Konvexe Mengen und konvexe Funktionen · 1 Einleitung Konvexe Mengen und konvexe Funktionen...

Technische Universitat

Dortmund

Fakultat fur Mathematik

Lehrstuhl I: Analysis

Ausarbeitung Analysis III Seminar

Konvexe Mengen und konvexe Funktionen

Name: Jessica Prang

Datum: 14.04.2015

Seminarleiter: Prof. Dr. Matthias Roger

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Grundlagen 4

3 Konvexe Mengen 6

4 Konvexe Funktionen 11

5 Wichtige Ungleichungen 21

6 Literaturverzeichnis 28

7 Abbildungsverzeichnis 29

1 Einleitung

Konvexe Mengen und konvexe Funktionen begegnen uns in vielen Teilgebieten der Ma-

thematik. Konvexe Mengen finden wir haufig in der Geometrie, aber auch in der Analysis

sind sie Teil der Lehre. Eine durchaus großere Bedeutung wird hier jedoch den konve-

xen Funktionen zugeschrieben. Diese treten zusatzlich auch viel in der Optimierung auf,

denn mit ihnen konnen Problemstellungen angemessen bearbeitet werden.

Im folgenden wird zunachst eine Einfuhrung in die konvexen Mengen stattfinden. Danach

wird auf konvexe Funktionen und in diesem Zusammenhang wichtige Satze eingegangen

werden. Im Anschluss werden mit Hilfe der konvexen Funktionen einige wichtige Unglei-

chungen angefuhrt.

2 Grundlagen

2.1 Definition: Kugel

Sei X ein metrischer Raum und a ∈ X und r > 0. Dann definiert man eine (offene)

Kugel mit dem Mittelpunkt a und Radius r durch

Br(a) := x ∈ X : d(x, a) < r.

2.2 Definition: Hyperebene und Halbraum

Seien a ∈ Rn, a 6= 0, und α ∈ R gegeben. Dann heißt die Menge

H(a, α) = x ∈ Rn : aTx = α

von a und α induzierte Hyperebene. Eine Hyperebene H(a, α) erzeugt durch

H(a, α) = x ∈ Rn : aTx ≥ α und H(a, α) = x ∈ Rn : aTx ≤ α

zwei Halbraume.

2.3 Definition: Regelfunktion

Es sei I ⊂ R ein Intervall mit den Grenzen a, b. Eine Funktion f : I → R heißt Regel-

funktion, wenn folgendes gilt:

1. Fur jeden Punkt x ∈ (a, b) existieren in R der linksseitige und der rechtsseitige

Grenzwert.

2.3 Definition: Regelfunktion 5

2. Wenn der Anfangspunkt a ∈ I liegt, so existiert der rechtsseitige Grenzwert in R.

3. Wenn der Endpunkt b ∈ I liegt, so existiert der linksseitige Grenzwert in R.

Die Menge der Regelfunktionen auf I wird mit R(I) bezeichnet.

3 Konvexe Mengen

3.1 Definition: Konvexe Menge

Eine Menge K des Rn heißt konvex, wenn mit x, y ∈ K auch die Strecke [x, y] :=

λx+ (1− λ)y : 0 ≤ λ ≤ 1 zu K gehort.

3.2 Bemerkungen

1. Es gilt [x, y] = [y, x].

2. Fur n = 1 und x < y ist die Strecke [x, y] das Intervall z ∈ R : x ≤ z ≤ y. Wahlt

man z = x+ t(y− x) = (1− t)x+ ty mit 0 ≤ t ≤ 1 fur die Punkte von [x, y], so ist

z = x fur t = 0 und z = y fur t = 1. Wandert t von 0 nach 1 so werden die Punkte

von [x, y] monoton von x nach y durchlaufen.

3.3 Beispiele

1. Jede Kugel Br(x0) ist konvex.

Beweis:

Aus |x−x0| < r und |y−x0| < r folgt fur 0 ≤ λ ≤ 1 das gilt |λx+ (1−λ)y−x0| =

|λ(x− x0) + (1− λ)(y − x0)| ≤ λ|x− x0|+ (1− λ)| < λr + (1− λ)r = r.

2. Jede affine Hyperebene E in Rn ist konvex.

Beweis:

E ist gegeben durch die Gleichung 〈a, x〉 = c mit a ∈ Rn, c ∈ Rn und a 6= 0. Dann

3.4 Definition: konvexe Kombination 7

folgt aus x ∈ E und y ∈ E, dass 〈a, λx + (1 − λ)y〉 = λ〈a, x〉 + (1 − λ)〈a, y〉 =

λc+ (1− λ)c = c gilt. Damit gilt λx+ (1− λ)y ∈ E.

