Integralrelationen Mathieuscher Funktionen

GERHAgD WOLF

Vorgelegt yon J. MEIXNER

0. Einhitung

Bei der Entwicklung ebener Wellen e ~kr162176 - Koordinaten

h : = k--~c; x I _ i x 2 = C . cosh(z___ it); c~O

oder auf elliptische

t r a n s f o r m i e r t : e 2 i h ( c ~ 1 7 6 1 7 6 - - treten Integralrelationen zwischen Mathieuschen Funktionen mit obigen Funktionen als Kern auf, die sich teilweise bei MCLACHLAN [3], CAm'nELL [1] and MEIXNER &SCH~,FI~[4] finden. Wir werden die bekannten Relationen im ersten Abschnitt so verallgemeinern, dab sich alle oben genannten daraus ergeben, sowie dann im zweiten Abschnitt durch einfache ~berlegungen unter anderen diejenigen reellen Integrale von SIPs [6] er- halten, die den Integralen von Weber-Schafheitlin fiir Bessel-Funktionen ent- sprechen. Die Herleitung der Formel wird fiir beliebige komplexe Parameter auf funktionentheoretischer Grundlage gegeben, so dab die reellen Integrale als Grenz- f~lle im grfl3eren Zusammenhang gesehen werden kSnnen. In den Bezeichnungen der Mathieuschen Funktionen schlieBen wir bei MEIXNL~ & SCrI~KE [4] an.

1. Eine allgemeine Integralrelation

Aufgrund des asymptotischen Verhaltens der L6sungen der Mathieuschen Differentialgleichung ([4], 2.42) sind die Integrale ffir h e C-{0}

(1.1)

mit

1 S e2iaw(z'"~)Y,(t) dt (p=3, 4) 7~ ~p

w (z, t, a): = cosh z cos t cos ~ + sinh z sin t sina,

einer L6sung y, der Mathieuschen Differentialgleichung zu den Parameter- werten (A, (h2), h 2) und den Wegen

Ea :von -- ~ + ioo nach ~/- ioo

E,: von r/--ioo nach 2 n - ~ + i o o (~, n ~ )

Mathieusche Funktionen 135

ffir z ~ (br (ct)n 15, (-- 0~) (~ir (g): = {z] -- ~ < arg [h(cosh (z + i0~)_+ 1)] < Ir - ~}) konver- gent und gem~il3 eines Satzes fiber Integralrelationen ([4], S. 33) holomorphe L6sungen der modifizierten Mathieuschen Differentialgleichung (zu 2,(h2), h2). Entsprechendes gilt ffir das Integral

(1.2) 1=.~ e2ih~,=,,.=)y,(t)dt

in(5~(=) mit if,: Yon - -{+ i r a naeh 2 z - { + i m .

Urn festzustellen, um welehe L6sungen der modifizierten Mathieuscben Dif- ferentialgleiehung es sich handelt, bezeichnen wir zun~chst mit I ~ ) (z; =) Co = 1 ; 3, 4) die aus den Integralen (1.2) und (1.1) dureh die analytische Fortsetzung ffir ver- sehieden r t/hervorgehenden ganzen Funktionen. Man bat

(1.3) t(x) = ~ it(a) 4- t(4)~

Ffir y~ = me~ (= Floquetsehe L6sung zum charakteristisehen Exponenten v) veri- fiziert man aus den Beziehungen

w(z, t, ~)=w(i~, t, -- iz)

z e(5~(~) ~--~ i ~ ( 5 ~ ( - i z),

sowie mit Hilfe des Identit~itssatzes fiir holomorphe Funktionen

/Ca)m~,(z., ct)=l~)~(i~; - i z ) (1.4)

und aus w ( z + iz , t, ~) = w(z, t - z , ~)

z + i z~ (5~(ct) ~-'~ z ~ (~(~+,)(~)

entsprechend (Substitution t ~ t + ~z im Integral)

(1.5) I~2v (z + i z; ~) = e'"" I~2v (z; ~).

