Klausur 1 mit Lösung - · Klausur 1 Elektrizitätslehre und Magnetismus SS 2008 2 0. Hinweise zur...

Klausur 1mit Lösung

Elektrizitätslehre und Magnetismus(Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) (SS 08)

Wolfgang v. Soden ([email protected]) Othmar Marti ([email protected])

23. 07. 2008

Nachname:

Vorname:

Codewort:

Matrikelnummer:

Dieses wird vom Prüfer ausgefüllt:

Nr. Pmax Preal Nr. Pmax Preal1 1 11 132 1 12 113 1 13 94 1 14 95 1 15 96 1 16 87 1 17 58 1 18 49 2 19 1210 10Σ 20 Σ 80

Note:

Prüfer:

Gesamtpunktzahl:

Klausur 1 vom 23. 07. 2008 1 c©2008 University of Ulm, W. v. Soden

Klausur 1 Elektrizitätslehre und Magnetismus SS 2008 2

0. Hinweise zur Bearbeitung der Klausur

Lesen Sie bitte die folgenden Hinweise vollständig und aufmerksam durch, bevor Sie mitder Bearbeitung der Aufgaben beginnen!.

1. Als Hilfsmittel zur Bearbeitung der Klausur sind nur Schreibzeug, Taschenrechner und4 Blätter (acht Seiten, Grösse A4) mit eigener Hand in Handschrift verfasste Notizenzugelassen. Mobiltelefone müssen ausgeschaltet in einer geschlossenen Tascheoder einem geschlossenen Rucksack aufbewahrt werden!

2. Die Klausur umfasst:

a) 1 Deckblatt

b) Teil 0 (1 Seite) diese Hinweise.

c) Teil 1 (3 Seiten) mit 9 Verständnisfragen.

d) Teil 2 (3 Seiten) mit 10 Rechenaufgaben.

e) 1 Blatt zum Eintragen der Antworten der 9 Verständnisfragen.

f) 11 Blätter zum Lösen der 10 Rechenaufgaben (inklusive Diagramm zu Aufgabe 16).

3. Füllen Sie, bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen, das Deckblatt mitName, Vorname, Codewort und Matrikelnummer in leserlicher Druckschrift aus.

4. Schreiben Sie auf jedes Blatt leserlich Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer sowie -bei allenfalls nötigen Zusatzblättern - eine Seitennummer. Schönschrift beim Schrei-ben erleichtert die Korrektur. Unleserliche Teile der Klausur werden nichtgewertet.

5. Tragen Sie Ihre Antworten zu den Verständnisfragen in das vorgesehene Blatt ein.

6. Lösen Sie alle Rechenaufgaben auf den dazugehörigen Aufgabenblättern mit den entspre-chenden Aufgabennummern. Sollte der Platz nicht reichen, fügen Sie bitte zusätzlicheBlätter an, die Sie klar und eindeutig beschriften. Schreiben Sie die zugehörigen Neben-rechnungen ebenfalls auf dieses Blatt. Streichen Sie ungültige Lösungen deutlich durch.

7. Benutzen Sie bei der Berechnung von Zahlenwerten die Konstanten aus der Aufgaben-stellung bzw. der Konstantentabelle am Ende der Aufgaben, soweit angegeben.

8. Jede richtig gelöste Rechenaufgabe ergibt zwischen 4 und 13 Punkte.

Viel Erfolg!



Teil I.VerständnisfragenHier müssen Sie keine Rechnungen durchführen.

1. Widerstände 1 (1 Punkt)

Werden immer mehr Glühbirnen zu der skizzierten Kette hinzugefügt, wird die gezogene Leis-tung

a) zunehmenb) abnehmenc) gleich bleiben









4. Transformator (1 Punkt)

Elektrische Induktion ist die Grundlage für das Funktionieren des Transformators, der einfachein Klotz Eisen mit ein paar aufgewickelten Drähten ist. Wechselstrom in der Eingangs- oderPrimärspule macht das Eisen zu einem wechselnden Magneten, der in der Ausgangs- oderSekundärspule Strom «erzeugt». In den perfekten Transformator gibt man eine bestimmteSpannung und einen bestimmten Strom ein, also eine bestimmte Leistung oder Wattzahl. Ausdem Transformator muss dann dieselbe

a) Stromstärkeb) Spannungc) Leistungd) Stromstärke, Spannung und Leistunge) nichts vom obigem

kommen.