Man benotigt fur diesen Beweis nicht einmal dass 0 ≤ λ ≤ 1 ist.

3. Jeder Halbraum H := x ∈ Rn : 〈a, x〉 ≥ c ist konvex.

Beweis:

Aus 〈a, x〉 ≥ c und 〈a, y〉 ≥ c folgt fur 0 ≤ λ ≤ 1 das gilt: 〈a, λx + (1 − λ)y〉 =

λ〈a, y〉 ≥ λc+ (1− λ)c = c .

4. Die Schnittmenge beliebig vieler konvexer Mengen ist konvex.

5. Graphische Darstellung:

Abbildung 3.1: Konvexe und nicht konvexe Menge

3.4 Definition: konvexe Kombination

Sind x1, x2, ..., xk ∈ Rn und λ1, λ2, ..., λk reelle Zahlen mit λ1 + λ2 + ... + λk = 1 und

λj ≥ 0 fur 1 ≤ j ≤ k, so ist

x := λ1x1 + λ2x2 + ...+ λkxk (3.1)

eine konvexe Kombination der Punkte x1, x2, ..., xk.

3.5 Satz 8

3.5 Satz

Eine Menge K des Rn ist genau dann konvex, wenn jede konvexe Kombination von

Punkten aus K wieder in K liegt.

Beweis:

Ruckrichtung: Die Bedingung ist hinreichend.

Betrachte k = 2:

x = λ1x1 + λ2x2, mit der Definition 3.4 folgt wegen λ1 + λ2 = 1, dass x geschrieben

werden kann als x = λ1x1 + (1− λ1)x2. Das entspricht eben der Definition von konvex.

Damit ist die Ruckrichtung gezeigt.

Hinrichtung: Vollstandige Induktion nach k.

Induktionsanfang: Fur k = 2 gilt: x = λ1x1 + λ2x2. Da K konvex ist, ist λ1 + λ2 = 1,

mit λ1 ≥ 0 und λ2 ≥ 0 und somit gilt x ∈ K.

Induktionsannahme: Die Behauptung gelte fur k Punkte aus K.

Induktionsschritt: k → k + 1

Sei x := λ1x1 + ...+λk+1xk+1 mit 0 ≤ λ ≤ 1 und λ1 + ...+λk+1 = 1 fur alle k+1 Punkte

x1, ..., xk+1 aus K.

Falls λk+1 = 1 ⇒ x = xk+1 ∈ K.

Falls λk+1 < 1 ⇒ λ1 + ...+ λk = 1− λk+1 > 0.

Somit lasst x sich schreiben als x = (λ1 + ... + λk) ·(

λ1λ1+...+λk

x1 + ...+ λkλ1+...+λk

xk

)+

λk+1xk+1.

Nach Induktionsannahme gilt: y = λ1λ1+...+λk

x1 + ...+ λkλ1+...+λk

xk mit y ∈ K.

Es gilt: λ1 + ... + λk = 1 − λk+1 > 0, dies wieder in die Gleichung x = (λ1 + ... +

λk) ·(

λ1λ1+...+λk

x1 + ...+ λkλ1+...+λk

xk

)+ λk+1xk+1 eingesetzt, liefert: x = (1 − λk+1)y +

λk+1xk+1, was somit eine konvexe Kombination von zwei Punkten aus K ist, weil K

konvex ist.

Es folgt somit x ∈ K , wenn K konvex ist.

3.6 Definition: k-Simplex 9

3.6 Definition: k-Simplex

Sei k ∈ 1, ..., n. Die Menge der konvexen Kombinationen von k+1 Punkten x0, x1, ..., xk

des Rn mit 1 ≤ k ≤ n wird als k-Simplex mit den Eckpunkten x0, x1, ..., xk bezeichnet,

falls die Vektoren x1 − x0, ..., xk − x0 linear unabhangig sind.

3.7 Beispiele

1. 1-Simplex = Strecke

2. 2-Simplex = Dreieck

3. 3-Simplex = Tetraeder

3.8 Definition: Stutzhalbraum

Sei K eine abgeschlossene Menge des Rn mit K 6= ∅,Rn. Dann nennt man einen Halb-

raum H := x ∈ Rn : 〈a, x〉 ≥ c mit a 6= 0 einen Stutzhalbraum von K, wenn K ⊂ H

ist und die Hyperebene E = ∂H = x ∈ Rn : 〈a, x〉 = 0 mindestens einen Punkt von

K enthalt. E heißt Stutzhyperebene von K.