Der Vergleich mit dem Fundamentalsystem M~ a), M~ 2) (vgl. [4]) der modifizierten Mathieusehen Differentialgleichung ergibt

I (1) (z" ~)=C,(~) . m~X)(z) mevx.

und zusammen mit (1.4) und me,(~)=konst. M~l)(i~)

(1.6) I ~ ), (z; ct) = c, me, (~) M~ a) (z).

Wie bei (1.5) fiihren Transformationen in den Integralen (I.1) ( t - - , - t bzw. t ~ 2 z - t ) sowie Vertauschung von ~ und q ffir v r 7. zu

(1.7) (3) (3) I . . . . (z; ~)=I., .v(z; - ~ )

(1.8) It4)me-v,t Z', O~)=e- 2"l" I(m4)c.(Z ; --~).

136 G. WOLF:

Mit (1.3), (1.7), (1.8) errechnet man der Reihe nach

c _~ me, (~) M ~ (z) = �89 ( I ~ (z; a)+e" - - 2 g iv lmev tZ ; - ( 4 ) / (~))

I ~3) (z" e )=me, (e ) {c_~e M _ , ( z ) - c ~ e m~, , i sin(,re)

(1.9) _ e, V -g- ~ . l (4) (-" ~) =me,(~) {c_, e i" -mev ~,~' i ~ ) ~- M ~ (z) - c, e" - r M~I) (z)}.

Die Konstante c~ kann fiir ~ = ~ = ~ = 0 und ze(5o(0 ) aus

1 - - i o 0 I ~ , ( z ; 0)= I e:ihr176162176 me~(t) d t

ioo

durch Einsetzen der Fourier-Reihe

m e , ( 0 = e " ~ c2~ e 2~"t n = - r

und Vertauschen yon Summation und Integration nach dem Konvergenzsatz yon Lebesgue bestimmt werden. Man notiert:

�9 ~ ~ eie~162176 i(m3)ev( Z ; 0 ) = et,-- ~- C2n" (--1)"-iool "

= e " - - f c ; , ( _ l ) ~ H ~ 2 n ( 2 h c o s h z ) n ~ - o 9

= e " T m e , ( O ) M ~ 3 ) ( z ) .

Die letzten Gleichungen erh~ilt man aus der Sommeffeldschen Integraldar- stellung der ersten Hankelfunktion sowie aus [4] (S. 178 (13)). Das liefert mit (1.9) und

M~3) = 1 ( M O) ~ - i v n ~(1)x (V ~ (12 - - TZ,) isin(vz) " " - - ' - ~ ~"~ )

C = e ~ ' Y

und damit

I ~ v (z ; e) = me, (e) (e'" T M~a)(z)) (1.1o)

l(4)me~ ,(Z', ~) = me, (~ + re) (e -'~ - r M~4)(z)). Wegen

1 (3) (2" 00=I(m3)v(z; " - ~ - (3) - e) = me_, (e) (e M , (z)) me-v",. ,

haben wir ffir jede L6sung y, der Mathieuschen Differentialgleichung die Re- lationen

(3) , . ( e " T M ~ a ) ( z ) ) I,~ (~, ~) = y, (or) (1.11)

1 (4) (z" e / = y~ (e + r0 (e- '" ~- M(~ ") (z)) Yv \

Mathieusche Funktionen 137

zun~ichst nur ffir v e C - Z , aber nach Grenzfibergang v ~ n e Z dann ffir alle w (vgl. den Spezialfall in [4], S. 184 ff.). Differenziert man (1.11) noch nach ~, so entsteht for z efi~ (~) r~tS~ ( - ~)

l ~ 2 i h Ow 2ihW y~dt=y,v(a)e , V2M~3)(z)

(1.12) 1S 2ih Ow 2law . ,- 7z)e-iV~-M~4)(z). ~z~ ~ - ~ e y v a t = y v ( a +

Mit (1.3) gewinnen wir aus (1.11)

(1.13) I 0) ~z" a) = e 'v -Y Yv (a) M~ I) (z) + l (yv (a + ~) e-iV ~ _ Yv (a)) e 'v -Y M~ 4) (z) Yv \

und ffir ze(~(a) aus (I.12)

1 . O w 2 i h w i v y - , - ~ S 2 i h ~ - a e y ~ d t = e yv(a)M~l)(z)

(1.14) 1 t + z (Yv (~ + ~) e-iV" _ y, (a)) e *v -T M~4)(z).

