Kapitel 4:

Gemischte Strategien

Literatur: Tadelis Chapter 6

Idee

In vielen Spielen gibt es kein Nash Gleichgewicht in reinenStrategien (und auch kein Gleichgewicht in dominanten Strategien)

Daruber hinaus sind bei vielen Spielen alle Strategieprofilerationalisierbare Gleichgewichte und iterative-EliminierungsGleichgewichte

Unsere bisherigen Gleichgewichtskonzepte sind dann wenig hilfreich

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Beispiel: “Matching Pennies”

Die Spieler legen ihre Munze verdeckt auf den Tisch

Jeder Spieler entscheidet, ob Kopf (K) oder Zahl (Z) bei seinerMunze oben liegt

Bei gleichen Aktionen gewinnt Spieler 1, sonst Spieler 2

Anmerkung: Das Spiel kann auch als Elfmeterschießen zwischeneinem Torwart und einem Schutzen interpretiert werden (gleichesEck=Torwart gewinnt, unterschiedliche Ecken=Schutze gewinnt)

Spieler 1

Spieler 2K Z

K 1,−1 −1, 1Z −1, 1 1,−1

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Gemischte Strategien

Wenn man gemischte Strategien zulasst gibt es in den meistenSpielen ein Nash Gleichgewicht

Bei gemischten Strategien randomisiert ein Spieler zwischen reinenStrategien

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Weiteres Beispiel

Betrachten Sie das Spiel “Schere-Stein-Papier”

Spieler 1

Spieler 2Schere Stein Papier

Schere 0, 0 −1, 1 1,−1Stein 1,−1 0, 0 −1, 1Papier −1, 1 1,−1 0, 0

Gibt es hier ein Nash Gleichgewicht in reinen Strategien?

Ein Gleichgewicht in dominanten Strategien?

Sind alle Strategieprofile rationalisierbare Gleichgewichte unditerative-Eliminierungs Gleichgewichte?

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Kapitel 4.1:

Strategien, Beliefs und Erwartete

Auszahlung

Definition Gemischte Strategie

D e f i n i t i o n 1

Die endliche Menge reiner Strategien von Spieler i wird mit

Si = {si1, si2, ..., sim} bezeichnet. Wir definieren ∆Si als den Simplex

von Si , welcher der Menge aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen uber Si

entspricht. Eine gemischte Strategie fur Spieler i ist ein Element

σi ∈ ∆Si , so dass σi = {σi(si1), σi(si2), ..., σi(sim)} eine

Wahrscheinlichkeitsverteilung uber Si ist, wobei σi(si) dieWahrscheinlichkeit ist, dass Spieler i die Strategie si spielt.

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Anmerkungen

Eine gemischte Strategie ist also einfach eineWahrscheinlichkeitsverteilung uber die Menge reiner Strategien

Da σi(·) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist,

◮ sind die Wahrscheinlichkeiten σi (si ) fur alle Strategien si ∈ Sinicht negativ, σi (si ) ≥ 0, und

◮ die Wahrscheinlichkeiten summieren sich auf eins,∑

si∈Siσi (si ) = 1

Eine reine Strategie kann als gemischte Strategie mit degenerierterWahrscheinlichkeitsverteilung (die gesamte Wahrscheinlichkeits-masse liegt nur auf einer Strategie) interpretiert werden

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Simplex “Matching Pennies”

Beim Spiel “Matching Pennies” ist die Menge reiner StrategienSi = {K ,Z}

Der Simplex ist dann

∆Si = {σi(K ), σi(Z ) : σi(K ), σi(Z ) ≥ 0, σi(K ) + σi(Z ) = 1}

Grafisch sieht der Simplex wie folgt aus:

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Simplex “Schere-Stein-Papier”

Beim Spiel “Schere-Stein-Papier” ist die Menge reiner StrategienSi = {Schere, Stein,Papier}

Der Simplex ist dann

∆Si = {σi(Schere), σi(Stein), σi(Papier) :

σi(Schere), σi(Stein), σi(Papier) ≥ 0,

σi(Schere) + σi(Stein) + σi(Papier) = 1}

Grafisch sieht der Simplex wie folgt aus:

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Definition Support

Bei einer gemischten Strategie muss der Spieler nicht zwangslaufigalle reinen Strategien mit positiven Wahrscheinlichkeit wahlen

Extremfall reine Strategie: nur eine reine Strategie wird mitpositiver Wahrscheinlichkeit gewahlt

D e f i n i t i o n 2

Gegeben eine gemischte Strategie σi(·) von Spieler i , eine reine

Strategie si ∈ Si ist im Support von σi(·) wenn diese mit positiver

Wahrscheinlichkeit von Spieler i gespielt wird, d.h. σi(si) > 0 ist.

