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Künstliche Intelligenz Softwaretechnologie: Prolog

Stephan Schwiebert

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Wiederholung

Stephan Schwiebert - Sprachliche Informationsverarbeitung - WS 08/09

Konzepte

logische ÄquivalenzDie Aussagen p und q sind genau dann äquivalent, wenn sie unter gleichen Belegungen wahr sind (siehe vorherige Folie)

Gültigkeit/TautologienEine Aussage ist gültig, wenn er unter allen Belegungen wahr ist (bspw. „sein oder nicht sein“).

ErfüllbarkeitEine Aussage ist erfüllbar, wenn mindestens eine Belegung existiert, die ihn wahr macht.

Agenten


Agenten

Sensoren

Aktuatoren

Umgebung bzw. „Welt“

Wie die Weltjetzt aussieht

Welche Aktionausgeführt wird

Bedingungen/Aktions-Regeln


Beispiel: Staubsaugerwelt

„Welt“: 2 Räume (L, R) mit je zwei möglichen Zuständen (Dreckig & Nicht dreckig)

Agent besitzt Sensoren für Ort & Dreck 8 Zustände denkbar


Einfache Reflex-Agenten

Sensoren

Aktuatoren






Modellbasierte Reflex-Agenten

Sensoren

Aktuatoren





Was Aktionen bewirken

Wie die Weltfunktioniert

Zustand/Gedächtnis


Zielbasierte Agenten

Sensoren

Aktuatoren





Was Aktionen bewirken

Wie die Weltfunktioniert

Ziele

Zustand/Gedächtnis

Was passiert, wenn Aktion ausgeführt wird


Die Wumpus-Welt


Intelligenz in der Wumpus-Welt

Aufgabe des Agenten:Goldschatz finden, ohne zusterben.

„Intelligente“ Verhaltensregelnkönnten dazu führen, dass der Agent in einer (beliebigen) Wumpus-Welt autonom agieren kann.

Verhaltensregeln kombinieren die Wahrnehmung des Agentenmit seinem Gedächnis.


Mögliche Strategie

Beginn: Welt unbekannt, keineWarnsignale wahrzunehmen, d.h.die Felder (2,1) und (1,2) sind ok.


Mögliche Strategie

Agent betritt Feld (1,2) und nimmtWumpus-Geruch wahr (B).


Mögliche Strategie

Folgerung: Wumpus befindetsich in (1,3) oder (2,2).


Mögliche Strategie

Agent betritt nächstes sicheresFeld, und nimmt einen Luftzug (S)wahr.


Mögliche Strategie

Folgerungen: Wumpus (P) muss auf Feld (1,3) stehen, Falltür (W) muss auf (3,1) sein, Feld (2,2) muss sicher sein.


Mögliche Strategie

Agent geht zum nächstensicheren Feld.


Mögliche Strategie

Zwei neue sichere Felder entdeckt,usw...

Logisches Schließen


Definition: Schluß

Ein Schluß ist eine Verbindung von Aussagen, wobei die Wahrheit der letzten Aussage(n) (muß nicht unbedingt hinten stehen ...) aus der Wahrheit der ersten Aussage(n) (müssen nicht unbedingt vorne stehen) abhängt und folgt.


Logisches Schließen: Beispiel

Studenten sind Menschen Prämisse 1

Menschen sind nett Prämisse 2

———————————————— Schlußstrich

Studenten sind nett Konklusion







Ein ‘klassischer’ Schluß besteht aus zwei Prämissen (Obersatz und Untersatz) sowie einer Konklusion. Es gilt:

Wenn die Prämissen (in einer Form wie oben) wahr sind, dann ist auch (unbedingt!) die Konklusion wahr: Aus den Prämissen und ihrer Form geht die Gültigkeit des Schlusses hervor („Wahrheitstransfer“).







Aus der Form eines korrekten Schlusses lassen sich beliebig viele weitere korrekte Schlüsse mechanisch erzeugen, indem gleiches durch gleiches substituiert wird.



Studenten sind Y Prämisse 1

Y sind nett Prämisse 2






X sind Y Prämisse 1

Y sind nett Prämisse 2


X sind nett Konklusion




X sind Y Prämisse 1

Y sind Z Prämisse 2


X sind Z Konklusion


Die Bedeutung der Begriffe X, Y und Z spielt keine Rolle – wohl aber die Bedeutung anderer Bestandteile!


Logik in der Wumpus-Welt

Wie lässt sich die Wumpus-Welt (mit Hilfe von Aussagen-logik) modellieren?

Wie lassen sich die Verhaltens-regeln des Agenten mit Hilfe von Aussagenlogik modellieren?


