Institut für Technische und Numerische Mechanik...

Institut für Technische und Numerische Mechanik Technische Mechanik IV Profs. P. Eberhard, J. Fehr, M. Hanss A 1.1

Aufgabe 1: Ein mechanisches System wird durch folgende linearisierte Bewegungsgleichungen

beschrieben:

0

0x

mgL0

0L/mg2x

mLmL

mLm32

Die allgemeine Form der linearisierten Bewegungsgleichungen lautet hyKyDyM

a) Ist das System gedämpft?

☐ Ja ☐ Nein ☐ Keine Aussage möglich

b) Welche Formulierungen können für 0D zur Berechnung der Eigenwerte verwendet

werden? Hierbei gelte i2/1 .

☐ 0det 3 KM ☐ 0det KM2

☐ 0λλdet 3 KM ☐ 0λdet KM2

c) Geben Sie das charakteristische Polynom an.

d) Berechnen Sie die Eigenwerte des Systems.

4/32/1 ,

e) Berechnen Sie die Eigenvektoren.

2, xx1

f) Sind die Eigenvektoren linear abhängig?

☐ Ja ☐ Nein ☐ Keine Aussage möglich


Aufgabe 2: Eine Saite (Länge L, Querschnittsfläche A, Dichte ρ) ist unter Vorspannung mit der

Kraft S am linken Ende fest eingespannt und am rechten Ende reibungsfrei vertikal geführt. Zum

Zeitpunkt t = 0 wird die Saite um a ausgelenkt und anschließend losgelassen.

a) Wie lautet die allgemeine Wellengleichung für die Saitenschwingung?

☐ wcw 2 ☐ wcw 3 ☐ wcw 2

b) Wieviele Randbedingungen sind zur Bestimmung der allgemeinen Lösung nötig?

c) Wie lauten die Randbedingungen für das dargestellte System an den Rändern 0x und

Lx ?

Eine Lösung des Systems ergibt sich mit dem Produktansatz zu )t(y)x(W)t,x(w kkk . Hierbei

lässt sich der vom Ort abhängige Anteil )x(Wk ausdrücken als

x

csinDx

ccosC)x(W k

kk

kk , mit A

Sc

.

d) Welcher Wert ergibt sich aus den Randbedingungen für die Konstanten kC ?

kC

)x(w0 a

S x

L


e) Aus dem Superpositionsprinzip folgt, dass die Überlagerung mehrerer Lösungen der

Wellengleichung ebenfalls wieder eine Lösung darstellt. Bestimmen Sie die Eigenfrequenzen

k auf Basis der Randbedingungen.

f) Im Folgenden sollen die Eigenformen des Systems normiert werden. Hierzu findet das

Skalarprodukt kontinuierlicher Funktionen 1

0

x

xf (x)g(x)dx Verwendung, das in Analogie zum

Skalarprodukt diskreter Funktionen (Vektoren) als Summation über die Produkte unendlich

vieler Vektorkomponenten

1i iigf angesehen werden kann. Welcher Zusammenhang gilt für

das Skalarprodukt zweier Eigenformen )x(Wi und )x(Wk ?

g) Was ergibt sich in Folge der Normierung für die Koeffizienten kD in den Gleichungen der

Eigenformen?

h) Geben Sie die allgemeine Lösung in Abhängigkeit der Eigenlösungen an.

i) Geben Sie die Anfangsauslenkung )x(w0 und die Anfangsgeschwindigkeit )x(w0 für den in

der Aufgabenbeschreibung angegebenen Anfangszustand an. Die Auslenkung kann hierbei

als lineare Funktion von x approximiert werden.


j) Aufgrund des Superpositionsprinzips können die Anteile iA und

iB der einzelnen

Eigenformen )x(Wi in der Anfangsauslenkung )x(w0 und der Anfangsgeschwindigkeit )x(w0

bestimmt werden. Geben Sie die zur Berechnung nötigen Gleichungen an.

i

i

A

B

k) Wie können aus den Koeffizienten iA und

iB die Amplitude und die Phase der zugehörigen

Zeitfunktionen berechnet werden?

i0

i

y

l) Welcher Wert ergibt sich für iB und damit für i ?

ii ,B

m) Wie vereinfacht sich dadurch die Berechnung von i0y ?

i0y


n) Berechnen Sie die Koeffizienten iA allgemein in Abhängigkeit von i . Verwenden Sie hierbei

die Beziehung a

)axcos(x

a

)axsin(dx)axsin(x

2 .

