bung Kapitalmarkt-Theorie

23. Juli 2015

bungsblatt 4 Portfolio-Selection-Theory

Aufgabe 1

Berechnen Sie die Marktportfolios fr die risikolosen Zinsstze con 0%, 3%, 5%und 7 % bei zwei risikobehafteten Anlagen mit folgenden Eigenschaften:

WP1 10% 10%WP2 20% 80%

Die Kovarianzmatrix C der beiden Wertpapiere ist gegeben durch:

C =

(0,01 0,040,04 0,64

)Im Markt-Portfolio berhrt die Kapitalmarkt-Linie am effizienten Portfolio-Rand.Das Markt-Portfolio ist also das Portfolio mit der maximalen Steigung der CML(Marktpreis des Risikos). Die Nebenbedingung ist, dass es sich auf dem effizi-enten Rand befindet.

Das Maximierungsproblem lautet also:

maxp=x11+x22

MPRp = rrp

Da es nur zwei Wertpapiere gibt, ist x1 + x2 = 1 x2 = 1 x1.

p =x21

21 + x

22

22 +2 x1x21,2

Einsetzen der Nebenbedingung:

maxx1

(x11 + (1 x1)1

) rf

x2121 + x

22

22 +2 x1x21,2

Die Ableitung erfolgt nach der Quotientienregel:

b(x) =f (x)g(x)

b(x) = f(x) g(x) f (x) g(x)

g(x)2

f (x)x1

= 1 2g(x)x1

=2x1

21+(24x1)1,22(1x1)

2

x2121+(1x1)2

22+2x1(1x1)1,2

Durch Einsetzen erhlt man:

1

x1 =(1rf )22(2rf )1,2

(1rf )22+(2rf )21(1+22rf )1,2x1 ist also der Anteil von WP1 am Markt-Portfolio.

Einsetzen der Werte liefert dann:rf x1 x20 1,037 -0,037

0,03 1,0298 -0,02980,05 1,0196 -0,01960,07 0,9929 0,00709

Aufgabe 2

Sie halten ein Aktiendepot mit den Aktien A, B und C. Dies haben folgendeEigenschaften:

j jA 0,18 0,1B 0,13 0,35C 0,2 0,55

Die Kovarianzmatrix lautet:

C =

0,151 0,022 0,1050,022 0,058 0,0240,105 0,024 0,130

a) Beurteilen Sie die Effizienz der drei Wertpapiere anhan des --Prinzips.

Betrachten Sie dabei lediglich die einzelnen Wertpapiere und nicht diemglichen Kombinationen.

A 0,18 0,3886 0,4632B 0,13 0,2408 0,5399C 0,2 0,3606 0,5546

B hat das beste 2

-Verhltnis.

b) Berechnen Sie Erwartungswert und Standard-Abweichung der Renditedes Depots.

E[rP ] =3j

j j

E[rP ] = 0,1 0,18+0,35 0,13+0,55 0,2 = 0,1735

2P =ni=1

2i 2i +ni=1

nj=1

i j i j

2P = 0,12 0,151+0,352 0,058+0,552 0,13+2 0,1 0,35 0,022+2

0,10,550,105+20,350,550,024 = 0,00151+0,007105+0,039325+0,00154+0,01155+0,00924 = 0,07027 P =

0,07027 = 0,26508

Die Standardabweichung betrgt somit 26,51 %.

2

c) Das Depot hat einen Wert von 2.500e. Sie haben zustzlich ein Spargut-haben von 500e. Der risikolose Zins betrgt 4%. Wie hoch sind Erwar-tungswert und Standardabweichung des Gesamtdepots?

Das Volumen des Gesamt-Depots betrgt 2500+500 = 3000e.Der Anteil des risikolosen Wertpapiers betrgt: 5003000 =

16 .

Der Anteil des Depots damit 1 16 =56 .

E[rG ] = rf rf +D E[rD ]= 16 0,04+

560,1735 = 0,15125

G =2rf

2rf +

2D

2D =

2D

2D =D D

56 0,26508 = 0,2209

d) Angenommen, Sie wollen Ihr Gesamtdepot umschichten, so dass es eineStandard-Abweichung von 0,35% hat. Welche Transaktionen mssen Siedurchfhren?

Sei der Anteil, der risikolos investiert wird. Dann ist die Gesamt-Standard-Abweichung:

G =12D

!= 0,35

1 = 0,350,26508 = 1,320356 = 0,3204

Der Gesamtwert des Depots betrgt 3.000e. Um eine Standard-Abweichungvon 35% zu erreichen werden 3000 1,320356 = 3961.07e bentigt. Dierisikolose Anlage muss also aufgelst und ein Kredit in Hhe von 961,07eaufgenommenwerden.

