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Energiemethoden der Mechanik Prof. Popov WS 2015/16 Seite 19. Oktober 2015Aufgabenkatalog zu Energieprinzipien

Auf den folgenden Seiten ist der Aufgabenkatalog für die Veranstaltung Energiemethoden der Me-chanik abgedruckt, aus dem jede zweite Woche Aufgaben für die Große Übung, die Tutorien unddas eigenständige Arbeiten ausgewählt werden. Lösungen zu den Tutoriums- und Hausaufgabenwerden ungefähr eine Woche nach Bearbeitung veröffentlicht. Leider schleichen sich manchmal indie veröffentlichten Lösungen Fehler ein. Wir bemühen uns, diese möglichst zügig zu beseitigen.Jeder Student ist aber in erster Linie selbst verantwortlich. Darum selbständig rechnen! Wer gernenoch mehr Aufgaben (mit Musterlösungen) rechnen möchte, sei auf die breite Auswahl an Aufga-benbüchern verwiesen.

Inhaltsverzeichnis

1 Prinzip der virtuellen Verrückungen 2

2 Lagrangesche Gleichungen 5

3 Verfahren von Ritz 15

4 Sätze von Castigliano 22

5 Prinzip der stationären Wirkung, Hamiltonsches Prinzip 26

6 Methode der finiten Elemente 29


1 Prinzip der virtuellen Verrückungen

1. Die abgebildete Konstruktion besteht aus drei starren Bal-ken (AB, BC und CD) und einer Stütze, die in der Mittedes Balkens AB angebracht ist.

Zur Dimensionierung der Stütze soll die Kraft in der Stützebestimmt werden.

Führen Sie die Berechnungen auf zwei verschiedenen Wegendurch:

(a) Schneiden Sie frei und berechnen Sie die gesuchteKraft mittels Kräfte- und Momentengleichgewichten.

(b) Nutzen Sie das Prinzip der virtuellen Verückungen zurBestimmung der gesuchten Kraft.

Geg.: F , l

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

A

B

CD

E

F

l

l

1

2l

2. Bei einem Kolbenkompressor wirke in der skizziertenStellung auf die Kolbenfläche die Gaskraft FG. Wiegroß ist das erforderliche Moment MA, wenn die Rei-bungskräfte vernachlässigt werden können und statischesGleichgewicht vorausgesetzt wird?

Geg.: FG, l, α

A

MA

FGα

l

3. Für die skizzierte Klappbrücke soll unabhängigvom Winkel ϕ Gleichgewicht herrschen. Ermit-teln Sie die Kraft F2 mit dem Prinzip der vir-tuellen Verrückungen.

Geg.: a, b, c, F1

F1

F2

a

b

b c

ϕ

ϕ

4. Die skizzierte Robervalsche Waage befindet sich inder gezeigten Lage im statischen Gleichgewicht.

(a) Ermitteln Sie die Kraft F2 mit Hilfe von Kennt-nissen aus der Technischen Mechanik I.

(b) Bestimmen Sie nun nocheinmal F2 mit demPrinzip der virtuellen Arbeit.

Geg.: b, c, d, h, F1

F1 F2

d

b b

c

h

h


5. Das skizzierte System starrer Körper besteht auseinem geraden Balken und einem verzweigtenTräger. Die Kraft F2 greift direkt an dem diebeiden Systemteile verbindenden Gelenk an. Er-mitteln Sie das Einspannmoment MA mit Hilfedes Prinzips der virtuellen Arbeit!

Geg.: a, b, c, F1, F2

c

F1

F2

aa

b

AB

6. Bei einem Kolbenkompressor wirke in der skizziertenStellung auf die Kolbenfläche die Gaskraft FG. Auf dierechte Stange wirkt das Antriebsmoment MA. Bestim-men Sie die Gleichgewichtslage (Winkel α), wenn dieReibungskräfte vernachlässigt werden.

Geg.: FG, l, MA

A

MA

FGα

l

7. Bestimmen Sie mit der Methode der virtuellen Verrückungen für fol-genden Kragbalken die Lagerreaktionen.

Geg.: q0, l

��

��

��

��

��

q0

l

8. Bestimmen Sie für das skizzierte System mit Hil-fe der Methode der virtuellen Arbeit / Leistung /Verrückungen

(a) die Lagerkraft im Punkt B

(b) alle Schnittlasten.

Geg.: F , H, a, b

��

��

��

��

��

ab

F

HA

B

9. Ein Gelenkviereck besteht aus drei starren Balken der Längel. In der Mitte des Balkens AB ist eine Feder der Steifigkeitk angebracht. Die Feder ist stets senkrecht und sei entspannt,wenn α = 0 (horizontale Lage der Balken AB und CD).

Bestimmen Sie die Gleichgewichtslage (Winkel αG).

Geg.: F , l, α

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

A

B

CD

F

α

k


10. Bestimmen Sie mit der Methode der virtuellen Verrückungenfür den skizzierten Balken die Lagerreaktionen!

Geg.: q0, l, a, α

��

��

��

��

��

q0

l a

α

11. Für den durch eine Einzelkraft P belasteten skizzierten Bal-ken ist die Lagerkraft im Punkt C sowie das Schnittmomentim Punkt B mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen zubestimmen.

Geg.: P , l, a, b

��

��

��

��

��

bl

a

A B CP

12. Das abgebildete Fachwerk aus starren Stäben wird mitder Kraft F belastet.

(a) Berechnen Sie mit den Basisvektoren e1 und e2sowie mit Skizze a) die Ortsvektoren rA und rFzu den Angriffspunkten der Kräfte A und F . Be-rechnen Sie die Variationen δrA und δrF . Berech-nen Sie die Lagerkraft A mithilfe des PdvV.

(b) Notieren Sie mit Skizze b) den Ortsvektor rF =rS zum gemeinsamen Angriffspunkt der KräfteF und S. Berechnen Sie die Variationen δrF undδrS . Berechnen Sie die Stabkraft S mithilfe desPdvV, indem Sie S als äußere Last ansehen.

Hinweis:atan

√3

3= 30◦

cos 30◦ =√3

2

sin 30◦ = 12

1

3a

1√3a

1√3aA

S

A

S

S

F F

F

a

ϕ

ϕ

ϕ

e1

e2

Skizze a) Skizze b)

13. Für das aus starren Stäben bestehendeskizzierte Fachwerk unter der BelastungWsind folgende Größen mit dem Prinzip dervirtuellen Verrückungen zu bestimmen:

(a) Die Auflagerkraft im Punkt B,

(b) die Stabkraft SBC .

Geg.: W, l, β ��

��

l l

A B

C

D

W

β


14. Das skizzierte Balkensystem ist durch ein Einzelmo-ment M0 und eine Einzelkraft K belastet. Alle Balkensind starr und masselos.

(a) Berechnen Sie mit dem Prinzip der virtuellenVerrückungen das SchnittmomentM an der Stel-le C (x = a).

(b) Bestimmen Sie ebenfalls mit Hilfe des Prinzip dervirtuellen Verrückungen die Lagerkraft in B.

Geg.: a, b, c, K, M0

��

��

��

��

��

��

��

K

M0

aa bb

cx

z

A C B

15. Die abgebildete Konstruktion aus starrenStäben wird mit der Kraft F belastet undbefindet sich im statischen Gleichgewicht.Berechnen Sie mit dem Prinzip der vir-tuellen Verrückungen die Haltekraft Kals Funktion des Winkels ϕ!Geg.: F, l

l2l

B

A

C

ϕ ψ K(ϕ)

F

x

y

2 Lagrangesche Gleichungen

16. Für eine überschlägige Dimensionierung ei-ner Werkzeugmaschine sollen die Eigenfrequen-zen des abgebildeten Ersatzsystems berechnetwerden. Bei der Untersuchung des schwin-gungsfähigen Systems soll die Reibung ver-nachlässigt werden. Für q1 = q2 = 0 sind alleFedern entspannt.

Geg.: m, c

1

2c

1

2c

cc

m

m

q1 q2

Gehen Sie wie folgt vor:

(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?

(b) Stellen Sie die kinetische Energie T und potentielle Energie U des Systems auf.

(c) Bestimmen Sie nun die Lagrangefunktion L.

(d) Wie lauten die Bewegungsdifferentialgleichungen?


17. Zwei masselose Stangen (Längen l1 und l2) und zwei Punktmassenm1 und m2 bilden ein Doppelpendel.

(a) Bestimme für die Bewegung des skizzierten Doppelpendelsin einer vertikalen Ebene (Erdbeschleunigung g) mit Hilfeder Lagrangeschen Gleichungen 2. Art die Bewegungsglei-chungen. Nutze die generalisierten Koordinaten ϕ1 und ϕ2.

(b) Wie lauten die Gleichgewichtslagen?