3.9 Bermerkung

Ist HK die Menge aller Stutzhalbraume von K 6= ∅,Rn, dann gilt:

K ⊂⋂

H∈HK

H =: K∗. (3.2)

3.10 Satz

Fur jede abgeschlossene konvexe Menge K 6= ∅,Rn gilt:

K =⋂

H∈HK

H. (3.3)

3.10 Satz 10

Beweis:

” ⊃ ”: Gabe es einen Punkt ξ ∈ K∗\K, so sei x0 ∈ K ein Punkt mit |ξ − x0| = d(ξ,K).

Das bedeutet:

|ξ − x0| ≤ |ξ − x| ∀x ∈ K (3.4)

Sei H0 := x ∈ Rn : 〈x0−ξ, x−x0〉 ≥ 0. Weil gilt 〈x0−ξ, ξ−x0〉 = −|ξ − x0|2 < 0 folgt,

dass ξ /∈ H0. Außerdem gilt K ⊂ H0. Weil x0 ∈ H0 ist, ware H0 dann Stutzhalbraum

von K und daher auch ξ ∈ K∗ ⊂ H0. Das ist ein Widerspruch zur Annahme ξ ∈ K∗\K.

” ⊂ ”: Sei x ein beliebiger Punkt x von K. Dann folgt tx+(1−t)x0 ∈ K fur alle t ∈ [0, 1].

Und wegen (2.4) gilt außerdem fur alle t ∈ [0, 1], dass |ξ − x0| ≤ |(ξ − x0) − t(x − x0)|

also auch |ξ−x0|2 ≤ |(ξ−x0)− t(x−x0)|2 = |ξ−x0|2−2t〈ξ−x0, x−x0〉+ t2|x−x0|2 =

|ξ − x0|2 + 2t〈x0 − ξ, x− x0〉+ t2|x− x0|2.

Hieraus folgt: 2t〈ξ−x0, x−x0〉+t2|x−x0|2 ≥ 0 und somit 〈x0−ξ, x−x−0〉+ t2 |x−x0|

2 ≥ 0

fur alle t ∈ [0, 1].

Mit t→ 0 ergibt sich 〈x0− ξ, x−x0〉 ≥ 0 fur alle x ∈ K, damit ist gezeigt, dass K ⊂ H0

ist.

4 Konvexe Funktionen

4.1 Definition: (strikt) konvex

Eine auf einer konvexen Menge K des Rn definierte Funktion f : K → R heißt konvex,

wenn

f(λx+ µy) ≤ λf(x) + µf(y) (4.1)

fur beliebige λ, µ ∈ [0, 1] mit λ+ µ = 1 und fur alle x, y ∈ K gilt.

f heißt strikt konvex, wenn sogar

f(λx+ µy) < λf(x) + µf(y) (4.2)

fur x 6= y und 0 < λ, µ < 1, λ+ µ = 1, x, y ∈ K erfullt ist.

Abbildung 4.1: Konvexe Funktion

4.2 Definition: Epigraph 12

4.2 Definition: Epigraph

Die Menge

Epi(f) := (x, z) ∈ Rn × R : x ∈ K, z ≥ f(x) (4.3)

heißt Epigraph der Funktion f : K → R.

Abbildung 4.2: Epigraph einer konvexen Funktion

4.3 Satz

Eine auf einer konvexen Menge K ⊂ Rn definierte Funktion f : K → R ist genau dann

konvex, wenn ihr Epigraph konvex ist.

Beweis:

Hinrichtung: Seien x = (x1, x2) und y = (y1, y2) aus Epi(f) und λ ∈ [0, 1] mit x1, y1 ∈ Rn

und x2, y2 ∈ R. Sei z = (z1, z2) := λx + (1 − λ)y = (λx1 + (1 − λ)y1, λx2 + (1 − λ)y2).

Dann gilt: z2 = λx2 + (1− λ)y2 ≥ λf(x1) + (1− λ)f(y1) ≥ f(λx1 + (1− λ)y1) = z1 also

z ∈ Epi(f).

Ruckrichtung: Sei Epi(f) konvex und (f(x), x), (f(y), y) aus Epi(f) und λ ∈ [0, 1]

so, dass f(λx + (1 − λ)y) > λf(x) + (1 − λ)f(y), f also nicht konvex. Damit folgt

4.4 Definition: (strikt) konkav 13

λ(x, f(x)) + (1 − λ)(y, f(y)) = (λx + (1 − λ)y, λf(x) + (1 − λ)y) /∈ Epi(f). Dann ware

Epi(f) nicht konvex und es kommt zum Widerspruch.

