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Kurvendiskussion
FunktionstypFunktionstypFunktionstypFunktionstyp Lineare Lineare Lineare Lineare FunktionenFunktionenFunktionenFunktionen Gebrochen rationale FunktionenGebrochen rationale FunktionenGebrochen rationale FunktionenGebrochen rationale Funktionen
0) Funktionsgleichung f(x) = anxn+...+a2x2+a1x+a0 f(x) = ...
...
+
+
xbxa
m
m
n
n
1 a) Polstellen - Nenner(Polstellen)=0
1 b) Asymptoten ---- Senkrecht: An Polstellen
Schief: Gleichung≙Zähler÷Nenner (bis auf Rest)
1 c) Definitionsmenge D D = D = D = D = ℝℝℝℝ D = D = D = D = ℝ ℝ ℝ ℝ \\\\ {{{{Polstelle1;;;; ... ... ... ...}}}}
2 a) Achsensymmetrie Bei nur geraden Exponenten bei nur geraden E. im Zähler
2 b) Punktsymmetrie Bei nur ungeraden Exponenten bei nur ungeraden E. im Zähler
3 a) Limes im Unendlichen
Die höchste Potenz wird ausgeklammert und für
xxxx→∞ →∞ →∞ →∞ wird eine positive Zahl eingesetzt: Das
Vorzeichen des Ergebnisses≙Vorzeichen vor ∞
Es wird sooft getrennt abgeleitet, bis die höchste x-
Potenz = 1 ist: Man erhält die Näherungsrichtung
durch einsetzen einer positiven bzw. negativen Zahl.
Bei nochmaligem Ableiten erhält man den Endpunkt.
3 b) Limes an den Polstellen - Man setzt eine der Polstellen in den Nenner. Das
Ergebnis ist ∞, je nach Vorzeichen + oder -.
3 c) Limes an den schiefen Asymptoten - Der Grenzwert entspricht dem Limes der Asymptote.
4) Ableitungen
f´(x) = an·n·xn-1 + ... + a1·2·x + a1
f´´(x) = an·n·(n-1)·xn-2 + ... + a1·2 für n≥2
f´´´(x) = an·n·(n-1)·(n-2)·xn-3 ... für n≥3
f´(x) = ²
''
n
znnz +
5) Nullstellen
f(x) = 0
Bei n=3: eine Nullstelle suchen, Polynomdivision
NSn ist bei (NSn’ | f(NSn) )
zähler(x) = 0
Bei n=3: eine Nullstelle suchen, Polynomdivision
Ist NSn keine Polstelle, so ist Nn (NSn | f(NSn) )
6 a) Extrempunkte
Sattelpunkt =Sattelpunkt =Sattelpunkt =Sattelpunkt = Treppenpunkt Treppenpunkt Treppenpunkt Treppenpunkt
f´(x) = 0
Die Ergebnisse werden in f´´ eingesetzt.
Ergebnis negativ: Hochpunkt bei (em | f(em) )
Ergebnis positiv: Hochpunkt bei (en | f(en) )
Ergebnis 0: Es liegt ein Sattelpunkt bei (es | f(es) ) vor (= Wendepunkt bei Tangentensteigung 0)
6 b) Monotonieintervalle
monoton steigend/fallend auf ] -∞; e1 [
f ist monoton fallend/steigend auf ]e1 ; e2 [
...
monoton steigend/fallend auf ]en ; +∞ [
7 a) Wendepunkte
linksgekrümmt heißt:
„die Sekante liegt über der Kurve“„die Sekante liegt über der Kurve“„die Sekante liegt über der Kurve“„die Sekante liegt über der Kurve“
f´´(x) = 0
Die Ergebnisse werden in f´´´eingesetzt.
Ergebnis negativ: Die Krümmung wechselt von konvexxxx (linksksksksg.) nach konkav (rechtsg.)
Ergebnis positiv: Die Krümmung wechselt von konkav (rechtsg.) nach konvexxxx (linksksksksg.)
Ergebnis = 0: Kein Wendepunkt vorhanden
7 b) Krümmungsintervalle
linksgekrümmt/rechtsgekrümmt auf ]-∞; w1 [
f ist ...
rechtsgekrümmt/linkskegrümmt auf ]wn; +∞ [
8 a) Wertetabelle
Die Wertetabelle sollte für diejenigen x-Werte beginnen und enden, bei denen y im darstellbaren Bereich
(z. B. y<10) liegt. Eine Wertetabelle sollte 20 x-Werte enthalten (z. B. von -10 bis +10 im Abstand=1
oder von -5 bis +5 im Abstand=0,5).
8 b) Zeichnung
∙ Ein Koordinatensystem wird gezeichnet.
Breite: Minimaler bis maximaler x-Wert Höhe: Minimaler bis maximaler y-Wert
∙ Die Achsen werden mit „x“ und „y“ beschriftet, außerdem müssen die Zahlenwerte eingetragen werden
∙ Die Punkte von der Tabelle werden auf das Koordinatensystem übertragen.
∙ Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte sowie eventuelle Sattel- und Treppenpunkte beschriften