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Beispiel

Im Spiel “Schere-Stein-Papier” verfolgt Spieler 2 folgendeStrategie: Stein und Papier mit gleicher Wahrscheinlichkeit, aberniemals Schere

Dann ist σ2(Schere) = 0, σ2(Stein) = σ2(Papier) = 0, 5

Im Support von σ2(·) ist daher Stein und Papier, aber nicht Schere

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Kontinuierliche Strategien

Bei einigen interessanten Spielen ist die Menge der reinenStrategien nicht endlich

Wir wollen auch fur solche Spiele definieren, was eine gemischteStrategie ist

D e f i n i t i o n 3

Gegeben die Menge der reinen Strategien Si ist ein Intervall. Eine

gemischte Strategie fur Spieler i ist eine kumulierte Wahrscheinlich-

keitsverteilung Fi : Si → [0, 1], wobei Fi(x) = Prob(si ≤ x) ist. FallsFi(·) differenzierbar mit Dichte fi(·) ist, dann ist die Strategie si ∈ Si im

Support von Fi(·) falls fi(si) > 0 ist.

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Beispiel Mengenwettbewerb

Spieler 1 kann eine Produktionsmenge zwischen 0 und 100 wahlen,S1 = [0, 100]

Er hat folgende Strategie: niemals weniger als 30 oder mehr als 50produzieren; die Produktionsmenge zwischen 30 und 50 wird durcheine Gleichverteilung ausgewahlt

Dann ist die Verteilungsfunktion

F1(s1) =

0 fur s1 < 30,s1−3020

fur s1 ∈ [30, 50],1 fur s1 > 50

Und die Dichte

f1(s1) =

0 fur s1 < 30,120

fur s1 ∈ [30, 50],0 fur s1 > 50

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Erwartete Auszahlung

Die erwartete Auszahlung von Spieler i wenn er die reineStrategie si ∈ Si wahlt und die anderen Spieler die gemischteStrategie σ−i ∈ ∆S−i ist

vi(si , σ−i) =∑

s−i∈S−i

σ−i(s−i)vi(si , s−i)

Wenn Spieler i die gemischte Strategie σi ∈ ∆Si wahlt ist seineerwartete Auszahlung

vi(σi , σ−i) =∑

si∈Si

σi(si)vi(si , σ−i)

=∑

si∈Si

∑

s−i∈S−i

σi(si)σ−i(s−i)vi(si , s−i)

Anmerkung: bei kontinuierlichen Strategien konnen mit Hilfe vonIntegralen erwartete Auszahlungen berechnet werden

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Beispiel

Im Spiel “Schere-Stein-Papier” spielt Spieler 2 die gemischteStrategie σ2(Schere) = 0, σ2(Stein) = σ2(Papier) = 0, 5

Wir konnen dann die erwarteten Auszahlungen von Spieler 1 beiseinen reinen Strategien ausrechnen:

v1(Schere, σ2) = 0 · 0 + 0, 5 · (−1) + 0, 5 · 1 = 0

v1(Stein, σ2) = 0 · 1 + 0, 5 · 0 + 0, 5 · (−1) = −0, 5

v1(Papier , σ2) = 0 · (−1) + 0, 5 · 1 + 0, 5 · 0 = 0, 5

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Kapitel 4.2:

Nash Gleichgewicht in Gemischten

Strategien

Allgemeine Definition Nash Gleichgewicht

Wir konnen nun das Konzept des Nash Gleichgewichtsverallgemeinern

D e f i n i t i o n 4

Das gemischte Strategienprofil σ∗ = (σ∗

1, σ∗

2, ..., σ∗

n) ist ein Nash

Gleichgewicht, falls fur jeden Spieler i ∈ N die Strategie σ∗

i eine beste

Antwort auf σ∗

−i ist:

vi(σ∗

i , σ∗

−i) ≥ vi(σi , σ∗

−i) fur alle σi ∈ ∆Si .

