Comment. Math. Helvetici 39(51)527-546 Birkh~iuser Verlag, Basel

Klassen von Moduln fiber Dedekind-Ringen und Satz von Stein-Serre

von MARTIN HUBER

Einleitung

1. Es sei R ein kommutativer Ring (kein K6rper) und A ein beliebiger R-Modul. Wir untersuchen die folgende Frage: Wie weit kann aus Eigenschaften des dualen Moduls HomR ( A , R ) und des von ihm "abgeleiteten" Moduls ExtR (A, R) auf entsprechendr Eigenschaften von A geschlossen werden? Im Fall R = Z (ganze Zahlen) kennt man die Spezialf~ille:

(1) Ist Homz (A, Z) = 0 und Extz (A, Z) = 0, so ist auch A = 0, und (2) Mit Homz (A, Z) und Extz (A, Z) ist auch A endlich erzeugt (siehe [1]).

Pra iser formuliert lautet unsere Frage: Welche Klassen C yon R-Moduln besitzen die "Hom-Ext-Eigenscha[t": dass mit HomR (A, R) und ExtR (A, R) auch A zu C geh6rt? Dabei wollen wir nur Klassen C betrachten, welche beziiglich Untermoduln und Erweiterungen abgeschlossen sind (wir nennen sie SE-abgeschlossen ).

Fiir Dedekind-Ringe R k6nnen wir diese Frage weitgehend beantworten. Wir zeigen zun~ichst, dass im Falle ExtR (Q, R ) ~ 0 jede SE-abgeschlossene Klasse yon endlich erzeugten R-Moduln die Hom-Ext-Eigenschaft besitzt; dabei be- zeichnet Q den Quotientenk6rper von R. Genauer gilt

SATZ A (Theorem 2.1). Fiir einen Dedekind-Ring R sind folgende Aussagen ?iquivalent:

(a) ExtR (Q, R) ~ 0. (b) Aus HomR (A, R) = 0 und ExtR (A, R) = 0 [olgt stets A = O. (c) Sind HomR (A, R) und ExtR (A, R) endlich erzeugt, so ist auch A endlich

erzeugt. (d) Jede SE-abgeschlossene Klasse yon endlich erzeugten R-Moduln besitzt die

Hom-Ext-Eigenscha[t. (e) Jeder R-Modul A yon abziihlbarem Rang mit ExtR (A, R ) = 0 ist projektiv.

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Es gilt ExtR (Q, R ) = 0 genau fiir diejenigen Dedekind-Ringe R, welche vollst~indig sind (in der R-Topologie), solche sind von selbst (vollst~indige) dis- krete Bewertungsringe. Die durch Satz A charakterisierten Ringe sind also die nicht-vollstiindigen Dedekind-Ringe. Im Fall der abelschen Gruppen sind (a)-(e) erfiillt; die Aussage (e) ist dann bekannt als "Satz yon Stein-Serre" [2, Theorem III. 6.1].

2. Bei der Suche nach weiteren Klassen mit der Hom-Ext-Eigenschaft haben die M~ichtigkeitsbetrachtungen, welche im Fall der abelschen Gruppen zum Beweis des Satzes von Stein-Serre fiihren, den Weg gewiesen. Fiir einen nicht- vollst~indigen Dedekind-Ring R und fiir eine beliebige Kardinalzahl No ~> IRI wird die Klasse C(t%) aller R-Moduln mit Miichtigkeit <N~ untersucht (dabei ist [RI die M~ichtigkeit von R). Dies fiihrt zum zweiten Hauptresultat der Arbeit:

SATZ B (Thedrem 3.3). Es sei R e i n beliebiger nicht-vollstiindiger Dedekind- Ring und N~ eine Kardinalzahl mit der Eigenschaft

(*) Fiir jede Kardinalzahl c ist mit 2c~<N,~ auch [RiCeR,,. Dann besitzt jeder R-Modul A mit [Homa (A, R)[~R~ und [EXtR (A, R)[<~R,, ein Erzeugendensystem S mit 2 Isl <~ N,~.

Die Bedingung (*) ist fiir jede Kardinalzahl ~,~/> 2 IRI erfiillt. Damit erhalten wir

(KOROLLAR 3.4). Ist R ein nicht-vollstiindiger Dedekind-Ring, so gilt fiir jeden R-Modul A die Abschiitzung

2tA1~<2 ml IHOmR (A, R)I [EXtR (A, R)[.

Fiir die Klassen C(N=) erh~ilt man insbesondere:

SATZ C (Theorem 3.5). Ist R ein nicht-vollstiindiger Dedekind-Ring, so besitzt die Klasse C(N~) f/it jede Kardinalzahl ~ >I 2 IRt die Hom-Ext-Eigenschaft.

3. Im vierten Paragraphen wird R stets als abz~hlbarer Dedekind-Ring vorausgesetzt. Solche Ringe sind nicht-vollst/indig und haben den Vorteil, dass die Bedingung (*) fiir jede unendliche Kardinalzahl erfiillt ist. Aus Satz B folgt damit

SATZ D (Theorem 4.1). Ist Re in abziihlbarer Dedekind-Ring, so besitzt jeder R-Modul A ein Erzeugendensystem S mit

21sl~ IHOmR (A, R)[ IEXtR (A, R) I.

Moduln fiber Dedekind-Ringen 529

Im Hinblick auf unsere Fragestellung interessieren vor allem die beiden folgenden Korollare:

SATZ E (Theorem 4.2). Ist R e i n abziihlbarer Dedekind-Ring, so besitzt die Klasse C0'C,,) fiir jede unendliche Kardinalzahl N,, die Hom-Ext-Eigenschaft.

SATZ F (Theorem 4.3). Ist R e i n abzgthlbarer Dedekind-Ring, so besitzt jede SE-abgeschlossene Unterklasse yon C(2 ~~ die Hom-Ext-Eigenschaft.

Als bemerkenswertes Nebenprodukt erhalten wir eine Aussage fiber R-Moduln, welche gquivalent ist zur Negation der speziellen Kontinuumshypothese 2 ~~ NI:

(KOROLLAR 4.4). Folgende Aussagen sind iiquivalent: (i) 2~o > b~l (ii) Jeder R-Modul A mit [HomR (A, R)I<~N1 und IExtR (A, R)I<<-~I ist end-

lich erzeugt.

Wir wissen nicht, ob die Klasse aller Torsionsmoduln ffir einen abz/ihlbaren Dedekind-Ring R die Hom-Ext-Eigenschaft besitzt. Immerhin k6nnen wir zeigen, dass die "Torsionsklassen" T(2 s~) aller Torsionsmoduln mit Machtigkeit <2 ~' und T(P) aller Torsionsmoduln mit verschwindender P-Prim/ir-Kom- ponente (f/ir ein Primideal P) diese Eigenschaft haben (siehe Abschnitt 4.4).

Es sei noch bemerkt, dass sich die Resultate dieser Arbeit auf R-projektive Komplexe anwenden lassen. Neben Beziehungen zwischen Homologie- und Cohomologiemoduln mit Koeffizienten in R erh/ilt man auch Kriterien fiir das Verschwinden von Homologie- und Cohomologiemoduln mit Koeffizienten in R/P k und Q. Die ausffihrliche Formulierung findet sich in der vorl~iufigen Fassung [3] der vorliegenden Arbeit.

