Kapitel 2 Zählen (Kombinatorik). Kapitel 2 © Beutelspacher November 2004 Seite 2 Inhalt 2.1...

Kapitel 2

Zählen (Kombinatorik)

Kapitel 2

Zählen (Kombinatorik)

Kapitel 2 © Beutelspacher

November 2004Seite 2

InhaltInhalt

2.1 Einfache Zählformeln

A B = A + B.

2.2 Binomialzahlen

2.3 Die Siebformel

2.4 Permutationen

2.1 Einfache Zählformeln

A B = A + B.

2.2 Binomialzahlen

2.3 Die Siebformel

2.4 Permutationen



2.1 Einfache Zählformeln2.1 Einfache Zählformeln

Erinnerung: Für eine Menge M bezeichnet M die Anzahl ihrer

Elemente; wir nennen diese Zahl die Mächtigkeit der Menge M.

2.1.1 Summenformel. Für je zwei endliche Mengen A und B gilt

A B = A + B – A B.

Wenn A und B kein gemeinsames Element haben

(man sagt dazu: A und B sind disjunkt), so gilt sogar

A B = A + B.

Erinnerung: Für eine Menge M bezeichnet M die Anzahl ihrer

Elemente; wir nennen diese Zahl die Mächtigkeit der Menge M.

2.1.1 Summenformel. Für je zwei endliche Mengen A und B gilt

A B = A + B – A B.

Wenn A und B kein gemeinsames Element haben

(man sagt dazu: A und B sind disjunkt), so gilt sogar

A B = A + B.



BeispieleBeispiele

Um die Anzahl der Studierenden, die Biologie oder Chemie

studieren, zu erhalten, genügt es nicht, nur die Anzahl der

BiologiestudentInnen und die Anzahl der ChemiestudentInnen zu

wissen, man muss auch noch wissen, wie viele Menschen Biologie

und Chemie studieren.

Die Anzahl der Studierenden im Fach Psychologie ist gleich der

Anzahl der weiblichen plus der Anzahl der männlichen Studierenden

des Faches Psychologie. (Wenn W die Menge der weiblichen und

M die Menge der männlichen Psychologiestudierenden ist, so sind

W und M disjunkt, also ist die Anzahl aller Studierenden des

Faches Psychologie gleich W + M.)

Um die Anzahl der Studierenden, die Biologie oder Chemie

studieren, zu erhalten, genügt es nicht, nur die Anzahl der

BiologiestudentInnen und die Anzahl der ChemiestudentInnen zu

wissen, man muss auch noch wissen, wie viele Menschen Biologie

und Chemie studieren.

Die Anzahl der Studierenden im Fach Psychologie ist gleich der

Anzahl der weiblichen plus der Anzahl der männlichen Studierenden

des Faches Psychologie. (Wenn W die Menge der weiblichen und

M die Menge der männlichen Psychologiestudierenden ist, so sind

W und M disjunkt, also ist die Anzahl aller Studierenden des

Faches Psychologie gleich W + M.)



Beweis der SummenformelBeweis der Summenformel

Beweis. Die Menge A B setzt sich aus drei disjunkten

Teilmengen zusammen: A \ B, A B, B \ A.

Also gilt

A B = A \ B + A B + B \ A

= (A – A B) + A B + (B – A B)

= A + B – A B.

Durch Umstellen ergibt sich die Behauptung.

Beweis. Die Menge A B setzt sich aus drei disjunkten

Teilmengen zusammen: A \ B, A B, B \ A.

Also gilt

A B = A \ B + A B + B \ A

= (A – A B) + A B + (B – A B)

= A + B – A B.

Durch Umstellen ergibt sich die Behauptung.



Das kartesische ProduktDas kartesische Produkt

Definition. Für zwei nichtleere Mengen A, B ist das kartesische

Produkt (Kreuzprodukt) A B („A kreuz B“) die Menge aller Paare,

von denen der erste Teil aus A, der zweite aus B kommt:

A B = {(a, b) a A, b B}.

Beispiele:

(a) Wenn A = {1, 2, 3} und B = {x, y} ist, so gilt

A B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y)}.

(b) Wenn S die Menge aller Studierenden und V die Menge aller

Vorlesungen ist, so ist S V die Menge aller Vorlesungsbesuche.

Definition. Für zwei nichtleere Mengen A, B ist das kartesische

Produkt (Kreuzprodukt) A B („A kreuz B“) die Menge aller Paare,

von denen der erste Teil aus A, der zweite aus B kommt:

A B = {(a, b) a A, b B}.

Beispiele:

(a) Wenn A = {1, 2, 3} und B = {x, y} ist, so gilt

A B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y)}.

(b) Wenn S die Menge aller Studierenden und V die Menge aller

Vorlesungen ist, so ist S V die Menge aller Vorlesungsbesuche.



Kartesisches Produkt von mehr als zwei MengenKartesisches Produkt von mehr als zwei Mengen

Wenn M1, M2, ..., Mn nichtleere Mengen sind, so ist

M1 ... Mn = {(m1, ..., mn) mi Mi}.

Die Menge M1 ... Mn besteht also aus allen Folgen der Länge n,

wobei das i-te Folgenglied aus der Menge Mi gewählt wird.

Beispiel:

Für A = {1, 2, 3}, B = {a, b} und C = {x, y} ist

A × B × C = {(1,a,x), (1,a,y), (1,b,x), (1,b,y), (2,a,x), (2,a,y), (2,b,x),

(2,b,y), (3,a,x), (3,a,y), (3,b,x), (3,b,y)} .

Wenn M1, M2, ..., Mn nichtleere Mengen sind, so ist

M1 ... Mn = {(m1, ..., mn) mi Mi}.

Die Menge M1 ... Mn besteht also aus allen Folgen der Länge n,

wobei das i-te Folgenglied aus der Menge Mi gewählt wird.

Beispiel:

Für A = {1, 2, 3}, B = {a, b} und C = {x, y} ist

A × B × C = {(1,a,x), (1,a,y), (1,b,x), (1,b,y), (2,a,x), (2,a,y), (2,b,x),

(2,b,y), (3,a,x), (3,a,y), (3,b,x), (3,b,y)} .



