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Prof. Dr. Hans Hirth 1
Lehrstuhl für Finanzierung und Investition Prof. Dr. Hans Hirth
Modul „Investition und Finanzierung“
2 SWS VL + 2 SWS TUT
Tutorien starten ab ….. genaue Termine der Tutorien und Sprechzeiten der Tutoren folgen
http://www.finanzierung.tu-berlin.de/
Downloadbereich mit VL-Skript + Altklausuren samt Lösungen
Benutzername: fin Paßwort: finanzen
Zuständiger Wissenschaftlicher Mitarbeiter:
Dipl.-Kfm. Norman Zimmermann
Prof. Dr. Hans Hirth 2
Investition und Finanzierung
Gliederung I. Einführung II. Investitionsrechnung 1. Grundlagen 1.1 Arten von Investitionen 1.2 Typen von Investitionsentscheidungen 1.3 Diskontierung 1.4 Statische und dynamische Investitionsrechnungen 1.4.1 Statische Investitionsrechnungen 1.4.2 Dynamische Investitionsrechnungen
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2. Investitionsentscheidungen bei Sicherheit und exogenem Kalkulationszinssatz 2.1 Entscheidungen auf Basis des Kapitalwerts 2.1.1 Kapitalwert und Endwert 2.1.2 Annuität 2.1.3 Interner Zinssatz 2.1.4 Kapitalwertrate 2.1.5 Einbeziehung von Steuern 2.1.6 Einbeziehung nicht-flacher Zinskurven 2.1.7 Einbeziehung von Risiko 2.2 Investitions- u. Konsumentscheidung 2.2.1 Fisher-Modell und vollkommener Kapitalmarkt 2.2.2 Hirshleifer-Modell und unvollkommener Kapitalmarkt 2.3 Nutzungsdauerentscheidungen 2.3.1 Ohne Ersatzinvestition 2.3.2 Mit Ersatzinvestition 3. Endogene Kalkulationszinssätze
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III. Finanzierung 1. Finanztitel als Instrumente der Finanzierung 1.1 Abstimmungsbedarf zw. Unternehmen u. Haushalten 1.2 Transformationsaufgaben von Finanztiteln 1.3 Eigen- und Fremdfinanzierung 1.4 Innen- und Außenfinanzierung 2. Liquiditätssicherung 2.1 Liquidität, Nutzen und Kosten 2.2 Liquiditätsplanung 3. Bedeutung der Kapitalstruktur 3.1 Kapitalkosten 3.2 Leverage-Effekt und Leverage-Risiko 3.3 Irrelevanz d. Verschuldungsgrads bei vollk. Kapitalmarkt 3.4 Relevanz d. Verschuldungsgrads bei unvollk. Kap.markt Zur Vorlesung gibt es das Lehrbuch: Hirth, Hans: Grundzüge der Finanzierung und Investition, Oldenbourg Verlag, 3. Auflage, 2012.
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I. Einführung
Beispiel: Haus gemeinsam mit Bruder geerbt
€ A1: Haus für 400.000 € verkaufen
eigener Anteil 200.000
weiter Miete zahlen für ähnl. Haus (20 J.) 24.000 p. a.
A2: Bruder auszahlen und 20 Jahre selbst drin wohnen
Auszahlen des Bruders 200.000
jährliche Instandhaltungen 4.000 p. a.
geschätzter Endwert des Hauses 450.000
Prof. Dr. Hans Hirth 6
A3: Bruder auszahlen, 20 Jahre vermieten, dann verkaufen
Auszahlen des Bruders 200.000
weiter Miete zahlen für ähnl. Haus 24.000 p.a.
jährliche Mieteinzahlungen 24.000 p. a.
jährliche Instandhaltungen 5.000 p. a.
geschätzter Endwert des Hauses 450.000
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Welche Alternative ist besser?
Jahr A1 A2 A3
0 + 200.000 200.000 200.000
1 24.000 4.000 24.000 + 24.000
5.000 = 5.000
2 24.000 4.000 5.000
3 24.000 4.000 5.000
..... ......... ........... .........
20 24.000 + 450.000 + 450.000
A3 ineffizient, da von A2 dominiert.
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Vergleich A1 und A2 ohne weiteres schwierig, denn - unterschiedl. Zahlungen fallen zu unterschiedl. Zeiten an
Auf- und Abzinsung - zukünftige Zahlungen i.d.R. unsicher
Risikoprämien Außerdem verstecktes Finanzierungsproblem: Haben Sie 200.000 Eigenmittel, um Bruder auszuzahlen?
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Ist eventuelle Kreditaufnahme sinnvoll? In der Regel ist Kreditzins (Sollzins) > Anlagezins (Habenzins).
Warum?
Transaktionskosten in weitem Sinn
Vertragsanbahnung -verhandlung -überwachung -durchsetzung z.B. Kosten Kredit- Konto- Gerichts- e. Bankfiliale verhandlung überwachung verfahren
Transaktionskosten durch Zinsdifferenz zu decken
Prof. Dr. Hans Hirth 10
Fälle von Unsicherheit
Sicherheit nur eine künftige Entwicklung vorstellbar
Bsp.: Fliegender Hubschrauber kommt irgendwann wieder herunter.
Quasi-Sicherheit mehrere künftige Entwicklungen vorstellbar, aber nur eine wird zu-grundegelegt (z. B. die wahrscheinlichste oder die gefährlichste) Bsp.: Siemens stellt morgen keinen Insolvenzantrag.
Risiko mehrere denkbare Entwicklungen, deren Eintrittswahrscheinlichkei-
ten berücksichtigt werden (können) Wahrscheinlichkeitsverteilung Bsp.: Wkt., daß Siemens in den nächsten 50 J. insolvent wird, ist 10%.
Prof. Dr. Hans Hirth 11
Ungewißheit
mehrere künftige Entwicklungen vorstellbar, deren Eintrittswahr-scheinlichkeiten nicht berücksichtigt werden (können) Bsp.: In den nächsten 50 J. wird Siemens insolvent oder eben nicht. Im folgenden meistens zur Vereinfachung: Sicherheit!
Als Problem verbleibt:
unterschiedl. Zahlungen zu unterschiedl. Zeiten
Vergleichbarmachung durch Ab-/Aufzinsung
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Untersuchungsgegenstand der Investition & Finanzierung:
Beurteilung von Zahlungsströmen, egal wodurch generiert.
Investitionsmaßnahme
generiert Zahlungsstrom durch Mittelverwendung
beginnt normalerweise mit Auszahlung
mit der Absicht, Mittel langfristig zu binden Daher: Laufende Auszahlungen wie z. B. für kleinere Beschaf-fungen sind keine Investition.
Finanzierungsmaßnahme
generiert Zahlungsstrom durch Mittelbeschaffung
beginnt normalerweise mit Einzahlung
kurzfristig (Liquidität) und langfristig (Kapitalaufbringung) universaler Anwendungsbezug, nicht nur in Unternehmen
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II. Investitionsrechnung
1. Grundlagen
1.1 Arten von Investitionen
Realinvestitionen (Sachinvestitionen)
Erwerb von Vermögensgegenständen.
Erst deren produktiver Einsatz führt zu Zahlungsrückflüssen.
= + Mehrung der Substanz Erhaltung der Substanz Abgrenzung teilweise uneindeutig; z.B. bei Rationalisierung: Ersatz, aber nicht gleichwertiger, sondern qualitativ besser
Bruttoinvestition Schienennetz
Nettoinvestition
neue Strecken
Ersatzinvestition
Instandhaltung alter Strecken
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Finanzinvestitionen
Erwerb von Zahlungsansprüchen, z. B. durch Wertpapierkauf, Beteiligungen
Abgrenzung teilweise uneindeutig; z.B. Aufbau einer Beteiligung: reine Finanzanlage oder unmittelbare Verfügungsgewalt über Vermögensgegenstände des Unternehmens? 1.2 Typen von Investitionsentscheidungen
Entscheidung über Durchführung einer Investition („absolute Vorteilhaftigkeit“; aber Unterlassensalternative? s.u.)
Auswahl zwischen einander ausschließenden Investitionen („relative Vorteilhaftigkeit“)
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Beachte zur Unterlassensalternative bei vorhandenen Eigenmitteln:
Alternative ist nicht Verzicht auf jegliche Investition,
sondern Durchführung einer Finanzinvestition (durch Unternehmen oder durch Financiers nach Ausschüttung)
OPPORTUNITÄTSKOSTEN Bei identischem Kredit- und Anlagezinssatz:
Unterscheidung, ob Eigenmittel vorhanden sind, ist überflüssig, da
Zinskosten identisch.
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1.3 Diskontierung Fragestellung: Zahlungen fallen zu unterschiedlichen Zeitpunkten an
Vergleichbarkeit erforderlich
Zwei Möglichkeiten
(1) zeitliche Verschiebung v. Zahlungen durch Markttransaktionen
auf einen einheitlichen Zeitpunkt
objektiver Vergleich allein über Zahlungshöhe möglich
(2) subjektiver Vergleich der Zahlungen durch indiv. Zeitpräferenz
Prof. Dr. Hans Hirth 17
Vergleich mittels Markttransaktionen
Vergleich zweier Zahlungsansprüche z0 bzw. zt.
Was ist mehr wert?
Zinssatz für Anlage und Verschuldung sei i. Variante A: Transformation von z0 in die Zukunft t durch Anlage
in = 1: z0 + z0 i = (1+i) z0 (Rückz.) (Zins)
Zeit
0 1 2 t …...
z0 zt
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in = 2: Wiederanlage auch des Zinses
(1+i) z0 + (1+i) z0 i = (1+i)² z0
Betrag in = 1 Zinsen von = 1 bis 2 usw.
in = t: (1+i)t z0
Beispiel: Ist z0 = 100 oder z2 = 120 besser?
für i = 8 %: (1,08)2 100 = 116,64 < 120 z0 schlechter!
für i = 10 %: (1,1)2 100 = 121 > 120 z0 besser!
Vergleich: (1+i)t z0 > (<) zt
z0 ist besser (schlechter) als zt.
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Variante B: Transformation von zt in die Gegenwart durch Kreditaufnahme zt muß für Tilgung und Bedienung aller Zinsen und Zinseszinsen ei-ner gegenwärtigen Kreditaufnahme zum Zinssatz i ausreichen: zt = Kt wobei Kt: Kreditbestand inclusive Zinseszinsen in t Kt ergibt sich schrittweise wie folgt:
Kt = Kt1 + i Kt1 = (1+i) Kt1 = (1+i) (1+i) Kt2 = .. usw.
= (1+i)t K0
wobei K0: aufgenommener Kreditbetrag in = 0
Prof. Dr. Hans Hirth 20
Anforderung (s.o.)
zt = Kt = (1+i)t K0
K0 = t
t
)i1(
z
= (1+i)
t zt
Beispiel: Ist z0 = 100 oder z2 = 120 besser?
für i = 8 %: 100 < (1,08)2 120 = 102,88 z0 schlechter
für i = 10 %: 100 > (1,1)2 120 = 99,17 z0 besser
Nun Vergleich mit z0 möglich:
z0 > (<) (1+i)t zt
z0 ist besser (schlechter) als zt
Prof. Dr. Hans Hirth 21
Erkenntnisse
Vergleich nicht nur von z0 und zt, sondern auch von i abhängig.
Vergleichbarkeit durch Auf- oder Abzinsung erbringt immer das-
selbe Ergebnis (bei einheitlichem Zinssatz)
Wert von zt zu einem beliebigen Zeitpunkt t*:
Beispiel mit t* = 2
Zeit t
0 1 2 4 3
z0 = 10 10 (1+i)20
z4 = 10 10 (1+i) 24
Prof. Dr. Hans Hirth 22
allgemeine Formel:
Sonderfälle t* = 0: B0 heißt Barwert Beispiel: Barwert von z2 = 120 ist für i = 10 %
B0 = (1+i)02
120 = 99,17 t* = T: BT heißt Endwert (mit T als Ende des Planungshorizonts) Beispiel: Endwert von z0 = 100 ist für i = 10 % und T = 2
B2 = (1+i) 20
100 = 121
Bt* = (1+i) t* t
zt bei t* > t: Aufzinsung
bei t* < t: Abzinsung
Prof. Dr. Hans Hirth 23
Unterjährige Verzinsung Ein unterjähriger Zins r (hier z. B. Monatszins) entspricht einem Jahreszins i mit
i1r112
Oder anders herum: Der Jahreszins beträgt z. B. i = 5 %. Äquivalent dazu wäre ein Monatszins von
%4,000404,0105,11i1r 1212
der monatlich ausgeschüttet und wiederverzinslich zu Monatszins-sätzen von 0,4 % angelegt werden kann.
Prof. Dr. Hans Hirth 24
Zeitstetige (kontinuierliche) Verzinsung Ein Betrag B verzinst sich nach jedem unendlich kleinen Zeitintervall und diese Zinsen erwirtschaften danach wiederum Zinsen usw. ● Erhöhung von B nach einem unendlich kleinen Zeitintervall ∂t
B‘(t)
● Verzinsung r nach diesem Zeitintervall
)t(B
)t('B
satzKapitalein
ngWerterhöhur
● Integration über t
)t(BlnAtr
mit A= Integrationskonstante
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Beide Seiten als Exponent zur Basis e (Eulersche Zahl):
)t(Bee
ee
trA
)t(BlnAtr
Für t = 0 folgt
)0(BeA
Einsetzen führt zu
tre)0(B)t(B
Das Startkapital B(0) verzinst sich nach Zeitdauer t mit dem
Aufzinsungsfaktor tre auf den Betrag B(t).
r heißt „zeitstetige“ oder „kontinuierliche“ Zinsrate.
Prof. Dr. Hans Hirth 26
Zusammenhang zw. kontinuierl. Zinsrate und Jahreszinssatz Definiere: 1 Jahr läuft von τ = 0 bis τ = 1.
Aufzinsungsfaktor für ein Jahr ist also: 1re Welcher Jahreszins i führt zum gleichen Endbetrag nach einem Jahr wie eine kontinuierliche Verzinsung mit r?
B(0) ∙ re = B(0) ∙ (1+i)
re = 1+i
oder
r = ln(1+i)
Endwert mit einfa-chem Jahreszins
Endwert bei kontinuier-licher Verzinsung
Prof. Dr. Hans Hirth 27
Beispiel Eine Anleihe mit Zinssatz von i = 5 % pro Jahr Entsprechende kontinuierliche Zinsrate r wäre etwas geringer:
r = ln 1,05 = 0,04879 = 4,879 % Denn:
Bei kontinuierlicher Verzinsung werden zwischendurch ständig Zin-sen berechnet, auf die wiederum Zinsen verdient werden.
