Physikalisches Grundpraktikum für Physiker/innen

Teil III

Kohärenz von Wellen (Newtonsche Ringe)

Fachrichtungen der Physik

WWW-Adresse Grundpraktikum Physik: 0http://grundpraktikum.physik.uni-saarland.de/

Kontaktadressen der Praktikumsleiter:

Dr. Manfred Deicher Zimmer: 1.11, Gebäude E 2.6 e-mail: 1H1Hmanfred.deicher@tech-phys.uni-sb.de Telefon: 0681/302-58198

Dr. Patrick Huber Zimmer: 3.23, Gebäude E2.6 e-mail: 2H2Hp.huber@physik.uni-saarland.de Telefon: 0681/302-3944

UNIVERSITÄT DES SAARLANDES

KW 2 KOHÄRENZ VON WELLEN Fragen

Literaturhinweise beziehen sich auf Bücher, die in der Fachbibliothek Physik stehen. 1. Wie kann man experimentell "Interferenz gleicher Neigung" und "Interferenz

gleicher Dicke" erzeugen? (Bergmann/Schäfer/Matossi, BSM, Band 3, Optik, S.239ff.) 2. Wie unterscheiden sich Aufbau, Wirkungsweise und physikalische Eigen-schaften

von Interferenzfiltern und Farbglasfiltern? (Versuch "Optische Materialkonstanten" und BSM S.256ff.) 3. Wie sind Phasen- und Gruppengeschwindigkeit definiert? (BSM S.161) 4. Wie hängt bei senkrechtem Lichteinfall das Reflexionsvermögen an einer ebenen

Grenzfläche mit den (absoluten) Brechungsindizes n1 und n2 der beiden Medien zusammen?

5. Worin liegt die Ursache der Kontrasterniedrigung der Ringe bei Aufgabe 2 im

Vergleich zu Aufgabe 1? Welche Möglichkeiten hat man zur Kontrast-steigerung? 6. Inwiefern ist bei der Versuchsanordnung zur Erzeugung Newtonscher Ringe die

räumliche Kohärenzbedingung erfüllt? 7. Wie ändert sich Gl.(16), wenn die Linse (z.B. wegen einiger Staubpartikel oder

Kratzer) die Glasplatte nicht berührt, sondern in einem Abstand D über der Platte liegt?

Literatur Born und Wolf: „Principles of Optics“: Wave packets and the group velocity, Elements of the theory of interference and interferometers. Gerthsen/Kneser/Vogel: „Physik“: Interferenz des Lichtes Bergmann/Schäfer/Matossi: „Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 3, Optik“:

Phasen-, Gruppen- und Frontgeschwindigkeit; Inter- ferenz und Beugung

Pohl: „Optik und Atomphysik“: Interferenz Frauenfelder/Huber: „Physik II“: Interferenz und Beugung L. Mandel, E. Wolf: Review of modern physics 37, 231

NEWTONSCHE RINGE KW 3 Anmerkung: Der Laser hat sowohl auf experimentellem wie auf theoretischem Gebiet starke Anstöße zur Weiterentwicklung der Physik geliefert (Eigenschaften elektromagnetischer Felder, Statistik von Vielteilchensystemen, Emissions- und Absorptionsvorgänge, nichtlineare Optik usw.). Wesentliche Eigenschaften des Laserlichtes kann man durch seine Kohärenz erklären. Darüber hinaus spielt der Kohärenzbegriff die entscheidende Rolle bei der Interferenz von Wellen aller Art. I. Grundlagen I.1 Die statistische Lichtquelle Mit geeigneten Sendern kann man streng periodische Schall- oder Radiowellen beliebig lange erzeugen. Ist die Sendergröße sehr viel kleiner als die Wellenlänge, so können Kugelwellen ausgesandt werden. In großem Abstand vom Sender kann man diese für kleine Raumwinkelbereiche durch ebene Wellen hinreichend genau nähern, die sich durch besonders einfache mathematische Beschreibung auszeichnen. Allgemein wird eine ebene monochromatische Welle gegeben durch die Gleichung