4. Satz A ist nur teilweise neu; die Aequivalenz der Aussagen (a), (b) und (e) steht schon bei Nunke [9]. Unser Beweis des "Satzes von Stein-Serre" ist aber vom dort angegebenen verschieden (vgl. 2.3 unserer Arbeit). Hingegen sind die S~tze B, C, D, E und F neu--auch im Fall der abelschen Gruppen, mit Ausnahme eines Spezialfalls von Satz D, welcher in [10, Theorem 9] enthalten ist.

Unser Vorgehen beim Beweis von Satz B, der die Grundlage fiir die S~itze C, D, E und F bildet, kann kurz so skizziert werden: Zun~ichst zeigen wir, dass HomR (A, Q) derselben Miichtigkeitsschranke unterliegt wie HOmR (A, R) und ExtR (A, R); hiefiir wird die Vektorraumstruktur des Moduls A/PA (fiir ein Primideal P) herangezogen. Die weiteren wesentlichen Beweisschritte sind die Auswahl des Erzeugendensystems S und das "Abz~ihlen" der R- Homomorphismen von A in Q/R mithilfe des Systems S.

530 MARTIN HUBER

Dass wir R als Dedekind-Ring annehmen, hat folgende Griinde: Wir verwen- den wesentlich, dass Q/R ein injektiver R-Modul ist und die Eigenschaft besitzt, dass fiir jeden R-Modul A ~ 0 auch HOmR (A, Q/R) ~ 0 ist. Die Injektivit~it von Q/R bewirkt u.a., dass der Funktor ExtR (--, R) rechtsexakt ist. Ferner beniitzen wir Strukturs~itze fiir R-Torsionsmoduln, welche darauf beruhen, dass die Ideale eines Dedekind-Rings invertierbar sind (vgl. 1.1). Einige Resultate gelten auch fiir allgemeinere kommutative Ringe, die an anderer Stelle diskutiert werden sollen.

Die vorliegende Arbeit ist ein iiberarbeiteter Auszug aus meiner Disserta- tion.* Herrn Professor Beno Eckmann m6chte ich meinen herzlichsten Dank ausdriicken; sein Interesse und seine Effahrung haben sehr viel zur Ver- wirklichung dieser Arbeit beigetragen. Daneben habe ich auch von den Herren Prof. Urs Stammbach und Peter Neumann wertvolle Anregungen erhalten, fiir die ich an dieser Stelle ebenfalls danken m/Schte.

1. Moduln fiber Dedekind-Ringen

Dieser Paragraph hat vorbereitenden Charakter. Die Beweise fiir die in 1.1 zusammengestellten Aussagen sind in [13], [11] und [6] zu finden. Die Abschnitte 1.2 und 1.3 handeln von den Funktoren HomR und | ES werden Hilfss~itze hergeleitet, die auf die Fragestellung unserer Arbeit zugeschnitten sind.

1.1. Es sei R ein Integrit~itsbereich mit Quotientenk6rper Q. Ist I # 0 ein Ideal von R, so ist {q e Q [ qIc_ R} ein R-Modul, der mit 1-1 bezeichnet wird. Gilt I-1I = R, so heisst I invertierbar. Ein Dedekind-Ring ist ein Integrit~itsbereich mit der Eigenschaft, dass jedes Ideal I S 0 invertierbar ist. Invertierbare Ideale sind endlich erzeugt, also sind Dedekind-Ringe Noethersch. Diese besitzen ferner die Eigenschaft, dass jedes Primideal P ~ 0 maximal ist.

Ist P ein Primideal eines Integrifiitsbereiches R, so bilden die Elemente der Form r/s, re R, s ~ R - P , einen Unterring von Q, der mit Re bezeichnet wird. Der Ring Rp ist lokal mit maximalem Ideal PRp; man nennt Rp die P- Lokalisierung von R. Ein Hauptidealbereich mit genau einem Primideal P ~ 0 heisst diskreter Bewertungsring. Ist R ein Dedekind-Ring, so ist fiir jedes Primideal P ~ 0 die P-Lokalisierung Rp ein diskreter Bewertungsring.

Ein Ideal I S 0 ist genau dann invertierbar, wenn es als R-Modul projektiv ist; Dedekind-Ringe k6nnen also charakterisiert werden als diejenigen Integrit~itsbereiche, fiir welche jedes Ideal projektiv ist.

* ETH Ziirich, Dezember 1975; vervielf~tigt in [3].

Moduln fiber Dedekind-Ringen 531

Von nun an sei R immer ein Dedekind-Ring mit Quotientenk6rper Q ~ R. Der Torsionsuntermodul eines R-Moduls A werde mit tA beziechnet. Unter der Ordnung eines Elements a e A verstehen wir das Ideal O(a) = {r e R Ira = 0}. Die P-(Primiir-)Komponente teA (fiir ein Primideal P # 0) des R-Moduls A besteht aus denjenigen Elementen von A, deren Ordnung eine Potenz von P ist. Gilt teA = A, so heisst A ein P-Primiirmodul. Man nennt einen Modul A beschr~nkt, falls es ein r e R, r~ 0, gibt, derart dass rA = 0 ist. Fiir R-Torsionsmoduln gelten folgende Strukturs~itze:

(1.1a) Jeder Torsionsmodul ist die direkte Summe seiner P-Komponenten (wo P die Menge aller Primideale durchl~iuft).

(1.1b) Jeder P-Primiirmodul besitzt eine Re-Modulstruktur, welche die gegebene R-Struktur fortsetzt.

Da die Ringe Re Hauptidealbereiche sind, folgt

(1.1c) Jeder beschriinkte R-Modul ist eine direkte Summe yon zyklischen Torsionsmoduln.

Jeder R-Modul A besitzt einen maximalen teilbaren Untermodul dA; ist dA = 0, so heisst A reduziert. Ein R-Modul ist genau dann teilbar, wenn er injektiv ist. Jeder injektive R-Modul ist eine direkte Summe von unzerlegbaren injektiven R-Moduln; diese sind entweder isomorph zu Q oder zu R(P~), der injektiven Hiille yon R/P (fiir ein Primideal P ~ 0). Ist I ~ 0 ein Ideal yon R, so schreiben wir I - " f/ir (i-1)n; die Vereinigung U~=~ I - " ist ein Unterring von Q. Ist P ein Primideal, so wird U ~=1 p-n mit Qp bezeichnet. Ein R-Modul A heisst P-teilbar, falls PA = A ist; z.B. ist Qp als R-Modul P-teilbar. Ist ein Modul P-teilbar f/ir jedes Primideal P # 0, so ist er teilbar.

Ein Untermodul B des R-Moduls A heisst rein, wenn fiir jedes r e R die Gleichung rA fq B = rB erf/illt ist. Ist A torsionsfrei, so ist ein beliebiger Durch- schnitt von reinen Untermoduln wieder rein. Im Hinblick darauf existiert zu jeder Teilmenge S e i n e s torsionsfreien R-Moduls A ein kleinster reiner Unter- modul, der S enth~ilt, n~imlich der Durchschnitt aller reinen Untermoduln, welche S enthalten. Dieser besteht genau aus denjenigen Elementen von A, welche von S linear abh~ingig sind.

