Leibniz-Gymnasium Pirmasens

Die spezielle Relativitätstheorie und das Erstellen einer PowerPoint-Präsentation

Facharbeit in Physik

Vorgelegt von Erik EitelLK Physik bei Herr Littig

Vorgelegt am 02.06.2006

Vorwort

Albert Einstein (1879-1955) ist Begründer der speziellen Relativitätstheorie, in der er formulierte, dass es einerseits die absolute Zeit nicht gibt, also dass man immer von Bezugssystemen ausgehen muss und die Messung von Zeit und somit auch von Geschwindigkeit, Länge und Masse immer relativ ist und dass andererseits Masse und Energie äquivalent sind.

1. Wichtige Grundlage

Der Michelson-Versuch brachte die Erkenntnis, dass sich das Licht nicht wie angenommen in einem bestimmten Medium ausbreitet, sondern sich in alle Richtungen gleich schnell ausbreitet, unabhängig von der Ausrichtung und Geschwindigkeit in Relation zum „Äther“, dem vermeintlichen Medium für das Licht.

Veranschaulichung

Die Grundidee dieses Versuchs ist, dass sich das Licht in einem Medium ausbreitet und man die Auswirkungen messen kann, indem man das Licht einmal parallel und einmal senkrecht zu der Bewegungsrichtung eines im Medium bewegten Beobachters losschickt und dann zu einem Interferenzmuster wieder zusammenführt.

Die von der Lichtquelle ausgesandten Strahlen werden von einer halb durchlässigen Glasplatte in zwei Teilbündel aufgespalten und durchlaufen danach die beiden gleich langen Arme des Interferometers, von denen einer parallel und der andere senkrecht zur Bewegungsrichtung der Erde steht.

Durch das Fernrohr kann man die Interferenzmuster beobachten. Nach den Vorstellungen des amerikanischen Physikers Albert Michelson sollten dabei unterschiedliche Laufzeiten der reflektierten Strahlenbündel auftreten, deren verschobene Interferenzmuster mit Hilfe des Fernrohres gemessen werden könnten.

Das Versuchsergebnis war negativ, und damit wurde gezeigt, dass sich Licht auf der Erde in allen Richtungen mit der gleichen Geschwindigkeit ausbreitet. Zudem diente dieses Experiment als historische Grundlage der speziellen Relativitätstheorie von Albert Einstein.

2. Die Einstein-Synchronisation

Man stellt zwei Uhren, die zum starten einen Lichtimpuls benötigen, in jeweils gleicher Entfernung zu einer Blitzlampe auf. Wird ein Lichtimpuls von der Lampe gestartet, kommt das Licht bei beiden Uhren gleichzeitig an, wie es bereits durch den Michelson-Versuch beschrieben wurde.

So kann man zwei Uhren synchronisieren.

Veranschaulichung

Die zwei Uhren haben den gleichen Abstand zu der Lampe.

Die Lampe sendet einen Blitz, einen Lichtimpuls.

Der Lichtimpuls breitet sich zu beiden Lampen mit der Lichtgeschwindigkeit c = 299 792,458 km/s aus.

Der Lichtimpuls erreicht die Uhren zur gleichen Zeit und startet sie somit synchron.

Allgemeine Folgerung:

Zwei Uhren, die sich an verschiedenen Orten befinden, werden synchronisiert, indem man von deren geometrischer Mitte gleichzeitig zwei Lichtsignale aussendet, die die Uhren beim Ankommen starten.

3. Die relative Gleichzeitigkeit

Fliegen zwei Raketen aneinander vorbei und bilden somit zwei zueinander bewegte Inertialsysteme (Bezugssysteme) und startet ein Lichtsignal von einer Blitzlampe, welche sich zwischen den Raketen befindet, so messen Uhren an den Raketen verschiedene Zeiten für die Ankunft des Lichtes an einer bestimmten Stelle.

Veranschaulichung

Die zwei Raketen sind genau nebeneinander, die Uhren A, B, C und D sind gleichweit von der Lichtquelle entfernt.

Die Lichtquelle sendet ihr Lichtsignal.