2. Folgerungen und Spezialisierungen

Zun~chst k6nnen genau wie in [4], 268 die bekannten Integralrelationen ffir die Floquetschen L6sungen ganzer Indizes gefolgert werden.

Weiter erh/ilt man ffir ~ = q = e = 2 in (5o(0) aus (1.11) und (1.12) dutch ein- fache Rechnung (t = - iz)

co 7t

(2.1) S e2ihcosh . . . . h~Cev(z)dz 7[i i = ~ - e v-r cedO) M~a) (z) 0

oo ~z ei V 2 se, v (0) M~ 3) (z) (2.2) S e 2 ih eosh . . . . h* sinh z sinhz Se,(z) dz = - ~ - 0

[In (2.2) mug im Falle ganzer Indizes M_~ a) durch M(_a~ ) ersetzt werden (vgl. [4], S. 116 (30) (31)).]

Ffir h > 0 wird ~bo(O)={z lRez>O, 0 < I m z < n } . Aus der Konvergenz der Integrale bei ganzen Indizes ffir z > 0 (Ira z = 0) bzw. 0 < I m z < n (Re z = 0) - das folgt aus dem asymptotischen Verhalten der Funkt ionen ffir h > 0 und z ~ oo (u: = 2 h cosh z)

Cezn(z)=c2.u-'} COS ( U - - 4 ) WO(u-k )

Ce2n+l(z)=c2n+lu-~cos u+--4- q'O(u -~) (2.3)

(.-�88

138 G. WoLF:

ergibt sich deren gleichm~iBige Konvergenz (in entsprechenden Winkelr~,umen bez. u) nach einem Satz fiber Laplace-Transformationen ([2], S. 35) und damit die Gfiltigkeit von (2.1) in

Oo (o)." = {zl Rez >0, 0 < I m z < x }

bzw. yon (2.2) i n ~ \ { 0 } *. Wir notieren einige reelle Spezialfalle nach Trennung yon Real- und Imagingrteil unter Benutzung einiger Formeln aus [4], 2.75 ffir z = i y :

oo

cos(2 h cosy cosh z) Ce 2 n(Z) dz o

- 2 (-1)nMc(2)(O)ce2n(Y); yelP.;

oo

sin (2 h cos y cosh z) Ce 2. ('r) d z o

( [ 2 m ~ , ( 2 m + l ) ~ ] m e Z

(2.4)

o o

j" cos(2 h cosy cosh z) Ce 2.+ x (z) dz o

- - - - - c e 2 n + l ( y ) T - - f e 2 n + x ( y ) ; , ( ~ ) ~C2.+~

2ce2.+ x -~

( [ 2 m ~ , ( 2 m + 1)~] y e ~E(2 m + 1) x, (2 m +2) ~],

m e Z

mit

oo

sin(2 h cosy cosh z) Ce 2 .+ 1 (z) dz o

_ 7C / l ~ n L q ~ ( 2 ) - - ~ - ~ - . . . . . 2.+ 1 (0) ce2.+ 1 (y); y e R ;

2 ~ - 2 . . _ 1 ' -~1a2"+1 =--~!ce2.+l(t) c~ A o .--~JoCe2.(t)dt und -"

S cos(2 h cosy cosh z) siny sinhz Se2 n+ 1 (Z) dz o

I/: n ( 2 ) t = - 4h ( - 1) Ms2n+l(O) se2n+l(y); yelR;

* Die Integrale (2.1) s ind in (~o(0) sogar absolut gleichm~igig konvergent .

