Kapitel 3 Analytische Geometrie. Kapitel 3 © Beutelspacher Januar 2004 Seite 2 Inhalt 3.1 Punkte...

Kapitel 3

Analytische Geometrie

Kapitel 3

Analytische Geometrie

Kapitel 3 © Beutelspacher

Januar 2004Seite 2

InhaltInhalt

3.1 Punkte und Geraden

(3 | –5), y = 4x +7

3.2 Kegelschnitte

x2 + y2 = r2

3.3 Räumliche Geometrie

(x | y | z)

3.1 Punkte und Geraden

(3 | –5), y = 4x +7

3.2 Kegelschnitte

x2 + y2 = r2

3.3 Räumliche Geometrie

(x | y | z)


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Koordinaten und GleichungenKoordinaten und Gleichungen

• Ziel der analytischen Geometrie: Geometrische Objekte (Punkte,

Geraden, Kreise, ...) werden durch Zahlen („Koordinaten“) und

Gleichungen, die diese Zahlen in Verbindung bringen, beschrieben.

• Vorteil: Man kann geometrische Aussagen einfach ausrechnen. Der

Nachweis geometrischer Aussagen wird zu einer (vielleicht kompli-

zierten, aber im Prinzip) einfachen Rechnung.

• Nachteil: Man weiß am Ende nur, dass etwas richtig ist, nicht

warum dies richtig ist.

• Die analytische Geometrie wurde von René Descartes (1596 -1650)

eingeführt.

• Ziel der analytischen Geometrie: Geometrische Objekte (Punkte,

Geraden, Kreise, ...) werden durch Zahlen („Koordinaten“) und

Gleichungen, die diese Zahlen in Verbindung bringen, beschrieben.

• Vorteil: Man kann geometrische Aussagen einfach ausrechnen. Der

Nachweis geometrischer Aussagen wird zu einer (vielleicht kompli-

zierten, aber im Prinzip) einfachen Rechnung.

• Nachteil: Man weiß am Ende nur, dass etwas richtig ist, nicht

warum dies richtig ist.

• Die analytische Geometrie wurde von René Descartes (1596 -1650)

eingeführt.


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3.1 Punkte und Geraden3.1 Punkte und Geraden

• Ein Punkt (der Ebene) wird durch ein Paar reeller Zahlen

beschreiben, und umgekehrt.

• Zum Beispiel sind P = (1 | 0), Q = (5 | –1), R = (0 | –1000) Punkte.

• Die erste Komponente eines Punkts heißt die x-Koordinate

(Abszisse), die zweite Komponente heißt die y-Koordinate

(Ordinate) des Punktes.

• Für einen beliebigen Punkt schreiben wir P = (x | y).

• Wir zeichnen die Punkte im Koordinatensystem.

• Ein Punkt (der Ebene) wird durch ein Paar reeller Zahlen

beschreiben, und umgekehrt.

• Zum Beispiel sind P = (1 | 0), Q = (5 | –1), R = (0 | –1000) Punkte.

• Die erste Komponente eines Punkts heißt die x-Koordinate

(Abszisse), die zweite Komponente heißt die y-Koordinate

(Ordinate) des Punktes.

• Für einen beliebigen Punkt schreiben wir P = (x | y).

• Wir zeichnen die Punkte im Koordinatensystem.


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SchreibweisenSchreibweisen

• P = (3, 2) Der Punkt P wird mit dem Zahlenpaar (3, 2) identifiziert. Da Paare von

Zahlen in Klammern geschrieben und mit Komma getrennt werden, schreibt man (3,

2) für den Punkt mit den Koordinaten 3 und 2. Mathematisch sauber.

• P = (3 | 2) Lehrer sind darauf gekommen, dass die Kommaschreibweise schlecht

ist, wenn die Koordinaten selber Kommazahlen sind: Wie sieht denn (3,1 , 2,5) aus?

Also schreibt man statt des Kommas einen Strich („Stab“).

• P = (3; 2) Ein fauler Kompromiss: man will weder ein Komma schreiben (s.o.) noch

ein neues Symbol (Stab) einführen. Der Punkt des Strichpunkts wird aber sehr leicht

übersehen ...

• P(3, 2), P(3 | 2), P(3;2) Seltsam. Diese Bezeichnung sagt: „Ich bin ein Punkt mit

den Koordinaten 3 und 2 und heiße P.“

• P = (3, 2) Der Punkt P wird mit dem Zahlenpaar (3, 2) identifiziert. Da Paare von

Zahlen in Klammern geschrieben und mit Komma getrennt werden, schreibt man (3,

2) für den Punkt mit den Koordinaten 3 und 2. Mathematisch sauber.

• P = (3 | 2) Lehrer sind darauf gekommen, dass die Kommaschreibweise schlecht

ist, wenn die Koordinaten selber Kommazahlen sind: Wie sieht denn (3,1 , 2,5) aus?

Also schreibt man statt des Kommas einen Strich („Stab“).

• P = (3; 2) Ein fauler Kompromiss: man will weder ein Komma schreiben (s.o.) noch

ein neues Symbol (Stab) einführen. Der Punkt des Strichpunkts wird aber sehr leicht

übersehen ...

• P(3, 2), P(3 | 2), P(3;2) Seltsam. Diese Bezeichnung sagt: „Ich bin ein Punkt mit

den Koordinaten 3 und 2 und heiße P.“


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GeradenGeraden

• Man beschreibt eine Gerade dadurch, dass man angibt, welche

Punkte (x | y) zu ihr gehören. Dies geschieht durch eine Gleichung.

• Wir legen fest: Für alle reellen Zahlen m und b ist die Menge

{(x | y) y = mx + b, x R}

eine Gerade (Gerade mit der Gleichung y = mx+b).

Ferner ist für jede reelle Zahl c die Menge

{(x | y) x = c, y R}

eine Gerade (Gerade mit der Gleichung x = c).

• Man nennt m die Steigung und b den y-Achsenabschnitt.

• Man beschreibt eine Gerade dadurch, dass man angibt, welche

Punkte (x | y) zu ihr gehören. Dies geschieht durch eine Gleichung.

• Wir legen fest: Für alle reellen Zahlen m und b ist die Menge

{(x | y) y = mx + b, x R}

eine Gerade (Gerade mit der Gleichung y = mx+b).

Ferner ist für jede reelle Zahl c die Menge

{(x | y) x = c, y R}

eine Gerade (Gerade mit der Gleichung x = c).