Die ProduktregelDie Produktregel

2.1.2 Produktregel. Für je zwei endliche nichtleere Mengen A und B

gilt

A B = AB.

Beweis. Wir zählen alle Paare (a, b) mit a A und b B.

Für die erste Komponente gibt es A Möglichkeiten, denn jedes

Element aus A kommt in Frage. Entsprechend gibt es für die zweite

Komponente genau B Möglichkeiten.

Da man diese Möglichkeiten unabhängig kombinieren kann, folgt:

A B = Anzahl der Möglichkeiten für ein Element aus A B

= AB.

2.1.2 Produktregel. Für je zwei endliche nichtleere Mengen A und B

gilt

A B = AB.

Beweis. Wir zählen alle Paare (a, b) mit a A und b B.

Für die erste Komponente gibt es A Möglichkeiten, denn jedes

Element aus A kommt in Frage. Entsprechend gibt es für die zweite

Komponente genau B Möglichkeiten.

Da man diese Möglichkeiten unabhängig kombinieren kann, folgt:

A B = Anzahl der Möglichkeiten für ein Element aus A B

= AB.



Verallgemeinerte ProduktregelVerallgemeinerte Produktregel

Die Produktregel kann man auf das kartesische Produkt beliebig vieler

Mengen verallgemeinern.

Für nichtleere endliche Mengen M1, ..., Mn gilt:

M1...Mn = M1...Mn.

Beispiel: Die ec-Karten-Geheimzahl (PIN: Persönliche Identifizierungs

Nummer) besteht aus 4 Dezimalstellen. Wieviel PINs gibt es?

Für die jede Stelle gibt es 10 Möglichkeiten (die Ziffern 0, 1, ..., 9). Also

ist die Anzahl aller PINs gleich 10 10 10 10 = 10.000.

Die Produktregel kann man auf das kartesische Produkt beliebig vieler

Mengen verallgemeinern.

Für nichtleere endliche Mengen M1, ..., Mn gilt:

M1...Mn = M1...Mn.

Beispiel: Die ec-Karten-Geheimzahl (PIN: Persönliche Identifizierungs

Nummer) besteht aus 4 Dezimalstellen. Wieviel PINs gibt es?

Für die jede Stelle gibt es 10 Möglichkeiten (die Ziffern 0, 1, ..., 9). Also

ist die Anzahl aller PINs gleich 10 10 10 10 = 10.000.



Binäre FolgenBinäre Folgen

Definition. Sei B = {0, 1}. Eine binäre Folge der Länge n ist eine

Folge (b1, b2, ..., bn) mit bi B.

Wie groß ist die Anzahl aller binären Folgen der Länge n ?

Beispiel: Die binären Folgen der Länge 3 sind 000, 001, 010, 100,

011, 101, 110, 111, also gibt es genau 8 binäre Folgen der Länge 3.

2.1.3 Satz. Die Anzahl der binären Folgen der Länge n ist gleich 2n.

Beweis. Die Menge der binären Folgen der Länge n ist gleich dem n-

fachen kartesischen Produkt der Menge B = {0, 1}. Mit der Produkt-

regel ergibt sich: B B ... B = BB...B = Bn = 2n.

Definition. Sei B = {0, 1}. Eine binäre Folge der Länge n ist eine

Folge (b1, b2, ..., bn) mit bi B.

Wie groß ist die Anzahl aller binären Folgen der Länge n ?

Beispiel: Die binären Folgen der Länge 3 sind 000, 001, 010, 100,

011, 101, 110, 111, also gibt es genau 8 binäre Folgen der Länge 3.

2.1.3 Satz. Die Anzahl der binären Folgen der Länge n ist gleich 2n.

Beweis. Die Menge der binären Folgen der Länge n ist gleich dem n-

fachen kartesischen Produkt der Menge B = {0, 1}. Mit der Produkt-

regel ergibt sich: B B ... B = BB...B = Bn = 2n.



TeilmengenTeilmengen

Eine Menge M' ist eine Teilmenge einer Menge M, falls jedes

Element von M' auch ein Element von M ist. Wir schreiben: M' M.

„Triviale“ Teilmengen: Jede Menge hat sich selbst und die leere

Menge { } (auch ), die kein Element enthält, als Teilmenge.

Die Menge aller Teilmengen von M heißt Potenzmenge P(M) von M.

Beispiel: Alle Teilmengen von M = {a, b, c} sind

{ }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.

Eine Menge M' ist eine Teilmenge einer Menge M, falls jedes

Element von M' auch ein Element von M ist. Wir schreiben: M' M.

„Triviale“ Teilmengen: Jede Menge hat sich selbst und die leere

Menge { } (auch ), die kein Element enthält, als Teilmenge.

Die Menge aller Teilmengen von M heißt Potenzmenge P(M) von M.

Beispiel: Alle Teilmengen von M = {a, b, c} sind

{ }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.



Mächtigkeit der PotenzmengeMächtigkeit der Potenzmenge

2.1.4 Satz. Jede n-elementige Menge M hat genau 2n Teilmengen.

Erster Beweis. Wir nummerieren die Elemente von M beliebig:

M = {m1, m2, ..., mn}. Sei M' eine Teilmenge von M. Dann ordnen wir

M’ eine binäre Folge (b1, b2, ..., bn) der Länge n zu (und umgekehrt):

bi = 1, falls mi M' und bi = 0 sonst.

Beispiel: M = {a, b, c}. Dann gehören die folgenden Teilmengen und

Folgen zusammen: {a} {b} {c} {a, b} {b, c} {a, c} {a, b, c}

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Es gibt also genauso viele Teilmengen wie binäre Folgen. Nach dem

Satz über die Anzahl der binären Folgen gibt es dann auch genau 2n

Teilmengen von M.

2.1.4 Satz. Jede n-elementige Menge M hat genau 2n Teilmengen.

Erster Beweis. Wir nummerieren die Elemente von M beliebig:

M = {m1, m2, ..., mn}. Sei M' eine Teilmenge von M. Dann ordnen wir

M’ eine binäre Folge (b1, b2, ..., bn) der Länge n zu (und umgekehrt):

bi = 1, falls mi M' und bi = 0 sonst.

