Numerische Analyse der Schallabstrahlung eines Ultraschallwandlers fur die Auswahl

geeigneter Schwingungsmoden in einem Optimierungsprozess

Simone Preuss1,2, Johannes Henneberg1,2, Andre Gerlach2 , Steffen Marburg11 Lehrstuhl fur Akustik mobiler Systeme, TU Munchen, 85748 Garching, Deutschland, Email: simone.preuss@tum.de

2 Robert Bosch GmbH, Forschung, 71272 Renningen, Deutschland

Einleitung

Sucht man in der Welt der Technik nach Schallwandlernmit resonantem Betriebspunkt im Ultraschallbereich, solasst sich eine Vielzahl von Anwendungsbeispielen iden-tifizieren. Klassische Einsatzgebiete sind die Werkstoff-prufung, Medizintechnik sowie Fahrerassistenzsysteme.Derartige Sensoren werden durch ihre Arbeitsfrequenzund die zugehorige Betriebsschwingungsform charakte-risiert. Bei Betrieb des Sensors wird die gewunschte Be-triebsmode angeregt und so das an den Anwendungsfallangepasste Schallfeld erzeugt [1, 2].

In der vorliegenden Arbeit wird ein numerisches Ver-fahren zur Untersuchung und gezielten Auswahl der Be-triebsmoden eines Ultraschallsensors prasentiert. Es wer-den verschiedene Betriebsschwingungsformen eines ver-einfachten Systemmodells hinsichtlich ihrer Abstrahlcha-rakteristik untersucht. Besondere Aufmerksamkeit giltder Ausbildung von Einbruchen, Nebenkeulen und Asym-metrien. Diese Phanomene der Schallabstrahlung wur-den in den Vorgangerarbeiten von Henneberg und Preuss[3, 4] als typische Storfaktoren fur ein funktionsgerechtesSchallwandlerdesign identifiziert.

Methoden

Im folgenden Abschnitt erfolgt eine Einfuhrung in die imRahmen dieser Arbeit verwendeten Modellansatze undBerechnungsvorschriften. Fur die Berechnung und Inter-pretation der Abstrahlcharakteristik werden das Strah-lungsintegral von Lord Rayleigh sowie das Kolbenstrah-lermodell genutzt. Ferner wird der Einsatz des ModalAssurance Criterion zur Identifikation der gewunschtenBetriebsmode thematisiert.

Rayleigh-Integral

Ein Schallwandler fur die Umfeldsensierung lasst sich zu-meist als ebener Plattenstrahler innerhalb einer großen,schallharten Wand approximieren [5]. Setzt man weiter-hin voraus, dass die Schallabstrahlung unidirektional oh-ne Ruckwirkung auf die Strukturschwingung erfolgt, soliefert das Rayleigh-Integral eine exakte Losung zur Be-rechnung des Luftschalls [6]. Es basiert auf der gedank-lichen Zerlegung der schallemittierenden Sensorbereichein infinitesimal kleine Volumenquellen. Der Schalldruckp im Aufpunkt vor dem harmonisch angeregten Schall-wandler ergibt sich durch Integration uber alle diskreten

Elemente der schallabstrahlenden Flache AQ [7] zu

p(r0, ϑ, ϕ) =j ω �

2 π· e

−j k r0

r0·

∫AQ

v ej k sinϑ (xQ sinϕ+yQ cosϕ) dAQ,

(1)

wobei r0 den Quellpunkt-Aufpunkt-Abstand, (ϑ, ϕ) dieWinkel im Polarkoordinatensystem, ω die Eigenkreis-frequenz, ρ die Fluiddichte, k die Wellenzahl und vdie Schwingschnelle darstellen. Nachfolgende Abbildung1 veranschaulicht das Funktionsprinzip des Rayleigh-Integrals unter Annahme von Fernfeldbedingungen.

Abbildung 1: Bezugssystem und Annahmen der Fern-feldnaherung fur das Rayleigh-Integral nach [8].

Das vereinfachte Modell impliziert eine deutliche Rechen-zeiteinsparung gegenuber einer gekoppelten Luftschall-Korperschall-Simulation. Ferner bietet die Berechnungnach Rayleigh den Vorteil, durch einfache Variation derBezugsgeometrie die genannten Storfaktoren der Schall-abstrahlung naher untersuchen zu konnen.

