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Kapitel ADS:V

V. Suchenq Binary Search Treeq AVL Treeq Red-Black Treeq Maschinenmodell (Erweiterung)q B-Tree

ADS:V-1 Suchen © POTTHAST 2019

Binary Search TreeDefinition

Ein Binärbaum T heißt Binary Search Tree (Binärer Suchbaum), wenn jeder seinerKnoten x folgende Bedingung erfüllt:

y.key ≤ x.key ≤ z.key

wobei y ein Knoten im linken Teilbaum von x ist und z ein Knoten im rechten.






Beispiel:

2 5

5

6

7

8






Beispiel:

2 5

5

6

7

8

5

2

5

7

86


Binary Search TreeImplementierung

q Link-basierter Binärbaum


Binary Search TreeImplementierung

q Link-basierter Binärbaum

Manipulation

q Knoten in Sortierreihenfolge besuchenTraversierung des Baumes mit DFS-Traverse (in-order).

q Knoten suchen (Search)Einen Knoten mit vorgegebenem Schlüssel suchen.

q Minimum, Maximum, oder Nachfolger (Successor) bestimmenDen Knoten mit kleinstem, größtem oder nächstgrößerem Sortierschlüssel bestimmen.

q Knoten einfügen (Insert)Einen Knoten an der richtigen Stelle im Baum einfügen.

q Knoten löschen (Delete)Einen bestimmten Knoten aus dem Baum löschen.


Bemerkungen:

q Die Bedingung, die ein Binary Search Tree erfüllen muss, wird auch „Binary Search TreeProperty“ genannt.

q Die Implementierung eines Binary Search Tree ist link-basiert, damit alleManipulationsoperationen effizient umsetzbar sind.

q Wenn die Menge zu durchsuchender Elemente statisch ist, genügt es, sie Array-basiert zuspeichern, zu sortieren und die binäre Suche anzuwenden.


algorithms-and-datastructures/unit-de-ads-introduction.pdf#binary-search

Binary Search TreeManipulation: Suche

Algorithmus: Tree Search.

Eingabe: x. Wurzel eines Binary Search Tree T .k. Gesuchter Schlüssel.

Ausgabe: Knoten, der k als Schlüssel hat, oder NIL.






TreeSearch(x, k)1. WHILE x 6= NIL AND k 6= x.key THEN

2. IF k < x.key THEN

3. x = x.left

4. ELSE

5. x = x.right

6. ENDIF

7. ENDDO

8. return(x)

Beispiel: TreeSearch(T.root , 13)

9

3 7

6

15

17

18

20

2 4 13








3. x = x.left

4. ELSE

5. x = x.right

6. ENDIF

7. ENDDO

8. return(x)

Laufzeit:

q Iterationen der While-Schleife?








3. x = x.left

4. ELSE

5. x = x.right

6. ENDIF

7. ENDDO

8. return(x)

Laufzeit:

q Iterationen der While-Schleife:Längster Pfad von der Wurzel zu ei-nem Blattknoten.








3. x = x.left

4. ELSE

5. x = x.right

6. ENDIF

7. ENDDO

8. return(x)

Laufzeit:

q Iterationen der While-Schleife:Längster Pfad von der Wurzel zu ei-nem Blattknoten.

Ü O(h), wobei h die Baumhöhe ist.


Binary Search TreeManipulation: Minimum

Algorithmus: Tree Minimum.

Eingabe: x. Wurzel eines Binary Search Tree T .

Ausgabe: Knoten mit dem kleinsten Schlüssel, oder NIL falls der Baum leer ist.


Binary Search TreeManipulation: Minimum

Algorithmus: Tree Minimum.


Ausgabe: Knoten mit dem kleinsten Schlüssel, oder NIL falls der Baum leer ist.

TreeMinimum(x)

1. IF x == NIL THEN return(NIL) ENDIF

2. WHILE x.left 6= NIL DO

3. x = x.left

4. ENDDO

5. return(x)

Beispiel: TreeMinimum(T.root)

9

3 7

6

15

17

18

20

2 4 13


Binary Search TreeManipulation: Maximum

Algorithmus: Tree Maximum.


Ausgabe: Knoten mit dem größten Schlüssel, oder NIL falls der Baum leer ist.

TreeMaximum(x)


2. WHILE x.right 6= NIL DO

3. x = x.right

4. ENDDO

5. return(x)

Beispiel: TreeMaximum(T.root)

9

3 7

6

15

17

18

20

2 4 13


Binary Search TreeManipulation: Maximum

Algorithmus: Tree Maximum.


Ausgabe: Knoten mit dem größten Schlüssel, oder NIL falls der Baum leer ist.

TreeMaximum(x)


2. WHILE x.right 6= NIL DO

3. x = x.right

4. ENDDO

5. return(x)

Laufzeit:

q Iterationen der While-Schleife:Längster rechter Pfad von der Wur-zel zu einem Blattknoten.


q Analog für TreeMinimum.


Binary Search TreeManipulation: Nachfolger

Algorithmus: Tree Successor.

Eingabe: x. Knoten eines Binary Search Tree T .

Ausgabe: Knoten mit dem nächstgrößeren Schlüssel, oder NIL.






Fallunterscheidung:

q x hat ein rechtes Kind.Suche den kleinsten Knoten im rechten Teilbaum von x.

q x hat kein rechtes Kind.Wandere solange Richtung Wurzel, bis der erste Knoten y erreicht ist, in dessen linkenTeilbaum sich x befindet. Wird die Wurzel vorher erreicht, hat x keinen Nachfolger.






TreeSuccessor (x)1. IF x.right 6= NIL THEN

2. return(TreeMinimum(x.right))

3. ENDIF

4. y = x.parent

5. WHILE y 6= NIL AND x == y.right DO

6. x = y

7. y = y.parent

8. ENDDO

9. return(y)

Beispiel: TreeSuccessor (x)

9

3 7

6

15

17

18

20

2 4 13








3. ENDIF

4. y = x.parent


6. x = y

7. y = y.parent

8. ENDDO

9. return(y)

Beispiel: TreeSuccessor (x), x.key = 13

9

3 7

6

15

17

18

20

2 4 13








3. ENDIF

4. y = x.parent


6. x = y

7. y = y.parent

8. ENDDO

9. return(y)

Laufzeit:

q Iterationen der While-Schleife:Längster Pfad von der Wurzel zu ei-nem Blattknoten



Binary Search TreeManipulation: Einfügen

Algorithmus: Tree Insert.

Eingabe: T . Binary Search Tree.z. Einzufügender Knoten mit Schlüssel k.

Ausgabe: Um z erweiterter Binary Search Tree.

Vorgehen:

q Finde den Elter y des einzufügenden Knotens.

q Falls der Baum leer ist, füge den Knoten als neue Wurzel ein.

q Andernfalls, füge den Knoten gemäß der Binary Search Tree Property alslinkes oder rechts Kind von y ein.