Das Lichtsignal breitet sich in alle Richtungen mit der Lichtgeschwindigkeit aus und die Raketen fliegen mit der Relativgeschwindigkeit v aneinander vorbei. Man kann nun entweder aus Sicht d.h. aus dem Inertialsystem der oberen oder der unteren Rakete beschreiben, was geschieht. Betrachten wir zunächst den Fall aus Sicht der unteren Rakete.

Aus Sicht der unteren Rakete fliegt die obere Rakete mit der Geschwindigkeit v nach links weg, demnach erreicht das Lichtsignal zuallererst die Uhr B im hinteren Teil der oberen Rakete, die dem Lichtsignal entgegenfliegt.

Da sich die untere Rakete als Bezugssystem nicht bewegt und die Uhren C und D gleichweit von der Lichtquelle entfernt waren, kommt hier bei beiden Uhren das Lichtsignal gleichzeitig an. Die Uhr B ist bereits vor einiger Zeit aktiviert worden und ist deshalb schon um diese Zeit vorangeschritten.

Die Uhr A wird als letzte Uhr aktiviert, denn sie entfernt sich von der Lichtquelle mit der Geschwindigkeit v. Als sie aktiviert wird, sind die Uhren C und D bereits um eine bestimmte Zeit vorangeschritten und die Uhr B ist weiter vorangeschritten.

Betrachten wir jedoch das Geschehen aus der Sicht der oberen Rakete, so beobachten wir folgendes:

Aus Sicht der oberen Rakete fliegt die untere Rakete mit der Geschwindigkeit v nach rechts weg, demnach erreicht das Lichtsignal zuallererst die Uhr C im hinteren Teil der unteren Rakete, die dem Lichtsignal entgegenfliegt.

Da sich die obere Rakete nicht bewegt und die Uhren A und B gleichweit von der Lichtquelle entfernt waren, kommt hier bei beiden Uhren das Lichtsignal gleichzeitig an. Die Uhr C ist bereits vor einiger Zeit aktiviert worden und ist deshalb schon um diese Zeit vorangeschritten.

Die Uhr D wird als letzte Uhr aktiviert, denn sie entfernt sich von der Lichtquelle mit der Geschwindigkeit v. Als sie aktiviert wird, sind die Uhren A und B bereits um eine bestimmte Zeit vorangeschritten und die Uhr C ist weiter vorangeschritten.

Allgemeine Folgerung:

Zwei Ereignisse, die aus Sicht eines Inertialsystems gleichzeitig geschehen, geschehen aus Sicht eines zum ersten Inertialsystem bewegten Inertialsystem nicht gleichzeitig.

4. Die Zeitdilatation

Als weiterer Effekt der Relativität der Zeit tritt die Zeitdilatation bei der Zeitmessung in verschiedenen Bezugssystemen auf. Hierbei gibt es zum einen das Ruhesystem mit der Ruhezeit ΔtR und das bewegte System mit der Eigenzeit Δt.

Veranschaulichung

Wir verwenden Lichtuhren, die die Zeit mit einem Lichtsignal messen. Das Lichtsignal wird von oben nach unten hin und her geschickt. Das Lichtsignal wird jetzt hier nach unten geschickt.

Von unten wird es wieder nach oben geschickt. Kommt es wieder oben an, so ist eine Nanosekunde vergangen (wenn die Uhr die richtige Höhe hat, ca. 30 cm).

Die Uhren A und B stehen fest in dem hier betrachteten Ruhesystem und die Uhr C bewegt sich mit der Geschwindigkeit v von links nach rechts. Die Uhren A und B sind synchronisiert. Wir betrachten ab dem Zeitpunkt, an dem die Uhr C ihre Zeitmessung beginnt und auf Höhe der Uhr A ist.

Die Uhr C hat nun die mittlere Entfernung der Uhren A und B erreicht, wobei für die Uhren A und B das Lichtsignal in der Uhr C eine aus der Bewegungsrichtung der Uhr C und des Lichtes in der Uhr C resultierende Bewegung um die Strecke cΔtR durchgeführt hat. Dennoch hat sich das Licht der Uhr C aus Sicht der Uhr C nur innerhalb der Uhr C um die Strecke cΔt bewegt. Und die Uhr C hat aus Sicht der Uhren A und B die Strecke vΔtR zurückgelegt.