Aussagenlogik in der Wumpus-Welt

Wissensbasis für die Wumpus-Welt:

Pi,j = true, wenn auf Feld (i,j)eine Falltür ist

Bi,j = true, wenn auf Feld(i,j)ein Luftzug spürbar ist

Wi,j = true, wenn auf Feld(i,j)ein Wumpus steht

usw.


Aussagenlogik in der Wumpus-Welt

P1,1 = false

P1,2 = false

P1,3 = true

P1,4 = false

... Breezy1,1 ⇔ (P1,2 ∨ P2,1)

Breezy2,1 ⇔ (P1,1 ∨ P2,2∨ P3,1)

...


Falsches Schließen: Beispiel

Einige Säugetiere sind Wale Prämisse 1

Einige Wale sind über 20 Meter lang Prämisse 2


Einige Säugetiere sind über 20 Meter lang Konklusion


Falsches Schließen: Beispiel

Einige Säugetiere sind Wale Prämisse 1

Einige Wale sind über 20 Meter lang Prämisse 2


Einige Säugetiere sind über 20 Meter lang Konklusion

Einige Wale sind Fleischfresser Prämisse 1

Einige Fleischfresser sind Katzen Prämisse 2


Einige Wale sind Katzen Konklusion


Aussagenlogik: logische Schlüsse

Quantoren wie „einige“ oder „alle“ innerhalb von Prämissen sind offenbar entscheidend dafür, ob ein Schluss korrekt ist oder nicht.

Die innere Struktur einer Aussage ist scheinbar relevant für die Schlussfolgerung.


Aussagenlogik: Pro und Kontra

Nur wenige Junktoren benötigt, um Aussagen zu kombinieren

„Innere Struktur“ atomarer Aussagen bleibt unberücksichtigt

Aussagen sind entweder wahr oder falsch Nicht geeignet, um die Welt abzubilden...

Prädikatenlogik


Prädikatenlogik (1. Stufe)

Erweiterung der Aussagenlogik: Menge der Junktoren bleibt gleich. Menge der interpretierbaren Sätze bleibt gleich (nur

Aussagen)

Neu: Prädikate, durch die mit Variablen gearbeitet werden kann. Existenz- und Allquantor, durch die Prädikate näher

spezifiziert werden können.


Prädikate

Prädikate ähneln Verben der natürlichen Sprache: Peter schläft = schlafen'(peter') Peter gibt Maria einen Ball = geben'(peter',maria',ball')


Prädikate


Zur Verdeutlichung, dass es sich nicht um ein Verb, sondern ein Prädikat handelt, wird das Zeichen ' verwendet.


Prädikate


Zur Verdeutlichung, dass es sich nicht um ein Verb, sondern ein Prädikat handelt, wird das Zeichen ' verwendet.

Prädikate können auch Relationen ausdrücken, für die es kein entsprechendes Verb gibt:Peter ist der Bruder von Hans = bruder'(peter', hans')Die Straße ist naß = naß'(straße')


Prädikate

Grundsätzlich lassen sich alle Aussagen der Aussagenlogik in prädikatenlogische Ausdrücke überführen:

Wenn Vollmond ist und Hans im Mittelalter lebt, wird er zum Stüpp und mordet.

voll'(mond') ∧ leben'(hans', mittelalter') ⇒ verwandeln'(hans', stüpp')∧morden'(hans')


Quantoren

In der Aussagenlogik gibt es keine Möglichkeit, quantitative Relationen wie „jeder“, „alle“, „einige“, „kaum einer“ abzubilden.

Die Prädikatenlogik führt daher zwei Quantoren ein, um die Relationen „alle“ (bzw. „jeder“) und „einige“ (bzw. „mindestens ein“) zu berücksichtigen.

Quantoren sind an eine Variable gebunden, deren Eigenschaften im restlichen Ausdruck näher spezifiziert werden.


Quantoren: Beispiele

Existenzquantor ∃ Beispiel: ∃x [schlafen'(x)] Es existiert ein x für das gilt: schlafen'(x) Umgangssprachlich: Einer schläft.

Allquantor ∀ Beispiel: ∀x [schlafen'(x)] Für alle x gilt: schlafen'(x) Umgangssprachlich: Alle schlafen.


Beispiele

Beispiel: Peter liest ein Buch.

Aussagenlogik: Atomare Aussage „Peter liest ein Buch“.

Prädikatenlogik: Subatomare Darstellung:

∃x [buch'(x) ∧ lesen'(peter',x)]


Beispiele

Beispiel: Alle Studenten mögen Prolog.

Aussagenlogik: Atomare Aussage „Alle Studenten mögen Prolog“.