Bei der diskreten Verzinsung werden die Zinsen dagegen erst am Ende abgerechnet.
Prof. Dr. Hans Hirth 28
Zeitanteilige Verzinsung In praxi werden unterjährige Zinsen mitunter vereinfacht berechnet. Bsp. Stückzinsberechnung Wie wird mit zwischenzeitlich aufgelaufenen Zinsen e. Anleihe ver-fahren, wenn Anleihe vor dem nächsten Zinstermin verkauft wird?
Der Käufer der Anleihe zahlt dem Verkäufer die zwischenzeitlich aufgelaufenen Zinsen (Stückzinsen).
Zitat: „Die Stückzinsen werden ermittelt, indem das Produkt aus Zinssatz und erworbenen Nennwert mit dem Quotienten aus der Anzahl der Tage seit der letzten Zinszahlung und der Anzahl der Tage zwischen zwei Zinsterminen gebildet wird.“ (Finanzagentur der Bundesrepublik Deutschland: Informationen für Privatanleger über infla-tionsindexierte Wertpapiere der Bundesrepublik Deutschland, Stand 3. Mai 2011, S.3)
Prof. Dr. Hans Hirth 29
Beispiel Anleihe mit Nennwert 100 € (= Bezugsgröße für Zinssatz)
Zinssatz von 5 % pro Jahr
Zinszahlung jährlich am 31. Dezember Anleihe wird am 31. März verkauft (also 1 Quartal = 360/4 = 90 Ta-ge nach dem letzten Zinstermin).
Käufer zahlt einen Zeitanteil von 90/360 = 1/4 der Jahreszinsen an den Verkäufer (zusätzlich zum Kurs der Anleihe):
%25,14
%5r für das Quartal
Prof. Dr. Hans Hirth 30
Fehler durch Vereinfachung, denn: Korrekter unterjähriger Quartalszins r bei gegebenem Jahreszins i = 5 % wäre ungefähr
%227,11i1r 4
< 1,25 % zeitanteiliger Zins
Käufer zahlt 0,023 Prozentpunkte zuviel. Reaktion
Kompensation durch Kursabsenkung um 0,023 Prozentpunkte. (Annahme hierbei: Verkäufer hatte zum Nennwert gekauft und ursprünglicher Marktzins 5 % p. a. hat sich zwischenzeitlich nicht geändert.)
Prof. Dr. Hans Hirth 31
Vergleich mittels individueller Zeitpräferenz Idee: Zahlungen nur Mittel zum Zweck letzte Zielgröße: Konsum zu unterschiedlichen Zeitpunkten Bewertung unterschiedl. Konsumströme durch Nutzenfunktionen
U = U(c0, c1, ..., cT)
einfaches Beispiel:
U = c00,4
c10,5
„Indifferenzkurve“: 4,0
0
5,0
1c
Uc 8,0
0
2
1c
Uc Hyperbel
Prof. Dr. Hans Hirth 32
Abb.: Indifferenzkurven, Isonutzenlinien
c1
c0
steigender Nutzen
Prof. Dr. Hans Hirth 33
Bewertung zweier unterschiedl. Konsumpläne:
Plan A: (c0; c1) = (40; 60)
Plan B: (c0, c1) = (60, 40)
Investor I: UI = c00,5
c10,4
UI(A) = 32,53 und UI(B) = 33,88 bevorzugt B
Investor II: UII = c00,4
c10,5
UII(A) = 33,88 und UII(B) = 32,53 bevorzugt A
Investor I hat stärkere Gegenwartspräferenz
Prof. Dr. Hans Hirth 34
Abb.: subjektive Bewertung von Konsumplänen (c0, c1) Erkenntnis Je steiler Indifferenzkurve, desto stärker Neigung zu gegenwärti-
gem Konsum, desto größer „individuelle Diskontrate“.
Zshg. zw. indiv. Diskontrate und Marktzins wird in II.2.2 vertieft.
Investor I
c1
c0
A
B
Investor II
40 60
40
60
Prof. Dr. Hans Hirth 35
1.4 Statische und dynamische Investitionsrechnungen 1.4.1 Statische Investitionsrechnungen
(1) Gewinnvergleichsrechnung
Wähle das Projekt mit dem größten Gewinn (durchschnittl. bzw.
der einer repräsentativen Periode) und
verzichte auf Projekte, die Verluste bringen!
Zeitkomponente wird nicht angemessen berücksichtigt meist Betrachtung nur einer Periode, die ● repräsentativ (= identisch) für alle Perioden ist oder ● dem Durchschnitt aller Perioden gleicht
Prof. Dr. Hans Hirth 36
Werden bei der Gewinnermittlung kalkulatorische Zinsen auf das
gebundene Kapital angesetzt?
→ Hier im folgenden „Nein“.
Andernfalls Inkonsistenz zu ansonsten statischer Betrachtung.
GVR ist nur dann unproblematisch, wenn alle Projekte mit
identischer Nutzungsdauer (nicht: 2 Mio für 2 J. vs. 1 Mio. 10 J.)
identischem Kapitaleinsatz (falls Kap.ko. nicht im Gewinn berück-
sichtigt) (nicht: 1 Mio. Gewinn mit Einsatz von 10 € vs. 1 Mrd. €)
und
konstanten Periodengewinnen (nicht: (1; 2; 3) vs. (3; 2; 1))
Prof. Dr. Hans Hirth 37
(2) Kostenvergleichsrechnung
Unsinnige Entscheidungsregel wäre:
„Minimiere Gesamtkosten einer Periode“
Produktionsverzicht optimal!
sinnvolle Entscheidungsregel:
„Minimiere Gesamtkosten einer Periode bei gegebenen Erträgen“
Äquivalenz zur Gewinnvergleichsrechnung!
Prof. Dr. Hans Hirth 38
(3) Renditevergleichsrechnung Wähle das Projekt mit der höchsten durchschnittlichen (repräsen-
tativen) Rendite,
solange diese eine Mindestverzinsung übersteigt!
Rendite = KapitaleseingesetztZinsen)vor(Gewinn „Return on Investment“
„eingesetztes Kapital“: Falls Rückflüsse bereits während der Periode
anfallen → Durchschnittswert in der Periode
Bei identischem Kapitaleinsatz der Alternativen
RVR erbringt gleiche Entscheidung wie GVR.
gleiche Problematik wie bei GVR
RoI
Prof. Dr. Hans Hirth 39
(4) Amortisationsrechnung Wähle das Projekt, dessen gesamte Auszahlungen am schnellsten durch Einzahlungen gedeckt werden.
„Amortisationsdauer“:
Zeitdauer, nach der sich das Projekt amortisiert.
unmittelbarer Zahlungsbezug (i. Ggs. zu GVR, KVR und RVR)
Beispiel
Anfangsauszahlung in t=0: 100.000
t=1 t=2 t=3 t=4
EZÜ in Folgeperioden: (30.000; 50.000; 40.000; 20.000)
Amortisationsdauer: 3 Perioden
Prof. Dr. Hans Hirth 40
Problem: Vernachlässigung
aller Zahlungen jenseits der Amortisationsdauer sowie
der Zeitstruktur innerhalb der Amortisationsdauer
eher zur Risikoabschätzung geeignet
Je weiter die Zukunft, desto riskanter die Prognose.
Kurze Amortisationsdauer birgt weniger Unsicherheit.
Unsicherheit bezieht sich dabei aber nur auf die Amortisation,
nicht auf den Gewinn.
Prof. Dr. Hans Hirth 41
Beachte:
Wenn das Projekt auch später noch Auszahlungen benötigt, müssen sich diese ebenfalls amortisieren.
Beispiel: ( 100; 80; 80; 70; 40; 20)
Amortisationsdauer: 4 Perioden
Falls Möglichkeit des Projektabbruchs besteht:
Amortisationsdauer: entweder 2 oder 4 Perioden,
je nach Absicht bzgl. Projektabbruchs
Im folgenden grundsätzlich gemeint: ohne Abbruchmöglichkeit,
sonst bestünde ein Projekt ja selbst aus mehreren Alternativen.
Prof. Dr. Hans Hirth 42
1.4.2 Dynamische Investitionsrechnungen
Eigenschaften
Erfassung der gesamten Dauer der Projekte
Einbeziehung der zeitlichen Verteilung über Diskontierung
„dynamisch“?
im folgenden meist: einmalige Plang. im Entscheidungszeitpunkt,
keine Abfolge von Entscheidungen
schwach ausgeprägte Dynamik
echte Dynamik:
Wie wirken heutige Entscheidungen auf morgige?
Prof. Dr. Hans Hirth 43
2. Investitionsentscheidungen bei Sicherheit und exogenem Kalkulationszinssatz 2.1 Entscheidungen auf Basis des Kapitalwerts 2.1.1 Kapitalwert und Endwert
Abb.: Notation der Zeitpunkte bzw. Perioden
0 1 2 ..... t 1 t .... T1 T Zeitpunkte 1 2 .... .... t .... .... T Perioden
Zahlungen am Ende der Perioden
et: Einzahlungsüberschuß Et At im Zeitpunkt t
(am Ende der Periode t)
e0: bei Investition mit Anfangsauszahlung A0 ist e0 = A0 < 0
Prof. Dr. Hans Hirth 44
Kapitalwert K + + + +
T
1t
t
t0
T
0t
t
t i)(1eAi)(1eK
Zeit t 0 1 2 T = 4 3
e4
e1
e2
e3
e0
Prof. Dr. Hans Hirth 45
Beispiel
Zahlungsreihe ab t = 0: {100; 50; 40; 30; 20; 10}
i = 10 %
Kapitalwert K
= 100 + 50 1,11 + 40 1,12
+ 30 1,13 + 20 1,14
+ 10 1,15
= 20,92
Prof. Dr. Hans Hirth 46
Tab.: Finanzplan bei Entnahme des Kapitalwerts
Zeitpunkt t 0 1 2 3 4 5
EZÜ et
100 50 40 30 20 10
Entnahme
ct 20,92
Zinsen
i ∙ KBt-1
– 12,09 8,30 5,13 2,64 0,91
Kapitalfreisetzung
(et ct i∙KBt-1) – 37,91 31,70 24,87 17,36 9,09
Kapitalbindung KBt
120,92 83,01 51,31 26,44 9,08 0
Prof. Dr. Hans Hirth 47
„Kapitalbindung“
eingesetztes Kapital incl. Zinsen darauf, das noch nicht durch
entsprechende EZÜ zurückgeflossen ist („freigesetzt“ wurde).
hier eingesetzt (gebunden) für Investition und Konsum
bei vollst. Fremdfinanzierung: Kapitalbindung = Kreditbestand.
„Kapitalfreisetzung“
Verringerung der Kapitalbindung = KBt KBt1
hier mittels verbleibenden Überschuß et ct i KBt1
bei vollst. Fremdfinanzierung: Kap.freisetzung = Kredittilgung
Prof. Dr. Hans Hirth 48
Endwert BT + + + +
Ki)(1i)(1ei)(1i)(1eB TT
0t
t
t
TT
0t
tT
tT
Zeit t 0 1 2 T = 4 3
e4
e1
e2
e3
e0
Prof. Dr. Hans Hirth 49
proportional zum Kapitalwert; führt immer zu derselben Entscheidung
K > 0 BT > 0
KA > KB BTA > BTB Achtung: Für den Vergleich müssen sich die Endwerte sich auf den-selben Zeitpunkt T beziehen. Interpretation: Betrag, der am Ende der Laufzeit entnommen werden kann, ohne daß eigene Mittel eingesetzt werden. Beispiel: dieselben Daten wie oben
BT = 1,15 K = 1,1
5 20,92 = 33,69
Prof. Dr. Hans Hirth 50
Tab.: Finanzplan bei Entnahme des Endwerts
Zeitpunkt t 0 1 2 3 4 5
EZÜ et 100 50 40 30 20 10
Entnahme
ct 33,69
Zinsen
i ∙ KBt-1
– 10 6 2,6 +0,14 +2,15
Kapitalfreisetzung
(et ct i∙KBt-1) – 40 34 27,4 20,14 +21,54
Kapitalbindung KBt
100 60 26 1,4 21,54 0
Prof. Dr. Hans Hirth 51
2.1.2 Annuität = maximale, konstante Entnahme g
in jeder Periode bis zum Projektende T
Barwert des Entnahmestroms muß Kapitalwert des Projekts gleichen.
Barwert der Annuitäten = Kapitalwert des Projekts
Ki)(1
1g
Ki)(1g
T
1t
t
T
1t
t
Prof. Dr. Hans Hirth 52
„Rechentrick“
Der Nenner ist (1): N = q1 + q2
+ q3 + ... + qT
mit Bruttozins q = 1 + i.
Dann gilt (2): q N = 1 + q1 + q2
+ q3 +...+ q(T1)
.
Dann ist (2) (1): (q 1) N = 1 qT
N = i
)i1(1
1q
q1TT
.
Dann folgt:
Ki)(11
ig
T
Renten-Wiedergewinnungsfaktor = 1/Renten-Barwertfaktor (hier nachschüssig, d.h. erste Rente erst in t=1)
Prof. Dr. Hans Hirth 53
Beispiel: Dieselben Daten wie oben T = 5; i = 10 %, K = 20,92
52,592,202638,092,201,11
1,0g
5
g ist proportional zum Kapitalwert, führt also zu derselben Vorteilhaftigkeitsentscheidung.
absolut: K > 0 g > 0
relativ: KA > KB gA > gB falls TA = TB Vorsicht: Falls TA > TB ist, kann KA > KB , aber gA < gB vorkommen.
Spezialfall: „unendliche (oder ewige) Rente“
Setze T , dann folgt: g = i K
Prof. Dr. Hans Hirth 54
Tab.: Finanzplan bei Entnahme der Annuitäten
Zeitpunkt t 0 1 2 3 4 5
EZÜ et 100 50 40 30 20 10
Entnahme
ct
– 5,52 5,52 5,52 5,52 5,52
Zinsen
i ∙ KBt-1
– 10 6,55 3,76 1,69 0,41
Kapitalfreisetzung
(et ct i∙KBt-1) – 34,48 27,93 20,72 12,79 4,08
Kapitalbindung KBt
100 65,52 37,59 16,87 4,08 0
Prof. Dr. Hans Hirth 55
Erkenntnis
Entnahmestrom mit festem Kapitalwert kann beliebig auf die Zeit-
punkte verteilt werden.
wurde jetzt an drei Beispielen belegt
2.1.3 Interner Zinssatz = Kalkulationszinssatz i*, bei dem der Kapitalwert einer Investition den Wert Null annimmt. (kritische) Interpretation:
Investition ist in der Lage, einen Kreditzins bis i* zu verkraften.