Beispiel: M = {a, b, c}. Dann gehören die folgenden Teilmengen und

Folgen zusammen: {a} {b} {c} {a, b} {b, c} {a, c} {a, b, c}

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Es gibt also genauso viele Teilmengen wie binäre Folgen. Nach dem

Satz über die Anzahl der binären Folgen gibt es dann auch genau 2n

Teilmengen von M.



Zweiter BeweisZweiter Beweis

Zweiter Beweis durch Induktion nach n.

Induktionsbasis: Für n = 1 (n = 2, n = 3) ist die Behauptung richtig.

Induktionsschritt: Sei n > 1, und sei die Behauptung richtig für n–1.

Sei M eine n-elementige Menge, und sei m ein beliebiges Element

aus M. Es gibt zwei Sorten von Teilmengen von M: Solche, die m

enthalten, und solche, die m nicht enthalten.

Die Teilmengen von M, die m nicht enthalten, sind genau die Teil-

mengen von M\{m}; davon gibt es nach Induktion genau 2n–1 viele.

Für jede Teilmenge M‘, die m enthält, ist M‘\{m} eine Teilmenge

von M\{m} und umgekehrt. Also gibt es auch hiervon 2n–1 Stück.

Insgesamt gibt es also 2n–1 + 2n–1 = 2∙2n–1 = 2n Teilmengen von M.

Zweiter Beweis durch Induktion nach n.

Induktionsbasis: Für n = 1 (n = 2, n = 3) ist die Behauptung richtig.

Induktionsschritt: Sei n > 1, und sei die Behauptung richtig für n–1.

Sei M eine n-elementige Menge, und sei m ein beliebiges Element

aus M. Es gibt zwei Sorten von Teilmengen von M: Solche, die m

enthalten, und solche, die m nicht enthalten.

Die Teilmengen von M, die m nicht enthalten, sind genau die Teil-

mengen von M\{m}; davon gibt es nach Induktion genau 2n–1 viele.

Für jede Teilmenge M‘, die m enthält, ist M‘\{m} eine Teilmenge

von M\{m} und umgekehrt. Also gibt es auch hiervon 2n–1 Stück.

Insgesamt gibt es also 2n–1 + 2n–1 = 2∙2n–1 = 2n Teilmengen von M.



2.2 Binomialzahlen2.2 Binomialzahlen

Definition. Die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-

elementigen Menge wird mit bezeichnet; diese Zahlen heißen

Binomialzahlen.

Beispiele

= 1 (jede Menge hat genau eine 0-elem. Teilmenge, nämlich {})

= 1 (jede n-elementige Menge hat nur eine n-elementige Teil-

menge, nämlich sich selbst)

= n (die Teilmeng. der Mächtigkeit 1 sind genau die n Elemente)

= 6 (die 4-elementige Menge {a, b, c, d} hat sechs 2-elementige

Teilmengen: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d})

Definition. Die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-

elementigen Menge wird mit bezeichnet; diese Zahlen heißen

Binomialzahlen.

Beispiele

= 1 (jede Menge hat genau eine 0-elem. Teilmenge, nämlich {})

= 1 (jede n-elementige Menge hat nur eine n-elementige Teil-

menge, nämlich sich selbst)

= n (die Teilmeng. der Mächtigkeit 1 sind genau die n Elemente)

= 6 (die 4-elementige Menge {a, b, c, d} hat sechs 2-elementige

Teilmengen: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d})

1

n

n

n

0

n

k

n

2

4



Rekursionsformel für BinomialzahlenRekursionsformel für Binomialzahlen

Wie kann man die Binomialzahlen ausrechnen? 1. Methode:

2.2.1 Rekursionsformel für Binomialzahlen. Seien k und n

natürliche Zahlen mit 1 k n. Dann gilt

Beispiel:

Wie kann man die Binomialzahlen ausrechnen? 1. Methode:

2.2.1 Rekursionsformel für Binomialzahlen. Seien k und n


Beispiel:

.1k

1n

k

1n

k

n

.155461

5

1

4

2

4

1

5

2

5

2

6



Beweis der RekursionsformelBeweis der Rekursionsformel

Sei M eine Menge mit n Elementen. Sei m ein Element von M.

Wir teilen die k-elementigen Teilmengen von M in zwei Klassen ein:

1. Klasse: die, die m nicht enthalten. Jede dieser Teilmengen ist eine k-

elementige Teilmenge der (n–1)-elementigen Menge M \ {m}. Also gibt

es davon genau Stück.

2. Klasse: die k-elementige Teilmengen, die m enthalten. Sei M’ eine

Teil-menge aus dieser Klasse. Wir entfernen m aus M’ und aus M.

Dann ist M’ \ {m} eine (k–1)-elem. Teilmenge der (n–1)-elem. Menge

M\{m}. Umgekehrt kann man jede (k–1)-elem. Teilmenge von M \ {m}

durch Hinzufügen von m zu einer Teilmenge der Klasse 2 ergänzen.

Somit ist die Anzahl der Teilmengen in der Klasse 2 gleich .

Durch Addition der beiden Anzahlen ergibt sich die Formel.

Sei M eine Menge mit n Elementen. Sei m ein Element von M.

Wir teilen die k-elementigen Teilmengen von M in zwei Klassen ein:

1. Klasse: die, die m nicht enthalten. Jede dieser Teilmengen ist eine k-

elementige Teilmenge der (n–1)-elementigen Menge M \ {m}. Also gibt

es davon genau Stück.

2. Klasse: die k-elementige Teilmengen, die m enthalten. Sei M’ eine

Teil-menge aus dieser Klasse. Wir entfernen m aus M’ und aus M.

Dann ist M’ \ {m} eine (k–1)-elem. Teilmenge der (n–1)-elem. Menge

M\{m}. Umgekehrt kann man jede (k–1)-elem. Teilmenge von M \ {m}

durch Hinzufügen von m zu einer Teilmenge der Klasse 2 ergänzen.

Somit ist die Anzahl der Teilmengen in der Klasse 2 gleich .

