Benjamin 2019 – Lösungen 1

Känguru der Mathematik 2019 Gruppe Benjamin (5. und 6. Schulstufe)

Österreich – 21. 3. 2019 – Lösungsvektor –

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

B D E C E D A D C E A B C C C D C E D B B B D A

– 3 Punkte Beispiele –

Carina hat angefangen eine Katze zu zeichnen. Sie fügt noch Augen hinzu. Welches Bild könnte ihre fertige Zeichnung sein?

(A) (B) (C) (D) (E)

Carina hat bereits die Nase und die Ohren gezeichnet. Nur die Zeichnung B stimmt mit der Nase und den Ohren überein, deshalb ist das die Lösung. Lösung: B

2. Die Maya verwendeten Punkte und Striche um ihre Zahlen zu schreiben. Ein Punkt steht für 1, ein Strich für 5. Welche der folgenden Maya-Zahlen steht für 17?

(A) (B) (C) (D) (E)

Die Zahl 17 besteht aus 3x5 und 2x1. Da der Stich für „5“ steht und der Punkt für „1“, benötigt man drei Striche und zwei Punkte, um die Zahl 17 zu schreiben. Dies ist für die Lösung C der Fall. Lösung: D

3. In einer Kindergartengruppe gibt es 14 Mädchen und 12 Buben. Die Hälfte der Gruppe macht einen Spaziergang. Wie viele Mädchen müssen sich mindestens darunter befinden?

(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (E) 1

Insgesamt gibt es im Kindergarten 26 Kinder. Die Hälfte der Kinder, also 13 Kinder machen einen Spaziergang. Es könnte sein, dass alle 12 Buben bei diesem Spaziergang mit dabei sind, dann kann nur mehr ein Mädchen mitgehen. Somit muss zumindest ein Mädchen dabei sein. Lösung: E

4. Eine digitale Uhr zeigt folgende Zeit an: Welche Zeit zeigt die Uhr an, wenn zum ersten Mal nach diesem Zeitpunkt die gleichen Ziffern verwendet

werden?

(A) (B) (C) (D) (E)

Benjamin 2019 – Lösungen 2

Gesucht ist der erste Zeitpunkt nach 20:19, zu dem die gleichen Ziffern verwendet werden. Es muss daher nach 20:19 sein. Die erste Möglichkeit wäre 20:91, dieser Zeitpunkt wird aber von der Digitaluhr nicht angezeigt, somit muss es 21:09 sein. Lösung: C

5. Die Augensumme gegenüberliegender Flächen eines üblichen Würfels beträgt 7. Welcher der folgenden Würfel könnte einen üblichen Spielwürfel zeigen?

(A) (B) (C) (D) (E)

Da die Augensummer gegenüberliegender Flächen soll 7 betragen. Das funktioniert aber nur beim letzten Würfel, denn bei den anderen vier Würfeln beträgt die Summe zweier benachbarten Flächen 7. Lösung: E

6. Welche der folgenden geometrischen Figuren befindet sich nicht im großen Bild?

(A) (B) (C) (D) (E) Dreieck Quadrat Sechseck Achteck Zwölfeck

Im Bild findet man Dreiecke, Quadrate, Sechsecke und Zwölfecke, aber kein Achteck. Deshalb Lösung: D

7. In einem Gehege befindet sich eine Gruppe Kängurus. Addiert man das Alter aller Kängurus, so erhält man 36 Jahre. In zwei Jahren werden die Kängurus zusammen 60 Jahre alt sein.

Wie viele Kängurus befinden sich im Gehege? (A) 12 (B) 15 (C) 18 (D) 20 (E) 24

Addiert man alle Alter der Kängurus jetzt, erhält man 36, in zwei Jahren 60. 60 – 36 = 24. Die Differenz der Alter aller Kängurus beträgt 24. Da dies in zwei Jahren stattfindet dividiert man 24 durch 2 und erhält 12. Es befinden sich somit 12 Kängurus im Gehege. Lösung: A

8. Laura möchte genau ein 2 × 2 Quadrat der gegebenen Figur anmalen. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9

Laura hat 8 Möglichkeiten ein 2x2 Quadrat auf der gegebenen Figur zu bemalen. Lösung: D

– 4 Punkte Beispiele –

9. Auf jedem der drei Papierstücke steht eine dreistellige Zahl. Die Summe der drei Zahlen ist 826. Wie lautet die Summe der beiden verdeckten Ziffern? (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 11

Wir bilden die Summe der drei Zahlen: 243 müssen die unbekannten Ziffern mit: 243 4 und 5 belegt werden. 1*7 157 *26 426 826 826 Die Summe ergibt somit 9. Lösung: C

10. Auf den Seitenflächen eines Würfels stehen die sechs kleinsten ungeraden natürlichen Zahlen. Toni würfelt drei Mal und addiert die Zahlen.