Geg.: m1, m2, l1, l2, g

18. Eine masselose starre Stange ist am Punkt P aufgehängt. ImAbstand l ist eine Punktmassem1 befestigt. Auf der Stange glei-tet außerdem eine zweite Punktmasse m2 reibungslos unter derWirkung der Federkraft und der Erdanziehungskraft auf und ab.Der Abstand der zweiten Punktmasse vom AufhängungspunktP sei mit r(t) bezeichnet. Die Feder hat die Federsteifigkeit kund die unverformte Länge l0.

(a) Wie lauten die Bewegungsdifferentialgleichungen für dasSystem in den generalisierten Koordinaten r(t) und ϕ(t)?

(b) Prüfe durch Betrachtung von Grenzfällen die Plausibilitätder hergeleiteten Differentialgleichungen.

ϕ

m1

m2

kP

g

19.(a) Für das skizzierte System stelle man

das Bewegungsdifferentialgleichungssy-stem auf und schreibe es auf Matrizen-form um. Es sollen von vornherein klei-ne Auslenkungen angenommen werden.

(b) Man berechne die Eigenkreisfrequenzenund die dazugehörigen Eigenformen desSystems.

Geg.: c1 =1

4c , c2 = c3 = c , m1 =

2

3m, m2 = m, ΘS =

1

2m1r

2, r

20.

m1

m2

x

y

l(t)

Die Aufhängevorrichtung eines ebenenPendels mit der zeitlich veränderlichenLänge l(t) und der Pendelmasse m2 glei-tet reibungsfrei auf einer horizontalenFührung und hat die Masse m1.

Ermitteln Sie mit Hilfe der LagrangeschenGleichungen 2. Art die Bewegungsdiffe-rentialgleichungen für das System.

Geg.: m1, m2, l(t), g


21. Auf einer schiefen Ebene bewegt sich reibungsfrei einKörper der Masse m, Bewegungskoordinate s, infolgeder Schwerkraft abwärts. In einer radialen Bohrungist ein Zylinder der Masse M , der Relativkoordinatex, elastisch angeordnet, der sich ebenfalls reibungsfreibewegen kann. Ausgehend von der Ruhelage des Sy-stems sind mit den Lagrangeschen Gleichungen 2. Artdie Bewegungsdifferentialgleichungen für die generali-sierten Koordinaten s und x aufzustellen.

Geg.: m, M , c, α, g

22. Ein Massenpunkt m ist am unteren Ende einer Feder k angebracht. Am oberenEnde ist die Feder gelagert. In spannungloser Ruhelage hat die Feder die Länger0.

Stellen Sie die Bewegungsdifferentialgleichungen des Systems mit Hilfe der La-grangeschen Gleichungen 2.Art auf.

Geg.: k, m, r0, r, ϕ, g

23. Das skizzierte System schwingt mit kleinenAuslenkungen. Die Feder und der Pendelstabsind masselos. Die Feder ist für ϕ = Ψ = 0entspannt. Die Länge der entspannten Feder istl0.

Geg.: m1, m2, Θ1, Θ2, l, r, c, g, l0

(a) Stelle die Schwingungsdifferentialglei-chung für das skizzierte System mit Hilfeder Lagrangegleichungen 2. Art auf!

(b) Stellen Sie das linearisierte Differential-gleichungssystem in Matrizenform da.

(c) Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenzendes Systems für den Spezialfall: Θ1 =1

2mr2 − 16 cr3

g; Θ2 =

m2r2; m1 =

crg;

m2 = m; l = 2r

��

��

��

m1,Θ1

m2,Θ2

c

l

l

l0

Ψ

ϕ

xg

r

24. Ein starrer Körper (Masse m1) gleitet reibungsfrei in vertika-ler Richtung und ist über eine masselose Stange (Länge l) miteiner Punktmasse m2 gelenkig verbunden. Die Punktmasse istüber eine weitere Stange (Länge l) gelenkig an die Umgebunggekoppelt.


(b) Bestimme mit den Lagrangeschen Gleichungen 2. Art dieBewegungsdifferentialgleichung für das System?

Geg.: l, g, m1, m2

ϕ

m1

m2

l

l

g

x

y

glatt


25. Ein starrer Körper führt Schwingungen in einer vertikalen Ebene unter dem Einfluß derSchwerkraft aus. Der Zapfen (Radius r) rollt ohne zu gleiten auf der starren Unterlage. DerZapfenmittelpunkt P wird über eine Feder mit der Steifigkeit k gehalten. Die Reibung desSystems sei vernachlässigbar bis auf ein Rollreibmoment M mit konstantem Betrag.

Die Lage des Systems ist bestimmt durch den Drehwinkel ϕ. Bei ϕ = 0 sei die Feder entspanntund der Massenmittelpunkt C stehe genau senkrecht über dem Zapfenmittelpunkt P.

Der Massenmittelpunkt C des Gesamtsystems hat den Abstand a vom Zapfenmittelpunkt P.Der Körper hat die Massem und das Massenträgheitsmoment JC um den Massenmittelpunkt.

(a) Bestimmen Sie die Lagrange-Gleichung(en)2. Art (Bewegungsdifferentialgleichung/en)des Systems.

(b) Leiten Sie nun für den Fall des glatten Roll-kontaktes (M = 0) aus den/der Bewegungs-differentialgleichung(en) eine Bestimmungs-gleichung für die statische(n) Ruhelage(n)her.

Geg.: a, r, g, k, M , m, JC

ϕ

C

P

g

r

a

k

26. Ein starrer Körper (Masse m1) gleitet reibungsfrei in vertika-ler Richtung und ist über eine masselose Stange (Länge l) miteiner Punktmasse m2 gelenkig verbunden. Der starre Körperist außerdem über ein lineares Feder-Dämpfer-Element (Feder-steifigkeit k, Dämpferkonstante d) an den Boden gekoppelt.Die entspannte Länge der Feder sei 2l. Die Punktmasse m2ist über eine weitere Stange (Länge l) gelenkig an den Bodengekoppelt.

ϕ

m1

m2l

l

g

d k

x

yglatt


(b) Stellen Sie die kinetische Energie T , die potentielle Energie U und die Dissipationsfunk-tion D als Funktion von ϕ und ϕ̇ auf. Wie ist die Lagrangefunktion L definiert?

(c) Arbeiten Sie im folgenden mit der Lagrangefunktion

L = (2m1 sin2 ϕ+

1

2m2)l

2ϕ̇2 − (2m1 +m2)gl cosϕ− 2kl2(1− cosϕ)2

weiter. Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung für das System.

(d) Wie groß muß die Federsteifigkeit k sein, damit das System für ϕS =π3eine Gleichge-

wichtslage hat?

(e) Welche weiteren Gleichgewichtslagen sind im Bereich −π2< ϕ < π

2vorhanden, wenn die

Federsteifigkeit k den in Teil (d) bestimmten Wert hat?

Geg: k, d, m1, m2, l, g


27. Das dargestellte System besteht aus einem dünnen,homogenen Stab (Länge l, Masse m, Massen-trägheitsmoment ΘS) und einem Klotz (Masse M),der reibungsfrei auf der Unterlage gleitet. Er wirdbei seiner Bewegung entlang der Unterlage (Koor-dinate x) durch eine vorgegebene Kraft F (t) in ho-rizontaler Richtung angetrieben und ist andererseitsmit einer immer horizontal gerichteten Feder verbun-den. Deren linker Fußpunkt wird durch die vorge-gebene Auslenkung u(t) bewegt. Für x = u(t) =0 ist die Feder spannungslos. Zwischen Klotz undStange wirkt ein winkelgeschwindigkeitsproportiona-ler Drehdämpfer mit der Dämpferkonstante kd. M

x

ϕ

c

kd

F (t)

m, l,ΘS

u(t)

g

~ex

~ey

(a) Stellen Sie die Lagrangefunktion L des Systems bzgl. der generalisierten Koordinatenx und ϕ auf.

(b) Stellen Sie die Dissipationsfunktion D des Systems auf.

(c) Geben Sie die generalisierte (Rest-)Krafte Qx an.

(d) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichungen für das System.

Geg.: M , ΘS , m, l, c, g, F (t), kd

28. Ein homogener Balken (Länge b, Masse M)ist in A und B gelenkig mit masselosen Schie-behülsen verbunden, die reibungsfrei auf denbeiden Linearführungen gleiten können. DieSchiebehülse A ist durch ein Feder-Dämpfer-Element (Federsteifigkeit k, entspannte La-ge bei α = α0, lineare Dämpferkonstante d)an die Umgebung gekoppelt. Zusätzlich istim Punkt A ein Punktmassependel (Längel, Masse m) angebracht, an dessen Ende dienichtkonservative Kraft F wirkt. Der Betragder Kraft F ist konstant, die Wirkungslinieist stets senkrecht zu der Pendelstange.

(a) Stellen Sie die Lagrangefunktion L desSystems bzgl. der generalisierten Koor-dinaten α und ϕ auf.

(b) Stellen Sie die Dissipationsfunktion Ddes Systems auf.

M,ΘS

b

α

ϕ

k

d

Fm

l

g

x

y

A

B

C

S

(c) Geben Sie die generalisierten Nicht-Potentialkräfte Qα und Qϕ an, die nicht durch Dmodellierbar sind.