• Man nennt m die Steigung und b den y-Achsenabschnitt.


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EinsetzenEinsetzen

• Ein Punkt mit den Koordinaten (u v) liegt genau dann auf der

Geraden mit der Gleichung y = mx + b, falls

• Ein Punkt mit den Koordinaten (u v) liegt genau dann auf der

Geraden mit der Gleichung y = mx + b, falls


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Die Gerade durch zwei PunkteDie Gerade durch zwei Punkte

3.1.1 Satz („Zweipunkteform“). Seien P1 = (x1| y1) und P2 = (x2 |

y2) zwei verschiedene Punkte.

(a) Wenn x1 = x2 ist, so ist die Gerade mit der Gleichung x = x1 die

Gerade durch P1 und P2.

(b) Wenn x1 x2, so hat die Gerade durch P1 und P2 die Steigung

m und den Achsenabschnitt b mit

m = (y2 – y1)/(x2 – x1) und b = y1 – x1m = y1 – x1(y2 – y1)/(x2 – x1).

Beispiele: Die Gerade durch die Punkte (0 | 0) und (u | v) hat die

Gleichung y = v/ux.

Die Gerade durch (1 | 3) und (5 | 7) hat die Gleichung y = x + 2.

3.1.1 Satz („Zweipunkteform“). Seien P1 = (x1| y1) und P2 = (x2 |

y2) zwei verschiedene Punkte.

(a) Wenn x1 = x2 ist, so ist die Gerade mit der Gleichung x = x1 die

Gerade durch P1 und P2.

(b) Wenn x1 x2, so hat die Gerade durch P1 und P2 die Steigung

m und den Achsenabschnitt b mit

m = (y2 – y1)/(x2 – x1) und b = y1 – x1m = y1 – x1(y2 – y1)/(x2 – x1).

Beispiele: Die Gerade durch die Punkte (0 | 0) und (u | v) hat die

Gleichung y = v/ux.

Die Gerade durch (1 | 3) und (5 | 7) hat die Gleichung y = x + 2.


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Beweis der ZweipunkteformBeweis der Zweipunkteform

Beweis. (a) folgt aus Definition „Geraden mit der Gleichung x = c“.

(b) Keine Gerade mit einer Gleichung vom Typ x = c geht durch die

Punkte. Eine Gerade mit der Gleichung y = mx+b geht genau dann

durch P1 und P2, wenn

y1 = mx1+ b und y2 = mx2 + b

gilt. Daraus folgt mx1–y1 = mx2–y2, also m = (y2 – y1)/(x2–x1) .

Wegen b = y1 – mx1 folgt daraus die Gleichung für b.

Also ist die Gerade mit diesem m und diesem b die eindeutig

bestimmte Gerade, die durch P1 und P2 geht.

Beweis. (a) folgt aus Definition „Geraden mit der Gleichung x = c“.

(b) Keine Gerade mit einer Gleichung vom Typ x = c geht durch die

Punkte. Eine Gerade mit der Gleichung y = mx+b geht genau dann

durch P1 und P2, wenn

y1 = mx1+ b und y2 = mx2 + b

gilt. Daraus folgt mx1–y1 = mx2–y2, also m = (y2 – y1)/(x2–x1) .

Wegen b = y1 – mx1 folgt daraus die Gleichung für b.

Also ist die Gerade mit diesem m und diesem b die eindeutig

bestimmte Gerade, die durch P1 und P2 geht.


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Parallele GeradenParallele Geraden

3.1.2 Satz. Seien y = m1x+b1 und y = m2x+b2 die Gleichungen

zweier verschiedener Geraden.

(a) Die Geraden sind genau dann parallel, wenn m1 = m2 ist, das

heißt, wenn die beiden Geraden gleiche Steigungen haben.

(b) Wenn m1 m2 ist, dann ist der Punkt ((b2 – b1)/(m1–m2) |

m1(b2 – b1)/(m1–m2) + b1)) der Schnittpunkt der beiden Geraden.

Beispiel. Die Geraden mit den Gleichungen y = –2x+3 und

y = 2x–1 sind nicht parallel und haben den Schnittpunkt (1 | 1).

3.1.2 Satz. Seien y = m1x+b1 und y = m2x+b2 die Gleichungen

zweier verschiedener Geraden.

(a) Die Geraden sind genau dann parallel, wenn m1 = m2 ist, das

heißt, wenn die beiden Geraden gleiche Steigungen haben.

(b) Wenn m1 m2 ist, dann ist der Punkt ((b2 – b1)/(m1–m2) |

m1(b2 – b1)/(m1–m2) + b1)) der Schnittpunkt der beiden Geraden.

Beispiel. Die Geraden mit den Gleichungen y = –2x+3 und

y = 2x–1 sind nicht parallel und haben den Schnittpunkt (1 | 1).


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Beweis des Satzes über ParallelitätBeweis des Satzes über Parallelität

Beweis. Wir beweisen (a) und (b) gemeinsam. Angenommen, es gibt

einen Punkt (u | v), der auf beiden Geraden liegt.

Da (u, v) auf der ersten Geraden liegt, ist v = m1u + b1.

Da (u, v) auf der zweiten Geraden liegt, ist v = m2u + b2.

Gleichsetzen: m1u + b1 = m2u + b2, also (m1–m2)u = b2–b1.

1. Fall: m1 = m2.

Dann ist b2 – b1 = (m1–m2)u = 0u = 0, also b1 = b2. Also sind die

Geraden gleich: ein Widerspruch.

2. Fall: m1 m2. Also u = (b2 – b1)/(m1–m2).

Daraus erhalten wir v = m1u + b1 = m1 (b2 – b1)/(m1–m2) + b1.

Beweis. Wir beweisen (a) und (b) gemeinsam. Angenommen, es gibt

einen Punkt (u | v), der auf beiden Geraden liegt.

Da (u, v) auf der ersten Geraden liegt, ist v = m1u + b1.

Da (u, v) auf der zweiten Geraden liegt, ist v = m2u + b2.

Gleichsetzen: m1u + b1 = m2u + b2, also (m1–m2)u = b2–b1.

1. Fall: m1 = m2.

Dann ist b2 – b1 = (m1–m2)u = 0u = 0, also b1 = b2. Also sind die

Geraden gleich: ein Widerspruch.

