Spektralanalyse

Spektralanalyse ist derart wichtig in allen Naturwissenschaften, dass man deren Bedeutung nicht überbewerten kann!

Mit der Spektralanalyse können wir Antworten auf folgende Fragen bekommen:

Welche (räumliche oder zeitliche) Frequenzen sind in meinem

Signal enthalten? Gibt es ein periodisches Signal in meinen Beobachtungen? Muss ich die Eigenschaften des Messinstruments (z.B.

Seismometer) einbeziehen um das physikalische Signal zu erhalten?

Muss ich das Signal filtern, um das physikalische Signal zu sehen ? und, und, und …

Empfohlene Lektüre

Chapter 2, Keary et al., Introduction to Geophysical Exploration

Harmonische Analyse – Spektralzerlegung

Der Kern der Spektralanalyse ist eines der wichtigsten Theoreme der mathematischen Physik:

Jedes endliche periodische Signal kann mit Hilfe von überlagerten harmonischen (Sinus-, Cosinus-) Signalen

dargestellt (approximiert) werden.

Die Repräsentation des diskreten physikalischen Systems durch Zeit und Raum oder durch Frequenz und Wellenzahl ist (unterbestimmten Voraussetzungen) äquivalent! Es gibt keinen Informationsverlust, wenn man von dem einen Raum in den anderen transformiert, oder zurück.

Spektralanalyse (anschaulich)

die rote Spur ist die Summe aller blauen Spuren!

Das Spektrum

Amplitudenspektrum Phasenspektrum

Four

ier R

aum

S

pekt

ralb

erei

ch

Raum oder Zeit

Fourier Zerlegung

Husten Sie an eine Harfe oder einen offenen Flügen, zerlegt das Instrument ihren Sound in einzelne Anteile unterschiedlicher Frequenz (hier: Saiten)

Mathematische Beschreibung ungerade Funktionen

Mathematische Beschreibung (ungerade Funktionen)

Eine Sinusfunktion (a Amplitude, λ Wellenlänge) wird repräsentiert durch:

xλ

A=y π2sin

Ignoriert man die Phasenverschiebung, so kann man ein beliebiges Signal erhalten durch Überlagerung von (a0 an beiden Enden)

∞

∑ 1,

Lsin0 =nxna+a=f(x) n

n

π

Hierbei ist L die Länge des Bereichs (räumlich oder zeitlich). Die Sequenz der Wellenlängen/Perioden ist: 2L, L, 2/3L, L/2 …

Die Fourier Komponenten (ungerade Funktionen)

Die Amplituden/Koeffizienten (an) der Fourier Basisfunktionen (sin oder cos) erhält man durch Integration des Signals

∫

∫L

n

L

dxL

xnf(x)L

=a

f(x)dxL

=a

0

00

sin2

1

π

Durchschnittswert des Signals

Spektrale Komponente

Fouierreihen beliebige Funktionen Intervall [-L, L]

∫

∫

∫

L

n

L

n

L

dxL

xnf(x)L

=b

dxL

xnf(x)L

=a

f(x)dxL

=a

L-

L-

L-0

sin1

cos1

1

π

π

∞

+

∑

=

1,L

sL

cos21

10 =nxninbxna+a=f(x) nn

n

ππ

Die an und bn sind die Anteile der verschiedenen Frequenzen!

Beispiel: Fourier Näherung der Funktion |x|

.. für n<4 …

Mit der Fourierreihe

+++−= ...

5)5cos(

3)3cos(

1)cos(4

21)( 222

xxxxgπ

π

ππ ≤≤−= xxxf ,)(

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200

1

2

3

4

Beispiel: Fourier Näherung der Funktion x2

π20,)( 2 <<= xxxf

... Für N<11 ….

Mit der Fourierreihe

∑=

−+=

N

kN kx

kkx

kxg

12

2

)sin(4)cos(43

4)( ππ

-10 -5 0 5 10 15-10

0

10

20

30

40

Fourier: Raum und Zeit

Raum x räumliche Variable L räumliche Wellenlänge k=2/ Räumliche Wellenzahl F(k) Wellenzahl Spektrum

Zeit t zeitliche Variable T Periode f Frequenz =2f Kreisfrequenz

Fourierintegrale

Mit der komplexen Darstellung der Sinusfunktionen eikx (oder eiwt) wird die Fouriertransformation einer Funktion f(x) wie folgt geschrieben (VORSICHT: es gibt verschiedene Definitionen!)

