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Kapitel 4 Lukasiewicz Fuzzy-Logik

18. Mai 2005

Ruckblick und Uberblick Hilbert-Beweissysteme Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme Beweissystem fur FLn

Ruckblick

I Tarskis Deduktionsbegriff,

I Verbandstheoretische Grundlagen,

I Verband der [0,1]-wertigen Fuzzy-Mengen.

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Uberblick

I Hilbert-Beweissysteme

I Fuzzy-Hilbert-Beweissysteme

I Beweissystem fur FLn

I Abstrakte Fuzzy-Logik

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Was ist Logik ?

I primarer Zweck: objektive Gesetze des menschlichen Denkenszu untersuchen,

I Objektivitat: Argumente mussen kommunizierbar undverifizierbar fur andere Menschen sein,

I Zentraler Begriff: Korrektheit eines Schlusses,

I Objektivitat des Denkens und Striktheit des Folgerns undArgumentierens ist verbunden mit Formalisierbarkeit.

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Anwendung

I Strikte Trennung von pragmatischen, syntaktischen undsemantischen Aspekten,

I Aussagen bzw. Wissen wird in eine formale Sprache uberfuhrt,

I Semantik ist das Bindeglied zwischen der Welt dermathematischen bzw. realen Objekte und der Welt dersyntaktischen Darstellung,

I Semantik befaßt sich mit der Bedeutung (oder dem Inhalt, derWahrheit oder Gultigkeit)

I Syntax befaßt sich mit der formalen Darstellung.

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Logische Kalkule

I Bereitstellung von beschreibendem Wissen in einer formalenSprache fuhrt nicht nur zu weniger Mißvertsandnissen,

I sondern Mechanisierung von menschlichen Schlußweisen wirddadurch moglich(Leibnitz

”ars magna“).

I Zweck logischer Kalkule: Ableitung( Deduktion, Beweis) vonWissen auf rein syntaktischer Ebene,

I logische Kalkule sind eng mit einer Semantik verbunden:Korrektheit: alles, was beweisbar ist, ist wahr,Vollstandigkeit: alles, was wahr ist, ist ableitbar.

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Kalkule fur klassische Logik

I formale Sprache: Menge von Formeln uber einem abzahlbarenAlphabet, einer Menge von Junktoren, Konstanten und evtl.Quantoren und Pradikatensymbolen,

I Kalkule des naturlichen Schließens,

I Sequenzen-Kalkule im Gentzen-Stil,

I Beweissysteme im Hilbert-Stil

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Beweissysteme im Hilbert-Stil

I FL-Menge von Formeln,

I Ableitungsregeln,

I logische Axiome.

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Ableitungsregeln und Axiome

DefinitionEine k-stellige Ableitungsregel ist eine partielle Abbildungr : F k

L → FL.dom(r) –Definitionsbereich von r .

DefinitionEin Hilbert-Beweissystem ist ein Paar S = (AX ,R), mit AX ⊆ FL

= Menge der logischen Axiome, und R eine Menge vonAbleitungsregeln.

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Beweisbegriff

DefinitionEin Beweis π einer Formel ψ aus einer Menge X ⊆ FL vonFormeln- den echten Axiomen oder Hypothesen- ist eine endlicheFolge von Formeln ϕ1, . . . ϕn mit ϕn = ψ, so daß fur alle ϕi miti ∈ {1, . . . n} gilt:

(i) ϕi ist ein logisches Axiom, d.h. ϕi ∈ AX , oder

(ii) ϕi ist ein echtes Axiom, d.h. ϕi ∈ X , oder

(iii) ϕi ist entstanden durch Anwendung einer Ableitungsregel,d.h. ϕi = r(ϕi1 , . . . ϕik ), wobei ij ∈ {1, . . . n − 1}.

Fur eine gegebene Menge von Formeln X schreiben wir X ` ψ,falls ein Beweis fur ψ aus X existiert.

10(31)


Deduktionsoperator

DefinitionSei S = (AX ,R) ein Hilbert-Beweissystem. Der zu S gehorendeDeduktionsoperator DS : P(FL) → P(FL) ist definiert durch:

DS(X ) = {ψ ∈ FL : X ` ψ}.

SatzSei DS : P(FL) → P(FL) ein zu einem Hilbertsystem gehorenderDeduktionsoperator. Dann ist DS ein kompakter Abschlußoperator.Umgekehrt gilt: sei D : P(FL) → P(FL) ein kompakterAbschlußoperator. Dann existiert ein Hilbert-Beweissystem S, sd.D = DS .