4.4 Definition: (strikt) konkav

Wenn statt (4.1) bzw. (4.2) die Ungleichungen

f(λx+ µy) ≥ λf(x) + µf(y)

bzw.

f(λx+ µy) > λf(x) + µf(y)

gelten, nennt man f konkav bzw. strikt konkav.

4.5 Bemerkung

Eine Funktion f ist konkav bzw. strikt konkav, wenn −f konvex bzw. strikt konvex ist.

4.6 Satz

Sei Ω eine offene konvexe Menge des Rn. Dann gilt:

1. Eine Funktion f ∈ C1(Ω) ist genau dann konvex, wenn die Ungleichung

f(x+ h) ≥ f(x) + 〈∇f(x), h〉 (4.4)

fur alle x und x+ h ∈ Ω erfullt ist.

2. Eine Funktion f ∈ C1(Ω) ist genau dann strikt konvex, wenn die Ungleichung

f(x+ h) > f(x) + 〈∇f(x), h〉 (4.5)

fur alle x und x+ h ∈ Ω mit h 6= 0 erfullt ist.

4.6 Satz 14

Geometrische Bedeutung im R: Stellt man (4.4) um zu

f(x+ h)− f(x)

h≥ f ′(x)

erhalt man anschaulich, dass die Steigung der Sekanten durch die Punkte x und x + h

großer ist als die Tangentensteigung der Tangente im Punkt x.

Beweis zu 1.:

Hinrichtung: Seien f konvex, t ∈ (0, 1) und x, x+ h ∈ Ω. Dann gilt x+ th ∈ Ω und mit

Definition (4.1) folgt:

f(x+ th) ≤ (1− t)f(x) + tf(x+ h)

⇔ f(x+ th) ≤ f(x)− tf(x) + tf(x+ h)

⇔ f(x+ th)− f(x) ≤ t[f(x+ h)− f(x)]

⇔ 1

t[f(x+ th)− f(x)] ≤ f(x+ h)− f(x)

⇔ 1

t[f(x+ th)− f(x)]− 〈∇f(x), h〉 ≤ f(x+ h)− f(x)− 〈∇f(x), h〉.

Lasst man t→ 0 laufen, so erhalt man:

0 ≤ f(x+ h)− f(x)− 〈∇f(x), h〉

⇔ 0 ≥ −f(x+ h) + f(x) + 〈∇f(x), h〉

⇔ f(x+ h) ≥ f(x) + 〈∇f(x), h〉.

Ruckrichtung: Annahme: (4.4) gilt. Fur beliebige x, y ∈ Ω mit x 6= y setzen wir z :=

tx+ (1− t)y mit t ∈ (0, 1) und h := x− z. Dann folgt fur z ∈ Ω:

z = tx+ (1− t)y

⇔ y =1

1− t(z − tx)

⇔ y =1

1− t(z − tz − tx+ tz)

⇔ y =1

1− t(z(1− t)− tx+ tz)

⇔ y = z − 1

1− tt(x− z)

⇔ y = z − t

1− th.

4.6 Satz 15

Aus (4.4) folgt somit:

f(y) ≥ f(z)− t

1− t〈f(z), h〉 und f(x) ≥ f(z) + 〈∇f(z), h〉.

Multiplikation der ersten Ungleichung mit 1− t liefert:

(1− t)f(y) ≥ (1− t)[f(z)− t

1− t〈f(z), h〉]

⇔ f(y)− tf(y) ≥ f(z)− tf(z)− t〈f(z), h〉.

Multiplikation der zweiten Ungleichung mit t ergibt:

tf(x) ≥ tf(z) + t〈∇f(z), h〉.

Addition beider Ungleichungen liefert:

f(y)− tf(y) + tf(x) ≥ f(z)− tf(z)− t〈f(z), h〉+ ff(x) + t〈∇f(z), h〉

⇔ f(y)− tf(y) + tf(x) ≥ f(z)

⇔ tf(x) + (1− t)f(y) ≥ f(z) fur 0 < t < 1

und damit ist f konvex.

Beweis zu 2.:

Ruckrichtung: Gilt nun die starkere Ungleichung (4.5), so folgt wegen h = x − z mit

z = tx+ (1− t)y:

h = x− z = x− (tx+ (1− t)y) = (1− t)(x− y) 6= 0

und somit folgt, wie bei dem Beweis zu 1.:

f(y) > f(z)− t

1− t〈∇f(z), h〉 und f(x) > f(z) + 〈∇f(z), h〉.

Multipliziert man die erste Ungleichung mit 1 − t und die zweite mit t und addiert sie

anschließend, ergibt sich die Ungleichung:

tf(x) + (1− t)f(y) > f(z) fur t ∈ (0, 1) und x 6= y.

