 7 6 7 7 8 1 2 0 2 6 2 9 0 0 3 1 2 6 9 0 8 0 3 3 8 6 8 4 4 7 4 4 4 3 4 3 8 1 0 3 9 1 6 0 7 9 1 2 4 4 5 3 1 3 8 8 4 0 5 6 2 6 9 6 5 6 7 4 9 7 6 1 2 0 1 9 6 4 0 3 2 2 5 1 5 1 2 2 9 7 8 0 1 7 2 0 1 0 6 1 0 0 1 3 0 6 7 6 6 5 0 1 8 9 6 4 0 2 8 6 8 6 1 5 5 0 1 8 1 7 5 7 6 8 1 1 5 9 7 0 4 5 0 6 1 4 0 1 0 0 7 8 3 6 5 1 1 1 1 3 0 0 0 1 3 7 8 6 7 6 3 4 7 4 8 4 6 6 2 8 0 9 8 9 4 1 7 5 6 8 5 0 8 0 9 9 0 4 5 7 1 9 2 7 2 9 1 0 7 4 4 2 5 6 3 6 2 4 7 6 4 8 2 1 0 4 5 9 1 9 0 8 7 2 7 2 0 1 7 9 7 0 2 0 6 5 0 5 0 7 6 1 2 9 5 2 3 8 7 4 9 4 5 9 0 8 7 3 6 4 2 1 0 3 2 5 1 8 0 2 0 7 7 1 4 3 3 1 1 0 7 5 9 9 1 6 3 6 5 9 2 3 4 8 4 4 3 1 4 0 5 1 1 7 2 9 4 5 8 3 6 4 2 6 1 1 0 1 6 7 0 5 1 4 7 0 0 0 4 7 0 8 7 0 9 6 3 1 3 0 2 4 4 4 7 0 6 3 5 6 5 9 8 6 7 5 1 7 1 8 6 3 4 2 1 2 0 4 0 3 1 9 2 6 0 4 6 2 7 8 7 1 4 9 9 0 1 0 2 0 9 2 6 6 4 3 2 3 6 8 5 2 7 5 7 5 3 2 5 7 2 4 5 6 0 6 7 5 1 2 6 6 9 0 5 1 6 3 6 3 5 8 6 8 1 5 7 3 1 0 5 3 9 4 9 4 3 2 9 2 1 1 7 2 4 2 0 1 9 9 6 0 2 6 6 2 1 5 3 3 6 1 4 4 3 8 2 6 8 0 0 0 4 8 4 0 3 0 4 2 5 6 9 8 7 7 7 3 9 8 8 4 7 5 0 6 9 4 6 7 3 1 1 1 1 3 2 9 3 5 2 7 2 0 4 1 0 0 3 1 6 7 0 6 7 0 4 7 3 5 2 4 3 4 3 9 5 1 0 2 5 8 2 1 4 8 5 0 9 5 3 3 1 1 1 1 6 6 7 1 8 7 6 8 2 9 9 3 0 7 7 1 3 2 2 2 7 3 6 8 9 3 9 5 7 4 4 6 7 0 7 7 5 3 3 5 8 3 5 6 4 7 5 4 9 4 1 6 4 1 8 6 2 7 5 0 5 3 6 2 3 2 4 4 8 8 4 0 6 7 2 3 2 9 5 4 5 2 7 7 4 6 6 1 3 0 1 3 5 8 4 1 5 0 4 2 0 1 3 3 3 1 5 3 4 4 2 1 8 7 4 7 1 0 7 9 7 2 7 3 7 1 8 2 3 0 1 2 6 1 6 1 2 5 7 4 3 6 0 6 2 8 2 3 3 9 0 7 5 0 8 0 9 8 2 8 4 5 7 2 7 6 2 9 0 3 5 8 1 4 6 1 2 8 0 1 9 7 1 3 7 9 0 4 3 8 4 5 9 2 3 4 8 9 6 1 1 3 3 0 7 9 4 1 2 1 3 1 6 1 8 4 0 4 4 0 5 3 3 9 9 7 8 9 5 5 4 1 7 1 8 8 2 6 4 2 9 0 5 9 9 4 4 6 3 3 0 4 5 0 3 5 4 1 7
1000 wirklich echte Zufallszahlen, erzeugt mit einem Quanten-Generator
![Page 13: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/13.jpg)
21 40 40 08 30 15 02 39 31 15 19 13 10 05 19 19 42 27 04 15 04 35 08 06 20 09 15 29 39 20 11 37 09 39 14 11 42 28 23 34 41 34 26 29 04 43 38 28 21 10 41 19 45 03 38 18 02 08 31 44 05 26 05 40 40 35 36 26 14 22 15 04 12 38 30 03 17 02 18 33 48 23 18 46 25 10 44 17 17 09 05 48 16 20 31 26 08 27 41 30 36 25 36 12 23 18 21 33 05 19 39 35 27 22 03 42 18 31 42 18 24 37 49 21 40 35 20 19 01 07 13 24 42 27 11 37 41 19 16 08 28 23 21 07 29 17 19 24 41 35 26 10 14 48 21 47 46 04 24 19 49 30 48 46 41 30 08 29 34 30 11 19 28 23 05 31 22 24 27 29 19 31 43 25 16 06 24 16 45 20 17 49 06 22 14 19 01 42 39 44 27 13 39 47 34 24 38 24 18 02 33 19 31 04 13 01 38 19 09 35 12 35 33 32 45 04 25 18 09 11 37 41 06 38 44 06 16 49 25 10 13 35 18 19 44 24 46 20 46 26 37 46 11 19 10 41 26 41 02 44 07 45 14 11 41 10 21 06 22 34 44 40 32 14 18 36 35 18 21 44 21 25 22 07 15 26 37 31 23 42 37 46 19 49 