Vorteilhaftigkeitskriterium: Investition lohnt, wenn i < i*.
Prof. Dr. Hans Hirth 56
K(i*) = 0
e0 + e1 (1+i*)1 + e2 (1+i*)
2 + ..... + eT (1+i*)
T = 0
Lösung: Nullstellen eines Polynom T-Grades
analytische Probleme
1) geschlossene Lösungen nur bis T = 4 möglich (bewiesen von Niels Hendrik Abel, norweg. Mathematiker; T=2: Vietascher Wurzelsatz; T=3: Cardanische Formel; T=4: geeignete Subst. des kubischen Terms; T > 4: nur in Spezialfällen)
belanglos, da numerische Approximationslösungen
Newtonsches Näherungsverfahren, siehe unten
2) möglicherweise mehrere Lösungen, keine reelle Lösung, keine positive Lösung
Prof. Dr. Hans Hirth 57
Kapitalwertfunktion K(i)
T
1t
2)(t
t
T
1t
1)(t
t
T
0t
t
t
i)(1e1)(tt(i)'K'
i)(1et(i)K'
i)(1eK(i)
Wenn ab t = 1 nur noch positive EZÜs (also et > 0 ab t 1), dann K’(i) < 0 und K’’(i) > 0 für alle i > − 100 %
konvexer Verlauf, monoton fallend.
Prof. Dr. Hans Hirth 58
Abb.: Kapitalwertfunktion einer Investition mit et > 0 ab t = 1
e0 = A0
1
K (i)
i i*
T
0tte
Prof. Dr. Hans Hirth 59
Newtonsches Näherungsverfahren
α
K(q1)
K(q0)
q*q2q1q0
q
K
Prof. Dr. Hans Hirth 60
- Start mit einem beliebigen Wert q0
- Kapitalwert K(q0) und Ableitung K‘(q0) berechnen.
- Außerdem gilt
1.) tan α = 01
0
)q(K
und 2.) tan α = )q('K 0
- Gleichsetzen von 1.) und 2.)
01
00
)q(K)q('K
Auflösen nach q1:
)q('K
)q(Kqq
0
001
Prof. Dr. Hans Hirth 61
Berechnete Werte von K(q0) und K‘(q0) einsetzen und so q1 ermitteln.
Test, ob Kapitalwert an der Stelle q1 bereits fast null ist.
Falls nicht, zweiter Näherungsschritt nötig, bei dem q2 ermittelt wird.
Hierfür in obiger Gleichung q0 durch q1 ersetzen und q1 durch q2 er-
setzen.
Weitere Näherungsschritte bis Kapitalwert hinreichend nahe an Null
und q* gefunden.
Prof. Dr. Hans Hirth 62
Beispiel
Projekt mit Zahlungsstrom ( 100; 50; 40; 30; 20; 10) Wir starten mit z. B. i0 = 15 %, also q0 = 1,15. Kapitalwertfunktion:
K(q) = 100 + 50 q1 + 40 q2
+ 30 q3 + 20 q4
+ 10 q5
Ableitung:
K’(q) = 50 q2 80 q3
90 q4 80 q5
50 q6
An der Stelle q0 = 1,15 betragen
K(q0) = 9,85 und K’(q0) = 203,26
Prof. Dr. Hans Hirth 63
Einsetzen in hergeleitete Formel
1985,126,203
85,915,1
)q('K
)q(Kqq
0
001
Berechnung „neuer“ Kapitalwert
K(q1) = 0,73 ….. ist noch nicht nahe genug an Null. Neuer Start bei q1 = 1,1985
Ableitung der Kapitalwertfunktion an der Stelle q1 beträgt
K’(q1) = 174,12.
Prof. Dr. Hans Hirth 64
Einsetzen K(q1) und K‘(q1) in hergeleitete Formel
2027,112,174
73,01985,1
)q('K
)q(Kqq
1
112
Kapitalwert bei i = 20,27 % berechnen: K(20,27) = 0,00338 Das ist schon sehr nahe an der Null. Damit beträgt der interne Zins ungefähr i* = 20,27 %.
Prof. Dr. Hans Hirth 65
„Normalinvestition“
zunächst nur Auszahlungsüberschüsse
anschließend nur Einzahlungsüberschüsse
nur ein Vorzeichenwechsel in der Zahlungsreihe
(−A0; −A1; …; −As; Es+1; ….; ET)
mit At, Et > 0
Im ökonomisch sinnvollen Bereich q 0 besitzt eine Normalinvesti-
tion genau einen einzigen internen Zinssatz!
Prof. Dr. Hans Hirth 66
Exkurs: Beweisskizze (nur für diejenigen, die es interessiert)
K kommt an der Stelle q ↓ 0 aus dem positiven Unendlichen. K konvergiert an der Stelle q → ∞ gegen den Wert – A0. Wegen des Vorzeichenwechsels muß die Kapitalwertkurve die q-Achse also mindestens einmal schneiden. Im Bereich K ≥ 0 ist die Ableitung K‘(q) stets negativ (Beweis siehe unten). Wichtig ist, daß K‘ auch für alle K = 0 negativ ist! Daraus ergibt sich: Die Kapitalwertkurve muß die q-Achse einmal an ihrer ersten Nullstelle schneiden und verläuft dabei „von links oben“ nach „rechts unten“. Eine zweite Nullstelle kann es nicht geben. Denn dann müßte die Kurve „von unten“ kommend die q-Achse entweder erneut schneiden (K‘ > 0) oder tangieren (K‘ = 0). Beides ist wegen K‘ < 0 für alle K = 0 ausgeschlossen. Beweis für K‘(q) < 0 im Bereich K ≥ 0: Der Zahlungsstrom (−A0; −A1; …; −As; Es+1; ...; ET) hat den Kapitalwert
K = At∙q-t s
0 + Et∙q-t
s+1
Dessen erste Ableitung beträgt
K (q) = At∙q-t-1 s
0 + Et∙q-t-1
s+1
Prof. Dr. Hans Hirth 67
Es ist K (q) >=< 0, wenn
At∙q-t-1 s
0 >=< Et∙q
-t-1 s+1
Multiplikation mit q 0 ergibt
At∙q-t s
0 >=< Et∙q
-t s+1
Nun ist folgende Zusatzüberlegung hilfreich. Wir teilen den Kapitalwert auf in
K = BE − BA mit BE= Et∙q-t
s+1 Kapitalwert aller Einzahlungen
BA= At∙q-t s
0 Kapitalwert aller (positiv definierten) Auszahlungen
Dann ist
t∙
s
0
At∙q t
BA
der gewogene Durchschnitt aller Auszahlungszeitpunkte. Dabei wird jeder dieser Zeitpunkte t = 0, …, s mit dem Anteil des Barwerts von At (im Zähler) am Barwert sämtlicher Auszahlungen (im Nenner) gewichtet. Dieser gewogene Durchschnitt liegt irgendwo zwischen 0 und s.
Prof. Dr. Hans Hirth 68
Analog ist
t∙
s+1
Et∙q t
BE
der gewogene Durchschnitt aller Einzahlungszeitpunkte. Dabei wird jeder dieser Zeitpunkte t = s+1, …, T mit dem Anteil des Barwerts von Et (im Zähler) am Barwert sämtlicher Einzahlungen (im Nenner) gewichtet. Dieser gewogene Durchschnitt liegt irgendwo zwischen s+1 und T. Für die beiden Durchschnitte gilt eindeutig:
t∙s0
At∙q-t
BA t∙
s+1
Et∙q-t
BE
BE
BA t∙s0 At∙q
-t t∙ s+1 Et∙q
-t
Im Bereich BE ≥ BA (d. h. K ≥ 0) muß dann gelten:
t∙s0 At∙q
-t t∙ s+1 Et∙q
-t
woraus folgt (s. o.): K‘(q) < 0 im Bereich K ≥ 0.
Prof. Dr. Hans Hirth 69
Abb.: kein reeller interner Zinssatz
K(i) < 0 für alle i nie lohnend Beispiel: (200; 10; 100)
K(i) > 0 für alle i stets lohnend Beispiel: (200; 10; 100) uninteressante Sonderfälle, untypische Investitionen!
i
K
Prof. Dr. Hans Hirth 70
mehrere reelle interne Zinssätze Beispiel
e = (100; 235; 138) i1* = 15 % und i2* = 20 %
20 % wäre der „richtige“, aber nur solange i > 15 %.
i
K
3
0,05
0,15 0,20
Prof. Dr. Hans Hirth 71
Finanzplan und Kapitalbindung Beispiel 1
e = (100; 50; 40; 30; 20; 10) i* = 20,27 %
Tab.: Kapitalfreisetzung Beispiel 1
Zeitpunkt t 0 1 2 3 4 5
EZÜ et 100 50 40 30 20 10
Zinsen – i* ∙ KBt-1
– 20,27 14,24 9,02 4,77 1,68
Kapitalfreisetzung
(et i∙KBt-1) – 29,73 25,76 20,98 15,23 8,32
Kapitalbindung KBt
100 70,27 44,51 23,53 8,30 0,02
0
Prof. Dr. Hans Hirth 72
Beispiel 2
e = (100; 235; 138) (s.o.) i1* = 15 % u. i2* = 20 % Bei Verwendung von i2* = 20 %:
Tab.: Kapitalfreisetzung Beispiel 2.1
Zeitpunkt t 0 1 2
EZÜ et 100 235 138
Zinsen – i* ∙ KBt-1
– 20 + 23
Kapitalfreisetzung
(et i∙KBt-1) – 215
(138+23) =115
Kapitalbindung KBt 100 115 0
Implizite Annahme, daß bei negativer Kapitalbindung das Gutha-
ben zu i* angelegt werden kann. „Wiederanlageprämisse“
Prof. Dr. Hans Hirth 73
Ähnliches bei Verwendung von i1* = 15:
Tab.: Kapitalfreisetzung Beispiel 2.2
Zeitpunkt t 0 1 2
EZÜ et 100 235 138
Zinsen – i* ∙ KBt-1
– 15 + 18
Kapitalfreisetzung
(et i∙KBt-1) – 220
(138+18) =120
Kapitalbindung KBt 100 120 0
Prof. Dr. Hans Hirth 74
Erkenntnisse
Kriterium des internen Zinssatzes nur sinnvoll, wenn Kapitalbin-
dung stets positiv
Pos. Kap.bindg. bei allen Normalinvestitionen erfüllt, aber auch
bei anderen denkbar.
Dann gilt: Kapitalwert ist genau dann positiv, wenn Kalkulations-
zinssatz kleiner ist als der interne Zinssatz (i < i*).
Dann Interpretation: i* ist Rendite auf das im Zeitablauf gebunde-
ne Kapital.
Prof. Dr. Hans Hirth 75
Auswahlentscheidungen mit dem internen Zinsfuß
möglicher Gedanke: A besser als B, wenn iA* > iB*
nur richtig, wenn KA(i) > KB(i) für alle i
Abb.: richtige Auswahl mit internem Zinssatz
i
K
iB* iA* KA(i)
KB(i)
Prof. Dr. Hans Hirth 76
sonst möglich:
Abb.: falsche Auswahl mit internem Zinssatz
i
K
iB* iA*
KA(i)
KB(i) î
Prof. Dr. Hans Hirth 77
Beispiel
eA = (150; 90; 82,5) iA* = 10 %
eB = (80; 49,6; 44,8) iB* = 12 %
î = 7,7 %
Trotz iB* > iA* ist für i < î Projekt A besser als B.
Test bei i = 6 %: KA = 8,33 > KB = 6,66
Prof. Dr. Hans Hirth 78
Vorgehen bei Auswahl zwischen Normalinvestitionen A und B mit Hilfe des internen Zinssatzes
Sind A und B lohnend? iA* > i und iB* > i ?
falls nein: entspr. Projekt unvorteilhaft, kein Auswahlproblem
falls ja: weiter! (im Bsp. mit i = 6 % erfüllt)
Hat Investition mit höherer Kapitalbindung auch höheren internen Zinsfuß? (Problem: Kapitalbindung vorab bestimmen)
falls ja: „große“ Invest. A besser (im Bsp. nicht wegen iA* < iB*)
falls nein: „kleine“ Invest. B könnte besser sein.
Übergang von „kleiner“ (rentierlicheren) zu „großer“ Investition vorteilhaft?
Prof. Dr. Hans Hirth 79
Betrachtung der „Differenzinvestition“:
Mehrausz./-einz. der großen Investition
Im Beispiel
eA = (150; 90; 82,5)
eB = (80; 49,6; 44,8)
eAB = (70; 40,4; 37,7)
Ist Differenzinvestition eine Normalinvestition?
falls nein: i* nicht zweckmäßig; spätestens jetzt Kapitalwertkri-
terium K(AB)
falls ja: Übergang zu großer Investition A genau dann lohnend,
wenn i*AB > i.
im Bsp. i*AB = 7,7 % > i = 6 %, also A besser als B.
Prof. Dr. Hans Hirth 80
Erkenntnisse zum internen Zinssatz
oft nur numerisch lösbar, jedoch kein Gegenargument
echte Probleme bei Nicht-Normalinvestitionen
Mehrdeutigkeit
Wiederanlageprämisse bei negativer Kapitalbindung
bei Normalinvestitionen
Durchführung lohnend, wenn i* > i
Auswahlentscheidung ggf. mit Differenzinvestition
Rekonstruktion der richtigen Entscheidung ist mühsam. Kapitalwert ist vorzuziehen.
Prof. Dr. Hans Hirth 81
2.1.4 Kapitalwertrate
KWR setzt den Kapitalwert K eines Projekts ins Verhältnis zum ein-gesetzten Kapital A0:
0A
KKWR
Annahme: negativer Einzahlungsüberschuß nur in t = 0. A0 steht also wirklich für das gesamte eingesetzte Kapital.
Interpretation:
KW = heutiger Verm genszuwachs
eingesetztes Verm gen
oder auch:
KWR drückt aus, wieviel Kapitalwert pro eingesetztem Euro erwirt-schaftet wird.
Prof. Dr. Hans Hirth 82
Wofür braucht man dieses Kriterium? Beispiel
● Kalkulationszins 10 %
● Festes Investitionsbudget 10 Mio. €.
● 3 Projekte (weder teilbar, noch mehrfach durchführbar)
A = (−10 Mio.; 2 Mio.; 12 Mio.)
B = ( − 6 Mio.; 7 Mio.; 1 Mio.)
C = ( − 4 Mio.; 1 Mio.; 5 Mio.)