A(x,t) = f1(ωt-kx) + f2(ωt+kx) (1) Wobei A die Amplitude, ω die Kreisfrequenz, t die Zeit, x die Ausbreitungsrichtung und k=ω/c die Wellenzahl bedeuten (c ist die Lichtgeschwindigkeit). Anders beim Licht, das von einem Atom im Gas, in einer Flüssigkeit oder einem Festkörper ausgesandt wird: Ein angeregtes Atom benötigt für die Rückkehr in den Grundzustand nur 10-15 bis 10-8 s. Wann dasselbe Atom danach erneut Strahlung aussenden wird, ist völlig unbestimmt, die Emissionsakte sind voneinander statistisch unabhängige Vorgänge (daher "statistische" Lichtquelle). Dies gilt für die spontane Emission, also nicht für die induzierte Emission, auf der der Laser-Effekt beruht. Die Emissionsdauer Δt bestimmt die Länge lc des ausgesandten Wellenpaketes, es gilt:

lc=c ⋅ Δt (2) Nach Fourier läßt sich ein Wellenpaket durch Überlagerung von unendlich vielen ebenen monochromatischen Wellen aus einem Frequenzintervall Δν (der sogenannten Bandbreite) um eine mittlere Frequenz ν0 herum beschreiben, und es gilt

Δt ⋅ Δν ≈ 1 (3)

KW 4 KOHÄRENZ VON WELLEN Die Bandbreite Δλ des Lichtes ergibt mit Gleichung (2): (3’) lc ≈ λ2/Δλ I.2 Kohärenz Definition: Wir nennen Lichtbündel zueinander kohärent, wenn man durch lineare Superposition der Bündel zeitlich konstante (d.h. beobachtbare) Interferenzfiguren erzeugen kann. Aus dem Kontrast der Interferenzfiguren kann man den sog. Kohärenzgrad als ein Maß für den Betrag der Kohärenz herleiten:

(4) vI II I=

−+

max minmax min

wobei Imax und Imin die zeitlichen Mittelwerte der Lichtintensitäten in benachbarten Interferenzmaxima und -minima sind. Man sieht, daß für den Kohärenzgrad gilt: 0≤v≤1 Die Theorie zeigt, daß der Kohärenzgrad im allgemeinen eine komplexe Größe ist. Das oben definierte v ist dann der Betrag des Kohärenzgrades. Die Extremfälle v=0 und v=1 nennt man Inkohärenz bzw. vollständige Kohärenz. Die Zwischenfälle bezeichnet man als partielle (teilweise) Kohärenz. I.3 Kohärenzzeit und Kohärenzlänge Sie wird durch ein Interferenzexperiment vom Michelson-Typ (z.B. Newtonscher Versuch) untersucht. Dazu spaltet man ein Lichtbündel in zwei Teile und vereinigt diese wieder, nachdem der eine Teil einen längeren Weg zurückgelegt hat als der zweite. Wird die Wegdifferenz d größer als die mittlere Länge der Wellenpakete lc, so entstehen keine zeitlich konstanten Interferenzstreifen mehr. Auf diese Weise kann man direkt die mittlere Länge der Wellenpakete messen. Man nennt diese Länge die Kohärenzlänge und die zugehörige Zeit Δt=lc/c die Kohärenzzeit. Kohärenz kann man beobachten, wenn die Zeitverzögerung Δt' zwischen beiden Teilbündeln kleiner ist als die Kohärenzzeit Δt, und mit Gl.(3) erhält man die zeitliche Kohärenzbedingung (5) Δt'⋅Δν≤1

