Gymnázium Jozefa Gregora Tajovského Banská Bystrica

PROJEKTLeonhard Paul Euler

Ján Murín, III.F

2011/2012

Obsah

1 ÚVOD................................................................................................................3

2 ŽIVOT...............................................................................................................4

2.1 Detstvo......................................................................................................4

2.1.1 Rodina................................................................................................4

2.1.2 Vzdelanie...........................................................................................4

2.2 Práca..........................................................................................................5

2.2.1 Petrohrad............................................................................................5

2.2.2 Berlín..................................................................................................6

2.2.3 Návrat do Ruska a problémy so zrakom.............................................7

2.3 Zaujímavosti..............................................................................................7

3 VEDECKÁ PRÁCA........................................................................................8

3.1 Matematika................................................................................................8

3.1.1 Matematický zápis..............................................................................8

3.1.2 Eulerovo číslo.....................................................................................8

3.1.3 Eulerova priamka................................................................................9

3.1.4 Teória grafov......................................................................................9

3.2 Fyzika a astronómia.................................................................................10

4 ZÁVER............................................................................................................11

Použitá literatúra...............................................................................................12

Prílohy...............................................................................................................13

2

1 ÚVOD

18. storočie. Veda všetkých vied, matematika, napreduje míľovými krokmi vďaka

mnohým skvelým matematikom ako Laplace, Bernoulli, Lagrange. Ale jeden ich všetkých

prevyšuje, vďaka svojím stovkám publikácií a zisteniam- Leonhard Paul Euler.

Pri výbere témy som sa rozhodol pre projekt o nejakom významnom matematikovi. Po

prečítaní pár viet z Eulerovho životopisu som neváhal a okamžite som si na úvodnú stranu

napísal jeho meno.

V mojej práci som sa zameral komplexne opísať tohto geniálneho matematika.

Zameral som sa na jeho pôvod, rodinné pomery, počiatok jeho štúdia a momenty, ktoré

ovplyvnili jeho napredovanie. Zaznamenal som zmeny, ktoré vyplývali presťahovaním sa.

Jeho vedecká a pedagogická činnosť tvorí ďalšiu časť projektu, kde poukazujem na

najznámejšie a priekopnícke diela, ktoré publikoval.

Zaujal ma svojou cieľavedomosťou a zanietením pre matematiku. Takmer každý

týždeň publikoval niektorú zo svojich prác. Dokázal vyriešiť mnoho problémov, ktoré sa

ostatným matematikom zdali nemožné alebo na ne potrebovali niekoľkokrát viac času, za čo

dostal veľa cien. A v tom mu nezabránili ani problémy so zrakom a úplná slepota v

posledných 20 rokov svojho života, za čo si zaslúži môj obdiv.

,,Čítajte Eulera, čítajte Eulera, on je učiteľ nás všetkých.”

Pierre-Simon Laplace

3

2 ŽIVOT

2.1 Detstvo

2.1.1 Rodina

Otec Leonharda Eulera, Paul Euler, študoval teológiu na univerzite v Bazileji, kde

navštevoval prednášky Jacoba Bernoulliho, v tej dobe považovaného za popredného

európskeho matematika. Po vyštudovaní sa stal protestantským pastorom a oženil sa

s Margaretou Bruckerovou, dcérou iného protestantského pastora. Leonhard mal dve mladšie

sestry pomenované Anna Mária a Mária Magdaléna. Zanedlho po narodení Leonharda sa celá

jeho rodina presťahovala z Bazileji do mesta Riehen, kde Euler strávil väčšinu svojho detstva.

Paul Euler mal matematické vzdelanie a učil svojho syna elementárnu matematiku, spolu

s ďalšími predmetmi. Pravdepodobne najväčší vplyv na Eulera a jeho budúci záujem

o matematiku mal práve rodinný priateľ Jacob Bernoulli.