Es wird also wieder verlangt, dass in einem Nash Gleichgewicht dieStrategien der Spieler gegenseitig beste Antworten sind

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Interpretation

Wie auch im Falle reiner Strategien konnen wir das Konzept des NashGleichgewichts auch mit Hilfe von beliefs interpretieren:

Rationalitat verlangt, dass jeder Spieler eine beste Antwort wahlt,gegeben seine beliefs

Im Nash Gleichgewicht mussen die beliefs korrekt sein

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Definition Beliefs bei Gemischten Strategien

D e f i n i t i o n 5

Ein belief von Spieler i ist gegeben durch eine Wahrscheinlichkeits-

verteilung πi ∈ ∆S−i uber die Strategien der anderen Spieler. Wir

bezeichnen mit πi(s−i) die Wahrscheinlichkeit welche Spieler i dem

Strategieprofil der anderen Spieler s−i ∈ S−i zuweist.

Beispiel: Wenn Spieler 1 glaubt, dass Spieler 2 mit Wahrscheinlich-keit 0, 5 Schere spielen wird, dann ist π1(s2 = Schere) = 0, 5

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Ergebnis

Wir betrachten einen Spieler i , welcher eine echt gemischteStrategie σ∗

i im Nash Gleichgewicht wahlt

Alle reinen Strategien, welche er mit positiven Wahrscheinlichkeitwahlt, mussen die gleiche erwartete Auszahlung liefern

Grund:

◮ Falls das nicht der Fall ist, kann Spieler i seine erwarteteAuszahlung steigern, indem er reine Strategien mit hohenAuszahlungen haufiger spielt und reine Strategien mit niedrigenAuszahlungen seltener

◮ Dies widerspricht aber der Voraussetzung, dass im NashGleichgewicht vi (σ

∗

i , σ∗

−i ) ≥ vi (σi , σ∗

−i ) fur alle σi ∈ ∆Si gilt

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Ergebnis Formal

P r o p o s i t i o n 1

σ∗ sei ein Nash Gleichgewicht. Dann gilt fur jeden Spieler i ∈ N, dass

alle seine reinen Strategien im Support von σ∗

i die gleiche erwartete

Auszahlung liefern:

vi(si , σ∗

−i) = vi(σ∗

i , σ∗

−i) fur alle si ∈ Support(σ∗

i ).

Ein Spieler, welcher eine gemischte Strategie spielt, muss im NashGleichgewicht also indifferent zwischen allen reinen Strategien sein,welche er mit positiver Wahrscheinlichkeit auswahlt

Dieses Ergebnis ist sehr nutzlich, um gemischte Gleichgewichte zubestimmen

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Matching Pennies

Wir betrachten das Spiel “Matching Pennies”

Spieler 1

Spieler 2K Z

K 1,−1 −1, 1Z −1, 1 1,−1

Wir wissen bereits, dass es kein Nash Gleichgewicht in reinenStrategien gibt

Gibt es ein Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien?

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Analyse

Wir bezeichnen die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 Kopf spielt,mit p

Dann spielt Spieler 1 mit Wahrscheinlichkeit 1− p Zahl

Wir bezeichnen die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 2 Kopf spielt,mit q

Dann spielt Spieler 2 mit Wahrscheinlichkeit 1− q Zahl

Man kann das auch formaler ausdrucken: p := σ1(K ), q := σ2(K ),weshalb σ1(Z ) = 1− p, σ2(Z ) = 1− q ist

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Die erwarteten Auszahlungen fur Spieler 1 sind:

v1(K , σ2) = q · 1 + (1− q) · (−1) = 2q − 1

v1(Z , σ2) = q · (−1) + (1− q) · 1 = 1− 2q

Fur q > 1/2 ist v1(K , σ2) > v1(Z , σ2)

Dann ist die beste Antwort von Spieler 1 die reine Strategie K

Fur q < 1/2 ist v1(K , σ2) < v1(Z , σ2)

Dann ist die beste Antwort von Spieler 1 die reine Strategie Z

Nur fur q = 1/2 ist v1(K , σ2) = v1(Z , σ2)

Nur dann ist Spieler 1 indifferent zwischen seinen beiden reinenStrategien

Und damit bereit eine gemischte Strategie zu spielen (vgl.Proposition 1)