TreeInsert(T, z)1. y = NIL2. x = T.root3. WHILE x 6= NIL DO

4. y = x

5. IF z.key < x.key THEN

6. x = x.left7. ELSE

8. x = x.right9. ENDIF

10. ENDDO

11. z.parent = y

12. IF y == NIL THEN

13. T.root = z

14. ELSE IF z.key < y.key THEN

15. y.left = z

16. ELSE

17. y.right = z

18. ENDIF

Beispiel: TreeInsert(T, z), z.key = 19

9

3 7

6

15

17

18

20

2 4 13 19



TreeInsert(T, z)1. y = NIL2. x = T.root3. WHILE x 6= NIL DO

4. y = x

5. IF z.key < x.key THEN

6. x = x.left7. ELSE

8. x = x.right9. ENDIF

10. ENDDO

11. z.parent = y

12. IF y == NIL THEN

13. T.root = z

14. ELSE IF z.key < y.key THEN

15. y.left = z

16. ELSE

17. y.right = z

18. ENDIF

Beispiel: TreeInsert(T, z), z.key = 19

9

3 7

6

15

17

18

20

2 4 13 19

Laufzeit:

q Iterationen der While-Schleife:Längster Pfad von der Wurzel zu ei-nem Blattknoten

Ü O(h), wobei h die Baumhöhe ist.ADS:V-24 Suchen © POTTHAST 2019

Binary Search TreeManipulation: Löschen

Vorüberlegungen:

q Äußere KnotenKönnen gefahrlos entfernt werden.

q Innere KnotenDas Löschen eines inneren Knotenshinterlässt einen Wald, aus dem eingültiger Suchbaum gebildet werden muss.

Beispiel:

19

9

3 7

6

15

17

18

20

2 4 13



Vorüberlegungen:



q Idee: Ersetze den zu löschendenKnoten durch seinen Nachfolger.Ausnahme: Hat der Knoten nur ein Kind,kann er durch das Kind ersetzt werden.

q Problem: Der Nachfolger kann auchein innerer Knoten sein.

Beispiel:

19

9

3 7

6

15

17

18

20

2 4 13



Vorüberlegungen:



q Idee: Ersetze den zu löschendenKnoten durch seinen Nachfolger.Ausnahme: Hat der Knoten nur ein Kind,kann er durch das Kind ersetzt werden.

q Problem: Der Nachfolger kann auchein innerer Knoten sein.

q Erkenntis: Der Nachfolger hatniemals ein linkes Kind.

Ü Der Nachfolger wird durch seinrechtes Kind ersetzt.

Beispiel:

19

9

3 7

6

15

17

18

20

2 4 13


Binary Search TreeManipulation: Löschen [Red-Black Tree]

Algorithmus: Transplant.

Eingabe: T . Binary Search Tree.u, v. Wurzeln von Teilbäumen von T ; ggf. v = NIL.

Ausgabe: Binärbaum, bei dem u durch v ersetzt wurde.

Transplant(T, u, v)1. IF u.parent == NIL THEN

2. T.root = v

3. ELSE IF u == u.parent .left THEN

4. u.parent .left = v

5. ELSE

6. u.parent .right = v

7. ENDIF

8. IF v 6= NIL THEN

9. v.parent = u.parent

10. ENDIF

Beispiel: Transplant(T, u, v)

19

9

3 7

6

15

17

18

20

2 4 13

u

v







2. T.root = v



5. ELSE


7. ENDIF

8. IF v 6= NIL THEN


10. ENDIF

Beispiel: Transplant(T, u, v)

19

9

3 7

6

15

17

18

20

2 4 13

u

v







2. T.root = v



5. ELSE


7. ENDIF

8. IF v 6= NIL THEN


10. ENDIF

Laufzeit:

q Alle Anweisungen sind in O(1).

Ü O(1) Gesamtlaufzeit.


Bemerkungen:

q In der Literatur wird alternativ auch die Möglichkeit aufgezeigt, einfach die Schlüssel des zulöschenden Knotens und seines Nachfolgers auszutauschen.

q Der Vorteil der vorliegenden Methode besteht darin, dass der zu löschende Knoten nichtberührt wird und intakt im Speicher verbleibt, so dass Referenzen anderer Prozesse auf denKnoten valide bleiben.



Algorithmus: Tree Delete.

Eingabe: T . Binary Search Tree.z. Zu löschender Knoten.

Ausgabe: Binary Search Tree, bei dem z gelöscht wurde.

Fallunterscheidung:

1. z hat keine Kinder.Ersetze z bei seinem Elter durch NIL.

2. z hat ein Kind.Ersetze z bei seinem Elter durch (a) sein rechtes bzw. (b) sein linkes Kind.

3. z hat zwei Kinder.

(a) zs Nachfolger y ist sein rechtes Kind.Ersetze z durch y.

(b) zs Nachfolger y ist ein anderer Knoten in seinem rechten Teilbaum.Ersetze y durch sein rechtes Kind und mache y zur Wurzel von zs rechtem Teilbaum.Ersetze z durch y.



TreeDelete(T, z)1. IF z.left == NIL THEN

2. Transplant(T, z, z.right)

3. ELSE IF z.right == NIL THEN

4. Transplant(T, z, z.left)

5. ELSE

6. y = TreeMinimum(z.right)

7. IF y.parent 6= z THEN

8. Transplant(T, y, y.right)

9. y.right = z.right

10. y.right .parent = y

11. ENDIF

12. Transplant(T, z, y)

13. y.left = z.left

14. y.left .parent = y

15. ENDIF

Fälle:

z

z.left NIL

z

z.rightNIL

z

NIL NIL

1.

2a.

2b.







5. ELSE






11. ENDIF


13. y.left = z.left


15. ENDIF

Fälle:

z.right

z.left

NIL1.

2a.

2b.







5. ELSE






11. ENDIF


13. y.left = z.left


15. ENDIF

Fälle:

z

z.left y

y.rightNIL

3a.







5. ELSE






11. ENDIF


13. y.left = z.left


15. ENDIF

Fälle:

y

z.left y.right

3a.







5. ELSE






11. ENDIF


13. y.left = z.left


15. ENDIF

Fälle:

y

z.left y.right

3a.

z

z.left z.right

y

y.rightNIL

3b.







5. ELSE






11. ENDIF


13. y.left = z.left


15. ENDIF

Fälle:

y

z.left y.right

3a.

z

z.left

z.right

y

y.right

NIL

3b.







5. ELSE






11. ENDIF


13. y.left = z.left


15. ENDIF

Fälle:

y

z.left y.right

3a.

3b.

z.left z.right

y

y.right







5. ELSE






11. ENDIF


13. y.left = z.left


15. ENDIF

Laufzeit:

q Alle Zeilen außer Zeile 6 sind O(1).

q Laufzeit von TreeMinimum ist O(h).