18 42 13 03 30 49 37 27 10 39 44 12 04 27 10 06 46 37 32 39 38 44 03 40 45 17 17 14 09 16 03 29 48 14 20 29 24 26 29 32 08 04 30 15 13 46 29 18 39 12 05 13 49 17 23 24 13 09 27 20 28 31 03 08 34 26 07 47 40 04 39 14 38 03 35 28 35 33 07 43 04 36 40 38 13 43 47 03 16 17 21 06 27 40 20 18 15 09 30 07 16 03 35 25 15 08 23 17 22 19 18 30 27 16 44 17 26 38 25 30 29 25 45 48 24 38 42 17 23 34 35 08 29 45 36 20 31 38 46 03 45 14 16 04 39 01 43 09 44 02 08 37 45 36 12 07 03 49 06 23 24 37 31 22 31 15 33 02 03 07 02 20 26 05 16 29 42 34 09 48 48 34 26 44 34 32 03 19 42 14 04 40 02 29 47 09 33 49 02 05 07 17 42 39 48 20 22 17 05 25 38 20 27 21 49 01 06 12 03 36 20 29 45 12 26 38 28 44 22 43 25 20 28 12 08 33 06 09 49 15 31 18 14 21 26 33 01 31 15 20 32 49 08 08 30 02 47 03 39 37 19 35 37 01 29 33 32 33 17 21 20 08 13 03 03 08 01 05 45 34 32 49 41 08 28 02 32 16 34 16 28 20 04 11 29 32 32 33 40 11 49 27 45 46 24 42 48 15 08 30 14 06 42 46 45 08 41 24 30 33 31 11 45 39 32 49 02 44 31 24 14 01 43 46 01 02 28 44 08 44 47 24 34 48 12 22 32 20 08 09 07 04 44 38 14 19 28 16 12 14 36 39 11 19 11 35 43 49 49 14 31 24 37 19 24 37 16 44 39 38 33 08 30 13 27 16 33 12 40 49 13 42 22 28 08 09 28 42 26 05 21 43 05 03 47 37 35 12 41 22 47 12 33 15 17 12 37 46 13 03 27 04 27 39 23 09 20 42 05 08 40 30 27 33 44 45 40 42 19 44 23 31 37 26 03 31 39 16 09 16 12 43 14 20 34 49 03 45 10 34 46 11 40 32 47 04 20 35 08 18 03 36 40 29 18 49 01 05 44 49 12 02 26 41 23 18 16 41 45 07 20 21 09 47 37 34 11 26 07 08 16 36 47 08 44 44 18 21 26 49 28 23 26 16 12 27 22 05 04 03 41 17 37 40 42 36 04 39 38 22 39 26 49 43 20 04 29 05 13 29 47 30 46 37 12 27 49 44 09 09 30 14 36 02 39 14 17 01 21 42 36 10 27 24 41 40 06 46 11 29 18 21 42 08 38 40 20 05 42 38 30 40 12 44 14 07 12 42 43 47 16 45 41 28 25 49 48 41 40 43 45 12 15 21 14 26 15 07 24 49 21 07 39 07 10 22 25 16 18 31 03 11 11 17 46 36 23 45 13 28 36 23 32 34 06 28 42 06 40 43 40 15 26 24 22 17 31 08 20 19 16 38 08 25 14 03 37 35 23 15 32 07 47 17 16 36 26 49 27 19 27 17 33 24 15 40 25 37 30 04 44 33 11 37 19 21 01 31 41 23 27 14 25 47 11 01 16 15 22 43 36 07 20 17 15 34
1000 Quanten-Lottozahlen
![Page 14: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/14.jpg)
1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952572010654858632788659361533818279682303019520353018529689957736225994138912497217752834791315155748572424541506959508295331168617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488240128583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747268471040475346462080466842590694912933136770289891521047521620569660240580381501935112533824300355876402474964732639141992726042699227967823547816360093417216412199245863150