5. Eisen in Spule 1 (1 Punkt)

Eine Glühbirne wird wie gezeigt mit dicken Drähten an eine Stromquelle angeschlossen. Nach-dem ein Stück Eisen in die Drahtspule gelegt wurde, wird das Licht

a) hellerb) dunklerc) leuchtet unverändert

6. Eisen in Spule 2 (1 Punkt)

Eine Glühbirne wird wie gezeigt mit dicken Drähten an eine Stromquelle angeschlossen. Nach-dem ein Stück Eisen in die Drahtspule geschoben ist, ist das Licht

a) hellerb) dunklerc) gleich hell wie zuvor



7. Motor (1 Punkte)

Ein Gleichstrommotor dreht sich im Uhrzeigersinn, wenn Draht A mit der Plus-Klemme und Bmit der Minus-Klemme einer Batterie verbunden wird (der Motor enthält keinen Permanent-magneten). Wenn wir jetzt A mit B vertauschen, so dass B zu Plus und A zu Minus wird, danndreht sich der Motor

a) im Gegenuhrzeigersinnb) weiterhin im Uhrzeigersinn

8. Kompass und Strom 1 (1 Punkt)

Verläuft ein stromführender Draht direkt über einen Kompass, wird die Kompassnadel

a) vom Strom nicht beeinflusstb) sich in senkrechter Richtung zum Draht drehenc) sich in parallele Richtung zum Draht drehend) direkt zum Draht weisen wollen

9. Kompass und Strom 2 (2 Punkte)

Ein Draht verbindet wie skizziert zwei entgegengesetzt geladene Platten (eines Kondensators).Ein Magnetnadel-Kompass befindet sich wie gezeigt außerhalb der Platten. Wird der Schaltergeschlossen, wodurch die Platten sich über den Draht entladen können, gibt es momentaneinen Strom im Draht. Man würde daher erwarten, dass der Kompass irgendwie beeinflusstwird. Wird er das?

a) Ja, er wird beeinflusst.b) Nein, er wird nicht beeinflusst.

Begründen Sie Ihre Antwort!



Teil II.Rechenaufgaben10. Geladener Wassertropfen (10 Punkte)

Carl Friedrich Gauß beobachtet einen kugelförmigen Wassertropfen (Durchmesser d = 0,25mm),der elektrisch soweit aufgeladen wird, wie die Durchschlagsfeldstärke der umgebenden Luft(|Emax| = 30kV/cm) es erlaubt.a) Wie viel Ladung kann der Wassertropfen maximal aufnehmen?b) Wie groß muss der Betrag eines von außen angelegten homogenen elektrischen Feldes sein,um den Tropfen gegen die Schwerkraft in der Schwebe zu halten?c) Wie groß ist die Kapazität des Wassertropfens (als Kugelkondensator aufgefasst)?

11. Ladungsgleichgewicht (13 Punkte)

An den vier Ecken eines gedachten Quadrates (Kantenlänge a = 2cm) befinde sich je eineLadung q = 5 · 10−9C. Damit diese Ladungen sich nicht von ihrem Platz entfernen, wird in dieMitte des Quadrates eine negative Ladung angebracht.a) Wie groß muss diese sein, dass die Ladungen an ihren Orten bleiben?b) Was ändert sich, wenn die Kantenlänge des Quadrates doppelt so groß ist?

12. Vektorfeld - Potential (11 Punkte)

Gegeben seien zwei Vektorfelder E1 =

8x · ez

5z4x2 · ez + 5y

und E2 =

9z2

4x− 2y3x− 1

a) Eines der beiden ist ein konservatives Feld. Welches?b) Bestimmen Sie das skalare Potential zu dem konservativen Feld!

13. Elektron im Magnetfeld (9 Punkte)

Ein Elektron fliegt senkrecht zu den Feldlinien in ein Gebiet mit einem homogenen Magnetfeld.a) Die Bahn des Elektrons wird im Magnetfeld kreisförmig sein. Wieso?b) Welche Orientierung hat der Kreis gegenüber den Magnetfeldlinien?c) Berechnen Sie den Radius der Kreisbahn, falls das Elektron vor dem Eintritt in das Magnet-feld H = 560A/m mit einer Spannung von U = 950V beschleunigt worden ist.

14. RLC-Netzwerk (9 Punkte)

a) Wie groß ist die (Gesamt-)Impedanz nebenstehender Bauteilein der gezeigten Anordnung?b) Bei welcher Frequenz ist der Strom - bei gegebener Spannung -minimal?c) Wie ist dann hier die Impedanz? Erklären Sie auch Ihr Ergebnis!