Mathieusche Funktionen 139

(2.5)

mit

und

oo

S sin (2 h cos y cosh z) sin y sinh z Se 2. + 1 (z) d z

7~ �9 B 2 n + l

se2 n + 1 (Y) -T- )" 2 )

xS2n+l ge2n+l(Y)) ;

f(2mTr, (2m + 1)re) Y e ~.((2 m + 1) rr, (2 m + 2) n),

co

cos (2 h cos y cosh z) sin y sinh z Se 2. + 2 (z) d z o

= s e 2 n + 2 ( y ) - T - - - ge2n+2(y ) ;

4Se2n+2

f(2 m,~, (2 m + 1) ~) re ~.((2m+ 1)~, (2 m + 2),0,

co

I sin (2 h cos y cosh z) sin y sinh z Se 2 . + 1 (z) d z o

= ~(-1)"Mst222.~2(O)se2,+t(y); yeP,;

7t

R 2n+1 = ~ - ! ~ 1 : se2.+l(t)sintdt

B2n+2: 2 n = - ~ ' ! se2 n + 2 (t) sin (2 t) d t.

m ~ Z

m ~ Z

Dies sind ein Teil der Integrale von SIPS [6]. Mi t dem Hinweis auf [3], Kap . X verzichten wir auf eine Not ie rung der Integrale fiir z > 0 bzw. z > 0.

Auf gleiche Weise erhalten wir Integralrelat ionen mit den Zweit l6sungen bei ganzen Indizes (~ = r /= g = 0) in ffi o (0)

(2.6)

co 7t e 2 ih r r sinh z sinhz Fe,. (z) dz = - 4 - h - i" fe~,(O) M~)(z)

o

i 2iheoshzeosh . . . . . ~ .m+lg m(O) _m(Z) . e t.Jemt.z)az=-~- l e M (3)

Auch bier k6nnen wieder wie bei der Herlei tung von (2.4) und (2.5) eine Reihe reeller Integrale aufgeschrieben werden, die anscheinend unbekann t sind, wie z.B.

co

S cos (2 h cosh z cosh z) sinh z sinh z Fe2, (z) d z = o 4hAg" Ce2.(z).

140 G. WoLr:

Zum Schlul3 seien noch einige Relationen als Folgerungen aus (1.13) und (1.14) notiert, die sich teilweise bei Sips [6] finden, der diese aus bekannten Integral- relationen mittels Fourier transformation mfihsam gewinnt. (1.14) ergibt fiir ~ = cr = 0 und Yv = fern (m ~ IN ~) {0}) wegen

f e ~ ( O ) - - - - ( - - 1 ) m f e ~ ( ~ )

(2.7) i h S e2'h coshz cost sinh z sin t fern (t) d t = i" re" (0) M~) (z).

Ffir m=2n (nE]Nu{0)) kann weiter ausgewertet werden nach Zerlegung des Inte- grationsweges und nach Parametertransformationen, Die elementare Rechnung liefert mit Benutzung der Formeln aus [4], 2.7 ffir z~tbo (0)

(2.8)

~/2 ( 2 f e 2 . ( t ) ) d t ~ sin (2 h cosh z cos t) sinh z sin t ce2. (t) - ~ 0

- i ~ cos (2 h cosh z cos t) sinh z sin t ce2. (t) d t 0

- i ol e2 i h ~o~ z ~o~ht sinh z sinh t Ce 2. (t) d t -- 2 hA~ ~ Ce2.(z)

und ffir m = 2 n + 1

(2.9)

~/2 ( 2 fe2.+l ( t ) ) d t ~ cos (2 h cosh z cos t) sinh z sin t c%. + 1 ( t ) - rcC2. + 1 0

- i I sin(2 h cosh z cos t) sinh z sin t ce2. + 1 (t) d t 0

+ o Ie2ih~~162176 4h2A~ "+1 Ce2. + 1 (z).