4.7 Satz 16

Hinrichtung: Sei nun f strikt konvex. Wahlt man t ∈ (0, 1) und x, x+ h ∈ Ω mit h 6= 0.

Aus dem Beweis zu 1. wissen wir, dass

f(x+ th)− f(x) ≥ 〈∇f(x), th〉 (4.6)

ist.

Die strikt Konvexitat liefert:

f(x+ th) = f(x+ th+ tx− tx) = f(t(x+ h) + (1− t)x) < tf(x+ h) + (1− t)f(x)

also

f(x+ th) < tf(x+ h) + (1− t)f(x)

⇔ f(x+ th) < tf(x+ h) + f(x)− tf(x)

⇔ f(x+ th)− f(x) < t[f(x+ h)− f(x)] (4.7)

Mit (4.6) und (4.7) folgt:

t[f(x+ h)− f(x)] > 〈∇f(x), th〉

und somit

f(x+ h)− f(x) > 〈∇f(x), h〉.

4.7 Satz

Sei Ω eine offene konvexe Menge des Rn, f ∈ C2(Ω) und Hf = D2f . Dann gilt:

1. f ist genau dann konvex (konkav), wenn Hf (x) ≥ 0 (≤ 0) auf Ω ist.

2. Wenn Hf (x) > 0 (< 0) ist, dann ist f strikt konvex (strikt konkav).

Beweis zu 1.:

Ruckrichtung: Fur x, x+ h ∈ Ω liegt [x, x+ h] in Ω, da Ω konvex ist.

Dann liefert die Taylorsche Formel:

f(x+ h) = f(x) + 〈∇f(x), h〉+1

2〈h,Hf (x+ ϑh)h〉 mit ϑ ∈ (0, 1).

4.8 Bemerkung 17

Aus Hf (z) ≥ 0 fur alle z ∈ Ω folgt fur h 6= 0:

f(x+ h) = f(x) + 〈∇f(x), h〉+1

2〈h,Hf (x+ ϑh)h〉 ≥ f(x) + 〈∇f(x), h〉

und somit gilt nach 4.6.1, dass f konvex ist.

Hinrichtung: Sei f konvex, mit f(x+ h) ≥ f(x) + 〈∇f(x), h〉 aus Satz 4.6.1 folgt:

〈h,Hf (x+ ϑh)h〉 ≥ 0 fur |h| << 1 und ein ϑ ∈ (0, 1). (4.8)

Wahlt man h = ta mit a ∈ Sn−1 und 0 < t << 1 und multipliziert man (4.8) mit t−2 so

folgt:

t−2〈ta,Hf (x+ ϑta)ta〉 ≥ 0

⇔t−2t2〈a,Hf (x− ϑta)a〉 ≥ 0

⇔〈a,Hf (x+ ϑta)a〉 ≥ 0

mit t → 0 bekommt man 〈a,Hf (x)a〉 ≥ 0 fur alle a ∈ Sn−1 und das liefert Hf (x) ≥ 0

fur jedes x ∈ Ω.

Beweis zu 2.:

Genau wie bei dem Beweis zu 4.7.1 (Ruckrichtung) folgt mit Hf (z) > 0 und Satz 4.6.2,

dass f strikt konvex ist, wenn Hf (x) > 0.

4.8 Bemerkung

1. Ganz aquivalent zeigt man bei Satz 4.7 die Beweise zu den konkaven Funktionen.

2. In Satz 4.7.2 ist die Bedingung Hf (x) > 0 auf Ω nicht notwendig fur strikte Kon-

vexitat von f .

Hierzu kann man das Beispiel f : R→ R mit f(x) = x4 betrachten:

f(λx + µy) = λ4x4 + 4λ3x3µy + 6λ2x2µ2y2 + 4λxµ3y3 + µ4y4 mit x 6= y und

0 < y, µ < 1, λ+ µ = 1 gilt f(λx+ µy) < λf(x) + µf(y) = λx4 + µy4. Somit ist

f(x) = x4 strikt konvex.

4.9 Satz 18

Andererseits gilt jedoch Hf (x) = 12x2 ≥ 0 fur x ∈ Ω, da x = 0 nicht ausgeschlossen

ist.

4.9 Satz

Sei I ein Intervall in R und f ∈ C1(I). Dann gilt:

1. f ist genau dann konvex, wenn f ′ schwach monoton wachst.

2. f ist genau dann strikt konvex, wenn f ′ monoton wachst.