(d) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung für das System ohne Pendel und KraftF .Hinweis: Nutzen Sie dazu die bereits durchgeführten Rechnungen.

Geg.: M , b, ΘS = Mb2

12, m, l, d, k, g, F , α0


29. Das skizzierte System wird durch das Moment M(t)zum Schwingen angeregt. Der Strömungswiderstandder Kugel ist proportional zur Geschwindigkeit mitdem Widerstandskoeffizienten k. Alle anderen Wi-derstände, die Masse der Umlenkrolle sowie der hy-drostatische Auftrieb der Kugel sollen vernachlässigtwerden. Die nicht dehnbaren Seile bleiben immer ge-spannt. Die Feder ist bei x̃ = 0 entspannt.

(a) Berechnen Sie die statische Ruhelage xstat fürden Fall M(t) = 0!

(b) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialglei-chung um die statische Ruhelage (in der Va-riable x = x̃− xstat).

(c) Bestimmen sie die Amplitude und den Phasen-winkel der stationären Schwingung!

Geg.: m1, m2, JS1, M(t) =M0 cosΩt, M0, Ω, g, c, k

m1, JS1

m2

M(t)

x̃

y

S

gc

kr

R

reines Rollen

30. Ein schwach gedämpftes schwingungsfähiges System wirddurch M(t) =M0 sinλt angeregt. In der skizzierten Stellungist die Feder gerade spannungsfrei.

(a) Bestimme die Bewegungsdifferentialgleichung für kleineAuslenkungen ϕ!

(b) Gib die allgemeine Lösung der Differentialgleichung anund passe diese folgenden Anfangsbedingungen an:

ϕ(t = 0) =m2g

caund ϕ̇(t = 0) = 0

(c) Wie groß sind Amplitude und Phasenwinkel im einge-schwungenen Zustand?

Geg.: a, b, c, r, M0, λ, m1, JS , m2, g

��

��

��

a

b ϕ

rc

m1, JS

m2

M(t)

31. Das skizzierte System wird von einem im Massenmittel-punkt S angreifenden Moment angetrieben. Nach einerEinschwingphase stellt sich ein stationärer Zustand mitkleinen Ausschlägen ein. (Gravitation spielt keine Rolle.)

(a) Bestimmen Sie die lineare Bewegungsdifferential-gleichung mit Hilfe der Lagrange-Gleichungen 2.Art!

(b) Wie groß ist die Kreisfrequenz der freien gedämpftenSchwingung, d.h. bei verschwindendem Erregermo-ment?

Geg.: a, r, c, m, JS = 2ma2, M(t) =M0 cosΩt


32. Ermittle für das skizzierte System die Be-schleunigung der Masse 1, die reibungsfrei aufder schiefen Ebene gleitet. Die Rolle 2 wirddurch ein konstantes Moment M angetrieben,und die Walze 3 rollt ohne zu gleiten.

Geg.: M , m, a, α, Θ1, Θ2, g

33. Das skizzierte System wird durch das Moment M(t) zum Schwingen angeregt. In der einge-zeichneten Position (x = 0) sind beide Federn gespannt. Die obere Feder ist um die Längel0 gespannt; die untere Feder ist so gespannt, daß x = 0 die Gleichgewichtslage ist. Die Seileseien undehnbar. Es werden ausschließlich kleine Schwingungen um die Gleichgewichtslagebetrachtet.

(a) Stellen Sie die kinetische EnergieT und potentielle Energie U fürdas System auf.

(b) Bestimmen Sie die Dissipations-funktion D sowie die generali-sierte Kraft Q.

(c) Bestimmen Sie nun dieBewegungsdifferentialgleichungin der Schwerpunktskoordinatex. Um welche Länge muß die un-tere Feder gespannt sein, damitx = 0 die Gleichgewichtslageist?

m, JS

M(t)

xS

c

c

d

r

R

reines Rollen

Geg.: m, JS , M(t) =M0 cosΩt, M0, Ω, c, d

34. Das skizzierte System (homogene Kreisscheibe M ,Θs, masselose Umlenkrolle, ideales Seil, Masse m,lineare Feder c, linearer Dämpfer k) erfährt eineFußpunkterregung u(t) = û cosΩt.


(b) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für dieBewegung des Scheibenschwerpunktes mitHilfe der Lagrangeschen Gleichungen 2. Artauf.

Geg.: M , m, Θs =1

2Mr2, c, k, r, û, Ω, g

M, Js

m

r

c

k

u( )t

g

reines Rollen


35. Das skizzierte System besteht aus einem Körperder Masse M , der sich auf seiner Unterlage rei-bungsfrei bewegen kann. Er wird von den beidenFedern (Steifigkeit c) festgehalten. Beide Federnseien in der eingezeichneten Lage entspannt.

In einer Mulde rollt eine Kugel. Wenn derGrundkörper sich in der Mittelposition befindet(x = 0) und die Kugel im tiefsten Punkt der Mul-de ist, gilt ψ = 0.

Mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichungen 2. Artsind die Bewegungsdifferentialgleichungen für diegeneralisierten Koordinaten ψ und x aufzustellen.

Geg.: m, M , Θs, c, R, r, g

rS

mf

yx

y, Js

cc M

m= 0

R

36. Ein starrer Körper (Masse M) gleitet reibungsfrei in einerFührung und ist über ein Feder-Dämpfer-Element (Kon-stanten k, d) an die Umgebung gekoppelt. Außerdem trägtder starre Körper eine mit der Winkelgeschwindigkeit Ωrotierende masselose Stange, die im Abstand e vom Dreh-punkt eine Punktmasse m trägt. Zum Zeitpunkt t = 0sei die Stange horizontal und die Punktmasse rechts vomDrehpunkt. Für x = 0 sei die Feder entspannt.

Ω

m

M

k

d

x

e

(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System, wenn die Winkelgeschwindigkeit Ω vorgegebenist?

(b) Wie lautet die Bewegungsdifferentialgleichung für das System?

(c) Bestimme die Lösung im eingeschwungenen Zustand.

(d) Wie groß sind die Kräfte im Feder-Dämpfer-Element im eingeschwungenen Zustand?

37. Das skizziere System besteht aus einem Zahnrad 1 (Masse m1, Radius R), einer Zahnstange3 und einem Gleitkörper 2 (Masse m2). Die Masse der Zahnstange soll vernachlässigt werden.Zudem soll für eine erste Untersuchung des Schwingungsverhaltens auf eine Berücksichtigungder Reibung verzichtet werden.

Durch eine periodischeKraft P (t) wird das Sy-stem zu Schwingungenangeregt. Bestimme mitHilfe der LagrangeschenGleichungen die Bewe-gungsgleichungen desSystems!

Geg.: m1, m2, R, P (t), c

c

P (t)

1

2

3

reibungsfreies Gleiten

reibungsfreies Gleiten


38. Eine masselose starre Stange ist am Punkt P aufgehängt. Im Abstandr1 = l ist eine Punktmasse m1 befestigt. Auf der Stange gleitet außer-dem eine zweite Punktmasse m2 reibungslos. Der Abstand der zweitenPunktmasse vom Aufhängungspunkt P sei mit r2 bezeichnet. Die Federhat die Federsteifigkeit k und die unverformte Länge l0.

Gesucht sind die Bewegungsdifferentialgleichungen und die Längskraftin der Stange.

ϕ

m1

m2

kP

g


(b) Welche generalisierten Koordinaten sind zu wählen?Wie lauten die Zwangsbedingungen?

(c) Formuliere die kinetische und potentielle Energie in den gewählten Koordinaten.

(d) Wie lauten die Lagrangeschen Gleichungen 1. Art?

(e) Leite nun die Bewegungsdifferentialgleichungen und die Kraft in der Stange her.

(f) Wie lauten die Gleichgewichtslagen? Welche Lagerkraft wirkt dann im Lager P?

39. Bei dem skizzierten Pendel tritt am Gelenk ein linear viskoses Reibmomentder Größe Mr = −rϕϕ̇ auf (rϕ: Drehviskosität).

Stellen Sie für folgende Koordinatensysteme die Lagrange-Gleichungen1. Art auf, werten Sie diese aus, bestimmen Sie die Zwangskraftparameter,werten Sie diese aus und führen Sie eine vergleichende Diskussion durch.

(a) kartesische Koordinaten (x, y) des Massenmittelpunktes C undDrehwinkel ϕ

(b) ebene Polarkoordinaten (r, ϕ) des Massenmittelpunktes C

Geg.: m, ΘC, R, g, Mr = −rϕϕ̇

x

y

Mr

CR

ϕg

m,ΘC

40. An einer vertikalen Achse, die sich mit der Winkelgeschwin-digkeit ω dreht, ist unter dem Winkel α ein gerader Drahtbefestigt, auf dem eine Perle der Masse m reibungsfrei glei-tet.