Prof. Dr. Hans Hirth 83
Kapitalwert Kapitalwertrate Interner Zins
A: 1,74 Mio. (1) 17 % (3) 20 % (3)
B: 1,19 Mio. (2) 20 % (2) 30 % (1)
C: 1,04 Mio. (3) 26 % (1) 25 % (2)
In Klammern steht die jeweilige Rangposition des Projekts nach dem jeweiligen Kriterium.
Reihung hängt vom Kriterium ab.
In welche Projekte soll nun das Budget fließen? Antwort:
Nicht in Projekt A - obwohl es den höchsten Kapitalwert aufweist -, weil es gleichzeitig das gesamte Budget verschlingt.
Prof. Dr. Hans Hirth 84
Denn entscheidend ist hier:
Wieviel Kapitalwert wird pro eingesetzter Geldeinheit erwirtschaftet.
Kapitalwertrate Pro eingesetztem Euro bekommt man bei C den höchsten Kapital-wert und bei B den zweithöchsten. Daher Lösung: C und B Budget ist damit ausgeschöpft. KC + KB = 1,19 Mio. + 1,04 Mio. = 2,23 Mio. > KA = 1,74 Mio.
Prof. Dr. Hans Hirth 85
Warum hier Kapitalwert kein sinnvolles Reihungskriterium?
(1) Kapitalwertberechnung berücksichtigt zwar unterschiedliche
Höhe des eingesetzten Kapitals,
allerdings nur über die Zinskosten des gebundenen Kapitals. (2) Hier gibt es die zusätzliche Restriktion, daß das eingesetzte Ka-
pital nicht nur Zinskosten verursacht, sondern außerdem in nur begrenztem Umfang zur Verfügung steht.
(3) Bei festem Budget verdrängen sich die Projekte gegenseitig.
Dies wird allein durch den Kalkulationszins (als „Preis“ für den Kapitaleinsatz) nicht hinreichend widergespiegelt.
Prof. Dr. Hans Hirth 86
Bei nur einer Periode mit Zahlungsstrom (−A0; e1) führen KWR und
interner Zins zur gleichen Reihung.
Beweis:
interner Zinssatz: 1A
e*i
0
1
Kapitalwertrate: 1Aq
e
A
q
eA
A
KKWR
0
1
0
10
0
Als Bruttorenditen formuliert:
q* = 1 + i* = 0
1
A
e bzw. qKWR = 1 + KWR =
0
1
Aq
e
Prof. Dr. Hans Hirth 87
Man erkennt:
q* = qKWR ∙ q Bei geg. Kalkulationszins q hat ein Projekt immer dann einen höhe-
ren internen Zins als ein anderes, wenn es eine höhere KWR besitzt.
2.1.5 Einbeziehung von Steuern
Schon ein unverdächtig simples Steuersystem kann die Vorteilhaftigkeit von Investitionen umkehren.
keine Entscheidungsneutralität
Prof. Dr. Hans Hirth 88
Ein simples Steuersystem
proport. Gewinnsteuer, keine Freibeträge, voller Verlustausgleich
Gewinn der Realinvestition: gt = et dt
Abschreibung: dt
allgemein: dt steht für nicht auszahlungswirks. Aufwand in t
außerdem: dt = A0
Steuerzahlung: st = v gt = v (et dt) Steuersatz
Prof. Dr. Hans Hirth 89
Einzahlungsüberschuß nach Steuern:
ets = et st = et v (et dt)
Diskontsatz nach Steuern: is = i (1 v)
Grund: Rendite der Alternativanlage unterliegt derselben Steuer.
Bruttozinssatz: qs = 1 + is
Prof. Dr. Hans Hirth 90
Abb.: Steuereffekte in der Kapitalwertfunktion
Wenn Zinseffekt stärker als Volumeneffekt „Steuerparadoxon“
Zins
K
is i K(e;Zins)
Ks(e
s;Zins)
Zinseffekt Volumen- effekt
Prof. Dr. Hans Hirth 91
Formel: Kapitalwert mit Steuern
T
1t
tstt0s i1seAK
Steuereffekte analytisch Sei
e Zahlungstrom vor Steuern
es Zahlungsstrom nach Steuern mit e
s = e s
i Kalkulationszinssatz ohne Steuern
is Kalkulationszinssatz mit Steuern
Prof. Dr. Hans Hirth 92
K(es; is) K(e; i)
= K (es; is) K (e; is) + K(e; is) K(e; i)
= “Volumeneffekt” + “Zinseffekt”
T
1t
tt
st
t
st
T
1t
t
t
t
st
t
st
t
stt
T
1t
t
t
t
st
t
st
t
s
s
t
)qq(eqs
qeqeqeqse
qeqeqeqe
„Volumeneffekt“ < 0 „Zinseffekt“ > 0 = Barwert der = Erhöhung des Barwerts Steuerausz. der EZÜ durch Zinssenkung
(beachte: qs < q qst > qt
)
Prof. Dr. Hans Hirth 93
Beispiel eines Steuerparadoxons Daten: e und d wie in Tabelle
i = 10 %; v = 50 % is = 5 %
Tab.: Steuerparadoxon
t et dt gt
= et dt
st
= v gt
ets
= et st
0 100 -- -- -- 100
1 20 40 20 10 30
2 30 30 0 0 30
3 40 20 20 10 30
4 45 10 35 17,5 27,5
K = 3,76 Ks = 4,32
= K(e; i) = K(es; is)
Prof. Dr. Hans Hirth 94
Zur Interpretation
positiver Kapitalwert relative Vorteilhaftigkeit i. Vgl. zur alterna-tiven (Finanz-)Anlage
Steuerparadoxon Alternative (Finanz-)Anlage wird durch Steu-er stärker beeinträchtigt als Sachinvestition.
Stärkere Entlastung bei den Zinskosten als Belastung der Investiti-
onsrückflüsse bringt insgesamt Vermögenszuwachs.
2.1.6 Einbeziehung nicht-flacher Zinskurven bisherige Annahme: einheitl. Zinssatz für alle Laufzeiten („flache Zinskurve“) realistischer jedoch: ansteigende Zinskurve
Prof. Dr. Hans Hirth 95
Abb.: Fristigkeitsstruktur der Zinssätze
Achtung: it ist nicht Zinssatz in Periode t, sondern der Periodenzinssatz bei Laufzeit vom Zeitpunkt 0 bis t
inverse
flache
normale
Laufzeit t
it
Prof. Dr. Hans Hirth 96
Differenzierung verschiedener Arten von Zinssätzen
Kassazinssätze Zinssatz für Geschäfte, die sofort durchgeführt werden
Zerobond-Zinssatz z0t („spot rate“) keine zwischenzeitliche Zinszahlung, gesamte Zinszahlung erst am Ende der Laufzeit (z.B. Zero-Bonds) Bsp. Wertpapier mit 3 Jahren Laufzeit u. Zerobond-Zinssatz z03 = 6 % t 0 1 2 3
Zahlung 10.000 0 0 (1,06)3 10.000
= 11.910,16
Prof. Dr. Hans Hirth 97
Kupon-Zinssatz i0t mit zwischenzeitl. Zinszahlung (z.B. übliche Kreditverträge, Kupon-anleihen) Bsp. Wertpapier mit 3 Jahren Laufzeit u. Kupon-Zinssatz i03 = 6 % t 0 1 2 3
Zahlung 10.000 600 600 10.600 Terminzinssatz zst oder ist („forward rates“) Zinssätze für Geschäfte, die jetzt vereinbart, aber erst künftig durch-geführt werden.
Prof. Dr. Hans Hirth 98
Bsp. Wertpapierkauf auf Termin zum Terminkurs 10.000 (soll hier dem Nennwert gleichen) a) mit z24 = 6% t 0 1 2 3 4
Zahlung 0 0 10.000 0 (1,06)2 10.000
= 11.236 b) mit i24 = 6% t 0 1 2 3 4
Zahlung 0 0 10.000 600 10.600 Im folgenden sind mit Terminzinssätzen stets die zst gemeint, die ist werden keine Rolle spielen.
Prof. Dr. Hans Hirth 99
Beziehung zwischen den Zinssätzen
..... über das Prinzip der Arbitragefreiheit herstellbar: arbitrage (frz.):
- w rtliche Übersetzung „Schiedsgericht“ - Ökonomen meinen damit „Ausnutzen von Preisunterschieden“. Auf vollkommenen Märkten ist Arbitragefreiheit notwendige Bedin-gung für ein Marktgleichgewicht.
Äquivalente Positionen haben gleiche Preise.
Dominante Positionen haben höhere Preise.
Prof. Dr. Hans Hirth 100
Arbitragefreiheit bei Finanzanlagen impliziert:
Finanzanlagen, die den gleichen Rückfluß generieren, müssen den gleichen „Preis“ haben.
Die gegebene Zinsstruktur muß so sein, daß bei Anlage eines geg. Betrags von 0 bis t jede beliebige Kombination möglicher Zinssätze zum gleichen Kapitalwert führt.
Der Preis jeder Anlagemöglichkeit entspricht dem Barwert ihrer Rückflüsse. Oder anders: Der Kapitalwert jeder Finanzanlage be-trägt null.
Prof. Dr. Hans Hirth 101
Welche Zinssatzarten können für die Berechnung des Kapitalwerts verwendet werden?
Bsp: Kapitalwertberechnung des Zahlungsstroms (−100; 40; 60)
20?)1(
60
?1
40100K
Abb.: Zinssatzarten
et = 100 40 60 t = 0 1 2
z02
z01 = i01 z12
i02 i02
Prof. Dr. Hans Hirth 102
Lösung: Entweder
2
0201 )z(1
60
z1
40100K
oder
)z(1)z(1
60
z1
40100K
120101
oder
12020201 zii21
60
z1
40100K
Diskontierung von 40 auch mit i01 möglich, aber nicht mit i02 oder
z02, da unterschiedliche Frist (logisch).
Prof. Dr. Hans Hirth 103
Diskontierung von 60 bedeutet, danach zu fragen, wie hoch der heu-tige Kredit X sein darf, für dessen Tilgung samt Zinseszinsen die 60 in t = 2 verwendet werden.
Variante 1 Es wird heute ein zweijähriger Kredit zum Zerobondzins z02 aufge-
nommen, der aufgezinst den Betrag 60 ergibt:
X ∙ (1+z02)² = 60
X = 202z1
60
Prof. Dr. Hans Hirth 104
Variante 2 Es wird heute ein einjähriger Kredit zum Zins z01 (bzw. i01) aufge-
nommen. Die Tilgung und Zinszahlung wäre
in t = 1: (1+z01) ∙ X
Diese künftige Auszahlung wird auf Termin über einen Anschluß-
kredit zum Zins z12 finanziert. Endwert dieses Anschlußkredits ist
in t= 2: (1+z01) ∙ X ∙ (1+z12)
Wenn dieser Endwert gleich 60 sein soll, wäre der „passende“ heu-
tige Kredit
)z(1)z(1
60X
1201
Prof. Dr. Hans Hirth 105
Variante 3 Es wird heute ein zweijähriger Kredit zum Kuponzins i02 aufgenom-
men. Die daraus fälligen Auszahlungen sind
in t = 1: i02 ∙ X (zwischenzeitliche Zinszahlung)
in t = 2: (1+i02) ∙ X
i02 ∙ X wird über einen zusätzlichen Kredit auf Termin finanziert.
Dessen Endwert ist in t = 2: i02 ∙ X ∙ (1+z12)
Dann ist der Endwert beider Kredite
in t = 2: (1+i02) ∙ X + i02 ∙ X ∙ (1+z12)
= X ∙ (1+ 2 ∙ i02 + i02 ∙ z12)
Prof. Dr. Hans Hirth 106
Wenn dieser Endwert gleich 60 sein soll, wäre der „passende“ heu-
tige Kredit
120202 zii21
60X
Die ersten beiden Varianten implizieren wegen Arbitragefreiheit
(1 + z02)2 = (1 + z01) (1+z12)
1z1
)z1(z
01
2
0212
„impliziter erminzinssatz“
Prof. Dr. Hans Hirth 107
Abb.: arbitragefreie Zinssätze bei t Perioden
1 €
z01 z12 z23 zt-1;t
Zeit
z0t
Endbetrag in t: 1 € ∙ (1+z01) ∙ (1+z12) ∙ ….. ∙ (1+zt-1;t)
Endbetrag in t: 1 € ∙ (1+z0t)
t
t 0 1 2 3
Prof. Dr. Hans Hirth 108
Allgemein: Termin- und Zerobond-ZInssätze
(1 + z0t)t = (1 + z01) (1+z12) ... (1+zs1,s) (1+zs,s+1) ..... (1+zt1,t)
bei Arbitragefreiheit:
(1+z0t)t = (1+z0s)
s (1+zst)
ts
s
s0
t
t0st
st)z1(
)z1()z1(
(1+z0s)s (1+zst)
ts
Prof. Dr. Hans Hirth 109
Formel: Kassa- und passendeTermin-Zerobond-Zinssätze
1
)z1(
)z1(z st
s
s0
t
t0st
mit s < t. Erkenntnisse bei nichtflacher Zinsstruktur
Berechnung des Kapitalwerts wie gehabt, aber auf Basis der Ze-
robond-Zinssätze, nicht mit Kupon-Zinssätzen (allein)
Arbitragefreiheit nur gewährleistet, wenn die Sätze der unter-
schiedlichen Zinsarten in bestimmtem Verhältnis zueinander ste-
hen.