Wenn die Uhr C auf Höhe der Uhr B ist, dann hat das Licht in Uhr C aus Sicht der Uhren A und B erneut eine resultierende Bewegung der Länge cΔtR durchgeführt. Nach dem Satz des Pythagoras gilt hier:(cΔtR)2 = (cΔt)2 + (vΔtR)2

²

²1

)²

²1²(²

²²²²

)²()²()²(

c

vtctc

c

vtctc

tvtctc

tvtctc

R

R

RR

RR

Durch Umformen erhalten wir:

²

²1

²

²1

c

vtt

c

vtctc

R

R

Die Formel lautet demnach:

Allgemeine Folgerung:

Wenn sich Uhren relativ zueinander bewegen, dann gilt für die gemessenen Zeiten, dass die Uhr, die sich relativ zu dem Ruhesystem der anderen Uhr bewegt, die Eigenzeit Δt misst, während die Uhr im Ruhesystem die Zeit ΔtR misst. Es gilt:

²

²1c

vtt R

5.1 Die Längenkontraktion

Bei der Längenkontraktion handelt es sich um einen Folgeeffekt der Zeitdilatation. Wir betrachten zunächst eine Rakete, die an einer Lichtuhr vorbeifliegt.

Veranschaulichung

Die Rakete bewegt sich mit 3/5 der Lichtgeschwindigkeit von links nach rechts an der Lichtuhr vorbei. Sowohl die Uhren A und B in der Rakete als auch die Uhr C messen die Zeit, die die Rakete zum Vorbeiflug benötigt.Nun wollen wir die Länge der Rakete bestimmen.

Die Uhren A und B in der Rakete messen die Zeit Δt mit 250ns und die Lichtuhr C mit 200ns, so wie es bereits bei der Zeitdilatation beschrieben wurde.Da wir die Geschwindigkeit der Rakete kennen und auch die Zeit, die sie zum Vorbeiflug benötigt, können wir daraus ihre Länge berechnen.

Es gilt:

²

²1

²²

1

²

²1

:

:

c

vll

t

l

cv

t

l

t

l

t

lc

vtt

tsanderersei

tvlt

lv

tvlt

lv

einerseits

k

RR

k

R

k

R

RR

kk

Allgemeine Folgerung:

Die Eigenlänge l im Ruhesystem eines Körpers wird in einem anderen Inertialsystem Ik, das sich in der Längsrichtung des Körpers mit der Relativgeschwindigkeit v bewegt, als kontrahierte Länge lk gemessen. Es gilt:

²

²1c

vllk

5.2 Wirkungsbereich der Längenkontraktion

Die Längenkontraktion wirkt nicht in alle beliebigen Richtungen. Betrachten wir den Fall, dass zwei Uhren, die zusammen ein festes Bezugssystem bilden, sich senkrecht zur ihrer Aufstellungsrichtung von einer Synchronisationslampe entfernen.

Veranschaulichung

Die Uhren werden in einem Ruhesystem synchronisiert. Der Abstand der Uhren zur Lampe ist gleich und deswegen kommt das Licht gleichzeitig an.

Bewegt sich das Bezugssystem der Uhren senkrecht zur Aufstellungsrichtung von A1 und A2, so kommt das Licht zwar später an, aber dennoch gleichzeitig, da es zu beiden Uhren die gleiche Zeit benötigt.Somit sind die Uhren noch immer synchron. Demnach gibt es auch keine Zeitdilatation und auch keine daraus folgende Längenkontraktion.

Allgemeine Folgerung:

Die Längenkontraktion wirkt nur in Richtung der Relativbewegungsrichtung und nicht senkrecht dazu. Gegebenenfalls muss diese mit Hilfe einer Vektorzerlegung ermittelt werden.

6. Die relativistische Massezunahme

Betrachten wir den Fall, dass ein Auto der Masse m mit der Geschwindigkeit w gegen ein Testobjekt fährt und dieses um eine bestimmte Strecke eindrückt, aus dem Inertialsystem I. Die Zerstörung ist umso größer, je schneller und massereicher das Auto ist.