Aufgabe 3

Die Aktien A und B bilden das effiziente Markt-Portfolio. Die Renditen sind,abhngig vom Umweltzustand, in der unten stehende Tabelle angegeben. AlleZustnde treten mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein. Der risikolose Zinssatzbetrgt 2%.

Zustand 1 2 3 4A 0,12 0,18 0,13 0,17B 0,16 0,24 0,22 0,18

a) Wie hoch sind die Erwarteten Renditen, die Standardabweichung, die Ko-varianz und Korrelationskoeffizient?

1. Erwartete Renditen:E[rA] =

14 (0,12+0,18+0,13+0,17) = 0,15

E[rB ] =14 (0,16+0,24+0,22+0,18) = 0,2

3

1. Standardabweichung:2A =

14

((0,120,15)2+(0,180,15)2+(0,130,15)2+(0,170,15)2

)= 14

((0,03)2 + (0,03)2 + (0,02)2 + (0,02)2

)= 14 (0,0009+0,0009+0,0004+0,0004)= 14 0,0026= 0,00065

A =0,00065 = 0,025495

2B =14

((0,160,20)2+(0,240,20)2+(0,220,20)2+(0,180,20)2

)= 14

((0,04)2 + (0,04)2 + (0,02)2 + (0,02)2

)= 14 (0,0016+0,0016+0,0004+0,0004)= 14 0,004= 0,001

B =0,001 = 0,031623

1. KovarianzCov(rA, rB ) = E[rA, rB ] E[rA] E[rB ]

14 (0,12 0,16+0,18 0,24+0,13 0,22+0,17 0,18)0,15 0,2= 14 (0,0192+0,0432+0,0286+0,0306)0,15 0,2= 14 0,12160,03= 0,0004

1. Korrelationskoeffizient:

A,B =Cov(rA, rB )A,B

0,00040,03160,0255 =0,0004

0,0008058 = 0,4964

b) Wie ist die Prozentuale Zusammensetzung des effizienten Markt-Portfolios?

xA =(E[rA] rf ) 2B (E[rB ] rf ) Cov(rA, rB )

(E[rA] rf ) 2B + (E[rB ] rf )2A (E[rA] + E[rB ]2rf ) Cov(rA, rB )

xA =(0,150,02)0,001(0,20,02)0,0004

(0,150,02)0,001+(0,20,02)0,00065(0,15+0,20,04)0,0004xA =

0,130,0010,180,00040,130,001+0,180,000650,310,0004

xA =0,000130,000072

0,00013+0,000170,000124xA =

0,0000580,000124 = 0,4715 x

B = 1 xA = 0,5285

c) Wie lauten die -Faktoren von A,B und des Markportfolios?

Der -Faktor des Marktportfolios ist 1.

j =Cov(rj , rM )

2M

E[rM ] = 47,05% 15%+52,943% 20% = 17,65%2M = 47,057%

22,55%+52,943%23,16%2+20,04%47,057%52,943% = 0,0624

4

1 2 3 4A 12 18 13 17B 16 24 22 18

12 47,056 +16 52,943 =14,12

18 47,056 +24 52,943 =21,18

13 47,056 +22 52,943 =17,76

17 47,056 +18 52,943 =16,47

Cov(ra, rM ) =14 (12 14,12+18 21,18+17,76 13+17 17,53 = 0,0518%)

Cov(rb , rM ) =14 (16 14,12+24 21,18+17,76 22+18 17,53 = 0,0718%)

A =0,0518%0,0624%

= 0,8301

B =0,07180,0624

= 1,1506

M = 1 = 0,47057A +0,52943B

d) Wie ist die Steigung der CML/SML?Steigung der CML=Marktpreis des Risikos ():

rfM

=E[rM ] rf

M=0,17650,020,000624

= 6,266

Steigung der SML:

E[rM ] rf = 0,17650,02 = 0,1565

e) Entsprechen die Renditen den vom CAPM erwarteten Renditen?

Gegeben CAPM : E[rj ] +(E[rm] rf

) j

E[rA] = 0,02+ (0,17650,02) 0,83 = 0,15E[rB ] = 0,02+ (0,17650,02) 1,15 = 0,2 Die erwarteten Renditen entsprechen den prognostizierten Renditendes CAPM.

f) Aus welchen Anteilen A und B setzt sich das Minimum-Varianz-Portfoliozusammen?

xA =2B A,BAB

2A + 2B A,BAB

=0,0010,0004

0,00065+0,0012 0,0004=

0,00060,00085

= 0,70588

xB = 1 xA = 0,2941

5

Aufgabe 4

Das Marktportfolio ist charakterisiert durch eine erwartete Rendite von E[rM ] =0,115. Es ist auerdem charakterisiert durch eine Wahrscheinlichkeitsvertei-lung von