302861829745557067498385054945885869269956909272107975093029553211653449872027559602364806654991198818347977535663698074265425278625518184175746728909777727938000816470600161452491921732172147723501414419735685481613611573525521334757418494684385233239073941433345477624168625189835694855620992192221842725502542568876717904946016534668049886272327917860857843838279679766814541009538837863609506800642251252051173929848960841284886269456042419652850222106611863067442786220391949450471237137869609563643719172874677646575739624138908658326459958133904780275900994657640789512694683983525957098258226205224894077267194782684826014769909026401363944374553050682034962524517493996514314298091906592509372216964615157098583874105978859597729754989301617539284681382686838689427741559918559252459539594310499725246808459872736446958486538367362226260991246080512438843904512441365497627807977156914359977001296160894416948685558484063534220722258284886481584560285060168427394522674676788952521385225499546667278239864565961163548862305774564980355936345681743241125150760694794510965960940252288797108931456691368672287489405601015033086179286809208747609178249385890097149096759852613655497818931297848216829989487226588048575640142704775551323796414515237462343645428584447952658678210511413547357395231134271661021359695362314429524849371871101457654035902799344037420073105785390621983874478084784896833214457138687519435064302184531910484810053706146806749192781911979399520614196634287544406437451237181921799983910159195618146751426912397489409071864942319615679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215030680384477345492026054146659252014974428507325186660021324340881907104863317346496514539057962685610055081066587969981635747363840525714591028970641401109712062804390397595156771577004203378699360072305587631763594218731251471205329281918261861258673215791984148488291644706095752706957220917567116722910981690915280173506712748583222871835209353965725121083579151369882091444210067510334671103141267111369908658516398315019701651511685171437657618351556508849099898599823873455283316355076479185358932261854896321329330898570642046752590709154814165498594616371802709819943099244889575712828905923233260972997120844335732654893823911932597463667305836041428138830320382490375898524374417029132765618093773444030707469211201913020330380197621101100449293215160842444859637669838952286847831235526582131449576857262433441893039686426243410773226978028073189154411010446823252716201052652272111660396665573092547110557853763466820653109896526918620564769312570586356620185581007293606598764861179104533488503461136576867532494416680396265797877185560845529654126654085306143