Ai

o) Tragen Sie die mit 2

aL24

normierten Anteile der Eigenformen iA in das unten abgebildete

Diagramm ein.

i

Ai, norm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1


Aufgabe 3: Ein Balken ist am Punkt A gelenkig, horizontal verschiebbar gelagert und am Punkt B

in einem masselosen, vertikal verschiebbar gelagerten Klotz fest eingespannt.

a) Geben Sie die Differentialgleichung an, die die Dynamik der Balkenschwingung beschreibt.

b) Wieviele Anfangsbedingungen müssen zur Lösung des Problems vorgegeben werden?

c) Wieviele Randbedingungen sind zur Lösung des Problems erforderlich?

d) Geben Sie die benötigten Randbedingungen an.

L

A B

x

w


Aufgabe 1:

Zwei Kugeln mit Masse mI und mII stoßen mit den

Anfangsgeschwindigkeiten I

0v und

II

0v aufeinander.

a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit der Stoßzahl die Geschwindigkeiten der Kugeln nach

dem Stoß.

II

1

I

1

v

v

b) Ergänzen Sie folgende Tabelle

mII=mI,

II

0v =0

mII→,

II

0v =0

mI=mII,

II

0v =−

I

0v

mI=mII,

II

0v =−2

I

0v

elastischer

Stoß =1

I

1v

II

1v

teilelastischer

Stoß =1

I

1v

II

1v

plastischer

Stoß =0

I

1v

II

1v

Im

IIm

masselose Fäden

II

0v

I

0v


Aufgabe 2:

Eine Kugel (Masse m, Radius R ) rollt

(Schwerpunktgeschwindigkeit v0) gegen

eine Kante. Der Stoß ist zentral, glatt und

elastisch.

a) Tragen Sie in die Skizze Stoßnormale, Stoßtangente und den Kraftstoß auf die Kugel

ein.

(Hinweis: lm Aufstandspunkt A findet kein Stoß statt!)

b) Welcher kinematische Zusammenhang besteht zwischen der Normalgeschwindigkeit

des Punktes P, den Schwerpunktgeschwindigkeiten vsx, vsy und der Winkelge-

schwindigkeit ω?

pN

v

c) Tragen Sie in die folgenden Skizzen alle Geschwindigkeitsgrößen zur Beschreibung

der Kugelbewegung ein. Formulieren Sie eventuelle kinematische Größen und geben

Sie damit die Normalgeschwindigkeit des Punktes P an.

Vor dem Stoß Nach dem Stoß

I

0pNv

I

1pNv

x

y

S

A

P

0v

S

A

P

sxv

syv

S

P

S

P


d) Formulieren Sie die Impulsbilanzen für die Kugel

e) Welche zusätzliche Beziehung ergibt sich für den elastischen Stoß?

f) Welche horizontalen und vertikalen Geschwindigkeiten ergeben sich nach dem Stoß?

g) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit nach dem Stoß?

h) Unter welcher Bedingung für ψ fliegt die Kugel nach dem Stoß nach rechts weiter?

i) Welche Bedingung ergibt sich daraus für die Kantenhöhe h

R

h

j) Für welche Kantenhöhe h erreicht die Kugel bei einem an den Stoß anschließenden

Flug die größte Flughöhe H und wie groß ist die maximale Flughöhe H ?

,R

h

.

H


Aufgabe 1: Ein Billardspieler platziert die Kugel I im Abstand a von der x-Achse auf dem

Billardtisch und stößt sie mit der Geschwindigkeit I

0v in x-Richtung. Durch einen glatten Stoß

(Stoßzahl ) mit der ruhenden Kugel II soll die Kugel I so abgelenkt werden, dass sie mit dem

Winkel gegen die elastische Bande läuft, um die Kugel III zu treffen. Die Kugeln

(Durchmesser d, Masse m) bewegen sich reibungsfrei auf dem Billardtisch, die Drallanteile werden

vernachlässigt. Gesucht ist im Folgenden der Abstand a.

Lage beim Stoß:


a) Klassifizieren Sie den Stoß zwischen Kugel I und Kugel II.