(a) Stellen Sie die Lagrangegleichungen 1.Art für die Zy-linderkoordinaten r, ϕ, z auf.

(b) Lösen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung fürz(t) unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungenz(0) = ż(0) = 0.

(c) Ermitteln Sie die Zwangskräfte in Abhängigkeit derZeit.

(d) Berechnen Sie die Energie der Perle und zeigen Sie,daß der Energiegewinn durch rheonome Zwangsarbeitverursacht wird.

Geg.: m, g, α, ω

m

z

x yα

ω

g

r


41. Auf einem ruhenden, parabelförmig gebogenen Draht rutscht eine Perlemit Reibung. Die Schwerkraft wirkt in negative y-Richtung.

Stellen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung auf und berechnen Siedie Zwangskraft mit Hilfe der Lagrangegleichungen 1.Art.

Geg.: m, g, y(x) = ax2, a = const., µ

m

x

y

g

42. Zwischen der Masse m1 und der horizontalen Ebene bestehtGleitreibung. Der Betrag der Gleitreibungskraft wird über dieZwangskraft des Pendelfadens von der Schwingung der Massem2 beeinflußt.

Ermitteln Sie mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichungen 1.Artsowohl die Normalkraft zwischen m1 und der Ebene als auch dieBewegungsdifferentialgleichungen des Systems (Die Zwangskraftdes Pendelfadens ist nicht gesucht!).

Geg.: m1, m2, l, g, µ

m1

m2

x

y

ϕ l

g

43. Auf einer unendlich langen starren mas-selosen Stange gleitet reibungsfrei diePunktmasse m. Die Drehung der Stan-ge ist vorgegeben als ϕ(t) = ωt (Rota-tion mit konstanter Winkelgeschwindig-keit). Bestimmen Sie die Kraft der Stangeauf die Masse. Benutzen Sie r und ϕ alsgeneralisierte Koordinaten. Und gehen Siewie folgt vor: D

r

er

eϕ

ex

ey

ϕ

m

(a) Bestimmen Sie den Ortsvektor r mit Ursprung D. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit

v(r, ϕ, ṙ, ϕ̇) = vrer + vϕeϕ und |v| =√

v2r + v2ϕ.

(b) Bestimmen Sie die kinetische Energie E und damit die Lagrange-Funktion L(r, ṙ, ϕ̇).

(c) Geben Sie die (holonome, rheonome) Zwangsbedingung in der Form f(ϕ, t) = 0 an.Berechnen Sie ∂f

∂rsowie ∂f

∂ϕ.

(d) Stellen Sie die Gleichungen ddt

∂L∂q̇j

− ∂L∂qj

− λ ∂f∂qj

= 0 auf. Setzen Sie darin die Zwangsbe-

dingung ein. Und geben Sie die beiden resultierenden Dgln. für r und λ an.

(e) Geben Sie die generalisierten Zwangskräfte Qr und Qϕ an. Berechnen Sie daraus dieZwangskraft Z in der Basis 〈er, eϕ〉, also Z = Zrer + Zϕeϕ. Kontrollieren Sie die Di-mension von Z.

Geg.: m, ω =const.

44. Mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichungen 1. Art berechne man alleKontaktkräfte und die Bewegungsgleichung des skizzierten Systems.

g

r

m , ΘC

αϕ


45. Zwei Massenm1 undm2 sind mit einer masselosenStange gelenkig verbunden. Die Masse m1 kannsich nur in y–Richtung, und die Masse m2 kannsich nur in x–Richtung bewegen. Bestimmen Siemit Hilfe der Lagrange-Gleichungen 1. Art sowohldie Stangenkraft als auch die Bewegungsdifferen-zialgleichung. Die Feder ist bei y = H spannungs-los.

k g

Hl

x, ex

y, ey r

m1

m2

46. Das skizierte System besteht aus einem starrenKörper der Masse m, der auf einer Ebene rei-bungsfrei gleitet und mit zwei Federn und zweiDämpfern an die Umgebung gebunden ist. ImKörperschwerpunkt ist ein mathematisches Pen-del (Länge l, Masse m) angebracht, das von einemWind der Geschwindigkeit ~vw von unten angebla-sen wird (Luftwiderstandsbeiwert k). Die Pendel-masse wird durch die Kraft ~P (t) = P0 cosΩt~ex er-regt. Die Bewegung verläuft im Erdschwerefeld.

(a) Stellen Sie die Lagrangefunktion L des Sy-stems bzgl. der generalisierten Koordinatenx und ϕ auf.

(b) Berechnen Sie den Betrag der Relativge-schwindigkeit |~vrel| zwischen Pendelmasseund Wind.

m

m

bb

ccx

~ex

~ey

ϕ l

g

vw

P (t)

(c) Stellen Sie die Dissipationsfunktion D des Systems auf. Geben Sie darüber hinaus diegeneralisierten Nicht-Potentialkräfte Qx und Qϕ an, die nicht durch D modellierbar sind.

(d) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichungen für das System.

Hinweis: ~vrel = ~vm − ~vw; ~vm: Geschw. der Pendelmasse, ~vw WindgeschwindigkeitGeg.: m, b, c, k, l, g, vw, P0, Ω

3 Verfahren von Ritz

47. Bestimmen Sie für die nebenstehend skizzier-ten Balken mit Hilfe des Ritz’schen Verfahrenseine Näherungslösung für die Biegelinie w(x)!Passen Sie zunächst die Ansatzfunktion dengeometrischen Randbedingungen an!

Ansatz: w(x) = a0 + a1 cos(π xl) + a2 sin(

π xl)

Geg.: l, I, E, cF , F

cF

F

ll

x

z, w

EI


48. Im folgenden soll die Längsverschiebung eines einsei-tig eingespannten Stabes mit linear veränderlichemQuerschnittsradius r im Schwerefeld der Erde (Erd-beschleunigung g) untersucht werden. Es seien linear-elastisches Material, ein eindimensionaler Spannungs-zustand, über die Stablänge l konstante Dichte ρ undE-Modul E vorausgesetzt. Für die Radien r0 = r(x =0) und r1 = r(x = l) gelte die Beziehung r1 =

2

3r0.

Zudem gilt r ≪ l.

(a) Wählen Sie eine Ansatzfunktion, die den geo-metrischen Randbedingungen genügt. BerechnenSie nun näherungsweise die Absenkung des freienEndes.

(b) Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem exaktenErgebnis.

x

l r(x)

49. Dargestellt ist ein Balken unter der Last q0.Am rechten Ende ist eine Drehfeder (Fe-dersteifigkeit cM ) angebracht. BestimmenSie eine Näherungslösung für die Durch-senkung w(x). Verwenden Sie den Ansatzw(x) = a0 + a1x + a2x

2 + a3x3. Gehen Sie

wie folgt vor:

l

x

wEI

cM

q0

ϕ

(a) Passen Sie den Ansatz an die 3 geometrischen Randbedingungen an. Eliminieren Sie a0,a1 und a2, und geben Sie die angepasste Ansatzfunktion an.

(b) Berechnen Sie die FormänderungsenergieW und die äußere ArbeitA. Die Formänderungsenergieeiner Drehfeder berechnet sich aus WF =

1

2cMϕ

2.Hinweis: Es gilt ϕ(x = l) = w′(x = l).

(c) Berechnen Sie den Freiwert a3 aus der Bedingung δ(W − A) = 0, und geben Sie damitdie Näherungslösung an.

50. Ein elastischer Balken (Länge l, BiegesteifigkeitEI) ist links fest eingespannt und rechts in einerHülse gelagert. Der Balken wird auf seiner gesamtenLänge durch eine konstante Streckenlast belastet.

(a) Wählen Sie eine Ansatzfunktion, die die geo-metrischen Randbedingungen erfüllt.

(b) Berechnen Sie näherungsweise die Biegelinie.

(c) Vergleichen Sie die Näherungslösung mit derexakten Lösung.

Geg.: q0, l, EI

q0

A B


51. Mit Hilfe des Ritzschen Verfahrens berechneman die Durchsenkung des skizzierten Balkensan der Stelle x = 2l. Als Ritzansatz soll folgen-de Funktion verwendet werden:

w(x) = a0 + a1x+ a2 cosh(xl)

Geg.: M0, EI, c, l

ll

x

w

EI

c

M0

52. Für das aus zwei Stäben und einer linearen Feder bestehen-de System ist näherungsweise die Horizontalverschiebungdes Punktes A zu bestimmen, wenn an diesem wie skizziertmit der Kraft F gezogen wird. Zur Lösung dieser Aufgabesind folgende Teilschritte zu bearbeiten:

(a) Für die Biegelinie beider Bereiche ist jeweils ein Poly-nom 3.Grades als Ansatzfunktion zu wählen. PassenSie diese Ansatzpolynome den geometrischen Randbe-dingungen an; fordern Sie zudem, daß die das Momentbetreffenden Randbedingungen erfüllt sind.