Durch Addition der beiden Anzahlen ergibt sich die Formel.

k

1n

1k

1n



Explizite Formel für BinomialzahlenExplizite Formel für Binomialzahlen

Zweite Berechnungsmethode für Binomialzahlen:

2.2.2 Explizite Formel für die Binomialzahlen. Seien k und n


n! („n Fakultät”) ist definiert als n! = n (n – 1) (n – 2) ... 2 1.

Beispiel: 5! = 5 4 3 2 1 = 120.

Beispiel zur expliziten Formel:

Zweite Berechnungsmethode für Binomialzahlen:

2.2.2 Explizite Formel für die Binomialzahlen. Seien k und n


n! („n Fakultät”) ist definiert als n! = n (n – 1) (n – 2) ... 2 1.

Beispiel: 5! = 5 4 3 2 1 = 120.

Beispiel zur expliziten Formel:

.!k

)1kn(...)2n()1n(n

)!kn(!k

!n

k

n

.2

)1n(n

2

n



Beweis der expliziten FormelBeweis der expliziten Formel

Der Beweis erfolgt durch Induktion nach n. Wir machen uns hier den

Schritt von 5 auf 6 klar. Wir setzen also voraus, dass die Formel

schon für n = 5 richtig ist. Dann schließen wir wie folgt weiter

Der Beweis erfolgt durch Induktion nach n. Wir machen uns hier den

Schritt von 5 auf 6 klar. Wir setzen also voraus, dass die Formel

schon für n = 5 richtig ist. Dann schließen wir wie folgt weiter

)!1k5()!1k(

!5

)!k5(!k

!5

1k

5

k

5

k

6

)1k5(k

k)1k5(

)!k5()!1k(

!5)

1k5

1

k

1(

)!k5()!1k(

!5

.)!k6(!k

!6

)!k5()k6()!1k(k

!56



Möglichkeiten beim LottoMöglichkeiten beim Lotto

Beispiel. Beim Lotto “6 aus 49” werden sechs der Zahlen 1, 2, ..., 49

gezogen, wobei es auf die Reihenfolge nicht ankommt.

In unserer Sprache heißt das: Es wird eine 6-elementige Teilmenge

der Menge {1, 2, ..., 49} gezogen.

Dafür gibt es nach Definition genau Möglichkeiten.

= 13.983.816.

Die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige ist also 1/13.983.816 =

0,000000071…

Beispiel. Beim Lotto “6 aus 49” werden sechs der Zahlen 1, 2, ..., 49

gezogen, wobei es auf die Reihenfolge nicht ankommt.

In unserer Sprache heißt das: Es wird eine 6-elementige Teilmenge

der Menge {1, 2, ..., 49} gezogen.

Dafür gibt es nach Definition genau Möglichkeiten.

= 13.983.816.

Die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige ist also 1/13.983.816 =

0,000000071…

!6

444546474849

)!43(!6

!49

6

49

6

49



Binomischer LehrsatzBinomischer Lehrsatz

Erinnerung: (a +/– b)2 = a2 +/– 2ab +b2 (1./2. binomische Formel).

2.2. 3 Binomialsatz. Seien x und y Unbestimmte über Z. Dann gilt

für jede natürliche Zahl n die folgende Gleichung:

(x+y)n = xn + nxn–1y + xn–2y2 + ... + x2yn–2 + nxyn–1 + yn.

Zum Beispiel gilt (Ping + Pong)3

= Ping3 + 3Ping2Pong + 3PingPong2 + Pong3.

Beispiele. 313 = (30 + 1)3

= 303 + 33021 + 33012 + 13 = 27.000 + 2.700 + 90 + 1 = 29.791.

(s–3t)5 = s5 - 5s4(3t) + 10s3(3t)2 - 10s2(3t)3 + 5s(3t)4 - (3t)5 = ...

Erinnerung: (a +/– b)2 = a2 +/– 2ab +b2 (1./2. binomische Formel).

2.2. 3 Binomialsatz. Seien x und y Unbestimmte über Z. Dann gilt

für jede natürliche Zahl n die folgende Gleichung:

(x+y)n = xn + nxn–1y + xn–2y2 + ... + x2yn–2 + nxyn–1 + yn.

Zum Beispiel gilt (Ping + Pong)3

= Ping3 + 3Ping2Pong + 3PingPong2 + Pong3.

Beispiele. 313 = (30 + 1)3

= 303 + 33021 + 33012 + 13 = 27.000 + 2.700 + 90 + 1 = 29.791.

(s–3t)5 = s5 - 5s4(3t) + 10s3(3t)2 - 10s2(3t)3 + 5s(3t)4 - (3t)5 = ...

2

n

2

n



Beweis des BinomialsatzesBeweis des Binomialsatzes

Beweis. Wir stellen uns vor, wie man die linke Seite ausrechnet:

Man müßte n mal die Terme x+y miteinander multiplizieren.

Wenn man dies ausmultiplizieren würde,

würde man aus k dieser Terme x

und aus den andern n–k die Variable y auswählen.

Also erhält man Ausdrücke der Form xkyn–k .

Die Frage ist, wie oft man dabei den Summand xkyn–k erhält.

Um diesen Term zu erhalten, muss man x genau k mal unter n

Möglichkeiten auswählen.

Daher erhält man den Summand xkyn–k genau mal.

Beweis. Wir stellen uns vor, wie man die linke Seite ausrechnet:

Man müßte n mal die Terme x+y miteinander multiplizieren.

Wenn man dies ausmultiplizieren würde,

würde man aus k dieser Terme x

und aus den andern n–k die Variable y auswählen.

Also erhält man Ausdrücke der Form xkyn–k .

Die Frage ist, wie oft man dabei den Summand xkyn–k erhält.

Um diesen Term zu erhalten, muss man x genau k mal unter n

Möglichkeiten auswählen.

Daher erhält man den Summand xkyn–k genau mal.

k

n



Anwendungen des BinomialsatzesAnwendungen des Binomialsatzes

Man kann den Binomialsatz auch für feste Werte von x und y

spezialisieren und n allgemein lassen. Man erhält eine Aussage

über Binomialzahlen, die man dann in eine Aussage über

Teilmengen übersetzen kann. Zwei Beispiele.