NEWTONSCHE RINGE KW 5 I.4 Kohärenzfläche, räumliche Kohärenz Bei Beugungsexperimenten vom Youngschen Typ (Fig.1) tritt bei ausgedehnter Lichtquelle (Leuchtfläche FL) als weiteres Problem hinzu, daß durch die Spaltöffnungen S1 und S2 zu jedem Punkt P in der Ebene E2 Licht von verschiedenen Punkten der Lichtquelle gelangt. Wir wollen dabei annehmen, die Bandbreite des Lichtes sei klein: Δν<<ν0. Damit die Interferenzfigur bei P, die von Licht des Punktes A1 der Lichtquelle herrührt, sichtbar bleibt, dürfen sich die durch Licht anderer Orte (z.B. A2) in P entstehenden Interferenzfiguren nur geringfügig von der ersten unterscheiden; genauer: Entsteht von A1 in P ein Intensitätsmaximum, so darf von A2 dort kein Minimum entstehen, da der Kontrast der Gesamt-Interferenzfigur verschwinden würde. Für die Differenz Δs der beiden Weglängenunterschiede Δs1=A1S1P-A1S2P und Δs2=A2S1P-A2S2P muß also gelten

Δs = Δs1-Δs2 < λ/2 (6) Für den Spezialfall, daß A1 und P auf der Symmetrieachse der Versuchsanordnung liegt, können wir Δs leicht berechnen (vgl. Fig.1): Es ist anschaulich klar, daß A1S1P=A1S2P, d.h. Δs1=0 ist. Weiter gilt A S = y + (a + d)2 1

2 2 . Im Youngschen Experiment sind a<<y und d<<y, daher gilt die Näherung A2S1≈y(1+(a+d)2/(2y2)). Entsprechend gilt A2S2≈y(1+(a-d)2/(2y2)), und wir erhalten Δs2=2ad/y. Mit Gl.(6) folgt als Bedingung für die Sichtbarkeit der gesamten Interferenzfigur in der Umgebung von P:

2ad/y < λ/2 (7)

Fig. 1

KW 6 KOHÄRENZ VON WELLEN Nun gilt 2a/y = 2tan(α/2) ≈ sin α und 2d/y = 2tan(β/2) ≈ sin β, so daß wir Gl.(7) auch schreiben können: (8a) a⋅sin β < λ/2 bzw.

(8b) d⋅sin α < λ/2 Die Bedingung (8a) bzw. (8b) nennt man die räumliche Kohärenzbedingung. Gl.(8a) begrenzt die für kohärente Ausleuchtung des Doppelspaltes erlaubte Größe der Lichtquelle bei vorgegebenem Abstand y. Gl.(8b) dagegen gibt an, wie groß der kohärent ausgeleuchtete Bereich um Q in der Spaltebene E1 ist. Wir können daraus die kohärent ausgeleuchtete Fläche in der Spaltebene angeben. Der Einfachheit halber werden wir sie durch ein Quadrat annähern, da ja die Gln.(8) nur eine Größenrelation darstellen. Wir erhalten (9) Fkoh ≈ (y⋅sin β)2 Setzen wir für die obere Grenze in Gl.(8a) das Gleichheitszeichen, so können wir in Gl.(9) einsetzen und erhalten

(10) ( )

Fy

ay

Fkoh L≈

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⋅λ λ2

2 2

wobei FL = 4a2 die Fläche der Lichtquelle sein soll. Fkoh nennt man die Kohärenzfläche im Abstand y von der Lichtquelle um den Punkt Q in der Ebene E1. Die beiden Spaltöffnungen S1 und S2 müssen in dieser Fläche liegen, damit man in der Ebene E2 in der Umgebung von P Interferenzstreifen beobachten kann. Anmerkung: Während die Kohärenzzeit eine Eigenschaft des Wellenpaketes und damit der Lichtquelle ist, hängt die Kohärenzfläche von der Geometrie der Versuchsanordnung ab. Zur Verbesserung der zeitlichen Kohärenz muß man die Bandbreite herabsetzen (z.B. durch Benutzung eines Farbfilters oder eines Monochromators), zur Verbesserung der räumlichen Kohärenz kann man z.B. den Abstand y zwischen Lichtquelle und Spaltebene vergrößern.