Kolbenstrahler-Modell

Fur zahlreiche technische Anwendungsfalle ist eineluckenlose Erfassung des Sensorumfelds anzustreben.Einbruche der Richtcharakteristik sind demnach als kri-tisch einzustufen. Derartige Abfalle des Schalldruckpe-gels lassen sich, wie am Beispiel des Kolbenstrahlermo-dells ersichtlich, unter anderem auf die sogenannte Ne-benkeulenbildung zuruckfuhren. Ausgehend von einer ho-mogenen und gleichphasigen Schallschnelle des ebenenStrahlers mit dem Radius R lasst sich der Schalldruckuber die Besselfunktion erster Ordnung J1 nach [5] be-rechnen zu

p(R, ϑ) = j ω � v R2 · e−j k r0

r0· J1(k R sinϑ)

k R sinϑ. (2)

Die Abstrahlcharakteristik, ausgewertet anhand des Ab-falls um −6dB in Hauptstrahlrichtung, ist dabei starkvon der Frequenz und Strahlergeometrie abhangig. Die

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Kennzahl kR wird in der Literatur als Helmholtz-Zahl bezeichnet [9]. Nachfolgende Abbildung 2 zeigtdie Richtwirkung eines Kolbenstrahlers fur verschiede-ne Helmholtz-Zahlen. Fur kleine Verhaltnisse (kR < 1)weist die Richtcharakteristik ein isotropes, ungerichte-tes Abstrahlverhalten auf. Demnach verhalt sich dieMembran wie eine ideale Punktschallquelle und strahltgleichmaßig in alle Richtungen ab.

Abbildung 2: Richtcharakteristik eines Kolbenstrahlers inAbhangigkeit der Helmholtz-Zahl.

Mit zunehmender Helmholtz-Zahl kommt es zurBundelung der Abstrahlung und Ausbildung von Ne-benkeulen. Die Keule in Richtung der Schallbundelachsewird zunehmend schmaler, wohingegen die Nebenmaxi-ma zunehmen. Die Einbruche aufgrund der Nebenkeu-lenbildung sind analytisch auf Nullstellen der Besselfunk-tionen und physikalisch auf Superpositionseffekte durchInteraktion der Kugelwellenfronten zuruckzufuhren [10].

Modal Assurance Criterion (MAC)

Die realitatsnahe Berechnung der Schallabstrahlung be-darf einer korrekten Auflosung der Eigenschwingungs-formen. Die numerischen Ergebnisse lassen sich mittelsMessdaten uber das Modal-Assurance-Criterion validie-ren. Dabei erfolgt nach [11] eine Korrelationsbetrach-tung der Strukturschwingung bei Eigenfrequenz. Dieskalare Große MAC ∈ [0, 1] gibt Auskunft uber dieGleichheit zweier Eigenschwingungsformen. Das MAC-Kriterium lasst sich nach [12] berechnen zu

MAC =|∑n

j=1 {ϕA}j {ϕB}j |(∑n

j=1 {ϕA}j)2 · (∑n

j=1 {ϕB}j)2 , (3)

wobei {ϕA} und {ϕB} die Eigenvektorelemente der Simu-lation A und Messung B darstellen. Neben dem Vergleichvon experimentellen und numerischen Ergebnissen lassensich weiterfuhrend auch zwei Simulationsdatensatze ver-gleichen.

Simulationsmodell

Zur Berechnung der Strukturschwingung und Akustikwird ein generisches Ersatzmodell des Ultraschallwand-lers betrachtet. Dieses reprasentiert die schallabstrahlen-de Flache des Sensors, in Anlehnung an die Audiotech-nik auch als Membran bezeichnet, sowie die Einspan-nung der Membran. Analog zu derzeit auf dem Marktverfugbaren Sensoren werden die Komponenten aus Alu-minium modelliert. Als Signalgeber und -empfanger wirdin der Praxis eine piezoelektrische Keramik eingesetzt [1].

Diese nutzt fur die Anregung den piezoelektrischen Ef-fekt, eine lineare Wechselwirkung zwischen mechanischerDeformation in Form einer Biegeschwingung und elektri-scher Polarisation. Im Rahmen dieser Arbeit erfolgt dieharmonische Anregung ersatzweise durch eine komplexeFlachenlast

p = p ei ϕ0 , (4)

mit p als Druckamplitude und ϕ0 als Phasenwinkel.

Nachfolgende Abbildung 3 zeigt das reduzierte System-modell eines Ultraschallsensors mit Piezoanregung sowiedrei ersatzweise implementierten Belastungszustande.

elektrisch kontaktierte Piezokeramik

emittiertes Schallsignal

eflektiertes Echosignal Auflagefläche Piezokeramik

10% ) )Knotenkreis durch feste RB

Abbildung 3: Frei gelagertes Ersatzmodell eines Sensorkopfsin drei Belastungszustanden.