Analog erhalten wir die erwarteten Auszahlungen fur Spieler 2:

v2(K , σ1) = p · (−1) + (1− p) · 1) = 1− 2p

v2(Z , σ1) = p · 1 + (1− p) · (−1) = 2p − 1

Fur p > 1/2 ist v2(K , σ2) < v2(Z , σ2)

Dann ist die beste Antwort von Spieler 1 die reine Strategie Z

Fur p < 1/2 ist v2(K , σ2) > v2(Z , σ2)

Dann ist die beste Antwort von Spieler 1 die reine Strategie K

Nur fur p = 1/2 ist v2(K , σ2) = v2(Z , σ2)

Nur dann ist Spieler 2 indifferent zwischen seinen beiden reinenStrategien

Und damit bereit eine gemischte Strategie zu spielen (vgl.Proposition 1)

Nash Gleichgewicht

Das Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien ist alsop = q = 1/2

Oder etwas formaler ausgedruckt σ∗

1(K ) = σ∗

1(Z ) = σ∗

2(K )= σ∗

2(Z ) = 1/2

Dann kann keiner der Spieler seine erwartete Auszahlung steigern,indem er eine andere Strategie wahlt, gegeben das der andereSpieler die Gleichgewichtsstrategie spielt

Die Strategien der Spieler sind gegenseitig beste Antworten

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Interpretation

Damit Spieler 1 indifferent ist zwischen seinen reinen Strategien(und damit bereit zu mischen), muss Spieler 2 eine bestimmteStrategie verfolgen

Die Indifferenzbedingung von Spieler 1 legt also dieGleichgewichtsstrategie von Spieler 2 fest!

Gleiches gilt fur die Indifferenz von Spieler 2 und dieGleichgewichtsstrategie von Spieler 1

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Frage 4.1

Bestimmen Sie das Nash Gleichgewicht im Spiel “Kampf derGeschlechter”

Alex

ChrisO F

O 2, 1 0, 0F 0, 0 1, 2

Antwort:

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Erweitertes Elfmeterspiel

Der Schutze kann links oder rechts auf das Tor zielen

Wenn der Schutze links zielt schießt er mit einer Wahrscheinlichkeitvon 0,2 daneben, wenn er rechts zielt mit Wahrscheinlichkeit 0

Wenn der Schutze nicht daneben zielt macht er

◮ mit Sicherheit ein Tor wenn der Torhuter die andere Richtungwahlt

◮ mit Wahrscheinlichkeit 0,5 ein Tor wenn der Torhuter die gleicheRichtung wahlt

Die Auszahlung des Schutzen ist 1 wenn er ein Tor erzielt und -1wenn er keines erzielt

Fur den Torhuter sind die Auszahlungen umgekehrt

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Fragen 4.2

Stellen Sie das Spiel in Matrixform dar

Hinweis: In den Zellen der Matrix sollten die erwartetenAuszahlungen der Spieler stehen

In welche Richtung sollte der Schutze zielen, wenn der Torhuterjede Richtung mit Wahrscheinlichkeit 0,5 wahlt?

Bestimmen Sie außerdem das Nash Gleichgewicht

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Losung

Wenn der Schutze nach links zielt und der Torhuter auch linkswahlt, dann gibt es ein Tor mit Wahrscheinlichkeit 0, 8 · 0, 5 = 0, 4

◮ Die erwartete Auszahlung des Schutzen ist dann0, 4 · 1 + 0, 6 · (−1) = −0, 2

◮ Die erwartete Auszahlung des Torhuters ist dann0, 6 · 1 + 0, 4 · (−1) = 0, 2

Wenn der Schutze nach links zielt und der Torhuter rechts wahlt,dann gibt es ein Tor mit Wahrscheinlichkeit 0, 8 · 1 = 0, 8

◮ Die erwartete Auszahlung des Schutzen ist dann0, 8 · 1 + 0, 2 · (−1) = 0, 6

◮ Die erwartete Auszahlung des Torhuters ist dann0, 2 · 1 + 0, 8 · (−1) = −0, 6

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Wenn der Schutze nach rechts zielt und der Torhuter links wahlt,dann gibt es ein Tor mit Wahrscheinlichkeit 1