2. Fall: m1 m2. Also u = (b2 – b1)/(m1–m2).

Daraus erhalten wir v = m1u + b1 = m1 (b2 – b1)/(m1–m2) + b1.


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AbstandAbstand

Definition. Seien P1 = (x1| y1) und P2 = (x2 | y2) zwei Punkte. Dann

ist der Abstand von P1 und P2 definiert als

(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 .

Beispiele. (a) Der Abstand von (1 | 1) und (9 | 1) ist 8. Dies sagt

uns der gesunde Menschenverstand, aber auch die Formel.

Allgemein: Der Abstand von (a, b) und (c, b) ist c–a (falls a < c).

(b) Der Abstand von (0 | 2) und (3 | 6) ist (3 – 0)2 + (6 – 2)2 = 5

(c) Ein Punkt (x | y), der den Abstand r von (0 | 0) hat, erfüllt die

Gleichung x2 + y2 = r2.

Definition. Seien P1 = (x1| y1) und P2 = (x2 | y2) zwei Punkte. Dann

ist der Abstand von P1 und P2 definiert als

(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 .

Beispiele. (a) Der Abstand von (1 | 1) und (9 | 1) ist 8. Dies sagt

uns der gesunde Menschenverstand, aber auch die Formel.

Allgemein: Der Abstand von (a, b) und (c, b) ist c–a (falls a < c).

(b) Der Abstand von (0 | 2) und (3 | 6) ist (3 – 0)2 + (6 – 2)2 = 5

(c) Ein Punkt (x | y), der den Abstand r von (0 | 0) hat, erfüllt die

Gleichung x2 + y2 = r2.


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Abstand eines Punktes von einer GeradenAbstand eines Punktes von einer Geraden

3.1.3 Satz. Sei g die Gerade mit der Gleichung y = b (“waagrech-

te” Gerade), und sei P = (u | v) ein Punkt. Dann ist Q = (u | b)

derjenige Punkt auf g, der den geringsten Abstand von P hat; alle

anderen Punkte auf g haben einen größeren Abstand von P.

Beweis. Sei X = (x | b) ein beliebiger Punkt auf g. Dann ist der

Abstand von X zu P gleich

(x – u)2 + (b – v)2 .

Dabei sind u, v, b fest, und nur x ist variabel. Deshalb wird der

Ausdruck am kleinsten, wenn x = u ist; für alle anderen Werte von

x ist der Ausdruck größer.

3.1.3 Satz. Sei g die Gerade mit der Gleichung y = b (“waagrech-

te” Gerade), und sei P = (u | v) ein Punkt. Dann ist Q = (u | b)

derjenige Punkt auf g, der den geringsten Abstand von P hat; alle

anderen Punkte auf g haben einen größeren Abstand von P.

Beweis. Sei X = (x | b) ein beliebiger Punkt auf g. Dann ist der

Abstand von X zu P gleich

(x – u)2 + (b – v)2 .

Dabei sind u, v, b fest, und nur x ist variabel. Deshalb wird der

Ausdruck am kleinsten, wenn x = u ist; für alle anderen Werte von

x ist der Ausdruck größer.


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Senkrechte GeradenSenkrechte Geraden

Zwei Geraden mit den Gleichungen y = m1x+b1 und y = m2x+b2

stehen aufeinander senkrecht, falls m1m2 = –1 ist. (m2 ist das

negativ Reziproke – der negative Kehrwert – von m1.)

Zum Beispiel stehen Geraden mit den Steigungen 1 und –1 und

Geraden mit den Steigungen 10 und –0,1 aufeinander senkrecht.

Geraden mit der Steigung 0 stehen senkrecht auf

Geraden mit der Gleichung x = c.

Zwei Geraden mit den Gleichungen y = m1x+b1 und y = m2x+b2

stehen aufeinander senkrecht, falls m1m2 = –1 ist. (m2 ist das

negativ Reziproke – der negative Kehrwert – von m1.)

Zum Beispiel stehen Geraden mit den Steigungen 1 und –1 und

Geraden mit den Steigungen 10 und –0,1 aufeinander senkrecht.

Geraden mit der Steigung 0 stehen senkrecht auf

Geraden mit der Gleichung x = c.


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Berechnung des LotsBerechnung des Lots

3.1.4 Satz. Sei g eine Geraden mit der Steigung m 0,

und sei P = (u | v) ein Punkt.

Dann hat das Lot durch (u | v) auf die Gerade g die Gleichung

y = –1/mx + (v + u/m).

Beweis. Sei h das Lot auf g durch P.

Dann hat h die Steigung –1/m, da h senkrecht auf g steht.

Also hat h die Gleichung y = –1/mx+b. Was ist b ?

Da h den Punkt P = (u, v) enthält, gilt v = –1/m u+b, also

b = v + 1/m u = v + u/m.

3.1.4 Satz. Sei g eine Geraden mit der Steigung m 0,

und sei P = (u | v) ein Punkt.

Dann hat das Lot durch (u | v) auf die Gerade g die Gleichung

y = –1/mx + (v + u/m).

Beweis. Sei h das Lot auf g durch P.

Dann hat h die Steigung –1/m, da h senkrecht auf g steht.

Also hat h die Gleichung y = –1/mx+b. Was ist b ?

Da h den Punkt P = (u, v) enthält, gilt v = –1/m u+b, also

b = v + 1/m u = v + u/m.


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3.2 Kegelschnitte3.2 Kegelschnitte

Definition. Kegelschnitte sind Kreis, Ellipse, Parabel und

Hyperbel.

Man kann Kegelschnitte auf mindestens drei Weisen beschreiben:

• Durch eine Gleichung (algebraische Beschreibung)

• Als geometrischen Ort mit gewissen Eigenschaften (geometrische

Beschreibung)

• Als Schnitt einer Ebene mit einem Kegel

Wir werden die beiden ersten Beschreibungen studieren.

Definition. Kegelschnitte sind Kreis, Ellipse, Parabel und

Hyperbel.

Man kann Kegelschnitte auf mindestens drei Weisen beschreiben:

• Durch eine Gleichung (algebraische Beschreibung)

• Als geometrischen Ort mit gewissen Eigenschaften (geometrische

Beschreibung)

• Als Schnitt einer Ebene mit einem Kegel

Wir werden die beiden ersten Beschreibungen studieren.