(b) Stellen Sie das Energiefunktional Π = A−W auf.(c) Berechnen Sie durch Extremalisierung dieses Funktio-

nals (δΠ = 0) die noch unbestimmten Koeffizientenund geben Sie die Näherungslösung für die Horizon-talverschiebung im Punkte A an.

Geg.: l, EI, cf =2EIl3

, F

A

l

x1 x2

w1 w2

EI 3EI

cf

F

53. Für den skizzierten einseitig fest eingespannten und am an-deren Ende gelenkig gelagerten Balken ermittle man nachRitz die erste Eigenkreisfrequenz und vergleiche sie mit demexakten Wert:

ω1, exakt = 15, 421

l2

√

EI

ρA

Warum ist die Näherungslösung zu groß?

Ansatzfunktion:

w(x, t) = x2(l − x)2q(t)

Geg.: ρ, A, EI, l

l

ρ, EI, A


54. Berechnen Sie die beiden ersten Eigenkreisfrequenzen des skiz-zierten Balkens näherungsweise mit einem zweigliedrigen An-satz nach Ritz:

w(x, t) = ϕ1(x)q1(t) + ϕ2(x)q2(t) .

Verwenden Sie die Ansatzfunktionen

ϕ1(x) =x

l; ϕ2(x) = sin

πx

l.

Geg.: l, EI, c, ρA, c = π4EI2l3

, EI =const.

l

EI r, Ax c

55. Der dargestellte Stab führt infolge einer einmaligen AnregungLongitudinalschwingungen aus. Man ermittle:

(a) die exakte erste Eigenkreisfrequenz und

(b) Näherungen für die erste Eigenfrequenz unter Verwendungder Ansatzfunktionen:

(a) u(x, t) = x2q(t)

(b) u(x, t) = x2(3l − 2x)q(t)(c) u(x, t) = sin πx

2lq(t)

Geg.: ρ, A, E, l

x, u(x, t)

ρ, A, E, l

56. Der dargestellte Stab führt infolge einer einmaligen Anregung Longitudinalschwingungen aus.Ermitteln Sie mit dem Verfahren von Rayleigh-Ritz eine Näherungslösung für die erste Ei-genkreisfrequenz unter Verwendung der folgenden Ansatzfunktion:

u(x, t) = x2(3l − 2x)q(t)Geg.: ρ, A, E, l

x, u(x, t)

ρ, A, E, l

57. Der skizzierte Betonschornstein konstanter Wandstärke führt Bie-geschwingungen aus.

(a) Überprüfe die angegebene Funktion ϕ(x) auf ihre Brauchbar-keit als Ansatz für eine näherungsweise Bestimmung der erstenEigenkreisfrequenz (nach Ritz).

(b) Bestimme näherungsweise die niedrigste Eigenfrequenz des Sy-stems!

ϕ(x) = l4[

6(x

l

)2

− 4(x

l

)3

+(x

l

)4]

Geg.: l, E, ρ, ra, Ra = 2ra , Ra −Ri = 12ra R iR a

l

ra

x

y


58. Ein eingespannter, massebehafteter Stab mitkreisförmigem Querschnitt trägt an seinem Ende ei-ne Einzelmasse m. Geeignete Anfangsbedingungenlassen den Stab um seine Längsachse schwingen.

Bestimmen Sie näherungsweise die erste Eigenkreis-frequenz.

Geg.: l, r, m, G, Ip, A, ̺

G, Ip, A, ̺

m

r

ϑ

x

yz

l

59. Auf dem Tisch einer Waage liegt ein Paket (Masse M2).Der Tisch (Masse M1) wird von zwei Blattfedern (Biege-steifigkeit EI, Massebelegungen µ, Längen l) so gehalten,daß er in vertikaler Richtung schwingen kann. Für beideBlattfedern wird die Verformung mit der gleichen Ansatz-funktion, einem Polynom dritten Grades, beschrieben. Beiz = 0 sind die Blattfedern entspannt.

(a) Beschreibe das Vorgehen zur exakten Bestimmungder Eigenfrequenzen des abgebildeten Systems. Wie-viele Eigenfrequenzen hat das System?

(b) Wie muß die Ansatzfunktion gewählt werden, damitalle geometrischen Randbedingungen erfüllt wer-den?

(c) Stelle die kinetische und potentielle Energie für klei-ne Schwingungen z(t) des Systems auf. Beachte da-bei die Wirkung der Erdbeschleunigung g.

(d) Formuliere das Prinzip der kleinsten Wirkungfür das untersuchte System und bestimmenäherungsweise die niedrigste Eigenkreisfrequenz.

(e) Wie groß ist die statische Absenkung zstat des Sy-stems?

z

g

E I , µ

E I , µ

l

M 2

M1

60. Mit Hilfe des Ritzschen Verfahrens berechneman näherungsweise die Biegelinie. Verglei-chen Sie ihr Ergebnis für die Durchsenkung ander Stelle x = 2l für den Spezialfall c = 0 mitdem exakten Ergebnis.

ll

x

w

EI

c

M0

Es soll der folgende zweigliedrige Ansatz verwendet werden:

w(x) = q1f1(x) + q2f2(x) ,

wobei die beiden Formfunktionen f1 und f2 Polynome sind.

Hinweis: Es ist zweckmäßig, die Formfunktionen so zu normieren, daß q1 die Durchsenkungdes Balkens in der Mitte (x = l) und q2 die Verdrehung des Balkens am rechten Ende (x = 2l)sind.

Geg.: M0, EI, c, l


61. Betrachtet wird ein Stabwerk aus zwei iden-tischen Stäben (Länge l, Dehnsteifigkeit EA,Massebelegung µ). Am oberen Ende sind dieStäbe gelenkig an die Umgebung angebunden.Am unteren Ende sind beide Stäbe gelenkigmit einer Punktmasse m verbunden. Betrach-tet werden ausschließlich kleine Vertikalbewe-gungen der Punktmasse. Vereinfachend sei an-genommen, daß beide Stäbe stets gleich schwin-gen.

1

2

√2l

√2l

EA, µ

m

Im folgenden soll mit verschiedenen Verfahren die niedrigste Eigenkreisfrequenz bzw. eineNäherung für die niedrigste Eigenkreisfrequenz des Systems bestimmt werden.

(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das abgebildete System?

(b) Wie lauten die geometrischen Randbedingungen?

(c) Leite die Bewegungsdifferentialgleichungen und die dynamischen Randbedingungen fürdas untersuchte System her.

(d) Wie lautet die Frequenzgleichung des untersuchten Systems? Bestimme nun für µ = m10l

die niedrigste Eigenkreisfrequenz des Systems.Hinweis: Die kleinste positive Lösung der Gleichung 10χ tanχ = 1 ist χ1 ≈ 0, 3111.

(e) Welche Eigenkreisfrequenz erhält man für µ = m10l

, wenn man einen linearen Ritz-Ansatzfür die Längsverschiebung der Stäbe wählt?

(f) Vernachlässigt man die Stabmasse gegenüber der Punktmasse, erhält man einen Ein-massenschwinger. Bestimme die zugehörige Eigenkreisfrequenz mit dem zweiten Satzvon Castigliano. Vergleiche die drei Ergebnisse miteinander.

62. Ein massebehafteter Balken (Länge l, Biegestei-figkeit EI, Massebelegung µ) ist bei A gelen-kig gelagert und bei B in eine Hülse gesteckt,die dem Balken dort eine horizontale Tangenteaufzwingt. Die Hülse (Masse m) kann auf einerstarren Stange in vertikaler Richtung reibungs-frei gleiten. Der Balken schwingt ausschließlichin Querrichtung.

��

��

x

wEI, µ

l

m

glatt, starr

A B

(a) Wählen Sie eine Ansatzfunktion (z.B. eine harmonische Funktion), die den geometrischenRandbedingungen genügt.

(b) Bestimmen Sie nun die bezogene kinetische und maximale potentielle Energie des Sy-stems.

(c) Berechnen Sie schließlich ein Näherung für die erste Eigenkreisfrequenz ω1?

Geg.: EI, l, m, µ

Hinweis:∫

sin2 ax dx = x2− 1

4asin 2ax


63. Das abgebildete System besteht aus einem elastischen, mas-sebehafteten Seil (Dichte ρ, Länge l, Querschnittsfläche A,E-Modul E) und einer Endmasse m.

Es sollen die erzwungenen Längsschwingungen des Systemsuntersucht werden. Die Position des oberen Endes ist vor-gegeben: s = ŝ cosΩt. Die Position der Endmasse sei mit qbezeichnet. Wenn das Seil nicht gedehnt ist, gilt q = s.

Leiten Sie für den Fall, daß man die Verschiebung u(x, t) desSeils mit folgendem Ritz-Ansatz u(x, t) = s(t) + x

l(q(t) −

s(t)) beschreiben kann, die Bewegungsdifferentialgleichungher. Überprüfen sie zunächst, ob der gegebene Ansatz im Sin-ne von Ritz zulässig ist.