15. Hallsonde (9 Punkte)

Mit einer Hallsonde (a = 2cm, b = 1cm, c = 0,2cm)sollen Sie ein Magnetfeld ausmessen. Sie erhalten einemaximale Hallspannung UH = 5µV bei optimaler Aus-richtung der Sonde gegenüber dem Magnetfeld. Die Bat-terie zur Spannungsversorgung liefert UB = 9V.Sie wissen, dass die Ladungsträger in der Sonde Elektro-nen sind, ihre Konzentration n = 1018/cm3 beträgt unddie Leitfähigkeit des Sondenmaterials σ = 0,1S/m ist.a) Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit der La-dungsträger?b) Wie groß ist das Magnetfeld und in welche Richtungzeigt dieses? Begründen Sie Ihre Antwort.

16. Verluste im Eisenkern (8 Punkte)

Magnetisierungskurve

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-10000 -5000 0 5000 10000H / (A/m)

B /

T

Dieses Diagramm finden Sievergrößert bei den zur Verfü-gung gestellten (leeren) Auf-gabenblättern.

Ein Elektromagnet mit zylindrischem Kern (Höhe h = 10cm, Durchmesser d = 11,3cm wirdmit Wechselstrom der Frequenz ν = 50Hz betrieben. Das Kernmaterial zeigt obige Magnetisie-rungskurve für periodische Magnetfelder mit Amplitude H = 10000A/m.Nehmen Sie an, dass der magnetische Fluß der Spule völlig im Kern zu finden ist und die Spu-lenwicklung sich deshalb direkt am Zylindermantel (des Kerns) befindet.a) Welche Leistung benötigt dieser Elektromagnet?b) Wie groß ist die magnetische Permeabilität des Kerns bei einem Feld von H = 10000A/m?c) Wie groß muss die Stromamplitude in der Spule sein, wenn die Induktivität der SpuleL = 0,1H ist und das maximale Magnetfeld H = 10000A/m erreicht werden soll?

17. Wellengleichung (5 Punkte)

Leiten Sie die Wellengleichung für ein homogenes isotropes nichtleitendes Stück Material, dessenLadungsträger unbeweglich sind, aus den Maxwell-Gleichungen ab.



18. Reflexion und Transmission (4 Punkte)

Diamant hat eine Dielektrizitätszahl ε = 5,85, Luft hat ε = 1.a) Wie groß ist bei Lichteinfall aus Luft in den Diamanten das Verhältnis der reflektiertenIntensität zur einfallenden bei senkrechter Beleuchtung der Diamantoberfläche?b) Wie groß ist in diesem Fall das Verhältnis der transmittierten Intensität zur einfallenden?

19. Sonneneinstrahlung (12 Punkte)

Die mittlere Strahlungsleistung der Sonne in Erdentfernung beträgt pro Fläche S = 1380W/m2.

a) Wie groß ist diese zu Beginn des Sommers der Südhalbkugel?b) Und wie sind dann die Stärken der elektrischen und magnetischen Felder der Sonnenstrah-lung?c) Wie groß ist die Leistung der Strahlung pro Fläche auf den Boden des Südpols?

Die Erdachse hat gegenüber der Normalenrichtung der Erdbahnebene einen Winkel von φ =23,5.Die mittlere Entfernung Erde-Sonne sei R = 1,5 · 1011m.Die Exzentrizität der Erdbahn bewirkt, dass (ungefähr) bei Sommeranfang bzw. Winteranfangdieser Wert um ±1,67% geändert ist.Nehmen Sie an, dass exakt zum Sommerbeginn auf der Nordhalbkugel die Entfernung Sonne-Erde maximal ist.

Konstanten:

Naturkonstanten:Lichtgeschwindigkeit c 3 · 108 m/sMagnetische Feldkonstante µ0 4π · 10−7 H/mElektrische Feldkonstante ε0 8,854 · 10−12 F/mElementarladung e 1,6022 · 10−19 CElektronenmasse me 9,11 · 10−31 kg

Sonstiges:Erdbeschleunigung g 10 m/s2

Dichte von Wasser (ca.) ρw 1000 kg/m3


Lösung Klausur 1 Elektrizitätslehre und Magnetismus SS 2008 9

Teil III.Lösungen1. Widerstände 1 (1 Punkt)abc


2. Widerstände 2 (1 Punkt)abc


3. Widerstände 3 (1 Punkt)abc


4. Transformator (1 Punkt)abcde

a) Stromstärkeb) Spannungc) Leistungd) Stromstärke, Spannung und Leistunge) nichts vom obigem