◮ Die erwartete Auszahlung des Schutzen ist dann1 · 1 + 0 · (−1) = 1

◮ Die erwartete Auszahlung des Torhuters ist dann0 · 1 + 1 · (−1) = −1

Wenn der Schutze nach rechts zielt und der Torhuter auch rechtswahlt, dann gibt es ein Tor mit Wahrscheinlichkeit 1 · 0, 5 = 0, 5

◮ Die erwartete Auszahlung des Schutzen ist dann0, 5 · 1 + 0, 5 · (−1) = 0

◮ Die erwartete Auszahlung des Torhuters ist dann0, 5 · 1 + 0, 5 · (−1) = 0

Spiel in Matrixform

Spieler S

Spieler TL R

L −0, 2; 0, 2 0, 6;−0, 6R 1;−1 0; 0

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Erwartete Auszahlungen

Wir bezeichnen die Wahrscheinlichkeit, mit welcher der Schutzelinks wahlt, mit p

Wir bezeichnen die Wahrscheinlichkeit, mit welcher der Torhuterlinks wahlt, mit q

Formal: p := σS(L), q := σT (L), weshalb σS(R) = 1− p,σT (R) = 1− q ist

Die erwartete Auszahlungen sind dann

vS(L, σT ) = q · (−0, 2) + (1− q) · 0, 6 = 0, 6− 0, 8q

vS(R , σT ) = q · 1 + (1− q) · 0 = q

vT (L, σS) = p · 0, 2 + (1− p) · (−1) = −1 + 1, 2p

vT (R , σS) = p · (−0, 6) + (1− p) · 0 = −0, 6p

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Beste Antwort

Wenn der Torhuter die Strategie σT (L) = σT (R) = 0, 5 wahlt, d.h.q = 0, 5 ist, dann sind die erwarteten Auszahlungen des Schutzen

vS(L, σT ) = q · (−0, 2) + (1− q) · 0, 6 = 0, 2

vS(R , σT ) = q · 1 + (1− q) · 0 = 0, 5

Die beste Antwort des Schutzen ist daher die Strategie rechts

Interpretation: Da der Torwart beide Richtungen mit gleicherWahrscheinlichkeit wahlt, ist es fur den Schutzen besser, dieRichtung zu wahlen, bei der er seltener daneben schießt, d.h. rechts

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Nash Gleichgewicht

Aus der Matrix erkennen wir direkt, dass es kein NashGleichgewicht in reinen Strategien gibt

Wir suchen daher nach einem Nash Gleichgewicht in gemischtenStrategien

Wir setzenvS(L, σT ) = vS(R , σT ) ⇐⇒ 0, 6− 0, 8q = q ⇐⇒ q = 1/3

Wir setzenvT (L, σS) = vT (R , σS) ⇐⇒ −1 + 1, 2p = −0, 6p ⇐⇒ p = 5/9

Das Nash Gleichgewicht ist also σ∗

S(L) = 5/9, σ∗

S(R) = 4/9,σ∗

T (L) = 1/3, σT (R) = 2/3

Interpretation: Damit der Schutze indifferent ist, muss derTorhuter ofter rechts als links wahlen; damit der Torhuterindifferent ist, muss der Schutze seltener links als rechts wahlen 37 / 1

Schere-Stein-Papier

Wir betrachten das Spiel “Schere-Stein-Papier”

Spieler 1

Spieler 2Schere Stein Papier

Schere 0, 0 −1, 1 1,−1Stein 1,−1 0, 0 −1, 1Papier −1, 1 1,−1 0, 0

Wir wissen bereits, dass es kein Nash Gleichgewicht in reinenStrategien gibt

Gibt es ein Nash Gleichgewicht in (echt) gemischten Strategien?

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Analyse

Beobachtung 1: Es gibt kein Nash Gleichgewicht bei dem einSpieler eine reine Strategie im Nash Gleichgewicht hat und derandere Spieler mischt

Grund:

◮ Wenn Spieler i eine reine Strategie spielt, dann ist die besteAntwort von Spieler j 6= i eine reine Strategie

◮ Wir wissen aber, dass es kein Nash Gleichgewicht in reinenStrategien gibt

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Beobachtung 2: Es gibt kein Nash Gleichgewicht bei demmindestens ein Spieler nur zwischen zwei Strategie im NashGleichgewicht mischt

Grund:◮ Nehmen wir der Konkretheit halber an, dass Spieler i niemals

Schere spielt und nur zwischen Stein und Papier mischt

◮ Dann erzielt Spieler j 6= i eine hohere Auszahlung wenn er Papierstatt Stein spielt (egal ob Spieler i Stein oder Papier spielt)