2.2.4 Anzahl aller Teilmengen. Wir setzen x = y = 1. Wir erhalten:

+ + + ... + + = (1+1)n = 2n.

Dies sagt, dass die Anzahl aller Teilmengen einer n-elementigen

Menge (das heißt die Anzahl der 0-elementigen Teilmengen plus die

Anzahl der 1-elementigen Teilmengen plus ...) gleich 2n ist.

Man kann den Binomialsatz auch für feste Werte von x und y

spezialisieren und n allgemein lassen. Man erhält eine Aussage

über Binomialzahlen, die man dann in eine Aussage über

Teilmengen übersetzen kann. Zwei Beispiele.

2.2.4 Anzahl aller Teilmengen. Wir setzen x = y = 1. Wir erhalten:

+ + + ... + + = (1+1)n = 2n.

Dies sagt, dass die Anzahl aller Teilmengen einer n-elementigen

Menge (das heißt die Anzahl der 0-elementigen Teilmengen plus die

Anzahl der 1-elementigen Teilmengen plus ...) gleich 2n ist.

1

n

0

n

2

n

1n

n

n

n



Gerade und ungerade TeilmengenGerade und ungerade Teilmengen

2.2.5 Satz. Anzahl der geraden Teilmengen = Anzahl der ungeraden

Teilmengen.

Beweis. Wir setzen x = 1, y = –1 und erhalten

– + – + –/+ ... = (1 – 1)n = 0n = 0.

M.a.W.: Die alternierende Summe der Binomialzahlen ist Null.

Wir interpretieren dies auf folgende Weise: Die Anzahl der

Teilmengen mit gerader Mächtigkeit ist gleich der Anzahl der

Teilmengen ungerader Mächtigkeit.

2.2.5 Satz. Anzahl der geraden Teilmengen = Anzahl der ungeraden

Teilmengen.

Beweis. Wir setzen x = 1, y = –1 und erhalten

– + – + –/+ ... = (1 – 1)n = 0n = 0.

M.a.W.: Die alternierende Summe der Binomialzahlen ist Null.

Wir interpretieren dies auf folgende Weise: Die Anzahl der

Teilmengen mit gerader Mächtigkeit ist gleich der Anzahl der

Teilmengen ungerader Mächtigkeit.

1

n

0

n

2

n

4

n

3

n



Auswahlen mit WiederholungenAuswahlen mit Wiederholungen

Die Binomialzahlen sind die Anzahl der k-elementigen Teilmengen

einer n-elementigen Menge. Man spricht manchmal auch von den

ungeordneten Auswahlen ohne Wiederholung von k Objekten einer

n-elementigen Menge.

Wir interessieren uns auch für die Auswahlen mit Wiederholungen.

Beispiel. Wir betrachten alle 15 ungeordneten Auswahlen mit

Wiederholungen von vier Elementen der Menge {A, B, C}:

AAAA AAAB AAAC AABB AABC AACC ABBB ABBC

ABCC ACCC BBBB BBBC BBCC BCCC CCCC.

Die Binomialzahlen sind die Anzahl der k-elementigen Teilmengen

einer n-elementigen Menge. Man spricht manchmal auch von den

ungeordneten Auswahlen ohne Wiederholung von k Objekten einer

n-elementigen Menge.

Wir interessieren uns auch für die Auswahlen mit Wiederholungen.

Beispiel. Wir betrachten alle 15 ungeordneten Auswahlen mit

Wiederholungen von vier Elementen der Menge {A, B, C}:

AAAA AAAB AAAC AABB AABC AACC ABBB ABBC

ABCC ACCC BBBB BBBC BBCC BCCC CCCC.



Anzahl der Auswahlen mit WiederholungenAnzahl der Auswahlen mit Wiederholungen

4.2.3 Satz. Die Anzahl der ungeordneten Auswahlen mit

Wiederholung von k Objekten aus einer Menge von n Objekten ist

Beweis. Wir konstruieren eine eindeutige Zuordnung (d.h. eine

bijektive Abbildung) zwischen

• der Menge aller ungeordneten Auswahlen, und

• der Menge aller binären (n+k–1)-Tupel mit genau k Einsen.

Da die Anzahl dieser (n+k–1)-Tupel gleich ist,

ist damit die Behauptung bewiesen.

4.2.3 Satz. Die Anzahl der ungeordneten Auswahlen mit

Wiederholung von k Objekten aus einer Menge von n Objekten ist

Beweis. Wir konstruieren eine eindeutige Zuordnung (d.h. eine

bijektive Abbildung) zwischen

• der Menge aller ungeordneten Auswahlen, und

• der Menge aller binären (n+k–1)-Tupel mit genau k Einsen.

Da die Anzahl dieser (n+k–1)-Tupel gleich ist,

ist damit die Behauptung bewiesen.

k

kn 1

k

kn 1



BeweisBeweis

Wir schreiben zuerst die Objekte der ersten Art, dann die der

zweiten Art und so weiter auf.

Wir ordnen nun jeder solchen Auswahl eine binäre Folge zu:

Wenn n1 die Anzahl der Objekte der ersten Art ist, dann beginnt die

Folge mit n1 Einsen; nach dieser Folge von Einsen folgt eine Null.

Wenn n2 die Anzahl der Objekte des zweiten Typs ist, dann wird die

Folge mit n2 Einsen fortgesetzt; dann kommt eine Null.

Und so weiter.

Beispiel: AABC 110101, BBCC 011011, AACC 110011 .

Wir schreiben zuerst die Objekte der ersten Art, dann die der

zweiten Art und so weiter auf.

Wir ordnen nun jeder solchen Auswahl eine binäre Folge zu:

Wenn n1 die Anzahl der Objekte der ersten Art ist, dann beginnt die

Folge mit n1 Einsen; nach dieser Folge von Einsen folgt eine Null.

Wenn n2 die Anzahl der Objekte des zweiten Typs ist, dann wird die

Folge mit n2 Einsen fortgesetzt; dann kommt eine Null.

Und so weiter.

Beispiel: AABC 110101, BBCC 011011, AACC 110011 .



Beweis: FortsetzungBeweis: Fortsetzung

D.h.: Folgen von Einsen Folgen von Objekten des gleichen Typs,

Nullen Trennzeichen zwischen Zeichen verschiedenen Typs.