1.2 Es sei R immer ein Dedekind-Ring, und A, B seien R-Moduln. Im gegenw~irtigen Abschnitt befassen wir uns mit den Funktoren HomR und ExtR. Jeder Quotient eines injektiven (= teilbaren) R-Moduls ist wieder injektiv. Dies bewirkt, dass der Funktor ExtR ( - , - ) in beiden Argumenten rechsexakt ist.

Folglich ist jeder Untermodul eines projektiven Moduls projektiv, d.h. die globale Dimension von R ist = 1.

5 3 2 MARTIN HUBER

Wichtige Hilfsmittel fiir unsere Betrachtungen sind die durch

O-~ R -~ Q--~ Q/R --~ O bzw. O-~ tA --~ A --~ A / t A --~ O

induzierten exakten Hom-Ext-Folgen

(1.2a) 0 ~ HomR (A, R) --~ HomR (A, Q) -~ HomR (A, Q/R) --~ExtR (A, R) (1.2b) 0 --~ HomR(A/ tA, R) ~ HomR(A, R) -~ HomR(tA, R) = 0 --~

ExtR (A/ tA, R) ~ Extr~ (A, R) --* ExtR (tA, R) --~ O.

Ist A ein Torsionsmodul, so ist HomR (A, Q)= 0, also

HomR (A, Q/R)~-ExtR (A, R).

Wir bezeichnen mit r gleichzeitig ein Ringelement und den durch a~--~ ra definierten Endomorphismus des R-Moduls A. Die durch A - ~ A bzw. B ~ B induzierten Abbildungen

ExtR (A, B) '* '* , ExtR (A, B) bzw. ExtR (A, B) , Exta (A, B)

stimmen mit dem Endomorphismus r von ExtR (A, B) iiberein.

PROPOSITION 1.3. Es seien A und B R-Moduln.

(a) Ist A torsionsfrei und B beliebig, so ist ExtR (A, B) teilbar. (b) Ist A teilbar und B torsionsfrei, so ist ExtR (A, B) torsionsfrei.

Beweis. (a) Ist A torsionsfrei, so ist A 2., A f/ir jedes re R, r# 0, monomorph. Dann ist E x t a ( A , B ) 4 E x t R ( A , B ) f/Jr jedes r e R , r#'O, epimorph, dh. ExtR (A, B) ist teilbar.

(b) Es sei r e R, r# 0; da B torsionsfrei ist, induziert B _z~ B eine exakte Folge

HomR (A, B/rB) ~ ExtR (A, B) 2., ExtR (A, B).

Nun ist A teilbar und B/rB beschr~inkt, also gilt HomR (A, B/rB)= 0. Dann ist ExtR (A, B) 4 Exta (A, B) monomorph. Dies gilt fiir alle re R, r# 0; also ist ExtR (A, B) torsionsfrei.

Moduln fiber Dedekind-Ringen

LEMMA 1.4. Ist I # 0 ein Ideal yon R, so gilt ExtR (R/I, R ) = R / L

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Beweis. Wit betrachten das Diagramm

R _c I -x

0 --~ Homa (R, R) --* Homa (/, R) ~ ExtR (R/L R) ~ 0

Die Abbildung f sei gegeben durch f(q): r~-~qr, re R, q ~ I -x. Dann kommutiert das Diagramm, und die untere Zeile ist exakt. Bekanntlich ist f ein Isomorphis- mus; also ist ExtR (R/I, R)-~ I-X/R, und nach [9, Lemma 4.4] gilt I-X/R-~ R/I.

PROPOSITION 1.5. Fiir einen endlich erzeugten R-Modul A gilt:

(a) A = t A ~ B fiir einen gewissen Untermodul B yon A. (b) EXtR (A, R)~- tA. (c) Es gibt einen Monomorphismus B~--~HOmR (A, R).

Die Aussage (a) ist bekannt; (b) folgt aus (a), (1.1c) und Lemma 1.4.

Beweis von (c). Als endlich erzeugter torsionsfreier R-Modul ist B Unter- modul eines endlich erzeugten freien R-Moduls F, derart dass FIB ein Torsions- modul ist. Folglich ist HOmR (F, R)--* HOmR (B ,R) monomorph; da ferner HomR (B, R)---- HomR (A, R) ist, liefert die Zusammensetzung B _c F--- HomR (F, R)~HOmR (B, R) ~ HomR (A, R) den gesuchten Monomorphismus.

LEMMA 1.6. Fiir jeden R-Modul A # O ist auch HomR (A, Q/R)#O.

Beweis. Ist a e A, a # 0 , so existiert ein Primideal P # 0 von R, derart dass O(a) _c p ist. Folglich gibt es einen Epimorphismus (a)~R/P. Da nach [9, Lemma 4.4] R/P~-P-X/R ist, kann R/P monomorph in Q/R abgebildet werden; das Bild der Zusammensetzung f:(a)---* R/P--* Q/R ist P-X/R. Nun ist Q/R injektiv; also kann f zu f : A---* Q/R erweitert werden. Mit f ist auch f # 0; folglich ist HomR (A, Q/R) # O.

LEMMA 1.7. Es sei P#O ein Primideal und A ein R-Modul mit HomR (A, R) = 0 und tp ExtR (A, R) = 0. Dann ist A P-teilbar.

Beweis. Zu 0 ~ PA ~ A --* A /PA ~ 0 geh6rt die exakte Folge

HomR (A*, R) = 0--t. HomR (PA, R) ~ ExtR (A/PA, R) ~ ExtR (A, R).

Da te ExtR (A, R) verschwindet und HomR.(PA, R) torsionsfrei ist, gilt auch

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tp ExtR (A/PA, R ) = 0 . Der Modul A/PA ist ein R/P-Vektorraum und zerf~illt daher in eine direkte Summe ~iEx Ei mit E~-~ R/P fiir a l l e i e L Mit Lemma 1.4 folgt ExtR (A/PA, R)~I-LEzE~; also ist ExtR (A/PA, R) ein P-Prim~irmodul. Da nun tp ExtR (A/PA, R) = 0 ist, muss die Indexmenge I leer sein. Also gilt A = PA, d.h. A ist P-teilbar.

1.3. Ein Modul fiber einem Dedekind-Ring ist genau dann flach, wenn er torsionsfrei ist. Nun sind Untermoduln von torsionsfreien Moduln wieder tor- sionsfrei, also ist Tor R ( - , - ) in beiden Argumenten linksexakt.

LEMMA 1.8. Es sei Pg 0 ein Primideal und A ein P-teilbarer R-Modul mit tpA = O. Dann besitzt A eine Qe-Modulstruktur, welche die gegebene R-Struktur fortsetzt.

Beweis. Da der R-Modul Qr,/R eine teilbare wesentliche Erweiterung von P-1/R und P-1/R = R/P ist, gilt Qp/R ~ R(P| Es gibt also eine exakte Folge

0 ~ Tor R (R(P~), A) ~ A ~ Qe| --* R(P~)@RA ~ O.