Prof. Dr. Hans Hirth 110
2.1.7 Einbeziehung von Risiko Wenn Rückzahlungen risikobehaftet
Bewertungsabschlag durch risikoaversen Entscheider Zwei Ansatzpunkte in Kapitalwertformel für Einbezug einer Risikoprämie
Abschlag auf EZÜ: K0 = E(et) - Pt
1+i t t=0
Zuschlag* auf Kalk.zins: K0 = E(et)
1+i+rpt t
t=0
* bzw. Abschlag, falls E(et) < 0
Bemessung der Risikoprämie RP bzw. rp durch
individuelle Risikopräferenz oder
Marktbewertung des Risikos
Genaueres in F&I 1 „Risikomanagement und Kapitalmarkt“
Prof. Dr. Hans Hirth 111
2.2 Investitions- und Konsumentscheidung
2.2.1 Fisher-Modell und vollkommener Kapitalmarkt a) subjektive Bewertung über indiv. Zeitpräferenz
Beispiel zwei Zeitpunkte
Anfangsausstattung mit liquiden Mitteln L = 100
Sachinvestitionsmöglichkeiten wie folgt:
Tab.: Investitionserträge
Gesamtinvestitionen I0 in t = 0
Rückfluß I1 in t = 1
0 0
40 60
80 108
100 124
Prof. Dr. Hans Hirth 112
Abb.: vier Investitions- und Konsumalternativen
c0
c1
124
108
60
0 20 60 100
Prof. Dr. Hans Hirth 113
Wieviel soll investiert werden? Ziel: Nutzenmaximierung! Investor I
z.B. mit U = c00,5
c10,4
Tab.: Nutzen I
I0 I1 = c1 100I0 = c0 U
0 0 100 0
40 60 60 39,84
80 108 20 29,10
100 124 0 0
Prof. Dr. Hans Hirth 114
Abb.: Optimierung I
c0
c1
124
108
60
0 20 60 100
Prof. Dr. Hans Hirth 115
Investor II
z.B. mit U = c00,1
c10,8
Tab.: Nutzen II
I0 I1 = c1 100I0 = c0 U
0 0 100 0 40 60 60 39,84
80 108 20 57,13
100 124 0 0
Prof. Dr. Hans Hirth 116
Abb.: Optimierung II
c0
c1
124
108
60
0 20 60 100
Prof. Dr. Hans Hirth 117
Ergebnis: Investor I bevorzugt I0 = 40. Investor II bevorzugt I0 = 80. Optimale Höhe d. Sachinvestition hängt v. indiv. Nutzenfunktion ab!
keine Einigkeit bei mehreren Gesellschaftern
schlechte Delegierbarkeit b) Bewertung mit zusätzl. Einbeziehung des Kapitalmarkts ● zusätzliche Möglichkeit, Mittel anzulegen und aufzunehmen
● Beispiel
─ einheitlicher Zinssatz i = 10% für Anlage und Kredit
─ zeitliche Transformation von Zahlungen in t = 0 nach t = 1 (oder umgekehrt) im Verhältnis 1 : 1,1 (oder 1,1 : 1)
Prof. Dr. Hans Hirth 118
Abb.: Zinsgeraden
c0
c1
Steigung
(1+ i)
Prof. Dr. Hans Hirth 119
Abb.: Optimierung mit vollkommenem Kapitalmarkt
c1
c0
Investor I
Investor II
I0=80
I0=40
I0=0
I0=100
Prof. Dr. Hans Hirth 120
Ergebnisse
Beide Investoren bevorzugen nun Sachinvestition I0 = 80, auch Investor I.
Investor I nimmt Kredit am Kapitalmarkt auf und konsumiert rela-tiv viel in t = 0.
Investor II legt zusätzlich Mittel am Kapitalmarkt an und konsu-miert relativ wenig in t = 0.
Grund für identische Investitionsentscheidungen
Bei I0 = 80 könnten die meisten Mittel sofort entnommen werden.
Diese Mittel müssen aber nicht sofort entnommen und konsumiert werden, sondern können wiederum über Kapitalmarktanlage (teilweise) in morgigen Konsum transformiert werden.
Prof. Dr. Hans Hirth 121
Nachweis
■ Bei welchem Investitionsvolumen ist derjenige Betrag am höchsten, der sofort entnommen werden könnte,
■ wenn sämtliche Investitionsrückflüsse zur Tilgung der Finanzie-rung verwendet würden?
Tab.: maximale Entnahme
I0 I1 max. Kredit
I1 1,11
verbleibende Anfangsmittel
nach I0
max. Mittel V0
in t = 0:
0 0 0 100 100
40 60 54,54 60 114,54
80 108 98,18 20 118,18
100 124 112,72 0 112,72
Prof. Dr. Hans Hirth 122
Allgemeine Regel für Investitionsentscheidungen bei vollkom-
menem Kapitalmarkt:
Maximiere das Gegenwartsvermögen V0 vor Konsumentscheidung!
V0 = (L I0) + I1 (1+i)1 = L + { I0 + I1 (1+i)
1}
Überschuß d. diskontierten Rück- flüsse über d. Anfangsauszahlung „Kapitalwert“ der Investition, „Nettobarwert“ (net present value)
Daraus folgt das Kapitalwertkriterium für Investitionsentscheidun-gen:
Prof. Dr. Hans Hirth 123
Eine Investition lohnt sich, wenn ihr Kapitalwert positiv ist. Wenn sich verschiedene Investitionsprojekte ausschließen, wähle
diejenige mit dem höchsten Kapitalwert.
Fisher-Separation (Irving Fisher)
(1) Sachinvestitionsentscheidung unabh. von indiv. Zeitpräferenz;
Ziel: Kapitalwertmaximierung
(2) Konsumentscheidung durch Aufteilung des Gegenwartsvermö-
gens aus (1) auf die verschiedenen Zeitpunkte via Kapitalmarkt
Folge
Einstimmigkeit der Gesellschafter
Möglichkeit der Delegation von Investitionsentscheidungen
Prof. Dr. Hans Hirth 124
Aufteilung des Gegenwartsvermögens auf den intertemporalen Konsum im Beispiel
Bei I0 = 80 maximales Gegenwartsvermögen V0 = 118,18
Investor mit U = c0 c1
Wie teilt Investor die 118,18 optimalerweise auf seinen Konsum heute und morgen auf?
U = c0 c1
= (V0 s0) [(1+i) s0]
über s0 zu maximieren! mit s0: Teil des Gegenwartsvermögens V0, der nicht gegenwärtig konsumiert wird (s0 > 0)
Prof. Dr. Hans Hirth 125
U’(s0) = (V0 s0)1
[(1+i) s0]
+ (V0 s0) (1+i) [(1+i) s0]
1 = 0 : (V0s0)
: [(1+i) s0]
(V0 s0) 1
+ (1+i) [(1+i) s0] 1
= 0 (V0s0)
s0
s0 + (V0 s0) = 0
s0* = 0V
c0* = V0 s0
* = 0V
c1* = (1+i) s0
* = (1+i) 0V
Prof. Dr. Hans Hirth 126
Einsetzen von V0 = 118,18 und i = 0,1 sowie α und β in c0* und c1
*:
Tab.: Konsumaufteilung
Investor I
= 0,5 und = 0,4
Investor II
= 0,1 und = 0,8
c0*
65,66 13,13 c1
* 57,78 115,55
U mit Kapitalmarkt 41,05 57,81
U ohne Kapitalmarkt (s.o.) 39,84 57,13
Berücksichtigung des Kapitalmarkts verbessert beide Investoren.
Selbst Investor II verbessert sich, obwohl seine Sachinvestition unverändert bleibt.
Prof. Dr. Hans Hirth 127
Maßnahmen der Investoren
Investor I in t = 0
Sachinvestition 80
verbleibende Eigenmittel 20
zusätzl. Kredit c0 20 = 65,66 20 = 45,66
Konsum c0 = 65,66 in t = 1
Investitionsrückfluß 108
Kredittilg. + Zins 1,1 45,66 = 50,226
Konsum c1 = 108 50,226 = 57,774
Prof. Dr. Hans Hirth 128
Investor II in t = 0
Sachinvestition 80
verbleibende Eigenmittel 20
zusätzl. Finanzanlage 20 c0 = 20 13,13 = 6,87
Konsum c0 = 13,13 in t = 1
Investitionsrückfluß 108
Rückfluß aus Finanzanlage 1,1 6,87 = 7,557
Konsum 108 + 7,557 = 115,557
Prof. Dr. Hans Hirth 129
2.2.2. Hirshleifer-Modell und unvollkommener Kapitalmarkt ● Unvollkommenheit abgebildet über Habenzins < Sollzins
● Projekte stilisiert über stetige Investitionsertragskurve.
c1
c0
Habenzinsgerade
Sollzinsgerade
Investitions-ertragskurve
Anfangs-vermögen
B
A
Prof. Dr. Hans Hirth 130
Je nach Steigung der Indifferenzkurven liegt Tangentialpunkt der bestmöglichen Indifferenzkurve
(1) auf der Habenzinsgerade (links von A).
(2) auf der Investitionsertragskurve (zwischen A und B).
(3) auf der Sollzinsgerade (rechts von B). Diese drei Fälle sind wie folgt zu interpretieren:
(1) Investor investiert bis A und legt außerdem noch etwas am Kapitalmarkt an.
(2) Investor investiert bis in den Bereich zwischen A und B. Er legt weder etwas am Kapitalmarkt an, noch nimmt er Kredit auf.
(3) Der Investor investiert bis B und nimmt noch einen Kredit auf. keine Fisher-Separation mehr (nur noch bereichsbezogene)
Prof. Dr. Hans Hirth 131
2.3 Nutzungsdauerentscheidungen ND: nicht gemeint „technisch mögliche“, sondern „ökonomisch sinnvolle“
Entscheidung über optimalen Zeitpunkt der Ersetzung zahlreiche Varianten:
ohne Ersatzinvestition
mit identischer Ersatzinvestition
mit besserer Ersatzinvestition 2.3.1 ohne Ersatzinvestition bei Beendigung: Liquidationserlös statt weiterer lfd. Überschüsse
Prof. Dr. Hans Hirth 132
Beispiel: keine Ersatzinvestitionen i = 10 %, et
n: EZÜ in t bei Beendigung im Zeitpunkt n (≥ t)
Tab.: keine Ersatzinvestition
t et Lt et1 et
2 et
3 et
4 et
5
0 100 100 100 100 100 100 100
1 50 60 110 50 50 50 50
2 40 36 -- 76 40 40 40
3 30 22 -- -- 52 30 30
4 20 10 -- -- -- 30 20
5 10 0 -- -- -- -- 10
K(n) 0 8,26 17,58 21,54 20,92
Bei Laufzeit n = 4 ist Kapitalwert am höchsten.
Prof. Dr. Hans Hirth 133
Aber:
Vollst. Vergleich aller alternativen Zahlungsströme ist aufwendig. Behelf:
Analyse der Wirkung der Verlängerung der ND um eine Periode Ausgangspunkt:
K(n) = n
n
n
0t
t
t qLqe
Prof. Dr. Hans Hirth 134
Erhöhung des Kapitalwerts durch Verlängerung der ND um eine Pe-
riode (von n1 bis n):
K(n) K(n1)
=
)1n(
1n
1n
0t
t
t
n
n
n
0t
t
t qLqeqLqe
= en qn
+ Ln qn
Ln1 q(n1)
= en qn
+ Ln qn
Ln1 qn
(1+i)
= qn [en (Ln1 Ln) i Ln1]
Barwert von EZÜ kalk. Zinsen auf Liqu.erlös)
Minderung des Liqu.erlöses
Prof. Dr. Hans Hirth 135
Falls K(n) K(n1) > 0:
Weiternutzung von n1 bis n vorteilhaft.
Falls K(n) K(n1) < 0:
Weiternutzung von n1 nur bis n unvorteilhaft.
Aber: Weiternutzung bis (n+x) könnte höheren Kapitalwert erbringen.
„Behelf“ kann nur die Vorteilhaftigkeit einer Fortführung nachweisen,
aber nicht die eines Abbruchs (außer vor der letzten Periode).
Prof. Dr. Hans Hirth 136
2.3.2 mit Ersatzinvestition hier: unendliche Investitionskette identischer Investitionen
Beispiel: identische Ersatzinvestitionen i = 10 % et
n: EZÜ in t, wenn Projekt nach n Perioden beendet wird
und dann das gleiche Projekt neu beginnt.
Prof. Dr. Hans Hirth 137
Tab.: identische Ersatzinvestionen t et Lt et
1 et
2 et
3 et
4 et
5
0 100 100 100 100 100 100 100
1 50 60 110100 50 50 50 50
2 40 36 110100 76100 40 40 40
3 30 22 110100 50 52100 30 30
4 20 10 110100 76100 50 30100 20
5 10 0 110100 50 40 50 10100
6 usw. 76100 52100 40 50
7 usw. usw. 30 40 8 30100 30
9 usw. 20 10 10100 11 usw.
Beachte: Wenn der Ersatz der 1. Investition in t = n optimal ist, dann ist der Ersatz der 2. Investition in t = 2n optimal.
Prof. Dr. Hans Hirth 138
K(n): Kapitalwert der unendlichen Investitionskette
K (n): Kapitalwert der endlichen Investition Zusammenhang zwischen beiden:
K(n)
= K(n) + qn K(n) + q2n
K(n) + usw. Kapitalwert 1. Invest. Kapitalwert 2. Invest. Kapitalwert 3. Invest.
= K(n) (1 + qn + q2n
+ q3n + .....)
(1): Q
Prof. Dr. Hans Hirth 139
Rechentrick:
Dann ist (2): qn Q = qn
+ q2n + q3n
+ .....
(1)(2): Q qn Q = 1
Qn = nq1
1
Also ist K(n) = K (n) nq1
1
Tab.: Vergleich der K(1), K(2), ....., K(5) im obigen Beispiel n K(n)
siehe oben Qn K(n)
= Qn K(n)
1 0 11* 0 2 8,26 5,762 47,59 3 17,58 4,021 70,69 4 21,54 3,155 67,96 5 20,92 2,638 55,19
Optimale ND beträgt 3 Jahre * 1 / (1 – 1,11) = 11
Prof. Dr. Hans Hirth 140
Erkenntnis bei Ersatzinvestitionen
optimale Nutzungsdauer kürzer als ohne Ersatzinvestitionen
Grund:
bei einmaliger Durchführung kein zeitlicher Aufschub des posi-tiven Kapitalwerts nachfolgender Projekte mit entspr. Zinsver-lust
bei Folgeprojekten dagegen Trade-off zw. Restzahlungen und frühzeitigem positiven Kapitalwert der Folgeinvestitionen
3. Endogene Kalkulationszinssätze Kapitalbudgetierung simultane Investitions- und Finanzierungsplanung
Prof. Dr. Hans Hirth 141
Dean-Modell (Joel Dean, 1951)
Situation verschiedene Investitionsprojekte: schließen sich nicht aus und sind unabhängig voneinander verschiedene Finanzierungsquellen: unabhängig voneinander, mit jeweils begrenztem Volumen Grundidee: Vorgezogen werden
Investitionen mit höchster Rendite (int. Zinssatz)
Finanzierungsquellen mit niedrigstem Kapitalkostensatz
Ausdehnung des Budgets, solange: Rendite zusätzl. Investition > Kapitalkostensatz zusätzl. Fin.
Prof. Dr. Hans Hirth 142
Abb.: Dean-Modell
F1
F2
F3
I1
I2
I3
I1
I4
I5
Kapitalangebotskurve
Kapitalnachfragekurve
Kapital
Zinssatz
optimales Budget
endog. Kalk.zins-satz i
Prof. Dr. Hans Hirth 143
Für den endogenen Kalkulationszinssatz gilt:
Kein vorteilhaftes Projekt erzielt geringere Rendite.