Binary Search TreeLaufzeit

Die Laufzeit aller Manipulationsoperationen ist von der Höhe des Baums abhängig.

Best Case:

q Balancierter Baum.

Ü h ≈ lg n → T (n) = O(lg n).

Worst Case:

q Alle inneren Knoten vom Grad 1.

Ü h ≈ n → T (n) = O(n).

Beispiel:

2 5

5

6

7

8

5

2

5

7

86


Binary Search TreeLaufzeit (Fortsetzung)

Average Case:

q Zufälliger Binary Search Tree mit n verschiedenen Knoten.

Ü E[h] = lg n → T (n) = O(lg n).

Beweisidee: Probabilistische Analyse der erwarteten Baumhöhe nach einerSequenz zufälliger Einfügeoperationen.

Konstruktion

q Sei A eine Folge von n Schlüsseln.

q Wähle eine zufällige Permutation der Schlüssel in A.

q Füge die Schlüssel gemäß der Reihenfolge der Permutation nacheinander ineinen leeren Binary Search Tree T ein.

q Weiteres Einfügen von Elementen in nicht-zufälliger Reihenfolge oderLöschen von Elementen machen den Binary Search Tree unzufällig.


AVL TreeDefinition

Ein Binary Search Tree ist ein AVL Tree, wenn für jeden inneren Knoten x gilt

−1 ≤ bf (x) ≤ 1,

wobei bf (x) = h(x.right)− h(x.left) der Balancefaktor von x und h(x) seine Höhe ist.


AVL TreeDefinition


−1 ≤ bf (x) ≤ 1,


Beispiele:

NIL NIL NIL NIL NIL NIL

NIL

NIL

NIL

NIL NILNIL

NIL NIL

2 5

5

6

7

8

5

2

5

7

86


AVL TreeDefinition


−1 ≤ bf (x) ≤ 1,


Beispiele:


NIL

NIL

NIL

NIL NILNIL

NIL NIL

2 5

5

6

7

8

5

2

5

7

861

1 1 1

2 2

h = 3

1

2

3

4

5


AVL TreeDefinition


−1 ≤ bf (x) ≤ 1,


Beispiele:


NIL

NIL

NIL

NIL NILNIL

NIL NIL

2 5

5

6

7

8

5

2

5

7

861

1 1 1

2 2

h = 3

1

2

3

4

5

0 1

bf = 0

-1

00 0

0

0

-1

3

42

5


Bemerkungen:

q Der AVL-Baum ist benannt nach den sowjetischen Mathematikern Georgi MaximowitschAdel’son-Vel’skiı̆ und Jewgeni Michailowitsch Landis, die die Datenstruktur im Jahr 1962vorstellten [Adel’son-Vel’skiı̆ and Landis 1962] (aus dem Russischen).

q Es werden knotenorientierte binäre Suchbäume von blattorientierten unterschieden: Wenndie Inhalte der Menge [zu speichernder Elemente] in den Knoten abgespeichert werden unddie externen Knoten leer sind, nennt man die Art der Speicherung knotenorientiert. Umauszudrücken, dass sie nicht zur Menge gehören, bezeichnet man in diesem Fall dieexternen Knoten zur besseren Unterscheidung als externe Blätter. Ein externes Blatt stellteinen Einfügepunkt dar. Bei der blattorientierten Speicherung sind die Inhalte der Menge inden Blättern abgespeichert, und die Knoten stellen nur Hinweisschilder für die Navigation dar,die möglicherweise mit den Schlüsseln der Menge wenig zu tun haben. [Wikipedia]

q Leider wird die jeweils verwendete Betrachtung oft nicht explizit genannt oder sogarvermischt verwendet, was zu großer Verwirrung führen kann. Hier verwenden wir dieknotenorientierte Sicht. Der Übersicht halber blenden wir die leeren externen Blätter (dieNIL-Knoten) in den meisten Fällen jedoch aus.


https://web.archive.org/web/20170428055741/http://professor.ufabc.edu.br/~jesus.mena/courses/mc3305-2q-2015/AED2-10-avl-paper.pdf

https://de.wikipedia.org/wiki/Bin%C3%A4rer_Suchbaum#Knotenorientierte_und_blattorientierte_Speicherung

AVL Tree

Satz 1

Ein AVL Tree mit n Knoten hat eine Höhe h ≤ 1.44 · lg n + 1 = O(lg n).


AVL Tree

Satz 1


Idee: Abschätzung der minimalen Zahl an Knoten eines AVL Trees der Höhe h.

Beispiel:NIL NIL

q Für alle Knoten x, die ein Nicht-Blatt als Kind haben, gilt: bf (x) 6= 0.

q Jedes Kind der Wurzel eines minimalen AVL Trees ist ein minimaler AVL Tree.ADS:V-49 Suchen © POTTHAST 2019

AVL Tree

Satz 1



Beispiel:

NIL NIL

NIL



AVL Tree

Satz 1



Beispiel:

NIL NIL

NIL NILNIL



AVL Tree

Satz 1



Beispiel:

NIL NIL

NIL NIL NIL NIL

NIL

NIL



AVL Tree

Satz 1



Beispiel:

NIL NIL

NIL NIL

NIL NIL

NIL NIL NIL NIL

NIL NIL

NIL



AVL Tree

Satz 1



Ü Die Zahl der externen Blätter eines minimalen AVL Trees der Höhe h entsprichtder Fibonacci-Zahl Fh+2 und die Zahl der inneren Knoten Fh+2 − 1.


AVL Tree

Satz 1




Nach Formel von Moivre-Binet berechnet sich die h-te Fibonacci-Zahl Fh wie folgt:

Fh =1√5

(1 +√5

2

)h

−

(1−√5

2

)h ≈ 0.4472... · (1.618...)h,


https://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge#Formel_von_Moivre-Binet

AVL Tree

Satz 1





Fh =1√5

(1 +√5

2

)h

−

(1−√5

2

)h ≈ 0.4472... · (1.618...)h,

Sei n(h) die Zahl der externen Blätter eines minimalen AVL Trees der Höhe h:

n(h) ≥ Fh+2 ≈ 0.4472 · 1.618h+2 = 1.171 · 1.618h



AVL Tree

Satz 1





Fh =1√5

(1 +√5

2

)h

−

(1−√5

2

)h ≈ 0.4472... · (1.618...)h,

Sei n(h) die Zahl der externen Blätter eines minimalen AVL Trees der Höhe h:

n(h) ≥ Fh+2 ≈ 0.4472 · 1.618h+2 = 1.171 · 1.618h

Daraus folgt:h ≤ 1.44 · lg n + 1. 2



AVL TreeManipulation

Algorithmen, die von Binary Search Trees geerbt werden:




Laufzeit

q Traversierung ist in O(n).

q Suchen, Minimum, Maxium und Nachfolger sind in O(h), wobei h die Höhedes Binary Search Trees ist.