E, A, ρ, l

s(t)

m

g

q

Geg.: l, E, A, ρ, m, g, ŝ, Ω

Anmerkung: Das untersuchte System kann u.a. als ein sehr einfaches Modell zur Beschreibungder Bewegung von kabelgebundenen Systemen in der Meerestechnik (z.B. remotely operatedvehicle) dienen. Die Bewegung des oberen Kabelendes wird durch den Seegang verursacht.

64. Das abgebildete System besteht aus einem elastischen, massebehaf-teten Stab (Dichte ρ, Länge l, Querschnittsfläche A, E-Modul E)und einer Endmasse m.

Mit Hilfe eines eingliedrigen Ansatzes nach Ritz soll näherungsweisedie erste Eigenkreisfrequenz berechnet werden, wobei dieLängsverschiebung der Punktmasse den Freiheitsgrad q(t) beinhal-tet. Als Formfunktion ist ein linearer Ansatz zu wählen.

Geg.: l, E, A, ρ, m, g,

E, A, ρ, l

m

g

65. Ermitteln Sie für das skizzierte System die Durchbie-gung an der Stelle x = ℓ/2! Verwenden Sie dazu denfolgenden Ansatz, nachdem Sie ihn an die geometri-schen Randbedingungen angepaßt haben.

Ansatz: w̃(x) = a2x2 + a1x+ a0

Geg.: EI, c, qo, ℓ

cc

z

xEI

1

6ℓ1

6ℓ 2

3ℓ

q0

66. Ein Kragbalken der Länge L mit konstanter Biegesteifig-keit EI ist mit einer wie skizziert linear verteilten Strecken-last und einer in der Mitte angreifenden Einzellast F bela-stet.

Bestimmen Sie die Verschiebung des freien Balkenendes mitdem Näherungsverfahren nach Ritz. F

q0

L2

L2

Die Biegelinie nach Theorie erster Ordnung soll mit einem Polynom dritten Grades approxi-miert werden, das die geometrischen Randbedingungen erfüllt.

Geg.: EI, L, F , Maximum der Streckenlast: q0


67. Auf einen Bernoulli-Balken der Länge l und der Bie-gesteifigkeit EI wirkt die Kraft F . Bestimmen Sie dieDurchsenkung des Balkens bei x = 0 näherungsweise,nämlich für den Ritz-Ansatz

w(x) = a(

1− sin πx2l

)

mit dem PdvV. Benutzen Sie das gegebene Koordina-tensystem, und gehen Sie wie folgt vor:

F

c

x

z, w

l

EI

(a) Berechnen Sie w′, w′′ und δw, δw′, δw′′. Zeigen Sie, dass der Ansatz die beiden geometri-schen Randbedingungen erfüllt.

(b) Berechnen Sie die Variationen der Formänderungsenergien:

δWF (Feder) und δWB (Balken, Hinweis∫ l

0

(

sin πx2l

)2dx = 1

2l).

(c) Bestimmen Sie die virtuelle äußere Arbeit δA.

(d) Bestimmen Sie a = w(x = 0) aus δWB + δWF = δA (PdvV).

(e) Bestimmen Sie jetzt das elastische Potenzial Π = WB +WF − A. Berechnen Sie a ausder Bedingung ∂Π

∂a= 0. Kontrollieren Sie damit Ihr Ergebnis aus (d).

Geg.: EI, c, l, F , WB =EI2

∫

w′′2dx

4 Sätze von Castigliano

68. Berechne für den skizzierten Balken die Durchbiegung an derKrafteinleitungsstelle und die Auflagerreaktionen. Verwende dazuden ersten Satz von Castigliano.

Geg.: M0, F , EI, l ��

��

F M0

2l l

EI

69. Am Ende des skizzierten schubstarren Balkens mit der Biegesteifigkeit KB greifen ein Mo-ment M0 und eine Einzellast F an.

(a) Berechne die das elastische Potential Uel des Systems. Bestim-me nun mit dem ersten Satz von Castigliano die Durchsen-kung w1(l) und den Biegewinkel ϕ1(l) am rechten Ende desBalkens (x = l).

(b) Berechne den Biegewinkel ϕ2(l) am rechten Balkenende fürden Fall M0 = 0.

F M0

l

EIx

Geg.: M0, F , EI, l

70. Berechne mit Hilfe des Satzes von Castigliano die Biegelinie w(x̂) desskizzierten Kragarms mit der Biegesteifigkeit EI unter Einwirkung derEinzellast F am freien Ende.

Geg.: F , l, EI

F

l

EIx̂


71. Gegeben ist die nebenstehend skizzierte Konstruktion.

Berechnen Sie unter Verwendung des ersten Satzes vonCastigliano die Durchsenkung an der Stelle A.

Geg.: l, q0, E, I, der Balken sei schubstarr

q0

l 2lA BE, I

72. Für den skizzierten schubstarren Träger mit der kon-stanten

Biegesteifigkeit EI ist mittels des ersten Satzes vonCastigliano

die Lagerkraft an der Stelle B zu bestimmen.

Geg.: l, EI, q0

q0

l

B

EI

73. Der skizzierte dehn- und schubstarre Träger mit der konstanten Biegesteifigkeit EI ist einfachstatisch unbestimmt.

(a) Machen Sie das System statisch bestimmt, indem Siedas Lager an der Stelle B durch eine noch zu bestim-mende Kraft ersetzen.

(b) Unterteilen Sie den Balken in zwei Bereiche, und er-mitteln Sie den Momentenverlauf analytisch.

(c) Ermitteln Sie die Ableitung derFormänderungsenergie nach der eingeführten Kraft,und bestimmen Sie die eingeführte unbekannteKraft.

(d) Geben Sie alle Lagerkräfte bzw. -momente an.

Geg.: l, E, I, q0

x

z

A

B C

l2l

q0

74. Ein rechtwinkliger, einhüftiger Tragrahmen wird wie skizziertdurch die Streckenlast q(x) belastet. Der Rahmen wird als bie-geelastisch, aber dehn- und schubstarr angesehen.

Berechnen Sie mit den Sätzen von CASTIGLIANO die Lager-reaktionen an den Orten A und B.

Geg.: h, l, E, I, c, q0A

B

EI

h

l

c

q0


75. Das abgebildete Fachwerk aus 7 Stäben mit derDehnsteifigkeit EA ist innerlich statisch bestimmt.Aufgrund der Lagerung in den Punkten B, C,D ist das Fachwerk äußerlich einfach statischüberbestimmt.

Die (komplementäre) Formänderungsenergie eineslongitudinal gedehnten Stabes beträgt:

UStab =1

2

∫ x1

x0

N2

EAdx

��

��

��

��

17

4

53

6

2

A

BC

D E

l

ll

FA

(a) Machen Sie die Lagerung des Fachwerks statisch bestimmt, indem Sie das Lager bei Bentfernen und dort die Lagerkraft FB einführen. Bestimmen Sie dann die Kräfte in denStäben, z.B. indem Sie die Knoten A, B und E freischneiden.

(b) Berechnen Sie nun die (komplementäre) Formänderungsenergie U des Fachwerkes alsFunktion der Kräfte FA und FB.

(c) Nutzen Sie im folgenden die (komplementäre) Formänderungsenergie

U =l

EA

[

aF 2A + bFAFB + cF2B

]

,

mit den bekannten Konstanten a, b und c. Berechnen Sie die Lagerkraft FB.

(d) Wie groß ist die statische Durchsenkung in vertikaler Richtung uA am Punkt A?

(e) An der Stelle A sei nun statt der Kraft FA eine Punktmasse m angebracht. Die Masseder Stäbe soll gegenüber dieser Punktmasse vernachlässigt werden.

Betrachtet werden ausschließlich vertikale Schwingungen der Punktmasse m. Das Fach-werk verhält sich dann wie eine lineare Feder. Wie groß ist die Ersatzfedersteifigkeit?Welche Eigenkreisfrequenz hat das System?

Geg.: FA, l, EA, m

76. Ein Fachwerk aus 9 Stäben ist in A und B gelagert. Im Punkt B wirkt eine vertikale KraftP . Die Stäbe haben alle die gleiche Querschnittsfläche A und den gleichen E-Modul E.

P Pl

l

lll

l

ll

Variante 1 Variante 2

11 2 23 3

4 45 56 6 77 88

99

AAB BC C

DD

EE FF

Es werden zwei verschiedene Varianten vorgeschlagen (siehe Bild). Welche Variante ist zuwählen, wenn die vertikale Durchsenkung in B möglichst klein sein soll? Begründen Sie IhreEntscheidung durch geeignete Berechnungen. Wie groß ist die Durchsenkung im besserenFall?

Geg.: P , l, E, A


77. Die Enden einer abgesetzten Welle (Abschnitt 1: Durchmesser d1, Abschnitt 2: Durchmesserd2) sind in den Lagern A und B gegen Verdrehung festgehalten. Auf ein Zahnrad, das mitder Welle fest verbunden ist, wirkt ein Kräftepaar, so daß auf die Welle das TorsionsmomentMT übertragen wird.