Keine vorteilhafte Finanzquelle hat höhere Kapitalkosten.
nichtnegativer Kapitalwert jedes Projekts und jeder Finanzquelle unproblematische Modellerweiterungen Investitionsprojekte, die nicht unabhängig voneinander sind, oder
Finanzierungsquellen, die nicht unabhängig voneinander sind
Kombi als „eigene“ Alternative explizite Berücksichtigung der Unteilbarkeit von Projekten
Flächenvergleich (siehe nächste Seite) grundlegende Schwächen
Kapitalkosten unabh. von Eigenschaften der Investitionen
kein echtes Simultanmodell
keine Begründung der unterschiedlichen Kapitalkosten
Mehrperiodigkeit → Probleme mit internem Zinssatz
Prof. Dr. Hans Hirth 144
Abb.: Lösungsvorschlag bei unteilbaren Projekten Wenn G > V, sollte auch I2 durchgeführt werden.
F1
F2 I1
I2
I3
I1
Kapitalangebotskurve
Kapitalnachfragekurve
Kapital
Zinssatz
optimales Budget
V
G
Prof. Dr. Hans Hirth 145
Problem bei unteilbaren Projekten
Beispiel
I1 mit Kapitaleinsatz von 1.000 € und 10 % endite.
I2 mit Kapitaleinsatz von 2.000 € und 9 % Rendite.
F1 mit maximal 2.000 € und 2 % Zinssatz.
F2 in unbegrenzter Höhe und 18 % Zinssatz.
Prof. Dr. Hans Hirth 146
Abb.: Problem bei Unteilbarkeit von Projekten
V
I2
G
Kapital
Zinssatz
18 %
10 %
9 %
2 %
1000 € 2000 € 3000 €
Y
F1
I1
F2
Prof. Dr. Hans Hirth 147
G = 1.000 € ∙ (9 % - 2%) = 70 €
V = 1.000 € ∙ (18 % - 9 %) = 90 €
würde Ablehnung von I2 bedeuten
I1 allein erbrächte den Gewinn
Y = 1.000 € ∙ (10 % - 2 %) = 80 €
….. ist aber nicht optimal.
Prof. Dr. Hans Hirth 148
Besser: Verzicht auf Projekt I1 Durchführung nur Projekt I2
Gewinn
2.000 € ∙ (9 % - 2 %) = 140 € > 80 €. Fazit
Kleineres I1 trotz höherer Rendite schlechter als größeres I2.
Ähnliches Problem wie bei Renditevergleichsrechnung mit unter-
schiedlichen Kapitaleinsätzen.
Bei Teilbarkeit kein Problem, weil es dann stets nur um einen
Renditevergleich des letzten Euros geht.
Prof. Dr. Hans Hirth 149
III. Finanzierung 1. Finanztitel als Instrumente der Finanzierung 1.1 Abstimmungsbedarf zwischen Unternehmen u. Haushalten
Unternehmen: investieren mit grundsätzlich ..... hohem relativ langfristiger riskanten Kapitalbedarf Kapitalbindung Rückflüssen geringem Präferenz für Präferenz für Anlagevolumen kurzfr. Verfügbarkeit wenig Risiko Haushalte: Sparen/Entsparen zur Gestaltung des intertemporalen
Konsumstroms (jeweils) mit grundsätzlich ....
Höhe Laufzeit Risiko
Prof. Dr. Hans Hirth 150
1.2 Transformationsaufgaben von Finanztiteln Finanztitel vertragliche Festlegung der Rechte und Pflichten von Kapitalgeber und -nehmer a) Abstimmung von Kapitalbedarf und Anlagewünschen Größentransformation: Zerlegung des volumenmäßigen Kapital-bedarfs in kleinere Parten und Aufteilung auf viele Financiers
Prof. Dr. Hans Hirth 151
Fristentransformation: Deckung eines langfristigen Kapitalbedarfs durch revolvierende Finanzierung mit Titel kurzer Fristigkeit Risikotransformation: Zerlegung der unsicheren Gesamtrückzah-lung in unterschiedlich riskante Parten (Bsp. Beteiligung u. Kredit) Risikoübernahme durch Anleger je nach indiv. Risikobereitschaft und –tragfähigkeit
t
sicher unsicher
Prof. Dr. Hans Hirth 152
b) Unterstützung der Transformationsaufgaben
(1) Unterstützung durch Sekundärmarkt
Primärmarkt (Emissionsmarkt)
Ausgabe neuer Finanztitel
unmittelbare Beziehung zwischen Emittent und Anleger
ohne Primärmarkt Sekundärmarkt unterstützt Primärmarkt: kein Sekundärmarkt Liquidität durch Veräußerbarkeit
Preise als Informationssignale
Sekundärmarkt (Umlaufsmarkt)
Handel mit bereits vorhandenden Finanztiteln
Beziehung zwischen verschiedenen Anlegern
Prof. Dr. Hans Hirth 153
Erleichterung des Handels, wenn
keine Nachschußverpflichtung (begrenzte Haftung) Begrenzung des Risikos beim Handel mit den Finanztiteln, außerdem: Kreditwürdigkeit des Unternehmens unabhängig vom Privatvermögen der jeweiligen Eigner
Standardisierung des gehandelten Titels Senkung des Informationsbedarfs über Rechte/Pflichten
hinreichende Publizität über den Emittenten erleichterte Informationsbeschaffung (2) Unterstützung durch Finanzintermediäre z. B. Banken, Fondsgesellschaften, Versicherungen, Kapitalanlage-gesellschaften, .....
Prof. Dr. Hans Hirth 154
Erleichterung der Partnersuche
Senkung des Informationsbedarfs
Information über Bank reicht aus
Bank erhält leichter u. mehr Infos über Emittent (dauernde Beziehung, Verhandl.macht, Vertraulichkeit)
erleichterte Risikostreuung aufgrund hinreichender Größe (letztlich wegen Fixkosten und Unteilbarkeiten) c) Rechte und Pflichten ..... der Emittenten und Anleger
Gegenleistung des Emittenten: Rückzahlung von Mitteln
Leistung des Anlegers: Bereitstellung liquider Mittel
Prof. Dr. Hans Hirth 155
Problem: Gegenleistung erst in der Zukunft und damit unsicher
Einfluß des Zufalls: Einfluß der Handlungen unbeeinflußbar; exogen des Emittenten/Kapitalnehmers: Bsp. Konjunktur beeinflußbar, endogen Bsp. Mißmanagement
Folge: Bedarf an Sicherung der Gegenleistung z. B. durch
Zugriff auf weitere Vermögensgegenstände (Bsp. Kreditsicherheiten, Bürgschaften)
Informationsrechte (Bsp. Einblick in Geschäftsbücher)
Mitspracherechte (Bsp. bei Großinvestitionen)
Wahlrechte (z.B. Verkaufsoptionen)
Kündigungsrechte
Prof. Dr. Hans Hirth 156
1.3 Eigen- und Fremdfinanzierung (a) Idealtypen (1) Fremdkapital (Forderungstitel, Kredite) Merkmal: Kapitalüberlassung
für festgelegte Frist
vom Unternehmenserfolg unabhängiger (= unbedingter) Zins- und ilgungsanspruch („Festbetragsanspruch“)
Folgen
normalerweise nur geringe Risikobeteiligung
Ausfall nur, wenn Vermögen des Schuldners u. evtl. Haftungserweiterungen nicht ausreichen
vorrangige Bedienung bei Insolvenz
Prof. Dr. Hans Hirth 157
Abb.: Eigenkapital als Verlustpuffer
Aktiva Passiva
Vermögen
EK
FK
Verlust
Prof. Dr. Hans Hirth 158
weitere Folgen für FK-Geber
geringer Informationsbedarf:
nur Infos, ob Festbetragsanspruch erfüllt werden kann
Mitgestaltungsrechte überflüssig, solange Untern.vermögen absehbar ausreicht
Gefahr droht, wenn EK nahezu aufgezehrt ist:
Neigung zu riskanterem Verhalten des Kreditnehmers
„ isikoanreizproblem“
(nicht das einzige, aber das wichtigste)
Prof. Dr. Hans Hirth 159
Beispiel zum Risikoanreizeffekt Ausgangssituation: EK = 20 V = 80 FK = 60 2 alternative Projekte 20 mit Wkt. 0,6
Projekt A führt zu Gewinn V = E(V) = 4
20 mit Wkt. 0,4 40 mit Wkt. 0,5
Projekt B führt zu Gewinn V = E(V) = 0
40 mit Wkt. 0,5
A besser als B, da höherer Erw.gewinn und geringeres Risiko
Prof. Dr. Hans Hirth 160
Entscheidungskriterium der EK-Geber: E(EK) („ isikoneutralität“)
Projekt A wird durchgeführt
Erfolg mit 0,6 Mißerfolg mit 0,4 E(EK)
EK = 40 EK = 0 = 0,620 + 0,4(20) V = 100 V = 60 = 4 FK = 60 FK = 60
Projekt B wird durchgeführt
Erfolg mit 0,5 Mißerfolg mit 0,5 E(EK)
EK = 60 EK = 0 = 0,540 + 0,5(20) V = 120 V = 40 = 10 FK = 60 FK = 40 (Haftung nur mit V)
Prof. Dr. Hans Hirth 161
Ergebnis: riskanteres (und insgesamt schlechteres) Projekt wird vorgezogen Ursache: asymmetr. Partizipation der EK-Geber an Gewinnen und Verlusten
Folgerungen
Erweiterung des haftenden Vermögens durch zusätzl. Sicherhei-ten außerhalb des Unt. und durch Bürgschaften Dritter
Aktiva Passiva
Vermögen
EK
FK
Haftungs-
erweiterung
Prof. Dr. Hans Hirth 162
Einengung der Möglichkeit riskanter Projekte durch Sicherheiten innerhalb des Unt. (Eigentumsvorbehalt bei Fuhrpark)
Aktiva Passiva
Kündigungsrechte bei Verringerung der EK-Quote (EK/GK)
Rückzahlung oder Mitsprache über Investitionspolitik
Insolvenzregel: Übernahme des Unt. durch Gläubiger bei Verzehr des EK
Verknüpfung von Entscheidung und Haftung
Vermögen
EK
FK Verfügungs-
beschränkung
Prof. Dr. Hans Hirth 163
bisher: Bankkredite
etwas anders: börsengehandelte Schuldverschreibungen mit vielen Gläubigern
Vorteile eines organisierten Sekundärmarktes, z. B. bzgl. Weiterveräußerung und Risikoteilung
nachvertragl. Einflußnahme auf das endogene Risiko schwieriger (2) Eigenkapital (Beteiligungstitel, Geschäftsanteile) Merkmal: Kapitalüberlassung
i.d.R. für unbegrenzte Frist
vom Unternehmenserfolg abhängiger (= bedingter) Zahlungs- anspruch („ estbetragsanspruch“, esidualanspruch)
Prof. Dr. Hans Hirth 164
Folgen
grundsätzlich Risikobeteiligung (nicht erst im Konkurs, dort übrigens nachrangige Bedienung)
hoher Info.bedarf
Bedarf an Mitgestaltung ( Verknüpfung v. Haftung u. Ent.) Ausgestaltung der Gesellschafterrechte in HGB, GmbHG, AktG Beteiligungen
mit begrenzter Haftung
in allen Kapitalgesellschaften: GmbH, AG
in Personenges.: Kommanditeinlagen in KG
mit „unbegrenzter“ Haftung Haftung auch mit Privatverm.
in Personengesellschaften KG, OHG, ...
bei Einzelkaufmann sowieso
Prof. Dr. Hans Hirth 165
b) Beispiele für Mischformen (1) Optionsschuldverschreibung (bei Aktiengesellschaften) börsennotierte Anleihe, ergänzt um Kaufoption „Option“ = echt
nach oder während einer best. Frist (europ. oder amerikan.)
einen best. Vermögensgegenstand (Basistitel)
zu einem best. Preis (Ausübungspreis)
zu kaufen oder zu verkaufen (Kauf- od. Verkaufsopt.; bzw. call od. put)
hier gemeint: Kaufoptionen auf zusätzliche (neue) Aktien
Ausübung e. Kaufoption, wenn Ausübungspreis < Marktpreis.
Prof. Dr. Hans Hirth 166
(2) Wandelschuldverschreibung
anders als bei (1) keine Ergänzung um Option,
sondern Recht des Gläubigers auf Wandelung der gesamten
Schuld in EK.
Für (1) und (2) gilt: Anleihe + bed. Kapitalerhöhung (§ 192 AktG)
typisch: niedrige Nominalverzinsung der Anleihe → Schonung der Liquidität des Emittenten
aber: kein Geschenk der Kapitalgeber an Emittent, da Ausgleich durch Wert der Option bzw. des Wandlungsrechts
außerdem: Informationsvorteile des Emittenten? Emission ein „schlechtes Signal“?
Prof. Dr. Hans Hirth 167
Beispiel: Wandelschuldverschreibung von TUI 2011
Aktienkurs bei Emission 9,1158 € (volumengewichteter Kurs)
Wandlungspreis 11,8506 €
Wandelprämie (11,8506 / 9,1158) 1 = 30 %
Wandlung vorteilhaft, wenn Aktienkurs > 11,8506 €.
Bei Anlagebetrag 1 Mio. € und Wandlung 1 Mio. / 11,8506 ≈ 84.384 Aktien
magerer Kuponzins 2,75 %
Wandlung bis Laufzeitende 2016 möglich
TUI darf ab 14.4.2014 vorzeitig kündigen, falls Aktienkurs über e. best. Zeitraum höher als 130 % des Wandlungspreises
Prof. Dr. Hans Hirth 168
(3) Aktienanleihen
Recht des Schuldners auf Rückzahlung der Schuld durch Aktien
vorteilhaft für ihn, wenn Kurs bestimmte Grenze unterschreitet
wird „erkauft“ durch h here Nominalverzinsung
Das Recht, Aktien der AG des Schuldners anzudienen, wird spe-ziell auch als „umgekehrte Wandelanleihe“ bezeichnet.
(4) stille Beteiligung/Gesellschaft
Beteiligung am Gewinn zwingend, Verlustbeteiligung kann ausgeschlossen werden (§ 231 HGB)
Anspruch auf Rückzahlung der Einlage
keine Mitspracherechte
(evtl. nachrangige) Forderung im Konkursfall
Verbindung einiger Merkmale idealtyp. Beteiligungen u. Ford.