◮ Spieler j wird also niemals Stein im Nash Gleichgewicht spielen

◮ Wenn aber Spieler j niemals Stein spielt, dann erzielt Spieler i einehohere Auszahlung wenn er Schere statt Papier spielt (egal obSpieler j Schere oder Papier spielt)

◮ Spieler i wird also niemals Papier im Nash Gleichgewicht spielen

◮ Wir haben einen Widerspruch

◮ Analog fur andere Strategiepaare

Wir wissen also nun, dass es nur ein Nash Gleichgewicht gebenkann bei dem beide Spieler zwischen allen drei reinen Strategienmischen

Dann konnen wir die erwarteten Auszahlungen von Spieler jberechnen:

vj(Schere, σi) = σi(Schere) · 0 + σi(Stein) · (−1) + σi(Papier) · 1

vj(Stein, σi) = σi(Schere) · 1 + σi(Stein) · 0 + σi(Papier) · (−1)

vj(Papier , σi) = σi(Schere) · (−1) + σi(Stein) · 1 + σi(Papier) · 0

Aus Proposition 1 folgt

vj(Schere, σi) = vj(Stein, σi) = vj(Papier , σi)

Zusatzlich muss gelten:

σi(Schere) + σi(Stein) + σi(Papier) = 1

Daraus erhalt man die Losung:σi(Schere) = σi(Stein) = σi(Papier) = 1/3 fur i ∈ N

Da dies die einzige Losung des Gleichungssystems ist, ist dies daseinzige Nash Gleichgewicht

Frage 4.3

Bestimmen Sie alle Nash Gleichgewichte fur das folgende Spiel

Spieler 1

Spieler 2C R

M 0, 0 3, 5D 4, 4 0, 3

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Kapitel 4.3:

Bemerkungen

Bemerkungen

Gleichgewichte in gemischten Strategien konnen auch bei denanderen Losungskonzepten berucksichtigt werden

Wir konzentrieren uns aber in dieser Vorlesung auf NashGleichgewichte in gemischten Strategien

In einer großen Klasse von Spielen existiert stets (mindestens ein)Nash Gleichgewicht

T h e o r e m 1

Jedes n-Spieler Spiel in Normalform mit endlichen Mengen reiner

Strategien Si fur alle Spieler i ∈ N hat ein Nash Gleichgewicht in

gemischten Strategien.

Gemischte Strategien konnen echt gemischte Strategien oder reineStrategien sein

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Transformation der Auszahlungen

Bei Gleichgewichtskonzepten mit reinen Strategien kann man dieAuszahlungen von jedem Spieler i mittels einer beliebigensteigenden Funktion fi(vi(·)) transformieren, ohne dass sich etwasan den Gleichgewichten andert

Idee: Es kommt nur auf den Vergleich der Auszahlungen (großer,gleich oder kleiner) an, nicht auf die Abstande oder Absolutwerte

Bei Gleichgewichtskonzepten mit gemischten Strategien spielenerwartete Auszahlungen eine Rolle, weshalb “nur” lineareTransformation moglich sind: fi(vi(·)) = αi + βivi(·), wobei βi > 0ist

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Frage 4.4

Nehmen Sie das Spiel von Frag 4.3 und fuhren sie folgendeTranformationen durch: f1(v1(·)) = 2 + 2vi(·) undf2(v2(·)) = 3 + 3vi(·)

Stellen Sie das transformierte Spiel in Tabellenform dar undbestimmen Sie wieder alle Nash Gleichgewichte

Antworten:

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Zusammenfassung

Durch gemischte Strategien erweitern sich die Handlungs-moglichkeiten der Spieler

Dadurch vergroßert sich auch die Menge der beliefs

In Spielen, bei denen die Spieler gegensatzliche Interessen haben(z.B. “Matching Pennies”), gibt es keine Nash Gleichgewicht inreinen Strategien, aber ein Nash Gleichgewicht in gemischtenStrategien

In einer großen Klasse von Spielen existiert stets (mindestens ein)Nash Gleichgewicht

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Ubungsaufgaben

Wir behandeln folgende Ubungsaufgaben aus dem Buch: 6.4, 6.5,6.6, 6.7, 6.8

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