11(31)


Theorien

DefinitionSei D : P(FL) → P(FL) ein Abschlußoperator. Ein T ⊆ FL heißtD-Theorie , falls T ein Fixpunkt von D ist, d.h. T = D(T ).

DefinitionT ⊆ FL heißt abgeschlossen unter einer k-stelligen Ableitungsregelr , wenn fur jedes k-Tupel (ϕ1, . . . , ϕk) ∈ dom(r) gilt:

aus ϕ1, . . . , ϕk ∈ T folgt r(ϕ1, . . . , ϕk) ∈ T .

SatzT ⊆ FL ist eine DS-Theorie fur ein Hilbert-Beweissystem S, wenn:

1. T enthalt die Menge AX der logischen Axiome,

2. T ist abgeschlossen unter allen Ableitungsregeln aus R.

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Hilbert-Kalkul fur klassische Logik–Axiome

1. ϕ⇒ (ϕ ∧ ϕ)

2. (ψ ∧ ϕ)(ϕ ∧ ψ)

3. (ϕ⇒ ψ) ⇒ ((ϕ ∧ χ) ⇒ (ψ ∧ ϕ))

4. ((ϕ⇒ ψ) ∧ (ψ ⇒ χ)) ⇒ (ϕ⇒ χ)

5. ϕ⇒ (ψ ⇒ ϕ)

6. (ϕ ∧ (ϕ⇒ ψ) ⇒ ψ)

7. ϕ⇒ (ϕ ∨ ψ)

8. (ϕ ∨ ψ) ⇒ (ϕ ∨ ψ)

9. ((ϕ⇒ ψ) ∧ (χ⇒ ψ)) ⇒ ((ϕ ∨ χ) ⇒ ψ)

10. ¬ϕ⇒ (ϕ⇒ ψ)

11. ((ϕ⇒ ψ) ∧ (ϕ⇒ ¬ψ)) ⇒ ¬ϕ12. ¬ϕ ∨ ϕ

13(31)


Hilbert-Kalkul fur klassische Logik

I Axiome sind anwendbar auf alle Formeln, die Instanzen derAxiome sind,

I einzige Ableitungsregel ist die Abtrennungsregel:

ϕ,ϕ⇒ ψ

ψ

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Kurzer Hilbert-Kalkul fur klassische Logik

Alphabet enthalt nur die Junktoren ⇒ und ¬A1 ϕ⇒ (ψ ⇒ ϕ)

A2 (ϕ⇒ (ψ ⇒ χ)) ⇒ ((ϕ⇒ ψ) ⇒ (ϕ⇒ χ))

A3 (¬ϕ⇒ ¬ψ) ⇒ (ψ ⇒ ϕ)

rMP (ϕ,ϕ⇒ ψ) 7→ ψ

zusatzliche Junktoren werden als verkurzte Schreibweiseneingefuhrt:

ϕ ∧ ψ ≡ ¬(ϕ⇒ ¬ψ)ϕ ∨ ψ ≡ ¬ϕ⇒ ψ

⊥ ≡ ¬(ϕ⇒ ϕ)

15(31)


Beispiel

Beweisziel: ∅ ` ¬ψ ⇒ (ψ ⇒ ϕ)

1. ¬ψ ⇒ (¬ϕ⇒ ¬ψ) A12. (¬ϕ⇒ ¬ψ) ⇒ (ψ ⇒ ϕ) A33. ((¬ϕ⇒ ¬ψ) ⇒ (ψ ⇒ ϕ)) ⇒

(¬ψ ⇒ ((¬ϕ⇒ ¬ψ) ⇒ (ψ ⇒ ϕ))) A14. ¬ψ ⇒ ((¬ϕ⇒ ¬ψ) ⇒ (ψ ⇒ ϕ)) rMP , 2., 3.5. (¬ψ ⇒ ((¬ϕ⇒ ¬ψ) ⇒ (ψ ⇒ ϕ))) ⇒

((¬ψ ⇒ (¬ϕ⇒ ¬ψ)) ⇒ (¬ψ ⇒ (ψ ⇒ ϕ))) A26. (¬ψ ⇒ (¬ϕ⇒ ¬ψ)) ⇒ (¬ψ ⇒ (ψ ⇒ ϕ)) rMP , 4., 5.7. ¬ψ ⇒ (ψ ⇒ ϕ) rMP , 1., 6.