(a) Wie groß sind die in den Lagern A und B auf-zunehmenden Torsionsmomente?

(b) An welcher Stelle müßte das Zahnrad auf demWellenabsatz 2 befestigt sein, damit der Ver-drehwinkel maximal wird?

Geg.: d1, d2, a, b, c, MT

A B

a b c

x

1 2

78. Ein Balken (Länge 2l, Biegesteifigkeit EI) istmit drei Stäben (Dehnsteifigkeit EA) statisch be-stimmt gestützt. Berechnen Sie mit Hilfe des Sat-zes von CASTIGLIANO die Verschiebung desPunktes B in Richtung der Kraft F .

Geg.: l, EI, EA

F

ll

30◦30◦A B

C

x

y

12

3

79. Der Flügel eines Hochdeckerflugzeuges erzeugt annähernd eine über die Flügelspannweitekonstante Auftriebslast p. Um das Biegemoment an der fest eingespannten Flügelwurzel Azu reduzieren, wurde eine Strebe BC eingebaut. Der Flügelaufbau wird wie abgebildet durcheinen schubstarren Balken und einen Stab modelliert. Alle Teile seien aus dem gleichen Ma-terial.

c

p

a b

A

(a) Ist das System statisch bestimmt?

(b) Bestimmen Sie die komplementäre Formänderungsenergie W ∗ als Funktion der Stab-kraft.

(c) Wie groß ist die Kraft in der Strebe?

(d) Wie groß ist das Biegemoment an der Flügelwurzel?

Geg.: I, A1, A2, c, a, b, p


80. Dargestellt ist ein System aus einem schubstarren Balken, einem Dehnstab und einer Feder.Berechnen Sie die Verdrehung ϕ am Lagerpunkt A unter Verwendung des Satzes von CA-STIGLIANO. Gehen Sie dazu wie folgt vor:

(a) Berechnen Sie zunächst die maßgeblichen Schnitt-kräfte in Dehnstab, Balken und Feder N,M undF unter Berücksichtigung eines Hilfsmoments MH ,das dort anzubringen ist, wo der Verdrehwinkel ge-sucht ist.

(b) Berechnen Sie die gesuchte Verdrehung unter Aus-nutzung von∂W∂MH

= ∂W∗

∂MH= 1

EI

∫ l

0M ∂M

∂MHdx+ 1

EA

∫

l2

0N ∂N

∂MHdz+

Fc

∂F∂MH

(c) Berechnen Sie die Verdrehung ϕ nun für den Spe-zialfall EI → ∞ und c→ ∞.

l

q0

l2

EI

EA

A

c

x

z

ϕ

81. Alle Stäbe des Fachwerks haben die gleiche Querschnitts-fläche A und den gleichen E-Modul E. Berechne die verti-kale Verschiebung des Lasteinleitungspunktes C unter derEinwirkung der äußeren Last P .

Geg.: P , l, E, A

P

l

l

1

2

3

45

AB

C

D

5 Prinzip der stationären Wirkung, Hamiltonsches Prinzip

82. Ein homogener, linear elastischer Torsionsstab mitkreisförmigem Querschnitt trägt an seinem rechten En-de eine starre Kreisscheibe (Radius r; Masse m).

G, Ip, A, ρ

m

rϕ(l)

x

yz

ℓ

(a) Wie lautet die geometrische Randbedingung für das System?

(b) Ermitteln Sie die Lagrange-Funktion für das Gesamtsystem.

(c) Formulieren Sie das Prinzip von Hamilton für das untersuchte System.

(d) Leiten Sie nun die Bewegungsdifferentialgleichung und die dynamische Randbedingungher.

Geg.: r, ℓ, A, Ip, m, G, ρ


83. Ein bei x = 0 eingespannter Balken (Länge ℓ, Biegestei-figkeit EI = konst., Massebelegung ρA = konst.) mit derPunktmasse m an der Stelle x = ℓ soll Eigenschwingungendurchführen. Mit Hilfe des Hamiltonschen Prinzips sinddie dynamischen Randbedingungen und die Bewegungsdif-ferentialgleichung zu ermitteln.

EI, ρA

x

z,w

ℓ

m

Geg.: ℓ, A, ρ, EI

84. Ein elastischer, massebehafteter Balken(Biegesteifigkeit EI, Länge L, Quer-schnittsfläche A und Dichte ρ) ist linksund rechts gelenkig gelagert. An beidenEnden greift ein periodisches MomentM(t) =M0 cosΩt an.

EI, µ

L

x

A B

M(t) M(t)

(a) Wie lauten die geometrischen Randbedingungen für das System?

(b) Berechnen Sie die kinetische Energie T , die potentielle Energie U sowie die virtuelleArbeit δW für das Gesamtsystem.


(d) Leiten Sie nun die Bewegungsdifferentialgleichung und die dynamischen Randbedingun-gen her.

Geg.: M0, Ω, L, EI, A, µ

85. Ein Kragbalken wird wie abgebildet durch ein Mo-ment am rechten Rand belastet.

x

z, w(x, t)

ME(ℓ, t)

EI, µ, l


(b) Berechnen Sie die kinetische Energie T , die potentielle Energie U sowie die virtuelleArbeit δW für das Gesamtsystem.


(d) Leiten Sie nun die Bewegungsdifferentialgleichung und die dynamischen Randbedingun-gen her.

Geg.: EI, µ, l,ME =M(t)

86. Eine (dehnstarre) Saite der Länge l wird mit Fs vorge-spannt und trägt die Masse pro Länge µ := ρA. LeitenSie die Bewegungs-Differentialgleichung mit dem Prin-zip der kleinsten Wirkung (Prinzip vonHamilton) her.

Geg.: Fs, µ, l

Fs

z, w(x, t)

ρA

x

l


87. Ein massebehafteter elastischer Stab (Dehnsteifigkeit EA,Massebelegung µ, Länge l) ist am linken Rand (x = 0)fest eingespannt und trägt am rechten Rand (x = l) einePunktmasse m. Die Punktmasse ist außerdem über eineFeder (Steifigkeit k) an die Umgebung gekoppelt.

x

m

k

EA, µ, l

Die Feder sei entspannt, wenn der Stab unverformt ist. Es werden ausschließlich Längsschwingungenu (x, t) betrachtet.

(a) Wie lautet die geometrische Randbedingung für das System?

(b) Wie berechnen sich die kinetische Energie E und die potentielle Energie U für dasGesamtsystem?

(c) Formulieren Sie das Prinzip der kleinsten Wirkung für das untersuchte System.

(d) Leiten Sie nun die Bewegungsdifferentialgleichung und die dynamische Randbedingungher.

Geg.: m, k, l, EA = konst., µ = konst.

88. Eine von einem viskosen Medium umgebeneSaite (Länge l, Masse pro Länge µ) wird miteiner Kraft FS vorgespannt und am rechtenEnde in z-Richtung verschieblich gelagert.Die dissipative Wirkung des Mediums wirdwie skizziert durch eine linienhaft verteilteDämpfung b(x) = b0 modelliert. Das Erd-schwerefeld wird vernachlässigt.Mit dem Prinzip von Hamilton soll dieBewegungsdifferentialgleichung und die dy-namische(n) Randbedingung(en) bestimmtwerden.

FSx

z, w(x, t)l

µ

b0

(a) Geben Sie die kinetische Energie T und die potentielle Energie U des Systems an.

(b) Bestimmen Sie die virtuelle Arbeit δW infolge der Dämpfung.

(c) Formulieren Sie das Prinzip von Hamilton und ermitteln Sie daraus die Bewegungsdif-ferentialgleichung und die dynamische(n) Randbedingung(en).

Geg.: FS , µ := ρA = konst., b(x) = b0 = konst., l

89. Gegeben ist der skizzierte homogene Dehnstab.


(b) Berechnen Sie die kinetische Energie T und die potentielle Energie U fürdas Gesamtsystem.


(d) Leiten Sie nun die Bewegungsdifferentialgleichung und die dynamischenRandbedingungen her.

Geg.: µ, A, E, l

l

x, u


90. Zwei Stäbe (Längen l1, l2 Querschnittsflächen A1, A2, E-Moduln E1, E2 und Dichten ρ1, ρ2) sind wie skizziert mit-einander verbunden und links fest eingespannt. Das Systemschwingt ausschließlich in Längsrichtung.

Benutze zur Formulierung der Bewegungsdifferentialglei-chungen und Randbedingungen die eingezeichneten raum-festen Koordinaten x1 und x2.

��

��

��

��

x1 x2

E1, A1, ρ1, l1 E2, A2, ρ2, l2

(a) Wie lauten die geometrischen Rand- und Übergangsbedingungen für das dargestellteSystem?

(b) Formuliere die kinetische und potentielle Energie für das Gesamtsystem.

(c) Leite nun die Bewegungsdifferentialgleichungen und die dynamischen Randbedingungenmit dem Prinzip der kleinsten Wirkung her!