444318586769751456614068007002378776591344017127494704205622305389945613140711270004078547332699390814546646458807972708266830634328587856983052358089330657574067954571637752542021149557615814002501262285941302164715509792592309907965473761255176567513575178296664547791745011299614890304639947132962107340437518957359614589019389713111790429782856475032031986915140287080859904801094121472213179476477726224142548545403321571853061422881375850430633217518297986622371721591607716692547487389866549494501146540628433663937900397692656721463853067360965712091807638327166416274888800786925602902284721040317211860820419000422966171196377921337575114959501566049631862947265473642523081770367515906735023507283540567040386743513622224771589150495309844489333096340878076932599397805419341447377441842631298608099888687413260472
5000 ??? - Zufallszahlen
Text
![Page 15: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/15.jpg)
Pseudozufallszahlengenerator, der nach einer mathematischen Formel in Form einer Rekursionsvorschrift arbeitet
),,( 11 kiiii zzzz f
)(1 ii zz f
)(e 1
iziz FRAC
oder einfacher
Beispiel:
)()( ee ii zz INT
81 )( izzi FRAC 88 )()( ii zz INT
Liefert [0, 1) - gleichverteilte Pseudozufallszahlen
![Page 16: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/16.jpg)
Das Quadrat-Mittenverfahren von John von Neumann
z0 = 66 662 = 4356
z1 35 352 = 1225
z2 22 222 = 0484
z3 48 482 = 2304
z4 30 302 = 0900
z5 90 902 = 8100
z6 10 102 = 0100
z7 10
Text
J. v. Neumann (1903 – 1957)
)]([ aia
iz
z 3
22
1 0110 FRACINT
Rekursionsformel
1949
Start mit einer 2a-stelligen Zahl (a = 1, 2, 3, …)
![Page 17: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/17.jpg)
Bedeutung der Operation a = b mod c
Es ist a der Divisionsrest, der sich ergibt, wenn b durch c geteilt wird.
Beispiele:
a = 23 mod 9 a = 5
a = 100 mod 3 a = 1
a = 100 mod 90 a = 10
a = 33 mod 37 a = 33
Der Kongruenzgenerator A. Rothenberg (1960)
mbzaz ii mod)(1 Liefert ( 0, 1, 2, … m-1) gleichverteilte Zufallszahlen
![Page 18: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/18.jpg)
Der Kongruenzgenerator
mbzaz ii mod)(1
Beispiel:
10mod)37(1 ii zz
z1 = 4 z2 = 1 z4 = 3z3 = 0 z5 = 4
)]([ mbzamz i
i FRAC1
Alternative Schreibweise:
![Page 19: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/19.jpg)
Regeln für einen Kongruenz-Zufallszahlengenerator mit maximaler Periodenlänge m
mbzaz ii mod)(1
Regel 1: b und m dürfen keinen gemeinsamen Teiler besitzen
Regel 2. a –1 muss durch die Primfaktoren von m teilbar sein
Regel 3. a –1 muss durch 4 teilbar sein, wenn m Vielfaches von 4
Beispiel: a = 11, b = 3, m = 10
z0 = 4 z1 = 7 z3 = 3z2 = 0 z4 = 6
z5 = 9 z6 = 2 z8 = 8z7 = 5 z9 = 1 z9 = 4
10mod)311(1 ii zz