NEWTONSCHE RINGE KW 7 I.5 Kohärenzvolumen und Elementarbündel Wir wollen jetzt annehmen, das Lichtbündel bestehe aus fast ebenen quasimonochromatischen Wellen. Den Zylinder mit der Kohärenzfläche Fkoh als Grundfläche und der Kohärenzlänge lc als Höhe, wobei die Zylinderachse in Ausbreitungsrichtung liegt, nennt man das Kohärenzvolumen

V F ly cF

yFkoh koh c

L L= ⋅ =

⋅ ⋅⋅ = ⋅

λ λ2 2 2 4

Δν Δλ (11)

Wenn sich alle Wellen in demselben Polarisationszustand befinden, nennt man das Kohärenzvolumen auch Elementarbündel der fast ebenen, quasimonochromatischen Wellen. II. Spezialfälle II.1 Zwei Sinuswellen gleicher Frequenz Wählen wir nun aus einem Wellenpaket zwei Fourierkomponenten A1 und A2 aus, deren Überlagerung wir untersuchen wollen:

( )A a t k x1 1 1 1 1= ⋅ −sin ω ( )A a t k x2 2 2 2 2= ⋅ −sin ω

ω1 = ω2 = ω k1 = k2 = k Mit den Additionstheoremen für den Sinus erhält man, wenn man zudem beachtet, daß die durch Überlagerung entstehende Welle A3 wieder durch eine Sinusfunktion beschrieben wird:

( )a a a a a k d32

12

22

1 22= + + ⋅ ⋅cos , wobei k⋅d = k⋅(x2-x1) die Phasendifferenz der beiden Wellen darstellt. Da sich die Intensität i der ebenen Welle aus den Amplituden zu i=c⋅ε⋅a2/(4π)⋅ (ε=Dielektrizitätskonstante des Ausbreitungsmediums) ergibt, erhalten wir:

( )i i i k d i i3 1 2 1 22= + + cos Für die Beobachtbarkeit von Interferenzfiguren ist der zeitliche Mittelwert der Intensitäten I entscheidend, da das Auge oder sonstige Nachweisgeräte sehr träge sind im Vergleich zur Schwingungsdauer des Lichtes. Ist die Phasendifferenz zeitlich konstant, so erhalten wir

KW 8 KOHÄRENZ VON WELLEN

(12) ( )I I I k d I I3 1 2 1 22= + + cos Nehmen wir an, die Überlagerung sei in einem Newtonschen Interferenzversuch zustandegekommen. Dort wächst die Phasendifferenz kd monoton. Dabei ändert sich die Intensität I3 periodisch zwischen I I I I Imax = + +1 2 1 22 und I I I I Imin = + −1 2 1 22 . Sind speziell die Amplituden beider Wellen gleich (a1=a2), so ist Imax = 4I1 und I min =0. Die beiden Wellen sind also vollständig kohärent zueinander, aus Gl.(4) folgt v = 1. Wechselt dagegen die Phasen-differenz mit der Zeit sehr rasch (d = d(t)), so wird das Zeitmittel des Inter-ferenzterms Null:

( )2 0 I I k d(t)1 2t

⋅ ⋅ =cos

Als zeitlichen Mittelwert der resultierenden Intensität erhalten wir dann I3=I1+I2. Die beiden Wellen sind also zueinander inkohärent, v = 0. Eine Zeitabhängigkeit der Phasendifferenz entsteht bei Lichtwellen z.B. dadurch, daß die Kohärenzlänge im Newton-Experiment überschritten wird. II.2 Interferenz mit polychromatischem Licht a) Zwei Spektrallinien verschiedener Frequenz Das Licht soll aus zwei Spektrallinien verschiedener Frequenzen ω1 und ω2 bestehen, deren Wellenpakete wir in grober Näherung als monochromatische ebene Sinus-Wellenzüge gleicher Amplitude A beschreiben wollen:

( )( )A a t k x t1 1 1 1= ⋅ − +sin ω ϕ ( )( )A a t k x t2 2 2 2= ⋅ − +sin ω ϕ ϕ1(t) und ϕ2(t) sind im allgemeinen zeitabhängige Phasen"konstanten": Sie werden für jeden einzelnen Wellenzug als konstant angenommen, können aber zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zügen variieren. Bei der Überlagerung beider Wellen entsteht eine Welle, deren Amplitude sich räumlich und zeitlich ändert. Dieses Verhalten ist die Verallgemeinerung des aus der Schwingungslehre her bekannten Begriffs der Schwebung. Die Anwendung der Additionstheoreme liefert

