Kapitel 1-4 (Ausblick) Endogenes Wachstum und … · Manfred Gärtner, Macroeconomics, 3rd Edition,...

Makro II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser

Kapitel 1-4 (Ausblick)

Endogenes Wachstum

und endogene

Sparquote

Version: 22.11.2011

Makro II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser, Folie 2

Endogene Wachstumstheorie

Literatur N. Gregory Mankiw, Makroökonomik, 6. Auflage, 2011, Kapitel 8.4

Manfred Gärtner, Macroeconomics, 3rd Edition, 2009, Kapitel 10.6

Problem des Solow-Modells

langfristiges Wachstum des Pro-Kopf-Einkommens nur durch

exogenen technischen Fortschritt möglich

d.h. Wachstum wird angenommen, nicht erklärt

Ursache:

• im Steady-State (ohne technischen Fortschritt) wachsen Pro-

Kopf-Größen nicht

• Sparfunktion (Investitionsfunktion), die wegen der abnehmenden

Grenzerträge des Kapitals einen konkaven Verlauf hat, hat immer

einen Schnittpunkt mit der linearen Funktion der zur Erhaltung

der Kapitalintensität erforderlichen Investitionen.



Endogene Wachstumsmodelle

heben die Annahme der abnehmenden Grenzerträge auf

Produktionsfunktion

𝑌 = 𝐴 ∙ 𝐾

𝐴𝐾-Modell

• Kapital als einziger Produktionsfaktor

• Stand des technischen Wissens (Technologie) 𝐴

• konstanter Grenzertrag (-produktivität) des Kapitals 𝜕𝑌 𝜕𝐾 = 𝐴 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

• d.h. eine zusätzliche Einheit 𝐾 erhöht die Produktion 𝑌 um 𝐴 Einheiten,

unabhängig davon, wie viele Einheiten von 𝑌 bereits produziert wurden

• zum Vergleich: bei einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion (𝑌 =𝐴𝐾𝛼𝑁1−𝛼) nimmt die Grenzproduktivität des Kapitals mit der

Kapitalintensität ab: 𝜕𝑌 𝜕𝐾 = A𝛼 𝐾 𝑁 1−𝛼

konstante Grenzproduktivität als zentraler Baustein

der endogenen Wachstumstheorie



bei einem eng gefassten Kapitalbegriff ist es schwer,

von der Annahme abnehmender Grenzerträge

abzuweichen

Eng gefasst heißt, dass 𝐾 nur Sachkapital umfasst

Wenn ein Arbeiter 10 Computer zur Verfügung gestellt

bekommt, produziert er mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht

zehn Mal so viel wie ein Arbeiter mit nur einem Computer.

Abnehmende Grenzerträge bedeuten eben, dass sein Output

um einen Faktor kleiner 10 zunehmen wird.



weitgefasster Kapitalbegriff als ökonomische

Begründung für die Annahme konstanter Grenzerträge

In der Produktionsfunktion spielt nicht nur Sach-, sondern

auch Humankapital eine Rolle

Humankapital beschreibt das Wissen, die Fähigkeiten, die

Ausbildung des Faktors Arbeit

Ungelernte Arbeit spielt keine Rolle mehr

Investitionen in den Faktor Arbeit erhöhen das Humankapital,

ähnlich wie der physische Kapitalstock durch (Anlage-)

Investitionen erweitert wird



weitgefasster Kapitalbegriff als ökonomische

Begründung für die Annahme konstanter Grenzerträge

wichtige Anforderung an die Produktionsfunktion ist, dass der physische Kapitalstock und der Bestand an

Humankapital sich gleichermaßen ausweiten, d.h. dass eine Einheit Humankapital effektiv immer mit der selben Menge

an physischem Kapital arbeitet

Produktionsfunktion: 𝑌 = 𝐴𝐾𝛼 𝐻𝑁 1−𝛼

Humankapital 𝐻 entwickelt sich proportional mit der

Kapitalintensität (Kapitalausstattung je Einheit Arbeit):