∫

∫∞

∞−

−

∞

∞−

dxf(x)e=F(k)

dkF(k)e=f(x)

ikx

ikx

2π1

2π1

Die Fourier Transformation diskret vs. kontinuierlich

∫

∫∞

∞−

−

∞

∞−

dxf(x)e=F(k)

dkF(k)e=f(x)

ikx

ikx

2π1

2π1

10,1,...

10,1,...1

/2π1

0

/2π1

0

−

−

∑

∑−

−−

N,=k,eF=f

N,=k,efN

=F

NikjN

j=jk

NikjN

j=jk

diskret

kontinuierlich Wenn wir mit dem Computer Daten verarbeiten, wird es stets auf der diskreten Fouriertransformation basieren.

Diskrete Fourier Transformation

f(x)=x2 => f(x) - blue ; g(x) - red; xi - ‘+’

Die grüne Kurve interpoliert EXAKT an den Stützstellen (+)

The Fast Fourier Transform (FFT)

Die meisten Verarbeitunsprogramme wie Octave, Matlab, Python, Mathematica, Fortran, etc. haben implementierte Funktionen für FFTs

>> help fft FFT Discrete Fourier transform. FFT(X) is the discrete Fourier transform (DFT) of vector X. For matrices, the FFT operation is applied to each column. For N-D arrays, the FFT operation operates on the first non-singleton dimension. FFT(X,N) is the N-point FFT, padded with zeros if X has less than N points and truncated if it has more. FFT(X,[],DIM) or FFT(X,N,DIM) applies the FFT operation across the dimension DIM. For length N input vector x, the DFT is a length N vector X, with elements N X(k) = sum x(n)*exp(-j*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), 1 <= k <= N. n=1 The inverse DFT (computed by IFFT) is given by N x(n) = (1/N) sum X(k)*exp( j*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), 1 <= n <= N. k=1 See also IFFT, FFT2, IFFT2, FFTSHIFT.

Matlab FFT

Die FFT ist eine clevere Ausnutzung von Symmetrien und führt zu einer enormen Beschleunigung der FT für große Vektoren

Fourier Spektren: harmonische Signale

Das Spektrum eines (monochromatischen) harmonischen Signals (räumlich oder zeitlich) ist ein “Spike” („Delta-Funktion“) im

Frequenzbereich.

Fourier Spektren: zufällig verteilte (random) Signale

Zufällig verteilte Signale beinhalten alle Frequenzen. Ein Spektrum mit gleichmäßiger Verteilung aller Frequenzen nennt man weißes

Spektrum

“idealisiert”

Fourier Spektren: Impulsfunktion (Deltafunktion)

Ein unendlich scharfer Impuls enthält alle Frequenzen. Ein Spektrum mit gleichmäßiger Verteilung aller Frequenzen nennt man weißes

Spektrum

“idealisiert”

Fourier Spektren: Gauss-förmige Signale

Das Spektrum einer Gauss-Funktion ist selbst eine Gauss-Funktion. Wie verändert sich das Spektrum, wenn man die Gauss-Funktion

verengt?

Puls-Breite und Frequenz-Bandbreite Unschärferelation

Zeit (Raum) Spektrum Ve

reng

en d

es p

hysi

kalis

chen

Sig

nals

Verb

reite

rn d

er F

requ

enzb

andb

reite

Wann höre ich welche Frequenz?

Zeit-Frequenz Analyse

24 Std Bodenbewegung, sehen Sie ein Signal?

Seismo-Wetter

Laufendes Spektrum der selben Daten (Zeit-Frequenzanalyse)

Der Ton eines Instruments

a‘ - 440Hz

Das Instrument Erde

26.-29.12.2004 (FFB )

0S2 – der Erde tiefster Ton T=3233.5s =53.9min

Theoretical eigenfrequencies

Eigenschwingungen der Erde

Source: http://icb.u-bourgogne.fr/nano/MANAPI/saviot/terre/index.en.html

Torsional mode, n=0, ℓ=5, |m|=4. period ≈ 18 minutes

Ein Seismogramm und sein Spektrum

Zeit (s)

Frequenz (Hz)

Am

plit

ude

Spek

tral

ampl

itud

e

Zusammenfassung

Zeitreihen werden in der Regel mit Hilfe der Spektralanalyse bearbeitet.

Eine Zeitreihe kann in den Spektralbereich transformiert werden, d.h. das Signal wird in seine Spektralanteile zerlegt.

Zeitreihen werden in ein Amplitudenspektrum und ein Phasenspektrum zerlegt

Im Spektralbereich kann an erkennen, welche Frequenzen am Signal maßgeblich beteiligt sind.

Um zu erkennen, wann welche Frequenzen auftreten, wendet man die Zeit-Frequenzanalyse an.

Die Transformation vom Zeit in den Frequenzbereich ist die Fouriertransformation