( ) ( )B A A a t K x t k x= + = ⋅ − + − +1 2 2 sin cosΩ Φ ω ϕ mit ( )Ω = +ω ω1 2 2, ( )ω ω ω= −1 2 2 ,

( )K k k= +1 2 2, ( )k k k= −1 2 2 , ( )Φ = +ϕ ϕ1 2 2 und ( )ϕ ϕ ϕ= −1 2 2.

NEWTONSCHE RINGE KW 9 Die Welle B werde in einem Newtonschen Interferenzversuch in zwei Teile B1 und B2 aufgespalten, wobei die Welle B2 einen um d längeren optischen Weg zurücklegt, bevor die Wellen interferieren. Der Vereinfachung halber nehmen wir an, die Aufspaltung von B erfolge in gleiche (d.h. gleichintensive) Teile. Die beiden interferierenden Teilwellen sind dann

( ) ( )B a t Kx t k x1 = − + ⋅ − +sin cosΩ Φ ω ϕ

( )( ) ( )( )B a t K x d t k x d2 = − + + ⋅ − + +sin cosΩ Φ ω ϕ Der zeitliche Mittelwert der Gesamtintensität bei Überlagerung beider Teilwellen ergibt sich wieder zu

( ) ( )I = const B B = const B + B + 2B B1 22 t

12

22

1 2t

⋅ + ⋅ (13)

= I + I + 2 const B B1 2 1 2t⋅ ⋅

Wie unter II.1 ergibt sich die Gesamtintensität als Summe der Einzelintensitäten I1 und I2 zuzüglich des Interferenzterms const' B B1 2

t⋅ . Für die Entstehung von beobachtbaren Interferenzfiguren ist letzterer entscheidend. Mit Hilfe der Additionstheoreme erhält man

( ) ( )2B B = const 2a cos kd cos Kd1 2t ⋅ ⋅ ⋅ (14)

Abb. 2⋅ Abb.2 zeigt den aus den Gln.(13) und (14) folgenden Verlauf der zeitgemittelten Gesamtintensität als Funktion der Gangdifferenz d. Berechnet man nach Gl.(4) den Betrag des Kohärenzgrades, so findet man

KW 10 KOHÄRENZ VON WELLEN (15) v = |cos(kd)| Der Kohärenzgrad oszilliert also mit d zwischen 0 und 1, die Nullstellen liegen bei dm = π⋅(2m+1)/(2k)= π⋅(2m+1) ⋅c/(ω1 - ω2). Dieses Kohärenzverhalten wird in Aufgabe 3 untersucht werden. b) Spektrum ausgedehnter Bandbreite Die Betrachtung von II.2a kann man auch für Licht eines ausgedehnten Spektralbereichs durchführen. Dieser Spektralbereich sei rechteckig (vgl. Abb.3). Wir unterteilen ihn in quasimonochromatische Bereiche, die wir mit 1, 1', 2, 2', 3, 3' usw. durchnumerieren. Jedes Paar (n, n') können wir durch Wellen vom Typ der Gl.(13) beschreiben. Den zugehörigen Kohärenzgrad vn,n' finden wir wieder durch Gl.(15). Man sieht, daß min(d0(n,n'))=d0(1,1'), also bestimmt das Paar der am weitesten voneinander entfernten Linien (1,1'), d.h. die spektrale Bandbreite, den Kohärenzbereich v≠0. Dieses Kohärenzverhalten wird in Aufgabe 4 untersucht werden. Abb. 3 II.3 Abschätzung der zeitlichen Kohärenz (vgl. Aufg.4) Wir betrachten einen ungedämpften Wellenzug der Länge lc=c⋅Δt, der die folgende Form hat