☐ gerade ☐ schief ☐ zentral ☐ exzentrisch

b) Wie lauten die Impulsbilanzen für den Stoß von Kugel I und Kugel II in Normal- und

Tangentialrichtung mit den Geschwindigkeiten II,I

1,0Nv und II,I

1,0Tv ?

c) Welche Bedingung gilt für die Normalgeschwindigkeiten beim teilelastischen Stoß?

d) Welche Bedingungen gelten für die Tangentialgeschwindigkeiten der Kugel I und Kugel II vor und nach dem glatten Stoß?

e) Bestimmen Sie die Normal- und Tangentialgeschwindigkeiten von Kugel I und Kugel II vor

dem Stoß.

I

0Nv

I

0Tv

II

0Nv

II

0Tv

f) Geben Sie die Geschwindigkeiten unmittelbar nach dem Stoß an.

I

1Nv

I

1Tv

II

1Nv

II

1Tv


g) Wie lautet die Beziehung zwischen I

1Nv und I

1Tv , damit die Kugel I nach dem Stoß mit dem

Winkel gegen die Bande läuft?

I

1T

I

1N

v

v

h) Geben Sie die geometrische Beziehung zwischen dem Winkel und dem Abstand a an.

i) Bestimmen Sie den gesuchten Abstand a für einen vollelastischen Stoß ( 1 ).

a

j) Erklären Sie anschaulich unter welchem Winkel die Kugel I bei gegebenem Winkel

gegen die Bande läuft (vollelastischer Stoß).


Aufgabe 1: Der skizzierte Balken (Biegesteifigkeit EI ,

Länge ) ist am linken Ende fest eingespannt und am rechten Ende mit der Kraft belastet. Geben Sie Randbedingungen zur Bestimmung der Koeffizienten der allgemeinen Lösung der Wellengleichung an.

LF

x

w

L

F


Aufgabe 2: Die Kugel I (Masse m) trifft mit

der Geschwindigkeit I

0v auf die ruhende

dünne Klappscheibe II

(Trägheitsmoment JA, Masse M) und bleibt

darin stecken. Die Klappscheibe ist im

Punkt A drehbar gelagert. Der Auftreffpunkt

der Kugel sei P.

a) Es handelt sich um einen

teilelastischen plastischen elastischen

Stoß.

b) Geben Sie die Drallbilanz für das Gesamtsystem bezüglich des Drehpunktes A an.

c) Wie groß ist die Geschwindigkeit I

1v der Kugel sowie die Winkelgeschwindigkeit II

1 der

Klappscheibe nach dem Stoß?

II

1

I

1v

d) Berechnen Sie den Energieverlust beim Stoß.

E

Hinweis: Nehmen Sie für die weiteren Teilaufgaben an, dass sich durch die in der Klappscheibe steckende Kugel nur die Masse der Klappscheibe aber nicht die Lage des Schwerpunktes ändert.

e) Wie groß muss II

min1 mindestens sein, damit die Klappscheibe umfällt?

II

min1

f) Wie groß muss dann I

min0v mindestens sein, damit die Klappscheibe umfällt?

I

min0v

g

h

II

ωII

A

I P VI0

h L


Aufgabe 1: Für das abgebildete räumliche Fachwerk soll die Verschiebung Ru des

Knotenpunktes R mit der Methode der Finiten Elemente berechnet werden. Alle Stäbe haben die

Querschnittsfläche A und den Elastizitätsmodul E . Das Fachwerk wird durch eine windschiefe

Kraft F belastet.

Die lokale Steifigkeitsmatrix

K eines Stabelements (finites Element) bildet die

Verschiebungen P Q[u , u ] der Endpunkte P und Q (Knotenpunkte) in Stabrichtung auf die in

Stabrichtung wirkenden Kräfte ab.

a) Ergänzen Sie die lokale Steifigkeitsmatrix

K eines Stabes.

A E

L

K

BC

D

12

3

2

L

2

L

2

L

L2

3

F

1x

2x

3x

R


Sämtliche Knotenpunktsverschiebungen sollen im Weiteren in einem gemeinsamen globalen Koordinatensystem dargestellt werden. Die Verschiebungen der Knotenpunkte im globalen Koordinatensystem werden aus den Verschiebungen im lokalen Koordinatesystem unter Betrachtung von Geometriebeziehungen ermittelt.

b) Geben Sie die Richtungskosinusse der Winkel 1

, 2

und

3 in Abhängigkeit der Koordinaten der Knotenpunkte

1 2 3p P P P[x , x , x ]x und 1 2 3Q Q Q Q[x , x , x ]x sowie der Länge

des Stabes L an.

11 1c cos( )

, 21 2c cos( )

31 3c cos( )

c) Bestimmen Sie die Längen der Stäbe des Fachwerks.