Die entsprechende Oberlegung mit (1.13) und Yv = gem ergibt:

(2.1o)

~/2 ( 2 ge2.+ 1 ( t ) ) d t i ~ sin(2hcoshzcost) se2.+l( t ) 7rS2.+~ 0

n/2

+ ~ cos(2hcoshzcost)se2~+l(t)dt 0

oo

2 i h c o s h z c o s h t ~ / - ~ ~ - + j e ~e2n+lu)ar 0

= ( - 1 y hB~.+~ Se2.+~(z)

Mathieusche Funktionen 141

und

(2.11)

hi2 ( 2 ) cos(2hcoshzcost) se2n+2(t ) g e 2 n + 2 ( t ) d t

0 7~2n+2 n/2

+ i ~ sin(2hcoshzcost)se2n+ 2(t)dt 0

oD

+ ~ e 2 i h coshz eosht Se 2 n+ 2 ( t ) d t 0

Se2n+2

= ( - - l)n 2 2n+2 Se2n+2(2) h B 2

(gfiltig jeweils f~r ne Nu{0) und zel5 o (0)).

Genau wie bei der Herleitung von (2.4) und (2.5) k6nnen ffir h > 0 wegen der Konvergenz der Integrale ffir reelle Parameter z (bzw. rein imaginfire z) durch Trennung yon Real- und Imaginfirteil 16 neue Relationen gewonnen werden, welche zusammen mit (2.4) und (2.5) den Gleichungen von Weber-Schafheitlin fiir Besselfunktionen entsprechen (vgl. SIPs [6]). Wir notieren hier nur die vier aus (2.8) folgenden Integrale:

./2 ( 2 f e2 . ( t ) )d t S sin (2 h cosh z cos t) sinh z sin t ce 2 n ( t ) - - 0

oo + S sin (2 h cosh z cosh t) sinh z sinh t Ce 2 ~ (t) d t

0

ce2.( ) = • 2hAo~ Ce2~(z); z<>0;

I cos (2 h cosh z cosh t) sinh z sin t ce2. (t) d t 0

+ I cos (2 h cosh z cosh t) sinh z sinh t Ce2 ~ (t) d t -- o 0

I cos (2 h cos y cos t) sin y sin tce 2 n (t) d t 0

oo + I cos (2 h cos y cosh t) sin y sinh t Ce2, (0 d t

0

2hA~ ~ ce~(y); yE(0,~);

"/~ ( 2 ) I sin(2hcosycost)sinysint ce2~(t)---~-~-2 fe2~(t ) dt 0

+ I sin (2 h cos y cosh t) sin y sinh t Ce 2 ~ (t) d t - - 0; 0

(z,0);

ys(O, tO.

142 G. WoLf: Mathieusche Funktionen

Literatur

1. CAMPBELL, R., Th6orie g6n6rale de l'Equation de Mathieu. Paris 1955. 2. DoE'rscn, G., Handbuch der Laplace-Transformation. Bd. 1. Basel 1950. 3. McLACHLAN, N. W., Theory and Application of Mathieu Functions. New York: Dover Publ.

1964. 4. MFaXN~R, J., & F. W. SCH~;.VKE, Mathieusche Funktionen und Sph~iroidfunktionen. Berlin-

G6ttingen-Heidelberg: Springer 1954. 5. Scrff, Fr~, F. W., Einffihrung in die Theorie der speziellen Funktionen der Math. Physik.

Berlin-G6ttingen-Heidelberg: Springer 1963. 6. SIPs, R., Quelques int6grales d6finies discontinues contenant des fonctions de Mathieu. Acad.

roy. Belgique; Bull. C1. Sci. V. Ser. 56, 475--491 (1970). 7. WATSON, G. N., Theory of Bessel Functions. Cambridge 1962.

II. Math. Institut der Freien Universifiit Berlin 1 Berlin 33

K~Snigin-Luise-Str. 24-- 26

( Eingegangen am 5. Oktober 1971 )