Ü Auf AVL Trees benötigen sie daher O(lg n) Zeit.


AVL TreeManipulation

Algorithmen, die auf AVL Trees zugeschnitten sind:



Jedes Einfügen oder Löschen eines Knotens kann Seiteneffekte haben:

q Einfügen / Löschen eines Knotens kann die Höhe seiner Vorfahren ändern.

q Das ändert ihren jeweiligen Balancefaktor und verletzt eventuell dieAVL-Bedingung.

Ü Der AVL Tree muss gegebenenfalls rekonfiguriert werden.


AVL TreeManipulation: Rotation [Animation]

x

y

y

x α

β γα β

γLeftRotate(T,x)

RightRotate(T,y)

�

�

q Grundlegende Rekonfigurationsoperation für Binary Search Trees.

q Hält die Binary Search Tree-Bedingung aufrecht.Ändert die Reihenfolge einer In-Order-Traversierung nicht.

q Rechts- und Linksrotation sind inverse Operationen zueinander.


https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/31/Tree_rotation_animation_250x250.gif

AVL TreeManipulation: Rotation

Algorithmus: Left Rotate.

Eingabe: T . Binary Search Tree.x. Wurzel eines Teilbaums von T , wobei x.right 6= NIL

Ausgabe: Rekonfigurierter Binary Search Tree.

LeftRotate(T, x)1. y = x.right2. x.right = y.left3. IF y.left 6= NIL THEN4. y.left .parent = x5. ENDIF6. y.parent = x.parent7. IF x.parent == NIL THEN8. T.root = y9. ELSE IF x == x.parent .left THEN

10. x.parent .left = y11. ELSE12. x.parent .right = y13. ENDIF14. y.left = x15. x.parent = y

Beispiel:

7

11

9 18

14

12 17

19

22

20

x

y

Laufzeit:

q T (n) = O(1)


AVL TreeManipulation: Rotation

Algorithmus: Left Rotate.

Eingabe: T . Binary Search Tree.x. Wurzel eines Teilbaums von T , wobei x.right 6= NIL

Ausgabe: Rekonfigurierter Binary Search Tree.

LeftRotate(T, x)1. y = x.right2. x.right = y.left3. IF y.left 6= NIL THEN4. y.left .parent = x5. ENDIF6. y.parent = x.parent7. IF x.parent == NIL THEN8. T.root = y9. ELSE IF x == x.parent .left THEN

10. x.parent .left = y11. ELSE12. x.parent .right = y13. ENDIF14. y.left = x15. x.parent = y

Beispiel:

7

18

19

14

12 17

22

20

11

9

x

y

Laufzeit:

q T (n) = O(1)


AVL TreeManipulation: Einfügen

Algorithmus: AVL Insert.

Eingabe: T . AVL Tree.z. Einzufügender Knoten mit Schlüssel k.

Ausgabe: Um z erweiterter AVL Tree.






AVLInsert(T, z)1. TreeInsert(T, z)

2. AVLInsertFixup(T, z.parent)






AVLInsert(T, z)1. TreeInsert(T, z)

2. AVLInsertFixup(T, z.parent)

Beispiel:

14

15

11

2

1 7

5

4

8

z



Algorithmus: AVL Insert Fixup.

Eingabe: T . Potentiell invalider AVL Tree.x. Elter des eingefügten Knotens z.

Ausgabe: Valider AVL Tree.


AVL TreeManipulation: Einfügen [Löschen]

Algorithmus: AVL Insert Fixup.

Eingabe: T . Potentiell invalider AVL Tree.x. Elter des eingefügten Knotens z.


AVLInsertFixup(T, x):

1. Aktualisiere den Balancefaktor bf (x) von x.2. Fallunterscheidung:

(a) bf(x) = 0: Zuvor bf(x) = ±1; keine Höhenveränderung. Terminiere.(b) bf(x) = ±1: Fahre mit x = x.parent bei Schritt 1 fort.(c) bf(x) = ±2: Fahre bei Schritt 3 fort.

3. Fallunterscheidung:(a) bf(x) = −2 und bf(x.left) = −1: RightRotate(x)(b) bf(x) = −2 und bf(x.left) = +1: LeftRotate(x.left), dann RightRotate(x)(c) bf(x) = +2 und bf(x.right) = −1: RightRotate(x.right), dann LeftRotate(x)(d) bf(x) = +2 und bf(x.right) = +1: LeftRotate(x)



Fall 3a:

A

B -2

-1

α β

z

h + 1h

γ

h

q Wenn Knoten B nach Einfügen von Knoten z den Balancefaktor -2 aufweist

– war er zuvor unbalanciert mit Faktor -1.– war sein linkes Kind A zuvor balanciert.

Ü Wenn Knoten A Faktor -1 aufweist, stellt eine Rechtsrotation über B dieBalance für A und B wieder her.

Ü Die Tiefe des Teilbaums bleibt unverändert: Elterknoten bleiben balanciert.



Fall 3a:

A

B -2

-1

α β

z

h + 1h

γ

h

A

B

0

0α

z

h + 1γ

h

β

h

�







Fall 3b:

A

B

C

δ

γ

h - 1

β

z

h

hh

α

-2

+1

-1

q Wenn Knoten A Faktor +1 aufweist, genügt eine einfache Rotation nicht.

Ü Durch eine vorherige Linksrotation über A, gelingt die Herstellung einesZustands analog zu Fall 3a.

Ü Eine anschließende Rotation über Knoten C stellt die Balance wieder her.Dieses Vorgehen wird als „Doppelrotation“ bezeichnet.

Ü Die Tiefe des Teilbaums bleibt unverändert: Elterknoten bleiben balanciert.ADS:V-71 Suchen © POTTHAST 2019


Fall 3b:

A

B

C

δ

γ

h - 1

β

z

h

hh

α

-2

+1

-1 A

B

C

γ

h - 1β

z

hh

α

�

δ

h

-2

-2






Fall 3b:

A

B

C

δ

γ

h - 1

β

z

h

hh

α

-2

+1

-1 A

B

C

γ

h - 1β

z

hh

α

�

δ

h

-2

-2 A

B

C

δ

h

γ

h - 1

β

z

hh

α

�

0 +1

0





Bemerkungen:

q Fälle 3c und d sind symmetrisch zu den Fällen 3a und b und können dementsprechendanalog, durch Vertauschen von „Links“ und „Rechts“, gelöst werden.

q Nach dem Einfügen muss maximal eine (Doppel-)Rotation durchgeführt werden.

q Das Einfügen des (n+ 1)-ten Knotens in einen AVL-Baum mit n Knoten hat im Worst Caselogarithmischen Aufwand, beispielsweise wenn jede Ebene bis hinauf zur Wurzel überprüftwerden muss. Da aber hierfür die Wahrscheinlichkeit von Ebene zu Ebene nach oben hinexponentiell abnimmt, ist der reine Modifikationsaufwand (Ändern von Balance-Faktoren undRotationen) beim Einfügen im Mittel konstant. [Wikipedia]


https://de.wikipedia.org/wiki/AVL-Baum#Einf\%C3\%BCgen_(Eintragen)

AVL TreeManipulation: Löschen

Algorithmus: AVL Delete.