1L

, 2L

, 3L

d) Geben Sie die Richtungskosinusse für die drei Stäbe an.

Stab 1:

11c ,

21c ,

31c

Stab 2:

11c ,

21c ,

31c

Stab 3:

11c ,

21c ,

31c

Die Steifigkeitsmatrix in globalen Koordinaten bildet die Verschiebungen in globalen Koordinaten

1 2 3 1 2 3P P P Q Q Q[u ,u ,u ,u ,u ,u ] w auf die an den Stabenden angreifenden Kräfte ab. Sie wird unter

Verwendung der Richtungskosinusse aus der Steifigkeitsmatrix in lokalen Koordinaten gewonnen und stellt sich wie folgt dar:

sub sub

sub sub

K KK

K K.

1x

2x

3x

1

2

3

L

Q

P


e) Geben Sie die Submatrix sub K allgemein in Abhängigkeit der Richtungskosinusse 11c ,

21c und 31c an.

sub

A E

L

K

f) Ergänzen Sie die Submatrizen sub 1K , sub 2K und sub 3K der drei Stäbe des Fachwerks.

sub 1 sub 2

sub 3

,

K K

K

,

Das Ziel des Verfahrens ist, eine globale Steifigkeitsmatrix K zu erhalten, die die Verschiebungen der freien Knoten y auf die daran angreifenden Kräfte q abbildet. Als freie

Knoten werden dabei diejenigen Knoten bezeichnet, deren Lage nicht durch Randbedingungen wie Lager vollständig festgelegt ist. g) Wie lautet der Vektor der Verschiebungen der freien Knoten y für das Fachwerk?

y

Die Verteilungsmatrizen C entsprechen Abbildungen des

Vektors der Verschiebungen der freien Knoten y auf die

Verschiebungen der Stabknoten w .

h) Ergänzen Sie in der rechts abgebildeten Gleichung die

Verteilungsmatrix für den Stab 1.

1

2

3

1

2

3

P

P

P

1

Q

Q

Q

u

u

u

u

u

u

w y

C


i) Wie setzt sich die globale Steifigkeitsmatrix zusammen?

K

j) Geben Sie die globale Steifigkeitsmatrix des Tragwerks an.

K

k) Wie lautet der Vektor der verallgemeinerten Kräfte q ?

q

l) Wie erhält man den Verschiebungsvektor y aus den Kräften q ? Ergänzen Sie die

resultierende Gleichung.

y

R1 1

R 2 2

R3 3

u FL

u FAE

u F

m) Skizzieren Sie qualitativ das deformierte Fachwerk für 0FF 32 .

1x

2x

3x


Aufgabe 2: Das skizzierte Fachwerk wird durch

die Kraft F im Knoten D belastet. Die Verformung des Fachwerks soll mit der Methode der Finiten Elemente untersucht werden. Die Stäbe 2, 3 und 4 des Fachwerks haben den gleichen Elastizitäts-

modul E und die gleiche Querschnittsfläche A .

Stab 1 hat den Elastizitätsmodul E und die Quer-

schnittsfläche A3 .

a) Wie groß ist die Zahl der Freiheitsgrade des

Fachwerks?

f

b) Welcher Vektor y beschreibt die freien Knotenpunkts-

verschiebungen des Fachwerks?

B1 B2 D1 D2[u u u u ]y

A1 B2 C1 D1[u u u u ]y

B1 B2 D1[u u u ]y

B1 D1 D2[u u u ]y

c) Geben Sie für die drei Stäbe jeweils Länge sowie Richtungskosinusse an.

Stab 1:

1L ,

11c ,

21c

Stab 2:

2L ,

11c ,

21c

Stab 3:

3L ,

11c ,

21c

Stab 4:

4L ,

11c ,

21c

d) Vervollständigen Sie die Submatrizen sub K der Stäbe des Fachwerks.

sub 1 sub 2

sub 3 sub 4

,

,

K K

K K

,

L

L

L L2

1

2

A

B C

D

F


e) Ergänzen Sie die Verteilungsmatrizen C .

1 2

3 4

,

,

C C

C C

f) Bestimmen Sie die globalen Elementsteifigkeitsmatrizen.

T T

1 1 1 2 2 2

T T

3 3 3 4 4 4

,

,

C K C C K C

C K C C K C

g) Bestimmen Sie die globale Steifigkeitsmatrix.

K

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