Integraltafel - Springer978-3-322-91897-0/1.pdf · 433 Anhang Teil A Integraltafel Diese...

433

Anhang Teil A

Integraltafel

Diese Integraltafel enthält über 400 ausgewählte in den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen besonders häufig auftretende unbestimmte Integrale. Die Integrationskonstante wurde dabei aus Platzgründen stets weggelassen.

Übersicht

1 Integrale mit ax + b ..... . ........... . ...... . ........ . . .... .. . .. . .. . 434

2 Integrale mit ax + bund px + q ... . .. . . . . .. . . .. ........ . .. . . ... ... . 435 3 Integrale mit a 2 + X 2 ..........•.....•. . ...... . .....• . . .•. ..•. ... .. . 436 4 Integrale mit a 2 - X 2 ............................. • . . ............... 437

5 Integrale mit ax 2 + bx + c .. . . . ... . . . ..... .... . . .. ....... .. . . ..... . . 439

6 Integrale mit a 3 ± x 3 ......... .. . . ... . ........ . .. . ................ . . 441

7 Integrale mit a 4 + x 4 .... . ....... .. ........... . .. .. ............... .. 441

8 Integrale mit a 4 - x 4 ....................... . .......... . ...... .. .. . . 441

9 Integrale mit vax + b . ... ........ .... .. . .... . .. .... . ........ . ..... .. 442

10 Integrale mit vax + bund px + q .. .. .. . .. ... ..... . .... .. .. . .. .. .... 443

11 Integrale mit va x + bund Vp x + q . .. .. . . . . . . .. . .. . .. . . ... . .... . . .. 444 12 Integrale mit va 2 + X 2 • . . . • • . • . • • . . • . • . . . . . . . • • . . • . • • . • . . • . . . . • . . . .. 445

13 Integrale mit Va 2 - X 2 ...•.••.••..••.•............•.....•.••....•.. 446 14 Integrale mit J x 2 - a 2 • . • . . • • . • . . • . . • . . . . . . • . . • . . • . • • . . . . . . . . . . • . . .. 448 15 Integrale mit vax 2 + bx + c .. . .......... . . . ........................ 450 16 Integrale mit sin (ax) . . .. . . .......... . ...... . ..... ..... .............. 452 17 Integrale mit cos (a x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 454

18 Integrale mit sin (a x) und cos (a x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 19 Integrale mit tan (a x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 459

20 Integrale mit cot (ax) ..... . .......... . .. . .. . .. . . . . . .................. 460

21 Integrale mit einer Arkusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

22 Integrale mit e ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

23 Integrale mit In x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 463

24 Integrale mit sinh (a x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 464

25 Integrale mit cosh (a x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 465

26 Integrale mit sinh (a x) und cosh (a x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 467

27 Integrale mit tanh (ax) ............................................... 467

28 Integrale mit coth (a x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 29 Integrale mit einer Areafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

434 Integraltafel

1 Integrale mit a.r + b (a # 0)

( I) J (ax + b)"dX = (ax + b)"+1

(11 # - I) (11 + I) a

Fall 11 = - I: siehe Integral (2)

(2) f dx I -- = - - In I a x + b l ax + b a

(3) f x (ax + b)" dx = (ax+ b)"+2

-b (ax + b) "+ 1

(11 #- 1,- 2) (11 + 2) a 2 (11 + I ) a 2

Fall 11 = - I, - 2: siehe Integral (4) bzw. (5)

(4) f xdx x b -- = - - -:; . In lax + b l ax + b a a -

(5) = + _ . In ax + b J x ci x b I (ax + b)2 a 2(ax + b) a 2 I I

(6) f xci x I b - - + (ax + b)" - (11 - 2) 1I 2(ax + b) II - 2 (TI - 1) 1I 2(ax + b) "- 1

(11 # I , 2)

I Fall 11 = I. 2: siehe Integral (4) bzw. (5)

f x 2(ax + b)" clx = (ax + b)"+3 2b (ax + b)" +2 b 2(ax + b)" J

(7) (11 + 3) a 3 - + (11 # - I, - 2, - 3)

(11 + 2) a 3 (11 + I) a 3

Fall 11 = - I. - 2, - 3: siehe Integral (8), (9) bzw. ( 10) I

(8) f x 2c1 x = (ax + b)2 2b (ax + b) b 2 I b l ! - + _. In ax + ax + b 2a 3 a 3 a 3

(9) f x 2dx ax + b b 2 2b - --- - - - . In 1I ~ + b

(a x + b)2 - a 3 a 3 (ax + b) a 3 I , I

( 10) f x 2 c1x 2b b 2 I = - + _ . In lax + b l (ax + b)3 a 3(ax + b) 2a 3(ax + b)2 a 3

I I x 2 dx I 2b b 2

= - + -f (ax + b)"

I (11 # I. 2. 3). Fall /1 = I, 2. 3: siehe Integral (8), (9) bzw. ( 10)

f cl x = _ ~ . In I a x + b l ( 12 ) x (ax + b) b x

( 13 ) f clx _ I I In lax + b l x (ax + b)2 - b (ax + b) - b 2 . - x-

f clx a 2x 2 2ax I l ax + b l ( 14 ) x (ax + b)3 = 2b 3(ax + b)2 - b 3(ax + b) - b 3 . In -.,-. -

Integraltafel 435

J d x _ _ a __ 1_ + 2 a . In I a x + bl ( 16) x 2(ax + b)2 - b 2(ax + b) b 2x b 3 X

( 17) J dx =_(ax + b) 2 + 2a(ax + b)_ a 2 . ln lax + bl x 3 (ax+b) 2b 3 x 2 b 3 x b 3 X

xlll +l (ax + b)" Ilb J -----''---.,..:- + . xlll (ax + b)n- I dx m + n + 1 m + n + 1

(111 + Il ~ - I )

( 19) J xlll(ax + b)" dx = xlll(ax + b)"+1

(m + Tl + I)a - . xlll - I(ax + b)"dx (m + Tl ~- I ) mb J

(11/ + 11 + I)a

x ax m Il 111 ( b)"+lt m+l( + b)"+1 + + 2 J - + . x ax + cx (11 + I) b (Il + I) b

(11 ~ - I)

Falls 11 E N *: Der Tenn (ax + b)" wird nach dem Billomischell Lehrsatz CI.2.7) entwickelt, mit x'" mu ltip liziert und anschließend gliedweise integriert.

2 Integrale mit ax + bund px + q

Abkürzung: 1!1 = bp - aq I Hinweis : Es wird stets t. ~ 0 vorausgesetzt. Für t. = 0 i t px + q = !!... (ax + b).

Die Integrale ent prechen dann dem Integraltyp au Ab chnitt I. b

(20) -- dx =-+- ·Inlpx + ql Jax+b ax px + q p p 2

(21 ) J dx I I lpx+ql (ax + b) (px + q) = _. n ax + b

(22) J dx - ~ [_I - + !!....lnlpx + qIJ (ax + b)2(px + q) - ax + b t. ax + b

(ax + b)1II (px + q)" - 1 (11 ~ I ) ~ +(III + Il - 2)a.J dx J

Fall 11 = 1: siehe Integ_r_al_C_2_4) ______________________ ---'

436 Integraltafel

(24) J (ax + b)'" (ax + b) '" J (ax + b)", - I d x (11/ =/: 0) d x = + _.

fJX + q IIlp P px + q

Fall 111 = 0: siehe Integral (2)

(25) J (ax + b)'" I [ (ax + b)'" ( P x + q)" d x = - (1/ _ I) p ( p x + q)" - 1

- II/a . f (ax + b)"' - I ] d x . ( pX + q),, - 1 (11 =/: I)

Fall 11 = I : ·iehe Integml (24)

(26) f xdx I [b q ] ( )( )=- -· In la x+ b l--· ln lpx + q l . ax + b px + q a p

(27) J xdx I (ax + b)2( px + q) =-

- +-· n --[ 11 q I la xr b lJ a (ax + 11) px + q

(28) J x 2 d x b 2 I [q 2 b (bp - 2aq) J = + - -. In p x + (/ + . In a x + b (ax + b)2( px + q) a 2 ß (ax+ b) 2 p I I a 2 I I

3 Integrale mit a2 + x 2 (a > 0)

(29) = _. arctan -J dx I ( X) a 2 + x 2 a a

(30) J d x X I C) = + - . arctan -(a 2 + x 2)2 2a 2 (a 2 + x 2 ) 2a J a

(31 ) - +. J dx X 21/ - 3 J d x (a 2 +x 2)" - 2 (11 - l ) a 2 (a 2 + x 2) ,, - I) 2 (11 - l )a 2 (a 2 + X2),, - 1

(11 =/: I)

Fall 11 = I: siehe Integral (29)

(32) J x dx I 1 2 2 1 = "2 . In (a - + x )

a + x-

(33) J x dx I (a 2 + x 2)2 = - 2 (a l + x 2)

(34) J x cl x I (a l + x 2)" = - 2 (11 - I) (a 2 + x 2),,-1 (11 =/: I)

Fall 11 = I : siehe Integral (32)

(35) J xl dx C) 2 2 = X - a . arctan -a + x a

(36) J x 2 dx x I (X) = - + - . arctan -(a 2 + x 2)2 2 (a 2 +x 2 ) 2a a

Integraltafel

J x 2 dx X I (37 ) (a 2 + x 2) " = - 2 (1l _ I ) (x 2 + (1 2) "- 1 + 2 (1l _ I) J <Ix

(a 2 + x 2 ) ,, - 1

'-------v------

Fall 11 = I : siehe Integral (35) Integral (31)

(38)

(39)

(40) = - _1- _ ~ . arctan (~I') a 2 x a J L<

(41) J <Ix = __ 1_ _ x __ 3_ . arctan ( .:.) x 2 (a 2 + x 2 )2 (l4 X 2a 4 (a 2 + x 2 ) 2(15 a

J dx I (44) ( px + q) (a 2 + x 2) = a 2p 2 + q 2 - . In + - . arctan -[ p ( (PX + Q)2) q (X)]

2 a 2 + x 2 a a

(Il ;/; I )

(45) J x dx , = I [q. In ( a 2 + x 2 ) + 2ap . arctan ( .:.)]

( px + q) (a - + x 2 ) 2 (a 2 p 2 + ( 2) (px + q)2 a

4 Integrale mit a 2 - X 2 (a > 0)

In l a + XI Hinweis: Die in den nachfolgenden Integralformeln auftretende logarithmische Funktion kann auch wie fo lgt durch Areajr.lllktiol1el1 ersetzt werden : {/ - x

{ (" H ) Cl lxi In --' = 2 . artanh - für < a

l a + XI a - X a In -- =

a - x C + a) C) In -- = 2· arcoth - für lxi > (/ x - a a

{ ' Cl lxi - . artanh - für < a

(46) J <I x = ~' ln l a + x l a a

a 2 -x l 2a a - x ~ . arcoth ( .:. ) für lxi > a {( a

J dx (47 ) (a 2 _ x 2 )2 x I l a + xI = +- · In --

2a 2 (a 2 - x 2) 4a3 a - x

437

438 Integraltafel

(48) J dx x 2n - 3 J dx (a2 - x 2)n = 2(n - 1) a 2 (a 2 - x 2)n-l + 2(n - l)a 2 0 (a2 _ x 2)n-l (n i= 1)

Fall n = 1: siehe Integral (46)

(49) = - - 0 In I a - x I J x dx 1 2 2

a 2 - x 2 2

(50) J xdx 1 (a 2 - x 2)2 - 2(a 2 - x 2)

(51 ) J xdx I (a 2 - x 2)n - 2(n - 1) (a 2 - x 2)n-1

(n i= 1)


(52) J x 2 dx = -x + !!.. 0 In 1 a + xI a 2 - x 2 2 , a - x

(53) J x 2 dx - x _~olnla+xl (a 2 -x2)2-2(a 2 -x2) 4a a-x

(54) J x 2 dx x 1 J dx (a 2 - x 2 )" = 2(n - 1) (a 2 - x 2)n-l - 2(n - 1) 0 (a 2 _ x2)n-1 (n i= 1)

'"---v-" Fall n = 1: siehe Integral (52) Integral (48)

(55) J dx 1 la 2 - x21 x(a2_x2)=-2a2oln x 2

(56) J dx 1 1 la 2 - x21

x(a2 - x2)2 = 2a 2 (a 2 _ x 2) - 2a 4 0 In x 2

(57) - --+-oln--J dx 1 1 1 a + xI x 2 (a 2 - x 2 ) - a 2x 2a 3 a - x

(58) J dx 1 x 3 1 a + xI x 2 (a 2 - x 2)2 = - a 4x + 2a4(a2 - x 2 ) + 4as oln a - x

(59) J x m dx J x m- 2 dx J x m- 2 dx (a2 _ x2)n = a 2

0 (a 2 _ x 2)" - (a 2 _ x 2 )n-l

(60) J dx 1 J dx 1 J dx xm(a2 - x2)n = a2 0 x m (a 2 _ x 2)n-l + a 2 0 x m - 2 (a 2 _ x 2)n

(61 ) J dx 1 (px + q) (a 2 - x 2 ) - a 2p 2 _ q2

[~olnl(PX + q)21_!L olnl~l] 2 a 2 - x 2 2a a - x

(62) J x dx 1 [ I a 2 - x 2 I 1 a + x I] = q 0 In + apo In --(px + q) (a 2 - x 2) 2(a 2 p 2 - q2) (px + q)2 a - x

Integraltafel 439

5 Integrale mit ')

+ bx + (a =1= 0) ax- c

Abkürzung: I f). = 4ac - b 2 1 b 2

Hinweis: Es wird stets 6. ::I 0 vorausgesetzt. Für 6. = 0 i t ax 2 + bx + c = a (x + 2) _ Die Lntegrale entsprechen dann dem Lntegraltyp aus Ab chnitt I_ a

{ 2 Cax + b) für 6. > 0 IX -Mctan IX J dx (63)

ax 2 + bx + c = I I 2ax + b - /IKi /IKi - n I2ax + b +/lKi1

für < 0

(64) J dx 2ax + b 2a J dx (ax 2 + bx + c)2 = 6. (ax 2 + bx + c) + - - ax 2 + bx + c

, , " Integral (63)

(65 ) J dx 2ax + b 2 (211-3 ) a J dx (ax 2 +bx+c)"=(II-I)6.(ax 2 +bx+c)"-I+ (11-1 ) 6. - (ax 2 + bx +c),, - 1

(11 ::1 I)


(66) J xdx I 2 b = --Inlax + bx +cl- --ax 2 + bx + c 2a 2a

J dx ax 2 + bx + c

, , " Integral (63)

(67) J xdx bx + 2c b J dx (ax 2 + bx + c)2 = - 6. (ax 2 + bx + c) - Li - ax 2 + bx + c

, ,

Integral (63)

(68) J xdx bx + 2c (2T1 - 3) b J dx (ax 2 + bx +c)" = - (TI - I) 6. (ax 2 +bx+c),, - 1 - (TI - I) 6. - (ax 2 + bx+c)n-1

(TI ::I I) , ,

" Fall TI = I: siehe Integral (66) Integral (65)

(69) J px + q P 2 2aq - bp J dx dx =-- In lax + bx +cl+ -ax 2 +bx+c 2a 2a ax 2 + bx +c

, . Integral (63)

(70) J px + q d (2aq-bp)x + bq-2cp

x= + (ax 2 + bx + c)n (11 - I) 6. (ax 2 + bx + c),, - I

(211 - 3) (2aq - bp) J dx (/1 ::1 I) + (ax 2 +bX+C)"-1 (11 - 1) 6. , ,

" Fall 11 = I: iehe Integral (69) Integral (65)

440 Integraltafel

(71) J x 2 dx x b 2 b 2 - 2ac J dx = - - _. In lax + bx + cl + 2a 2 ax 2 + bx + c ax 2 +bx+c a 2a 2

, , v

Integral (63)

(72) J x 2 dx x c J dx (ax 2 + bx + c)n = - (2n - 3)a(ax 2 + bx + c)n-l + (2n - 3)a' (ax 2 +bx+c)n-

, , v

(n-2)b J xdx Integral (65)

(2n-3)a (ax 2 +bx+c)n , ,

v

Integral (68)

(73) J dx 1 I ax 2 + bx + cl b J dx x(ax 2 +bx+c)=-2c· ln x 2 -2c' ax 2 +bx+c

, , v

Integral (63)

(74) J dx 1 x(ax 2 + bx + c)n - 2(n - 1) c(ax 2 + bx + c)n-l

b J dx -2c' (ax 2 +bx+c)n+

, , v

1 J dx Integral (65)

+ --;:. x(ax 2 + bx + c)n-l (n 1= 1)


(75) J xmdx x m- 1

(ax 2 + bx + c)n = - (2n - m - 1)a(ax 2 + bx + c)n-l +

(m-l)c J x m - 2 dx (m-n)b J xm-1dx + . + . (2n-m-1)a (ax 2 +bx+c)n (2n-m-1)a (ax 2 +bx+c)n

(mI=2n-l)

Fall m = 2 n - 1: siehe Integral (76)

(76) f x 2n - 1 dx 1 f x 2n - 3 dx (ax 2 + bx + c)n = --;. (ax 2 + bx + c)n-l -

c f x 2n - 3 dx b f x 2n - 2 dx - -;;. (ax 2 + bx + c)n - --;. (ax 2 +bx+c)n

(77) f dx 1 x m (ax 2 + bx + c)n = - (m - 1) cx m - 1 (ax 2 + bx + c)n-l -

(m+2n-3)a J dx -(m -1) c x m - 2 (ax 2 + bx + c) n

(m + n - 2) b f dx (m 1= 1) -

. x m- 1 (ax 2 + bx + c)n (m - 1) c

Fall m = 1: siehe Integral (74)

Integraltafel

(7 ) J d_: =, I [p' ln l ( pX + q)2 1+ ( px + q) (ax - + bx + c) 2 (aq- - bpq + ep2) ax 2 + bx + e

6 Integrale mit a3

+ (2 a q - b p ). f ' d x ] . ax- + bx + c

± x 3 (a >

, , v

Integral (63)

0)

Hinwei: Da obere Vorzeichen gilt für 0 3 + x 3, da IIl11ere Vorzeichen für a 3 - X 3.