Da jede Auswahl aus genau k Objekten besteht, hat jede binäre

Folge genau k Einsen. Da man n–1 Trennzeichen braucht, um die

unterschiedlichen Objekttypen zu trennen, hat jede binäre Folge

genau n–1 Nullen. Also hat jede binäre Folge die Länge n+k–1.

Umgekehrt kann man jeder binären Folge der Länge n+k–1 mit

genau n–1 Nullen eindeutig eine ungeordnete Auswahl mit

Wiederholungen von k Objekten aus einer n-elementigen Menge

zuordnen. Also gilt die Behauptung.

D.h.: Folgen von Einsen Folgen von Objekten des gleichen Typs,

Nullen Trennzeichen zwischen Zeichen verschiedenen Typs.

Da jede Auswahl aus genau k Objekten besteht, hat jede binäre

Folge genau k Einsen. Da man n–1 Trennzeichen braucht, um die

unterschiedlichen Objekttypen zu trennen, hat jede binäre Folge

genau n–1 Nullen. Also hat jede binäre Folge die Länge n+k–1.

Umgekehrt kann man jeder binären Folge der Länge n+k–1 mit

genau n–1 Nullen eindeutig eine ungeordnete Auswahl mit

Wiederholungen von k Objekten aus einer n-elementigen Menge

zuordnen. Also gilt die Behauptung.



2.3 Die Siebformel2.3 Die Siebformel

Die Summenformel (2.1.1) zur Erinnerung: Für je zwei endliche

Mengen A, B gilt:

A B = A + B – A B.

Ziel: Verallgemeinerung auf die Vereinigung beliebig vieler Mengen A1, A2, ..., As.

Beispiel: Für je drei endliche Mengen A, B, C gilt:

A B C =

A + B + C – A B – A C – B C + A B C.

Die Summenformel (2.1.1) zur Erinnerung: Für je zwei endliche

Mengen A, B gilt:

A B = A + B – A B.

Ziel: Verallgemeinerung auf die Vereinigung beliebig vieler Mengen A1, A2, ..., As.

Beispiel: Für je drei endliche Mengen A, B, C gilt:

A B C =

A + B + C – A B – A C – B C + A B C.



Die SiebformelDie Siebformel

2.3.1 Satz. Seien A1, A2, ..., As beliebige endliche Mengen. Dann

gilt:

A1 A2 ... An = 1 – 2 + 3 – 4 + /– ...

Dabei erhält man i auf folgende Weise:

(a) Man bildet den Durchschnitt von je i der Mengen A1, A2, ..., As.

(b) Man bestimmt die Mächtigkeit dieser Durchschnitte.

(c) Man addiert diese Mächtigkeiten.

Zum Beispiel ist 1 die Summe der Mächtigkeiten der A1, A2, ..., As.

2.3.1 Satz. Seien A1, A2, ..., As beliebige endliche Mengen. Dann

gilt:

A1 A2 ... An = 1 – 2 + 3 – 4 + /– ...

Dabei erhält man i auf folgende Weise:

(a) Man bildet den Durchschnitt von je i der Mengen A1, A2, ..., As.

(b) Man bestimmt die Mächtigkeit dieser Durchschnitte.

(c) Man addiert diese Mächtigkeiten.

Zum Beispiel ist 1 die Summe der Mächtigkeiten der A1, A2, ..., As.



BeispielBeispiel

Wir betrachten vier Mengen A, B, C, D. Dann gilt:

A B C D =

A + B + C + D

– A B – A C – A D – B C – B D – C D

+ A B C + A B D + A C D + B C D

– A B C D.

Wir betrachten vier Mengen A, B, C, D. Dann gilt:

A B C D =

A + B + C + D

– A B – A C – A D – B C – B D – C D

+ A B C + A B D + A C D + B C D

– A B C D.



Ergänzung zur SiebformelErgänzung zur Siebformel

2.3.2 Satz. Seien A1, A2, ..., As beliebige Teilmengen einer t-

elementigen Menge T. Dann gilt:

T \ (A1 A2 ... As) = t – 1 + 2 – 3 + 4 – /+ ...

Dabei werden die i auf gleiche Weise wie in 2.3.1 gebildet.

Beispiel: 1 Seien A, B, C Teilmengen einer endlichen Menge T.

Dann gilt:

T \ (A B C) = T – A – B – C + A B + A C + B C – A B C

2.3.2 Satz. Seien A1, A2, ..., As beliebige Teilmengen einer t-

elementigen Menge T. Dann gilt:

T \ (A1 A2 ... As) = t – 1 + 2 – 3 + 4 – /+ ...

Dabei werden die i auf gleiche Weise wie in 2.3.1 gebildet.

Beispiel: 1 Seien A, B, C Teilmengen einer endlichen Menge T.

Dann gilt:

T \ (A B C) = T – A – B – C + A B + A C + B C – A B C



2.4 Permutationen2.4 Permutationen

Definition. Eine Permutation einer endlichen Menge M ist eine

bijektive Abbildung der Menge M in sich. D.h.: Jedem Element aus

M wird ein Element von M so zugeordnet, dass keine zwei

Elemente das gleiche Bild haben.

Beispiel: Die Abbildung definiert durch (1) = 2, (2) = 4, (3) =

3, (4) = 5, (5) = 1 ist eine Permutation der Menge {1, 2, 3, 4, 5}.

Wir werden Permutationen häufig nach folgendem Muster notieren:

=

(Schreibe die Elemente von M der Reihe nach in die erste Zeile;

unter jedes Element von M schreibe das Bild dieses Elementes. )

Definition. Eine Permutation einer endlichen Menge M ist eine

bijektive Abbildung der Menge M in sich. D.h.: Jedem Element aus

M wird ein Element von M so zugeordnet, dass keine zwei

Elemente das gleiche Bild haben.

Beispiel: Die Abbildung definiert durch (1) = 2, (2) = 4, (3) =

3, (4) = 5, (5) = 1 ist eine Permutation der Menge {1, 2, 3, 4, 5}.