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Der KreisDer Kreis

Ein Kreis ist der Ort aller Punkte, die von einem festen Punkt, dem

Mittelpunkt einen festen Abstand r haben (geometrische

Beschreibung). Wenn man die Punkte berechnet, die von dem Punkt

M = (u | v) den Abstand r haben, ergibt sich

K = {(x | y) (x–u)2 + (y–v)2 = r2}

als Gleichung des Kreises um den Mittelpunkt M mit Radius r

(algebraische Beschreibung).

Insbesondere lautet die Gleichung des Kreises um den Nullpunkt:

x2 + y2 = r2, oder x2/ r2 + y2/ r2 = 1.

Ein Kreis ist der Ort aller Punkte, die von einem festen Punkt, dem

Mittelpunkt einen festen Abstand r haben (geometrische

Beschreibung). Wenn man die Punkte berechnet, die von dem Punkt

M = (u | v) den Abstand r haben, ergibt sich

K = {(x | y) (x–u)2 + (y–v)2 = r2}

als Gleichung des Kreises um den Mittelpunkt M mit Radius r


Insbesondere lautet die Gleichung des Kreises um den Nullpunkt:

x2 + y2 = r2, oder x2/ r2 + y2/ r2 = 1.


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Gleichung der Tangenten an den KreisGleichung der Tangenten an den Kreis

3.2.1 Satz. Sei K der Kreis mit Mittelpunkt M = (0 | 0) und Radius

r, und sei P = (x1 | y1) ein Punkt auf K. Dann hat die Tangente t an

K in P die Gleichung

y = –x1/y1 x + r2/y1 oder, besser zu merken, xx1 + yy1 = r2.

Beispiel. Die Tangente im Punkt (1/2 | 1/2) hat die Gleichung

y = –x + 2.

3.2.1 Satz. Sei K der Kreis mit Mittelpunkt M = (0 | 0) und Radius

r, und sei P = (x1 | y1) ein Punkt auf K. Dann hat die Tangente t an

K in P die Gleichung

y = –x1/y1 x + r2/y1 oder, besser zu merken, xx1 + yy1 = r2.

Beispiel. Die Tangente im Punkt (1/2 | 1/2) hat die Gleichung

y = –x + 2.


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Beweis des Satzes über die Gleichung der Tangenten Beweis des Satzes über die Gleichung der Tangenten

Beweis. Wir wissen: Die Tangente t steht senkrecht auf dem

Radius MP und geht durch P.

Daher berechnen wir zunächst die Gleichung des Radius: Dies ist

die Gerade durch M und P; sie hat die Steigung m = y1/x1.

Nun wenden wir 3.1.4 an, um die Senkrechte t zu dieser Geraden

im Punkt (x1, y1) zu berechnen. Diese Gerade hat Steigung –x1 / y1

und y-Achsenabschnitt

b = y1 + x1/m = y1 + x1 x1/y1 = (y12+ x1

2) /y1 = r2 /y1 .

Beweis. Wir wissen: Die Tangente t steht senkrecht auf dem

Radius MP und geht durch P.

Daher berechnen wir zunächst die Gleichung des Radius: Dies ist

die Gerade durch M und P; sie hat die Steigung m = y1/x1.

Nun wenden wir 3.1.4 an, um die Senkrechte t zu dieser Geraden

im Punkt (x1, y1) zu berechnen. Diese Gerade hat Steigung –x1 / y1

und y-Achsenabschnitt

b = y1 + x1/m = y1 + x1 x1/y1 = (y12+ x1

2) /y1 = r2 /y1 .


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Die EllipseDie Ellipse

Seien a und b positive reelle Zahlen. Wir definieren

Ea,b = {(x | y) x2 / a2 + y2 / b2 = 1}

und nennen Ea,b die Ellipse mit Mittelpunkt (0 | 0) und

Halbachsen a und b (algebraische Beschreibung)

Man nennt die Gleichung

x2 / a2 + y2 / b2 = 1

die Ellipsengleichung.


Ea,b = {(x | y) x2 / a2 + y2 / b2 = 1}

und nennen Ea,b die Ellipse mit Mittelpunkt (0 | 0) und

Halbachsen a und b (algebraische Beschreibung)

Man nennt die Gleichung

x2 / a2 + y2 / b2 = 1

die Ellipsengleichung.


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Die GärtnerkonstruktionDie Gärtnerkonstruktion

Die Ellipse ist die Menge aller Punkte ist, bei denen die Summe der

Abstände von zwei festen Punkten (den „Brennpunkten“) immer

gleich groß ist (geometrische Beschreibung).

Gärtnerkonstruktion: Man schlägt zwei Pflöcke ein und bindet

daran die beiden Enden einer Schnur fest. Dann spannt man die

Schnur und beschreibt die sich ergebende Kurve ( Ellipse).

Definition. Sei Ea,b eine Ellipse mit a b. Dann definieren wir die

positive reelle Zahl e durch e2 = a2–b2. Dann nennt man die Punkte

(e | 0) und (–e | 0) die Brennpunkte der Ellipse.

Die Ellipse ist die Menge aller Punkte ist, bei denen die Summe der

Abstände von zwei festen Punkten (den „Brennpunkten“) immer

gleich groß ist (geometrische Beschreibung).

Gärtnerkonstruktion: Man schlägt zwei Pflöcke ein und bindet

daran die beiden Enden einer Schnur fest. Dann spannt man die

Schnur und beschreibt die sich ergebende Kurve ( Ellipse).

Definition. Sei Ea,b eine Ellipse mit a b. Dann definieren wir die

positive reelle Zahl e durch e2 = a2–b2. Dann nennt man die Punkte

(e | 0) und (–e | 0) die Brennpunkte der Ellipse.


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Satz zur GärtnerkonstruktionSatz zur Gärtnerkonstruktion

3.2.2 Satz. Sei e eine positive reelle Zahl. Dann ist die Menge der

Punkte X mit der Eigenschaft, daß die Summe der Abstände von X

zu P = (e | 0) und Q = (–e | 0) konstant ist, eine Ellipse mit

Brennpunkten P und Q.

Bemerkung. Es gilt auch die Umkehrung.

Beweis. Wir zeigen, dass die Punkte mit konstanter

Abstandssumme die Gleichung einer Ellipse erfüllen. Genauer:

Sei konstante Abstandssumme = 2a. Dann ergibt sich eine Ellipse

mit Hauptachsen a und b, wobei b bestimmt ist durch b2 = a2–e2.

Sei (x | y) ein Punkt mit Abstandssumme 2a. Wir zeigen: Dieser

Punkt liegt auf der Ellipse. (Methode: „Einfach“ ausrechnen!)