𝐻 = 𝐾 𝑁

die Produktionsfunktion lautet dann: 𝑌 = 𝐴𝐾𝛼 𝐾

𝑁𝑁

1−𝛼= 𝐴𝐾



Wachstumsgleichgewicht

dieses Modell wird nicht in Pro-Kopf-Größen formuliert, da

die Beschäftigung bzw. Bevölkerung nicht in der

Produktionsfunktion vorkommen

Investitionen 𝐼 = 𝑆 = 𝑠𝐴𝐾

Veränderung des Kapitalstocks 𝐾+1 − 𝐾 = Δ𝐾 = 𝐼 − 𝛿𝐾

beides zusammen Δ𝐾 = 𝑠𝐴𝐾 − 𝛿𝐾 ⇒ 𝑔𝐾 = Δ𝐾 𝐾 = 𝑠𝐴 − 𝛿

da 𝑔𝑌 = 𝑔𝐴 + 𝑔𝐾, kann die Produktion selbst bei konstanter

Bevölkerung und konstantem technischen Wissen mit 𝑔𝐾

wachsen

d.h. 𝑔𝑌 = 𝑠𝐴 − 𝛿, somit hängt die Wachstumsrate der

Produktion von der Sparquote ab

dieses Ergebnis steht im Widerspruch zum Solow-Modell


Solow-Modell AK-Modell

f(Kt) 𝜹 Kt sf(Kt)

Pro

du

kti

on

Y

Kapital K

f(Kt/N)

𝜹 Kt/N

sf(Kt/N)

Pro

du

kti

on

je

Bes

ch

äft

igte

n Y

/N

Kapitalintensität K/N

Y*/N

K*/N




Sparquote als Determinante langfristigen Wachstums

höhere Sparquoten führen zu höheren Anlageinvestitionen

und zu höheren Investitionen in Humankapital

der Anstieg der Produktivitäten führt dann zu höherem

Wachstum

Wirtschaftswachstum kann sich also selbst bestimmen und

fällt nicht wie „Manna vom Himmel“

• Sparquoten können wirtschaftspolitisch beeinflusst werden

• Sparquoten können endogenisiert werden



Evidenz Nach dem AK-Modell

weisen Länder mit

einer höheren

Sparquote (und

dementsprechend mit

einer höheren

Investitionsquote) ein

höheres Wachstum

des Pro-Kopf-

Einkommens auf.

Quelle: Gärtner

(2009),

Macroeconomics, S.

297

135 Länder,

Durchschnitte über

den Zeitraum 1960-85


Endogene Sparquote

Bislang: Haushalte sparen/investieren einen

konstanten Teil ihres Einkommens

Jetzt: Haushalte maximieren ihren Nutzen

im Solow Modell bereits diskutiert im Rahmen der Goldenen

Regel der Kapitalakkumulation

• allerdings war das Optimalitätskriterium der maximale Steady State Pro-

Kopf-Konsum

• Goldene Regel nicht unbedingt plausible Annahme, da Steady State erst

nach unendlich langer Zeit erreicht wird.

Periodennutzen 𝑈(𝑐𝑡) mit positiven, aber fallendem

Grenznutzen U

c

U(c)


Endogene Sparquote

Zwei-Periodenmodell

Gegenwartswert des Gesamtnutzen = Summe der

abdiskontierten Periodennutzen

Υ = 𝑈 𝑐1 + 𝛽𝑈 𝑐2 wobei der Diskontfaktor 𝛽 definiert ist als

𝛽 =1

1+𝜌 und 𝜌 die Diskontrate ist

• der Nutzen aus Periode 2 wir mit der Rate 𝜌 abdiskontiert

• wenn 𝜌 > 0, dann schätzen Haushalte den zukünftigen Konsum geringer

als den heutige (Ungeduld, Unsicherheit über zukünftige Entwicklungen)

Intertemporale Indifferenzkurven c2

c1

Υ3 Υ2

Υ1


Endogene Sparquote

Zwei-Periodenmodell

Haushalte maximieren Gegenwartswert des Gesamtnutzen

Allerdings kann der Konsum nicht unbegrenzt ausgeweitet

werden

• Haushalte sind in ihrem Budget restringiert

• In Periode 1 teilen sie ihr Arbeitseinkommen 𝑦 in Konsum 𝑐 und Ersparnis

𝑠 auf: 𝑐1 = 𝑦1 − 𝑠1, wobei 𝑠1 auch negativ sein kann (Kreditaufnahme)