Nach [9, Theorem 3.2] ist Tor a (R(P~176 = 0 ; es bleibt zu zeigen, class auch R(P~176 = 0 ist.

Zu jedem b E R ( P | gibt es eine Zahl n, derart dass P ~ b = 0 ist. Da A P-teilbar ist, gilt A = P"A; also besitzt jedes a e A die Darstellung a = ~ 1 x~ai, xi e P", a~ e A, 1 <~ i ~< r. Folglich ist

b| = b| xiai = (xibC~ai) = O. i = l

Da R(P|174 yon den Elementen dieser Form erzeugt wird, gilt R(P~)| = 0.

Wie vorher bezeichnen wit die M~ichtigkeit einer beliebigen Menge bzw. eines R-Moduls A mit IA[. Da jeder endliche Integrit~itsbereich ein K6rper ist, sind die Dedekind-Ringe, die wit betrachten, stets von unendlicher M~ichtigkeit. Ist [R[ unendlich, so gilt ffir den freien R-Modul R[S] fiber der beliebigen Menge S die Gleichung [R[S]I = IRI IS].

2. Klassen yon Moduin und der Satz yon Stein-Serre

2.1. Wir erinnern daran, dass wir stets Moduln fiber einem Dedekind-Ring R betrachten, der kein K6rper ist. Die Klassen von R-Moduln, die wit im Hinblick

Moduln fiber Dedekind-Ringen 535

auf die Fragestellung der Einleitung untersuchen, haben immer gewisse Abschlusseigenschaften und sind damit den Methoden der Homologischen Algebra leicht zug~inglich. Sie stehen iibrigens in engem Zusammenhang mit den Klassen, die von Serre in [12] untersucht wurden.

Eine nichtleere Klasse C von R-Moduln nennen wir SE-abgeschlossen, falls sie den Bedingungen (S) und (E) geniigt:

(S) Ist B c _ A und A e C , so ist auch B e C .

(E) Ist 0 ~ B --~ A ~ C ~ 0 eine exakte Folge yon R-Moduln, so ist mit B ~ C

und C e C auch A ~ C.

Die meisten Klassen, die im folgenden vorkommen, erfiillen auch die Bedingung (F):

(F) Ist B ~_ A und A ~C, so ist auch A / B ~C.

Wir nennen eine nichtleere Klasse, welche (S), (E) und (F) erfiillt, wie iiblich eine Serre- Klasse.

Wir geben nun einige Beispiele von SE-abgeschlossenen Klassen. Mit Q bezeichnen wir wie immer den Quotientenk6rper von R; R ~ ist die Kategorie aller R-Moduln.

Die Klasse {0} ist eine Serre-Klasse. Die endlich erzeugten R-Moduln bilden eine Serre-Klasse.

E s sei N,~ irgendeine unendliche Kardinalzahl; dann ist die Klasse C(N~) := {A e R~IR [IAI <t%} eine Serre-Klasse.

Die Klasse aUer projektiven R-Moduln ist SE-abgeschlossen, aber keine Serre-Klasse.

Ist F:R~02--* s~lR ein linksexakter kovarianter oder ein rechtsexakter kon- travarianter Funktor, so ist die Klasse K ( F ) : = { A e R ~ I F ( A ) = O } SE-

abgeschlossen. Fiir exakte Funktoren F ist K(F) eine Serre-Klasse.

Auf diese Art k6nnen z.B. folgende Klassen beschrieben werden:

Die Klasse Taller Torsionsmoduln, es gilt offenbar T = K(Q| -) . Die Klasse T ist eine Serre-Klasse, da der Funktor Q| exakt ist.

Die Klasse aller torsionsfreien R-Moduln geh6rt zum linksexakten Funktor Tor R ( Q / R , - ) . Sie ist also SE-abgeschlossen, aber keine Serre-Klasse.

Die Klasse T(P) (fiir ein Primideal P # 0) aller Torsionsmoduln A mit tpA = 0 geh6rt zum Funktor R p | Dies folgt aus (1.1a), (1.1b) und aus der Tatsache, dass Rp ein flacher R-Modul ist.

536 MARTIN HUBER

Schliesslich bemerken wir, dass ein beliebiger Durchschnitt von SE- abgeschlossenen Klassen wieder SE-abgeschlossen ist.

2.2. Der Hauptsatz dieses Kapitels charakterisiert diejenigen Dedekind-Ringe R, fiir welche jede SE-abgeschlossene Klasse von endlich erzeugten R-Moduln die Hom-Ext-Eigenschaft besitzt. Er zeigt ferner, dass es geniigt, wenn dies fiir sehr spezielle Klassen (die Klasse {0} bzw. die Klasse aller endlich erzeugten R-Moduln) gilt. Diese Aussagen sind iiberdies ~iquivalent mit der Giiltigkeit des Satzes von Stein-Serre.

THEOREM 2.1 Fiir einen Dedekind-Ring R mit Quotientenk6rper Q sind folgende Aussagen iiquivalent:

(a) EXtR (Q, R) ~ 0. (b) Es sei A ein beliebiger R-Modul. Dann ist mit HomR (A, R ) = 0 und

ExtR (A, R) = 0 auch A = O. (c) Es sei A ein beliebiger R-Modul. Dann ist mit HomR ( A , R ) und

EXtR (A, R) auch A endlich erzeugt. (d) Es sei C eine beliebige SE-abgeschlossene Klasse yon endlich erzeugten

R-Moduln und A irgendein R-Modul. Dann geh6rt mit HomR (A, R) und EXtR (A, R) auch A zu C.

(e) "Satz yon Stein-Serre": Jeder R-Modul A yon abzi~hlbarem Rang mit EXtR (A, R) = 0 ist projektiv.

Unter dem Rang Rg A eines R-Moduls A verstehen wir die Dimension des Q-Vektorraums Q | A.

Bemerkung. Die Aussage (a) von Theorem 2.1 steht im Zusammenhang mit topologischen Eigenschaften des Rings R. Ist n~imlich R e i n beliebiger Integrit~itsbereich (kein K6rper), so verschwindet EXtR (Q, R) genau dann, wenn R in der durch die Ideale I # 0 definierten Topologie vollstiindig ist (s. [7, Korollar 6.11]). Ein vollst~indiger Dedekind-Ring ist iibrigens von selbst lokal und damit ein (vollst~indiger) diskreter Bewertungsring (vgl. [9, Korollar 7.9]). Die durch Theorem 2.1 charakterisierten Ringe sind also die nicht-vollstiindigen Dedekind-Ringe.

Wir ordnen den Beweis von Theorem 2.1 in folgender Weise an: Die Implikation ( b ) ~ (a) ist trivial; den Beweis der Umkehrung findet man bei Nunke [9, Theorem 8.5], er wird deshalb weggelassen. Im niichsten Abschnitt beweisen wir in dieser Reihenfolge: (b)~(c), (c)~(d) und (b)~(e). Der "Satz yon Stein- Serre" wird iibrigens (auf anderem Wege) in [9] ebenfalls bewiesen. Schliesslich sind die Implikationen ( d ) ~ (b) und ( e ) ~ (a) wiederum trivial.