Eingabe: T . AVL Tree.z. Zu löschender Knoten.

Ausgabe: AVL Tree, beim z gelöscht wurde.






AVLDelete(T, z)1. x = TreeDelete(T, z)

2. AVLDeleteFixup(T, x)

q Modifikation von TreeInsertRückgabe des Elters des gelöschtenKnotens z bzw. des vormaligen Elters desNachfolgers y, durch den z ersetzt wird.






AVLDelete(T, z)1. x = TreeDelete(T, z)

2. AVLDeleteFixup(T, x)

q Modifikation von TreeInsertRückgabe des Elters des gelöschtenKnotens z bzw. des vormaligen Elters desNachfolgers y, durch den z ersetzt wird.

Beispiel:

11

10

5 12

7

20

21

23

25

246 15

z

x


AVL TreeManipulation: Löschen [Löschen]

Algorithmus: AVL Delete Fixup.

Eingabe: T . Potentiell invalider AVL Tree.x. Elterknoten des gelöschten Knotens z, bzw. seines Nachfolgers.



AVL TreeManipulation: Löschen [Einfügen]

Algorithmus: AVL Delete Fixup.

Eingabe: T . Potentiell invalider AVL Tree.x. Elterknoten des gelöschten Knotens z, bzw. seines Nachfolgers.


AVLDeleteFixup(T, x):

1. Aktualisiere den Balancefaktor bf (x) von x.2. Fallunterscheidung:

(a) bf(x) = 0: Fahre mit x = x.parent bei Schritt 1 fort.(b) bf(x) = ±1: Zuvor bf(x) = 0; keine Höhenveränderung. Terminiere.(c) bf(x) = ±2: Fahre bei Schritt 3 fort.

3. Fallunterscheidung:(a) bf(x) = −2 und bf(x.left) ∈ {−1, 0}: RightRotate(x)(b) bf(x) = −2 und bf(x.left) = +1: LeftRotate(x.left), dann RightRotate(x)(c) bf(x) = +2 und bf(x.right) = −1: RightRotate(x.right), dann LeftRotate(x)(d) bf(x) = +2 und bf(x.right) ∈ {0,+1}: LeftRotate(x)

4. Sei x = x.parent ; falls bf (x) = 0, fahre bei Schritt 1 fort.ADS:V-79 Suchen © POTTHAST 2019


Fall 3a:

A

B -2

-1|0

α

h

β

hz

γ

h - 1

q Wenn Knoten B nach Löschen von Knoten z den Balancefaktor -2 aufweist

– war er zuvor unbalanciert mit Faktor -1.– wurde aus dem rechten Teilbaum z entfernt.

Ü Wenn Knoten A Faktor -1 oder 0 aufweist, stellt eine Rechtsrotation über Bdie Balance für A und B wieder her.

Ü Die Tiefe des Teilbaums hat sich eventuell verändert: Elterknoten prüfen.



Fall 3a:

A

B -2

-1|0

α

h

β

hz

γ

h - 1

A

B

1|0

-1|0α

hγ

h - 1

�

β

h

q Wenn Knoten B nach Löschen von Knoten z den Balancefaktor -2 aufweist

– war er zuvor unbalanciert mit Faktor -1.– wurde aus dem rechten Teilbaum z entfernt.

Ü Wenn Knoten A Faktor -1 oder 0 aufweist, stellt eine Rechtsrotation über Bdie Balance für A und B wieder her.

Ü Die Tiefe des Teilbaums hat sich eventuell verändert: Elterknoten prüfen.



Fall 3b:

A

B

C

δ

h - 1

z

h - 1

α

-2

+1

±1|0

γ

h - 1

β




Ü Die Tiefe des Teilbaums hat sich verändert: Elterknoten prüfen.ADS:V-82 Suchen © POTTHAST 2019


Fall 3b:

A

B

C

δ

h - 1

z

h - 1

α

-2

+1

±1|0

γ

h - 1

β

A

B

C� -2

-1|0

-1|0

h - 1

α β

γ

h - 1

δ

h - 1





Bemerkungen:

q Fälle 3c und d sind symmetrisch zu den Fällen 3a und b und können dementsprechendanalog, durch Vertauschen von „Links“ und „Rechts“, gelöst werden.

q Nach dem Löschen müssen O(h) (Doppel-)Rotationen durchgeführt werden.

q Der Aufwand fürs Löschen ist im schlechtesten Fall logarithmisch; im Mittel aber ist erkonstant, da die Wahrscheinlichkeit für die Notwendigkeit, die Balance auf der nächsthöherenEbene überprüfen zu müssen, nach oben hin exponentiell abnimmt. [Wikipedia]


https://de.wikipedia.org/wiki/AVL-Baum#L\%C3\%B6schen_(Austragen,_Entfernen)


Beispiel:

11

10

5 12

7

20

21

23

25

246 15

z

x



Beispiel:

11

10

5 12

7

20

23

25

246 15



Beispiel:

11

10

5 12

7

20

23

25

24

6 15



Beispiel:

11

10

5 12

7

20

23

24

6 15

25



Beispiel:

116

5

7 15

12

20

23

24

10

25



Beispiel:

5 10

7

12

15

20

116

24

23 25


Red-Black TreeDefinition

Ein Red-Black Tree T (Rot-Schwarz-Baum) ist ein Binary Search Tree, dessenKnoten „gefärbt“ sind, so dass folgende Bedingungen erfüllt werden:

1. Ein Knoten ist rot oder schwarz; die Wurzel und alle Blätter sind schwarz.

2. Wenn ein Knoten rot ist, sind seine Kinder schwarz.

3. Für jeden Knoten gilt, dass all seine Pfade zu Blättern gleich viele schwarzeKnoten enthalten.

Beispiel:

NIL NIL

NIL NIL

NIL NIL NIL NILNIL

NIL NIL

NIL NIL

NIL NIL NIL NIL

NIL NIL NIL NIL

7

3

26

41

4730

28 38

35 39

17

21

2319

20

14

16

15

10

12







Beispiel:

NIL NIL

NIL NIL

NIL NIL NIL NILNIL

NIL NIL

NIL NIL

NIL NIL NIL NIL

NIL NIL NIL NIL

7

3

26

41

4730

28 38

35 39

17

21

2319

20

14

16

15

10

12


Red-Black Tree

Satz 2

Ein Red-Black Tree mit n inneren Knoten hat eine Höhe h ≤ 2 lg(n + 1) = O(lg n).