F(t) =f e für t t

20 für t t

2

0-2 i t0⋅ ≤

≥

⎧⎨⎪

⎩⎪

π ν Δ

Δ

wobei f0=a⋅eikx. Dieser Wellenzug ist sehr idealisiert, da von Atomen ausgesandte Wellenzüge stets gedämpft sind. Mit dem Fourierschen Integraltheorem

NEWTONSCHE RINGE KW 11

( )

( )

F(t) = e d

( ) = e d

-2i-

+

+2i t-

+

ϕ ν ν

ϕ ν

πν

πν

⋅

⋅

∞

∞

∞

∞

∫

∫

t

F t t

folgt dann

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( )( )

( )

ϕ νπ ν ν

π ν ν

π ν ν

π ν ν

π ν νπ ν ν

π ν ν π ν ν

= f e dt = fe

2i -

= fe e

2i -= f t

sin - t

- t

02i - t

- t 2

+ t 2

0

2i - t

0t=- t 2

t=+ t 2

0

i - t -i - t

00

0

0

0

0

0 0

⋅⋅

⋅ ⋅

∫⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ⋅ ⋅

⋅

⋅

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ ΔΔ

Δ

Δ

Für die Intensität gilt demnach

( )( )( )I

sin - t

- t0

0

2

∝⋅

⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

π ν νπ ν ν

ΔΔ

Die erste Nullstelle der Intensität erscheint, wenn das Argument des Sinus-Terms gleich π ist, d.h. wenn Δν Δ= − =ν ν0 1 t gilt. Der effektive Frequenzbereich des Fourierspektrums ist also von der Größenordnung der reziproken Emissionsdauer eines einzelnen Wellenzuges. III Aufgaben Aufgabe 1: Man bestimme den Krümmungsradius einer dünnen Konvexlinse durch Ausmessen der Radien der Newtonschen Ringe von z = 10 bis z = 20. Messung: Fällt fast monochromatisches Licht der Wellenlänge λ auf eine auf einer ebenen Glasplatte aufliegende, schwach gekrümmte Linse, so beobachtet man im reflektierten (wie auch im durchfallenden) Licht ein System konzentrischer, abwechselnd heller und dunkler Ringe, die sogenannten Newtonschen Ringe. Sie entstehen durch Interferenz der Teilbündel, welche an den die Schicht mit Brechungsindex n zwischen Linse und Glasplatte begrenzenden Oberflächen

KW 12 KOHÄRENZ VON WELLEN reflektiert werden. Zwischen dem Radius rz des dunklen Ringes z-ter Ordnung und dem Krümmungsradius R der Linse besteht der Zusammenhang (Herleitung in der angegebenen Literatur nachlesen!).

(16) rz R

nz2 =

⋅ ⋅λ

Dabei ist n wie oben schon erwähnt der Brechungsindex. Diese Beziehung liefert eine Methode, durch Messung von rz den Krümmungsradius R zu bestimmen. Zur Beobachtung und Ausmessung der Ringe dient die Anordnung wie in Fig.4 skizziert.

Fig.4 Das monochromatische Licht einer Na-Dampflampe Q der Wellenlänge λ=5893Å wird durch eine schräggestellte Glasplatte P umgelenkt und fällt von oben auf das System Linse L/Glasplatte G. Die infolge der keilförmigen Schicht zwischen L und G entstehenden Interferenzen werden mittels eines Mikroskops M beobachtet. Das System Linse/Glasplatte liegt auf einem meßbar verschiebbaren Schlitten S, welcher ebenso wie das Mikroskop M Bestandteil eines Komparators ist. Verschiebt man S mittels der Komparatorspindel relativ zu M, so wandert das Ringsystem durch das Gesichtsfeld von M. Zur Bestimmung von rz bringt man zunächst die Mitte des Fadenkreuzes an das eine Ende eines Durchmessers des z-ten Ringes. rz ergibt sich dann aus der Verschiebung von S, die nötig ist, um die Fadenkreuzmitte mit dem gegenüberliegenden Ende des Durchmessers zur Deckung zu bringen. Die Verschiebung ist an der Trommel der Mikrometerspindel unmittelbar ablesbar.Eine Umdrehung der Mikrometerspindel bewirkt eine Verschiebung des Schlittens um 1mm. Zur Ausmessung sämtlicher rz beginne man zweckmäßigerweise mit dem Ring größten Durchmessers (z = 20) und bestimme nacheinander die Positionen der aufeinanderfolgenden Minima abnehmender Ordnung bis z = 10 und anschließend die