Prof. Dr. Hans Hirth 169
1.4 Innen- und Außenfinanzierung bisherige Beispiele: Finanzierung durch Zuführung liquider Mittel durch Dritte von außen
(Beteil.- oder Kreditgeber) externe Finanzierung (Außenfin.) jedoch: erheblicher Teil d. Unternehmensfinanzierung durch interne Quellen
interne Finanzierung (Innenfinanzierung)
Verhinderung des Abflusses von EZÜ aus dem Unternehmen, die in der betrachteten Periode realisiert wurden.
Letztlich stammen die natürlich auch aus externen Quellen.
Aber: Externe Quellen geben die Zahlungsmittel nicht zum Zweck der Finanzierung.
Beispiel:
Zahlungswirksamer Umsatz wird zur Finanzierung verwendet.
Prof. Dr. Hans Hirth 170
Vorabüberlegungen
nach einer Periode zusätzlich generiertes Finanzierungsvolumen
= erfolgswirksame EZÜ
+ erfolgsneutrale EZÜ
Gewinn = erfolgswirksame EZÜ
+ nicht einzahlungswirks. Erträge (Bsp. Höherbewertung)
nicht auszahlungswirks. Aufwand (Bsp. Abschreibung) umgeformt zu
Prof. Dr. Hans Hirth 171
erfolgswirksame EZÜ = Gewinn
+ nicht ausz.wirks. Aufwand
nicht einz.wirks. Ertrag
eingesetzt in
nach einer Periode zusätzlich generiertes Finanzierungsvolumen
= Gewinn
+ nicht ausz.wirks. Aufwand
nicht einz.wirks. Ertrag
+ erfolgsneutrale EZÜ
erfolgswirksame EZÜ
Prof. Dr. Hans Hirth 172
Wie kommt man jetzt zur Innenfinanzierung?
Anpassung 1
Außenfinanzierung aus „erfolgsneutrale EZÜ“ herausnehmen (z. B.
Krediteinzahlung oder Eigenkapitalerhöhung)
Anpassung 2
Annahme: Gewinnausschüttung noch nicht in erfolgsneutralen EZÜ
berücksichtigt.
→ Vom Gewinn noch ausgeschütteten Gewinn abziehen.
Prof. Dr. Hans Hirth 173
Innenfinanzierung
= einbehaltener Gewinn
+ nicht ausz.wirks. Aufwand
nicht einz.wirks. Ertrag
+ erfolgsneutrale EZÜ (ohne Außenfinanzierung)
Prof. Dr. Hans Hirth 174
Abb. Finanzierungsformen
Außenfinanzierung
Beteiligungsfinanzierung (Form der Eigenfinanzierung)
Kreditfinanzierung (Form der Fremdfinanzierung)
Innenfinanzierung
Selbstfinanzierung (Form der Eigenfinanzierung)
Finanzierung aus nicht auszahlungswirksamen Aufwendungen z. B. Abschreibungen, Rückstellungen
Minderfinanzierung aus nicht einzahlungswirksamen Erträgen z. B. Zuschreibungen
Finanzierung aus erfolgsneutralen Einzahlungen (ohne Außenfinanzierung) z. B. erfolgsneutraler Verkauf von Vermögensgegenständen
Minderfinanzierung aus erfolgsneutralen Auszahlungen (ohne Außenfinanz.) z. B. erfolgsneutraler Kauf von Vermögensgegenständen
Prof. Dr. Hans Hirth 175
Selbstfinanzierung
einbehaltene Gewinne, unabh. von ihrer Zahlungswirksamkeit
Abweichung vom reinen Zahlungsbezug
Form der Eigenfinanzierung
offene SF: aus Bilanz ersichtlich
stille SF: stille Reserven durch
Unterbewertung von Aktiva
Überbewertung von Verbindlichkeiten
+
Finanzierung aus Abschreibungen
nicht auszahlungswirksamer Aufwand
„Lohmann-Ruchti-Effekt“ scheinbarer Kapazitätserweiterung
soweit Abs. höher als tatsächlicher Wertverlust:
Unterbewertung von Aktiva stille SF (s.o.)
Prof. Dr. Hans Hirth 176
+
Finanzierung aus Rückstellungen
ebenfalls nicht auszahlungswirksamer Aufwand
meist Form der Fremdfinanzierung: z.B. Pensionsrückstellg., Garantierückstellg.
aber nicht immer: z.B. Rückstellg. für unterlassene Instandhaltung,
Drohverlustrückst. z.T. als zweckgebundenes EK bezeichnet
Minder-Finanzierung durch nicht einzahlungswirksame Gewinnkomponenten
z.B. Zuschreibungen
Prof. Dr. Hans Hirth 177
weitere Innenfinanzierung durch erfolgsneutrale Zahlungsvorgänge Anmerkung: erfolgswirksame Anteile zahlungswirksamer Transak-tionen sind bereits in Selbstfinanzierung berücksichtigt.
+
erfolgsneutraler Verkauf von Vermögensgegenständen z. B. Desinvestition oder Forderungsverkauf zum Buchwert
erfolgsneutraler Kauf von Vermögensgegenständen z. B. Kauf eines Bürohauses
Prof. Dr. Hans Hirth 178
Beispiel: Innenfinanzierung
zahl.wirks. Umsatz 50.900 gesamte Einz.:
Lohnauszahlungen 29.300 Umsatz 50.900
Desinvestitionserlös 1.600 Desinvest. + 1.600
fortfallender Buchwert 52.500
durch Desinvestition 700
Abschreibungen 7.700 gesamte Ausz.:
Zuführung in Rückstellg. 2.500 Lohnausz. 29.300
Zinsauszahlungen 2.300 Zinsen 2.300
Gewinnausschüttung 4.000 Steuern 3.300
Gewinnsteuerzahlung 3.300 Ausschüttg. 4.000
38.900
Innenfin. 13.600
Prof. Dr. Hans Hirth 179
Aufgeteilt auf Selbstfin.
= einbehaltene Gewinne, unabh. von ihrer Zahlungswirksamkeit
= Umsatz + (Desinv.erlös Buchwert) Löhne Abs. Rückst.
50.900 + ( 1.600 700 ) 29.300 7.700 2.500
Zinszahlg. Steuern Ausschüttung
2.300 3.300 4.000
= 2.700 Fin. aus Abs.
= 7.700
Prof. Dr. Hans Hirth 180
Fin. aus Rückst.
= 2.500 Fin. durch erfolgsneutralen Verkauf v. Vermögensgegenständen
= 700
= 13.600 = Innenfinanzierung
Prof. Dr. Hans Hirth 181
Zu Finanzierung durch Abschreibungen: „Lohmann-Ruchti-Effekt“
Anschaffung von 10 Overhead-Projektoren zu je 1.000 €
Abschreibung pro Jahr und Projektor: 500 €
Fin. in Höhe der Abschreibungen (durch EZÜ gedeckt)
Ende 1. Jahr
Fin. aus Abs. = 10 500 = 5.000 Kauf zusätzl. 5 Projektoren Endbestand: 15 Ende 2. Jahr
Fin. aus Abs. = 15 500 = 7.500 Kauf zusätzl. 7 Projektoren vollst. abgeschrieben: 10
Endbestand: 15 + 7 10 = 12 (500 in Kasse)
Prof. Dr. Hans Hirth 182
Ende 3. Jahr
Fin. aus Abs. = 12 500 = 6.000 Kauf zusätzl. 6 Projektoren vollst. abgeschrieben: 5
Endbestand: 12 + 6 5 = 13 (500 noch in Kasse) Ende 4. Jahr
Fin. aus Abs.= 13 500 = 6.500 + 500 aus Kasse = 7.000
Kauf zusätzl. 7 Projektoren vollst. abgeschrieben: 7
Endbestand 13 + 7 7 = 13 usw.
Aussage: Kapazität steigt scheinbar von 10 auf 13.
aber: Periodenkapazität Gesamtkapazität (incl. Restlaufzeiten)
Anfangs-Gesamtkapazität = 10 2 Jahre = 20 Projektoren-Jahre
End-Gesamtkapazität = 7 2 Jahre + 6 1 Jahr = 20 Projektoren-Jahre
Prof. Dr. Hans Hirth 183
2. Liquiditätssicherung 2.1 Liquidität, Nutzen und Kosten
Liquidität
Fähigkeit des Unternehmens, die zu e. Zeitpunkt zwingend fälligen Zahlungsverpflichtungen uneingeschränkt erfüllen zu können.
„zwingend fällig“
rechtlich verbindlich: Bsp. Kreditzinsen, Tilgung, Löhne
Gefahr: Insolvenz Gefährdung des Bestands d. Unt.
ökonomisch geboten: Bsp. Auszahlung für lohnende Investition sonst Gefahr des langfristigen Verlustes der Ertragskraft
Prof. Dr. Hans Hirth 184
Quellen der Liquidität
EZÜ, Zahl.mittelbestände, Finanzierungsreserven (= Sekundärreserven)
Nutzen der Liquidität
Sicherung der Zahlungsfähigkeit und Anpassungsfähigkeit („Schlagkraft“)
Kosten der Liquidität
Opportunitätskosten (z.B. kein Zins für liquide Mittel) Bei sicherer Zukunft: Liquiditätsplanung trivial denn: exakte Abstimmung von EZ und AZ möglich, Reserven überflüssig
Prof. Dr. Hans Hirth 185
Bei Unsicherheit: echtes Entscheidungsproblem
Reserven erforderlich, um Mindereinz. oder Mehrausz. auffan- gen zu können
Umfang und Auswahl der Reserven?
Abwägung von
(Opportunitäts-)Kosten der Vermeidung von Illiquidität („Vermeidungskosten“)
Verluste durch Anpassungsmaßnahmen bei Illiquidität („Anpassungskosten“)
Prof. Dr. Hans Hirth 186
Vermeidungskosten durch
Halten von Zahlungsmittelbeständen sowie Sekundärreserven: Verzicht auf (höhere) Rendite
offene Kreditlinien: Vorab-Gebühren Anpassungskosten durch
Liquidation illiquider Vermögensgegenstände: Liquidationsverluste
Inanspruchnahme offener Kreditlinien: Zinsaufschläge
Verschlechterung des Standing schlechtere Konditionen („indirekte Insolvenzkosten“)
Prof. Dr. Hans Hirth 187
Vermeidungskosten können auch dadurch eine Illiquidität vermeiden
helfen, indem sie spätere Anpassungsmaßnahmen erst ermöglichen
oder deren Kosten senken.
2.2 Liquiditätsplanung (a) Finanzplan
zentrales Instrument der kurzfr., zahl.bezogenen Finanzplanung
systematische Zusammenstellung aller Ein- u. Auszahlungen für
best. Zeiträume, die mit zunehmender Entfernung vom Planungs-
zeitpunkt größer werden
Prof. Dr. Hans Hirth 188
Abb.: Ein- und Auszahlungen im Verlauf von Subperioden
1.Dekade 2.Dek. 3.Dek. 2.Monat 3.
Monat 2.
Quartal 3.
Quartal 4.
Quartal
AB 50 10 90 70 30 280 450 820
lfd.EZ 300 320 350 1.000 950 2.900 2.800 2.500
lfd.AZ 250 240 220 700 600 2.000 2.200 2.300
Desinv. - - - - 100 - - -
Inv. - - 500 800 - - - 2.000
Zinsausz. - - 50 50 50 200 200 200
K.-Tilg. 80 - - 80 80 - - -
K.-Aufn. - - 400 540 - - - 1.300
Steuern - - - - - 500 - -
Entnahme 10 - - 10 10 30 30 30
EB 10 90 70 30 280 450 820 90
Prof. Dr. Hans Hirth 189
Beurteilung (1) negativer Zahlmittelbestand am Ende des 2. Monats
Insolvenz? Nein, unzulässiger Finanzplan. Denkbare Plananpassungen:
Aufschieben v. Ausz.: z.B. Investition
Vorziehen v. Einz.: z.B. Desinvestition aus 3. Monat
Erhöhung der Finanzeinzahlungen: Kreditaufnahme (2) starkes Anwachsen des Zahl.mittelbestands im 2. u. 3. Quartal Denkbare Plananpassungen:
teilweise Kredittilgung (wenn möglich)
Investition aus 4. Quartal teilweise vorziehen
Finanzanlage
Prof. Dr. Hans Hirth 190
Allgemein
Suche nach Anpassungsmöglichkeiten, die die Schlagfähigkeit der Unt. erhalten, aber Opportunitätskosten vermeiden
bei Frist länger als 1 Jahr: Prognosen zu ungenau (b) Bilanzielle Liquiditätskennzahlen Aussagen über die aktuelle Liquidität aus Kennzahl der aktuellen Bi-lanz.
Liquidität 1. Grades („Barliquidität“)
Zahlungsmittelbestand
kurzfristige Verbindlichkeiten ≥ 1
kurzfristig = Laufzeit bis 1 J.
Prof. Dr. Hans Hirth 191
Liquidität 2. Grades
ZMB + kurzfr. Forderungen
kurzfr. Verbindlichkeiten =
monetäres Umlaufverm gen
kurzfr. Verbindlichkeiten ≥ 1
Liquidität 3. Grades ( « Current ratio ») ZMB + kurzfr. Forderungen + Vorräte
kurzfr. Verbindlichkeiten =
kurzfr. Umlaufverm gen
kurzfr. Verbindlichkeiten ≥ 1
sind jeweils Ausprägungen der allgemeinen Fristenkongruenzregel
Prof. Dr. Hans Hirth 192
Fristenkongruenzregel
Grundidee:
Vermögensgegenstände erwirtschaften rechtzeitig Zahlungsmittel, die für die Bedienung der Kapitalgeber verwendet werden können.
vereinfachte Bilanz
Aktiva Passiva
● Aktiva mit langfristiger Kapitalbindung (A3)
● Eigenkapital und langfristige Verbindlichkeiten (P3)
● Aktiva mit mittelfristiger Kapitalbindung (A2)
● mittelfristige Verbindlichkei-ten (P2)
● Aktiva mit kurzfristiger Kapitalbindung (A1)
● kurzfristige Verbindlichkeiten (P1)
Das Volumen aller Aktiva mit einer Kapitalbindung bis sollte höher
sein als der Kapitalbetrag aller Passiva mit Fälligkeit bis .