Welche Summe kann Toni damit nicht erreichen? (A) 3 (B) 19 (C) 21 (D) 29 (E) 35

Benjamin 2019 – Lösungen 3

Die sechs kleinsten ungeraden Zahlen lauten: 1, 3, 5, 7, 9 und 11. Die größtmögliche Summe, die damit erreichbar ist lautet 33. Somit kann die Summe 35 nicht erreicht werden. Lösung: E

11. Pia hat einen Metermaßstab, der aus 10 gleich langen Teilen besteht. Welche der folgenden Figuren kann sie damit nicht herstellen?

(A) (B) (C) (D) (E)

Um die Figur A zu herzustellen muss ein Teilstück doppelt gelegt werden, somit fehlt ein Teilstück um die Figur zu

vervollständigen:

12. Welches der fünf Quadrate hat den größten Anteil an schwarzer Fläche?

(A) (B) (C) (D) (E)

Bei den Quadraten A, C und E sind die Anteile der weißen und schwarzen Flächen gleich groß. Beim Quadrat B

beträgt der Anteil der schwarzen Fläche 4

9 und beim Quadrat D

13

25 . Da

4

9 >

13

25 ist, besitzt das Quadrat B den

größten Anteil an schwarzer Fläche. Lösung: B

13. Im Garten einer Hexe befinden sich 30 Tiere: Hunde, Katzen und Mäuse. Die Hexe verwandelt 6 Hunde in 6 Katzen und dann 5 Katzen in 5 Mäuse. Nun gibt es gleich viele Hunde, Katzen und Mäuse. Wie viele Katzen gab es am Anfang? (A) 4 (B) 5 (C) 9 (D) 10 (E) 11

Da die Anzahl der Tiere nicht verändert, gibt es zum Schluss wieder insgesamt 30 Tiere. Da es gleiche viele von

jeder Art gibt, gibt es 10 Katzen, 10 Hunde und 10 Mäuse. Mache nun die Verwandlungen wieder rückgängig.

Benjamin 2019 – Lösungen 4

14. Maxi baut mit kleinen 1 cm × 1 cm × 2 cm Bausteinen Türme, so wie im Bild zu sehen ist.

Er baut seine Türme auf dieselbe Art weiter. Für einen Turm verwendet er schließlich 28 Bausteine.

Welche Höhe hat dieser Turm? (A) 9 cm (B) 10 cm (C) 11 cm (D) 12 cm (E) 14 cm

15. Bridget faltet ein quadratisches Blatt Papier zweimal und zerschneidet es dann zweimal so, wie im Bild zu sehen ist.

Wie viele Stück Papier erhält sie auf diese Weise? (A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 12 (E) 16

Aus den 4 Stößen ergeben sich folgenden Stücke:

Es ergeben sich 4 kleine und 1 großes Quadrat und 2 mal 2 Rechtecke. Insgesamt sind es 9 Stücke.

16. Jedes der 5 Würfelnetze enthält eine Linie. Bei welchem Netz schließt sich die Linie, wenn man das Netz zu einem Würfel faltet?

(A) (B) (C) (D) (E)

Benjamin 2019 – Lösungen 5

Stell dir vor, 1 ist die Grundfläche eines Würfels. Klappe 2 so, dass es die linke Seitenfläche ist. 3 wird die „Rückwand“, 4 die rechte Seitenfläche, 5 die Deckfläche und 6 wäre die Vorderfläche.

– 5 Punkte Beispiele –

17. Auf jeder Fläche des abgebildeten Würfels steht eine natürliche Zahl, die größer als 0 ist. Alle Produkte gegenüberliegender Zahlen liefern das gleiche Ergebnis. Wie groß ist die kleinstmögliche Summe der 6 Zahlen? (A) 36 (B) 37 (C) 𝟒𝟏 (D) 44 (E) 60

Die größte Zahl lautet 15. 15 x 2 = 30 ist das kleinste Produkt, das man mit der Zahl 15 bilden kann. Somit wird 10

mit 3 multipliziert und 5 mit 6. 10 x 3 = 30 und 5 x 6 = 30 Die Summe 15+2+10+3+5+6 = 41. Die Lösung lautet somit: C

18. 4 gleich schwere schwarze Perlen, 1 weiße Perle und ein Stück Eisen mit 30 g werden auf eine Balkenwaage gelegt, wie im Bild zu sehen ist. Die Waage befindet sich im Gleichgewicht.