(79) = ± - . In + -- . arctan ---J clx I 1 (0 ±x)2 1 I CX =F a) a 3 ±x3 6a 2 a 1 =F ax + x 2 a 2 .j3 a 3

(80) = ±-· In + J cl x x I 1 (a ± x) 2 1 2 (a l ± x 3 )2 3a 3(a 3 ± x 3 ) 90 S 0 2 =F ax + x 2 3a s .j3

Cx =F a) . arctan a .j3

(81 ) = - . In ± -- . arctan ---J xdx I la2=F ax +x21 I CX =F a) a 3 ± x 3 6a (a ±x)2 a 2 .j3 a 3

(82) = + -- . In ± --- . arctan ---J x cl x X 2 I 1 a 2 =F a x + x 21 I (2 x =F a) (a J ±x3 )2 3a 3(a 3 ±x3) 180 ~ (a ±x)2 3a~.j3 a.j3

(83) --· In ---J dx I 1 x 3 1 x (a 3 ± x ·l ) - 3a 3 a 3 ± x 3

7 Integrale mit a4 + x 4 (a > 0)

--,--....,. = --- . In - --- . arctan (84) J d x I 1 x 2 + a V2 x + 0 2 1 I ( a V2 x ) a ~ + x ~ 4V2 o J x 2 _ aV2x + a 2 2 20 3 x 2 - 0 2

(85) J --,-x_d_x....,. = _ 1_ . arctan (x 2)

0 4+ x42a 2 a 2

(87) = - . In -- + - . arctan -J clx I la +xl I (X) a~ - x4 4a 3 CI - X 20 3 a

441

442 Integraltafel

(88) J ----;-x_d _x -,- __ 1_ . In la 2 + x21 a~ - x~ - 4a 2 a 2 - x 2

(89)

9 Integrale mit vax+b (a 1= 0)

(90) J Jax + b dx = ~ J(ax + b)3 3a

(91 ) J ..;ax+b 2 (3 ax - 2b) J 1 x ax + b dx = , (ax + b)-15 a -

(92) J "..;ax+b 2x" J( )J 211b J " x ax + b d x = ( ) ax + b - ( ). X 2 11 + 311 211 + 3 1I

I Jax + b dx

(93 ) J Jax + b x

J d x dx = 2 Ja)." + b + b . ..;ax+b x ax + b

I '-v-'

Integral (99)

I (94) J Ja _:: b dx = -Jax + b

x a J dx

+ "2. xJax + b

I '-v-'

Inlegral (99)

I J Jax + b dx = _ J(ax + b)3 _ (211 - 5) a . J Jax + b (95 ) x" (11 - I) bX,, - 1 2 (11 - I) b x" I

dx (/1 # I)

Fall 1/ = I : siehe Integral (93)

J dx 2 (96)

Jax + b = -. Jax + b

a

(97 ) J x dx 2 (ax - 2b) . Jax + b

Jax + b = 3a 2

(98 ) J x" dx 2x"Jax + b _ 21/b . J x" I dx

Jax + b =

(211 + I) a (2/1 + I) a ..;ax+b

I I Jax + b - JEI für b > 0 -· In

f dx b Jax + b + Jb

(99) x Jax + b

= 2 ax + b -_. arClan -- für b < 0 (~)

Integraltafel 443

;--

(100) J dx Jax + b x" Jax + b = - (11 - I) bx ll

(2 11 - 3) a J dx 1 - 2 (1I - I) b ' x,, - IJax + b

(11 =f I)


( 10 1 ) J V(ax + b)3 dx = S2a · V(ax + b)5

J 2 V(ax + b)" +2

( 102) (11 =f - 2) (ax+ b)" dx = ( 2) 11 + a

Fall 11 = - 2: siehe Integral (2)

(103) J xV(ax + b)3 dx = 3s2a 2 [s V(ax + b)7 - 7b (ax + b)5]

J 2 /(ax + b)"H 2b V(ax + b)" 2

( 104) X/(CIX + b)" c1x = ( ) 2 - (n + 2) a 2 (11 =f - 2. - 4)

11 + 4 a

all 11 = - 2. - 4: siehe Integral (4) bzw. (S)

( lOS) J j(ax + b)3 clx = f V(ax + b)3 + 2b Jax + b + b 2 . J ~ x x ax + b

'-v--' Integral (99)

J x 2 [ b ] ( 106) dx =, Jax + b + ...;ax+b V(ax+b)J a- ax + b

10 Integrale mit vax+7J und px + q

Abkürzung: I I'!. = bp - aq I Hinwei : Es wird stels =f 0 vorausgeselzt. Für = 0 ist px + q = t (ax + b).

Die Integrale entsprechen dann dem Integrallyp au bschn itt 9 .

2Jax + b ..fK I vp(ax + b) - ..fK I für > 0, P > 0 +-- · ln

( 107) J Jax + b clx = P P Jjj vp(ax + b) + ..fK

px + q 2 Jax + b _ 2 JfXT . arctan ( p (ax + b) ) für < 0, P > 0

p pJjj Iß I

( 108) J ...;ax+b clx = - ...;ax+b + a . J dx (/I =f I) ( px + q)" (1I - I ) p ( pX + q),, - 1 2(1I - I) p ( px+q)" - 1 Jax+b

Fall /I = I: iehe In tegral (107)

444 Integraltafel

I ( 109 ) J px + q dx = 2 (apx + 3aq - ; b p) ,;ax:tlj J ax + b 30-

_ 1_ . In I J p (ax + b) - I"; I fJ I"; ~p",,(i=o=x =+=b""')'-+-JE,.r=:=- für > 0, 17 > 0

( 110) f dx . ( px + q) ax + b

~ . aretan ( flir I"; < 0, P > °

( 111 ) J d.\" ( px + q)" J ax + b (/I - I ) I"; ( px + q),, - I

(2 /1 -3) a f dx - 2 (/1 - I) .. ( px + q),, - I J ax + b

Fall 1/ = I: siehe Integra l ( 110)

11 Integrale mit .;ax+b und .J[iXTq

Abkürzung: 1 1:1 = b p - a q 1

J [2a ( px + q) + I J(ax + b) ( px + q) ( 1 12) J (a x + b) (p x + q) d x = -'---....:..:....----'-'-----'':...!....-'------'---'..:...-----'-'-

4ap

2 J dx - 8ap· J(ax + b) ( px + q)

, v

Intcgml (114)

( 113) J v

Integral ( 11 4)

(1/ =1= I )

{

_2_. ln l a ( px + q) + J p (ax + b)1 für CI P > ° ap

2 (p (aX + b» ) - JI', pi· arctan , . CI ( px + q)

J d x ( I 14) ~====:=;=;=====;:-

(a x + b)( px + q) für ap < °

J(ax b) ( px + q) ( 115 ) J xdx

J(ax + b) (px + q)

aq + bp f dx 2ap . J(ax + b) ( px + q) ap

v

Integml ( I 14)

Integraltafel 445

12 Integrale mit Ja2+X2 (a > 0)

J Ja 2 + x 2 dx = ~ [xJ0 2 + x2 + 0 2 · In (x + Ja 2 + x 2 )] ( 116) = 2

I [ x J 0 2 + .1' 2 + 0 2 . arsinh (~)] = 2

( 117) J x a2 + x2 clx = ~ ) (a2 + x2 )3

( 11 8) J x 2 I J a2 a2 + x2 c1x = 4"x (a2 + x2 )3 _ g [x a2 + x2 + a2 • In (x + Ja 2 + x2 )]

( 119) J x 3 J,, 2 + x2 dx = ~ ) (a2 + X 2)5 - "32 (a2 + X 2)3

J J" 2+ X 2 " la + J" 2+ x 21 ( 120) dx = a- + x - - " . In x x

J Ja 2 + x 2 Ja 2 + x 2

In (x + Ja 2 + x 2) ( 121 ) clx = -x 2 x

( 122) J J 0 2 + x2

clx = - Ja 2 + x 2 I 1,, + J" 2+ x2

1

-- · In x 3 2x 2 2a x

J clx

= In (x + J,, 2 + x2 ) = arsinh (~) ( 123) Ja 2 + x 2

J xcix

( 124) = Ja 2 + x2 Ja 2 + x 2

J x 2 dx ,

( 125) = ~ x J 0 2 + x 2 - a2- . In (x + Ja 2 + x2 )

J,, 2 + x 2

I

( 126) J x 3 dx Ja 2 + x2

= ~ ) (a2 + x2 )3 - a2 Ja 2 + x2

I ( 127) J dx I la + Ja 2 + x2

1 x J,,2 + x2 = - - · In

I a x

dx Ja 2 + x 2 ( 128) J - -;====-

x 2 J,, 2 + x 2

( 129) J d x x 3 Ja 2 + x2

446 Integraltafel

( 130) J V (a 2 + X2)3 d x = ~ [x V (0 2 + X2)3 + f a 2 x Ja 2 + X2 + f a4 . In (x + J 0 2 + X2 ) ]

I ( 131) J x V (a 2 + x 2)3 dx = + V (0 2 + x 2)5

( 132) J .1' 2 V (a 2 + X2)3 dx = ~ X V (a 2 + X 2)5 - ; : x V (a 2 + X2)3 - (: ~ x Ja 2 + X2 -

_ CI 6 . In ( r + Ja 2 + X 2 ) 16 .

( 133) J V (0 2 + X 2)3

x I

dx =-3

/ 3 la + Ja 2 + X2 (a 2 + x 2) + a 2 Ja 2 + x 2 - a 3 · ln x

1

J V (a 2 + x 2)3 V (a 2 + x 2)3

+ f x Ja 2 + x 2 + f (1 2 . In (x + Ja 2 + x 2) ( 134) dx = -x 2 X

( 135) J dx x

=

l v (a 2 + x 2)3 1I 2 J(l 2 + x 2

I ( 136) J xdx I

V (1I 2 + .1' 2)3 = -

Ja 2 + x 2

J x 2dx x + In (x + Ja 2 + X 2 ) ( 137) = -

V (a 2 + x 2)3 J(l 2 + x 2

( 138) J dx I =

x V (a 2 + .1' 2)3 a 2 Ja 2 + x 2 - - · In I la + Ja 2 + x 2

a J x 1

( 139) J dx 2x 2 + a 2 = -

x 2 V (a 2 + .1' 2)3 a 4 x Ja 2 + .1' 2

I

( 140) f dx I Va 2p2 + q 2 . Ja 2 + x 2 - qx + a 2p

. (px + q) J a 2 + x 2 = -

Va 2 p 2 + q 2 . In

p x + q

13 Integrale mit ~ (a > O· , lxi < a)

( 14 1) J ~ dx = + [.I: ~ + a 2 . arcsin (~) ]

Integraltafel

(142) .f xVa 2-x2dx = -+ v(a 2 -x2)3

(143) .f x 2 Va 2 - X 2 d x = - ~ x V (a 2 - X 2 ) 3 + a82

[ x Va 2 - X 2 + a 2 - arcsin (~)]

(144) .f x 3 Va 2 -x2 dx = ~ v(a 2 _x2)5 - a 2 v(a 2 - x 2)3 5 3

(145) .f Va 2x- x 2 la+va Z -x 2

dx=Va 2 -x2 -a-ln x 1

(146) .fVa2-x2 dx =-

Va 2 - x 2 - arcsin (~)

x 2 X

(147) rva2-x2 dx = -

Va 2 - x 2 1 la+va 2 -x2

1

_ x 3 2x 2 + - -In 2a X

(148) dx

= arcsin x -

I (149)

(150) r x 2 d x = _ ~ x Va 2 _ X 2 + a 2 _ arcsin (~) _ Va2 _ x2 2 2 a

(151).f x3 dx _ 1 /( 2 2)3 2 12""2 ----r===---Va-x -aVa"-x Va2 _ x2 3

(152) .f d x = _ ~ _ In la + Va 2 - x 21

x Va 2 _ x 2 a x

(154) J dx Va 2 -x2 __ I __ 1n !a+va 2 -x 2 ! x3 Va2 _ x 2 = - 2a 2 x 2 2a 3 x

447

I

I

I I

I

I

I

I

I

448 Integraltafel

J V (a 2 - x 2)3 v (a 2 - x 2)3

3 V 2 2 3 2 . C) (159) d x =-x 2 -- x a - x -- a · arc m -

x 2 2 a

( 160) J dx x

v(a2 - X 2)3 =

(1 2 ../a 2 _ x 2

( 161) J xdx I

v(a 2 - x 2)} =

../a 2 - x 2

( 162) J x 2 dx x - arcsin (~)

v (a 2 - x 2 )3 =

../a 2 - x 2

I I la+../(l 2-X21 = - - · In a 2 ../a 2 _ x 2 (1 3 X

( 163)

I (164)

14 Integrale mit ~ (a > 0; lxi> a)

Integraltafel 449

(169) 1 Jx zx- a Z

dx = Jx z - a Z - a 0 arccos (.;)

1 Jx Z - a Z Jx 2 - a2 (170) dx =- + In lx+Jx 2 -a z l xZ x

(171) 1 Jx Z - a Z dx =-

Jx Z - a Z + ~ 0 arccos (!!...)

x 3 2x 2 2a x

(172) 1 dx Jx 2 - a Z

= In I x + Jx 2 - azi = arcosh (~)

(173) 1 xdx Jx Z - a 2

= Jx 2 - a Z

(174) 1 x 2 dx Jx z - a 2

= ~ x J x Z - a 2 + a22

0 In I x + J x 2 - a zi

(175) 1 x 3 dx Jx z - a Z

= ~ V(x Z - a Z)3 + a Z Jx z - a Z

(176) 1 dx = 2. 0 arccos (!!...) x Jx Z - a2 a x

(177) 1 dx Jx Z - a Z

xZ Jx Z - a Z = aZx

(178) J dx Jx 2 - a2 + _1_ 0 arccos (!!...)

x 3 Jx 2 - a2 =

2a 2x Z 2a 3 x

(179) 1 V(x 2 - a2 )3 dx = ~ [x V(X 2 - a2)3 - f a2 x Jx 2 - a 2 + f a 4 0 In I x + Jx 2 - a21]

(180) J x V(x 2 - a Z)3 dx = + V(x 2 - a2)5

(181 ) 1 xZ V(x 2 - a Z)3 dx = 2. x V(x 2 - a2)5 + a 2 x V(x 2 - a 2)3 _ a 4 x Jx 2 - a Z + 6 24 16

+~; olnlx+ Jx 2 -a z l

(182) 1 V(x 2 ~ a 2)3 dx = ~ V(X Z - a 2)3 - a 2 Jx 2 - a 2 + a 3 0 arccos(';)

J V(x 2 - a 2)3 V(XZ - a 2)3

+ f x Jx 2 - a Z - f a Z 0 In I x + Jx 2 - a21 dx =-(183) Z

x x

450 Integraltafel

( 184) J dx X

V (x2 - ( 2)3 = -

0 2Vx 2 - 0 2

( 185) J xdx I

= -Vx 2 - 0 2 V(x2 - ( 2)3

( 186) J x 2 dx x + In 1 x + V X 2 - 0 21 = -

V (x2 - ( 2)3 Vx 2 - 0 2

( 187) J dx I I (~) = - - 0 3 . arcco

x V(x 2 - ( 2)3 0 2Vx 2 - 0 2

( 188) J dx 0 2 - 2x 2

= 0 4X Vx 2 - 0 2 x 2 V (x2 - ( 2)3

15 Integrale mit ~ (a i- 0)

Abkürzung: 1 ~=4ac-b2 1 Hinweis: Es wird stets b. f; 0 vorausge etzt. Für = 0 ist Jox 2 + bx + c =

Die Lntegrale entsprechen dann dem Integraltyp aus Abschnitt I. .jä (x + 2ba) .

J . / 20x + b / J dx ( 189) vox 2 + bx + c dx = 40 vox 2 + bx + c + 80' r=;=====

Vox 2 + bx + c .... ' --~~-----~'

Integral (194)

J / I / 3 b (20 x + b) . / ( 190) x vox 2 + bx + c dx = _ . (ox 2 + bx + c) - 8 2 vox 2 + bx + c-

30 a

bb. J dx - 160 2 . /

vox 2 + bx + c ''----, .. ~-----''

Lntegral (194)

( 191 ) J x 2 vox 2 + bx + c dx = 2410 2 (60x - Sb) V(ox 2 + bx + c)3 +

5b 2 - 40 c J + 160 2 . Vox 2 + bx + c dx

' .... _--,.----" lntegral ( 189)

Integraltafel 451

(192) J v'ax 2 :bX+ C dx = vax 2 +bx+c +!!..-. J dx + C· J dx 2 v'ax 2+bx+c xVax2+bx+c

" v

Integral (194) Integral (197)

, I v

Integral (194) Integral (197)

Ja. 1n!2 va v'ax 2 + bx + c+ 2ax + b)! für a > 0

(194) J dx = Vax 2 + bx + c

1 . h (2ax + b) _. arsm Va v'i5.

für a > 0, ~ > 0

1 . (2ax + b) - v'flll . arcsm M für a < 0, ~ < 0

v'ax 2 + bx + c (195) J x dx v'ax 2 + bx + c

b J dx 2a vax 2 + bx + c a

v

Integral (194)

(196) J x2 dx 2ax - 3b . / 2 b 3b 2 - 4ac J dx = 2 vax + x + c + 2

vax 2 + bx + c 4a 8a vax 2 + bx + c

" Integral (194)

_~'lnI2Vcvax2+bx+C+bX+2CI für c>O ..;c x

(197) J dx xVax 2 +bx+c

_ ~ . arsinh (bX + 2C) ..;c v'i5. x

für c > 0, ~ > 0

1 . (bX + 2C) v'fCT . arcsm Mx für c < 0, ~ < 0

v'ax 2 + bx + c (198) J dx

x 2v'ax 2 + bx + c

b J dx 2c xvax2+bx+c cx

v

Integral (197)

J . / 3 2ax + b . / 3 3 ~ J. / (199) y(ax 2 + bx + c) dx = 8a y(ax 2 + bx + c) + 16a' vax 2 + bx + c dx

" Integral (189)

452

(200) .f X J(ox 2 + bx + C)3 dx 5a

(20 1) .f

dx

J(ax 2 + bx + c)J

(202) .f

xdx

J(ax 2 + bx + c)3

2bx + 4 c

Vax 2 + bx + c

(203) J d x

xJ(ox 2 +bx+c)3

l.f d x - r==:====- + -, cVax 2 + bx c c xVox 2 + bx+c

Inlegral (197)

16 Integrale mit sin (a x) (a =I 0)

Hinweis : Inlcgralc mil einer Sinusfunklion 1/1/(1 einer - Kosilllls!t lllkrioll.' siehe Ab chni ll 18

I (204)

(205 )

- Expollelllia!filllkrioll: siehe b chnill 22 - Hyperbe!filllkrio/l: siehe Ab. chnill 24 und 25

J ' cos(ax) .111 (ax) dx = - --

a

.f

, '() x sin (2ax) x sin (ax) . cos (ax) 111 - a x d x = - - = - - -""'----....:...".----'----'.

2 4a 2 2a

J ' 3 ( . ) cos (a x) co 3 (a x) (206) Sill ax dx = - + ---::-'------'-a 3a

Integraltafel

. Integral ( 199)

b J dx 2c / 1

, V (ax 2 :bx +c) '

Inlcgral (201)

(207) .f ' "() sin" - I(ax) ·cos (ax) /I - I f 11 '( ) 111 ClX cl x = - + -- , in - - ClX dx (11 =I- 0)

(208)

(209)

.f x'

/la /I,

, () sin (ax) x' cos (ax) In ax dx = --,- - --........:...---'.

a - a

' . ' ( ,) , _ .\' Sill a x _ a x - _ . co a x J 2 ' '( ) (2 2?) () x - Sill a .1 d .1 - 1 3

0- CI '

J X" , cos (ax) (210) .1'", sin (a x) dx = - a .'.!... , J x" I . 0 (ax ) clx

a '----""'v~----'

Inlcgra l (234)

Integraltafel 453

(211) J sin (ax) d _ (ax) 3 (ax) 5 -x- X - ax - 3-3! + s:5! - + ...