Wir werden Permutationen häufig nach folgendem Muster notieren:

=

(Schreibe die Elemente von M der Reihe nach in die erste Zeile;

unter jedes Element von M schreibe das Bild dieses Elementes. )

15342

54321



Anzahl der PermutationenAnzahl der Permutationen

2.4.1 Satz. Die Anzahl der Permutationen einer n-elementigen

Menge ist n!

Beispiel: Um 100 Menschen auf 100 Stühle zu setzen,

gibt es genau 100! 10158 Möglichkeiten.

Beweis. Wir überlegen uns systematisch, wie viele Möglichkeiten es

für eine Permutation einer n-elementigen Menge M gibt.

Ohne Einschränkung können wir M = {1, 2, 3, ..., n} wählen.

Wir überlegen uns der Reihe nach, wie viele Möglichkeiten es für die

Bilder der Elemente 1, 2, 3, ..., n gibt.

2.4.1 Satz. Die Anzahl der Permutationen einer n-elementigen

Menge ist n!

Beispiel: Um 100 Menschen auf 100 Stühle zu setzen,

gibt es genau 100! 10158 Möglichkeiten.

Beweis. Wir überlegen uns systematisch, wie viele Möglichkeiten es

für eine Permutation einer n-elementigen Menge M gibt.

Ohne Einschränkung können wir M = {1, 2, 3, ..., n} wählen.

Wir überlegen uns der Reihe nach, wie viele Möglichkeiten es für die

Bilder der Elemente 1, 2, 3, ..., n gibt.



BeweisBeweis

Für das Bild des ersten Elements 1 gibt es n Möglichkeiten.

Für das Bild von 2: n–1 Möglichkeiten, nämlich alle außer dem

Bild (1) des ersten Elements.

Für das Bild von 3: n–2 Möglichkeiten (alle außer (1) und (2)).

Usw.

Bild von n–1: 2 Möglichkeiten, da bereits n–2 Elemente vergeben

sind (die Bilder von 1, 2, ..., n–2).

Das Bild des letzten Elements ist vollständig determiniert.

Also gibt es insgesamt genau n(n–1) (n–2) ... 21 = n! Möglich-

keiten für die Auswahl einer beliebigen Permutation von M.

Für das Bild des ersten Elements 1 gibt es n Möglichkeiten.

Für das Bild von 2: n–1 Möglichkeiten, nämlich alle außer dem

Bild (1) des ersten Elements.

Für das Bild von 3: n–2 Möglichkeiten (alle außer (1) und (2)).

Usw.

Bild von n–1: 2 Möglichkeiten, da bereits n–2 Elemente vergeben

sind (die Bilder von 1, 2, ..., n–2).

Das Bild des letzten Elements ist vollständig determiniert.

Also gibt es insgesamt genau n(n–1) (n–2) ... 21 = n! Möglich-

keiten für die Auswahl einer beliebigen Permutation von M.



Eigenschaften von PermutationenEigenschaften von Permutationen

Da Permutationen bijektive Abbildungen einer Menge in sich sind,

ergibt sich:

2.4.2 Satz. (a) Die Hintereinanderausführung von Permutationen

einer Menge M ist wieder eine Permutation der Menge M.

(b) Die zu einer Permutation inverse Abbildung ist ebenfalls eine

Permutation.

Mit anderen Worten: Die Permutationen einer Menge M bilden

bezüglich der Hintereinanderausführung eine “Gruppe”; man nennt

sie die symmetrische Gruppe von M.

Da Permutationen bijektive Abbildungen einer Menge in sich sind,

ergibt sich:

2.4.2 Satz. (a) Die Hintereinanderausführung von Permutationen

einer Menge M ist wieder eine Permutation der Menge M.

(b) Die zu einer Permutation inverse Abbildung ist ebenfalls eine

Permutation.

Mit anderen Worten: Die Permutationen einer Menge M bilden

bezüglich der Hintereinanderausführung eine “Gruppe”; man nennt

sie die symmetrische Gruppe von M.



Fixpunkte von PermutationenFixpunkte von Permutationen

Permutationen können Fixpunkte besitzen. Das sind Elemente, die auf

sich selbst abgebildet werden.

Definition. Sei eine Permutation einer Menge M. Ein Element i von

M heißt Fixpunkt von , wenn gilt:

(i) = i.

Beispiel: Die Permutation

=

hat die Fixpunkte 3 und 5.

Permutationen können Fixpunkte besitzen. Das sind Elemente, die auf

sich selbst abgebildet werden.

Definition. Sei eine Permutation einer Menge M. Ein Element i von

M heißt Fixpunkt von , wenn gilt:

(i) = i.

Beispiel: Die Permutation

=

hat die Fixpunkte 3 und 5.

52314

54321



Fixpunktfreie PermutationenFixpunktfreie Permutationen

Definition. Eine Permutation der Menge M heißt fixpunktfrei,

wenn sie keinen Fixpunkt besitzt, d.h. wenn für alle Elemente i aus M

gilt:

(i) i.

Beispiel: Die folgende Permutation ist fixpunktfrei:

=

Definition. Eine Permutation der Menge M heißt fixpunktfrei,

wenn sie keinen Fixpunkt besitzt, d.h. wenn für alle Elemente i aus M

gilt:

(i) i.

Beispiel: Die folgende Permutation ist fixpunktfrei:

=

32514

54321



Das Problem der zerstreuten ProfessorenDas Problem der zerstreuten Professoren

Beispiel. Nach einem gemeinsamen Abendessen gehen n zerstreute

Professoren zur Garderobe. In Gedanken versunken, greift jeder

zufällig nach irgendeinem Mantel.

Frage: Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass jeder Professor einen

falschen Mantel anzieht?

Mathematische Beschreibung: Wir numerieren die Professoren und die

Mäntel mit 1, 2, ..., n, so dass Mantel Nr. i zu Professor Nr. i gehört.

Jede Zuordnung der Mäntel zu den Professoren ist eine Permutation

der Menge M = {1, 2, ..., n}.

Wenn Professor Nr. i den falschen Mantel nimmt, so gilt (i) i.

Wenn alle Professoren falsche Mäntel nehmen, so ist fixpunktfrei.