5. Eisen in Spule 1 (1 Punkt)abc

a) hellerb) dunklerc) leuchtet unverändert

6. Eisen in Spule 2 (1 Punkt)abc

a) hellerb) dunklerc) gleich hell wie zuvor

7. Motor (1 Punkte)ab

a) in Gegenuhrzeigersinnb) weiterhin im Uhrzeigersinn

8. Kompass und Strom 1 (1 Punkt)abcd

a) vom Strom nicht beeinflusstb) sich in senkrechter Richtung zum Draht drehenc) sich in parallele Richtung zum Draht drehend) direkt zum Draht weisen wollen

9. Kompass und Strom 2 (2 Punkte)ab

a) Ja, er wird beeinflusst.b) Nein, er wird nicht beeinflusst.

Begründung: Die Änderung des Verschiebungsfeldes zwischen den Platten kompensiert denEffekt durch den Kurzschlussstrom

Lösung Klausur 1 vom 23. 07. 2008 9 c©2008 University of Ulm, W. v. Soden


10. Geladener Wassertropfen (10 Punkte)

Aufgabe:Carl Friedrich Gauß beobachtet einen kugelförmigen Wassertropfen (Durchmesser d = 0,25mm),der elektrisch soweit aufgeladen wird, wie die Durchschlagsfeldstärke der umgebenden Luft(|Emax| = 30kV/cm) es erlaubt.a) Wie viel Ladung kann der Wassertropfen maximal aufnehmen?b) Wie groß muss der Betrag eines von außen angelegten homogenen elektrischen Feldes sein,um den Tropfen gegen die Schwerkraft in der Schwebe zu halten?c) Wie groß ist die Kapazität des Wassertropfens (als Kugelkondensator aufgefasst)?

Lösung:Die Ladungsverteilung innerhalb des Tropfens ist unerheblich. Es wird zur Beantwortung derFragen a) und b) mit punktförmiger Ladung im Tropfenmittelpunkt gerechnet.Das elektrische Feld E ist das einer Punktladung q im Abstand des Radius r(= 0,125mm), alsoE = q

4πε0r2 und hat den Wert der Durchschlagsfeldstärke Em(= 30kV/m), wodurch die Größeder Ladung festliegt q = Em4πε0r

2(= 5,2 · 10−12C).Die Kapazität eines Kugelkondensators ist C = 4πε0 · r. Bei gegebenem Radius r = 0,125mmergibt sich C = 13,9 · 10−15F .Die Masse des Wassertröpfchens ergibt sich aus dessen Volumen und Dichte ρ(= 1000kg/m3).Die Kraft im Schwerefeld ist bekanntlich F = mg und soll gleich der Kraft infolge des Feldessein, also F = qE. Zusammengefasst: E = ρrg

3ε0 ·Em= 15kV/m bei gegebenen Werten.



11. Ladungsgleichgewicht (13 Punkte)

Aufgabe:An den vier Ecken eines gedachten Quadrates (Kantenlänge a = 2cm) befinde sich je eine La-dung q = 5 · 10−9C. Damit diese Ladungen sich nicht von ihrem Platz entfernen, wird in dieMitte des Quadrates eine negative Ladung angebracht.a) Wie groß muss diese sein, dass die Ladungen an ihren Orten bleiben?b) Was ändert sich, wenn die Kantenlänge des Quadrates doppelt so groß ist?

Lösung:Lösungsgang: Man setzt sich auf einen Eckpunkt des Quadrats, berechnet über das Coulomb-Gesetz die Kräfte von der unbekannten Gegenladung im Mittelpunkt des Quadrats, vom ge-genüberliegenden Eckpunkt und von den beiden benachbarten Eckpunkten (bei diesen hebensich die Kraftkomponenten auf, die nicht in Richtung der Quadratdiagonalen weisen). Also alleKräfte sind parallel und müssen im Gleichgewicht 0 ergeben, wodurch die Ladung in der Mittebestimmt ist.Die Kraft von der Zentralladung qz im Abstand r = 1

2a√

(2) (a=Kantenlänge des Quadrates)ist gemäß dem Coulombgesetz Fz = qqz

4πε0r2 = kqz2 mit der Abkürzung k = q4πε0a2 .