16(31)


Fuzzy-Ableitungsregeln

Ziel:formales System, mit Hilfe dessen aus einer Fuzzy-Menge von Pramissen eine Fuzzy-Menge von Kon-klusionen abgeleitet werden kann.

Definition

Eine Fuzzy-Ableitungsregel r = (r ′, r ′′) ist ein Paar von k-stelligenOperationen mit:

r ′ : D → FL wobei D ⊆ F kL und

r ′′ : [0, 1]k → [0, 1] so, daß

r ′′(a1, . . . , aj = supi∈I

bi , . . . , ak) = supi∈I

r ′′(a1, . . . , bi , . . . , ak)

fur jeden Index 1 ≤ j ≤ k.

17(31)


Fuzzy-Ableitungsregeln II

I die Bedingung sichert die Stetigkeit,

I Darstellung von Fuzzy-Ableitungsregeln:

ϕ1, . . . , ϕk

r ′(ϕ1, . . . , ϕk)

a1, . . . , ak

r ′′(a1, . . . , ak)

I Wenn die Formeln ϕ1, . . . , ϕk zum Grad a1, . . . , ak gegebensind,dann konnen wir folgern, daß die Formel r ′(ϕ1, . . . , ϕk)mindestens zum Grad r ′′(a1, . . . , ak) gelten muß.

18(31)


Fuzzy-Beweissystem im Hilbert-Stil

LAX ∈ F(FL) –Fuzzy-Menge der logischen Axiome

Definition

Ein Fuzzy-Beweissystem im Hilbert-Stil ist ein Paar S = (LAX ,R),bestehend aus LAX ⊆ FL einer Fuzzy-Menge von logischen Axiomenund einer Menge R von Fuzzy-Inferenzregeln.

19(31)


Beweise

Definition

Sei S = (LAX ,R) ein Fuzzy-Hilbert-Beweissystem.Sei u ∈ F(FL) eine Fuzzy-Menge (von Hypothesen).Ein Beweis π fur einer Formel ψ aus u ist eine endliche Folge vonFormeln ϕ1, . . . ϕn mit ϕn = ψ, zusammen mit einer Menge von

”Rechtfertigungen“. Das bedeutet fur eine gegebene Formel ϕi wird

gekennzeichnet, ob:

(i) ϕi als logisches Axiom,

(ii) ϕi wird als echtes Axiom, oder

(iii) ϕi als Ergebnis der Anwendung einer Fuzzy-Ableitungsregel,d.h. ϕi = r ′(ϕi1 , . . . ϕik ), wobei ij ∈ {1, . . . n − 1}, betrachtetwird.

Es existieren immer genau zwei Beweise der Lange 1.20(31)


Bewertung der Beweise

u ∈ F(FL), die Bewertung val(π, u) von π in bezug auf u istinduktiv uber die Lange m von π definiert:

- Falls m = 1, dann ist

val(π, u) =

{LAX (ϕ1) betrachte ϕ1 als log. Axiom,

u(ϕ1) betrachte ϕ1 als echtes Axiom.

- Andernfalls ist

val(π, u) =

LAX (ϕm) betrachte ϕm als log. Axiom,

u(ϕm) betrachte ϕm als echtes Axiom,

r ′′(val(πi1 , u), . . . val(πik , u)) falls B

B: ϕm = r ′(ϕi1 , . . . , ϕik ), wobei ij ∈ {1, . . . n − 1}.

21(31)


Bewertung der Beweise

I Interpretation: Bei gegebener Information u, sichert der Beweisπ, daß die Formel ψ mindestens zum Grad val(π, u)gilt.

I fur eine Formel ψ kann ein zweiter Beweis π′ existieren, mitval(π′, u) ≥ val(π, u),

I um den Grad der Gultigkeit einer Formel ψ bei gegebenerAnfangsbelegung u zu berechnen,mussen alle Beweise fur ψberucksichtigt werden.

Definition

S = (LAX ,R)–Fuzzy-H-System, u ∈ F(FL), ψ ∈ FL.

DS(u)(ψ) = sup{val(π, u) | π ist ein Beweis fur ψ}

DS(u)(ψ) ist die bestmogliche Bewertung fur ψ, die wir aus derAnfangsbelegung u ableiten konnen.