(Potenzreihenentwicklung : Konvergenz für I x I < (0)

(212) J sin (ax) dx = _ sin (ax) + a . J eos (ax) dx x 2 x x

'------.-------Integral (235)

(213) J sin (ax) dx = _ sin (ax) + _a_ . J eos (ax) dx x n (n-l)x n - 1 n-l x n - 1

(n i= 1)

'------.-------Fall n = 1: siehe Integral (211) Integral (237)

(214) J sind(:x) = ~ . In I tan (a2x) I

(215) J dx = _ eot (ax) sin 2 (ax) a

(216) J dx eos (ax) n - 2 J dx sinn (ax) = - a(n - 1) . sin n - 1 (ax) + n - 1· sin n - 2 (ax) (n > 1)


J x2 x . sin (2ax) eos (2ax)

(217) X· sin 2 (ax) dx = 4 - -4a 8a 2

(218) J x dx __ x . eot (ax) ~. I I . ( ) I • 2 ( ) - + 2 n sm ax sm ax a a

(219) J dx 1 Cr ax) 1 ± sin (ax) = 'f -;; . tan 4 'f 2

2 (p . tan (ax/2) + q) für p2 > q2 . aretan

(220) J dx = aJp 2 - q2 J p 2 - q2

P + q . sin (ax) 1 . In I p . tan (ax/2) + q - J q 2 - p21 für p2 < q2

aJq 2 - p2 P . tan (ax/2) + q + J q 2 _ p2

Fall p2 = q2: siehe Integral (219)

(221) J xdx =_~.tan(.::_ax)+~.lnleos(~_ax)1 l+sin(ax) a 42 a 2 42

(222) J xdx x Cr ax) 2 I· er aX)1 1 - sin (ax) = -;; . eot 4 - 2 + a2 . In sm 4" - 2

(223) J sin (ax) dx 1 Cr ax) =±x+_·tan -'f-1 ± sin (ax) a 4 2

I

I

454

J sin (ax) dx x P J dx (224) P + q 0 si n (ax ) = Ci - Ci 0 p + q 0 sin (ax)

v

Integral (220)

(225 ) J 0 dx I I (ax) I q J clx SII1 (ax) [p + q 0 in (ax)] = ap 0 In tan 2" - p o p + q 0 in (ax )

, , v

Integral (220)

(226) J 0 ( 0) 0 (b 0) I 0 _ sin «0 - b) x) sin «0 + b) x) In ax ° SII1 x ~x - 2 (a - b) - 2 (a + b)

Fall a 2 = b 2: iehe Integral (205)

J 0 0 I 0 (cos b) (227) SII1 (ax ) 0 SII1 (ax + b) clx = - 40 0 Sill (20.1' + b) + - 2- x

17 Integrale mit cos (ax) (a =I 0)

Hinweis: Integrale mit einer Kosinu funktion /lllcl einer - Silllls!lIllktion: iehe Abschni tt 18 - Expollelltialfunktion: siehe Abschnitt 22 - Hyperbeifullktioll: siehe Abschnitt 24 und 25

J sin (ax )

I (22 ) cos (ax) clx = ---a

J 2() d =.:. sin (2ax)_ .:. sin (ax)o cos (ax) (229) cos a x x 2 + 4 a - 2 + 2 {/

(230) J J ( ) cl _ sin (ox) sin 3(ox) cos ox X - --a- - 30

J co·" - I(ax) 0 ·in (ax) n - I J 0 (231 ) co " (ox) clx = v o " ' + - - 0 cos" - -(ax) dx na 11

(11 i' 0)

J () I cos (a x) x 0 si n (a x) x 0 co a x c x = --- + ---'-~

a 2 a I (232)

J 2 () d 2x 0 cos (ax ) (a 2 x 2 - 2) 0 in (ax) x 0 cos a x x = a 2 + a 3 (233 )

J x"osin (ax) Il J 0 (234 ) x" 0 cos (ax) clx = 0 - -;; 0 X,, - I 0 5111 (ax) clx

Integral (210)

Integraltafel

Integraltafel 455

(235) J cos (ax) d _ In I I _ (ax) 2 (ax) 4 _ (ax) 6 _ X X - ax 2. 2! + 4. 4! 6· 6! + ...

(Potenzreihenentwicklung : Konvergenz für I x I > 0)

(236) J cos (ax) dx = _ cos (ax) _ a . J sin (ax) dx x 2 x x

'--v-----' Integral (211)

(237) J cos (ax) dx = _ cos (ax) _ _ a_ . J sm (ax) dx x n (n-l)x n- 1 n-l x n- 1

(n I- 1)

'--v-----' Fall n = 1: siehe Integral (235) Integral (213)

(238) --·ln tan -+-J dx 1 I (ax Jl) I cos (ax) - a 2 4

(239) J dx tan (ax) cos 2 (ax) = --a-

(240) J dx sin (ax) n - 2 J dx cos n (ax) = a(n - 1) . cos n - 1 (ax) + n - l' cosn- 2 (ax)

(n > 1)


(241) J . 2 ( ) d _ ~ X· sin (2ax) cos (2ax) x cos ax x - 4 + 4a + 8a 2

(242) f x dx x . tan (ax) 1 2 ( ) = + 2' . In I cos (ax) I cos ax a a

(243) J dx 1 (ax) 1 + cos (ax) = -;; . tan 2

(244) J dx 1 (ax) 1 - cos (ax) = - -;; . cot 2

2 Cp - q) . tan (ax/2)) für p2> q2 . arctan

(245) J dx -a.jp2 _ q2 Vp2 _ q2

P + q . cos (ax) -1 I (q - p) . tan (ax/2) + .jq2 - p21 . In für p2< q2

a.jq2_ p 2 (q - p) . tan (ax/2) - .jq2 _ p2

Fall p 2 = q 2: siehe Integral (243) bzw. Integral (244)

(246) --·tan - +-·ln cos -J xdx x (ax) 2 I (ax)1 1 + cos (ax) - a 2 a 2 2

(247) = --·cot - +-·ln sm -J . xdx x (ax) 2 I' (ax)1 l-cos(ax) a 2 a 2 2

456 Integraltafel

(248) J cos (ax) clx = x - ~ . tan (~) I + co (ax) a 2

(249) J cos (ax ) clx = -x _ ~ . cot (ax) I - cos (a x) a 2

J cos (ax ) clx x P J dx (250) p + q . cos (ax) = q - q' p + Cf • cos (ax)

Integral (245)

J in « a - b) x ) in « a + b) x ) (252) co (a x) 'co (bx) cl x = 2 (a _ b) + ---;~----:---;-7---'-

2 (a + b)

Fall a 2 = b 2: siehe Integral (229)

J I (co b) (253) cos (ax) . co (ax + b) clx = - 4a ' sin (2ax + b) + - 2- x

18 Integrale mit sin (ax) und cos (ax) (a -# 0)

(254) J sin (ax ) , co (ax) dx = sin 2 (ax)

2a

(255) J si n" (ax) . cos (ax) dx = sin "+ ' (ax)

(11 ", - I) (11 + I) a I


(256) J sin (ax) . cos" (ax ) dx = -cos" I (ax)

(11 ", - I) (11 + I) a

all 11 = - I: siehe Integral (286)

(257) J ., () '() x sin (4ax) sin - a x . co. - a x cl x = "8 -

32a

(258) J sin/1/ (ax) . cos" (ax ) clx =

{ ,i,·-' (ux) . ,~ (.HI (ax) on - I J. 2 (ax) . cos" (ax) dx - + -_ . sm/1/

(1/1 + 11 ) a 111 + 11

·ml (.) )S (,, - I ) ( ) I J sm a x . co a x 11 - • m (.) ,, - 2 ( .) J • () + -_ . S11l CLt· co. a.x l _t 111 + 11 a 111 + 11

Beide Fonneln gellen nur für 111 ", - 11. Fall 111 = - ,, : siehe Integral (289) bzw. Integral (296)

Integraltafel 457

(259) J dx = ~ . In I tan (ax) I sin (ax) . cos (ax) a

(261) J sin m (ax~~ cos (ax) = - (m - 1) a .1Sinm-l (ax) + J sin m- 2 (a~;. cos (ax)


(m cf- 1)

(262) J -:--:---:-_dx~ = ~ [ln Itan (ax)1 + _1_] sin (ax) . cos 2 (ax) a 2 cos (ax)

(263) J dx 1 + J dx sin (ax) . cos n (ax) = (n - 1) a . cos n- 1 (ax) sin (ax) . cosn- 2 (ax)

(n cf- 1)


(264) J sin m (axtxcos n (ax) =

{ (n - 1) a . sinm-1\ax) . cos n- 1 (ax) + m : ~ ~ 2 . J sinm (ax) ~:osn-2 (ax)

- +. 1 m + n - 2 J dx (m - 1) a . sin m - 1 (ax) . cos n- 1 (ax) m - 1 sin m - 2 (ax) . cos n (ax)

Erste Formel für n cf- 1, zweite Formel für m cf- 1.

Fall n = 1: siehe Integral (261); Fall m = 1: siehe Integral (263)

J sin (ax) J 1 (265) -(-) dx = tan (ax) dx = - - . In Icos (ax) I

cos ax a

(266) J sin 2 (ax) dx = _ sin (ax) + ~ .ln ltan (ax + !!...)I c~~~ a a 2 4

(267) J sinm (ax) sin m - 1 (ax) J sin m - 2 (ax) d _--,O---,C- dx = - + x cos (ax) (m - 1) a cos (ax)

(m cf- 1)


(268) J sin (ax) dx = 1 cos 2 (ax) a . cos (ax)

( 69) J sin (ax) dx = 1 2 cosn (ax) (n - 1) a . cos n- 1 (ax)

(n cf- 1)


(270) J sm 2 (ax) dx = J tan 2 (ax) dx = tan (ax) - x cos 2 (ax) a

458 Integraltafel

sin m - I (ax) m - 1 J sin m- 2 (ax) d (n - 1) a . cos n- I (ax) - n - l' cosn- 2 (ax) x (n =I- 1)

(271) J sin m (ax) dx = sin m+ I (ax) m-n+2 J sin m (ax) d (n =I- 1)

(n - 1) a . cos n- I (ax) - . X

cos n (ax) n - 1 cosn- 2 (ax)

sin m- I (ax) m - 1 J sin m - 2 (ax) - (m - n) a . cos n- I (ax) + m - n . cos n (ax) (m =I- n)

Fall n = 1: siehe Integral (267); Fall m = n: siehe Integral (289)

(272) J cos (ax) J 1. . ( ) dx = cot (ax) dx = - . In I sm (ax) I ~n ax a

(273) J cos (ax) d _ 1 sin 2 (ax) x - - a . sin (ax)

(274) J ~os (ax) dx = _ 1. sm n (ax) (n - 1) a . sm n- I (ax)

(n =I- 1)


(275) J c~~2(~ax~) dx = ~ [cos (ax) + In I tan (a;) I]

(276) J cos m (ax) d = cos m- I (ax) J cosm- 2 (ax) d sin (ax) x (m - 1) a + sin (ax) x (m =I- 1)


cos m- I (ax) m - 1 J cosm- 2 (ax) - (n - 1) a . sin n- I (ax) - ~. sin n- 2 (ax) dx (n =I- 1)

(277) J c~s m (ax) dx = sm n (ax)

- -. dx cos m+ I (ax) m - n + 2 J cos m (ax) (n - 1) a . sin n - I (ax) n - I sin n - 2 (ax)

(n =I- 1)

cos m - I (ax) m - 1 J cosm- 2 (ax) +--. (m - n) a . sin n- I (ax) m - n sinn (ax) (m =I- n)

Fall n = 1: siehe Integral (276); Fall m = n: siehe Integral (296)

(278) =--·ln tan -±-J dx 1 I (ax Jl) I sin (ax) ± cos (ax) a y'2 2 8

(279) J sin (ax) dx x 1 . . () () = '2 Cf 2 . In I sm (ax) ± cos (ax) I sm ax ± cos ax a

(280) J cos (ax) dx x 1 .

. ( ) ± () = ± '2 + 2 . In I sm (ax) ± cos (ax) I sm ax cos ax a

Integraltafel 459

(281 ) I -:---;--.,.....,..,..d_x,....· --:--~ = ± I + ~ . In I lan (a X) I sin (ax) [I ± co. (ax)] 2a [1 ± cos (ax)] 2a 2

(282 ) I dx = =F I + ~ _ In llan (ax + lC) 1 cos (ax) [I ± si n (ax)] 2a [I ± sin (ax)] 2a 2 4

( ) I sin (ax) dx - ~- In l l ±cos(ax)1 283 co (ax) [I ± cos (ax)] - a co (ax)

(284 ) I cos (ax) dx I 11 ±sin (ax)1 si n (ax) [I ± si n (ax)] = - a -In si n (ax)

(285 ) I in (ax) . co (bx) dx = _ cos «a + b) x) _ cos « a - b) x) 2 (a + b) 2 (a - b)

Fall a 2 = b 2: siehe Inlegral (254)

19 Integrale mit tan (ax) (a =I 0)

(286) I lan (ax)dx= - ~-ln l cos (ax)1

I ' lan (ax) (287) lan - (ax) dx = - a- - x

I lan2(ax) I (288) lan ) (ax) clx = + - - In Ico (ax) I

2a a

I lan ,, - I (ax) I (289) lan " (ax) dx = ( ) - lan,, - 2 (ax) dx

11 - I a (/I "" I)


(290) I d f I I -(-' -) = COI (ax) dx = - . In I sin (ax) I lan {/ x a

I lan" (ax) lan " I (ax) (291 ) cos 2 (ax) d x = (11 + I) CI (11 "" - I)

Fall 11 = - I: siehe Inlegral (259)

(292 ) I dx = apx + q-ln lq-sin(ax)+ p -cos(ax) 1 p + q-tan (ax) a ( p 2+ q 2)

460

20 Integrale mit cot (a x) (a =I 0)

(293) J cot (ax) dx = ~ . In I in (ax) I CI

J 2 cot (ClX) (294) cot (ax) dx = - --a- - x

f cot 2(ax) I (295 ) cot 3 (ax) dx = - - _. In I in (ax) I

. 2a a

(296) cot" (ax) dx = - - - cot,, - 2 (ax) dx J cot ,, - I(ar) J (1/ - I ) a

Fall 11 = I : iehe Integral (293)

(297) J dx J I -(-) = lan (ax) dx = - _. In Ic05 (ax)1 cot ax CI

J cot " (ax) __ cot" I (ax) (298) ." ( ) d x - ( ) sm" ClX 11 + I a

(1/ cf; - I)

Fall 11 = - I : siehe Integral (259)

(11 cf; I )

(299) J dx _ apx - q . In I p . sin (ax) + q . cos (ax) I p+q.cot (ax) a ( p 2+ q 2)

21 Integrale mit einer Arkusfunktion (0 =I 0)

(300) J arcs in (~) dx = x . arcs in (~) + Va 2 - x2

(301 ) J x . arcsin (~) dx = CX 2 4- a2

) . arcsin (~) + ~ . Va 2 - x 2

(302) J (X) ~3 (X) ( x 2 + 2a 2) x 2 . arcsin -;- d x = ~ . arcsin -;- + 9

(303 ) J arccos (~) dx = x . arcco (~) - Va 2 - x 2

J x (2 r 2 - CI 2) r x . arccos ( -;-) d x = - 4 . arccos ( ~ ) x

(304) 4

(305) .f x 2 . arccos ( ~) d x = x33 • arccos ( ~) _ (x 2 ~ 2 a 2) . V CI 2 _ X 2

Integraltafel

Integraltafel 461

I (306) J arClan (~) dx = x arClan (~) l (307) J (X) I " (X) X • arclan -; dx = '2 (r + a- ) . arclan -;

2 a x

I (308) J x 2 • arclan (~) d x = x;' . arclan (~) - {/~ 2 + a63

. In (.1' 2 + ( 2 )

(309) J arccol (~) d x = X . arccol ( ~) + f· In (.1' 2 + ( 2 )

(3 10) J X • arccol ( ~) d x = + (x 2 + ( 2 ). arccol (;) + (~r

f 2 (X) x 3 (X) ax 2 a 3 > > (311 ) x · arccol - dx=-· arccol - +---· In (x-+ a -) . a 3 a 6 6

I 22 Integrale mit e (I X (a # 0)

(312) J ca. dx = ~ . c ax

(3 13) J (ax - I) X· c a .1 dx = - a- 2-

• e ll.'(

(3 14) J 2 ,1\ (a 2 x 2 - 2ax + 2) X . c . dx = a 3

, e Ox

(315) J x" . e O .\ n J x "· c " ·f d x= - _. x" - I·c ,,x dx a a

J:..: - ~ (ax)2 (ax )3 (316) X dx - ln lax l+ 1. 1' + 2 . 2' + 3.3' +'"

(Polcnzrcihenenlwicklung ; Konvergenz für I x I > 0)

(3 17) - dx = - + -_ . -- dx J c ax c a, a J c ax

x " ( 1/ - I ) x " I 1/ - I x" I (1/ =f I )

Fall 1/ = I : . iehe Integral (3 16)

(318) J dx = ~ - ~ . In I p + q . e"·I·1 p + q · c 11A p ap

(3 19) = - . In I p + q . e il .' I J e ax dx I

p + q . c a.. aq

-

462 Integraltafel

! 1 (fq .. ) für pq> q a..jPq . aretan q. e

(320) dx =

J p.,"+q.'-" 1 . 1n IQ +vr;;qj·'''1 für pq< q 2a~ q_~.eax

(321) J e ax ·lnxdx = e ax . In Ix I 1 J e ax

a - -;;. ---;- d x

'--v-'"' Integral (316)

(322) J e ax e ax . sin (bx) dx = 2 2 [a . sin (bx) - b . eos (bx)] a + b

(323) J e ax . sinn-I (bx)

e ax . sinn (bx) dx = 2 2 2 [a . sin (bx) - nb . eos (bx)] + a + n b

n(n-1)b 2 J . 2 + . e ax . sm n- (bx) dx a 2 + n 2 b 2

(324) J e ax e ax . eos (bx) dx = a 2 + b 2 [a . eos (bx) + b . sin (bx)]

(325) J eax·eosn-I(bx)

e ax . eos n (bx) dx = 2 2 b 2 [a . eos (bx) + nb . sin (bx)] + a + n

n (n - 1) b 2 J 2 + . eax . eos n- (bx) dx a 2 + n 2 b 2

(326) J e 2ax X e ax . sinh (ax) dx = - - -4a 2

(327) J eax e ax . sinh (bx) dx = a 2 _ b 2 [a . sinh (bx) - b . eosh (bx)] (a 2 =f. b 2)


(328) J e 2ax x e ax . eosh (ax) dx = ~ + "2

(329) J e ax e ax . eosh (bx) dx = a 2 _ b 2 [a . eosh (bx) - b . sinh (bx)] (a 2 =f. b 2)


(330) J x . e ax x . e ax . sin (bx) dx = a 2 + b 2 [a . sin (bx) - b . eos (bx)]-

e ax - 2 [(a 2 - b 2) . sin (bx) - 2ab . eos (bx)]

(a 2 + b 2)

Integraltafel 463

(33 1) f x . c '" . cos (bx) dx = .\ . e /~\, [a . cos (bx) + b . sin (hx))-· a - -

2ab . sin (bx)]

23 Integrale mit In x (x > 0)

Hinweis: Integrale mit einer Logarithmu. - I/Ild ei ner Exponentialfunk tion: siehe Abschnitt 22.