2.1.2 Vzdelanie

Prvé oficiálne vzdelávanie začal Euler v Bazileji, kde bol poslaný bývať k svojej starej

mame z matkinej strany. V trinástich rokoch bol prijatý na Univerzitu v Bazileji a v roku

1723 získal titul Master of Philosophy (dnes Mgr.) s diplomovou prácou, ktorá porovnávala

filozofiu Descarta a Newtona. V tom čase dostával Euler sobotné lekcie od Johanna

Bernoulliho, ktorý rýchlo objavil u svojho nového žiaka neuveriteľné nadanie na matematiku.

Euler v tom čase študoval teológiu, gréčtinu a hebrejčinu na naliehanie svojho otca, ktorý

chcel, aby sa Euler stal pastorom, Bernoulli však presvedčil Paula Eulera, že Leonhardovi je

predurčené stať sa veľkým matematikom. V roku 1726 Euler ukončil svoju PhD. dizertáciu o

šírení zvuku s názvom De Sono a v roku 1727 sa zapojil do súťaže Prize Problem Parížskej

akadémie, kde problémom toho roku bolo nájsť najlepší spôsob, ako umiestniť sťažne na lodi.

Vyhral druhú cenu, porazil ho len Pierre Bouguer, ktorý je teraz známy ako „otec lodnej

architektúry“. Euler následne vyhral túto významnú cenu dvanásťkrát počas svojej kariéry.

4

2.2 Práca

2.2.1 Petrohrad

Dňa 17. mája 1727 pricestoval Euler do hlavného mesta Ruska. Bol povýšený z

pozície „juniora“ na lekárskej katedre akadémie na miesto na katedre matematiky. Býval s

Danielom Bernoullim, s ktorým často úzko spolupracoval. Naučil sa ruštinu a usadil sa v

Petrohrade. Prijal aj ďalšiu prácu ako medik v ruskom námorníctve.

Akadémia v Petrohrade, založená Petrom Veľkým, bola určená pre zlepšenie

vzdelávania v Rusku a preklenutie vedeckej priepasti so západnou Európou. Týmto sa stala

zvlášť atraktívnou pre zahraničných učencov, akým bol aj Euler. Akadémia mala dostatok

finančných prostriedkov a rozsiahlu knižnicu ťažiacu zo súkromných knižníc samotného Petra

Veľkého a šľachty. Do akadémie bol prijímaný obmedzený počet študentov, aby bol učiteľský

zbor odbremenený s dôrazom na výskum a bol mu poskytnutý nielen čas ale aj sloboda

venovať sa vedeckým otázkam. Katarína I, sponzorka akadémie, ktorá pokračovala v

pokrokovej politike svojho manžela, zomrela v deň príchodu Eulera. Ruská šľachta takto

nadobudla väčšiu moc nad dvanásťročným Petrom II.

Euler v roku 1727 publikoval svoj prvý článok. V 1735 za začali jeho problémy so

zrakom. Parížska Akadémia vied vypísala cenu za riešenie istého astronomického problému.

Problém bol pomerne zložitý a väčšina matematikov žiadala na jeho riešenie niekoľko

mesiacov. Euler na ňom pracoval bez prerušenia 3 dni a cenu získal. Veľké vypätie a zlé

pracovné podmienky pripravili Eulera o jedno oko. 

Keďže šľachta nedôverovala zahraničným vedcom akadémie, rozhodla sa znížiť

financovanie a spôsobovala ďalšie ťažkosti Eulerovi a jeho kolegom. Po smrti Petra II sa

podmienky trochu zlepšili, Euler rýchlo postupoval v pozíciách na akadémii a v roku 1731 sa

stal profesorom fyziky. O dva roky neskôr, Daniel Bernoulli, znechutený cenzúrou a

nehostinnosťou, ktorým musel v Petrohrade čeliť, odišiel do Bazileji. Euler nastúpil na jeho

miesto ako vedúci katedry matematiky.

7. januára 1734 sa oženil s Katharinou Gsellovou, dcérou maliara Akademického

Gymnázia. Mladý pár kúpil dom na rieke Neve. Z ich trinástich detí sa iba päť dožilo

vyššieho veku.