Wie schwer sind 6 schwarze und 3 weiße Perlen zusammen?

(A) 100 g (B) 99 g (C) 96 g (D) 94 g (E) 𝟗𝟎 g

Entfernt man auf beiden Seiten der Balkenwaage eine schwarze Perle, befindet sie sich noch immer im

Gleichgewicht, da die schwarzen Perlen alle gleich schwer sind. Zwei schwarze Perlen und eine weiße Perle wiegen somit 30 g. 6 schwarze Perlen und 3 weiße Perlen wiegen somit 3 Mal so viel, also 90 g. Lösung: E

19. Robert macht 5 Aussagen. Genau eine davon ist falsch.

(A) Mein Sohn Basil hat 3 Schwestern. (B) Meine Tochter Ann hat 2 Brüder. (C) Meine Tochter Ann hat 2 Schwestern.

Benjamin 2019 – Lösungen 6

(D) Mein Sohn Basil hat 2 Brüder. (E) Ich habe 5 Kinder.

Welche Aussage ist falsch? (A) Aussage A (B) Aussage B (C) Aussage C (D) Aussage D (E) Aussage E

Wenn der Sohn Basil drei Schwestern hat, die Tochter Ann zwei Schwestern hat, gibt es drei Mädchen in der

Familie. Wenn Robert 5 Kinder hat, kann er nur zwei Söhne haben, somit kann Basil nicht zwei Brüder haben. Lösung: D

20. Benjamin schreibt eine Zahl in den ersten Kreis. Danach berechnet er laut Anweisungen die weiteren Rechnungen und schreibt die Ergebnisse in die weiteren Kreise.

Wie viele der sechs Zahlen sind durch 3 teilbar?

(A) 1 (B) 2 (C) 1 oder 2 (D) 2 oder 3 (E) 3 oder 4

Egal mit welcher Zahl man beginnt, es sind immer zwei Zahlen durch 3 teilbar, auch wenn man mit der Zahl 0 startet, da 0 durch 3 geteilt werden kann.

Lösung: B

21. Emil machte mit seinen 8 Cousinen Selfies. Jede der 8 Cousinen ist auf zwei oder drei Bildern zu sehen. In jedem Bild kann man genau 5 Cousinen sehen. Wie viele Selfies machte Emil? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

Wenn jede Cousine auf 2 Fotos wäre, würden die Cousinen insgesamt 8 2 = 16 Mal abgebildet.

Wenn jede Cousine auf 3 Fotos wäre, würden die Cousinen insgesamt 8 3 = 24 Mal abgebildet.

Die einzige Zahl zwischen 16 und 24, die durch 5 teilbar ist, ist 20 = 5 4.

Das heißt, es wurden vier Fotos mit je 5 Cousinen gemacht.

Dies ist wirklich möglich; z.B.:

Benjamin 2019 – Lösungen 7

22. Das Kartonpapier wird in eine 2 × 1 × 1 Schachtel gefaltet. Welches der folgenden Bilder zeigt die Schachtel nicht?

(A) (B) (C) (D) (E)

23. Jette und Willi werfen Bälle auf zwei identisch aufgebaute Pyramiden, die jeweils aus 15 Dosen aufgebaut wurden. Jette trifft 6 Dosen und erhält 25 Punkte. Willi trifft 4 Dosen.

Wie viele Punkte erhält Willi? (A) 22 (B) 23 (C) 25 (D) 26 (E) 28

Jette hat die Dosen mit den Zahlen 3, 8, 2, 3, 4 und einer noch unbekannten Zahl geworfen. Da sie 25 Punkte

erreicht hat, hat die Dose an der Spitze der Pyramide den Wert 5. Willi hat die Dosen mit den Zahlen 8, 4, 9 und 5 geworfen, somit erhält er 26 Punkte. Lösung: D

24. Linus baut einen 4 × 4 × 4 Würfel mit 32 weißen und 32 schwarzen 1 × 1 × 1 Würfeln. Er ordnet die Würfel so an, dass die Oberfläche des großen Würfels möglichst viel weiß enthält.

Welcher Bruchteil der Oberfläche ist weiß?

(A) 𝟑

𝟒 (B)

2

3 (C)

1

2 (D)

3

8 (E)

1

4