I (332) J In xdx = x (lnx - I)

(333) J (In x ) 2 d x = X (In x ) 2 - 2.r . In.r + 2x

(334) J (In x)3 dx = x (In .1' )3 - 3x (lnx)2 + 6x· In x - 6x

I

I (335) J (In x)" d.r = x (lnx)" - 11 ' J (Inx)" - I dx ( 11 i- - I)

I Fall 11 = - I: siehe Integral (336)

(336) f dx _ . ~ (In .\") 2 (Inx) ·l · In x - In I in x 1 + I . I! + 2 . 2! + 3 . 3! + . .. (x i- I)

(337) f r . In r d r = ~ r 2 ( In r - ~ ) · - .. 2 . . 2

(338) J .1' 2 • In x dx = ~ .1' 3 (In x - ~)

(339) X"'· In x dx = -'-- In x ---r I m I ( I ) • 111 + I 111 + I

(/li i- - I)

Fall 11/ = - I : iehe Integral (340)

(340) f In x I , -. dx =-:;-( Inx)-..\ -

(34 1 ) J In x In x I (/11 i- I) - dr =- -

· x"" (11/ - I) x'" I ( 111 - 1):2 X III I

Fall 11/ = I : siehe Integral (340)

f (In x)" (In x)" I

(342) -- cl x = (11 =F - I ) · x 11 + 1

Fall 11 = - I : siehe I nIegral (343) - - - -

464 Integraltafel

I (343 ) J ~ = In II n xl x· In x

(x =I I )

J x'" (111 + 1)2 (111 + 1)3 (344) In x d x= ln lln xl+(m + I) ln x + 2.2! (In x)2 + 3.3 ! (In x)3 + ...

J ~'" 1 . (In x)" 11 J (345 ) x"'· (Inx)" d x = - - -_ . ..1'111. (In x)" - I dx 111 + I 111 + I

Fall 111 = - I : siehe Integral (342)

J ..1'111 ..1'''' + 1 m + I J ..1'111

(346) (In x)" d x = - (11 _ I) (In x)" - 1 + ~. (In ..1')" - 1 dx


(347) J In (..1'2 + a 2 ) d x = x . In (..1'2 + ( 2) - 2..1' + 2a . arctan (~)

24 Integrale mit sinh (a x) (a i= 0)

Hinweis: Integrale mit einer hyperboli . ehen Sinu. funktion IIl1d einer - hyperbolischeIl KosillllsjllnktiOIl : siehe Ab chnitt 26 - EXpOl1elllialfunkliOIl : siehe Ab. chnitt 22

(349) J sinh (a x) d x = COSh}a x)

(350) J . 2 ( ) d - _ sinh (2 a x) x . mh ax .\ - 2

4 a

(111 =I - I)

(11 =I I ; x =I I )

(351 ) J . n () sinh ,, - I (ax) . cosh (ax) 11 - I J - ,, - 2 ( ) d smh a x d x = - --. smh a x x

lI a 11 (11 =I 0)

J . () x·cosh (ax) sinh (ax) (352) X· smh a x d x = -?

a a-

f · x" · cosh (ax) 11 J (353) . x" · mh (ax) d x = a - a - ..1',, - 1 - cosh (ax) d x

'----~v,....--~-

Integral (367)

J sinh (ax) _ (ax)J (ax)5 (354) x d x - ax + ~ + s.5! + ...

(Potenzreihenentwicklung ; Konvergenz für 1 x 1 < ) -

(x =I I)

Integraltafel

I (355) f sinh (a x) d x = _ sinh (a x) x " ( 11 - I ) x "


+-_ . dx a f cosh (ax) I 11 - I x " I

'---v------' Intcgral (369)

(356) f dx = ..!.. . In I tanh (ax) I .. inh (ax ) a 2

(11 f. I)

(357) f d x cosh (a x) 11 - 2 f d x sinh " (ax) = - (11 - I ) a . sinh ,, - I (ax) - ~. sinh ,, - 2 (ax) (11 f. I )


(358) f d x I . In 1 q . C lIX + P - VP 2 + q 2 1 . p + q . sinh (ax) = a p 2 + q 2 q . ee" + p + (7 2 + q 2

f sinh (ax) clx x (J f clx (359 ) (J + q . sinh (ax) = q - q. p + q . sinh (ax)

v

Integral (358)

(360) f . h (I ) I sinh « a + b) x) sinh « a - b) x) sinh (ax) . Sill JX t X = - --:-':-''------,-,'---'-2 (a + b) 2 (a - b)

Fall a 2 = b 2 : siehe Integral (350)

(36 1) J sinh (ax) .. (b ) d _ a . cosh (ax) . sin ("x) - b . sinh (ax) . cos (bx) sln x x - a 2 + b 2

(362) J sinh (ax) (I ) d a . cosh (ax) . cos (bx) + b . sinh (ax) . sin (bx) . COS)X X = a 2 + b 2

25 Integrale mit cosh (ax) (a -=I 0)

Hinweis: Integrale mit ei ncr hyperbolischen Kosinusfunktion IIl/d einer - hyperbolischeIl Silll/sjlmklioll: siehe Ab chnill 26 - EX(7ollelllialful/kliol/: iehe Abschnill 22

J sinh (a x) (363 ) cosh (a x) d x =

a

coh- ClX x = +-(364) J '() d sinh (2ax) x 4a 2

(365 ) f "() cosh" I (ax) . sinh (ax) 11 - I J . - 2 ( ) cosh a x d x = + -_. co h ' a x d X 11 a 11

x . co h axt x = - ----=-----'-(366) J () I x . sinh (a x) cosh (a x) CI a 2

(11 f. 0)

465

466 Integraltafel

(367) J x n . cosh (ax) dx = x n . sinh (ax) - ~. J x n - 1 • sinh (ax) dx

a , ,

v

Integral (353)

(368) J cosh (ax) _ I I (ax) 2 (ax) 4 (ax) 6

x dx - In ax + 2 . 2! + 4 . 4! + 6 . 6! + ... (Potenzreihenentwicklung; Konvergenz für I x I > 0)

(369) J cosh (ax) dx = _ cosh (ax) + _a_ . J sinh (ax) dx x n (n - l)x n - 1 n - 1 x n - 1

'"-v------"

(n =f. 1)

Fall n = 1: siehe Integral (368) Integral (355)

(370) J dx 2 ( ) = - . arctan (e aX ) cosh ax a

(371) J d x sinh (a x) n - 2 J d x

cosh n (ax) = (n - 1) a . cosh n - 1 (ax) + n - l' coshn- 2 (ax) (n =f. 1)


1 I q . e ax + p - J p 2 - q21 für q > 0, p2 > q2 . In a J p 2 _ q2 q . e UX + p + J p 2 _ q2

(372) J dx = -2

für p2 = q2 P + q . cosh (ax) a(p+q·e ax )

. arctan 2 (p + q . e ax )

aJq 2 - p2 J q 2 _ p2 für p2< q2

(373) J cosh (ax) dx x p J dx p + q . cosh (ax) = q - q' p + q . cosh (ax)

, , v

Integral (372)

(374) J cosh (ax) ( ) d _ sinh (( a + b) x) sinh (( a - b) x)

· cosh bx x - 2 (a + b) + 2 (a - b) (a 2 =f. b 2)


(375) J cosh (ax) · sin (bx) dx = a . sinh (ax) . sin (bx) - b . cosh (ax) . cos (bx)

a 2 + b 2

(376) J cosh (ax) · cos (bx) dx = a . sinh (ax) . cos (bx) + b . cosh (ax) . sin (bx)

a 2 + b 2

Integraltafel 467

26 Integrale mit sinh (ax) und cosh (a x) (a i= 0) I

(377) J sinh (ax) . co h (ax) dx = sinh 2 (a x)

2a

(378) J . () () cosh « a + b) x) cosh « a - b) x) smh ax . co h bx dx = 2(a + b) + 2 (a _ b) (a 2 =I b 2 )

Fall a 2 = b 2 : s iehe Integral (377)

(379) J sinh " (ax) . cosh (ax) clx = si nh " + 1 (ax)

(11 =I - I) (11 + I) a

I Fall n = - I: siehe Integral (384)

(380) J sinh (ax) . cosh " (ax) clx = cosh" + 1 (ax)

(11 =I - I) (11 + I) a


(381 ) J ? 2 sinh (4ax) x si nh - (ax) . cosh (ax) clx = 32a --

(3 2) J sinh (ax) J I ( ) clx = tanh (ax) clx = - . In (cosh (ax» cosh ax a

(383) J Sinh 2 (aX) sinh (ax) I (. ( » ( ) d x = - - . arctan mh a x

cosh ax a a

(384) J cosh (ax) J I . ( ) clx = coth (ax) dx = _. In Isinh (ax) 1 smh ax a

(385) J cosh 2 (ax) cl _ cosh (ax) I I 1 h (ax) 1 x - +- ·n tan -si nh (ax) a a 2

(386) = -. In Itanh (ax)1 J clx I si nh (ax) . cosh (ax) a

27 Integrale mit tanh (a x) (a i= 0)

(387) J tanh (ax) clx = ~ . In (co h (ax»

J tanh (ax) (388 ) tanh 2 (ax) dx = x - a

(389) tanh" (ax) clx = - + tanh,, - 2 (ax) dx J tanh " - I (ax) J (11 - I ) a

(11 =I I)

468 Integraltafel

(390) f dx f I . ( ) = coth (ax) dx = - . In I smh (ax) I lanh ax . a

f ' x 2 x· lanh (ax) I (391 ) x· (anh - (ax) dx = -2 - + 2" . In (cosh (ax))

a a

28 Integrale mit coth (ax) (a =1= 0)

(392) f cOlh (ax) dx = - . In I sinh (ax) I a

(393) f cOlh 2 (ax) dx = x -coth (ax)

a

(394) f coth ,, - I (ax) f cOlh " (ax) dx = - ( ) + coth,, - 2 (ax) d x

11 - I a ( 11 ", I)

Fall 11 = I : iehe lntegral (392)

(395) f dx f I ( ) = tanh (ax ) dx = - . In (cosh (ax )) . cOlh ax a

(396) f ' x 2 x· coth (ax ) I x· cOlh- (ax) dx ="2 - + 2" . In Isinh (ax)1

a a

29 Integrale mit einer Areafunktion (a i= 0)

f (397) ar inh - dx = x . arsinh - - x 2 + a 2

I a a

(398) f . x Cx 2 + ( 2) . X x x . arslIlh (a ) d x = 4 . arsmh ( a) - "4 . J x 2 + a 2

(399) f arcosh ( ~ ) d x = x . arco h ( ~) - J x 2 - a 2

(400) f C) C(2_ a2) x . arcosh -; d x = ' 4 . arcosh ( ~ ) x v.' , -_. x -+ a -4

(40 1 ) f artanh ( ~ ) d x = x . artanh ( ~) + f . In la 2 - X 2 I

(402) J C) Cl X C·2 _ ( 2) C) x . artanh a d x = "2 + 2 . artanh a

(403 ) J C) C) CI , , arcoth a dx = x . arcoth a + "2 . In Ix- - a- I I

J (X) ax (t l _ a 2) C) I

(404) x . arcoth a d x = "2 + . 2 . arcoth ~ ,

469

Anhang Teil B

Tabellen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Übersicht

Tabelle 1:

Tabelle 2:

Tabelle 3:

Tabelle 4:

Verteilungsfunktion <p (u) der Standardnormalverteilung

Quantile der Standardnormalverteilung ... . . .. .. ... . .. ... .. .. . .

Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung ....... .. ..... . .......... .

Quantile der t-Verteilung von "Student" . . ...... . . . ..... .. . . ... .

470

472

474

476

470 Anhang B: Tabellen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Tabelle 1: Verteilungsfunktion </> (u) der Standardnormalverteilung

u u

11 ° 1 2 3

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,6 0,7258 0,7291 0,7324 0,7357 0,7 0,7580 0,7612 0,7642 0,7673 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,90 2 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,944 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 1,9 0,9713 0,97 19 0,9726 0,9732

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 22 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925

2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983

3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,99 8 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997

3,5 0,9998 0,9998 0,999 0,999 3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

Schrittweite: du = 0,01

Für negative Argumente verwende man die Formel

cjJ(-u) = 1 - cjJ(u) (u > 0)

Für u ~ 4 ist cjJ(u) ::::; 1.

4 5 6 7 8 9

0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,5557 0,5596 0,5639 0,5675 0,57 14 0,5754 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,614 1 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,7054 0,7088 0,7123 0.7157 0,7190 0,7224 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7518 0,7549 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,7996 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8 133 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8398

0,8508 0,853 1 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 0,9099 0,9115 0,9 131 0,9147 0,9162 0,9177 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,944 1 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0.9936

0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,995 1 0,9952 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0.9986 0,9986

0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998

0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0.9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

Tabelle 1: Verteilungsfunktion <jJ (u) der Standardnormalverteilung 471

Zahlenbeispiele

(1) <jJ(1 ,32) = 0,9066

(2) <jJ (1,855) = 0,9682 (durch lineare Interpolation)

(3) <jJ ( - 2,36) = 1 - <jJ (2,36) = 1 - 0,9909 = 0,0081

Formeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

(1) Einseitige Abgrenzung nach oben

I{I(U)

/ P(U ::; c)

P(V ~ e) = <jJ(e)

c U

(2) Einseitige Abgrenzung nach unten

I{I(U)

P(U ?: c)

/ P(V~e)=l-P(V~e)=l-<jJ(e)

c U

(3) Zweiseitige (unsymmetrische) Abgrenzung

I{I(U)

a b u

(4) Zweiseitige (symmetrische) Abgrenzung

I{I(U) t Ln:U<CI -c c U

P(a ~ V ~ b) = <jJ(b) - <jJ(a)

P( - e ~ V ~ e) = P(I VI ~ e) =

=2"<jJ(e)-1


Tabelle 2: Quantile der Standardnormalverteilung

<P (u)

u

p : Vorgegebene Wahrscheinlichkeit (0< p > 1)

Up : Zur Wahrscheinlichkeit p gehöriges Quantil (obere Schranke)

Die Tabelle enthält für spezielle Werte von p das jeweils zugehörige Quantil up (einseitige Abgrenzung nach oben).

p up

0,90 1,282

0,95 1,645 -

0,975 1,960

0,99 2,326

0,995 2,576

0999 3,090

p

0,1

0,05

0,025

0,01

0,005

0,001

up

- 1,282

-1 ,645

- 1,960

- 2,326

- 2,576

- 3,090

Formeln :

tl J - p = -up

up = - t4 J _ p

Tabelle 2: Quantile der Standardnormalverteilung

Formeln zur Berechnung von QuantiIen


tp (u) t /D\:=P c u

Zahlenbeispiel :

P (U ~ c) = cjJ (c) = 0,90 --+ c = U O•90 = 1,282


tp(u)

c u

Zahlenbeispiel:

P(U~c)=cjJ(c)=p

cjJ(c)=p --+ c=up

P(U ~ c) = 1 - P(U ~ c) =

=1-cjJ(c)=p

cjJ(c)=1-p --+ c =u 1 _ p

P (U ~ c) = 1 - P (U ~ c) = 1 - cjJ (c) = 0,90

cjJ(c) = 1 - 0,90 = 0,10 --+ c = UO•1 = -1,282


tp(u)

473

P( - c ~ U ~ c) = 2 · cjJ(c) - 1 = P

1 cjJ(c) = 2(1 + p) --+ c = U(1 + p)/ 2

-c c u

Zahlenbeispiel :

P ( - c ~ U ~ c) = 2 . cjJ (c) - 1 = 0,90

1 4> (c) = 2 (1 + 0,90) = 0,95 --+ c = UO•95 = 1,645


Tabelle 3: Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung

f(z)

z

p: Vorgegebene Wahrscheinlichkeit (0 < p < 1)

f: Anzahl der Freiheitsgrade

Z(p;j) : Zur Wahrscheinlichkeit p gehöriges Quantil bei f Freiheitsgraden (obere Schranke)

Die Tabelle enthält für spezielle Werte von p das jeweils zugehörige Quantil z(p;f) in Abhängigkeit vom Freiheitsgrad f (einseitige Abgrenzung nach oben).

p

J 0,005 0,01 0,025 0,05 0,10 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995

I 0,000 0,000 0,001 0,004 0,016 2,71 3,84 5,Q2 6,63 7,88 2 0,01 0,Q20 0,051 0,103 0,211 4,61 5,99 7,38 9,21 10,60 3 0,07 O,lt5 0,216 0,352 0,584 6,25 7,81 9.35 11 ,35 12,84 4 0,21 0,297 0,484 0,711 1,064 7,78 9,49 11.14 13,28 14,86 5 0,41 0,554 0,831 1, 15 1,16 9,24 11,07 12,83 15,09 16,75

6 0,68 0,872 1,24 1,64 2,20 10,64 12,59 14,45 16,81 18,55 7 0,99 1,24 1,69 2,17 2,83 12,02 14,06 16,01 18,48 20,28 8 1,34 1,65 2, 18 2,73 3,49 13,36 15,5 1 17,53 20,09 21,96 9 1,73 2,09 2,70 3,33 4,17 14,68 16,92 19,02 21,67 23,59

10 2,16 2.56 3,25 3,94 4,87 15,99 18,31 20,48 23,21 25,19

11 2,60 3,05 3,82 4,57 5,58 17,28 19,67 21,92 24,73 26,76 12 3,07 3,57 4,40 5,23 6,30 18,55 21 ,03 23,34 26,22 28,30 13 3,57 4,1 1 5,01 5,89 7,04 19,81 22,36 24,74 27,69 29,82 14 4,07 4.66 5,63 6,57 7,79 21,06 23,68 26,12 29,14 31,32 15 4,60 5,23 6,26 7,26 8,55 22,31 25,00 27,49 30,58 32,80

J6 5,14 5,81 6,91 7.96 9,31 23,54 26,30 28,85 32,00 34,27 17 5,70 6,4 1 7,56 8,67 10,09 24.77 27,59 30.19 33,41 35,72 18 6,26 7,0 1 8,23 9,39 10,86 25,99 28,87 31,53 34,8 1 37,16 19 6,84 7,63 8,91 10.12 11,65 27,20 30, 14 32. 5 36,19 38,58 20 7,43 8,26 9,59 10.85 12,44 28,41 31,41 34, 17 37,57 40,00