Beispiel:

NIL NIL

NIL NIL

NIL NIL NIL NILNIL

NIL NIL

NIL NIL

NIL NIL NIL NIL

NIL NIL NIL NIL

7

3

26

41

4730

28 38

35 39

17

21

2319

20

14

16

15

10

12


Red-Black Tree

Satz 2


Beweis:

Sei h(x) die Höhe eines Knotens x; der längste Pfad von x zu einem Blatt.

Beispiel:

NIL NIL

NIL NIL

NIL NIL NIL NILNIL

NIL NIL

NIL NIL

NIL NIL NIL NIL

NIL NIL NIL NIL

6

1

2 1

3

1

2

4

1

2 1

3

5

1 1

21

13

4

7

3

26

41

4730

28 38

35 39

17

21

2319

20

14

16

15

10

12


Red-Black Tree

Satz 2


Beweis:


Sei bh(x) die Schwarzhöhe (black-height) von x gemäß Bedingung 3: Die Zahl derschwarzen Knoten von x auf dem längsten Pfad zu einem Blatt (exklusive x).

Beispiel:

NIL NIL

NIL NIL

NIL NIL NIL NILNIL

NIL NIL

NIL NIL

NIL NIL NIL NIL

NIL NIL NIL NIL

3

1

1 1

2

1

1

2

1

1 1

2

3

1 1

11

12

2

7

3

26

41

4730

28 38

35 39

17

21

2319

20

14

16

15

10

12


Red-Black Tree

Satz 2


Beweis:



Behauptung 1: Jeder Knoten x mit Höhe h(x) hat Schwarzhöhe bh(x) ≥ h(x)/2.

Behauptung 2: Der Teilbaum mit Wurzel x hat ≥ 2bh(x) − 1 innere Knoten.


Red-Black Tree

Satz 2


Beweis:





Für die Wurzel x eines Red-Black Trees mit n Knoten gilt:

n ≥ 2bh(x) − 1 (Behauptung 2)

≥ 2h(x)/2 − 1 (Behauptung 1)

⇔ n + 1 ≥ 2h(x)/2

⇔ lg(n + 1) ≥ h(x)/2

⇔ 2 lg(n + 1) ≥ h(x) 2


Red-Black TreeHöhe eines Red-Black Tree


Gemäß Bedingung 2 sind keine zwei aufeinanderfolgenden Knoten auf einem Pfadvon x zu einem Blatt rot, so dass ≤ h(x)/2 Knoten rot sein können, und damit≥ h(x)/2 schwarz sein müssen. 2






Induktionsanfang:

Sei x ein Knoten mit h(x) = 0:⇒ x ist ein Blatt

⇒ bh(x) = 0

⇒ 20 − 1 = 0

≤ Zahl innerer Knotendes Teilbaums von x






Induktionsanfang:

Sei x ein Knoten mit h(x) = 0:⇒ x ist ein Blatt

⇒ bh(x) = 0

⇒ 20 − 1 = 0

≤ Zahl innerer Knotendes Teilbaums von x

Induktionsschritt:

Sei x ein Knoten mit h(x) > 0:⇒ x ist ein innerer Knoten mit 2 Kindern

⇒ Jedes rote Kind hat Schwarzhöhe bh(x),jedes schwarze Kind bh(x)− 1

⇒ Jedes Kind hat ≥ 2bh(x)−1 − 1 innere Knoten(gemäß Prämisse)

⇒ Zahl innerer Knoten des Teilbaums von x:≥ 2 · (2bh(x)−1 − 1) + 1 = 2bh(x) − 1 2


Red-Black TreeImplementierung

q Knotenorientierte Speicherung der Elemente.

q Nutzung eines Sentinel T.nil , um alle Blätter zu repräsentieren.

q Der Sentinel ist auch Elter der Wurzel.

q Die Farbe des Sentinel ist schwarz, alle anderen Attribute sind beliebig.

q Im Folgenden wird der Sentinel der Übersicht halber ausgeblendet.

Beispiel:

NIL NIL

NIL NIL

NIL NIL NIL NILNIL

NIL NIL

NIL NIL

NIL NIL NIL NIL

NIL NIL NIL NIL

7

3

26

41

4730

28 38

35 39

17

21

2319

20

14

16

15

10

12








Beispiel:

T.nil

7

3

26

41

4730

28 38

35 39

17

21

2319

20

14

16

15

10

12








Beispiel:

7

3

26

41

4730

28 38

35 39

17

21

2319

20

14

16

15

10

12


Red-Black TreeManipulation

Algorithmen, die von Binary Search Trees geerbt werden:




Laufzeit

q Traversierung ist in O(n).

q Suchen, Minimum, Maxium und Nachfolger sind in O(h), wobei h die Höhedes Binary Search Trees ist.

Ü Auf Red-Black Trees benötigen sie daher O(lg n) Zeit.


Bemerkungen:

q Bei geerbten Algorithmen müssen Referenzen zu NIL durch T.nil ersetzt werden.


Red-Black TreeManipulation

Algorithmen, die auf Red-Black Trees zugeschnitten sind:



Jedes Einfügen oder Löschen eines Knotens kann Seiteneffekte haben:

q Welche Farbe sollte ein einzufügender Knoten bekommen?– Rot: Könnte Bedingung 2 verletzen.

– Schwarz: Könnte Bedingung 3 verletzen.

q Was geschieht, wenn ein Knoten einer Farbe gelöscht wird?– Rot: Kein Problem, Bedingungen 1, 2, und 3 können nicht verletzt werden.

– Schwarz: Jede der Bedingungen könnte verletzt werden.

Ü Der Red-Black Tree muss gegebenenfalls rekonfiguriert werden.


Red-Black TreeManipulation: Einfügen

Algorithmus: Red-Black Insert.

Eingabe: T . Red-Black-Tree.z. Einzufügender Knoten mit Schlüssel k.

Ausgabe: Um z erweiterter Red-Black Tree.






RBInsert(T, z)1. TreeInsert(T, z)

2. z.left = T.nil

3. z.right = T.nil

4. z.color = RED

5. RBInsertFixup(T, z)






RBInsert(T, z)1. TreeInsert(T, z)

2. z.left = T.nil

3. z.right = T.nil

4. z.color = RED

5. RBInsertFixup(T, z)

Beispiel:

14

15

11

2

1 7

5

4

8

z

q Nach dem Einfügen wird z rot gefärbt und anschließend eventuelleVerletzungen der Red-Black Tree-Bedingungen korrigiert.

q Ersetze in TreeInsert alle Referenzen zu NIL durch T.nil .ADS:V-111 Suchen © POTTHAST 2019


Algorithmus: Red-Black Insert Fixup.

Eingabe: T . Potentiell invalider Red-Black Tree.z. Knoten, der die Invalidität verursacht.

Ausgabe: Valider Red-Black Tree.