Beweis zu 1.:

Hinrichtung: Setzen wir in die Ungleichung (4.4) fur x + h = y mit x, y ∈ int I und

y < x folgt f(y) ≥ f(x) + 〈∇f(x), y − x〉 und durch Vertauschen von x und y folgt

f(x) ≥ f(y) + 〈∇f(y), x− y〉 also hat man die beiden Ungleichungen

f(y)− f(x) ≥ f ′(x)(y − x) und f(x)− f(y) ≥ f ′(y)(x− y)

falls f konvex ist.

Multiplikation der ersten Ungleichung mit (−1) ergibt f(x) − f(y) ≤ f ′(x)(x − y) und

damit folgt insgesamt:

f ′(y) ≤ f ′(x) fur x, y ∈ int I mit y < x.

Ruckrichtung: Ist f ′ schwach monoton wachsend auf I, so folgt mit einem ϑ ∈ (0, 1),

dass f(x+ h)− f(x) = f ′(x+ ϑh)h ≥ f ′(x)h gilt.

Mit Satz 4.6 folgt, dass f konvex ist.

Beweis zu 2.:

Hinrichtung: Setzt man x, y ∈ int I mit y < x in die Ungleichung 43.5) ein, so folgt

analog zu Beweis zu 3.9.1:

f(y)− f(x) > f ′(x)(y − x) und f(x)− f(y) > f ′(y)(x− y)

und damit f ′(y) < f ′(x) fur x, y ∈ int I mit y < x.

Ruckrichtung: Ist f ′ monoton wachsend und h 6= 0 so folgt f(x+h)−f(x) = f ′(x+ϑh)h >

f ′(x)h.

4.10 Satz 19

4.10 Satz

Sei I ein Intervall und f ′′ ∈ C2(I). Dann gilt:

Die Funktion f ist genau dann konvex, wenn f ′′(x) ≥ 0 auf I ist, und f ist strikt konvex,

falls f ′′(x) > 0 auf I ist, mit Ausnahme von endlich vielen Punkten in I.

D.h. an der Stelle x liegt eine Wendestelle vor, welche eine Linkskrummung beschreibt.

4.11 Bemerkung

Ist in 4.10 f ′′(x) ≤ 0 bzw. f ′′(x) < 0 so ist f konkav bzw. strikt konkav.

4.12 Beispiele

1. Die Funktion f(x) := ex, x ∈ R ist strikt konvex.

Beweis: f ′′(x) = ex > 0

2. Die Funktion f(x) := xα, x > 0 ist strikt konvex fur α > 1, strikt konkav fur

0 < α < 1 und strikt konvex fur α > 0.

Beweis: f ′′(x) = α(α− 1)xα−2 > 0 fur α > 1 und α < 0.

f ′′(x) = α(α− 1)xα−2 < 0 fur 0 < α < 1.

3. Die Funktion f(x) := log x, x > 0 ist strikt konkav.

Beweis: f ′′(x) = −x−2 < 0

Fur x, y > 0 mit x 6= y und 0 < λ < 1 gilt also log(λx+ (1− λ)y) > λlog x+ (1−

λ)log y = log(xλy1−λ). Exponenzieren der Ungleichung liefert:

xλy1−λ < λx+ (1− λ)y fur 0 < λ < 1. (4.9)

Damit gilt:

xλy1−λ ≤ λx+ (1− λ)y fur 0 ≤ λ ≤ 1. (4.10)

4.12 Beispiele 20

Mit a = xλ, b = y1−λ, λ = 1p , 1− λ = 1

q , q = pp−1 folgt

ab ≤ 1

px+

1

qy

x ist wegen a = xλ ⇔ x = aλ−1 ⇔ x = ap

y ist wegen b = y1−λ ⇔ y = b(1−λ)−1 ⇔ y = bq

damit folgt insgesamt:

ab ≤ 1

pap +

1

qbq (Y oungsche Ungleichung) (4.11)

fur a, b ≥ 0 und p, q > 1 mit 1p + 1

q = 1.

5.2 Bemerkung 22

5.2 Bemerkung

Setzt man in (5.1) p = 2 so ergibt sich∫ β

αf(x)g(x)dx ≤

(∫ β

α|f(x)|2dx

) 12

+

(∫ β

α|g(x)|2dx

) 12

.

Hierbei handelt es sich um die Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

5.3 Minkowskische Ungleichung

Fur f, g ∈ R(I), I = [α, β] und 1 ≤ p <∞ gilt:(∫ β

α|f + g|pdx

) 1p

≤(∫ β

α|f |pdx

) 1p

+

(∫ β

α|g|pdx

) 1p

. (5.2)

Beweis: Sei p = 1 dann gilt:(∫ β

α|f + g|dx

)≤(∫ β

α|f |dx

)+

(∫ β

α|g|dx

).