22 8,6 9,5 11 ,0 12,3 14,0 30, 33,9 36,8 40,3 42,8 24 9,9 10.9 12,4 13,8 15,7 33,2 36,4 39,4 43 ,0 45,6 26 11,2 12,2 13,8 15,4 17,3 35,6 38,9 41 ,9 45,6 48,3 28 12,5 13,6 15,3 16,9 18,9 37,9 4 1,3 44,S 48,3 51,0 30 13,8 15,0 16,8 18,5 20,6 40,3 43, 47,0 50,9 53,7

40 20,7 22,2 24,4 26,S 29,1 51,8 55,8 59,3 63,7 66,8 50 28.0 29.7 32,4 34,8 37,7 63,2 67,5 71 ,4 76,2 79,5 60 35.5 37.5 40,5 43,2 46.5 74,4 79.1 83,3 8 ,4 92.0 70 43 ,3 45,4 48 ,8 51 ,7 55,3 85,5 90,5 95,0 100,4 104,2 80 51 ,2 53,5 57,2 60,4 64,3 96,6 101,9 106,6 112,3 116,3

90 59,2 61,8 65 ,6 69,1 73,3 107.6 113, 1 118,1 124,1 128,3 100 67,3 70,1 74,2 77,9 82,4 118,5 124,3 129,6 135,8 140,2

Tabelle 3: Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung

Formeln zur Berechnung von Quantilen


fez) P(Z So c) = p

~ c z

Zahlenbeispiel (bei f = 10 Freiheitsgraden):

P(Z~c)=F(c)=p

F(c) = P -+ C = z(p; f)

P(Z ~ c) = F(c) = 0,90 f;10

--"--->, C = Z(0 ,9; 10) = 15,99


fez) ~ (1- p) P(c) So Z So C2); P I

1 P(Z ~ Cl) = F(c 1) = 2(1 - p)

1 F(c 1 ) = 2(1 - p) -+ Cl = Z«I-p) j2 ; f)

z

1 P(Z ~ c2) = 1 - P(Z ~ c2) = 1 - F(c 2) = 2 (1 - p)

1 F (c2 ) = 2 (1 + p) -+ c2 = Z«1 + pl j2 ; f)

Zahlen,beispiel (bei f = 10 Freiheitsgraden):

P(c 1 ~Z ~ c2 ) = 0,90

f; 10 --->, Cl = Z(0 ,05 ; 10) = 3,94

1 P(Z ~ c2) = 1 - P(Z ~ c2 ) = 1 - F(c 2) = 2(1 - 0,90) = 0,05

1 F (c2 ) = 2 (1 + 0,90) = 0,95

f; 10 --->, c2 = Z(0,95;10) = 18,31

475


Tabelle 4: Quantile der t-Verteilung von "Student"

((t) p:

f:

Vorgegebene Wahrscheinlichkeit (0< p < 1)

Anzahl der Freiheitsgrade

t(p ; f): Zur Wahrscheinlichkeit p gehöriges Quantil bei f Freiheitsgraden (obere Schranke)

Die Tabelle enthält für spezielle Werte von p das jeweils zugehörige Quantil t(p ; f) in Abhängigkeit vom Freiheitsgrad f (einseitige Abgrenzung nach oben).

J 0,90 0,95

I 3.078 6,314 2 1,886 2,920 3 1,638 2,353 4 1,533 2,132 5 1,476 2,015

6 1,440 1.943 7 1.415 1,895 8 1.397 1,860 9 1,383 1,833

10 1.372 1,8 12

Jl 1.363 1,796 12 1.356 1,782 13 1,350 1,771 14 1,345 1,761 15 1,34 1 1,753

16 1,337 1,746 17 1,333 1,740 J8 1,330 1,734 19 1,328 1,729 20 1,325 1,725

22 1,321 1.7 17 24 1,318 1,71 1 26 1,315 1,706 28 1,313 1,701 30 1,310 1,697

40 1,303 1,6 4 50 1,299 1,676 60 1,296 1,671

100 1,290 1,660 200 1,286 1,653 500 1,283 1,648

: co 1,282 1,645

p

0,975

12.707 4,303 3,182 2.776 2.571

2,447 2,365 2.306 2,262 2,228

2,20 1 2,179 2,160 2.145 2,131

2,120 2, 11 0 2, 101 2,093 2,086

2,074 2,064 2,056 2,04 2,042

2,021 2,009 2,000

1,984 1,972 1,965

:

1,960

0,99

31,820 6,965 4,541 3,747 3.365

3,143 2,998 2.896 2,821 2.764

2,718 2,681 2,650 2.624 2,602

2,583 2,567 2,552 2.539 2,528

2,508 2,492 2,479 2,467 2,457

2.423 2,403 2,390

2,364 2,345 2,334

:

2,326

0,995

63.654 9,925 5,841 4,604 4,032

3,707 3,499 3,355 3,250 3.169

3, 106 3,055 3,012 2,977 2,947

2.921 2,898 2,878 2, 61 2,845

2,819 2,797 2,779 2,763 2,750

2.704 2,678 2,660

2,626 2.601 2.586

2,576

Formeln:

t(l_ p;J) = - t(p ;J)

t(p;J) = - t(J - p;J)

Tabelle 4: Quantile der t-Verteilung von "Student"

Formeln zur Berechnung von Quantilen


'(t)

c


P(T~c)=F(c)=p

F(c) = p ~ c = t(p;!)

477

P(T ~ c) = F(c) = 0,90 f=10

----t, C = t(O,90;10) = 1,372


f(t)

c


P(T ~ c) = 1 - P(T ~ c) = 1 - F(c) = 0,90

P(T ~ c) = 1 - P(T ~ c) =

= 1 - F(c) = P

F(c) = 1 - p ~ c = t(1-p;!)

F(c) = 1 - 0,90 = 0,10 f = 10

----t, C = t(O ,10 ; 10) = - t(O,90; 10) = - 1,372


f(t)

-c c


P( - c ~ T ~ c) = 2· F(c) - 1 = 0,90

1

P( - c ~ T ~ c) = 2 . F(c) - 1 = P

1 F(c)="2(1+p) ~ c=t«(1+p)/2;f)

F (c) = "2 (1 + 0,90) = 0,95 f=10

- - --t, C = t(O ,95; 10) = 1,812

Sachwortverzeichnis

Sachwortverzeichnis

A 1. Ableitung 129 2-dimensionales Bereichsintegral 244 3-dimensionales Bereichsintegral 250 abgeschlossenes Intervall 8 abhängige Stichproben 418 - Variable 232 - Veränderliche 67, 232 Abklingfunktion 104 Abklingkonstante 279, 281 f. Ableitung der elementaren Funktionen (Tabelle) 131 - der Umkehrfunktion 134 - einer Vektorfunktion 327 -, äußere 133 -, höhere 130 -, innere 133 -, logarithmische 134 -, partielle 236 ff. Ableitungen einer in der Parameterform

dargestellten Funktion (Kurve) 135 - einer in Polarkoordinaten dargestellten Kurve 136 Ableitungsfunktion 129 Ableitungsregeln 132 ff. - für Sunnnen und Produkte 327 f. Ableitungssatz für die Bildfunktion 307 - für die Originalfunktion 306 f. Ableitungssätze 306 ff. absolute Häufigkeit 365 - - eines Stichprobenwertes 395 Abspaltung eines Linearfaktores 78 Abstand einer Geraden von einer Ebene 63 - eines Punktes von einer Ebene 62 - eines Punktes von einer Geraden 58, 76 - zweier paralleler Ebenen 64 - zweier paralleler Geraden 58 - zweier windschiefer Geraden 59 Abszisse 41 Achsenabschnitt 75 f. Achsenabschnittsform einer Geraden 76 Addition komplexer Zahlen 220 - von Matrizen 192 - von Vektoren 50 - von Zahlen 6 - zweier Brüche 9 Additionssatz für beliebige Ereignisse 366 - für Mittelwerte 388 f. - für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse 366 - für Varianzen 388 f. Additionssätze für Linearkombinationen von Zufalls-

variablen 388 Additionstheoreme der Areafunktionen 114 - der Hyperbelfunktionen 228 - der trigonometrischen Funktionen 94, 228 Adjunkte 195,200

Ähnlichkeitssatz 304 Ähnlichkeitstransformation 304 Algebra, Fundamentalsatz 223 algebraische Form einer komplexen Zahl 217 - Gleichung' n-ten Grades 17 ff. algebraisches Komplement 195,200 Algorithmus, Gaußscher 207 f. allgemeine Binomische Reihe 179 - Exponentialfunktion 103 - Kosinusfunktion 97 - Logarithmusfunktion 106 - Lösung der homogenen linearen Differential-

gleichung 1. Ordnung 261 - Lösung der homogenen linearen Differential

gleichung 2. Ordnung 271 f. - Lösung der homogenen linearen Differential-

gleichung n-ter Ordnung 284 - Lösung einer Differentialgleichung 257 - Sinusfunktion 97 allgemeines Kriterium für einen relativen

Extremwert 139 Altemativhypothese 414 Amplitude 98 analytische Darstellung einer Funktion 67, 232 Anfangsbedingungen 257 Anfangsglied einer Reihe 16 Anfangswerte 257 Anfangswertproblem 257 -, lineares 318 ff. Anpassungstest 429 anti-parallele Vektoren 47 Anwendungen der Differentialrechnung 136 ff. - der Integralrechnung 162 ff. - der Vektorrechnung 56 ff. aperiodische Schwingung 280 aperiodischer Grenzfall 280 äquatoriales Flächenmoment 166 Äquipotentialflächen 336 äquivalente Umformungen einer Gleichung 21 - - einer Ungleichung 25 - - eines linearen Gleichungssystems 207 Arbeit einer konstanten Kraft 56 - einer ortsabhängigen Kraft 162 - eines Kraftfeldes 354 Arbeitsintegral 162, 354 Arbeitspunkt 137 Archimedische Spirale 128 Areafunktionen 112 ff. - mit imaginärem Argument 229 Areakosinus hyperbolicus 112 Areakotangens hyperbolicus 112 Areasinus hyperbolicus 112 Areatangens hyperbolicus 112 arithmetische Reihe 16

479

480

arithmetischer Mittelwert 291 arithmetisches Mittel 291 Arkusfunktionen 100 ff. - mit imaginärem Argument 229 Arkuskosinusfunktion 101 Arkuskotangensfunktion 10 1 Arkussinusfunktion 100 Arkustangensfunktion 10 1 Astroide 125 Asymptoten 87 - einer Hyperbel 120 Aufsuchen einer partikulären Lösung 262 Ausgleichsgerade 299 f. Ausgleichskurven 298 ff. Ausgleichsparabe130l Ausgleichsrechnung 290 ff. äußere Ableitung 133 - Funktion 133 - Integration 245 äußeres Integral 245, 247 - Produkt 53 Auswertung einer Meßreihe 290 ff. axiales Flächenmoment 166 axialsymmetrisches Vektorfeld 337

B Basis 10, 12 Basisfunktionen einer Differentialgleichung 271,

283 Basislösungen einer Differentialgleichung 271, 283 Basisvektoren 48 Baumdiagramm 368 Bayes 'sche Formel 369 bedingte Wahrscheinlichkeit 367 Beobachtungsfehler 290 Berechnung der Fourier-Koeffizienten 183 - eines bestimmten Integrals 142 Bereich, einfach-zusammenhängender 353 f. Bereichsintegral, 2-dimensionales 244 -, 3-dimensionales 250 Bernoulli-de 1 'Hospitalsche Regel 73 Bernoulli-Experiment 375 Beschleunigung einer geradlinigen Bewegung 136 Beschleunigungsvektor 328 bestimmtes Integral 141 ff. Betrag einer komplexen Zahl 217 - einer reellen Zahl 6 - eines Vektors 49 Beziehungen zwischen den Areafunktionen 113 f. - zwischen den Arkusfunktionen 102 - zwischen den Hyperbelfunktionen 108 ff. - zwischen den trigonometrischen Funktionen 93 f. Bildfunktion 302 Bildungsgesetz einer Reihe 16 binärer Logarithmus 13 binäres System 7 Binärlogarithmus 107 Binomialkoeffizient 14 Binomialverteilung 375 ff. binomische Formeln 15 binomischer Lehrsatz 14 f.

Sachwortverzeichnis

bi-quadratische Gleichung 20 Bogenlänge einer ebenen Kurve 166 f., 329 - einer Kurve 329 - einer Raumkurve 329 Bogenmaß 90 Breitenkoordinate 45, 348 Brennpunkt einer Parabel 121 Brennpunkte einer Ellipse 116 - einer Hyperbel 118 Brennweite einer Ellipse 116 - einer Hyperbel 118 - einer Parabel 121 Briggscher Logarithmus 13, 107 Bruch 8 Bruchrechnung 8 ff.

C Cardanische Lösungsformel19 cartesisches Blatt 127 charakteristische Gleichung einer Differential-

gleichung 272, 284 - Kurvenpunkte 138 ff. - Matrix 214 charakteristisches Polynom 215 Chi-Quadrat-Test 429 ff. Chi-Quadrat-Verteilung 390 f. Cramersche Regel 210

D Därnpfungsfaktor 279, 281 f. Därnpfungssatz 306 Darstellung einer Funktion als Fläche 233 Darstellungsformen einer Funktion 67 f. - einer komplexen Zahl 217 ff. Definitionsbereich einer Funktion 67, 232 Definitionslücke 86 dekadischer Logarithmus 13, 107 dekadisches System 7 de Morgansche Regeln 365 Determinante einer komplexen Matrix 212 -, dreireihige 199 -, gestürzte 201 -, n-reihige 200 -, Wronski-Determinante 271, 283 -, zweireihige 198 Determinanten 198 ff. - höherer Ordnung 200 ff. -, elementare Umformungen 203 -, Multiplikationstheorem 202 -, Rechenregeln 201 f. Determinantenschreibweise der Rotation 341 - einer Ebene 62 - einer Geraden 57 Dezimalbruch 4 Dezimalsystem 7 Dezimalzahl 4 Diagonalmatrix 191,216 Dichtefunktion 372 - einer Chi-Quadrat-Verteilnng 390 - einer Exponentialverteilung 385 - einer Normalverteilung 381

Sachwortverzeichnis

- der Standardnonnalverteilung 382 - einer t-Verteilung 392 Differential einer Funktion 130 -, totales 239 f. -, vollständiges 239 f. Differentialgleichung 257 - einer erzwungenen Schwingung 281 - einer freien gedämpften Schwingung 279 - einer freien ungedämpften Schwingung 278 - einer elektromagnetischen Schwingung 282 -, allgemeine Lösung 257 -, Lösung 257 -, partikuläre Lösung 257 -, singuläre Lösung 257 -, spezielle Lösung 257 Differentialgleichungen 257 ff. - 1. Ordnung 258 ff. - I. Ordnung mit trennbaren Variablen 258 - 2. Ordnung 270 ff. - n-ter Ordnung 257, 283 ff. Differentialoperator 120 -, partieller 237 Differentialquotient 129 -, partieller 237 Differentialrechnung 129 ff. -, Anwendungen 136 ff. Differentiation einer Vektorfunktion 327 - eines Vektors nach einem Parameter 327 f. -, gewöhnliche 129 f. -, implizite 135 -, logarithmische 134 -, partielle 236 f. Differenz zweier Mengen 2 Differenzenquotient 129 Differenzenschema 83 Differenzentest 418 ff. - bei bekannten Varianzen 420 ff. - bei gleicher (aber unbekannter) Varianz 422 f. - für Mittelwerte bei abhängigen Stichproben 419 f. - für Mittelwerte bei unabhängigen Stichproben

420 ff. Differenzierbarkeit einer Funktion 129 f. Differenzmenge 2 Differenzvektor 50 diskrete Verteilung 371 diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 375 ff. - -, Approximationen 380 diskrete Zufallsvariable 370 Diskriminante 18 divergente Folge 71 - Reihe 172 Divergenz eines Vektorfeldes 340 - in kartesischen Koordinaten 340 - in Kugelkoordinaten 350 - in Polarkoordinaten 344 - in Zylinderkoordinaten 347 -, Rechenregeln 340 Dividend 6 dividierte Differenzen 84 Division komplexer Zahlen 221 f. - von Zahlen 6

- zweier Bruche 10 Divisor 6 Doppelbruch 10 Doppelintegral 244 ff. - in kartesischen Koordinaten 245 - in Polarkoordinaten 247 doppelte Nullstelle 68 Drehsinn eines Winkels 91 Drehstreckung 221

481

Drehung eines kartesischen Koordinatensystems 43 Dreieck 28 ff. -, gleichscMnkliges 29 -, gleichseitiges 30 -, Ink:reis 29 -, rechtwinkliges 29 -, Umkreis 29 Dreiecksimpuls 314 Dreieckskurve 186 f., 314 Dreiecksmatrix 191, 216 Dreiecksungleichung 6 Dreifachintegral 250 - in kartesischen Koordinaten 251 - in Kugelkoordinaten 253 - in Zylinderkoordinaten 253 Dreifachintegrale 250 ff. Drei-Punkte-Fonn einer Ebene 61 dreireihige Detenninante 199 dreiseitige Pyramide 35 Dualsystem 7 Durchschnitt von Ereignissen 364 - zweier Mengen 2

E ebene Kurven 326 ff. Ebene 234 - senkrecht zu einem Vektor 62 -, Abstand paralleler Ebenen 64 -, Abstand von einem Punkt 62 -, Abstand von einer Geraden 63 -, Detenninantenschreibweise 62 -, Drei-Punkte-Fonn 61 -, Nonnalenvektor 62 -, Parameterdarstellung 60 f. -, Punkt-Richtungs-Fonn 60 -, Richtungsvektoren 60 -, Schnittpunkt mit einer Geraden 65 -, Schnittwinkel mit einer Geraden 65 -, Schnittwinkel zweier Ebenen 66 -, vektorielle Darstellung 60 ff. ebenes Koordinatensystem 41 f. - Vektorfeld 336 echt gebrochenrationale Funktion 85 e-Funktion 103, 228 Eigenkreisfrequenz 279,281 f. Eigenvektoren einer quadratischen Matrix 214 f. - spezieller n-reihiger Matrizen 216 Eigenwerte einer quadratischen Matrix 214 f. - spezieller n-reihiger Matrizen 216 Eigenwertproblem 214 f. einfach-zusammenhängender Bereich 353 Einheitskreis 91

482

Einheitsmatrix 191 Einheitsvektor 46, 48 Einheitswurzeln 224 Einschwingphase 281 Einweggleichrichtung 188,315 elektromagnetische Schwingungen in einem

Reihenschwingkreis 282 f. Element einer Menge 1 elementare Umformungen einer Matrix 196 - - einer n-reihigen Determinante 203 Elementarereignis 363 Ellipse 33, 116 f. -, Brennpunkte 116 -, Gleichung in Polarkoordinaten 117 -, große Achse 116 -, Hauptachse 116 - Hauptform 116 -, kleine Achse 116 -, Mittelpunktsgleichung 116 -, Nebenachse 116 -, Parameterdarstellung 117 -, Ursprungsgleichung 116 Ellipsoid 38, 236 elliptische Krümmung 39 empirische Varianz 401 empirischer Wahrscheinlichkeitswert 366 Endglied einer Reihe 16 endliche Intervalle 8 - Menge 1 - Reihe 16 Epizykloide 123 Ereignis 363 -, komplementäres 364 -, sicheres 365 -, zusammengesetztes 364 Ereignisbaum 368 Ereignisfeld 363 Ereignisraum 363 Ereignisse, Additionssatz 366 -, Durchschnitt 364 -, Multplikationssatz 367 -, Prodnkt 364 -, stochastisch unabhängige 368 -, Summe364 -, Vereinigung 364 -, Verknüpfungen 364 Ergebnismenge eines Zufallsexperiments 363 Ergiebigkeit des Feldvektors 355 Erwartungswert 290 - einer Funktion 374 - einer Zufallsvariablen 373 Erweitern eines Bruches 9 erweiterte Koeffizientenmatrix 204 erzwungene Schwingung 281 f. Euklid, Satz des Euklid 27 Euler-Venn-Diagramm 364 Euler, Streckenzugverfahren 264 f. Eulersche Formeln 219,228 - Zahl103 exakte Differentialgleichung 1. Ordnung 260 explizite Funktion 67, 232

Exponent 10 Exponentialansatz 284

Sachwortverzeichnis

Exponentialform einer komplexen Zahl 218 Exponentialfunktionen 103 ff., 228 Exponentialverteilung 385 f. Extremwerte, relative 138 f., 242 f.