Ergebnisse

Modenauswahl durch MAC

Schallwandler arbeiten klassischerweise bei einer Be-triebsfrequenz, wobei eine Auslegung fur mehrere Ar-beitspunkte denkbar ware (s. [4]). Eine Herausforderungder Sensorauslegung ist die Identifikation der relevantenBetriebsmoden aus der Vielzahl an Eigenschwingungsfor-men jedes Berechnungsmodells. Hierzu wird der MAC-Wert genutzt. Durch Einschrankung aller Freiheitsgerade(Degrees of Freedom, DOF) auf den Sensoraußenflachenmit Ausnahme der Membran wird fur jedes Design eineReferenzrechnung erstellt. Durch Vergleich der nun defi-nierten optimalen Schwingungsform lasst sich jede poten-zielle Betriebsmode anhand des skalaren MAC effizientbewerten und ggf. als ungeeignet einstufen. NachfolgendeAbbildung 3 veranschaulicht beispielhaft die MAC-WertAnalyse zur Modenbewertung.

Modref Mod

Abbildung 4: Funktionsprinzip der Modenauswahl durchMAC-Wert-Analyse: Das dargestellte Beispiel bietet mitMAC= 0.26 nur eine geringfugige Ubereinstimmung mit deroptimalen Schwingungsform.

Storfaktoren der Schallabstrahlung

Im Sinne einer vollumfassenden Umfeldsensierung ist ei-ne homogene Schallabstrahlung des Sensors anzustreben,

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wobei Φ−6dB moglichst groß sein sollte. Zusatzliche Ein-schrankungen des Detektionswinkels ergeben sich durchdie Einbaulage. Weiterfuhrend ist ein Fokus der Schwin-gung auf den Membranbereich ohne Beteiligung desGehauses vorteilhaft [1, 3]. Nachfolgende Abbildung 5zeigt exemplarisch eine als geeignet einzustufende Eigen-schwingungsform und zugehorige Abstrahlcharakteristikbei Anregung in Resonanz.

Abbildung 5: Belastungsfall 1: Beispiel einer geeignetenRichtcharakteristik und zugehorigen Schwingungsform furden Schallwandlerbetrieb.

Je nach Konstellation der Geometriegroßen relativzur Betriebsfrequenz kommt es, wie mithilfe des Kol-benstrahlermodells bereits gezeigt, zu problematischenAbfallen des Schalldrucks. Eine derartig durch Neben-keulenbildung dominierte Schallabstrahlung ist in Abbil-dung 6 dargestellt.

Abbildung 6: Belastungsfall 1: Gestorte Richtcharakteristikund zugehorige Schwingungsform durch Nebenkeulenbildungim hochfrequenten Bereich.

Wahrend das Systemmodell weitestgehend symmetrischist, zeigen reale Sensoren oftmals geometrische Asym-metrien, die die Detektionscharakteristik verandern. Einderartiger Effekt wird in Abbildung 7 veranschaulicht.Durch Erganzung des vereinfachten Sensormodells umein asymmetrisches Strukturelement lasst sich die Richt-wirkung in horizontale und vertikale Abstrahlrichtungvoneinander differenzieren. Dieses Phanomen wird beiFahrerassistenzsystemen bewusst genutzt [1].

Abbildung 7: Belastungsfall 1: Zusatzliches Strukturelementfuhrt zur elliptischen Verformung des frei schwingenden Be-reichs und somit zu unterschiedlicher Richtcharakteristik inhorizontale und vertikale Richtung.

Weiterfuhrend konnen neben Geometrieveranderungenauch asymmetrische Belastungsfalle auftreten. Hierzu

wurde beispielhaft eine zweigeteilte Flachenlastanregungmit ϕ0 = 30◦ Phasenversatz untersucht (s. Belastungsfall2). Aufgrund der Anregung im Resonanzbereich bildetsich jedoch stets die Eigenschwingungsform aus, sodassdie asymmetrische Anregung keine Effekte hinsichtlichder Richtcharakteristik zeigt. Auch die in Abbildung 7sichtbare Dezentrierung des Amplitudenmaximums be-wirkt aufgrund der geltenden Fernfeldbedingungen beider Auswertung durch das Rayleigh-Integral keine we-sentliche Anderung der Richtwirkung. Einzig die Ampli-tudenhohe wird hierbei reduziert.

Ferner kommt es bei der Anregung aufwendiger Sensor-geometrien mit einer Vielzahl von Resonatoren zu gegen-phasig schwingende Sensorbereichen. Der hierbei entste-hende akustische Druckausgleich resultiert, wie in Abbil-dung 8 exemplarisch dargestellt, in einer lokaler Schall-druckminderung und somit in einer inhomogenen Richt-wirkung.