3.2.2 Satz. Sei e eine positive reelle Zahl. Dann ist die Menge der

Punkte X mit der Eigenschaft, daß die Summe der Abstände von X

zu P = (e | 0) und Q = (–e | 0) konstant ist, eine Ellipse mit

Brennpunkten P und Q.


Beweis. Wir zeigen, dass die Punkte mit konstanter

Abstandssumme die Gleichung einer Ellipse erfüllen. Genauer:

Sei konstante Abstandssumme = 2a. Dann ergibt sich eine Ellipse

mit Hauptachsen a und b, wobei b bestimmt ist durch b2 = a2–e2.

Sei (x | y) ein Punkt mit Abstandssumme 2a. Wir zeigen: Dieser

Punkt liegt auf der Ellipse. (Methode: „Einfach“ ausrechnen!)


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BeweisBeweis

Es gilt: (x–e)2 + y2 + (x–(–e))2 + y2 = 2a,

also (x–e)2 + y2 = 2a – (x+e)2 + y2.

Quadrieren: (x–e)2 + y2 = 4a2 + (x+e)2 + y2 –4a(x+e)2 + y2,

also –4xe = 4a2 – 4a(x+e)2 + y2, d.h. a2 + xe = a(x+e)2 + y2.

Quadrieren: a4 + 2a2xe + x2e2 = a2(x2 + e2 + 2xe + y2),

also: a4 – a2e2 = a2x2 + a2y2 – x2e2. Mit e2 = a2–b2 folgt

a4 – a2(a2–b2) = a2x2 + a2y2 – x2(a2–b2), also a2b2 = a2y2 + x2b2.

Division durch a2b2: 1 = y2 / b2 + x2 / a2.

Also liegt der Punkt tatsächlich auf der angegebenen Ellipse.

Es gilt: (x–e)2 + y2 + (x–(–e))2 + y2 = 2a,

also (x–e)2 + y2 = 2a – (x+e)2 + y2.

Quadrieren: (x–e)2 + y2 = 4a2 + (x+e)2 + y2 –4a(x+e)2 + y2,

also –4xe = 4a2 – 4a(x+e)2 + y2, d.h. a2 + xe = a(x+e)2 + y2.

Quadrieren: a4 + 2a2xe + x2e2 = a2(x2 + e2 + 2xe + y2),

also: a4 – a2e2 = a2x2 + a2y2 – x2e2. Mit e2 = a2–b2 folgt

a4 – a2(a2–b2) = a2x2 + a2y2 – x2(a2–b2), also a2b2 = a2y2 + x2b2.

Division durch a2b2: 1 = y2 / b2 + x2 / a2.

Also liegt der Punkt tatsächlich auf der angegebenen Ellipse.


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Tangenten an die EllipseTangenten an die Ellipse

Auch eine Ellipse kann Tangenten besitzen (Geraden, mit der Ellipse

genau einen Punkt gemeinsam haben). Natürlich ist ihre

Konstruktion eine ganz andere als beim Kreis.

3.2.3 Satz. Wir betrachten eine Ellipse mit den Brennpunkten Q

und P. Sei X ein beliebiger Punkt der Ellipse. Dann kann man die

Tangente in X auf folgende Weise konstruieren: Sei g die

Winkelhalbierende des Winkels QXP. Dann ist die Senkrechte t

zu g im Punkt X die Tangente an die Ellipse im Punkt X.

Insbesondere geht durch jeden Punkt der Ellipse eine Tangente.

Auch eine Ellipse kann Tangenten besitzen (Geraden, mit der Ellipse

genau einen Punkt gemeinsam haben). Natürlich ist ihre

Konstruktion eine ganz andere als beim Kreis.

3.2.3 Satz. Wir betrachten eine Ellipse mit den Brennpunkten Q

und P. Sei X ein beliebiger Punkt der Ellipse. Dann kann man die

Tangente in X auf folgende Weise konstruieren: Sei g die

Winkelhalbierende des Winkels QXP. Dann ist die Senkrechte t

zu g im Punkt X die Tangente an die Ellipse im Punkt X.

Insbesondere geht durch jeden Punkt der Ellipse eine Tangente.


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BeweisBeweis

Beweis. Zu zeigen: t trifft die Ellipse nur im Punkt X. Angenommen,

t hat noch einen zweiten Punkt Y ≠ X mit der Ellipse gemeinsam.

Dann ist QX + PX = 2a = QY + PY.

Wir betrachten den Punkt P‘, so dass t das Mittellot von PP‘ ist.

Dann: QY+P‘Y = QY +PY u. QX+P‘X = QX+PX.

Die Punkte P, X, Q‘ liegen auf einer gemeinsamen Geraden (t ist

die Winkelhalbierende von Q‘XQ und steht senkrecht auf der

Winkelhalb. g von QXP.) Also liegt Y nicht auf PQ‘. D.h.

QY + PY = Q‘Y + PY > Q‘X + PX = QX + PX.

Beweis. Zu zeigen: t trifft die Ellipse nur im Punkt X. Angenommen,

t hat noch einen zweiten Punkt Y ≠ X mit der Ellipse gemeinsam.

Dann ist QX + PX = 2a = QY + PY.

Wir betrachten den Punkt P‘, so dass t das Mittellot von PP‘ ist.

Dann: QY+P‘Y = QY +PY u. QX+P‘X = QX+PX.

Die Punkte P, X, Q‘ liegen auf einer gemeinsamen Geraden (t ist

die Winkelhalbierende von Q‘XQ und steht senkrecht auf der

Winkelhalb. g von QXP.) Also liegt Y nicht auf PQ‘. D.h.

QY + PY = Q‘Y + PY > Q‘X + PX = QX + PX.


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Die ParabelDie Parabel

Definition: Sei a eine reelle Zahl. Wir definieren

Pa = {(x | y) y = ax2}

und nennen Pa die Parabel, deren Symmetrieachse die y-Achse ist


Man nennt die Gleichung y = ax2 die Parabelgleichung.

Bemerkung. Die Gleichung einer allgemeinen Parabel (deren

Symmetrieachse eine Parallele zur y-Achse ist), lautet

y – y0 = a(x–x0)2.

Definition: Sei a eine reelle Zahl. Wir definieren

Pa = {(x | y) y = ax2}

und nennen Pa die Parabel, deren Symmetrieachse die y-Achse ist


Man nennt die Gleichung y = ax2 die Parabelgleichung.

