Kosten / Nutzen-Optimierung komplexer Floating-Point-

Berechnungen unter Ausnutzung variabler Präzision

„Programming Language Design and Implementation“

Daniel Weber, Tobias Ickler

Darstellung von Gleitkommazahlen

x = (-1) s m ∙ ∙ β e z.B.z.B.

x = + 3,212 10 ∙ 3,212 10 ∙ -4

mit

m = d0 , d1 d2 d3 … dp-1 (mit 0 ≤ di < β) s є { 0, 1 }, β : Basis, e : Exponent

IEEE 754

Präzision Mantisse Exponent Zahlenbereich (dezimal)

32 Bit single precision

23 Bits 8 Bit-127 ≤ e ≤ +128

- 1,175 ∙∙ 1038 bis 3,403 ∙ ∙ 1038

64 Bitdouble precision

52 Bits 11 Bits-1022 ≤ e ≤ 1023

- 2,225 ∙∙ 10308 bis 1,798 ∙ ∙10308

Rundungsfehler

x1 = 0,03214

β = 10, p = 3

x2 = 3,21 10∙ -2

0,4 ulps („units in the last place“) Fehler

Fehler

Absoluter Fehler in einer Gleitkommaoperation:

½ β –p ≤ ½ ulps ≤ ½ β 1 - p

Maximaler relativer Fehler:

ε = ½ β 1 – p

Computational Graphs

Variable Präzision

Geht man davon aus, dass in jeder Operation mit einer unterschiedlichen Präzision gerechnet wird, gilt

εp = ½ β 1 – p

mitεp-1 = 2 ∙ εp

Problemstellung

Lösung für das Problem bei variabler Präzision mit minimalen Kosten einen vorgegebenen Fehlerwert nicht zu überschreiten, wobei die Kosten durch die Anzahl der Operationen und deren Präzision bestimmt wird.

Kostenfunktion:

Verbindung zu Programmiersprachen

• Hardwarebeschreibungssprachen• FPGAs• Günstige Produktion oder zeitkritische

Anwendung

Beispiele für mögliche Funktionsaufrufe:

x = a +24 bx = opt16 ( (a + b / 4) b , a = [a∙ 1, a2], b = (b1, b2])

Fragen?

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!