Veranschaulichung

Die Geschwindigkeit wird aus der Zeitänderung Δt und der zurückgelegten Strecke Δy errechnet.Die Uhren C1 und C2 messen die Zeitänderung Δt = 4s für die Strecke Δy = 100m.Also gilt für die Geschwindigkeit w:

s

m

s

mw 25

4

100

Das Auto hat die Masse m = 1000kg.Daraus ergibt sich für den Impuls des Autos das Produkt aus dessen Masse m und dessen Geschwindigkeit w:

s

mkg

s

mkgwmp 25000251000

Betrachten wir nun das Geschehen aus einem sich mit der Geschwindigkeit v = 0,6c senkrecht zu der Geschwindigkeit des Autos bewegenden Inertialsystem I´, so hat das Auto näherungsweise die Geschwindigkeit –v (man kann w in Relation zu v als so klein ansehen, dass w keine relevante Auswirkung hat).

Das Testobjekt wird ebenso tief eingedrückt, da die Längenkontraktion nur in Richtung der Relativbewegung wirkt und nicht senkrecht dazu. Demnach ist der Impuls unverändert und gleich dem, der aus Sicht des Bezugssystems I gemessen wird. Es gilt daher:

s

mkgpp 25000´

Auch die zurückgelegte Strecke Δy ist im Inertialsystem I´ so groß wie in I.Es gilt:

myy 100´

Anders ist dies allerdings mit der Zeit, die das Auto benötigt, um die Messstrecke Δy zurückzulegen. Die synchronisierten Uhren A und B des Inertialsystems I´ messen die Zeitänderung ΔtR´. Die Uhren C1 und C2, die zwar von I´ aus gesehen auch zueinander synchron gehen, aber wegen der Zeitdilatation langsamer gehen, messen die Zeitänderung Δt.

Nach der Formel für die Zeitdilatation gilt dann:

ss

c

vttR 5

²6,01

14

²

²1

1´

Demnach hat das Auto in Fahrtrichtung nur die Geschwindigkeit w´, es gilt:

s

m

s

m

t

yw

R

205

100

´

´´

Da aber das Testobjekt trotz der relativ zu w geringeren Geschwindigkeit w´ gleichermaßen zerstört wird, muss für das Inertialsystem I´ gelten, dass die Masse des Autos größer ist:

kg

smsm

kgw

wmm 1250

20

251000

´´

Man erhält allgemein aus p´= p und der Zeitdilatationsformel

für die Masse m´:

somit ist der Zusammenhang zwischen der Ruhemasse m0 eines Körpers aus Sicht seines Ruhesystems und der dynamischen Masse m des gleichen Körpers aus Sicht eines bewegten Systems beschrieben.

²

²1c

vtt R

²²

1

1´

´´

´

cv

mt

tm

tyt

ym

w

wmm

Allgemeine Folgerung:

Aus Sicht eines Inetialsystems I ist die dynamische Masse m eines Körpers, der sich mit der Relativgeschwindigkeit v bewegt, größer als die Ruhemasse m0 des Körpers. Es gilt:

Wenn sich v an c annähert, dann wird die dynamische Masse m unendlich groß. Wenn v sehr viel kleiner ist als c, dann sind dynamische Masse und Ruhemasse annähernd gleich, die Masse ist konstant, so wie in der klassischen Physik.

Für den relativistischen Impuls gilt:

²²

1

0

cv

mm

²²

1

0

cv

vmvmp

7. Schlusswort

Die spezielle Relativitätstheorie beschreibt noch weitere Effekte wie die relativistische kinetische Energie oder die Äquivalenz von Masse und Energie, die mit der berühmten Formel E = m c² beschrieben wird.

Und es gibt noch die allgemeine Relativitätstheorie, in der unter Anderem die Raumkrümmung beschrieben wird.

Mit seinen genialen und revolutionären Erkenntnissen stellte Albert Einstein die klassische Physik auf den Kopf, kam mit vielen Physikgelehrten in Konflikt und eröffnete eine völlig neue Sichtweise. Für diese grandiose Leistung ist ihm zu gedenken.

8. Quellen

Bilder: Metzler Physik, Schroedel Verlag

Text: nach Metzler Physik, Schroedel Verlag

Programme: MS PowerPoint, Corel PHOTO-PAINT