![Page 20: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/20.jpg)
Regeln für einen Kongruenz-Zufallszahlengenerator mit maximaler Periodenlänge m
mbzaz ii mod)(1
Regel 1: b und m dürfen keinen gemeinsamen Teiler besitzen
Regel 2. a –1 muss durch die Primfaktoren von m teilbar sein
Regel 3. a –1 muss durch 4 teilbar sein, wenn m Vielfaches von 4
Beispiel: a = 901, b = 17, m = 30000
30000mod)17901(1 ii zz
![Page 21: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/21.jpg)
Erzeugung rotationssymmetrisch normalverteilter Zufallszahlen
z1
z2
![Page 22: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/22.jpg)
Erzeugung von 2 normalverteilter Zufallszahlen y1 und y2 aus 2 gleichverteilten
Zufallszahlen x1 und x2 durch die Box-Muller Transfomation:
)2sin()ln(2 211 xxy )2cos()ln(2 212 xxy
Beweis: Durch Bildung von y1 + y2 und y1 / y2 können wir das Gleichungssystem
leicht nach x1 und x2 auflösen: )(2
1
1
22
21
eyy
x
)(2
12 arctan
21
yy
x
Berechnung der Jacobi-Determinante
2/2/
2
2
1
2
2
1
1
1
21
21 22
21 ee
2
1
2
1),(),( yy
yx
yx
yx
yx
yyxx
Box, G. E. P. and Muller, M. E."A Note on the Generation ofRandom Normal Deviates.„Ann. Math. Stat. 29, 610-611, 1958
),(),(
),(),(21
212121 yy
xxxxwyyw
1
Für die Transformation der Dichte w(x1,x2) in die Dichte w( y1,y2) gilt:
Erweiterung der einsichtigen eindimensionalen Transformationsregel:
xxwyyw d)(d)(
![Page 23: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/23.jpg)
Professor:
„… und nun will ich ihnen diesen Lehrsatz jetzt auch beweisen“
Schüler:
„Wozu beweisen, Herr Professor? Ich glaub‘ es Ihnen so.“
Fester Glauben
Wilhelm Busch
![Page 24: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/24.jpg)
Erzeugung von normalverteilten Zufallzahlen
Box-Muller-Formel für den Computer:
)2sin()1log(2 gleich2gleich1normal zzz
Aus zwei [ 0, 1 ) - gleichverteilten Zufallszahlen wird eine normalverteilte Zufallszahl produziert
rnd rndin Basic
![Page 25: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/25.jpg)
Gleichverteilte,
normalverteilte und
kugelrandverteilte Zufallzahlen
im Computerbild
![Page 26: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/26.jpg)
Gleichverteilte Zufallsmutationen in die z1- z2- und z3-Richtung
erzeugen im Mittel in den Diagonalenrichtungen - fach
größere Mutationsvektoren als in den Variablenrichtungen !
n
z1
)5,0(2 gleichkubus zz
z3
z2
-1 +1
Text
![Page 27: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/27.jpg)
Zusammengefasste Logik
der Evolutionsstrategie
![Page 28: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/28.jpg)
Der Dumme, der einfach losgeht, kommt weiter als der Schlaue, der sitzen bleibt und sich vor lauter Nachdenken nicht entscheiden kann.