• In Periode 2 wird das Arbeitseinkommen und die aus der Vorperiode

verzinste Ersparnis konsumiert: 𝑐2 = 𝑦2 + 1 + 𝑟 𝑠1

• Intertemporale Budgetrestriktion: 𝑐2 = 1 + 𝑟 𝑦1 − 𝑐1 + 𝑦2 c2

c1

Υ1

Υ3 Υ2


Endogene Sparquote

Zwei-Periodenmodell

Im Nutzenoptimum ist die Steigung der Indifferenzkurve

gleich der Steigung der Budgetgeraden

• Steigung der Indifferenzkurve entspricht der Grenzrate der Substitution:

𝑑Υ =𝜕Υ

𝜕𝑐1𝑑𝑐1 +

𝜕Υ

𝜕𝑐2𝑑𝑐2 = 0 ⟺

𝑑𝑐2

𝑑𝑐1= −

Υ𝑐1Υ𝑐2

Die GRS gibt die Einheiten des weniger präferierten Gutes an, die ein

Haushalt für die Substitution des präferierten Gutes fordert, um ihn für

den entgangenen Nutzen beim präferierten Gut zu entschädigen.

• Steigung der Budgetgeraden 𝑑𝑐2

𝑑𝑐1= −(1 + 𝑟)

c2

c1

Υ1

Υ3 Υ2 Optimum: 1 + 𝑟 =

Υ𝑐1Υ𝑐2


Endogene Sparquote

Zwei-Periodenmodell

Spezifikation einer Nutzenfunktion

• 𝑈 𝑐𝑡 = ln 𝑐𝑡

• Υ = ln 𝑐1 +1

1+𝜌ln 𝑐2, Υ𝑐1 = 𝑐1

−1, Υ𝑐2 =1

1+𝜌𝑐2−1

• Optimum: 1 + 𝑟 = (1 + 𝜌)𝑐2

𝑐1

• Keynes-Ramsey-Regel: 𝑐2 = 𝑐11+𝑟

1+𝜌

• eingesetzt in die intertemporale Budgetrestriktion: 𝑐1 = (1+𝜌

2+𝜌)(𝑦1 +

𝑦2

1+𝑟)

c2

c1

Υ1


Υ𝑐1Υ𝑐2


Endogene Sparquote

Zwei-Periodenmodell

Spezifikation einer Nutzenfunktion

• 𝑐1 =1+𝜌

2+𝜌𝑦1 +

𝑦2

1+𝑟=

1

1+𝛽𝑦1 +

𝑦2

1+𝑟

• Konsum heute = Konsumquote (aus permanenten Einkommen) X

Gegenwartswert des Einkommens

• Annahme, dass Einkommensströme exogen gegeben sind

• Ersparnis: 𝑠1 = 𝑦1 − 𝑐1 = 𝑦1 −1

1+𝛽𝑦1 +

𝑦2

1+𝑟=

1

1+𝛽𝛽𝑦1 −

𝑦2

1+𝑟

• wenn 𝑟 steigt, nimmt die Ersparnis in Periode 1 zu und der Konsum ab

(die Budgetgerade wird steiler) c2

c1

Υ1


Υ𝑐1Υ𝑐2


Endogene Sparquote

weiterer Modellaufbau

Unternehmensseite

• Endogenisierung der Produktion und des Einkommens

• gewinnmaximierende Unternehmen entlohnen die Produktionsfaktoren

anhand ihrer Grenzproduktivitäten

• ...

Übergang zum Mehrperiodenmodell

Zentrales Ergebnis wird sein, dass der Kapitalstock im

Ramsey Optimum niedriger sein wird, als bei der Goldenen

Regel

Entsprechend fällt auch der Steady-State Konsum niedriger

aus

• Grund hierfür: Haushalte schätzen zukünftige Konsum niedriger ein als

heutigen (𝜌 > 0)

• in einem Mehrperiodenmodell wird das hohe Konsumniveau der

Goldenen Regel erst nach unendlicher Zeit erreicht

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