F Faktor 6 -, integrierender 260 Faktorregel der Differentialrechnung 132 - der Integralrechnung 143 Falk-Schema 193 Faltung 309 Faltungsintegral 309 Faltungsprodukt 309 Faltungssatz 309 f. Faß 39 Federpendel 278 Fehler 1. Art 407 -, größtmöglicher 296 -, maximaler 296 Fehlerintegral, Gaußsches 383 Fehlerfortpflanzungsgesetz, Gaußsches 294 ff. -, lineares 296 f. Fehlerrechnung 290 ff. Feldlinien 337 Flächen im Raum 332 ff. Flächendifferential 245 Flächenelement 245, 334 - auf dem Zylindermantel 346 - auf der Kugeloberfläche 349 -, orientiertes 355 Flächenfunktion 144 flächenhafter Integrationsbereich 245 Flächeninhalt 163 ff., 247 f. Flächenintegral eines Vektorfeldes 355 Flächenkurve 333 Flächenmoment, äquatoriales 166 -, axiales 166 -, polares 166 - 2. Grades 166,249 f. Flächennormale 333 Flächenparameter 332 Flächenträgheitsmomente 166,249 f. fluß eines Feldvektors 355 - eines homogenen Vektorfeldes 356 - eines Vektorfeldes durch eine orientierte Fläche

355 - eines Zentralfeldes 356 - eines zylindersyrnmetrischen Vektorfeldes 356 Flußintegral des Vektorfeldes 355 Folge, divergente 71 -, Grenzwert 71 -, konvergente 71 -, Zahlenfolge 71 Formel von Moivre 111,223 Formeln für Mehrfachprodukte von Vektoren 56 Fourier-Koeffizienten 183 Fourier-Reihen 183 ff. Fourier-Zerlegung einer nichtsinusförmigen

Schwingung 185

Sachwortverzeichnis

freie gedämpfte Schwingung 279 f. - ungedämpfte Schwingung 278 freier Vektor 46 Freiheitsgrad 390, 392 Frequenz 98 Frequenzgang 281 Fundamentalbasis einer Differentialgleichung 271, 283 Fundamentalsatz der Algebra 223 - der Differential- und Integralrechnung 144 Funktion 67 ff. - Abklingfunktion 104 - , analytische Darstellung 67, 232 - , Areafunktion 112 ff. - , Areakosinus hyperbolicusfunktion 112 - , Areakotangens hyperbolicusfunktion 112 - , Areasinus hyperbolicusfunktion 112 - Areatangens hyperbolicusfunktion 112 - , Arkusfunktion 100 ff. - , Arkuskosinusfunktion 101 - , Arkuskotangensfunktion 101 - , Arkussinusfunktion 100 - Arkustangensfunktion 101 - , äußere 133 - , Darstellung als Fläche im Raum 233 - , Darstellungsformen 67 f. - , Definitionsbereich 67, 232 - , differenzierbare 129 f. - , e-Funktion 103 - , echt gebrochenrationale 85 - explizite 67, 232 - , Exponentialfunktion 103 ff. - , Flächenfunktion 144 - , Gammafunktion 391 - ganzrationale 75 ff. - , Gaußfunktion 105 - , gebrochenrationale 85 ff. - , gerade 69 - , Graph 68 - , graphische Darstellung 68, 233 - , Grenzwert 72 - , Hyperbelfunktion 107 ff. - , implizite 67, 232 - innere 133 - , Integrandfunktion 142 - inverse 70 - , komplexwertige 225 - , Kosinusfunktion 92 - , Kosinus hyperbolicus 107 - , Kotangensfunktion 93 - , Kotangens hyperbolicus 108 - , lineare 75 - , linearisierte 137, 241 f. - , Linearisierung 137, 241 f. - , Logarithmusfunktion 106 f. - , Mittelwerte 163 - , monotone 69 - , Näherungspolynome 181 f. - , Nullstellen 68 - , Parameterdarstellung 67 - periodische 70 -, Polynomfunktion 75 ff.

- , punktsymmetrische 69 - quadratische 77 -, Sättigungsfunktion 104 f. - Schaubild 68 -, Sinusfunktion 92 -, Sinus hyperbolicus 107 -, spiegelsymmetrische 69 - , Stammfunktion 142, 144 - stetige 74 - , Stetigkeit 74 - , Symmetrie 69 - , Tangensfunktion 93 - , Tangens hyperbolicus 108 - , trigonometrische 90 ff. - , Urnkehrfunktion 70 - unecht gebrochenrationale 85 - , ungerade 69 - , verkettete 133 - von mehreren Variablen 232 ff. -, Wertebereich 67, 232 -, Wertevorrat67,232 -, Wurzelfunktion 89 -, zusammengesetzte 133 Funktionsgraph 68 Funktionskurve 68 Funktionswert 67, 232

G Gamma-Funktion 391 ganze Zahlen 4 ganzrationale Funktionen 75 ff. Gauß-Funktion 105 Gauß-Jordan-Verfahren 195 Gaußsche Glockenkurve 105,381 f. - Normverteilung 290 f., 381 ff. - Zahlenebene 217 Gaußscher Algorithmus 207 f. - Integralsatz 358 f. - Integralsatz im Raum 358 - Integralsatz in der Ebene 359 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz 294 ff. - Prinzip der kleinsten Quadrate 298 - Fehlerintegral 383 gebrochenrationale Funktionen 85 ff. - -, Asymptote 87 - -, Nullstellen 86 - -, Pole 86 - -, Unendlichkeitsstellen 86 gebundener Vektor 46 gedämpfte Kosinusschwingung 316 - Sinusschwingung 315 Gegenvektor 47

483

gekoppelte Differentialgleichungen 286 gemeinsame Verteilung zweier Zufallsvariablen 386 gemischtes Produkt 55 geometrische Reihe 16, 174 gerade Funktion 69 Gerade 75 - Abstand paralleler Geraden 58 -, Abstand von einem Punkt 58, 76 -, Abstand von einer Ebene 63

484

-, Abstand windschiefer Geraden 59 -, Achsenabschnitte 75 f. - Achsenabschnittsform 76 - Determinantenschreibweise 57 -, Hauptform 75 -, Hessesche Normalform 76 - Parameterdarstellung 57 -, Punkt-Richtungs-Form 57 -, Punkt-Steigungs-Form 75 - Richtungsvektor 57 - Schnittpunkt mit einer Ebene 65 -, Schnittpunkt zweier Geraden 60 -, Schnittwinkel mit einer Ebene 65 -, Schnittwinkel zweier Geraden 60, 77 - Steigung 75 -, Steigungswinkel 75 -, vektorielle Darstellung 57 ff. - Zwei-Punkte-Form 57, 76 gerader Kreiskegel 36 - Kreiskegelstumpf 37 - Kreiszylinder 36 gerades Prisma 34 Geschwindigkeit einer geradlinigen Bewegung 136 Geschwindigkeitsvektor 328 gestaffeltes lineares Gleichungssystem 208 gewöhnliche Zykloide 123 Gleichheit von Mengen I - von Vektoren 47 gleichschenkliges Dreieck 29 gleichseitige Hyperbel 120 - Pyramide 34 gleichseitiges Dreieck 30 Gleichung einer Ellipse in Polarkoordinaten 117 - einer gedrehten Hyperbel 120 - einer Hyperbel in Polarkoordinaten 119 - einer Parabel in Polarkoordinaten 122 - eines Kegelschnittes 114 - eines Kreises in Polarkoordinaten 115 - mit einer Unbekannten 17 ff. - algebraische 17 ff. - bi-quadratische 20 - kubische 19 f. -, lineare 18 -, quadratische 18 -, trigonometrische 22 - Wurzelgleichung 21 Gleichungssysteme, lineare 204 ff. Glockenkurve, Gaußsche 381 f. Gradient eines Skalarfeldes 338 - in kartesischen Koordinaten 338 - in Kugelkoordinaten 350 - in Polarkoordinaten 344 - in Zylinderkoordinaten 347 - Rechenregeln 339 Gradientenfeld 342 Gradmaß 90 graphische Darstellung einer Funktion 68, 233 graphisches Lösungsverfahren für Gleichungen 22 Grenzwert einer Folge 71 - einer Funktion 72 -, Rechenregeln 72 f.

Sachwortverzeichnis

Grenzwertregel von Bernoulli und I'Hospital 73 Grenzwertsätze 310 f. große Achse einer Ellipse 116 - - einer Hyperbel 118 größter gemeinsamer Teiler 3 größtmöglicher Fehler 296 Grundgesamtheit 394 Grundintegrale (Tabelle) 146 Grundrechenarten 6 - für komplexe Zahlen 220 ff. Grundzahl 10 gruppierte Stichprobe 397

Häufigkeitsfunktion 398 Histogramm 398

- -, Kennwerte 403 - -, Stabdiagramm 398

Staffelbild 398 - -, Treppenfunktion 399 - -, Verteilungsfunktion 399 - -, Verteilungstabelle 398 Guldinsche Regeln 40 f.

H halboffenes Intervall 8 harmonische Schwingung 98, 229 Häufigkeit, absolute 365, 395 -, relative 365, 395 Häufigkeitsfunktion einer gruppierten Stichprobe 398 - einer Stichprobe 395 Häufigkeitsverteilung einer Stichprobe 395 Hauptachse einer Ellipse 116 Hauptdiagonale einer Determinante 198 - einer Matrix 190 Hauptdiagonalprodukt 199 Hauptform einer Ellipse 116 - einer Geraden 75 - einer Hyperbel 118 - einer Parabel 77, 121 - eines Kreises 115 Hauptnenner 9 Hauptnormaleneinheitsvektor 330 Hauptsatz der Integralrechnung 142 Hauptwert des natürlichen Logarithmus 225 - eines Winkels 42, 218 hermitesche Matrix 213, 216 Herzkurve 125 Hessesche Normalform einer Geraden 76 Histogramm 398 Hochpunkt 139 Hochzahl 10 Höhenkoordinate 44, 345 Höhenliniendiagramm 233 Höhensatz 26 höhere Ableitungen 130 homogenes lineares Gleichungssystem 204 - Vektorfeld 337 Horner-Schema 79 Hüllenintegral 355 Hyperbel 118 ff. - Asymptoten 120 -, Brennpunkte 118 -, gedrehte 120

Sachwortverzeichnis

-, gleichseitige 120 -, Gleichung in Polarkoordinaten 119 -, große Achse 118 -, Hauptfonn 118 -, imaginäre Achse 118 -, kleine Achse 118 -, Mittelpunktsgleichung 118 -, Parameterdarstellung 120 -, rechtwinklige 120 -, reelle Achse 118 -, Scheitelpunkte 118 -, Ursprungsgleichung 118 Hyperbelfunktionen 107 ff., 227 hyperbolischer Pythagoras 108 hypergeometrische Verteilung 377 f. Hypothese 414 -, Altemativhypothese 414 -, Nullhypothese 414 -, statistische 414 Hypozykloide 124

I imaginäre Achse einer Hyperbel 118 - Einheit 217 - Zahl217 Imaginärteil einer komplexen Matrix 211 - einer komplexen Zahl 217 implizite Differentiation 135 - - unter Verwendung der Kettenregel 135 - - unter Verwendung partieller Ableitungen

135 - Funktion 67, 232 inhomogenes lineares Gleichungssystem 204 Inkreis eines Dreiecks 29 innere Ableitung 133 - Funktion 133 - Integration 245 inneres Integral 245, 247 - Produkt 51 f. Integrabilitätsbedingungen 260 - für ein ebenes Vektorfeld 352 - für ein räumliches Vektorfeld 353 Integral, Arbeitsintegral 162, 354 -, äußeres 247 - , bestimmtes 141 ff. - Doppelintegral 244 - , Dreifachintegral 250 - Flächenintegral 355 - Hüllenintegral 355 - , inneres 247 - , Mehrfachintegral 244 ff. - Oberflächenintegral 355 - unbestimmtes 144 ff. - uneigentliches 161 f. Integralrechnung 141 ff. Integralsatz für die Bildfunktion 309 - für die Originalfunktion 308 -, Gaußscher 358 f. -, Stokes 'scher 359 Integralsätze 308 f. Integraltafel 433

Integrand 142,245,251 Integrandfunktion 142,245,251 Integration der Bewegungsgleichung 162 - der homogenen linearen Differentialgleichung

1. Ordnung 261 der homogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung 271 f. der homogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung 283

485

der inhomogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung 261 der inhomogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung 272 f. der inhomogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung 285 durch Potenzreihenentwicklung des Integranden 155

- durch Substitution 147 ff. - einer gebrochenrationalen Funktion durch

Partialbruchzerlegung des Integranden 151 ff. -, partielle 150 -, Produktintegration 150 -, unbestimmte 145 Integrationsgrenze, obere 142 -, untere 142 Integrationsgrenzen 142 Integrationsmethoden 147 ff. Integrationsregeln 143 Integrationsvariable 142,245,251 integrierender Faktor 260 Interpolationsfonnel von Lagrange 81 f. - von Newton 83 Interpolationspolynome 81 ff. Intervall8 - abgeschlossenes 8 -, endliches 8 -, halboffenes 8 -, offenes 8 - unendliches 8 Intervallschätzungen 404, 407 ff. inverse Funktion 70 - Laplace-Transfonnation 303 - Laplace-Transfonnierte 303 - Matrix 194 f. inverser Vektor 47 Inversion einer komplexen Zahl 226 - einer Ortskurve 226 Inversionsregeln für Ortskurven 226 irrationale Zahl 4 Irrtumswahrscheinlichkeit 407

K Kalotte 38 Kardioide 125 kartesische Fonn einer komplexen Zahl 217 - Koordinaten 41, 44 kartesischer Nonnalbereich 245, 251 Kathetensatz 27 Kegelschnitte 114 ff. Kehnnatrix 194 Kehrwert einer Zahl 8

486

Keil 36 Kennkreisfrequenz 279, 282 Kennwerte einer Exponentialverteilung 385 - einer Binomialverteilung 376 - einer Chi-Quadrat-Verteilung 390

einer hypergeometrischen Verteilung 378 - einer Normalverteilung 381 - einer Poisson-Verteilung 379

der Standardnormalverteilung 382 einer Stichprobe 400

- einer t-Verteilung 392 - einer Verteilung 373 ff. Kettenlinie 105 Kettenregel 133 Kippschwingung 187,314 f. Klasse 397 Klassenhäufigkeit 397 Klassenmitte 397 Kleeblatt 127 kleine Achse einer Ellipse 116 - - einer Hyperbel 118 kleinstes gemeinsames Vielfaches 3 Koeffizientenmatrix 204, 287 kollineare Vektoren 47,55 Kombinationen 362 - mit Wiederholung 362 - ohne Wiederholung 362 Kombinatorik 361 ff. komplanare Vektoren 56 komplementäres Ereignis 364 komplexe Amplitude 229

Funktionen 227 ff. - Matrix211

Matrix, Determinante 212 - Matrix, Imaginärteil 211 ff. - Matrix, Realteil 211 - Matrix, Rechenregeln 212

Zahlen 217 ff. - Zahlen, algebraische Form 217 - Zahlen, Betrag 217 - Zahlen, Darstellungsformen 217 ff. - Zahlen, Exponentialform 218 - Zahlen, Grundrechenarten 220 ff. - Zahlen, lmaginärteil217

Zahlen, Inversion 226 - Zahlen, kartesische Form 217

Zahlen, Polarformen 218 - Zahlen, Realteil 217

Zahlen, Rechenregeln 220 - Zahlen, trigonometrische Form 218 komplexer Zeiger 229 komplexwertige Funktion 225 Komponentendarstellung eines Vektors 48 Konfidenzgrenzen 407 Konfidenzintervalle 407 ff. Konfidenzniveau 407 Konjugation 212 konjugiert komplexe Matrix 212 - komplexe Zahl 218 - transponierte Matrix 213 konkave Krümmung 138

Sachwortverzeichnis

konservatives Vektorfeld 353 f. konvergente Folge 71 - Reihe 172 Konvergenzbereich einer Potenzreihe 176 Konvergrenzkriterien für unendliche Reihen 173 f. Konvergenzradius einer Potenzreihe 176 konvexe Krümmung 138 Koordinaten, kartesische 41, 44 -, Kugelkoordinaten 45 -, orthogonale 344, 346, 348 -, Polarkoordinaten 42 -, rechtwinklige 41, 44 -, Zylinderkoordinaten 44 Koordinatenebenen 234 Koordinatenflächen in Kugelkoordinaten 348 - in Zylinderkoordinaten 346 Koordinatenlinien einer Räche 332 - in einem Polarkoordinatensystem 344 - in Kugelkoordinaten 348 - in Zylinderkoordinaten 346 Koordinatensysteme 41 ff. -, ebene 41 f. -, krunnnlinige 344 -, räumliche 44 f. Koordinatentransformationen 42 f. Korrelationskoeffizient 300 korrelierte Stichproben 418 Korrespondenz 302 Kosinus hyperbolicus 107 Kosinusfunktion 92,316 -, allgemeine 97 Kosinussatz 28 Kosinusschwingung 98,316 -, gedämpfte 316 Kotangens hyperbolicus 108 Kotangensfunktion 93 Kreis 32, 114 f. -, Gleichung in Polarkoordinaten 115 -, Hauptform 115 -, Mittelpunktsgleichung 115 -, Parameterdarstellung 115 -, Ursprungsgleichung 115 Kreisabschnitt 32 Kreisausschnitt 32 Kreisfrequenz 98 Kreiskegel 235 -, gerader 36 Kreiskegelstumpf, gerader 37 Kreisring 33 Kreissegment 32 Kreissektor 32 Kreiszylinder 236 -, gerader 36 Kreuzprodukt 53 Kriechfall 280 krunnnliniges Koordinatensystem 344 Krümmung einer Kurve 138, 330 f. - einer Raumkurve 330 -, elliptische 39 -, konkave 138 -, konvexe 138

Sachwortverzeichnis

-, Linkskrümmung 138 -, parabolische 39 -, Rechtskrümmung 138 -, sphärische 39 Krümmungsradius 330 Kubikwurzel 11 kubische Gleichung 19 f. Kugel 37, 235 Kugelabschnitt 38 Kugelausschnitt 37 Kugelkappe 38 Kugelkoordinaten 45, 348 Kugelschicht 38 Kugelsegment 38 Kugelsektor 37 kugelsymmetrisches Vektorfeld 337 Kugelzone 38 Kurve 67 ff. -, Bogenlänge 166 f. -, ebene 326 ff. -, räumliche 326 ff. -, vektorielle Darstellung 326 Kurvengleichung in Polarkoordinaten 68 Kurvenintegral 350 ff. - eines räumlichen Vektorfeldes 352 - längs einer geschlossenen Linie 351 Kurvenkrürnrnung 138 Kürzen eines Bruches 9

L Lagrange, Interpolationsformel 81 ff. -, Koeffizientenfunktionen 81 -, Restglied 177 Lagrangesche Koeffizientenfunktion 81 Längenkoordinate 45, 348 Laplace-Experiment 366 Laplace-Operator 343

in Kugelkoordinaten 350 - - in Polarkoordinaten 344 - - in Zylinderkoordinaten 347 Laplacesche Differentialgleichung 343 Laplacescher Entwicklungssatz 201 Laplace-Transformationen 302 ff. Laplace-Transformationsoperator 302 Laplace-Transformierte 302

des Faltungsproduktes 310 einer Linearkombination 303 einer periodischen Funktion 311 spezieller Funktionen (Impulse) 312 ff.

leere Menge I Leibnizsche Sektorformel 164 Leibnizsches Konvergenzkriterium für alternierende

Reihen 174 Leitlinie einer Parabel 121 Lemniskate 126 Linearkombinationen von Zufallsvariablen 388 linear abhängige Vektoren 210 f. - unabhängige Vektoren 210 f. lineare Algebra 189 ff.