(d) Mit welchem Ansatz kann man die Eigenfrequenzen des Systems bestimmen? WievieleEigenfrequenzen hat das System?

Geg.: E1, E2, A1, A2, ρ1, ρ2, l1, l2

6 Methode der finiten Elemente

91. Ein Träger besteht aus zwei Dehnstäben mit un-terschiedlichen Querschnittsflächen Ai. Es wirktdie äußere Last F . Mit Hilfe der Methode derFiniten Elemente sollen die Längsverschiebungenu(x1 = l1) und u(x2 = l2), sowie die horizonta-le Lagerreaktion im linken Auflager FH bestimmtwerden. Dazu soll das System in zwei Finite Ele-mente (x1 ∈ [0, l1] bzw. x2 ∈ [0, l2]) unterteiltwerden.

EA1 EA2

l1 l2

x1 x2

F

(a) Setzen Sie lineare Ansatzfunktionen für die Längsverschiebung u(x1) bzw. u(x2) an undstellen Sie das Elastische Potential Π des Systems dar.

(b) Bestimmen Sie durch Variation von Π das Gleichungssystem zur Bestimmung der End-verschiebungen (u(x1 = l1), u(x2 = l2)) und der Lagerreaktion (FH). Leiten Sie hierausdie Elementsteifigkeitsmatrix ab.

(c) Bestimmen Sie die Verschiebungen u(x1 = l1) und u(x2 = l2), sowie FH .

Geg.: l1, l2, A1, A2, E, F


92. Der massebehaftete linear elastische Stab besteht aus zwei Bereichen mitjeweils unterschiedlichen Längen ℓ1, ℓ2 und Querschnittsflächen A1, A2.Neben der Belastung durch die Schwerkraft greift am unteren Ende eineEinzelkraft F an.

(a) Stellen Sie ein Ersatzsystem auf, in welchem die Vertikallast in derEinspannung als eingeprägte Kraft wirkt. Ermitteln Sie nun daselastische Gesamtpotential Π = W − A. Als Ansatzfunktion fürdie Längsverschiebung in beiden Bereichen soll dabei eine lineareFunktion genutzt werden.

(b) Nutzen Sie das Prinzip der virtuellen Verrückungen δΠ = 0 zurAufstellung der Bestimmungsgleichungen für die Knotenverschie-bungen sowie die unbekannte Lagerreaktion und stellen Sie dasGleichungssystem in Matrizenschreibweise auf.

(c) Ermitteln Sie aus dem reduzierten System die Knotenverschiebun-gen u2 und u3. Abschließend ist die Lagerkraft zu bestimmen.

Geg.: ℓ1, ℓ2 =ℓ12, A1, A2 =

A12, g, F , E, ρ

F

ℓ1

ℓ2

EA1, ρ

EA2, ρ

g

93. Der skizzierte linear elastische Stab bestehtaus zwei Bereichen mit jeweils unterschiedlichenLängen ℓ1, ℓ2 und Querschnittsflächen A1, A2. Erist beidseitig durch Festlager an die Umgebung ge-koppelt. Am mittleren Knoten 2 greift die Hori-zontallast F an.

F

ℓ1 ℓ2

EA1 EA2

1 2 3

(a) Stellen Sie ein Ersatzsystem auf, in welchem die zu berechnenden Auflagerreaktionen alseingeprägte Kräfte wirken. Ermitteln Sie anschließend das elastische GesamtpotentialΠ = W − A. Als Ansatzfunktion für die Längsverschiebung in beiden Bereichen solldabei eine lineare Funktion genutzt werden. Als generalisierte Koordinaten sind dieKnotenverschiebungen heranzuziehen.

(b) Nutzen Sie das Prinzip der virtuellen Verrückungen δΠ = 0 zur Aufstellung der Be-stimmungsgleichungen für die Knotenverschiebung im Knoten 2 sowie die unbekanntenLagerkräfte und stellen Sie das Gleichungssystem in Matrizenschreibweise dar.

(c) Ermitteln Sie aus dem reduzierten System die Knotenverschiebung u2.

(d) Berechnen Sie die (horizontalen) Lagerreaktionen.

Geg.: ℓ1, ℓ2 = ℓ1, A1, A2 = 2A1, F , E


94. Zwei verbundene Torsionsstäbe mit un-terschiedlichen Querschnittsflächen undLängen werden durch eine Konstante Mo-mentenschüttung m0 belastet.

(a) Setzen Sie lineare Ansatzfunktionenfür den Verdrehwinkel ϑ(x1) bzw.ϑ(x2) an und stellen Sie das Elasti-sche Potential Π des Systems dar.

GIp1 GIp2

l1 l2

x, ϑ

1 2 3

m0

(b) Bestimmen Sie durch Variation von Π das Gleichungssystem zur Bestimmung der End-verschiebungen (ϑ(x1 = l1), ϑ(x2 = l2)) und das Lagermoment (M1). Leiten Sie hierausdie Elementsteifigkeitsmatrix ab.

(c) Bestimmen Sie die Verschiebungen ϑ(x1 = l1) und ϑ(x2 = l2), sowie M1.

Geg.: l1, l2, Ip1, Ip2, m0, G

95. Ein elastisches System sei wie nebenstehend skizziert als Bal-ken unter einer Einzellast modelliert. Mit dem Verfahren derSteifigkeitsmatrizen ist das Moment auf die Verschiebehülse amrechten Ende zu berechnen. Der Balken soll dabei in zwei Ele-mente zerteilt werden und die Knotennummerierung am linkenRand beginnen.

l 2l

F

Geg.: l, F , Biegesteifigkeit des Balkens KB

(a) Stellen Sie das Gesamtgleichungssystem mit Verschiebungsspalte, Steifigkeitsmatrix undLastspalte auf.

(b) Geben Sie das reduzierte Gleichungssystem (ebenfalls in Matrixschreibweise) an.

(c) Berechnen Sie die unbekannten Knotenverschiebungen und das Einspannmoment an derVerschiebehülse rechts.

(d) Geben Sie das reduzierte Gleichungssystem für den Fall an, daß der Balken um denWinkel α verdreht (verspannt) an der Hülse angebaut wurde.

Hinweis:Die Elementschnittlasten und Knotenverschiebungen eines Elements αmit der Länge lαund der Biegesteifigkeit KB sind wie folgt über die Elementsteifigkeitsmatrix verknüpft:

QLML/lαQR

MR/lα

=KBl3α

12 −6 −12 −6−6 4 6 2−12 6 12 6−6 2 6 4

wLϕL lαwRϕR lα

Wichtig: Beachten Sie die verschiedenen Längen!


96. Ein Stahlträger verbindet zwei Gebäude. Auf beiden Sei-ten ist er fest eingemauert. Im Abstand 2l von der hinterenWand und l von der vorderen Wand wird er von einem Ge-wicht mit der Kraft G belastet. (Daraus folgt: Der Abstandder Wände voneinander beträgt 3l und die Belastung er-folgt nicht in der Mitte.)

Mit dem Verfahren der Steifigkeitsmatrizen ist das Ein-spannmoment an der hinteren Wand zu ermitteln. Dabeisoll der Balken in zwei Elemente zerteilt werden und dieKnotennummerierung an der hinteren Wand beginnen. Al-le Gleichungssysteme müssen in Matrixschreibweise an-gegeben werden!

Geg.: l, G, Biegesteifigkeit des Stahlträgers KB

(a) Stellen Sie das Gesamtgleichungssystem auf.

(b) Geben Sie das reduzierte Gleichungssystem an.

(c) Berechnen Sie die unbekannten Knotenverschiebungen.

(d) Berechnen Sie das Einspannmoment an der hinteren Wand.

(e) Geben Sie das reduzierte Gleichungssystem für den Fall an, daß sich das vordere Gebäudeum die Länge b abgesenkt hat.

Hinweis:Die Elementschnittlasten und Knotenverschiebungen eines Elements αmit der Längelα = pαl0 und der Biegesteifigkeit KB α = qαKB 0 sind wie folgt über die Elementsteifigkeits-matrix verknüpft:

QLML/l0QR

MR/l0

=KB 0l30

qαp3α

12 −6pα −12 −6pα−6pα 4p2α 6pα 2p2α−12 6pα 12 6pα−6pα 2p2α 6pα 4p2α

wLϕL l0wRϕR l0

97. Für den skizzierten transversal schwingenden Balken mit Einzel-masse und federnder Lagerung gebe man mit Hilfe von Massen-und Steifigkeitsmatrizen die Bewegungsgleichungen für w(x = ℓ, t)und ϕ(x = ℓ, t) sowie die beiden kleinsten Eigenkreisfrequenzenan.

ℓ

E, I33, A, ̺k

m,Θ ≈ 0

Geg.: m =78

420̺Aℓ, k = 4

EI33ℓ3

Prinzip der virtuellen VerrückungenLagrangesche GleichungenVerfahren von RitzSätze von CastiglianoPrinzip der stationären Wirkung, Hamiltonsches PrinzipMethode der finiten Elemente

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