22(31)


Lukasiewicz-Fuzzy-Logik FLn

I benannt nach dem polnischen Mathematiker Jan Lukasiewicz,der 1915 dreiwertigen Logikkalkul entwarf

I Sei L ein Alphabet, das eine abzahlbare Menge VAR vonVariablen, eine Menge von Symbolen {¬,→,∧,∨,&} fur dieJunktoren, sowie fur jede rationale Zahl q ∈ (Q ∩ [0, 1]) einelogische Konstante q enthalt.

I Formelmenge FL uber L ist dann wie gewohnlich induktivdefiniert.

23(31)


Axiomatisierung von FLn

Bezeichnungen:

λ1(ϕ, χ, ψ) = ϕ→ (φ→ ϕ)λ2(ϕ, χ, ψ) = (ϕ→ ψ) → ((ψ → χ) → (ϕ→ χ))λ3(ϕ, χ, ψ) = (¬ϕ→ ¬ψ) → (ψ → ϕ)λ4(ϕ, χ, ψ) = ((ϕ→ ψ) → ψ) → ((ψ → ϕ) → ϕ)

LAX (φ) =

a falls φ = a,

1− a falls φ = ¬a,

1 falls φ = λi (ϕ, χ, ψ), i ∈ {1, ..4}, ϕ, χ, ψ ∈ FL,

0 sonst.

rMP = (r ′MP , r′′MP) :

ϕ,ϕ→ ψ

ψ,

a, b

max{0, a + b − 1}24(31)


Heap-Paradoxon

I 100000 Sandkornchen bildet einen Haufen,

I Wenn ich von einem Haufen ein Sandkornchen wegnehme,habe ich immer noch einen Sandhaufen ubrig.

I Ergebnis nach Iteration dieses Schlusses: Eine Menge von 0Sandkornchen ist ein Sandhaufen.

25(31)


Heap-Paradoxon

fur jedes n, 0 ≤ n ≤ 100.000}{H(n)}: n Sandkornchen sind Haufen.{H(n) → H(n − 1)}: Wenn n Sandkornchen einen Haufen

bilden, dann bilden n − 1 Sandkornchenebenfalls einen Haufen.

Anfangsbelegung u:

u(ϕ) =

1 falls ϕ = H(100000),

0.99999 falls ϕ = H(n) → H(n − 1), n ∈ {1, . . . , 100.000}0 sonst.

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Beweise der Lange 1

π1 = H(99999)(Logisches Axiom).π2 = H(99999)(Echtes Axiom).

Bewertungen der Beweise:

Val(π1, u) =LAX (H(99999)) = u(H(99999)) = Val(π2, u) = 0.

27(31)


Beweise der Lange 3

π3 = H(100000) (Echtes Axiom),H(100000) → H(99999) (Echtes Axiom),H(99999) = r ′MP(H(100000),H(99999)) (Modus Ponens).

val(π3) = r ′′MP(val(π31), val(π3

2))= r ′′MP(u(H(100000)), u(H(100000) → H(99999)))= max{0, 1 + 0.99999− 1}= 0.99999

28(31)


Beweise der Lange 3 fortgesetzt

π4 = H(100000) (Logisches Axiom),H(100000) → H(99999) (Echtes Axiom),H(99999) = r ′MP(H(100000),H(99999)) (Modus Ponens).


2))= r ′′MP(LAX (H(100000)), u(H(100000) → H(99999)))= max{0, 0 + 0.99999− 1}= 0

29(31)


Beweise der Lange 3 fortgesetzt

π5 = H(100000) (Echtes Axiom),H(100000) → H(99999) (Logisches Axiom),H(99999) = r ′MP(H(100000),H(99999)) (Modus Ponens).


2))= r ′′MP(u(H(100000)), LAX (H(100000) → H(99999)))= max{0, 1 + 0− 1}= 0

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Auswertung Heap-Paradoxon

I großte untere Schranke fur den Wert der Beweise furH(99999) ist hier 0.99999, d.h.Dluk(u)(H(99999)) = 0.99999.

I es existiert ein k ∈ N, so daß Dluk(H(k)) = 0. Fur unsereAnfangsbelegung u ist k = 1; ein einzelnes Sandkorn istSandhaufen zum Grad 0,

I Fuzzy-Logik ist geeignet, klassische Paradoxien aufzulosen.

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