Differentialgleichungen 1. Ordnung 261 ff. - Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten

Koeffizienten 262 f., 319

- Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 271 ff., 320 Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 283 ff. Funktion 75 Gleichung 18 Gleichungssysteme 204 ff. Unabhängigkeit von Vektoren 210 f.

linearer Mittelwert einer Funktion 163 lineares (m, n)-Gleichungssystem 204

Anfangswertproblem 318 ff. - Fehlerfortpflanzungsgesetz 296 f.

Gleichungssystem, äquivalente Umformungen 207

- Gleichungssystem, homogenes 204 - Gleichungssystem, inhomogenes 204

Gleichungssystem, quadratisches 204 Linearfaktoren 78 f. Linearisierung einer Funktion 137,241 f. Linearität 303 Linien gleicher Höhe 233 Linienelement in Kugelkoordinaten 349 - in Zylinderkoordinaten 346 linienflüchtiger Vektor 46 Linienintegrale 350 ff. - im Raum 352 f. - in der Ebene 350 f. Linkskrümmung 138, 331 Logarithmen 12 f. -, Rechenregeln 13 logarithmische Ableitung 134 - Differentiation 134 - Spirale 128 Logarithmus 12

naturalis 13 binärer 13, 107

- Briggscher 13, 107 -, dekadischer 13, 107 -, natürlicher 13, 106 -, Zehnerlogarithmus 13, 107

Zweierlogarithmus 13, 107 Logarithmusfunktionen 106 ff.

487

Lösungen einer Differentialgleichung 257 Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems

205 - eines quadratischen linearen Gleichungssystems

206

M Mac Laurinsche Formel 177 - - Reihe 178 Mac Laurinsches Polynom 177 Mantelfläche eines Rotationskörpers 168 f. Massenträgheitsmoment eines homogenen Körpers

170 f., 255 f. - eines Rotationskörper 170 f. Maßzahlen einer Binomialverteilung 376 - einer Chi-Quadrat-Verteilung 390 - einer Exponentialverteilung 385 - einer hypergeometrischen Verteilung 378

einer Normalverteilung 381

488

- einer Poisson-Verteilung 379 - der Standardnormalverteilung 382 - einer Stichprobe 400 - einer t-Verteilung 392 - einer Verteilung 373 ff. Matrix 189 -, charakteristische 214 -, Diagonalmatrix 191 -, Dreiecksmatrix 191 -, Eigenvektoren 214 f. -, Eigenwerte 214 f. -, Einheitsmatrix 191 -, elementare Umformungen 196 -, hermitesche 213 - inverse 194 f. -, Kehrmatrix 194 -, Koeffizientenmatrix 204, 287 -, komplexe 211 -, konjugiert komplexe 212 -, konjugiert transponierte 213 -, n-reihige 190 -, Nullmatrix 190 -, orthogonale 192 -, quadratische 190 - Rang 196 -, reelle 189 -, reguläre 194 - schiefhermitesche 213 -, schiefsymmetrische 191 -, singuläre 194 - Spaltenmatrix 190 -, Spur 190 -, symmetrische 191 -, transponierte 190 - Umkehrmatrix 194 -, unitäre 214 - Unterdeterminante 196 -, Zeilenmatrix 190 Matrixelement 189 Matrizen, Addition 192 - komplexe 211 ff. - Multiplikation 192 f. - Rechenregeln 192 f. - reelle 189 ff. -, Subtraktion 192 maximale Meßunsicherheit 296 maximaler Fehler 296 Maximum, relatives 139,242 f. mechanische Schwingungen 278 ff. mehrdimensionale Zufallsvariable 386 Mehrfachintegrale 244 ff. mehrstufiges Zufallsexperiment 368 f. Menge 1 f. - der ganzen Zahlen 4 - der komplexen Zahlen 217 - der natürlichen Zahlen 2 - der positiven ganzen Zahlen 2 - der rationalen Zahlen 4 -, Differenzmenge 2 -, Durchschnitt 2 -, Elemente 1 -, endliche 1

-, leere 1 -,Obermenge 1 - Restmenge 2 -, Schnittmenge 2 - Teilmenge 1 -, unendliche 1 - Untermenge 1 -, Vereinigungsmenge 2 Mengenoperationen 2 Meßergebnis 293 Meßfehler 290 Meßreihe 291 -, Auswertung 290 ff. -, Mittelwert 291 Meßunsicherheit 293 -, maximale 296 Meßwert 290 -, wahrscheinlichster 290

Sachwortverzeichnis

Methode der kleinsten Quadrate 298 Minimum, relatives 139,242 f. Minuend 6 Mittelpunktsgleichung einer Ellipse 116 - einer Hyperbel 118 - eines Kreises 115 Mittelwert 290 - einer Funktion, linearer 163 - einer Funktion, quadratischer 163 - einer Funktion, zeitlicher 163 - einer Binomialverteilung 376 - einer Chi-Quadrat-Verteilung 390 - einer Exponentialverteilung 385 - einer hypergeometrischen Verteilung 378 - einer Meßreihe 291 - einer Normalverteilung 381 - einer Poisson-Verteilung 379 - der Standardnormalverteilung 382 - einer Stichprobe 400 - einer t -Verteilung 392 - einer Zufallsvariablen 374 - arithmetischer 291 mittlerer Fehler der Einzelmessung 292 - - des Mittelwertes 292 Moivre, Formel von Moivre 111, 223 monoton fallende Funktion 69 - wachsende Funktion 69 Monotonie 69 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar 192 - eines Vektors mit einem Skalar 51 - komplexer Zahlen 220 f. - von Matrizen 193 - von Zahlen 6 - zweier Brüche 10 Multiplikationssatz für Ereignisse 367 - für Mittelwerte 389 Multiplikationstheorem für Determinanten 202

N n-dimensionale Zufallsvariable 387 Nabla-Operator 338 Näherungspolynome einer Funktion 181 - spezieller Funktionen (Tabelle) 181 f. natürliche Zahlen 2

Sachwortverzeichnis

natürlicher Logarithmus 13, 106 - - einer komplexen Zahl 224 f. Nebenachse einer Ellipse 116 Nebendiagonale einer Determinante 198 - einer Matrix 190 Nebendiagonalprodukt 199 n-Eck, reguläres 32 Newton, Interpolationsformel 83 -, Tangentenverfahren 24 n-Fakultät 14 nichtäquivalente Umformungen einer Gleichung

21 Niveauflächen 336 Niveaulinien 336 Normalbereich in kartesischen Koordinaten 245, 251 - in Polarkoordinaten 247 Normale 137 Normalenvektor einer Ebene 62 Normalgleichungen 298, 301 Normalparabel 77 Normalverteilung, Gaußsche 290 f., 381 ff. -, standardisierte 290, 382 ff. Normierung eines Vektors 51 n-reihige Determinante 200 - Matrix 190 Nullhypothese 414 Nullmatrix 190 Nullphasenwinkel 98 Nullstelle 68 - einer gebrochenrationalen Funktion 86 - einer Polynornfunktion 78 Nullstellenbereclmung einer Polynomfunktion 80 Nullvektor 46 numerische Exzentrität einer Ellipse 116 - - einer Hyperbel 118 numerische Integration 155 ff. - - einer Differentialgleichung 1. Ordnung

264 ff. einer Differentialgleichung 2. Ordnung 275 f.

- -, Romberg-Verfahren 158 f. -, Simpsonsche Formel 156 f.

- -, Trapezformel155 f. Numerus 12

o obere Dreiecksmatrix 191 - Integrationsgrenze 142 Oberflächenintegral 355 ff. - über eine geschlossene Fläche 355 Oberfunktion 302 Obermenge 1 offenes Intervall 8 Ordinate 41 orientiertes Flächenelement 355 Originalfunktion 302 orthogonale ebene Koordinaten 344 - Matrix 192 - räumliche Koordinaten 346, 348 - Vektoren 53 orthonormierte Basis 52 Ortskurve 225 ff. - einer parameterabhängigen komplexen Zahl 225

Ortsvektor 46 - einer ebenen Kurve 326 - einer Fläche 332 - einer Raumkurve 326

P p, q-Formel18 Parabel 77, 121 f. - n-ter Ordnung 87 -, Brennpunkt 121 -, Gleichung in Polarkoordinaten 122 -, Hauptform 77,121 -, Leitlinie 121 -, Normalparabel 77 -, Parameterdarstellung 122 -, Produktform 78 -, Scheitelgleichung 121 -, Scheitelpunkt 121 -, Scheitelpunktsform 78 parabolische Krümmung 39 parallele Vektoren 47 Parallelebenen 234 Parallelepiped 34 Parallelogramm 31 Parallelogrammregel für komplexe Zahlen 220 Parallelverschiebung eines kartesischen

Koordinatensystems 42 Parameter 67 - einer Binomialverteilung 376 - einer Chi-Quadrat-Verteilung 390 - einer Exponentialverteilung 385 - einer hypergeometrischen Verteilung 377 - einer Normalverteilung 381 - einer Parabel 121 - einer Poisson-Verteilung 379 - der Standardnormalverteilung 382 - einer t-Verteilung 392 parameterabhängiger Ortsvektor 326 Parameterdarstellung einer Ebene 60 f. - einer Ellipse 117 - einer Funktion 67 - einer Geraden 57 - einer Hyperbel 120 - einer Parabel 122 - eines Kreises 115 Parameterlinien einer Fläche 332 Parameterschätzungen 404 ff. Parametertest 414 -, Musterbeispiel 428 f. Parametertests 414 ff. -, spezielle 415 ff. Partialbruch 151 Partialbruchzerlegung 151 ff. Partialsumme 172 Partialsummenfolge 172 partielle Ableitungen 236 ff. - - 1. Ordnung 236 f. - - höherer Ordnung 238 f. partielle Differentialoperatoren 237 - Differentialquotienten 237 - Differentiation 236 ff. - Integration 150

489

490

partieller Differentialoperator l. Ordnung 238 partikuläre Lösung einer Differentialgleichung 257 Pascalsches Dreieck 15 Periode 70 -, primitive 70 Periodendauer 98 periodische Funktion 70 - -, Laplace-Transformierte 311 Periodizität 70 Permutationen 361 Pfad 368 Pfadregeln 369 Phase 98 Phasenverschiebung 281 Phasenwinkel 98 Pivotelement 208 Planimetrie 28 ff. Poisson-Verteilung 379 Pol 68, 86 Polarachse 68 polares Flächenmoment 166 Polarformen einer komplexen Zahl 218 Polarkoordinaten 42, 343 Polarwinkel 68 Polynom, charakteristisches 215 -, Interpolationspolynom 81 ff. -, Mac Laurinsches 177 -, reduziertes 78 -, Taylorsches 177 Polynomfunktion 75 ff. - Nullstellen 78 -, Produktdarstellung 78 - Reduzierung 80 - Zerlegung in Linearfaktoren 79 Positionssystem 7 Potenzen 10 f. -, Rechenregeln II Potenzfunktionen 87 ff. Potenzieren einer komplexen Zahl 222 f. Potenzregeln 11 Potenzreihen 175 ff. -, Konvergenzbereich 176 -, Konvergenzradius 176 p-reihige Unterdeterminante 196 Primfaktoren 3 primitive Periode 70 Primzahl 3 Prisma 33 f. -, gerades 34 -, reguläres 34 Produkt von Ereignissen 364 - von Zufallsvariablen 388 f. Produktdarstellung einer Polynomfunktion 78 Produktform einer Parabel 78 Produktintegration 150 Produktregel der Differentialrechnung 132 - der Vektoranalysis 328 Projektion eines Vektors 53 Prüfverfahren, statistische 414 ff. Prüfverteilungen 390 ff. Punktschätzungen 404

Sachwortverzeichnis

Punkt-Richtungs-Form einer Ebene 60 - - - einer Geraden 57 Punkt-Steigungsform einer Geraden 75 punktsymmetrische Funktion 69 Punktwolke 300 Pyramide 34 - dreiseitige 35 -, gleichseitige 34 -, reguläre 34 Pyramidenstumpf 35 Pythagoras, hyperbolischer 108 -, Satz des Pythagoras 26 - trigonometrischer 94

Q Quader 34 Quadrantenregel für trigonometrische Funktionen 92 Quadrat 30 quadratische Funktion 77 - Gleichung 18 - Matrix 190 quadratischer Mittelwert einer Funktion 163 quadratisches lineares Gleichungssystem 204 Quadratwurzel 11 Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung (Tabelle) 474 - der Standardnormalverteilung (Tabelle) 472 - der Standardnormalverteilung 384 f. - dert-Verteilung (Tabelle) 476 Quelldichte 340 Quelle 340 quellenfreies Vektorfeld 342 Quellstärke pro Volumeneinheit 340 Quotientenkriterium 173 Quotientenregel der Differentialrechnung 133

R radialsymmetrisches Vektorfeld 337 Radikand 11 Radizieren II - einer komplexen Zahl 223 Rampenfunktion 317 Randbedingungen 258 Randverteilungen 387 Randwerte 258 Randwertproblem 258 Rang einer Matrix 196 rationale Zahl 4 räumliche Kurven 326 ff. räumlicher Integrationsbereich 251 räumliches Koordinatensystem 44 f. - Vektorfeld 337 Raute 31 Realteil einer komplexen Matrix 211 - einer komplexen Zahl 217 Rechenregeln für Beträge 6 - für Divergenzen 340 - für Erwartungswerte 374 f. - für Faltungsprodukte 309 - für Gradienten 339 - für Grenzwerte 72 f. - für komplexe Matrizen 212

Sachwortverzeichnis

- für komplexe Zahlen 220 - für Logarithmen 13 - für Matrizen 192 f. - für n-reihige Determinanten 201 - für Potenzen 11 - für relative Häufigkeiten 365 - für Rotationen 342 - für Vektoren 50 f., 55 f. - für Wahrscheinlichkeiten 366 - für Wurzeln 12 Rechteck 30 Rechtecksimpuls 186, 313 Rechteckskurve 186,313 rechtshändiges System 53 Rechtskriirnrnung 138, 331 rechtwinklige Hyperbel 120 - Koordinaten 41, 44 rechtwinkliges Dreieck 29 reduziertes Polynom 78 Reduzierung einer Polynornfunktion 80 reelle Achse einer Hyperbel 118 - Matrizen 189 ff. - Zahl 2 ff. - Zahl, Betrag 6 - Zahl, Signum 6 Regel von Sarrus 199 Regressionsgerade 299 f. Regressionsparabel 301 regula falsi 23 reguläre Matrix 194 - Pyramide 34 reguläres n-Eck 32 - Prisma 34 - Tetraeder 35 Reihe 16 - , arithmetische 16 - Bildungsgesetz 16 - , binomische 179 - , divergente 172 - , endliche 16 - Fourier-Reihe 183 ff. - , geometrische 16, 174 - , konvergente 172 - , Konvergenzkriterien 173 f. - , Mac Laurinsche 178 - , Potenzreihe 175 ff. - , Taylorsche 178 - , unendliche 172 ff. Reihen der Areafunktionen 181 - der Arkusfunktionen 180 - der Exponentialfunktionen 179 - der Hyperbelfunktionen 180 f. - derlogarithmischen Funktionen 180 - der trigonometrischen Funktionen 180 relative Extremwerte 138 f., 242 f. - -, allgemeines Kriterium 139 relative Häufigkeit 365 - - eines Stichprobenwertes 395 relatives Maximum 139, 242 f. - Minimum 139, 242 f. Resonanzfall 282

Resonanzkreisfrequenz 282 Restglied 177 - nach Lagrange 177 Restmenge 2 Rhombus 31 Richtungsableitung 339 Richtungskosinus 49 Richtungsvektor einer Geraden 57 - einer Ebene 60 Richtungswinkel eines Vektors 49 Rollkurve 123 Romberg-Verfahren 158 f. Rotation eines ebenen Vektorfeldes 342 - eines Vektorfeldes 341 f. - in kartesischen Koordinaten 341 - in Kugelkoordinaten 350 - in Polarkoordinaten 344 - in Zylinderkoordinaten 347 -, Rechenregeln 342 Rotationsellipsoid 39 Rotationsfläche 168 f., 234 f. Rotationskörper, Mantelfläche 168 f. -, Massenträgheitsmoment 170 f., 256 -, Schwerpunkt 169,255 -, Volumen 167 f., 254 Rotationsparaboloid 39 Rotationsvolumen 167 f. rotierender Zeiger 98 Rundungsregeln für reelle Zahlen 5 Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung 266 f. - - - 4. Ordnung 267 ff., 275 f.