Moduln iiber Dedekind-Ringen 537

2.3. Der Modul HomR (A, R) heisst auch der zu A duale Modul und wird mit A* bezeichnet. Die Abbildung iA:A ---> A**, welche gegeben ist durch iA(a):f~--~ f(a) fiir a ~ A und f~ A*, vermittelt eine natiirliche Transformation der Identit~it in den Funktor (-)**. Ist iA monomorph, so nennt man A torsionslos.

LEMMA 2.2. Es sei R ein Dedekind-Ring, fiir den die Aussage (b) yon Theorem 2.1 er~iillt ist. Dann ist jeder R-Modul A mit ExtR (A, R ) = 0 torsionslos.

Beweis. Es ist Ker iA={asA l f (a )=O fiir alle f sA*} . Die Inklusion K :=Ker iA C A induziert folglich die Nullabbildung A* ~ K* und somit eine exakte Folge

0---> K* ---> EXtR (A/K, R)---> ExtR (A, R) = 0.

Als Untermodul von A** ist A/K torsionsfrei; nach Prop. 1.3(a) ist dann ExtR (A/K, R) teilbar. Damit ist K* sowohl teilbar als auch reduziert, also gilt K * = 0 . Andererseits verschwindet mit ExtR (A, R) auch ExtR (K, R); aus (b) folgt K = 0 und damit die Behauptung.

Nun sind wir imstande, die Implikation (b)~(c) von Theorem 2.1 zu be- weisen: Es sei A ein R-Modul mit der Eigenschaft, dass HomR (A, R) und ExtR (A, R) endlich erzeugt sind. Wegen (1.2b) sind damit auch HomR (A/tA, R), ExtR (A/tA, R) und ExtR (tA, R) endlich erzeugt. Nach Prop. 1.3(a) ist aber EXtR (A/tA, R) auch teilbar und muss daher verschwinden. Aus Lemma 2.2 folgt dann, dass es einen Monomorphismus A/tA~-~(A/tA)** gibt. Nun ist mit (A/tA)* auch (A/tA)** endlich erzeugt, also ist auch A/tA endlich erzeugt.

Es bleibt zu zeigen, dass tA endlich erzeugt ist. Wegen (b) gilt EXtR (Q, R) ~ 0; dann ist tA nach [9, Lemma 8.2] beschr~inkt und zerf~illt daher in eine direkte Summe tA =~i~xCi yon zyklischen Torsionsmoduln C~ (vgl. (1.1c)). Nach Lemma 1.4 gilt dann Exta (tA, R)~I-L~Ci; mit Exta (tA, R) ist somit auch tA endlich erzeugt.

Beweis von (c)~(d). Es sei C eine SE-abgeschlossene Klasse yon endlich erzeugten R-Moduln und A ein R-Modul rnit H o m R ( A , R ) e C und ExtR (A, R)~C. Dann folgt mit (c), dass A endlich erzeugt ist. Nach Prop. 1.5 besitzt also A die Darstellung A = t A ~ B ; ferner ist ExtR (A, R )~ tA , und es gibt einen Monomorphismus B ~--~HomR (A, R). Weil C die Bedingungen (S) und (E) erfiillt, gilt daher tA ~ C, B ~ C und damit auch A ~ C.

Bemerkung. Wir haben nur verwendet, dass die Klasse C gegeniiber Unter- moduln und direkten Summen abgeschlossen ist. Folglich besitzt auch jede Klasse von endlich erzeugten R-Moduln, welche diesen beiden Bedingungen geniigt, die

Hom-Ext-Eigenschaft.

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Fiir unsern Beweis des Satzes von Stein-Serre ben6tigen wir zwei weitere Hilfss~itze, welche fiir beliebige Dedekind-Ringe richtig sind:

LEMMA 2.3. Jeder torsionslose R-Modul yon endlichem Rang ist projektiv.

Beweis. Jeder torsionslose R-Modul von endlichem Rang ist nach [8, Prop. 1.3] endlich erzeugt. Ein endlich erzeugter torsionsloser R-Modul ist aber ein Untermodul eines freien R-Moduls und damit projektiv.

LEMMA 2.4. Es sei A ein R-Modul yon abz~hlbarem Rang mit der Eigenschaft, dass jeder Untermodul yon endlichem Rang projektiv ist. Dann ist A projektiv.

Fiir einen Beweis siehe [9, Lemma 8.3].

Beweis des Satzes yon Stein-Serre (d.h. der Implikation ( b ) ~ (e) yon Theorem 2.1). Es sei R ein Dedekind-Ring, fiir den (b) erfiillt ist, und A ein R-Modul von abz~ihlbarem Rang mit Exta (A, R) = 0. Dann ist A nach Lemma 2.2 torsionslos, und dasselbe gilt fiir jeden Untermodul von A. Wir schliessen mit Lemma 2.3, dass jeder Untermodul von endlichem Rang projektiv ist; nach Lemma 2.4 ist dann A selbst projektiv.

3. Miichtigkeitsschranken

Im gegenw~irtigen Paragraphen beweisen wir die st~irkste Aussage, die wir fiir einen beliebigen nicht-vollstiindigen Dedekind-Ring R bei vorgegebenen M~ichtigkeitsschranken von HomR (A, R) und ExtR (A, R) iiber den R-Modul A machen kfnnen (Theorem 3.3). Alle weiteren S~itze der Arbeit (mit Ausnahme der Propositi0nen 4.6 und 4.7) sind Folgerungen daraus.

3.1. Der Beweis von Theorem 3.3 beruht auf den folgenden beiden Hilfss~itzen:

LEMMA 3.1. Es sei Re in nicht-vollstiindiger Dedekind-Ring. Dann gibt es zu jedem R-Modul A einen Untermodul B, derart dass [olgende Abschi~tzungen gelten:

(i) 2 R~B ~lHomR (A, R)I IExt~ (A, R)I; (ii) 2 Rg/~B ~< IHomR (B, R)I IExtR (A, R)I.

Moduln fiber Dedekind-Ringen 539

Beweis. Zun~ichst nehmen wir an, A sei ein torsionsfreier R-Modul; ferner sei P ~ 0 ein Primideal von R und peP, p#O. Wir definieren eine Abbildung [: A --~ PA durch a ~-* pa, a ~ A. Da der Cokern von f e in Torsionsmodul ist, gibt es eine exakte Folge

0 ~ HomR (PA, R) --* HomR (A, R);

also gilt [Homa (PA, R)I<~ IHoma (A, R) I. Andererseits induziert die Inklusion PA c_ A eine exakte Folge

HomR (PA, R) ~ Extk (A/PA, R) ~ ExtR (A, R);

daher gilt [Exta (A/PA, R)I <~ [HOmR (A, R)[ [Exta (A, R) I. Da R/P ein K6rper ist, zerf~illt A/PA (als R/P-Vektorraum) in eine direkte

Summe ~ t (R/P)~. Somit ist EXtR (A/PA, R)----1-I~z (R/P)i, und wir erhalten die Absch~itzung

(iii) 2a <~ II-J (R/P)iI <~IHoma (A, R)[ IEXtR (A, R)I

mit d = dima/e (A/PA). Nun sei X = { x ~ e A l i e I } ein Repr~isentantensystem einer R/P-Basis von

A/PA. Definieren wir dann B als den kleinsten reinen Untermodul von A, der X enth~ilt, so gilt Rg B = Rg (X)~< d und mit (iii) folgt die Abschiitzung (i).