Die Kraft von der Ladung q gegenüber im Quadrat im Abstand r = a√

(2) ist F2 = qq4πε0a2

12 =

kq 12

Die Kräfte von der beiden benachbarten Ladungen q in den restlichen Ecken des Quadrats imAbstand r = a addieren sich so, dass die resultierende Kraft in dieselbe Richtung zeigt wie dievon der gegenüberliegenden Ecke. Der Betrag der Einzelkraft ist F1 = F3 = kq. Diese Kräftekompensieren sich aber teilweise, der wirksame Teil ist F1w = F3w = kq

√2

2 .Die Ladungsanordnung soll im Gleichgewicht sein, die Summe aller Kräfte muss also verschwin-den. Fz + F1w + F2 + F3w = 0 oder obiges eingesetzt und durch k dividiert:qz2 + q

√2

2 + q 12 + q

√2

2 = 2qz + q 12(1 + 2

√2) = 0.

Somit ist die gesuchte Ladung qz = −q 14(1 + 2

√2) = −4,786 · 10−9C. Sie hat das entgegenge-

setzte Vorzeichen der Ladungen an den Quadratecken und ist unabhängig von der Kantenlängedes Quadrates.



12. Vektorfeld - Potential (11 Punkte)

Aufgabe:

Gegeben seien zwei Vektorfelder E1 =

8x · ez

5z4x2 · ez + 5y

und E2 =

9z2

4x− 2y3x− 1

a) Eines der beiden ist ein konservatives Feld. Welches?b) Bestimmen Sie das skalare Potential zu dem konservativen Feld!

Lösung:Das erste Feld hat ein Potential da

rot E1 = rot

8x · ez

5z4x2 · ez + 5y

=

∂Ez

∂y − ∂Ey

∂z∂Ex

∂z − ∂Ez

∂x∂Ey

∂x − ∂Ex

∂y

=

∂∂y (4x2 · ez + 5y)− ∂

∂z (5z)∂∂z (8x · ez)− ∂

∂x(4x2 · ez + 5y)∂∂x(5z)− ∂

∂y (8x · ez)

=

5− 58x · ez − 8x · ez

0− 0

= 0 ist.

Das zweite Feld hat kein Potential da

rot E2 = rot

9z2

4x− 2y3x− 1

=

∂∂y (3x− 1)− ∂

∂z (4x− 2y)∂∂z (9z2)− ∂

∂x(3x− 1)∂∂x(4x− 2y)− ∂

∂y (9z2)

=

0− 018z − 34− 0

6= 0 ist.

Beim ersten Feld wird zur Potentialberechnung z.B. angenommen, dieses sei am Koordina-tenursprung 0.Dann wird von dort entlang der x-Achse integriert bis zum Punkt (x,0,0) mit der entsprechen-den Feldkomponente, also hierV (x,0,0) =

∫ x0 Exdx =

∫ x0 8x · ezdx = 4x2 − 0 = 4x2 (da z hier 0).

Als nächstes wird parallel zur y-Achse integriert von (x,0,0) nach (x,y,0) mit der entsprechen-den Feldkomponente, also hierV (x,y,0) =

∫ y0 Eydy =

∫ y0 5zdy = 0 + 4x2 − 0 = 4x2 (da z auch hier 0, 4x2 ist das Potential

von dem x-Koordinate herrührend).Zum Schluß wird parallel zur z-Achse integriert von (x,y,0) nach (x,y,z) mit der entsprechendenFeldkomponente, also hierV (x,y,z) =

∫ z0 Ezdz =

∫ z0 (4x2 · ez + 5y)dz = 4x2 · ez + 5yz − 4x2 + 4x2 = 4x2 · ez + 5yz als

Endergebnis (im vorletzten Ausdruck ist −4x2 der Wert an der unteren Grenze des Integralsund +4x2 das Potential zur x-Koordinate).Ein anderer Lösungsweg wäre, die Potentiale für die drei Richtungen einzeln zu berechnen(über Integration) und die dabei nötigen Integrationskonstanten, die jeweils nur von den bei-den aktuellen Koordinaten abhängen dürfen, durch Vergleich der drei Ergebnisse für das gleichePotential zu ermitteln.Zur Kontrolle sollte geprüft werden, ob sich aus dem gefundenen Potential V das gegebene FeldE ergibt: E = grad V .



13. Elektron im Magnetfeld (9 Punkte)

Aufgabe:Ein Elektron fliegt senkrecht zu den Feldlinien in ein Gebiet mit einem homogenen Magnetfeld.a) Die Bahn des Elektrons wird im Magnetfeld kreisförmig sein. Wieso?b) Welche Orientierung hat der Kreis gegenüber den Magnetfeldlinien?c) Berechnen Sie den Radius der Kreisbahn, falls das Elektron vor dem Eintritt in das Magnet-feld H = 560A/m mit einer Spannung von U = 950V beschleunigt worden ist.