Abbildung 8: Belastungsfall 3: Gestorte Richtcharakteristikund zugehorige Schwingungsform durch mittigen Einbruch

Durch Veranderung der Bezugsgeometrie fur dieRayleigh-Berechnung, lasst sich der zuvor angenommeneZusammenhang von akustischem Kurzschluss und beob-achteter Druckminderung in Hauptstrahlrichtung noch-mals bestatigen. Wie in Abbildung 9 erkennbar, wirdhierbei das Rayleigh-Integral einzig auf den schwingen-den Membranbereich innerhalb des ersten Knotenkreisesangewandt (Vgl. Abbildung 8 links) und die Gegenpha-sigkeit somit kunstlich eliminiert.

Abbildung 9: Belastungsfall 3: Nachweis akustischer Kurz-schluss durch veranderte Rayleigh-Bezugsgeometrie.

Zusammenfassung und Ausblick

Die Schallwandlerauslegung stellt aufgrund der erforder-lichen Kopplung von strukturdynamischen und akusti-schen Eigenschaften eine Herausforderung dar. Erfah-rungsgemaß treten bei realen Sensorgeometrien kriti-sche Abstrahlphanomene auf, die es im Entwicklungs-prozess zu berucksichtigen gilt. Diese Arbeit liefert eineAuflistung und numerische Analyse dieser Phanomeneanhand eines vereinfachten Schallwandlermodells mit

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Flachenlastanregung. Es wird eine geeignete Betriebs-schwingungsform definiert und der Einfluss von Asymme-trien, hohen Helmholtzzahlen und Gegenphasigkeit derMembranschwingung aufgezeigt. Weiterfuhrend wird derNutzen des Rayleigh-Integrals und des MAC-Werts furdie Sensorauslegung verdeutlicht.

Geplant ist nummehr die Automatisierung der Simulati-onskette fur die numerische Schallwandlerauslegung un-ter Berucksichtigung der hier dargestellten Storfaktoren.Weiterfuhrend soll im automatisierten Prozess die Mode-nidenfikation durch die MAC-Analyse realisiert werden.

Literatur

[1] Winner, H.; Hakuli, S.; Lotz, F.; Singer, C.:Handbuch Fahrerassistenzsysteme. Springer Vieweg,ATZ/MTZ-Fachbuch, Wiesbaden, 2015

[2] Koch, C.: Ultraschall in Medizin und Technik in Ta-schenbuch der Technischen Akustik. Springer Verlag,Berlin, Heidelberg, 2015

[3] Henneberg, J.; Gerlach, A.; Cebulla, H.; Marburg,S.: Locally Structured Fiber Reinforcements: An Ap-proach to Realize Anisotropic Directivity Pattern inUltrasound Transducers. SAE Technical Paper (2018)

[4] Preuss, S.: Simulation und Optimierung derStrukturdynamik und Akustik eines Multifrequenz-Ultraschallsensors fur den Einsatz in Fahrerassistenz-systemen. Institut fur Kraftfahrzeuge der RWTHAachen (2018)

[5] Lerch, R.; Sessler, G.; Wolf, D.: Technische Akustik:Grundlagen und Anwendungen. Springer Verlag, Ber-lin, Heidelberg, 2009

[6] Fritze, D.; Marburg, S.; Hardtke, H.-J: Estimation ofRadiated Sound Power. A Case Study on CommonApproximation Methods. Acta Acustica united withAcustica 95 (2009), 833-842

[7] Moser, M.; Kropp, W.: Korperschall: PhysikalischeGrundlagen und technische Anwendungen. SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, 2010

[8] Hubner, G.; Gerlach., A.: Zusammenhang der DFEM-Schallleistungsbeschreibung mit der RayleighschenSchallfelddarstellung ebener Strahler. DAGA Procee-dings, Zurich (1998)

[9] Zeller, P.: Handbuch Fahrzeugakustik. Grundlagen,Auslegung, Berechnung, Versuch. Vieweg+Teubner,Wiesbaden, 2012

[10] Kinsley, L. E.; Frey, A. R.; Coppens, A. B.; Sanders,J. V.: Fundamentals of Acoustics. John Wiley andSons, New York, 2000

[11] Allemang, R. J.; Brown, D. L.: A Correlation Coef-ficient for Modal Vector Analysis. Proceedings of the1st International Modal Analysis Conference, Orlan-do, 1982

[12] Pastor, M., Binda, M., Harcarik, T.: Modal Assuran-ce Criterion. Procedia Engineering 48 (2012), 543-548

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