Der Modul B ist so gew~ihlt worden, dass der Faktormodul C := A/B tor- sionsfrei und P-teilbar ist. Dann ist C nach Lemma 1.8 ein Qe-Modul. Ist Co ein maximaler freier Oe-Untermodul von C, so ist Rg Co = Rg C, und wegen der exakten Folge

ExtR (C, R) ~ Exta (Co, R) ~ 0

gilt IExta (Or, R)[ R*c <-IExta (C, R)I. Da R nicht-vollst~indig ist Homa (Qe, R) verschwindet, ist Exta (Qe, R) ~ 0; also gilt die Abschhtzung

(iv) 2 Rgc ~< IExtR (C, R)[.

Nun gibt 0 ~ B ~ A ~ C - o 0 Anlass zu einer exakten Folge

HomR (B, R) ~ ExtR (C, R) ~ ExtR (A, R).

und

5 4 0 MARTIN HUBER

Es folgt IExtR (C, R)I ~< IHomR (B, R)I IExtR (A, R)I und somit wegen (iv) die Absch~itzung (ii).

Es sei jetzt A ein beliebiger R-Modul. Wie soeben gezeigt, besitzt dann A ' : = A/tA einen Untermodul B', derart dass die Abschiitzungen (i) und (ii) gelten. Wir bezeichnen die Projektion A--*>A/tA mit 7r und definieren B : = ' r r - l (B ' ) . Dann ist tB = Ker 7rib = tA, und w induziert einen Isomorphismus A/B ~- A'/B' . Somit gilt Rg B = Rg B' und Rg A/B = Rg A'/B'; mit (1.2b) und den Absch~itzungen (i) und (ii) fiir A' und B' folgt, dass diese Abschiitzungen auch fiir A und B gelten.

LEMMA 3.2. Ist R ein beliebiger Dedekind-Ring, so besitzt jeder R-Modul A ein Erzeugendensystem S mit

2 Isl ~< IHoma (A, Q/R)I.

Beweis. Es gibt ein wohlgeordnetes Erzeugendensystem S = { a i e A [ i < a } von A, a eine Ordinalzahl, derart dass a~(ajeSl/<i) fiir alle i<a. Wir definieren fiir jedes i<ot Untermoduln A~:=(a t e S I j ~<i) und A ~ Uj<~A i (A ~ : = 0). Nach der Wahl von S sind die Moduln A d A ~ # O.

Wir werden nun eine Mengenabbildung

qb: l-I Homa (AdA ~ Q/R)-..~ Homa (A, Q/R) i<c t

konstruieren. Zu diesem Zweck sei fiir jedes i < a und fiir jede Abbildung f: A ~ -~ Q/R eine Abbildung e~(f) :A~ -~ Q/R mit e~(f)[A, o = f ausgezeichnet. Da Q/R injektiv ist, existieren solche Erweiterungen immer.

Nun sei ein Element (h~)r176 gegeben. Wir kon- struieren dazu induktiv eine Folge (~)~<~ yon Abbildungen f~ e Homa (A~, Q/R) mit f~[A~ = ~ fiir alle j < i : Wir setzen /o: = ho~Homa (Ao, Q/R). Sind die ~ fiir j < i schon vertriiglich definiert, so gibt es genau ein f ~ (A ~ Q/R) mit f~ , =~ fiir alle j < i. Wir definieren fi := ei(f~ + ~*ri e H o m a (Ai, Q/R), wo ~r~ die Projektion Ai--~>AdA ~ bezeichnet; nach Konstruktion gilt [~la~ =[j fiir alle j < i. Die derart konstruierte Folge (/~)~<~ legt nun eindeutig eine Abbildung f e Homa (A, Q/R) lest mit f[A, =~ fiir alle i < a. Wir definieren

qb:I~ Homg (AdA ~ O/R)--~ Homa (A, Q/R) durch (hi)'*f. i<ot

Wir behaupten, die Abbildung ~ sei eine Injektion. Sind (g~), (h~) zwei verschiedene Folgen aus rI~<,,Homa (AJA ~ Q/R), so gibt es einen kleinsten

Moduln tiber Dedekind-Ringen 541

Index /3 mit g~#ht3. Folglich ist cI,(gi)Jaa=,l,(h,)la~, aber es existiert ein a e A ~ - A g mit g~rra(a)# basra(a). Setzen wir g := qb(g,)[a~, so gilt daher

[~(g,)](a) = [e~(g) + g~rr~](a) # lea(g) + h~rr~](a) = [~(h,)](a),

d.h. qb(&) # dp(h,).

Da nach Lemma 1.6 HomR (A.JA ~ O/R) fiir jedes i < a nichttrivial ist, gilt

(A.,/A ~ Q/R) I <~ [HomR (A, Q/R)[. 21sl~< I1 Hom i < c t I

3.2. Das Hauptresultat dieses Paragraphen lautet nun:

THEOREM 3.3. Es sei R ein beliebiger nicht-vollstiindiger De&kind-Ring und N~ eine unendliche Kardinalzahl, welche der folgenden Bedingung geniigt:

(*) Fiir jede Kardinalzahl c mit 2c<<-~ gilt IRlC<<-t%. Dann besitzt jeder R-Modul A mit [HomR (A, R)I <<- ~ und ]ExtR (A, R)I ~< R,~ ein Erzeugendensystem S, fiir welches die Abschiitzung 21sl~ < R,, gilt.

Beweis. Nach Lemma 3.1 gibt es einen Untermodul B von A, derart dass die Abschiitzungen

(i) 2 RgB <~ IHomR (A, R)[ IExtR (A, R)I und (ii) 2 Rga/B ~< IHOmR (B, R)I IExtR (A, R)I

erffillt sind. Folglich ist 2 RSB ~Na, und wegen (*) gilt damit IR{ RSn ~N~. Ist nun Bo ein maximaler freier Untermodul von B, so ist B/Bo ein Torsionsmodul, und es gilt daher IHomR (B, R)I ~< InomR (no, R)I--IRI ~*~ und damit [HomR (B, R)I <- N,,. Daraus folgt mit (i) und (ii) die Abschiitzung 2 RgA ~<N~, und wegen (*) gilt somit IRI RgA -< ~ .

Nun betrachten wir die exakte Folge

HomR (A, Q) --+ HomR (A, Q/R) --+ ExtR (A, R).

Da HOmR (A, Q ) = Homo (A | Q, Q) ist, gelten die (Un-) Gleichungen

[HOmR (A, Q)I = IQI aga = IRI ~Sa ~ : ~ .

Wegen IExtR(A,R)I~<R,, ist dann auch IHoma(A,O/R)[<-R,~; es folgt mit Lemma 3.2, dass A ein Erzeugendensystem S besitzt, fiir welches die Absch~itzung 2 Isl ~< N,, gilt.