Bemerkung. Die Gleichung einer allgemeinen Parabel (deren

Symmetrieachse eine Parallele zur y-Achse ist), lautet

y – y0 = a(x–x0)2.


Januar 2004Seite 28

Geometrische Beschreibung einer ParabelGeometrische Beschreibung einer Parabel

3.2.4 Satz. Wir betrachten die Parabel mit der Gleichung y = ax2.

Dann gibt es einen Punkt F (den „Brennpunkt“) und eine Gerade g

(die „Leitgerade“) , so dass gilt: Jeder Punkt der Parabel hat

gleichen Abstand von F wie von g.


Achtung: Das gilt nicht für jeden Punkt oder jede Gerade!

Die Aussage ist vielmehr, daß es einen solchen Punkt und eine

solche Gerade gibt. (Diese sind sogar eindeutig festgelegt!)

Es ist ein kleines (mathematisches) Wunder,

dass es einen solchen Punkt und eine solche Gerade gibt!

3.2.4 Satz. Wir betrachten die Parabel mit der Gleichung y = ax2.

Dann gibt es einen Punkt F (den „Brennpunkt“) und eine Gerade g

(die „Leitgerade“) , so dass gilt: Jeder Punkt der Parabel hat

gleichen Abstand von F wie von g.


Achtung: Das gilt nicht für jeden Punkt oder jede Gerade!

Die Aussage ist vielmehr, daß es einen solchen Punkt und eine

solche Gerade gibt. (Diese sind sogar eindeutig festgelegt!)

Es ist ein kleines (mathematisches) Wunder,

dass es einen solchen Punkt und eine solche Gerade gibt!


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BeweisBeweis

Beweis. Der Brennpunkt und die Leitgerade fallen vom Himmel:

Sei F = (0 | 1/4a), und sei y = –1/4a die Gleichung von g.

Sei P ein beliebiger Punkt der Parabel. Dann gilt P = (x | ax2).

Wir zeigen, dass P gleichen Abstand von F und g hat.

Abstand von P zu g ist gleich dem Abstand von P = (x | ax2)

zu (x | –1/4a), also gleich ax+1/4a.

Abstand von P = (x | ax2) zu F = (0 | 1/4a) ist gleich

x + (ax–1/4a) = x + ax – x/2 + 1/(16a)

= ax + x/2 + 1/(16a) = (ax + 1/4a) = ax + 1/4a.

Also sind tatsächlich beide Abstände gleich.

Beweis. Der Brennpunkt und die Leitgerade fallen vom Himmel:

Sei F = (0 | 1/4a), und sei y = –1/4a die Gleichung von g.

Sei P ein beliebiger Punkt der Parabel. Dann gilt P = (x | ax2).

Wir zeigen, dass P gleichen Abstand von F und g hat.

Abstand von P zu g ist gleich dem Abstand von P = (x | ax2)

zu (x | –1/4a), also gleich ax+1/4a.

Abstand von P = (x | ax2) zu F = (0 | 1/4a) ist gleich

x + (ax–1/4a) = x + ax – x/2 + 1/(16a)

= ax + x/2 + 1/(16a) = (ax + 1/4a) = ax + 1/4a.

Also sind tatsächlich beide Abstände gleich.


Januar 2004Seite 30

Tangenten an die ParabelTangenten an die Parabel

Tangente an die Parabel: Gerade, die die Parabel in genau einem

Punkt trifft.

3.2.5 Satz. Wir betrachten eine Parabel mit Brennpunkt F und

Leitgerade g. Sei X ein beliebiger Punkt der Parabel. Dann kann

die Tangente t im Punkt X wie folgt konstruiert werden: Sei X‘ der

Fußpunkt des Lots von X auf g. Dann ist die Winkelhalbierende

des Winkels FXX‘ die Tangente im Punkt X.

Insbesondere geht durch jeden Punkt einer Parabel eine Tangente.

Tangente an die Parabel: Gerade, die die Parabel in genau einem

Punkt trifft.

3.2.5 Satz. Wir betrachten eine Parabel mit Brennpunkt F und

Leitgerade g. Sei X ein beliebiger Punkt der Parabel. Dann kann

die Tangente t im Punkt X wie folgt konstruiert werden: Sei X‘ der

Fußpunkt des Lots von X auf g. Dann ist die Winkelhalbierende

des Winkels FXX‘ die Tangente im Punkt X.

Insbesondere geht durch jeden Punkt einer Parabel eine Tangente.


Januar 2004Seite 31

AnwendungenAnwendungen

Anwendung 1. Ein Lichtstrahl, der parallel zur Symmetrieachse

(also senkrecht zur leitgeraden) auf eine Parabel trifft, wird so

reflektiert, dass er durch den Brennpunkt geht.

(Beweis: (a) Er wird in einem Punkt X so reflektiert, wie er an der

Tangente in X reflektiert würde. (b) Ausfallswinkel = Einfallswinkel.)

Anwendung 2. (Licht-)strahlen, die parallel zur Symmetrieachse auf

eine Parabel treffen, werden so reflektiert, dass sie sich im

Brennpunkt treffen.

Anwendung 3. Die Strahlen, die auf eine Sat-Schüssel treffen,

werden so reflektiert, dass sie durch den Brennpunkt gehen.

Anwendung 1. Ein Lichtstrahl, der parallel zur Symmetrieachse

(also senkrecht zur leitgeraden) auf eine Parabel trifft, wird so

reflektiert, dass er durch den Brennpunkt geht.

(Beweis: (a) Er wird in einem Punkt X so reflektiert, wie er an der

Tangente in X reflektiert würde. (b) Ausfallswinkel = Einfallswinkel.)

Anwendung 2. (Licht-)strahlen, die parallel zur Symmetrieachse auf

eine Parabel treffen, werden so reflektiert, dass sie sich im

Brennpunkt treffen.

Anwendung 3. Die Strahlen, die auf eine Sat-Schüssel treffen,

werden so reflektiert, dass sie durch den Brennpunkt gehen.


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Die HyperbelDie Hyperbel

Definition: Wir definieren nur eine spezielle Art von Hyperbeln.


Ha,b = {(x | y) x2 / a2 – y2 / b2 = 1}

und nennen Ha,b eine Hyperbel (algebraische Beschreibung).

Die Gleichung x2 / a2 – y2 / b2 = 1 heißt die Hyperbelgleichung.