Diese Ungleichung folgt direkt aus Integration der Dreiecksungleichung.

Sei p > 1, dann setze A :=∫ βα |f + g|pdx. Anwendung der Dreiecksungleichung sowie der

Holderschen Ungleichung liefert:

A =

∫ β

α|f + g| · |f + g|p−1dx

≤∫ β

α|f | · |f + g|p−1dx+

∫ β

α|g| · |f + g|p−1dx

≤(∫ β

α|f |pdx

) 1p

·(∫ β

α|f + g|(p−1)qdx

) 1q

+

(∫ β

α|g|pdx

) 1p

·(∫ β

α|f + g|(p−1)qdx

) 1q

=

(∫ β

α|f |pdx

) 1p

+

(∫ β

α|g|pdx

) 1p

· (∫ β

α|f + g|(p−1)qdx

) 1q

.

Mit (p− 1)q = p, da 1p + 1

q = 1⇔ p+qpq = 1⇔ p = pq − q ⇔ p = (p− 1)q folgt nun:

A ≤

(∫ β

α|f |pdx

) 1p

+

(∫ β

α|g|pdx

) 1p

· (∫ β

α|f + g|(p−1)qdx

) 1q

=

(∫ β

α|f |pdx

) 1p

+

(∫ β

α|g|pdx

) 1p

·A 1q .

5.4 Bemerkung 23

Dividiert man die Gleichung auf beiden Seiten durch A1q erhalt man:

A

A1q

=

∫ βα |f + g|pdx(∫ βα |f + g|pdx

) 1q

= A1− 1

q = A1p =

(∫ β

α|f + g|pdx

) 1p

≤(∫ β

α|f |pdx

) 1p

+

(∫ β

α|g|pdx

) 1p

.

5.4 Bemerkung

Auf R(I) sei die Funktion f 7→ ‖f‖p definiert durch

‖f‖p :=

(∫ β

α|f(x)|pdx

) 1p

. (5.3)

Dann kann die Minkowskische Ungleichung geschrieben werden als Dreiecksungleichung

‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p fur f, g ∈ R(I). (5.4)

Es gilt ‖f‖p ≥ 0 und ‖λf‖p = |λ| ‖f‖p.

Die Minkowskische Ungleichung besagt somit, dass ‖ · ‖ eine Halbnorm auf R(I) ist.

kurz: Fur die Lp-Norm ist die Minkowskische Ungleichung einfach die Dreiecksunglei-

chung.

5.5 Jensensche Ungleichung I

Sei K eine konvexe Menge in Rn. Eine Funktion f : K → Rn ist genau dann konvex auf

K, wenn

f(λ1x1 + ...+ λkxk) ≤ λ1f(x1) + ...+ λkf(xk) (5.5)

fur beliebige x1, ..., xk ∈ K und beliebige λ1, ..., λk ∈ [0, 1] mit λ1 + ...+ λk = 1 gilt.

Beweis:

Ruckrichtung: Die Bedingung ist hinreichend, betrachte wie im Beweis zu Satz 3.5 k = 2:

f(λ1x1 + λ2x2) ≤ λ1f(x1) + λ2f(x2) das ist eben die Definition von konvex.

Hinrichtung: Beweis per Induktion, Bezeichungen wie bei dem Beweis zu Satz 3.5.

f(y) ≤ λ1λ1 + ...+ λk

f(x1) + ...+λk

λ1 + ...+ λkf(xk) mit λ = λ1 + ...+ λk

5.6 Jensensche Ungleichung II 24

und damit

f(λ1x1 + ...+ λk+1xk+1) = f(λy + (1− λ)xk+1)

≤ λf(y) + (1− λ)f(xk+1)

≤ λ1f(x1) + ...+ λk+1f(xk+1).

5.6 Jensensche Ungleichung II

Sei ϕ ∈ C0(I), I = [a, b] und sei f eine stetige konvexe Funktion auf einem Intervall, das

ϕ(I) enthalt. Dann gilt:

f

(−∫Iϕ(x)dx

)≤ −∫If(ϕ(x))dx (5.6)

Beweis: Sei Z eine Zerlegung des Intervalls I mit a = x0 < x1 < ... < xk = b und

M xj = xj − xj−1. Wir betrachten die dazugehorige Riemannsche Summe:

SZ(ϕ) =

k∑j=1

ϕ(xj) M xj , SZ(f ϕ) =

k∑j=1

f(ϕ(xj)) M xj .