Fallunterscheidung:

1. z ist die Wurzel von T .Färbe die Wurzel schwarz.

2. zs Elter ist schwarz.Es ist nichts zu tun.

3. zs Elter ist rot und sein Onkel y ist rot.Färbe zs Großelter rot und dessen Kinder schwarz. Fahre beim Großelter fort.






Fallunterscheidung:




4a. zs Elter ist rot und linkes Kind, zs Onkel y ist schwarz und z ist rechtes Kind.Linksrotation über zs Elter. Fahre mit zs vorigem Elter bei Fall 5a fort.

5a. zs Elter ist rot und linkes Kind, zs Onkel y ist schwarz und z ist linkes Kind.Färbe zs Elter schwarz und zs Großelter rot. Rechtsrotation über zs Großelter.






Fallunterscheidung:




4b. zs Elter ist rot und rechtes Kind, zs Onkel y ist schwarz und z ist linkes Kind.Rechtsrotation über zs Elter. Fahre mit zs vorigem Elter bei Fall 5b fort.

5b. zs Elter ist rot und rechtes Kind, zs Onkel y ist schwarz und z ist rechtes Kind.Färbe zs Elter schwarz und zs Großelter rot. Linksrotation über zs Großelter.






Fallunterscheidung:


A

B

C

D

α

β γ

δ εz

y






Fallunterscheidung:


A

B

C

D

α

β γ

δ εz

y A

B

C

D

α

β γ

δ ε

new z

�






Fallunterscheidung:


DB

A

C

α β

γ δ ε

y

z

B

A

C

D

α β

γ δ ε

new z

�






Fallunterscheidung:



A

B

C

α

β γ

δ

z

y






Fallunterscheidung:



A

B

C

α

β γ

δ

z

y B

A

C

α β

γ

δ

z

y�






Fallunterscheidung:



A

B

C

α

β γ

δ

z

y B

A

C

α β

γ

δ

z

y�

B

CA

α β γ δ

z�



RBInsertFixup(T, z)1. WHILE z.parent .color == RED DO2. IF z.parent == z.parent .parent .left THEN3. y = z.parent .parent .right4. IF y.color = RED THEN5. z.parent .color = BLACK6. y.color = BLACK7. z.parent .parent .color = RED8. z = z.parent .parent9. ELSE

10. IF z == z.parent .right THEN11. z = z.parent12. LeftRotate(T, z)13. ENDIF14. z.parent .color = BLACK15. z.parent .parent .color = RED16. RightRotate(T, z.parent .parent)17. ENDIF18. ELSE19. // THEN-clause with “right” and “left” exchanged.34. ENDIF35. ENDDO36. T.root .color = BLACK





Beispiel:

14

15

11

2

1 7

5

4

8

z





Beispiel:

14

15

11

2

1 7

5

4

8

z

y





Beispiel:

15

44

11

2

1 7

5 8

14

z

y





Beispiel:

1 5

11

7

2 8

4

14

15z

y





Beispiel:

8

15

7

2

1 5

11

14

4

z


Bemerkungen:

q Laufzeit: RBInsert und RBInsertFixup benötigen jeweils im Worst Case O(h) Laufzeit, wennwiederholt Fall 1 auftritt.

q Es werden niemals mehr als zwei Rotationen ausgeführt.


Red-Black TreeManipulation: Löschen [Binary Search Tree]

Algorithmus: Red-Black Transplant.

Eingabe: T . Red-Black Tree.u, v. Wurzeln eines Teilbaums von T


RBTransplant(T, u, v)1. IF u.parent == T.nil THEN

2. T.root = v



5. ELSE


7. ENDIF


Unterschiede zu Transplant :

q Zeile 1: Referenz zu NIL durch T.nilersetzt.

q Die Zuweisung in Zeile 8 ist nichtmehr abhängig vom Elter: Nutzungdes Sentinels.


Red-Black TreeManipulation: Löschen

Algorithmus: Red-Black Tree Delete.

Eingabe: T . Red-Black Tree.z. Zu löschender Knoten.

Ausgabe: Red-Black Tree, bei dem z gelöscht wurde.

Fallunterscheidung:

1. z hat keine Kinder.Ersetze z bei seinem Elter durch T.nil .

2. z hat ein Kind.Ersetze z bei seinem Elter durch (a) sein rechtes bzw. (b) sein linkes Kind.

3. z hat zwei Kinder.

(a) zs Nachfolger y ist sein rechtes Kind.Ersetze z durch y, wobei y die Farbe von z erhält.

(b) zs Nachfolger y ist ein anderer Knoten in seinem rechten Teilbaum.Ersetze y durch sein rechtes Kind x und ersetze z durch y, wobei y die Farbe von z erhält.

Ü Wenn z (Fälle 1 und 2) bzw. zs Nachfolger y (Fall 3) schwarz war, könnten dieRed-Black Tree-Bedingungen beim Nachfolger x von z bzw. y verletzt sein.



RBDelete(T, z)1. y = z2. yOriginalColor = y.color3. IF z.left == T.nil THEN4. x = z.right5. RBTransplant(T, z, z.right)6. ELSE IF z.right == T.nil THEN7. x = z.left8. RBTransplant(T, z, z.left)9. ELSE

10. y = TreeMinimum(z.right)11. yOriginalColor = y.color12. x = y.right13. IF y.parent == z THEN14. x.parent = y15. ELSE16. RBTransplant(T, y, y.right)17. y.right = z.right18. y.right .parent = y19. ENDIF20. RBTransplant(T, z, y)21. y.left = z.left22. y.left .parent = y23. y.color = z.color24. ENDIF25. IF yOriginalColor == BLACK THEN26. RBDeleteFixup(T, x)27. ENDIF





RBDelete „enthält“ TreeDelete.





RBDelete „enthält“ TreeDelete.Dazu kommt Code zur Vorbereitung der Korrektur vonVerletzungen der Red-Black Tree-Bedingungen.






q Hilfsvariablen y und yOriginalColor .Knoten, der fallabhängig gelöscht oderverschoben wird und seine initiale Farbe.

q Hilfsvariable x.Knoten, der y ersetzt; ys einziges Kind oderT.nil . x ist Ursache für mögliche Verletzungen.

q Fälle 1 und 2.y = z wird durch x ersetzt.

q Fall 3.y wird durch x ersetzt, an die Stelle zs verscho-ben und erhält zs Farbe.






q Hilfsvariablen y und yOriginalColor .Knoten, der fallabhängig gelöscht oderverschoben wird und seine initiale Farbe.

q Hilfsvariable x.Knoten, der y ersetzt; ys einziges Kind oderT.nil . x ist Ursache für mögliche Verletzungen.

q Fälle 1 und 2.y = z wird durch x ersetzt.

q Fall 3.y wird durch x ersetzt, an die Stelle zs verscho-ben und erhält zs Farbe.

q Vorbereitung der Korrektur von x.Setzen von x.parent auf den initialen Elter von y.Betrachte die letzte Zeile von RBTransplant .