Lösung:Die Kraft F auf eine mit der Geschwindigkeit v bewegte Ladung q in einem Magnetfeld B istF = qv × B. Diese ist wegen des Vektorprodukts immer senkrecht zur Geschwindigkeit undzum Magnetfeld und, sofern diese senkrecht zueinander stehen, immer konstant.In diesem Fall führt dies auf eine Kreisbewegung mit konstanter Zentripetalbeschleunigung undkonstanter Geschwindigkeit.Die Kreisebene ist senkrecht zu den Magnetfeldlinien, die Kreisflächennormale zeigt also inRichtung der Feldlinien.Die Magnetische Induktion B berechnet sich aus dem Magnetfeld H über B = µ0H im Va-kuum, das hier angenommen wird. Die Zentripetalkraft bei Kreisbewegung ist Fz = mv2

r mitr=Kreisradius. Die Geschwindigkeit des Elektrons ergibt sich aus dessen kinetischen Energie,die gleich der Energie ist, die dieses durch die Beschleunigung im elektrischen Feld mit Poten-tialunterschied U erfahren hat, also 1

2mv2 = qU mit q = −e der Elementarladung und m = me

der Masse des Elektrons. Dies zusammengeführt ergibt r = mvqB =

√2Ume

e1

µ0H= 0,1478m.



14. RLC-Netzwerk (9 Punkte)

Aufgabe:

a) Wie groß ist die (Gesamt-)Impedanz nebenstehender Bauteilein der gezeigten Anordnung?b) Bei welcher Frequenz ist der Strom - bei gegebener Spannung -minimal?c) Wie ist dann hier die Impedanz? Erklären Sie auch Ihr Ergebnis!

Lösung:Die Impedanz ist (Serien- und Parallel-Schaltung) Z = RV + 1

1R

+ 1iωL

+iωC= RV + R

1+iR(ωC− 1ωL) .

Minimaler Strom fließt, wenn die Impedanz maximal ist, der Nenner im Bruch also minimal

wird (Zähler ist frequenzunabhängig). Der Betrag des Nenners ist N =√

1 + R2(ωC − 1

ωL

)2.

Dieser wird minimal, wenn die innere Klammer Null wird, also gilt ωC = 1ωL oder ω =

√1

LC

Dies ist die Resonanzfrequenz des (Parallel-)Schwingkreises, bei der der gesamte Strom durchden Widerstand festgelegt ist, da die dazu parallelen Spule und Kondensator durch den reso-nanten Strom blockiert sind. Der Widerstand ist also in diesem Fall rein ohmsch und lautetZ = Rges = RV + R.



15. Hallsonde (9 Punkte)

Aufgabe:Mit einer Hallsonde (a = 2cm, b = 1cm, c = 0,2cm) sollen Sie ein Magnetfeld ausmessen. Sieerhalten eine maximale Hallspannung UH = 5µV bei optimaler Ausrichtung der Sonde gegen-über dem Magnetfeld. Die Batterie zur Spannungsversorgung liefert UB = 9V.Sie wissen, dass die Ladungsträger in der Sonde Elektronen sind, ihre Konzentration n =1018/cm3 beträgt und die Leitfähigkeit des Sondenmaterials σ = 0,1S/m ist.a) Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit der Ladungsträger?b) Wie groß ist das Magnetfeld und in welche Richtung zeigt dieses? Begründen Sie Ihre Ant-wort.

Lösung:

Der Widerstand der Hallsonde berechnet sich aus R =a

bcσ = 10kΩDamit ist der Strom I = UB

R = 0,9mAUnd damit kann die Geschwindigkeit berechnet werdenv = I

qnbc = 0,28mm/sDamit ergibt sich B = UH

vb = 1,78T.

Die Richtung von B ergibt sich aus der Lorentzkraft F = qv × B. Da die LadungsträgerElektronen sind, die Hallspannung an der Sonde von unten nach oben zeigt, sammeln sich dieElektronen am Boden, die Kraft zeigt also nach unten. Die Flußrichtung der Elektronen istvon rechts nach links, da sie aber negativ geladen sind, muss die entgegengesetzte Richtungbenutzt werden bei Anwendung der rechten Handregel. Damit zeigt das Magnetfeld aus derZeichenebene nach vorne.



16. Verluste im Eisenkern (8 Punkte)

Aufgabe:

Magnetisierungskurve

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-10000 -5000 0 5000 10000H / (A/m)

B /

T

Dieses Diagramm finden Sievergrößert bei den zur Verfü-gung gestellten (leeren) Auf-gabenblättern.