Stichproben-Generator
Einfach losgehen (irgendetwas machen) erfordert einen
![Page 29: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/29.jpg)
0,3694 0,9284 0,2079 0,9989 0,1260 0,6529 0,9316 0,7965 0,3705 0,8985 0,2226 0,5342 0,4488 0,1678 0,1628 0,7918 0,7372 0,8404 0,4038 0,9501 0,6603 0,4121 0,3412 0,4439 0,2659 0,7437 0,7771 0,7157 0,0781 0,5667 0,6077 0,8724 0,0601 0,6445 0,2855 0,9989 0,9308 0,1323 0,0898 0,0321 0,4309 0,7503 0,4484 0,8258 0,0438 0,1965 0,6839 0,7762 0,2457 0,5428 0,8982 0,2496 0,9110 0,9204 0,9541 0,3418 0,0863 0,6957 0,7688 0,5117 0,6829 0,9253 0,6371 0,2503 0,4469 0,1715 0,2330 0,2525 0,6164 0,5399 0,7083 0,8156 0,0602 0,9943 0,8288 0,3440 0,2245 0,0655 0,2725 0,7460 0,8282 0,1834 0,1076 0,2949 0,5979 0,7363 0,8807 0,8428 0,3533 0,5511 0,0648 0,3631 0,0960 0,4324 0,4509 0,1695 0,9996 0,8175 0,7368 0,4984
0,7055 0,5334 0,5759 0,2896 0,3019 0,7747 0,0140 0,7607 0,8145 0,7090 0,0454 0,4140 0,8626 0,7905 0,3735 0,9620 0,8714 0,0562 0,9496 0,3640 0,5249 0,7671 0,0535 0,5925 0,4687 0,2982 0,6227 0,6478 0,2638 0,2793 0,8298 0,8246 0,5892 0,9861 0,9110 0,2269 0,6951 0,9800 0,2439 0,5339 0,1064 0,9994 0,6762 0,0157 0,5752 0,1001 0,1030 0,7989 0,2845 0,0456 0,2958 0,3820 0,3010 0,9486 0,9798 0,4014 0,2783 0,1604 0,1628 0,6466 0,4101 0,4128 0,7127 0,3262 0,6332 0,2076 0,1860 0,5834 0,0807 0,4580 0,9057 0,2614 0,7852 0,3789 0,2897 0,9194 0,6317 0,6276 0,4285 0,0980 0,5610 0,6945 0,9137 0,8348 0,0226 0,5434 0,9162 0,4303 0,6779 0,5025 0,5137 0,4630 0,3535 0,4048 0,2697 0,0556 0,2438 0,9791 0,0609 0,3903
100 [0,1)-gleichverteilte Zufallszahlen
Quanten-Zufallsgenerator BASIC rnd-Zufallsgenerator
Quanten-Zufallsgenerator contra Pseudozufallsgenerator
![Page 30: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/30.jpg)
Zur „Philosophie“ der richtigen Schrittsetzfolge
1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
1
2
3
4
1
2
4 4 4
164/
124/
1
1
Nur rechts herum
Mal rechts, mal links
![Page 31: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/31.jpg)
0,3694 0,9284 0,2079 0,9989 0,1260 0,6529 0,9316 0,7965 0,3705 0,8985 0,2226 0,5342 0,4488 0,1678 0,1628 0,7918 0,7372 0,8404 0,4038 0,9501 0,6603 0,4121 0,3412 0,4439 0,2659 0,7437 0,7771 0,7157 0,0781 0,5667 0,6077 0,8724 0,0601 0,6445 0,2855 0,9989 0,9308 0,1323 0,0898 0,0321 0,4309 0,7503 0,4484 0,8258 0,0438 0,1965 0,6839 0,7762 0,2457 0,5428 0,8982 0,2496 0,9110 0,9204 0,9541 0,3418 0,0863 0,6957 0,7688 0,5117 0,6829 0,9253 0,6371 0,2503 0,4469 0,1715 0,2330 0,2525 0,6164 0,5399 0,7083 0,8156 0,0602 0,9943 0,8288 0,3440 0,2245 0,0655 0,2725 0,7460 0,8282 0,1834 0,1076 0,2949 0,5979 0,7363 0,8807 0,8428 0,3533 0,5511 0,0648 0,3631 0,0960 0,4324 0,4509 0,1695 0,9996 0,8175 0,7368 0,4984