Bemerkung. Es gibt viele Hyperbeln. Die von uns definierten

haben die x-Achse und die y-Achse als Symmetrieachse.

Definition: Wir definieren nur eine spezielle Art von Hyperbeln.


Ha,b = {(x | y) x2 / a2 – y2 / b2 = 1}

und nennen Ha,b eine Hyperbel (algebraische Beschreibung).

Die Gleichung x2 / a2 – y2 / b2 = 1 heißt die Hyperbelgleichung.

Bemerkung. Es gibt viele Hyperbeln. Die von uns definierten

haben die x-Achse und die y-Achse als Symmetrieachse.


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Geometrische Beschreibung der HyperbelGeometrische Beschreibung der Hyperbel

3.2.4 Satz. Die Menge der Punkte X mit der Eigenschaft, daß die

Differenz der Abstände von X zu zwei Punkten P und Q

(„Brennpunkte“) konstant ist, ist eine Hyperbel.


Beweis. Sei 2a die konstante „Abstandsdifferenz“. Sei e die Zahl

mit e2 = a2 + b2. Wir definieren P = (0 | –e) und Q = (0 | e).

Wir zeigen, dass jeder Punkt (x | y) mit konstanter Abstands-differenz 2a zu P und Q auf der Hyperbel Ha,b liegt.

Methode: „Einfach“ ausrechnen!

3.2.4 Satz. Die Menge der Punkte X mit der Eigenschaft, daß die

Differenz der Abstände von X zu zwei Punkten P und Q

(„Brennpunkte“) konstant ist, ist eine Hyperbel.


Beweis. Sei 2a die konstante „Abstandsdifferenz“. Sei e die Zahl

mit e2 = a2 + b2. Wir definieren P = (0 | –e) und Q = (0 | e).

Wir zeigen, dass jeder Punkt (x | y) mit konstanter Abstands-differenz 2a zu P und Q auf der Hyperbel Ha,b liegt.

Methode: „Einfach“ ausrechnen!


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BeweisBeweis

2a = (x–e)2 + y2 – (x+e)2 + y2,

d.h. 2a + (x+e)2 + y2 = (x–e)2 + y2.

Quadrieren: 4a2 + (x+e)2 + y2 +4a(x+e)2 + y2 = (x–e)2 + y2,

also 4a(x+e)2 + y2 = –4a2 – 4xe, d.h. a(x+e)2 + y2 = –a2 – xe.

Quadrieren: a2(x2 + 2xe + e2 + y2) = a4 + 2a2xe + x2e2,

also: a2x2 + a2e2 + a2y2 = a4 + x2e2. Mit e2 = a2+b2 folgt

a2x2 + a2(a2+b2) + a2y2 = a4 + x2(a2+b2), also a2b2 = b2x2 + a2y2.

Indem man durch a2b2 dividiert, erhält man 1 = x2 /a2 + y2 / b2

das heißt die Gleichung der Hyperbel. Also liegt (x | y) auf Ha,b.

2a = (x–e)2 + y2 – (x+e)2 + y2,

d.h. 2a + (x+e)2 + y2 = (x–e)2 + y2.

Quadrieren: 4a2 + (x+e)2 + y2 +4a(x+e)2 + y2 = (x–e)2 + y2,

also 4a(x+e)2 + y2 = –4a2 – 4xe, d.h. a(x+e)2 + y2 = –a2 – xe.

Quadrieren: a2(x2 + 2xe + e2 + y2) = a4 + 2a2xe + x2e2,

also: a2x2 + a2e2 + a2y2 = a4 + x2e2. Mit e2 = a2+b2 folgt

a2x2 + a2(a2+b2) + a2y2 = a4 + x2(a2+b2), also a2b2 = b2x2 + a2y2.

Indem man durch a2b2 dividiert, erhält man 1 = x2 /a2 + y2 / b2

das heißt die Gleichung der Hyperbel. Also liegt (x | y) auf Ha,b.


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3.3 Räumliche Geometrie3.3 Räumliche Geometrie

In der 3-dimensionalen Geometrie gibt es drei Typen von Objekten:

Punkte, Geraden, Ebenen

Was sind Punkte?

Definition. Im 3-dimensionalen Raum wird ein Punkt durch ein

Tripel von reellen Zahlen dargestellt: P = (x | y | z).

Zum Beispiel ist (0 | 0 | 0) ein Punkt (Nullpunkt), aber auch

(5 | –2 | 6), (100000 | 0 | ).

Entsprechend hat das Koordinatensystem drei Achsen (x-Achse, y-

Achse, z-Achse).

In der 3-dimensionalen Geometrie gibt es drei Typen von Objekten:

Punkte, Geraden, Ebenen

Was sind Punkte?

Definition. Im 3-dimensionalen Raum wird ein Punkt durch ein

Tripel von reellen Zahlen dargestellt: P = (x | y | z).

Zum Beispiel ist (0 | 0 | 0) ein Punkt (Nullpunkt), aber auch

(5 | –2 | 6), (100000 | 0 | ).

Entsprechend hat das Koordinatensystem drei Achsen (x-Achse, y-

Achse, z-Achse).


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EbenenEbenen

• Erinnerung: Geraden in der Ebene: y = mx + b und x = c.

Die zwei Geradengleichungstypen kann man zusammenfassen zu

ax + by + c = 0.

• Definition. Für alle reellen Zahlen a, b, c und d ist die Menge

{(x | y | z) ax + by + cz + d = 0, x, y, z R}

eine Ebene (Ebene mit der Gleichung ax + by + cz + d = 0).

• Erinnerung: Geraden in der Ebene: y = mx + b und x = c.

Die zwei Geradengleichungstypen kann man zusammenfassen zu

ax + by + c = 0.

• Definition. Für alle reellen Zahlen a, b, c und d ist die Menge

{(x | y | z) ax + by + cz + d = 0, x, y, z R}

eine Ebene (Ebene mit der Gleichung ax + by + cz + d = 0).


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BeispieleBeispiele

Beispiele. (a) Die Ebene mit der Gleichung z = 0 ist die Menge aller

Punkte (x | y | 0), also die bekannte x,y-Ebene.

Entsprechend beschreibt y = 0 die x,z-Ebene und x = 0 die y,z-

Ebene.

(b) Jede Ebene mit der Gleichung ax + by + cz = 0 (d.h. mit d = 0)

geht durch den Nullpunkt (0 | 0 | 0).