Ein Elektromagnet mit zylindrischem Kern (Höhe h = 10cm, Durchmesser d = 11,3cm wirdmit Wechselstrom der Frequenz ν = 50Hz betrieben. Das Kernmaterial zeigt obige Magnetisie-rungskurve für periodische Magnetfelder mit Amplitude H = 10000A/m.Nehmen Sie an, dass der magnetische Fluß der Spule völlig im Kern zu finden ist und die Spu-lenwicklung sich deshalb direkt am Zylindermantel (des Kerns) befindet.a) Welche Leistung benötigt dieser Elektromagnet?b) Wie groß ist die magnetische Permeabilität des Kerns bei einem Feld von H = 10000A/m?c) Wie groß muss die Stromamplitude in der Spule sein, wenn die Induktivität der SpuleL = 0,1H ist und das maximale Magnetfeld H = 10000A/m erreicht werden soll?

Lösung:Lösungsweg: Zuerst wird der Energieverlust pro Periode berechnet aus der halben eingeschlosse-nen Fläche der Magnetisierungskurve, die den Energiedichteverlust pro Periode darstellt, unddem Volumen des Magnetspulenkernes. Dann kann mit der Frequenz die benötigte Leistungberechnet werden. Die Permeabilität ist aus dem Diagramm abzulesen bei der entsprechendenAbszisse durch Ablesen von B(H) = µµ0H. Der Fluß ist einerseits über den Strom und dieInduktivität zu bestimmen und andererseits aus der magnetischen Induktion und der Spulen-kernfläche, wodurch der Strom festgelegt ist.Das Volumen des Kernes ist V = hd2π

4 = 0,001m3

Energiedichte ist w =∫

B · dH = Fläche in Magnetisierungskurve.Die eingeschlossene Fläche der Magnetisierungskurve ist Breite (=2000A/m) mal Höhe (=2 · 3,5T) des Parallelograms (die leicht schrägen, fast waagerechten Stücke können durch waa-gerechte in der Mitte ersetzt werden), also wp = H ·B = 2000 · 7J/m3 = 14kJ/m3

Der Verlust pro Periode ist Wp = wp ·V = 14J, in einer Sekunde also Ws = Wp · ν = 700J/s.Man braucht also als Leistung P = 700W, um den Elektromagneten betreiben zu können.Die Permeabilität des Kerns ist einfach aus dem Verhältnis von B zu H bei H = 10000Amabzulesen über µ = B

µ0H= 3,8T

4π10−7H/m · 10000A/m = 302,4Der magnetische Fluß Φ ist einerseits aus der (Querschnitts-)Fläche A = πd2/4 des Eisenkernsund der magnetischen Induktion B zu berechnen (Φ = A ·B), andrerseits aus der InduktivitätL und dem Strom I (Φ = L · I), also I = Φ

L = A ·BL = πd2B

4L = 0,38A.



17. Wellengleichung (5 Punkte)

Aufgabe:Leiten Sie die Wellengleichung für ein homogenes isotropes nichtleitendes Stück Material, des-sen Ladungsträger unbeweglich sind, aus den Maxwell-Gleichungen ab.

Lösung:Die 2. und 4. Maxwell-Gleichung lauten: rot E = −∂B

∂t und rotH = i + εε0∂E∂t

Falls kein Strom vorhanden ist, vereinfacht sich dies (in Materie) zu: rot E = −∂B∂t und

rot B = µµ0εε0∂E∂t

Auf die letzte Gleichung rot angewendet und die vorletzte Gleichung eingesetzt ergibt: rot rotB =−µµ0εε0

∂2E∂t2

Wegen der Identität rot rot B = grad div B−div grad B = grad div B−∆B und mit div B = 0ergibt sich daraus die Schwingungsgleichung ∆B = µµ0εε0

∂2B∂t2 .

Durch dasselbe Vorgehen, aber mit vertauschten Rollen, ergibt sich ∆E = µµ0εε0∂2E∂t2 .

Der Term grad ρ, der dabei wegen div D = ρ auftritt (ρ = Ladungsdichte), ist Null, da dasMaterial homogen sein soll.



18. Reflexion und Transmission (4 Punkte)

Aufgabe:Diamant hat eine Dielektrizitätszahl ε = 5,85, Luft hat ε = 1.a) Wie groß ist bei Lichteinfall aus Luft in den Diamanten das Verhältnis der reflektiertenIntensität zur einfallenden bei senkrechter Beleuchtung der Diamantoberfläche?b) Wie groß ist in diesem Fall das Verhältnis der transmittierten Intensität zur einfallenden?