Prof. Dr. Hans Hirth 193
A = Volumen einer Aktivposition mit Kapitalfreisetzung bis
P = Volumen einer Passivposition mit Fälligkeit bis
Nach der Fristenkongruenzregel sollte gelten
A1 P1
und
A1 + A2 P1 + P2
Verallgemeinert:
t
1
t
1
PA für t = 1; ..... ; n
„horizontale Bilanzkennzahl“: Relation zw. Aktiva u. Passiva
Prof. Dr. Hans Hirth 194
daneben: „vertikale Bilanzkennzahlen“; meist mit Passiva
- exponiert: Verschuldungsgrad = EKalEigenkapit
FKalFremdkapit
- bietet gleiche Info. wie FK- o. EK-Quote (FK/GK od. EK/GK)
Zusammenhang zwischen Verschuldungsgrad und Liquidität bei gegebenen Aktiva
VG
höhere feste Ausz.verpflichtungen (AV) bei gegebenen,
aber unsicheren Einz. E
höhere Wkt. dafür, daß AV > realisierte Einz. Er
Prof. Dr. Hans Hirth 195
Abb.: Ausfallwahrscheinlichkeit steigt in AV bzw. VG
F(E) = p(Er<E)
E (= EZÜ vor AV) AV1 AV2
p(Er<AV2)
p(Er<AV1)
1
Prof. Dr. Hans Hirth 196
außerdem
Ergänzung aktueller Bilanz durch Planbilanz
Infos über Veränderung der Liquiditätsituation
Einhaltung best. Kennzahlen weder notwendig noch hinreichend
zur Liquiditätssicherung
„Liquidität kraft Konvention“:
Geldgeber fordern Einhaltung bestimmter Kennzahlen.
Bei Nicht-Einhaltung:
aufgrund Dummheit schlechte Manager
aufgrund Unmöglichkeit geringe Flexibilität
Beides schlechte Signale
Prof. Dr. Hans Hirth 197
3. Bedeutung der Kapitalstruktur 3.1 Kapitalkosten
Kapitalkostensatz
von Financiers geforderte und marktlich durchsetzbare erwartete Rendite für die Bereitstellung von Kapital
Kalkulationszinssatz für die Investitionsrechnung pagatorische Kosten: unmittelbar aus Auszahlungen abgeleitet bei Forderungstiteln zweckmäßig:
nötige Annahme: Zins- u. Tilgungszahlungen sind sicher
Kapitalkostensatz = interner Zinssatz der Kredit-Zahlungsreihe
Prof. Dr. Hans Hirth 198
bei Beteiligungstiteln unzweckmäßig:
Annahme sicherer künftiger Zahlungen hier nicht angebracht. Welche Rendite wird erwartungsgemäß an die EK-Geber gelei-
stet? Tatsächliche Zahlungen können ex post davon deutlich abwei-
chen. Pagatorisches Kapitalkosten ungeeignet. Stattdessen Opportunitätskosten:
Welche erwartete Rendite entgeht EK-Gebern dadurch, daß sie auf vergleichbare Alternative verzichten? Genau diese Rendite werden sie fordern.
Vergleichbarkeit zu beachten hinsichtl. Volumen, Fristigkeit und Risiko (und ggf. Liquidierbarkeit)
Prof. Dr. Hans Hirth 199
3.2 Leverage-Effekt und Leverage-Risiko
Gesamtkapital GK = EK + FK
Einsatz des Gesamtkapitals GK erbringt Bruttogewinn und damit eine (unsichere) Gesamtkapitalrendite rG
GKnnBruttogewir
G
Nettogewinn der Eigenkapitalgeber Bruttogewinn FK-Kosten
Nettogewinn = rG GK – rF FK mit rF als Fremdkapitalzinssatz
Prof. Dr. Hans Hirth 200
Eigenkapitalrendite
EKFKrGKr
alEigenkapit
nNettogewinr FGE
Einsetzen von GK = EK + FK führt nach Umformung zu
VGrrrr
EKFKrrrr
EK
FKrFKEKrr
FGGE
FGGE
FG
E
mit dem Verschuldungsgrad VG = FK/EK.
Prof. Dr. Hans Hirth 201
Wenn rG > rF: rE steigt mit Verschuldungsgrad VG
Aber: rE unsicher, da rG unsicher
differenzierter Blick nötig:
E(rE) = E(rG) + [E(rG) rF] VG „Leverage-Effekt“
Var(rE) = [VG + 1]2 Var(rG) “Leverage- isiko”
Mit steigenden VG steigt zwar E(rE), aber auch Var(rE)!
Prof. Dr. Hans Hirth 202
Abb.: Leverage-Effekt
rF
E(rE)
E(rG)
VG
E(rE); rF
Prof. Dr. Hans Hirth 203
Abb.: Leverage-Risiko
Var(rG)
VG
Var(rE)
Prof. Dr. Hans Hirth 204
Voraussetzungen für positiven Leverage-Effekt
1.) E(rG) > rF
Sachinvestition im Erw.wert besser als Finanzinvestition
2.) rF ist unabh. vom Verschuldungsgrad. zu 1.): erscheint akzeptabel. Jedoch: Sachinvestition zwar im Erw.wert besser, aber riskanter. zu 2.): nicht akzeptabel. Ausfallrisiko für Kreditgeber steigt tendenziell im VG (s.o.)
geforderter rF steigt im VG Erkenntnis
bei EK: Leverage-Effekt wird durch Leverage-Risiko erkauft. bei FK: Ab kritischem VG steigt rF. Existiert ein „optimaler“ VG?
Prof. Dr. Hans Hirth 205
3.3 Irrelevanz des Verschuldungsgrads bei vollkommenem Kapitalmarkt
„Modigliani-Miller- hese I“ (1958, Nobelpreise 1985, 1990):
Der Marktwert einer Unternehmung ist unabhängig vom VG. Beweis durch
Einbeziehung der Kapitalmarktbewertung und
Prinzip der Arbitragefreiheit
Arbitragefreiheit impliziert Wertadditivität Wertadditivität:
Wert der Summe von Zahlungsströmen = Summe der Werte der Zahlungsströme
formal: MW(z1 + z2) = MW(z1) + MW(z2)
Prof. Dr. Hans Hirth 206
Beispiel
z1 = (100; 220; 60,5) mit Preis p1 = 250
z2 = ( 70; 66; 121) mit Preis p2 = 110 (z1+z2) = (170; 154; 60,5) mit Preis p1+2
Bei Wertadditivität muß gelten:
p1+2 = p1 + p2 = 250 + 110 = 360
Prof. Dr. Hans Hirth 207
Andernfalls: a) wenn z.B. p1+2 = 400 > p1 + p2 = 250 + 110 = 360
sicherer Arbitragegewinn durch
Kauf von z1 zu 250 und z2 zu 110
und gleichzeitig
Verkauf von (z1+z2) zu p1+2 = 400
ge- und verkaufte Zahlungsströme decken sich vollständig:
sicherer Arbitragegewinn von 400 360 = 40. b) wenn z.B. p1+2 < p1 + p2
Arbitragegewinn durch Verkauf von z1 und z2 sowie Kauf von (z1+z2).
Prof. Dr. Hans Hirth 208
Erkenntnis
Preisanpassung bis keine Arbitragegewinne mehr möglich sind
und Wertadditivität gilt.
notwendige Bedingung: vollk. Kapitalmarkt, insbes. keine Trans-
aktionskosten
Prof. Dr. Hans Hirth 209
Wertadditivität impliziert Irrelevanz der Kapitalstruktur
Abb.: Zahlungsströme an die Kapitalgeber Für die künftigen (unsicheren) Zahlungsströme gilt: zE+F = zE + zF
Aktiva
Vermögen V generiert für Ka-pitalgeber den Zahl.strom zE+F (von Kap.struktur unabh.)
EK-Geber
FK-Geber
zE+F wird aufge-teilt in zE und zF
zE
zF
Prof. Dr. Hans Hirth 210
Wegen Wertadditivität muß gelten: MW(zE+F) = MW(zE) + MW(zF) bzw. MW(V) = MW(EK) + MW(FK) Verschuldungsgrad soll annahmegemäß keine Auswirkung auf zE+F
und somit MW(zE+F) bzw. MW(V) haben.
Summe der Marktwerte aller Finanztitel MW(EK) + MW(FK) ist bei geg. Investition immer gleich, nämlich MW(V).
Diese Summe wird von Modiglian/Miller als Marktwert des Unter-
nehmens bezeichnet und ist dann unabh. vom VG.
Prof. Dr. Hans Hirth 211
Erkenntnis
Unterschiedliche VG können sich wohl auf Marktwerte des EK und des FK auswirken,
aber stets so, daß die Summe beider gleich bleibt. Ökonomische Begründung
Konstruktion eines bestimmten VG ist ebenso gut auf Anleger-ebene herstellbar (siehe nächste Seite).
Welchen VG ein Unt. wählt, ist dann irrelevant für Anleger.
Marktwert der Unt. allein durch Investitions-, aber nicht durch Fi-nanzierungspolitik bestimmt.
Voraussetzung: vollkommener Kapitalmarkt, insbes.
Anleger erhalten gleiche Konditionen auf Kapitalmarkt wie Unt.
keine finanzierungsabh. Steuern
gleiche Informationsstände („symmetrische Informationsverteilung“)
Prof. Dr. Hans Hirth 212
Individuell gewünschter VG ist auf Anlegerebene herstellbar!
Beispiel
- unverschuldetes Unternehmen mit GK = EK = 1 Mio. €
- Beteiligungsquote des Anlegers: α = 2 %
- von ihm gewünschter Verschuldungsgrad VGi = 1
selbstfinanzierende Strategie:
- Anleger nimmt Kredit K auf und
- kauft damit zusätzl. Anteile bis zu einer Beteiligungsquote β.
(β – α) ∙ 1 Mio = K
Prof. Dr. Hans Hirth 213
- Dann wäre sein individueller Verschuldungsgrad
VGi = individuelle Schulden
individuelles Eigenkapital =
K
∙ 1 Mio =
(β − α) ∙ 1 Mio
α ∙ 1 Mio
VGi = β − α
β = ∙ (1 + VGi)
β = 0,02 ∙ (1 + 1) = 0,04 = 4 % Ergebnisse
- doppelt so hohe Beteiligungsquote
- Die Hälfte davon ist fremdfinanziert.
- Auf diese Weise ist individuell ein beliebiger VGi herstellbar.
- Wert des individuellen Vermögens bleibt gleich.
Prof. Dr. Hans Hirth 214
- Aber: Erwartungswert und Risiko des Gewinns ändern sich.
Gewinn G E(G) Var(G)
vorher: 0,02 ∙ r G ∙ 1 Mio 20.000 ∙ E(rG) 20.0002 ∙ Var(rG)
nachher: 0,04 ∙ r G ∙ 1 Mio 40.000 ∙ E(rG) 40.0002 ∙ Var(rG)
− rF ∙ 20.000 − rF ∙ 20.000
Prof. Dr. Hans Hirth 215
3.4 Relevanz des Verschuldungsgrads bei unvollkommenem Kapitalmarkt
Situation Sollzins rF ≠ Habenzins rH bei Sicherheit Eigenkapitalgeber
besitzt insgesamt ein Vermögen V.
kann anstelle einer sicheren Investition in sein Unternehmen eine
sichere Alternativverzinsung von rH erzielen.
Wieviel seines Vermögen gibt er als Eigenkapital EK und wieviel in
die Alternativanlage A?
V = EK + A
Prof. Dr. Hans Hirth 216
Sein Endvermögen EV wäre
EV = (1+rE) EK + (1 + rH) A
Einsetzen A = V EK:
EV = (1+rE) EK + (1 + rH) (V EK)
EV = (rE rH) EK + (1 + rH) V
Einsetzen der Leverage-Gleichung EK
FKrrrr FGGE :
EV = V)r1(EKrEK
FKrrr HHFGG
= V)r1(FKrrEKrr HFGHG
Prof. Dr. Hans Hirth 217
Einsetzen FK = GK EK: EV = V)r1(EKGKrrEKrr HFGHG
= V)r1(GKrrEKrr HFGHF
exogene Größen, also konstant
Annahmen: rG > rF und rF unabhängig vom EK.
Maximierung des Endvermögens EV über Höhe des EK a) Falls rF > rH: EK höchstmöglich (bis V) → VG minimal!
b) Falls rF < rH: EK = 0 → VG unendlich!
c) Falls rF = rH: Irrelevanz (da vollkommener Markt)
Prof. Dr. Hans Hirth 218
Problem: Wieso sollten bei Sicherheit Haben- und Sollzins auseinanderfallen, wenn es keine Transaktionskosten gibt? Andere, informationsökonomische Ansätze überzeugender. Situation: Unterinvestition bei unbeobachtbarem Arbeitseinsatz Risikoneutraler Unternehmer verfügt über ein Projekt, das drei mög-liche Rückflüssen mit folgenden Wahrscheinlichkeiten erwirtschaftet: 2 R R mit π ≤ 0,5 0 1−2π
π
π
Prof. Dr. Hans Hirth 219
Unternehmer kann über höheren Arbeitseinsatz den Parameter π erhöhen. Dabei entstehen ihm Arbeitskosten in Höhe von c = π². Welches π wählt er? Fall 1: vollständige Eigenfinanzierung Unternehmer maximiert erwarteten Projektrückfluß abzüglich seiner Arbeitskosten:
π ∙ 2 ∙ + π ∙ – π² 1. Ableitung nach π:
3 R – 2 π = 0
Prof. Dr. Hans Hirth 220
führt zum optimalen Arbeitseinsatz mit
π* = 1,5 ∙ Wegen π ≤ 0,5, müssen wir ≤ 1/3 annehmen. Insgesamt wird ein erwarteter Rückfluß abzüglich Arbeitskosten er-
wirtschaftet in Höhe von
π* ∙ 2 ∙ + π* ∙ – (π*)²
= (9/4) R²
Prof. Dr. Hans Hirth 221
Fall 2: teilweise Fremdfinanzierung Bank mit Festbetragsanspruch z. B. in Höhe R. Für Unternehmer bleibt nur noch im besten Zustand etwas übrig.
Daher maximiert er
π ∙ (2 ∙ – R) – π²
Seine Optimierungsbedingung erster Ordnung lautet
R – 2 π = 0 und führt zum optimalen Arbeitseinsatz mit
π** = 0,5 (< π* = 1,5 ∙ )
Prof. Dr. Hans Hirth 222
Insgesamt wird ein erwarteter Rückfluß abzüglich Arbeitskosten er-wirtschaftet in Höhe von
π** ∙ 2 ∙ + π** ∙ – (π**)² = (5/4) ²
also weniger als bei reiner Eigenfinanzierung (9/4) R².
Relevanz der Finanzierung, die hier zu einer Unterinvestition ge-
messen am geleisteten Arbeitseinsatz führen kann.
Je nach Kapitalstruktur wird mehr oder weniger erwirtschaftet, dem-
zufolge hat das Unternehmen einen höheren oder niedrigeren
Marktwert.