∀x [student'(x) ∧ mögen'(x,prolog')]


Beispiele





Stimmt das?


Beispiele




∀x [student'(x) → mögen'(x,prolog')]

Prädikatenlogik als Modelltheorie


Beurteilung des Wahrheitsgehalts einer Aussage

„Die Bedeutung eines Satzes zu kennen, heißt zu wissen, wie die Welt beschaffen sein muß, damit der Satz wahr oder falsch ist“

(nach A. Tarski, 1901 - 1983).


Modellwelt

∃x [buch'(x) ∧lesen'(peter',x)] ist wahr

Welt Menge aller BücherMenge aller Individuen

Menge aller Zeitungen

Express'

SZ'

Peter' Maria'

Einführung in Prolog'

Der Idiot'

<Maria', SZ'>

<Peter', Der Idiot'>

lesen'


Modellwelt

∃x [buch'(x) ∧lesen'(peter',x)] ist falsch

Welt Menge aller BücherMenge aller Individuen

Menge aller Zeitungen

Express'

SZ'

Peter' Maria'

Einführung in Prolog'

Der Idiot'

<Maria', Der Idiot'>

<Peter', Express'>

lesen'


Prädikatenlogik als Mengenlehre

Beispiel: Peter liest ein gutes Buch.

∃x [gut'(x) ∧ buch'(x) ∧lesen'(peter',x)]

Welt Menge aller Bücher

Menge aller „guten Dinge“

Menge aller „neuen Dinge“

Menge aller „schlechten Dinge“


Aussagenlogik vs. Prädikatenlogik


∀x [student'(x) → mögen'(x,prolog')]

Welt Menge aller Studenten

Menge aller Schüler

Menge aller Erdhörnchen

Menge aller Individuen,die Prolog lieben


Aussagenlogik vs. Prädikatenlogik

Falsche Darstellung von „Alle Studenten mögen Prolog.“


Welt Menge aller Studenten

Menge aller SchülerMenge aller Erdhörnchen

Menge aller Individuen,die Prolog mögen


Prädikatenlogik: Praxis

Übersetzen Sie die folgenden Sätze in prädikatenlogische Formeln.

Otto kauft ein neues, schönes Auto.

Torsten sucht ein Geschenk, das Kathi gefällt.

Alle Studenten lernen Prädikatenlogik.

Jedes Kind hat eine Lieblingsfarbe.



•Übersetzen Sie die folgenden Sätze in prädikatenlogische Formeln.

Otto kauft ein neues, schönes Auto.∃x [auto'(x) ∧ schön'(x) ∧ neu'(x) ∧ kaufen'(otto',x)]Torsten sucht ein Geschenk, das Kathi gefällt.






Otto kauft ein neues, schönes Auto.∃x [auto'(x) ∧ schön'(x) ∧ neu'(x) ∧ kaufen'(otto',x)]Torsten sucht ein Geschenk, das Kathi gefällt.∃x [geschenk'(x) ∧ gefallen'(kathi',x) ∧ suchen (torsten',x)]







Alle Studenten lernen Prädikatenlogik.∀x [student'(x) → lernen'(x,prädikatenlogik')]






Alle Studenten lernen Prädikatenlogik.∀x [student'(x) → lernen'(x,prädikatenlogik')]

Jedes Kind hat eine Lieblingsfarbe.???


Quantorenskopus

Aussagen, in denen zwei oder mehr unterschiedliche Quantoren enthalten sind, können auf unterschiedliche Art und Weise dargestellt werden:


∀x [ ∃y [kind'(x) ∧ lieblingsfarbe'(y) → haben'(x,y)] ]

oder

∃y [ ∀x [kind'(x) ∧ lieblingsfarbe'(y) → haben'(x,y)] ]


Quantorenskopus

∀x [ ∃y [kind'(x) ∧ lieblingsfarbe'(y) → haben'(x,y)] ]

Existenzquantor liegt im Skopus des Allquantors

(„Für jedes x existiert ein y so dass gilt: Wenn x ein Kind und y eine LF ist,

dann hat x y“ bzw. Jedes Kind hat eine (individuelle) Lieblingsfarbe)

∃y [ ∀x [kind'(x) ∧ lieblingsfarbe'(y) → haben'(x,y)] ]

Allquantor liegt im Skopus des Existenzquantors

(„Es existiert ein y so dass für alle x gilt: Wenn x ein Kind und y eine LF

ist, dann hat x y“ bzw. Es gibt eine Farbe, und diese ist LF von jedem

Kind)


Logisches Quadrat

∀x

¬∀x

¬∃x

∃x

impliziert

impliziert

Kontradiktion

konträr

subkonträr

Kontradiktion

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