542 MARTIN HUBER

3.3. Ist R ein Ring von beliebiger unendlicher Miichtigkeit, so ist die Beding- ung (*) der Voraussetzung von Theorem 3.3 fiir jede Kardinalzahl N~ i>2 IRI erfiillt: Es sei c eine Kardinalzahl mit 2 c <~R,~. Ist c ~< IRI, so gilt IRIC~ 21Rl<~Ig~; ist aber c>[R[, so haben wir IRI ~ =2~-<~,,.

Als erste Folgerung aus Theorem 3.3 erhalten wir

KOROLLAR 3.4. Ist R e i n nicht-vollstiindiger Dedekind-Ring, so gilt fiir jeden R-Modul A die Abschiitzung

2tAt~ < 2 IRt [HomR (A, R)I [ExtR (A, R)[.

Beweis. Es sei N~ = 2 IRI IHomR (A, R)I IExtR (A, R)[. Nach obiger Bemerkung erfiillt N,, die Bedingung (*), und es gilt {HomR (A, R)I-<~ und IExtR (A, R)[_< N~. Dann folgt aus Theorem 3.3, dass A ein Erzeugendensystem S besitzt mit 2 Isl ~< N~. Nun ist 2 IAI ~< 21s121Rt; also gilt, wie behauptet, 2 tAI ~< N,~.

Wir erinnern daran, dass die Klasse C(N,~) aus denjenigen R-Moduln besteht, deren M~ichtigkeit kleiner als N~ ist. Es sei nun N,~>21RI; gilt dann [HomR ( A , R ) I < 2 ~- und [ExtR ( A , R ) I < 2 ~*, so folgt aus Korollar 3.4 die Abschiitzung IAI<~. Wir erhalten damit folgendes Resultat fiir die Klassen C(~a):

THEOREM 3.5. Es sei Re in beliebiger nicht-vollstiindiger Dedekind-Ring, N~ eine Kardinalzahl>~2 IRI und A ein beliebiger R-Modul. Dann geh6rt mit HomR (A, R) und ExtR (A, R) auch A zu C(I%,).

Mit andern Worten besitzt die Klasse C(N,,) fiir jede Kardinalzahl N,, 1> 2 IRI die Hom-Ext-Eigenschaft.

4. Abz~hlbare Dedekind-Ringe

4.1. Von nun an sei R immer ein abziihlbarer Dedekind-Ring (l~ein K6rper). Solche Ringe sind stets nicht-vollstiindig. Dies kann anhand der exakten Folge

HomR (Q, Q) ~ HomR (Q, Q/R) ~ Exta (Q, R)

eingesehen werden: Nach Lemma 3.2 gilt IHoma (Q, Q/R)I~2"o; ohnehin ist IHoma (O, Q/R)I ~ 2 ~~ also gilt Gleichheit. Da Homa (Q, Q) - Q abz~ihlbar ist, muss somit auch IExtR (O, R)I = 2 "~ sein; R ist also nicht-vollstiindig. Genauer gilt sogar Rg[Exta (Q, R)] = 2 "~ (dies folgt z.B. aus Lemma 4.5).

Moduln fiber Dedekind-Ringen 543

Die Beschr/inkung auf abz~ihlbare Dedekind-Ringe R hat ferner den Vorteil, dass jede unendliche Kardinalzahl N~ die Bedingung (*) der Voraussetzung von Theorem 3.3 erfiJllt: Ist c endlich, so gilt sicher IRIC~<N~; ist aber c eine unendliche Kardinalzahl mit 2 c < ~ , so gilt [RI c = 2 c ~<tg,,. Dies bewirkt, dass die Aussage von Korollar 3.4 versch/irft werden kann:

THEOREM 4.1. Es sei R ein abziihlbarer Dedekind-Ring. Dann besitzt jeder R-Modul A ein Erzeugendensystern S, derart dass folgende Abschiitzung gilt:

21st~ < IHomR (m, R)I [ExtR (m, R)I.

Beweis. Ist die Kardinalzahl [HOmR (A, R)I IExtR (A, R)[ unendlich, so erfiillt sie, wie soeben gezeigt, die Bedingung (*). Die Behauptung des Satzes ist dann eine unmittelbare Folgerung aus Theorem 3.3. Ist IHomR (A, R)I IExtR (A, R)[ hingegen endlich, so ist A nach Theorem 2.1 (d) selbst endlich. Dann gibt es ein Erzeugendensystem S mit 2 Isl~<[AI. Da nach Prop. 1.5(b) A ~ExtR (A, R) ist, gilt fiir dieses System S die Behauptung.

Es folgen daraus Verbesserungen der bisherigen Resultate betrettend Klassen mit der Hom-Ext-Eigenschaft (vgl. Theoreme 3.5 bzw. 2.1):

THEOREM 4.2. Es sei R e i n abziihlbarer Dedekind-Ring, t~, eine beliebige unendliche Kardinalzahl und A irgendein R-Modul. Dann geh6rt mit HomR (A, R) und ExtR (A, R) auch A zu C(}r

Beweis. Fiir iiberabz~ihlbare Kardinalzahlen folgt diese Aussage aus Theorem 4.1; fiir No hingegen ist sie eine Konsequenz aus Theorem 2.1(d).

THEOREM 4.3. Ist R e i n abz~thlbarer Dedekind-Ring, so besitzt jede SE- abgeschlossene Unterklasse yon C(2 ~~ die Hom-Ext-Eigenschaft.

Beweis. Es sei C eine SE-abgeschlossene Unterklasse von C(2 "~ und A ein R-Modul mit der Eigenschaft, dass HOmR (A, R) und ExtR (A, R) zu C geh6ren. Dann ist A nach Theorem 4.1 endlich erzeugt, und dasselbe gilt fiir HomR (A, R) und ExtR (A, R). Folglich sind HomR (A, R) und ExtR (A, R) in der Klasse C, aller endlich erzeugten R-Moduln, welche zu C geh6ren. Die Klasse C, ist SE-abgeschlossen; es folgt mit Theorem 2.1(d), dass auch A in C, und damit erst recht in C liegt.

4.2 Als bemerkenswertes Nebenprodukt erhalten wir Aussagen fiber R- Moduln, welche ~iquivalent sind zur Negation der speziellen Kontinuums- hypothese 2~o = }r

544 MARTIN HUBER

KOROLLAR 4.4. Ist R e i n abziihlbarer Dedekind-Ring, so sind folgende Aussagen iiquivalent:

(i) 2~o>~1. (ii) Jeder R-Modul A mit IHoma (A, R)[~<~I und [Exta (A, R)I~<~I ist end-

lich erzeugt. (iii) Jede SE-abgeschlossene Unterklasse yon C(N2) besitzt die Hom-Ext-

Eigenschaft.