Beispiel. Nach einem gemeinsamen Abendessen gehen n zerstreute

Professoren zur Garderobe. In Gedanken versunken, greift jeder

zufällig nach irgendeinem Mantel.

Frage: Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass jeder Professor einen

falschen Mantel anzieht?

Mathematische Beschreibung: Wir numerieren die Professoren und die

Mäntel mit 1, 2, ..., n, so dass Mantel Nr. i zu Professor Nr. i gehört.

Jede Zuordnung der Mäntel zu den Professoren ist eine Permutation

der Menge M = {1, 2, ..., n}.

Wenn Professor Nr. i den falschen Mantel nimmt, so gilt (i) i.

Wenn alle Professoren falsche Mäntel nehmen, so ist fixpunktfrei.



Die zerstreuten Professoren - mathematisch gesehenDie zerstreuten Professoren - mathematisch gesehen

Die Frage lautet: Wie viele fixpunktfreie Permutationen einer n-

elementigen Menge gibt es?

A = Menge aller Permutationen von M = {1, 2, ..., n}. Dann A = n! . Ai = Menge aller Permutationen von M, die den Fixpunkt i haben.

Dann kann man die Anzahl a(n) aller fixpunktfreien Permutationen wie

folgt berechnen:

a(n) = Anzahl aller Perm. – Anzahl der Perm. mit irgendeinem Fixpunkt

= | A | - | A1 A2 A3 ... An |

= n! - (1 – 2 + 3 – 4 ...), mit den i aus der Siebformel 2.3.1.

Die Frage lautet: Wie viele fixpunktfreie Permutationen einer n-

elementigen Menge gibt es?

A = Menge aller Permutationen von M = {1, 2, ..., n}. Dann A = n! . Ai = Menge aller Permutationen von M, die den Fixpunkt i haben.

Dann kann man die Anzahl a(n) aller fixpunktfreien Permutationen wie

folgt berechnen:

a(n) = Anzahl aller Perm. – Anzahl der Perm. mit irgendeinem Fixpunkt

= | A | - | A1 A2 A3 ... An |

= n! - (1 – 2 + 3 – 4 ...), mit den i aus der Siebformel 2.3.1.



Anzahl fixpunktfreier PermutationenAnzahl fixpunktfreier Permutationen

2.4.3 Satz. Sei a(n) die Anzahl aller fixpunktfreien Permutationen.

Dann gilt:

a(n) = n! – (1 – 2 + 3 – 4 ... n)

=

Beispiel: Bei n = 5 zerstreuten Professoren gibt es

a(5) =

= 120 - 120 + 60 - 20 + 5 – 1 = 44

Möglichkeiten, dass jeder einen falschen Mantel anzieht.

2.4.3 Satz. Sei a(n) die Anzahl aller fixpunktfreien Permutationen.

Dann gilt:

a(n) = n! – (1 – 2 + 3 – 4 ... n)

=


a(5) =

= 120 - 120 + 60 - 20 + 5 – 1 = 44


.n!

n!...

3!

n!

2!

n!

1!

n!n!

5!

5!

4!

5!

3!

5!

2!

5!

1!

5!5!



BeweisBeweis

Beweis. (a) Berechnung der Durchschnitte von je i der Mengen A1,

A2, ..., An: Jeder dieser Durchschnitte enthält alle Permutationen mit

gewissen i Fixpunkten. (Beispiel: A1 A3 A7 enthält alle

Permutationen mit den Fixpunkten 1, 3 und 7.)

Es gibt Möglichkeiten, diese i Fixpunkte auszuwählen.

Also gibt es solche Durchschnitte.

(b) Mächtigkeit dieser Durchschnitte:

Es gibt (n–i)! Permutationen mit i festgelegten Fixpunkten.

(Denn: Die Bilder der Fixpunkte sind festgelegt, die restlichen n–i

Bilder können frei gewählt werden.)

Also haben alle diese Durchschnitte die gleiche Mächtigkeit: (n–i)!.

Beweis. (a) Berechnung der Durchschnitte von je i der Mengen A1,

A2, ..., An: Jeder dieser Durchschnitte enthält alle Permutationen mit

gewissen i Fixpunkten. (Beispiel: A1 A3 A7 enthält alle

Permutationen mit den Fixpunkten 1, 3 und 7.)

Es gibt Möglichkeiten, diese i Fixpunkte auszuwählen.

Also gibt es solche Durchschnitte.

(b) Mächtigkeit dieser Durchschnitte:

Es gibt (n–i)! Permutationen mit i festgelegten Fixpunkten.

(Denn: Die Bilder der Fixpunkte sind festgelegt, die restlichen n–i

Bilder können frei gewählt werden.)

Also haben alle diese Durchschnitte die gleiche Mächtigkeit: (n–i)!.

i

n

i

n



BeweisabschlussBeweisabschluss

(c) Summe dieser Mächtigkeiten: Da es solche Durchschnitte gibt, ist i =

Das können wir noch vereinfachen:

i =

(d) Berechnung von a(n):

Für die gesuchte Anzahl aller fixpunktfreien Permutationen gilt also

a(n) = n! - (1 – 2 + 3 – 4 ... n)

=

(c) Summe dieser Mächtigkeiten: Da es solche Durchschnitte gibt, ist i =

Das können wir noch vereinfachen:

i =

(d) Berechnung von a(n):

Für die gesuchte Anzahl aller fixpunktfreien Permutationen gilt also

a(n) = n! - (1 – 2 + 3 – 4 ... n)

=

i

n

)!in(i

n

.n!

n!...

3!

n!

2!

n!

1!

n!n!

!i

!ni)!(n

i)!(n!i

!ni)!(n

i

n



Lösung des Problems der zerstreuten ProfessorenLösung des Problems der zerstreuten Professoren


a(5) = 5! – + – + –

= 120 - 120 + 60 - 20 + 5 -1 = 44



a(5) = 5! – + – + –

= 120 - 120 + 60 - 20 + 5 -1 = 44


!1

!5

!2

!5

!3

!5

!5

!5

!4

!5

Kapitel 2 Zählen (Kombinatorik). Kapitel 2 © Beutelspacher November 2004 Seite 2 Inhalt 2.1...

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