S Sägezahnfunktion 314 f. Sägezahnimpuls 187 Sarrus, Regel von Sarrus 199 Sattelpunkt 140 Sättigungsfunktion 104 f. Satz des Euklid 27 - des Pythagoras 26 - des Thales 27 - über Linearkombinationen 303 - von Schwarz 238 - von Steiner 166, 170 Schachbrettregel 200 Schätzfunktion 404 -, effiziente 405 -, erwartungstreue 404 -, konsistente 405

491

Schätzfunktionen für unbekannte Parameter 404 ff. Schätzmethoden, statistische 404 ff. Schätzungen für den Anteilswert 405 - für den Erwartungswert 405 - für den Mittelwert 405 - für die Varianz 405 Schätzwerte für den Parameter einer Binomialvertei-

lung406 - - - - einer Exponentialverteilung 406 - - - - einer Poisson-Verteilung 406 - - - - einer Gaußschen Normalverteilung 406 - für unbekannte Parameter 404 ff.

492

Schaubild 68 Scheitelgleichung einer Parabel 121 Scheitelpunkt 77 - einer Parabel 121 - einer Hyperbel 118 Scheitelpunktsform einer Parabel 78 schiefhermitesche Matrix 213 schiefsymmetrische Matrix 191 Schleifenkurve 126 Schnittkurvendiagramm 233 Schnittmenge 2 Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene 65 - zweier Geraden 60 Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene 65 - zweier Ebenen 66 - zweier Geraden 60, 77 - zweier Vektoren 52 schwache Dämpfung 279 Schwarz, Satz von Schwarz 238 Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche 165,

248 f. - eines homogenen Körpers 254 f. - eines homogenen Rotationskörpers 169 Schwerpunktachse 166, 170 Schwingung, aperiodische 280 -, aperiodischer Grenzfall 280 -, erzwungene 281 f. -, freie gedämpfte 279 f. -, freie ungedämpfte 278 -, harmonische 98, 229 -, Kosinusschwingung 98 -, mechanische 278 ff. -, Sinusschwingung 98 -, Superpositionsprinzip 99 Schwingungsfall 279 Schwingungsamplitude 281 Schwingungsdauer 98 Schwingungsgleichung der Mechanik 278 Schwingungslehre 97 ff. sicheres Ereignis 365 Sicherheit, statistische 407 Signum einer reellen Zahl 6 Simpsonsche Formel 156 f. singuläre Lösung einer Differentialgleichung 257 - Matrix 194 Sinus hyperbolicus 107 Sinusfunktion 92, 315 -, allgemeine 97 Sinusimpuls 188,315 f. Sinussatz 28 Sinusschwingung 98,315 -, gedämpfte 315 Skalar 46 skalare Vektorkomponente 48 Skalarfeld 336 - in Kugelkoordinaten 350 - in Polarkoordinaten 344 - in Zylinderkoordinaten 347 Skalarprodukt 51 f., 193 Spaltenindex einer Matrix 189 Spaltenmatrix 190

Sachwortverzeichnis

Spaltenvektor 48 - einer Matrix 189 Spannweite einer Stichprobe 395 Spat 34 Spatprodukt 55 spezielle binomische Reihen 179 - Dreiecke 29 f. - Exponentialfunktionen 104 - Fourier-Reihen (Tabelle) 186 ff. - Integralsubstitutionen (Tabelle) 148 f. - komplexe Matrizen 213 f. - konvergente Reihen 174 f. - Kurven 123 ff. - Laplace-Transformationen (Tabelle) 321 ff. - Logarithmusfunktionen 106 f. - Lösung einer Differentialgleichung 257 - Potenzreihenentwicklungen (Tabelle) 179 ff. - quadratische Matrizen 190 ff. - Vektorfelder 337,342 f. - Zahlenreihen 16 f. sphärische Krümmung 39 spiegelsymmetrische Funktion 69 Spirale 128 -, archimedische 128 -, logarithmische 128 Sprungfunktion 312 Spur einer Matrix 191 Stabdiagramm 371,395,398 Staffelbild 398 Stammfunktion 142, 144 Stammintegrale (Tabelle) 146 Standardabweichung 290 - einer Binomialverteilung 376 - einer Chi-Quadrat-Verteilung 390 - einer Exponentialverteilung 385 - einer hypergeometrischen Verteilung 378 - einer Normalverteilung 381 - einer Poisson-Verteilung 379 - der Standardnormalverteilung 382 - einer Stichprobe 400 - einer t -Verteilung 392 - einer Zufallsvariablen 374 - der Einzelmessung 291 - des Mittelwertes 292 Standardeinheiten 382 standardisierte Normalverteilung 290, 382 ff. Standardisierung der Gaußschen Normalverteilung 382 Standardnormalverteilung 382 ff. stationäres Feld 336 statisches Moment 165 Statistik 394 ff. statistische Hypothese 414 - Prüfverfahren für unbekannte Parameter 414 ff. - Schätzmethoden 404 ff. - Sicherheit 292, 407 statistischer Wahrscheinlichkeitswert 366 Steigung einer Geraden 75 Steigungsschema 83 Steigungswinkel 75 Steiner, Satz von Steiner 166, 170 Stellenwertsystem 7

Sachwortverzeichnis

Stereometrie 33 ff. Sternkurve 125 stetige Funktion 74 - Verteilung 372 - Wahrscheinlichkeitsverteilungen 381 ff. - Zufallsvariable 370 Stetigkeit einer Funktion 74 Stichprobe 394 -, geordnete 395, 397 -, gruppierte 397 - Häufigkeitsfunktion 395, 398 - Häufigkeitsverteilung 395 -, Kennwerte 400 - Maßzahlen 400 - Mittelwert 400 - Spannweite 395 - Standardabweichung 400 -, Summenhäufigkeitsfunktion 396 - umfangreiche 397 -, Urliste 395 -, Varianz 400 -, Verteilungsfunktion 396, 399 -, Verteilungstabelle 395, 398 Stichproben, abhängige 418 -, korrelierte 418 -, unabhängige 418 -, verbundene 418 Stichprobenfunktion 404 Stichprobenvarianz 401 Stichprobenwerte 394 stochastisch unabhängige Ereignisse 368 - - Zufallsvariable 387 Summe von Ereignissen 364 - von Zufallsvariablen 388 f. Summenhäufigkeitsfunktion einer Stichprobe 396 Stokes 'scher Integralsatz 359 Störfunktion 261, 271, 283 Störglied 261, 271, 283 Störvektor 287 Strahlensätze 27 Streckenzugverfahren von Euler 264 f. streng monoton fallende Funktion 69 - - wachsende Funktion 69 Streuung 290 Strophoide 126 Stürzen einer Determinante 20 I Stützpunkte 81 StützsteIlen 156 Stützwerte 81, 156 Substitution in einer Differentialgleichung

1. Ordnung 259 Subtrahend 6 Subtraktion komplexer Zahlen 220 - von Matrizen 192 - von Vektoren 50 - von Zahlen 6 - zweier Brüche 9 Summand 6 Summenregel der Differentialrechnung 132 - der Integralrechnung 143 - der Vektoranalysis 328

Summenvektor 50 Superposition gleichfrequenter harmonischer

Schwingungen 99 Superpositionsprinzip 230 - der Physik 99 Symmetrie einer Funktion 69 symmetrische Matrix 191,216 Systeme linearer Differentialgleichungen 1. Ord

nung mit konstanten Koeffizienten 286 ff.

T Tangens hyperbolicus 108 Tangensfunktion 93 Tangente 137 Tangenteneinheitsvektor 329 Tangentenvektor 327 - an eine Flächenkurve 333 - an eine Koordinatenlinie 332 - einer ebenen Kurve 327 - einer Raumkurve 327 Tangentenverfahren von Newton 24 Tangentialebene 239, 334 f. Taylor-Reihen 177 ff. Taylorsche Formel 177 - Reihe 178 Taylorsches Polynom 177 Teilbarkeitsregeln für ganze Zahlen 4 Teilmenge I Teilschwerpunktsatz 165 Teilsumme 172

493

Test für den unbekannten Mittelwert einer Normalverteilung (bei bekannter Varianz) 415 f.

- für den unbekannten Mittelwert einer Normalverteilung (bei unbekannter Varianz) 417 f.

- für die Gleichheit der unbekannten Mittelwerte zweier Normalverteilungen 418 ff.

- für die unbekannte Varianz einer Normalvertei-lung 424 ff.

- für einen unbekannten Anteilswert 426 ff. Testverteilungen 390 ff. Tetraeder 35 -, reguläres 35 Thales, Satz des Thales 27 Tiefpunkt 139 Tonne 39 Torus 40 totales Differential einer Funktion 239 f. totale Wahrscheinlichkeit 369 transponierte Matrix 190 Trapez 31 Trapezformel 155 f. Trennung der Variablen 258 Treppenfunktion 317, 371, 396, 399 trigonometrische Form einer komplexen Zahl 218 - Formeln 94 ff. - Funktionen 90 ff., 227 - Funktionen, Additionstheoreme 94, 228 - Funktionen, Reihen 180 - Gleichung 22 trigonometrischer Pythagoras 94 triviale Lösung 205 t -Verteilung von Student 392

494

U Überlagerung gleichfrequenter hannonischer

Schwingungen 230 umfangreiche Stichprobe 397 - -, Einteilung in Klassen 397 Urnkebrfunktion 70 Urnkehrmatrix 194 Umkreis eines Dreiecks 29 Umrechnungen zwischen den Areafunktionen 113 - zwischen den Hyperbelfunktionen 109 - zwischen den trigonometrischen Funktionen 94 unabhängige Stichproben 418 - Variable 67, 232 - Veränderliche 67, 232 unbestimmte Integration 145 unbestimmtes Integral 144 ff. unecht gebrochenrationale Funktion 185 uneigentliche Integrale 161 f. unendliche lntervalle 8 - Menge I - Reihen 172 ff. Unendlichkeitsstelle 86 ungerade Funktion 69 Ungleichungen mit einer Unbekannten 25 unitäre Matrix 214 Unterdeterminante 195,200 - einer Matrix 196 - p-ter Ordnung 196 untere Dreiecksmatrix 191 - lntegrationsgrenze 142 Unterfunktion 302 Untermenge 1 Untersumme 141 Urliste 395 Umenmodell 375, 377 Ursprungsgleichung einer Ellipse 116 - einer Hyperbel 118 - eines Kreises 115

V Variable 67, 232 -, abhängige 67, 232 -, unabhängige 67, 232 Varianz 290 - einer Binomialverteilung 376 - einer Chi-Quadrat-Verteilung 390 - einer Exponentialverteilung 385 - einer hypergeometrischen Verteilung 378 - einer Normalverteilung 381 - einer Poisson-Verteilung 379 - der Standardnormalverteilung 382 - einer Stichprobe 400 - einer t -Verteilung 392 - einer Zufallsvariablen 374 - empirische 401 Variation der Konstanten 261 f. Variationen 362 - mit Wiederholung 362 - ohne Wiederholung 362 Vektor 46 -, Betrag 49

Sachwortverzeichnis

- Differenzvektor 50 -, Einheitsvektor 46 -, freier 46 - gebundener 46 - , Gegenvektor 47 - inverser 47 - , Komponenten 48 - , Komponentendarstellung 48 - , Koordinaten 48 - , linienflüchtiger 46 - Normierung 51 - , Nullvektor 46 -,Ortsvektor 46 -, Richtungswinkel49 -, Spaltenvektor 48, 189 -, Summenvektor50 -, Zeilenvektor 189 Vektoranalysis 326 ff. Vektordarstellung in Kugelkoordinaten 349 - in Polarkoordinaten 344 - in Zylinderkoordinaten 347 Vektoren, Addition 50 -, anti-parallele 47 -, äußeres Produkt 53 - , Basisvektoren 48 - , gemischtes Produkt 55 - inneres Produkt 51 f. - kollineare 47 - komplanare 56 - Kreuzprodukt 53 -, linear abhängige 210 f. - linear unabhängige 210 f. - Mehrfachprodukte 56 - orthogonale 53 - parallele 47 - Rechenregeln 50 f., 55 f. - Skalarprodukt 51 f. - Spatprodukt 55 - Subtraktion 50 -, Vektorprodukt 53 Vektorfeld 336 - in Kugelkoordinaten 350 - in Polarkoordinaten 344 - in Zylinderkoordinaten 347 -, axialsymmetrisches 337 -, ebenes 336 - homogenes 337 -, konservatives 353 -, kugel symmetrisches 337 -, quellenfreies 342 -, radialsymmetrisches 337 -, räumliches 337 -, wirbelfreies 342 -, zylindersymmetrisches 337 Vektorfunktion 326 vektorielle Darstellung einer Ebene 60 ff.

einer Fläche 332 - - einer Geraden 57 ff. - - einer Kurve 326 Vektorkomponente 48 Vektorkoordinate 48

Sachwortverzeichnis

Vektorpolygon 50 Vektorpotential 342 Vektorprodukt 53 Vektorrechnung 46 ff. Veränderliche 67, 232 -, abhängige 67, 232 -, unabhängige 67, 232 verbundene Stichproben 418 Vereinigung zweier Mengen 2 - von Ereignissen 364 Vereinigungsmenge 2 verkettete Fuuktion 133 Verschiebungssätze 304 f. Vertauschungsregel der Integralrechnung 143 Verteilung, diskrete 371 -, stetige 372 Verteilungsdichtefuuktion 290 Verteilungsfunktion einer Binomialverteilung 376 - einer Chi-Quadrat-Verteilung 390 - einer diskreten Zufallsvariablen 371 - einer Exponentialverteilung 385 - einer gruppierten Stichprobe 399 - einer hypergeometrischen Verteilung 377 - einer Normalverteilung 381 - einer Poisson-Verteilung 379 - der Standardnormalverteilung 382 - der Standardnormalverteilung (Tabelle) 470 - einer stetigen Zufallsvariablen 372 - einer Stichprobe 396 - einer t-Verteilung 392 - einer Zufallsvariablen 371 f. - einer mehrdimensionalen Zufallsvariablen 386 Verteilungstabelle einer gruppierten Stichprobe 398 - einer Stichprobe 395 Verteilungs test 429 Vertrauensbereich 292 Vertrauensgrenzen 292, 407 Vertrauensintervall 292 -, Musterbeispie1413 Vertrauensintervalle 407 ff. - für den unbekannten Mittelwert einer beliebigen

Verteilung 410 - für den unbekannten Mittelwert einer Normalver

teilung (bei bekannter Varianz) 408 - für den unbekannten Mittelwert einer Normalver

teilung (bei unbekannter Varianz) 409 f. - für die unbekannte Varianz einer Normalverteilung

411 - für einen unbekannten Anteilswert 412 f. Vertrauensniveau 292, 407 Verzweigungspunkt 368 Vietascher Wurzelsatz 18, 20 vollständiges Differential einer Funktion 239 f. - - einer Potentialfunktion 354 Volumen eines Rotationskörpers 167 f. - eines zylindrischen Körpers 254 Volumendifferential 251 Volumenelement 251 - in Kugelkoordinaten 349 - in Zylinderkoordinaten 347

W wahrscheinlichster Meßwert 290 Wahrscheinlichkeit 365 ff. -, bedingte 367 -, Berechnung mit der Verteilungsfunktion der

Standardnormalverteilung 383 ff. -, totale 369 Wahrscheinlichkeiten, Rechenregeln 366 Wahrscheinlichkeitsaxiome von Kohnogoroff 366 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion 372 Wahrscheinlichkeitsfunktion 371 - einer Binomialverteilung 376 - einer hypergeometrischen Verteilung 377 - einer Poisson-Verteilung 379 Wahrscheinlichkeitsrechnung 361 ff. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Summe von

Zufalls variablen 389 - einer Zufallsvariablen 370 ff. - von mehreren Zufallsvariablen 386 Wahrscheinlichkeitsverteilungen, diskrete 375 ff. -, stetige 381 ff. Wahrscheinlichkeitswert, empirischer 366 -, statistischer 366 Wegunabängigkeit eines Kurvenintegrals 352 f. - eines Linienintegrals 352 f. Wendepunkt 140 Wendetangente 140 Wertebereich einer Funktion 67, 232 Wertevorrat einer Funktion 67, 232 windschiefe Geraden 59 Winkelmaße 90 Wirbel 341 Wirbeldichte 341 Wirbelfeld 341 Wirbelfluß 360 wirbelfreies Vektorfeld 342 Wronski-Determinante 271, 283 Würfel 34 WurzellOf. -, Rechenregeln 12 Wurzelexponent 11 Wurzelfuuktionen 89 Wurzelgleichung 21 Wurzelkriterium 174 Wurzelziehen 11

Z Zahl, Eulersche 103 -, ganze4 -, imaginäre 217 -, irrationale 4 -, komplexe 217 -, natürliche 2 -, Primzahl3 -, rationale 4 -, reelle 4 Zahlenfolge 71 Zahlengerade 5 Zahlensysteme 7 Zehnerlogaritlnnus 13, 107 Zehnersystem 7

495

496

Zeiger 98 f. -. komplexer 229 Zeigerdiagramm 98 f., 229 Zeilenindex einer Matrix 189 Zeilenmatrix 190 Zeilenumformungen einer Matrix 208 Zeilenvektor einer Matrix 189 Zeitfunktion 229 zeitliche Mittelwerte einer periodischen Funktion

163 Zentralfeld 337 Zerlegung einer Polynomfunktion in Linearfaktoren

79 - in Primfaktoren 3 Zirkulation des Vektorfeldes 351 Zufallsexperiment 363 -, mehrstufiges 368 f. Zufallsgröße 370 Zufallsstichprobe 394 Zufallsvariable 290, 370 -, Dichtefunktion 372 -, diskrete 370 -, Erwartungswert 373 - Kennwerte 373 ff. -, Linearkombinationen 388 -, Maßzahlen 373 ff. - mehrdimensionale 386

Sachwortverzeichnis

- Mittelwert 374 - , n-dimensionale 387 - Produkte 388 f. - , Standardabweichung 374 - , stetige 370 - stochastisch unabhängige 387 - Summen 388 f. - , Varianz 374 - Verteilung 371 f. - Verteilungsfunktion 371 f. - , Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion 372 - Wahrscheinlichkeitsfunktion 371 -, zweidimensionale 386 Zufallsvektor 386 f. zusammengesetzte Funktion 133 zusammengesetztes Ereignis 364 zweidimensionale Zufallsvariable 386 Zweierlogarithmus 13, 107 Zweiersystem 7 Zweig 368 Zwei-Punkte-Form einer Geraden 57, 76 zweireihige Determinante 198 Zweiweggleichrichtung 188, 316 Zykloide, gewöhnliche 123 Zylinderkoordinaten 44, 345 zylindersymmetrisches Vektorfeld 337

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