Beweis. Die Implikation (i)~(ii) folgt aus Theorem 4.1, w/ihrend (ii)~(iii) analog bewiesen wird wie Theorem 4.3 mit C(N2) anstelle von C(2~~

Ftir (iii)~(i) beweisen wir die Kontraposition anhand der Klasse Ca l l e r torsionsfreien R-Moduln mit M~ichtigkeit ~< 2 so. Diese Klasse ist SE- abgeschlossen, besitzt aber die Hom-Ext-Eigenschaft nicht: Es gilt Homa (Q/R, R) = 0; ferner ist Exta (Q/R, R) nach Prop. 1.3(b) torsionsfrei, und wegen ExtR (Q/R, R ) ~ H o m a (Q/R, Q/R) gilt [Exta (Q/R, R)[~<2 ~~ Folglich geh6ren Homa (Q/R, R) und Exta (Q/R, R) zu C, aber Q/R liegt nicht in C. Nehmen wir nun an, (i) sei falsch, so ist C in C(N2) enthalten; also ist auch (iii) falsch.

4.3. Dem Beweis von Korollar 4.4 entnehmen wir, dass die Klasse aller torsionsfreien R-Moduln mit M~ichtigkeit<~ 2 so die Hom-Ext-Eigenschaft nicht besitzt. Dies widerlegt nicht nur die Vermutung, dass jede SE-abgeschlossene Klasse diese Eigenschaft besitze, sondern zeigt auch, dass die M~ichtigkeits- schranke in Theorem 4.3 nicht vergr6ssert werden kann. Hingegen bleibt die Frage often, ob ftir jede Serre-Klasse von Moduln tiber einem abz/ihlbaren Dedekind-Ring die Hom-Ext-Eigenschaft erftillt sei. Insbesondere wissen wir dies im Fall der Klasse Tal le r Torsionsmoduln nicht. Immerhin k6nnen wir zeigen, dass die Klasse T(2~1): = T f3 C(2 ~) und die Klassen T(P) aller Torsionsmoduln A mit teA = 0 die Hom-Ext-Eigenschaft besitzen. Dazu ben6tigen wir den folgen- den Hilfssatz:

LEMMA 4.5. Jeder torsionsfreie R-Modul A yon endlichem Rang ist entweder projektiv, oder es gilt Rg [ExtR (A, R)] = 2 ~~

Beweis. Ist A nicht projektiv, so gilt ExtR (A, R) # 0. Die Behauptung folgt nun aus [4, Prop. 1].

PROPOSITION 4.6. Es sei R ein abziihlbarer Dedekind-Ring und A ein beliebiger R-Modul. Dann gehiirt mit HomR (A, R) und ExtR (A, R) auch A zur Klasse T(2~).

Moduln iiber Dedekind-Ringen 545

Beweis. Aus IHOmR (A, R) [<2 ~1 und IExtR (A, R) I<2 ~1 folgt mit Theorem 4.1, dass A abz~ihlbar ist. Es bleibt zu zeigen, dass A ein Torsionsmodul ist. Mit ExtR (A, R) ist nach (1.2b) auch ExtR (A/tA, R) ein Torsionsmodul, und fiir jeden Untermodul B von A/tA ist ExtR (B, R) ein Torsionsmodul. Nach Lemma 4.5 ist somit jeder Untermodul mit endlichem Rang von A/tA projektiv. Dann ist A/tA nach Lemma 2.4 selbst projektiv. Nun gilt aber HomR (A/tA, R)~- HOmR (A, R) = 0; also muss A/tA verschwinden, dh. A ist ein Torsionsmodul.

PROPOSITION 4.7. Es sei R ein abzi~hlbarer Dedekind-Ring, P~O ein Primideal von R und A ein beliebiger R-Modul. Dann ist mit HomR (A, R) und ExtR (A, R) auch A in T(P).

Beweis. Sind HOmR (A, R) und ExtR (A, R) aus T(P), so ist A nach Lemma 1.7 P-teilbar. Dann ist auch A/tA P-teilbar und damit nach Lemma 1.8 ein Qp-Modul. Es sei nun Ao ein maximaler freier Qp-Untermodul von A/tA. Dann ist mit ExtR (A/tA, R) auch ExtR (Ao, R) ein Torsionsmodul; daraus folgt mit Lemma 4.5, dass Ao und daher auch A/tA verschwindet.

Es bleibt zu zeigen, dass tpA = 0 ist. Als direkter Summand eines P-teilbaren Moduls ist tpA selbst P-teilbar und damit teilbar, denn tpA ist ohnehin P'-teilbar ~iJr jedes nichttriviale Primideal P ' # P . Folglich ist teA~-~i~R(p~)i. Da ExtR (tpA, R) ein Torsionsmodul, ExtR (R(P~), R) hingegen torsionsfrei (nach Prop. 1.3(b)) und nichttrivial ist, muss die Indexmenge I leer sein; also gilt tpA = O.

Bemerkung. Es gibt (iiberabz~ihlbare) Dedekind-Ringe R mit der Eigenschaft, class ExtR (Q, R ) - Q ist (vgl. [5]). Fiir einen solchen Ring besitzt z.B. der torsionsfreie R-Modul A = EXtR (Q/R, R) die Eigenschaft, dass Homa (A, R) -- 0 und ExtR (A, R) ein Torsionsmodul ist. Es gibt also (iiberabz~ihlbare) nicht- vollst/indige Dedekind-Ringe, fiir welche die Klasse aller Torsionsmoduln die Hom-Ext-Eigenschaft nicht besitzt.

LITERATURVERZEICHNIS

[1] R. BIERI und B. ECKMANN, Finiteness properties of duality groups, Comment. Math. Helv. 49 (1974), 74-83.

[2] P. J. HILTON und U. STAMMBACI-I, A course in homological algebra, New York-Heidelberg-Berlin, Spdnger-Verlag 1971.

[3] M. HUaER, Klassen yon Moduln fiber Dedekindringen und Satz yon Stein-Serre, Battelle Mathematics Report No. 102, Genf 1976.

[4] C. U. JEr~SEr~, On the structure of Ext~ (A, R), Coll. Math. Soc. J. Bolyai 6, Rings, modules and radicals, Keszthely (Ungarn) 1971, 215-226.

[5] - - , On Ext~ (A, R) [or torsion-free A, Bull. Amer. Math. Soc. 78 (1972), 831-834.

546 MARTIN HUBER

[6] I. KAPLANSKY, Modules over Dedekind rings and valuation rings, Trans. Amer. Math. Soc. 72 (1952), 327-340.

[7] E. MATLIS, Cotorsion modules, Memoirs Amer. Math. Soc. 49 (1964). [8] , Reflexive domains, J. Algebra 8 (1968), 1-33. [9] R. J. NUNKE, Modules of extensions over Dedekind rings, Ill. J. Math. 3 (1959), 222-241.

[ 1 0 ] - und J. J. ROTMAN, Singular cohomology groups, J. London Math. Soc. 37 (1962), 301-306.

[11] J. J. ROTMAN, Notes on homological algebra, New York, Van Nostrand Reinhold 1968. [12] J.-P. SERRE, Groupes d'homotopie et classes de groupes ab~liens, Ann. of Math. 58 (1953),

258-294. [13] , Corps locaux, Paris, Hermann 1962.

Dr. Martin Huber Forschungsinstitut [fir Mathematik ETH- Zentrum CH-8092 Ziirich

Eingegangen den 7. Mai 1976.