0,7055 0,5334 0,5759 0,2896 0,3019 0,7747 0,0140 0,7607 0,8145 0,7090 0,0454 0,4140 0,8626 0,7905 0,3735 0,9620 0,8714 0,0562 0,9496 0,3640 0,5249 0,7671 0,0535 0,5925 0,4687 0,2982 0,6227 0,6478 0,2638 0,2793 0,8298 0,8246 0,5892 0,9861 0,9110 0,2269 0,6951 0,9800 0,2439 0,5339 0,1064 0,9994 0,6762 0,0157 0,5752 0,1001 0,1030 0,7989 0,2845 0,0456 0,2958 0,3820 0,3010 0,9486 0,9798 0,4014 0,2783 0,1604 0,1628 0,6466 0,4101 0,4128 0,7127 0,3262 0,6332 0,2076 0,1860 0,5834 0,0807 0,4580 0,9057 0,2614 0,7852 0,3789 0,2897 0,9194 0,6317 0,6276 0,4285 0,0980 0,5610 0,6945 0,9137 0,8348 0,0226 0,5434 0,9162 0,4303 0,6779 0,5025 0,5137 0,4630 0,3535 0,4048 0,2697 0,0556 0,2438 0,9791 0,0609 0,3903
100 [0,1)-gleichverteilte Zufallszahlen
Quanten-Zufallsgenerator BASIC rnd-Zufallsgenerator
Quanten-Zufallsgenerator contra Pseudozufallsgenerator
Text
![Page 32: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/32.jpg)
Ende
![Page 33: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/33.jpg)
Aus den Anfängen der Evolutionsstrategie stammt ein bemerkenswert einfacher strömungstechnischer Apparat, der normalverteilte Zufallszahlen erzeugt: Die Turbulenzklappe. In einem turbulenten Freistrahl befindet sich eine leicht drehbar gelagerte Balsaholzfahne. Die turbulenten Strömungswirbel, die sich unvorhersag-bar chaotisch bewegen, schleppen die Fahne schwingend hin und her. Die Fahne stößt dabei unregelmäßig an einen elektrischen Kontakt. An die Stelle der Lampe in der Skizze ist ein elektronische Zähler eingefügt. Die von der Klappe erzeugten Impulse werden für T Sekunden aufwärts und für ebenfalls genau T Sekunden ab-wärts gezählt. Was übrig bleibt ist eine Zufallszahl, die einer Normalverteilung ge-nügt. Denn große Zähldifferenzen werden wesentlich seltener auftreten als kleine.
![Page 34: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/34.jpg)
Eine schwache Lichtquelle, z. B. ein Laser oder eine Leuchtdiode, sendet einen Strom von Lichtteilchen (Photonen) aus. Der Lichtstrahl wird an einem halbdurch-lässigen Spiegel geteilt. Die Hälfte der Lichtteilchen dringt hindurch und trifft dahinter auf ein Messgerät. Die andere Hälfte wird reflektiert und dann in einem zweiten Messgerät aufgefangen. Ähnlich wie beim Münzwurf hat das einzelne Photon eine Wahrscheinlichkeit von ½ in einen der beiden Detektoren zu treffen. Es gibt jedoch keinen inneren Mechanismus, der das Photon in die eine oder andere Richtung stößt. Und genau das ist der Unterschied zu allen anderen Zufallsgeneratoren. Der Zufall ist in den Formeln der Quantenphysik enthalten. Seit etlichen Jahrzehnten ersinnen die Forscher immer neue Experimente, um das zu beweisen oder vielleicht doch einen verborgenen Mechanismus zu finden. Albert Einstein war einer der prominentesten Kritiker des "eingebauten Zufalls". Sein abschätziger Kommentar: "Gott würfelt nicht!" Nach unserem heutigen Wissensstand ist es sehr wahrscheinlich, dass er doch gewürfelt hat...
![Page 35: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/35.jpg)
Die Ziffernfolge Pi hat bisher alle Test bezüglich ihres zufälligen Verhaltens bestanden.
Von Pi sind heute über 1,24 Billionen Kommastellen bekannt, das ist der momentane Weltrekord.