Algorithmus: Red-Black Delete Fixup.

Eingabe: T . Potentiell invalider Red-Black-Tree.x. Knoten, der die Invalidität verursacht.

Ausgabe: Valider Red-Black-Tree.

Fallunterscheidung:

1. x ist Wurzel von T oder x ist rot.Färbe x schwarz.

2. x Geschwister w ist rot.Färbe w schwarz und x Elter rot. Rotation über x Elter. Fahre bei Fällen 3, 4 oder 5 fort.

3. x Geschwister w ist schwarz und beide Kinder von w sind schwarz.Färbe w rot und fahre bei x Elter fort.

4a. x ist linkes Kind, Geschwister w schwarz, ws Kinder links rot, rechts schwarz.Färbe ws linkes Kind schwarz und w rot. Rechtsrotation über w. Fahre bei Fall 5a fort.

5a. x ist linkes Kind, Geschwister w schwarz, ws rechtes Kind rot.Färbe w wie x Elter und den Elter und ws rechtes Kind schwarz. Linksrotation über x Elter.Fahre bei x = T.root fort.






Fallunterscheidung:

1. x ist Wurzel von T oder x ist rot.Färbe x schwarz.

2. x Geschwister w ist rot.Färbe w schwarz und x Elter rot. Rotation über x Elter. Fahre bei Fällen 3, 4 oder 5 fort.


4b. x ist rechtes Kind, Geschwister w schwarz, ws Kinder rechts rot, links schwarz.Färbe ws rechtes Kind schwarz und w rot. Linksrotation über w. Fahre bei Fall 5b fort.

5b. x ist rechtes Kind, Geschwister w schwarz, ws linkes Kind rot.Färbe w wie x Elter und den Elter und ws linkes Kind schwarz. Rechtsrotation über x Elter.Fahre bei x = T.root fort.






Fallunterscheidung:

2. x Geschwister w ist rot.Färbe w schwarz und x Elter rot. Linksrotation über x Elter. Fahre bei Fällen 3, 4 oder 5 fort.

Ü x Geschwister ist schwarz, Reduktion auf nachfolgende Fälle.

A

B

D

C Eα β

γ δ ε ζ

wx






Fallunterscheidung:

2. x Geschwister w ist rot.Färbe w schwarz und x Elter rot. Linksrotation über x Elter. Fahre bei Fällen 3, 4 oder 5 fort.

Ü x Geschwister ist schwarz, Reduktion auf nachfolgende Fälle.

A

B

D

C Eα β

γ δ ε ζ

wx

A

B

C

D

E

α β γ δ

ε ζx new w

�






Fallunterscheidung:


Ü Ein schwarzer Knoten weniger pro Teilbaum; schwarzer Chip zu B propagiert.

A

B

D

C Eα β

γ δ ε ζ

wx

c






Fallunterscheidung:


Ü Ein schwarzer Knoten weniger pro Teilbaum; schwarzer Chip zu B propagiert.

A

B

D

C Eα β

γ δ ε ζ

wx

c

A

B

D

C Eα β

γ δ ε ζ

cnew x

�






Fallunterscheidung:


Ü Reduktion auf Fall 5a.

A

B

D

C Eα β

γ δ ε ζ

wx

c






Fallunterscheidung:


Ü Reduktion auf Fall 5a.

A

B

D

C Eα β

γ δ ε ζ

wx

c

E

A

B

C

Dα β γ

δ

ε ζ

x

c

new w�






Fallunterscheidung:


Ü Zusätzlicher schwarzer Knoten erzeugt und Teilbaum balanciert.

A

B

D

C E

γ δ ε ζ

c’α β

wx

c






Fallunterscheidung:


Ü Zusätzlicher schwarzer Knoten erzeugt und Teilbaum balanciert.

A

B

D

C E

γ δ ε ζ

c’α β

wx

c

A

B

C

D

E

c’

new x = T.rootγ δ

ε ζ

α β

c

�


Bemerkungen:

q Wenn y schwarz war, muss der Baum so rekonfiguriert werden, dass ein anderer Knotenschwarz gefärbt werden kann, um die vorherige Schwarzhöhe auf allen Pfaden, die ybeinhaltet haben, wieder herzustellen.

q Um dies auszudrücken, erhält x einen schwarzen Chip. Dieser Chip dient nur derAnschaulichkeit; er wird im Code nicht explizit kodiert, sondern implizit durch die Variable x:Jeder Knoten, auf den x zeigt, hat aktuell den Chip.

q Fälle 3-5 rekonfigurieren den Baum mit dem Ziel, den schwarzen Chip in Richtung Wurzel zupropagieren bzw. zu einem roten Knoten. Keiner der Fälle ändert etwas an der Verteilung derSchwarzhöhen im Baum.

q Es ist leicht, zu prüfen, dass keine der Rekonfigurationen die Anzahl der schwarzen Knotenauf Pfaden von der Wurzel der gezeigten Teilbäume zu den Teilbäumen α, β, . . . , ζ ändert: Esgenügt, für jeden Pfad die Zahl der schwarzen Knoten zu zählen, wobei c und c′ mit derHilfsfunktion count(c) gezählt werden, wobei count(RED) = 0 und count(BLACK ) = 1 gilt.

q Ein weißer Knoten ist ein Knoten mit beliebiger Färbung c.

q Laufzeit: RBDelete und RBDeleteFixup benötigen jeweils im Worst Case O(h) Laufzeit, wennwiederholt Fall 3 auftritt.

q Es werden niemals mehr als drei Rotationen ausgeführt.


Bemerkungen: (Fortsetzung)

q RBDeleteFixup(T, x)1. WHILE x 6= T.root AND x.color == BLACK DO2. IF x == x.parent .left THEN3. w = x.parent .right4. IF w.color == RED THEN5. w.color = BLACK6. x.parent .color = RED7. LeftRotate(T, x.parent)8. w = x.parent .right9. ENDIF10. IF w.left .color == BLACK AND w.right .color == BLACK THEN11. w.color = RED12. x = x.parent13. ELSE14. IF w.right .color == BLACK THEN15. w.left .color = BLACK16. w.color = RED17. RightRotate(T,w)18. w = x.parent .right19. ENDIF20. w.color = x.parent .color21. x.parent .color = BLACK22. w.right .color = BLACK23. LeftRotate(T, x.parent)24. x = T.root25. ENDIF26. ELSE27. // THEN-clause with “right” and “left” exchanged.28. ENDIF29. ENDDO30. x.color = BLACK


Red-Black TreeBinary Search Tree Hierarchy

Binary Search Trees

Red-Black Trees

AVL Trees

CompleteBinary Search Trees

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Kapitel ADS:V - webis.de · Binary Search Tree Implementierung q Link-basierter Binärbaum...

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