NEWTONSCHE RINGE KW 13 Positionen der Minima der anderen Hälfte des Ringsystems von z = 10 bis z = 20. Wegen des toten Ganges der Mikrometerspindel ist darauf zu achten, daß diese immer in der gleichen Richtung gedreht wird. Für die Verläßlichkeit der Messung ist entscheidend, daß die Relativbewegung der Fadenkreuzmitte entlang eines Durchmessers des Ringsystems erfolgt. Zur Auswertung der Messung wird rz2 gegen z graphisch aufgetragen und R aus der Steigung der resultierenden Geraden berechnet. Aufgabe 2: Man bestimme den Brechungsindex n von destilliertem Wasser. Messung: Diese Aufgabe zeigt, daß nicht der geometrische Wegunterschied δ sondern der optische Wegunterschied d=n⋅δ für die Interferenz wesentlich ist. Analog zur ersten Aufgabe, bei der der Keil zwischen L und G mit Luft gefüllt war, wird nun ein Tropfen destilliertes Wasser mit einer Spritzflasche in den Keil gebracht und die Messung der Aufgabe 1 wiederholt. Zur Berechnung von n wird der dort ermittelte Wert von R benutzt. Aufgabe 3: Man bestimme die Wellenlängendifferenz Δλ = −λ λ1 2 zweier Linien des Hg-Spektrums. Messung: Aus dem Licht einer Hg-Dampflampe werden durch ein Farbfilter zwei Linien mit den Wellenlängen λ1 und λ2 herausgefiltert. Man mißt die Lage der Sichtbarkeitsminima der mit den beiden Linien erzeugten dunklen Newtonschen Ringe. Dazu zählt man die Ringe bis zum ersten, zweiten, dritten und vierten Minimum der Sichtbarkeit der Newtonschen Ringe. Sichtbarkeitsminimum bedeutet v = 0. Aus Gl.(15) folgt für v=0:

( )kd w= − ⋅2 1 2π

bzw.

( )Δλλ2

2 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ =

−d

w,

w = 1, 2, 3, 4 ist die Ordnung des entsprechenden Sichtbarkeitsminimums. Für den z-ten Newtonschen Ring gilt außerdem

KW 14 KOHÄRENZ VON WELLEN

( )d z= + ⋅2 1 2λ

z = 0, 1, 2, ... ist die Ordnung der Newtonschen Ringe. Es ergibt sich mit der mittleren Wellenlänge ( )λ λ λ= +1 2 2 die Beziehung

( )( )

Δλλ =

−

+

2 1

2 1

w

z

Wegen Δλ<<λ λ1 2, kann man hier λ λ λ1 2 561≈ ≈ = nm setzen. Aufgabe 4: Man bestimme die Kohärenzlänge lc von Licht mit verschiedenen spektralen Bandbreiten. a) weißes Licht: Als mittlere Wellenlänge wähle man λ = 555 nm, was dem

Maximum der Farbempfindlichkeit des menschlichen Auges entspricht. Die Bandbreite der Augenempfindlichkeit ist etwa Δλ ≈ 100 nm (Halbwertsbreite).

b) Blaufilter: λ = 470 nm, Δλ = 60 nm c) Interferenzfilter: λ = 581 nm, Δλ = 13 nm d) Na-Dampflampe: λ = 589 3. nm. Hier schätze man die durch die Versuchs-

anordnung (Linsendurchmesser) gegebene untere Grenze für lc ab. Messung: Man bestimme die Zahl der dunklen Ringe zmax und errechne daraus lc. Dazu zeige man zunächst, daß l zc = ⋅max λ . Die Ergebnisse vergleiche man mit den aus Gl.(2) folgenden theoretischen Werten für die Kohärenzlängen.