Ein weiterer Weltrekord:
Mathematikfreunde aus Gießen haben im Mathematikum der Stadt einen Welt-rekord aufgestellt, indem sie 108 000 Kommastellen der Wunderzahl vorlasen:
Rund vierzig Kinder und Erwachsene schieben sich vor die Bühne im Hinterhof des Gießener Mathematikums, als Albrecht Beutelspacher am Freitag um Punkt achtzehn Uhr den Vorleseweltrekord der Zahl Pi eröffnet, die als 3,14 bekannt ist. Fünf Minuten hat der Mathematikprofessor Zeit, um die ersten 300 Zahlen nach dem Komma inklusive der Drei vor dem Komma vorzulesen. Eine Minute länger als vorgesehen braucht er dafür, doch Albrecht Beutelspacher, Leiter des Mathe-matikums und Organisator des Wettbewerbs, ist mit seiner Leistung zufrieden …
Samstagnacht um vierundzwanzig Uhr ist es dann geschafft: Die Organisatorinnen Svenja Häuser und Lisa Grieb lesen die letzten sechshundert Ziffern vor. Ein neuer Weltrekord ist erreicht.
![Page 36: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/36.jpg)
Man beginnt mit einer 2a-stelligen Zahl (a = 1, 2, 3, …). Die Zahl wird quadriert. Es entsteht eine 4a-stellige Zahl. Ist bei der Quadratbildung die Stellenzahl kleiner als 4a, so werden dem Ergebnis entsprechend viele Nullen vorgesetzt. Daraufhin werden die mittleren 2a Stellen herausgeschnitten und als neue Pseudozufallszahl interpretiert. Nach der abermaligen Quadrierung dieser Zahl ergibt sich durch Herausblenden der Mitte die nächste Pseudozufallszahl usw.
Anmerkung zur Rekursionsformel für das Quadratmittenverfahren:
Mit der Operation FRAC wird der Nachkommateil und mit der Operation INT der Vorkommateil einer Zahl herausgeblendet.
![Page 37: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/37.jpg)
Bemerkung zum Programm: Der Computerversuch zeigt, dass in der Praxis die Anisotropie der Zufallsvektoren, die mit n gleichverteilten Zufallszahlen zwischen -1 und +1 erzeugt werden, die Konvergenz der Evolutionsstrategie nicht stört. Das ist durch die sehr schnelle Anpassung der Mutationsschrittweite mit der 1/5-Erfolgsregel zu erklären.
In der Theorie würde dagegen die Verwendung von gleichverteilten Zufallszahlen in der Form 2*(Rnd - 0.5) zu den größten Schwierigkeiten führen, da sich dann für jede Raumrichtung eine andere Lösung ergeben würde. Aus diesem Grund arbeiten Evolutionsstrategen nicht nur in der Theorie, sondern auch in der Praxis mit normalverteilten Zufallsmutationen.
![Page 38: Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung Evolutionsstrategie I Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie Objektiver, subjektiver und algorithmischer.](https://reader033.fdokument.com/reader033/viewer/2022051211/55204d6749795902118bd74d/html5/thumbnails/38.jpg)
Feststellung: Evolutionsbefürworter und Evolutionsgegner streiten über die Rolle des Zufalls in der Entwicklung des Lebens. Evolutionsbiologen sehen im Zufall den großen „Macher“, Kreationisten ziehen die Kraft des Zufalls ins Lächerliche. Tatsa-che ist: Der Zufall spielt bei weitem nicht die Rolle, wie es die Kontroverse erwarten lässt. Der Zufall ist in der Evolutionsstrategie nur eine besonders einfacher Stich-probengenerator. Es muss etwas Neues probiert werden und dabei jegliches „Vorurteil“ (Bevorzugung einer bestimmten Richtung) vermieden werden. Auch ein deterministischer Stichprobengenerator könnte diese Bedingungen erfüllen. Der Pseudozufallszahlengenerator ist ein solcher deterministischer Stichprobengene-rator, der sich besonders einfach programmieren lässt. Nur wer an eine mystische Kraft des Zufalls glaubt wird seine Mutationen mit einem Quantengenerator erzeugen.
Was in der Evolution schon nicht mehr dem Zufall überlassen werden darf, das ist die Mutationsgröße (in der Evolutionsstrategie die Schrittweite ). Das zeigt die Theorie des Evolutionsfensters.