Lösung:Brechungsindex von Diamant ist n =

√εµ = 2,4175

Bei Reflexion und senkrechtem Einfall gilt für das E-feld Er = Een2−n1n2+n1

Für die Intensitäten muss quadriert werden: Ir = Ie

(n2−n1n2+n1

)2

Das gesuchte Verhältnis ist also Ir

Ie=

(n2−n1n2+n1

)2= 0,172

Der Rest von Ie wird transmittiert, also It = Ie − Ir = Ie4 ·n2 ·n1(n2+n1)2

Das gesuchte Verhältnis ist also It

Ie= 4n2 ·n1

(n2+n1)2 = 0,828



19. Sonneneinstrahlung (12 Punkte)

Aufgabe:Die mittlere Strahlungsleistung der Sonne in Erdentfernung beträgt pro Fläche S = 1380W/m2.

a) Wie groß ist diese zu Beginn des Sommers der Südhalbkugel?b) Und wie sind dann die Stärken der elektrischen und magnetischen Felder der Sonnenstrah-lung?c) Wie groß ist die Leistung der Strahlung pro Fläche auf den Boden des Südpols?

Die Erdachse hat gegenüber der Normalenrichtung der Erdbahnebene einen Winkel von φ =23,5.Die mittlere Entfernung Erde-Sonne sei R = 1,5 · 1011m.Die Exzentrizität der Erdbahn bewirkt, dass (ungefähr) bei Sommeranfang bzw. Winteranfangdieser Wert um ±1,67% geändert ist.Nehmen Sie an, dass exakt zum Sommerbeginn auf der Nordhalbkugel die Entfernung Sonne-Erde maximal ist.

Lösung:Auf der Erde wird die Intensität der Sonnenstrahlung durch den variablen Abstand der Erdevon der Sonne und, falls die Einstrahlung auf den Boden interessiert, durch den Einfallswinkelder Strahlung am betrachteten Ort beeinflusst.Am Sommeranfang am Südpol (21. Dezember) ist die Erdachse maximal zur Sonne hin aus-gerichtet, der Einfallswinkel gegen die Horizontale also φ = 23,5, der Neigungswinkel derErdachse.Die Exzentrizität (δ)) der Erdbahn bewirkt, dass beim Aphel (Anfang Juli) die Erde von derSonne am entferntesten ist, beim Perihel im Januar am nähesten.Die Strahlungsintensität ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands von der Strah-lenquelle. Die Sonneneinstrahlung auf der Erde muss also beim Perihel, das genähert am hiesi-gen Winteranfang stattfindet (und damit dem Sommeranfang auf der Südhalbkugel), mit denFaktor f =

(1 + ∆

R

)2 = (1 + δ)2 ≈ 1 + 2δ = 1,0334 multipliziert werden (∆R = δ = 0,0167).

Zusammengefasst beträgt also die Sonneneinstrahlung am Südpol (unabhängig von der Uhr-zeit) am dortigen Sommeranfang in der Luft durch eine Fläche senkrecht zur EinstrahlrichtungSss = S · (1 + 2δ) = 1426W/m2 und auf den Boden Sss = S · (1 + 2δ) sinφ = 568,7W/m2

denselben Wert vermindert mit dem Sinus der Einstrahlrichtung gegenüber dem Horizont.

Das elektrische bzw. magnetische Feld berechnet sich aus dem Poynting-Vektor zu E =√

S ·√

µ0

ε0=

733V/m bzw. H =√

S ·√

ε0µ0

= 1,945A/m (beides in der Luft).

Herleitung:Der Poynting-Vektor S = E ×H (daraus S = E ·H da E senkrecht zu H) gibt die Energie-flussdichte bei einer Elektromagnetischen Welle an. Die Energiedichte w hat zwei gleichgroßeAnteile aus den zwei Feldern, also w = 1

2ε0 ·E2 + 12µ0 ·H2 = ε0 ·E2 = µ0 ·H2.

Hieraus folgt H =√

ε0µ0

E bzw. E =√

µ0

ε0H.

Dies in S = E ·H eingesetzt ergibt S =√

µ0

ε0H2 =

√ε0µ0

E2 und weiters E =√

S ·√

µ0

ε0bzw.

H =√

S ·√

ε0µ0

(beides im Vakuum bzw. genähert in Luft).


Klausur 1 mit Lösung - · Klausur 1 Elektrizitätslehre und Magnetismus SS 2008 2 0. Hinweise zur...

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