5.7 Satz 25

Mit λj :=Mxj|I| folgt 0 ≤ λj ≤ 1 und λ1 + ...+ λk = 1 ist

f(|I|−1SZ(ϕ)) = f

(∑kj=1 ϕ(xj) M xj

|I|

)

= f(

k∑j=1

ϕ(xj)M xj|I|

)

= f(

k∑j=1

ϕ(xj)λj)

= f(λ1ϕ(x1) + ...+ λkϕk(xk))

≤ λ1f(ϕ(x1)) + ...+ λkf(ϕ(xk))

=k∑j=1

f(ϕ(xj))λj

=k∑j=1

f(ϕ(xj))M xj|I|

= |I|−1k∑j=1

f(ϕ(xj)) M xj

= |I|−1SZ(f ϕ).

Wenn nun die Feinheit der Zerlegung Z gegen O strebt, ergibt sich:

f

(−∫Iϕ(x)dx

)≤ −∫If(ϕ(x))dx.

5.7 Satz

Man braucht bei der Jensenschen Ungleichung nicht die Annahme machen, dass f stetig

ist, falls f auf einem offenen Intervall I∗ mit ϕ(I) ⊂ I∗ konvex ist, denn es gilt, wenn

f : Ω→ R auf einer offenen konvexen Menge Ω des Rn konvex ist, so gilt f ∈ C0(Ω) und

f stetig fur jedes Kompaktum K in Ω.

Beweis: Sei xo ∈ Ω.

Dann gibt es ein r > 0, so dass der Wurfel Wr(x0) := x ∈ Rn : |x−x0|∗ ≤ r in Ω liegt.

Jeder Punkt x ∈Wr(x0) ist eine konvexe Kombination der N = 2n Eckpunkte a1, ..., aN

5.8 Bemerkung 26

von Wr(x0). Sei µ := maxf(a1), ..., f(aN ), so folgt f(x) ≤ µ fur alle x ∈ Wr(x0). Sei

nun x ein beliebiger Punkt mit 0 < |x− x0| ≤ r. Mit p := |x− x0|, h :=(rp

)· (x− x0).

Dann gilt |h| = r und x ∈ [x0, x0 − h] ⊂ [x0 − h, x0 + h] ⊂ Br(x0) ⊂ Wr(xo). Aus

x = λ(x0 + h) + (1 − λ)x0, 0 < λ ≤ 1 ergibt sich x0 = 11+λx + λ

1+λ(x0 − h). Diese

Darstellungen von x und x0 sind konvexe Kombinationen und wir erhalten

f(x) ≤ λf(x0 + h) + (1− λ)f(x0) ≤ λµ+ (1− λ)f(x0)

und

f(x0) ≤1

1 + λf(x) +

λ

1 + λf(x0 − h) ≤ f(x) + λµ

1 + λ.

Das liefert

f(x)− f(x0) ≤ λ[µ− f(x0)],

f(x0)− f(x) ≤ λ[µ− f(x0)]

und somit

|f(x)− f(x0)| ≤ λ[µ− f(x0)].

Weil x = x0 + λh und |h| = r, |x− x0| = p folgt λ = pr und damit auch

|f(x)− f(x0)| ≤µ− f(x0)

r|x− x0|

fur alle x ∈ Br(x0) mit x 6= x0. Folglich ist f in x0 und damit auch in Ω stetig.

5.8 Bemerkung

Auf einer nichtoffenen konvexen Menge K kann eine konvexe Funktion f : K → R

unstetig sein.

5.9 Besipiel 27

5.9 Besipiel

Die Funktion f : [0,∞)→ R mit

f(x) =

1 falls x = 0

0 sonst

ist konvex, aber am Randpunkt x = 0 unstetig.

6 Literaturverzeichnis

• S. Hildebrandt: Analysis 2, Springer-Verlag

7 Abbildungsverzeichnis

• Abbildung 3.1: Konvexe und nicht konvexe Menge: http://me-lrt.de/img/var-502-

konvexitat-veranschaulichung-strecke-innerhalb.png; am 1.04.15

• Abbildung 4.1: Konvexe Funktion: https://plus.maths.org/content/sites/plus.maths.org/

files/news/2011/convexity/convex.jpg; am 1.04.15

• Abbildung 4.2: Epigraph einer konvexen Funktion: http://upload.wikimedia.org/

wikipedia/commons/3/31/Epigraph convex.svg; am 1.04.15

Konvexe Mengen und konvexe Funktionen · 1 Einleitung Konvexe Mengen und konvexe Funktionen...

Documents

Transcript of Konvexe Mengen und konvexe Funktionen · 1 Einleitung Konvexe Mengen und konvexe Funktionen...