1 2Rendite Marktportfolio ? 0,08

Wahrscheinlichkeit 0,5 0,5

Der risikolose Zinssatz beluft sich auf rf = 0,1. Berechnen Sie den Preis einerSachinvestition die folgende Rckflsse erzielt:

1 2Rckfluss Sachinvestition 100 200

Wahrscheinlichkeit 0,5 0,5

Seien yj die Rckflsse der Sachinvestitionen und P(yj ) der Preis. Dann betrgtdie Rendite:

rj =Yi P(yj )P(yj )

E[rj ] =E[yj ] P(yj )

P(Yj )

CAPM: E[rj ] = rf + (E[rM ] rf ) j

j =Cov(rj , rM )

2M

E[rj ]P(yj )1 = rf + (E[rM ] rf )

Cov(yj

P(yJ )1,rM )

2M= rf + (E[rM ] rf )

1p(yj )Cov(yj ,rM )

M

E[yj ] =12 (100+200) = 150

E[rM ] = 0,115 12 (rM,1 +0,08) = 0,115rM,1 = 0,15

Cov(Yj , rM ) =12(1000,15+2000,8)1500,115 = E(Yj , rM )E[Yj ]E(rM ) = 1,75

2M = 0,5(0,152 +0,082)0,1152 = 0,001225

150P(Yj ) 1 = 0,1+ (0,1150,1)1,75

P(Y)0,001225150 P(yj ) = 0,1P(Yj )21,4286P(Yj ) = 155,845Cov(a x + b,cy + d) = acCov(x,y)

Aufgabe 5

Fr die Aktienrenditen der beiden Wertpapiere A und B ist folgendes bekannt:

A 7 % 12 %B 15% 20 %

Der risikolose Zinssatz r betrgt 11%. Die beiden Wertpapiere sind perfekt ne-gativ korrelliert. st der Markt hinsichtlich der risikolosen Geldanlage arbitra-gefrei?

6

xA =2B A,BAB

2A + 2B 2A,BAB

= 1

xA = 0,625,xB = 0,375

En perfekt korreliertes Portfolio ist risikolos und muss bei arbitragefreiheitauch eine Verzinsung von 11% aufweisen.

E[rP ] = xA A + x

B B = 0,625 7+0,375 15 = 10

Dies ist leider nicht der Fall.

Aufgabe 6

An einem Kapitalmarkt existieren 10 riskante Wertpapiere und ein sicheresWertpapier. Das Marktportfolio ist gekennzeichnet durch einen Erwartungs-wert von von E[rM ] = 0,12 und einer Standardabweichung der Rendite vonrm = 0,15. Mit der Rendite von Wertpapier 1 besitzt das Marktportfolio ei-ne Kovarianz von Cov[r1, rm] = 0,018. Mit der Rendite von Wertpapier 2 besitztes eine Kovarianz von 0,045. Wertpapier 1 weist eine erwartete Rendite vonE[r1] = 0,112 auf.

a) Berechnen Sie fr Wertpapier 1 den Risikozuschlag 1(E[rM ] rf )

1 =Cov[r1, rM ]Var[rM ]

=0,0180,152

=45= 0,8

E[r1] = rf + (E[rM ] rf ) 10,112 = rf + (0,12 rf ) 0,8

0,112 = rf +0,0960,8rf0,2rf = 0,016

rf = 0,08

b) Bestimmen Sie die erwartete Rendite von Wertpapier 2!

E[r2] = rf +(E[rM ] rf

) 2

2 =Cov[r2, rM ]Var[rM ]

=0,0450,152

= 2

E[r2] = 0,08+ (0,120,08) 2 = 0,16

7

Aufgabe 7

Auf einem KApitalmarkt werden zwei riskante Wertpapiere gehandelt, die durchfolgende Eigenschaften zu beschreiben sind.

Preis 1 2 3Wahrscheinlichkeit 0,6 0,3 0,1Zahlungsreihe Y1 -100 105 120 110Zahlungsreihe Y2 -100 130 100 105

Die Struktur des Marktportfolios ist gegeben durch 1 =23 . Der risikolose Zins-

satz betrgt rf = 0,1.Bestimmen Sie den Preis einer Sachinvestition, deren Anschaffung I = 100 Kos-tet und deren zustandsunabhngige Rckflsse durch folgende Wahrschein-lichkeitsverteilung beschrieben sind:

1 2 3Rckflsse 125 122 118

Wahrscheinlichkeit 0,6 0,3 0,1Rendit 0,25 0,22 0,18

E[r1] =100+0,6 105+0,3 120+0,1 110

100= 0,1

E[r2] =100+0,6 130+0,3 100+0,1 105

100= 0,1850

E[rM ] = 1 E[r1] +2E[r2] =230,1+ 1

30,1850 = 0,1283

Rendite 1 2 3Y1 0,05 0,2 0,1Y2 0,3 0 0,05

MP 23 0,05+13 0,3 =

215

23 0,2 =

215

23 0,1+

13 0,05 =

112

Var[r1] = 0,6 (0,050,1)2 +0,3 (0,020,1)2 = 0,0045

Var[r2] = 0,6 (0,30,185)2 +0,3 (00,185)2 +0,1 (0,050,185)2 = 0,02

Cov[r1, r2] = E[r1, r2] E[r1] E[r2]

= 0,6 0,05 0,3+0,1 0,1 0,050,1 0,185 = 0,009

Var[rM ] = 0,6(2150,1283)2+0,3( 2

150,1283)2+0,1( 1

120,1283)2 = 0,0002

E[xj ] = 0,6 125+0,3 122+0,1 118 = 123,4

Cov[X j , rM ] = 0,02739

Sei PV(xj ) der faire Barwert der Rckflsse des Investitionsprojekts, dannknnen wir PV(xj ) berechnen durch:

8

E[X j ]PV(X j )

1 = rf +(E[rM ] rf

)

Cov(xj , rM )PV(xj ) E[rM ]

123,4PV(X j )

1 = 0,1+(0,12830,1

) 0,02739PV(xj ) 0,000222

123,4 PV(xj ) = 0,1PV(xj ) +(0,12830,1

) 0,027390,000222

1,1PV(xj ) = 0,0283 0,0216PV(xj ) = 109,0076

Aufgabe 8

Gegeben sei eine Anfangsinvestition A0 =1.000e. Der risikolose Zins betrgt:r=0,05. Weiterhin gegeben sind Investitionsmglichkeiten in 2 Wertpapier mit3 verschiedenen Umweltzustnden.

Zustand Wahr-scheinlich-keit

RenditeMarkt-Portfolio

WP 1 RenditeWP 1

WP 2 RenditeWP 2

1 0,3 -0,1 800 ? 800 ?2 0,4 0,05 1.200 ? 900 ?3 0,3 0,3 1.200 ? 1.600 ?

Fr welche der beiden Investitionen entscheiden Sie sich nach dem CAPM?Berechnen Sie zunchst die Wertpapierlinie!

1. Renditen berechnen.Die Anfangsinvestition ist 1000e. Das soll heisst es werden 1000 in einWertpapier gesteckt. Die Auszahlung ist in der WP - Spalte angegeben.

Zustand Wahr-scheinlich-keit

RenditeMarkt-Portfolio

WP 1 RenditeWP 1

WP 2 RenditeWP 2

1 0,3 -0,1 800 -0,2 800 -0,22 0,4 0,05 1.200 0,2 900 -0,13 0,3 0,3 1.200 0,2 1.600 0,6

2. Erwartungswerte berechnen:

Zustand Wahr-scheinlich-keit

RenditeMarkt-Portfolio

WP 1 RenditeWP 1

WP 2 RenditeWP 2

1 0,3 -0,1 800 -0,2 800 -0,22 0,4 0,05 1.200 0,2 900 -0,13 0,3 0,3 1.200 0,2 1.600 0,6E[rj ]= 0,08 0,08 0,08

9

3. Varianz berechnen:

Zustand Wahr-scheinlich-keit

RenditeMarkt-Portfolio

WP 1 RenditeWP 1

WP 2 RenditeWP 2

1 0,3 -0,1 800 -0,2 800 -0,22 0,4 0,05 1.200 0,2 900 -0,13 0,3 0,3 1.200 0,2 1.600 0,6E[rj ]= 0,08 0,08 0,082j 0,0246 0,0336 0,1176

4. Kovarianz der Wertpapiere mit dem Markt-Portfolio berechnen:

Zustand Wahr-scheinlich-keit

RenditeMarkt-Portfolio

WP 1 RenditeWP 1

WP 2 RenditeWP 2

1 0,3 -0,1 800 -0,2 800 -0,22 0,4 0,05 1.200 0,2 900 -0,13 0,3 0,3 1.200 0,2 1.600 0,6E[rj ]= 0,08 0,08 0,082j 0,0246 0,0336 0,1176Cov(rj , rM) 0,0216 0,0516

5. -Faktoren berechnen.

i =Cov[rj , rM ]

2M

1 =0,02160,0246 =

3641 2 =

0,05160,0246 = 2

441

5. Wertpapier-Linie berechnen

SMLj = rf +(E[rp] rf

) j

SML1 = 0,05+(0,080,05

) 3641 = 0,0763

SML2 = 0,05+(0,080,05

)2 441 = 0,1129

Entscheidungsregeln:SMLj < E[rWP1] Investition durchfhrenSMLj > E[rWP2] Investition nicht durchfhren

10