(c) Wie können wir uns die Ebene mit der Gleichung x + y + z = 1

vorstellen?

Dazu berechnen wir die Schnittpunkte mit den Achsen. Den

Schnittpunkt mit der x-Achse erhalten wir, indem wir y = 0 und z =

0 setzen. Dies ergibt x = 1. Also ist dies der x-Achsenabschnitt.

Beispiele. (a) Die Ebene mit der Gleichung z = 0 ist die Menge aller

Punkte (x | y | 0), also die bekannte x,y-Ebene.

Entsprechend beschreibt y = 0 die x,z-Ebene und x = 0 die y,z-

Ebene.

(b) Jede Ebene mit der Gleichung ax + by + cz = 0 (d.h. mit d = 0)

geht durch den Nullpunkt (0 | 0 | 0).

(c) Wie können wir uns die Ebene mit der Gleichung x + y + z = 1

vorstellen?

Dazu berechnen wir die Schnittpunkte mit den Achsen. Den

Schnittpunkt mit der x-Achse erhalten wir, indem wir y = 0 und z =

0 setzen. Dies ergibt x = 1. Also ist dies der x-Achsenabschnitt.


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Durch drei Punkte geht eine EbeneDurch drei Punkte geht eine Ebene

Durch je drei Punkte (die nicht auf einer gemeinsamen Geraden

liegen), geht genau eine Ebene.

Beispiel: Seien (1 | 1 | 0), (1 | 0 | 1), (0 | 1 | 1) die Punkte.

Wir suchen die Ebene mit der Gleichung ax + by + cz + d = 0, auf

der diese Punkte liegen.

Einsetzen des ersten Punktes: a + b + d = 0.

Einsetzen des zweiten (dritten) Punktes: a + c + d = 0 (b + c + d = 0).

Aus den beiden ersten Gleichungen folgt b – c = 0, also b = c.

Aus den beiden letzten Gleichungen folgt a – b = 0, also a = b.

Also d = – 2a; die Gleichung lautet ax + ay + az –2a = 0.

Division durch a ergibt die Form x + y + z – 2 = 0.

Durch je drei Punkte (die nicht auf einer gemeinsamen Geraden

liegen), geht genau eine Ebene.

Beispiel: Seien (1 | 1 | 0), (1 | 0 | 1), (0 | 1 | 1) die Punkte.

Wir suchen die Ebene mit der Gleichung ax + by + cz + d = 0, auf

der diese Punkte liegen.

Einsetzen des ersten Punktes: a + b + d = 0.

Einsetzen des zweiten (dritten) Punktes: a + c + d = 0 (b + c + d = 0).

Aus den beiden ersten Gleichungen folgt b – c = 0, also b = c.

Aus den beiden letzten Gleichungen folgt a – b = 0, also a = b.

Also d = – 2a; die Gleichung lautet ax + ay + az –2a = 0.

Division durch a ergibt die Form x + y + z – 2 = 0.


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Parallele EbenenParallele Ebenen

• Satz. Zwei Ebenen mit den Gleichungen ax + by + cz + d = 0 und

a‘x + b‘y + c‘z + d‘ = 0 sind genau dann parallel,

wenn a‘ = ka, b‘ = kb und c‘ = kc für eine feste Zahl k gilt.

• Wir beweisen nur eine Richtung: Sei a‘ = ka, b‘ = kb, c‘ = kc. Wir

zeigen: Die Ebenen sind parallel (d.h. disjunkt oder gleich).

Die Ebenengleichungen lauten ax + by + cz + d = 0 (also auch

akx + bky + ckz + dk = 0) und akx + bky + ckz + d‘ = 0.

Angenommen, die Ebenen sind nicht disjunkt. D.h. es gibt

(mindestens) einen Punkt (x | y | z) auf beiden Ebenen. Dann folgt

aus den Gleichungen: dk – d‘ = 0, also d‘ = dk.

Also sind die Ebenen gleich.

• Satz. Zwei Ebenen mit den Gleichungen ax + by + cz + d = 0 und

a‘x + b‘y + c‘z + d‘ = 0 sind genau dann parallel,

wenn a‘ = ka, b‘ = kb und c‘ = kc für eine feste Zahl k gilt.

• Wir beweisen nur eine Richtung: Sei a‘ = ka, b‘ = kb, c‘ = kc. Wir

zeigen: Die Ebenen sind parallel (d.h. disjunkt oder gleich).

Die Ebenengleichungen lauten ax + by + cz + d = 0 (also auch

akx + bky + ckz + dk = 0) und akx + bky + ckz + d‘ = 0.

Angenommen, die Ebenen sind nicht disjunkt. D.h. es gibt

(mindestens) einen Punkt (x | y | z) auf beiden Ebenen. Dann folgt

aus den Gleichungen: dk – d‘ = 0, also d‘ = dk.

Also sind die Ebenen gleich.


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Nichtparallele Ebenen schneiden sich in einer GeradenNichtparallele Ebenen schneiden sich in einer Geraden

Satz: Im 3-dimensionalen Raum gilt: Zwei Ebenen sind entweder

parallel oder sie schneiden sich in einer Geraden. Es ist also nicht

möglich, dass sich zwei Ebenen in nur einem Punkt treffen.

Beweis in einem Spezialfall. Die erste Ebene habe die Gleichung

ax + by + cz + d = 0, die zweite die Gleichung z = 0 (x,y-Ebene).

Dann sind die gemeinsamen Punkte die Punkte der Form (x | y | 0),

die die Gleichung ax + by + d = 0 erfüllen. Dies ist die Gleichung

einer Geraden in der x,y-Ebene.

Satz: Im 3-dimensionalen Raum gilt: Zwei Ebenen sind entweder

parallel oder sie schneiden sich in einer Geraden. Es ist also nicht

möglich, dass sich zwei Ebenen in nur einem Punkt treffen.

Beweis in einem Spezialfall. Die erste Ebene habe die Gleichung

ax + by + cz + d = 0, die zweite die Gleichung z = 0 (x,y-Ebene).

Dann sind die gemeinsamen Punkte die Punkte der Form (x | y | 0),

die die Gleichung ax + by + d = 0 erfüllen. Dies ist die Gleichung

einer Geraden in der x,y-Ebene.

Kapitel 3 Analytische Geometrie. Kapitel 3 © Beutelspacher Januar 2004 Seite 2 Inhalt 3.1 Punkte...

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