5

2.2.2 Berlín

Znepokojovaný trvajúcim nepokojom v Rusku, opustil Euler dňa 19. júna 1741

Petrohrad a prijal miesto v Berlínskej Akadémií, ktoré mu ponúkol pruský kráľ Fridrich

Veľký. Dvadsaťpäť rokov žil v Berlíne(Príloha 2- Obrázok 2), kde napísal viac ako 380

článkov a vydal dve diela, ktoré ho najviac preslávili:

Introductio in analysin infinitorum, text o funkciách, v roku 1748  

Institutiones calculi differentialis, text o diferenciálnom počte, v roku 1755.

Okrem toho bol Euler požiadaný, aby sa stal súkromným učiteľom Fridrichovej netere,

princeznej z Anhalt-Dessau. Euler jej napísal vyše 200 listov, ktoré boli neskôr zahrnuté v

najpredávanejšom zväzku:

Eulerove listy o rôznych veciach v prírodnej filozofii adresované nemeckej

princeznej, táto práca obsahovala Eulerov výklad rôznych vecí vzťahujúcich sa na fyziku a

matematiku a rovnako dobre ponúkala cenné pohľady na Eulerovu osobnosť a náboženské

vyznanie. Táto kniha sa stala čítanejšou než ktorékoľvek iné z jeho matematických prác a

bola publikovaná v celej Európe a v Spojených štátoch. Popularita týchto „Listov“ svedčí o

Eulerovej schopnosti efektívne predniesť vedecké záležitosti laickému publiku, čo je

zriedkavou schopnosťou horlivého výskumného vedca.

Napriek obrovskému prínosu k prestíži Akadémie, bol nakoniec Euler nútený Berlín

opustiť. Bolo to čiastočne kvôli osobnému konfliktu s Fridrichom, ktorý začal na Eulera

nazerať ako na nesofistikovaného a to najmä v porovnaní s filozofmi nemeckého kráľa, ktorí

prišli na akadémiu. Medzi tými, ktorí boli vo Fridrichovych službách, bol aj Voltaire a tento

Francúz zastával výsadné postavenie v kráľovskom spoločenskom okruhu. Euler, pracovitý a

jednoduchý pobožný muž, bol veľmi konvenčný vo svojich názoroch a vkuse. V mnohých

ohľadoch bol priamym opakom Voltaira. Euler nebol skúsený v rétorike. Mal sklon

diskutovať o záležitostiach, o ktorých vedel len málo a kvôli tomu sa stal častým terčom

Voltairovych vtipov. Aj Fridrich vyjadril sklamanie nad Eulerovými schopnosťami z

praktického inžinierstva:

„Chcel som mať vo svojej záhrade vodnú trysku. Euler vypočítal silu kolies potrebnú na

zvýšenie hladiny vody v nádrži, odkiaľ by mala znovu poklesnúť kanálmi a nakoniec

vystrieknuť v Sanssouci. Moje zariadenie bolo skonštruované geometricky a nevedelo

vytlačiť väčšie množstvo vody bližšie než na päťdesiat krokov (asi 74 m) k nádrži. Márnosť

nad márnosť! Márnomyseľná geometria!“

6

2.2.3 Návrat do Ruska a problémy so zrakom

V roku 1766 prijal ponuku pracovať v Petrohrade pod záštitou cárovnej Kataríny II.

(Veľkej). Traduje sa, že na tú dobu dojednával tvrdé finančné podmienky "prestupu" vrátane

zamestnania pre svojich synov. Podmienky boli prijaté a Euler sa napriek nesúhlasu

Friedricha II. presťahoval do Petrohradu, kde pracoval až do svojej smrti. 

V roku 1766 sa stav druhého oka zhoršil v dôsledku šedého zákalu. Euler sa však

nevzdal a začal trénovať písanie so zatvorenými očami. Po niekoľkých týždňoch úplne

oslepol. Spočiatku bol rukopis čitateľný, ale po niekoľkých mesiacoch sa stal nečitateľným a

Eulerovým pisárom sa stal jeho syn Albert (neskôr aj asistent špeciálne pozvaný zo

Švajčiarska). Vďaka svojej fenomenálnej pamäti (po Európe mu hovorili aj: stelesnená

analýza), mohol aj ako slepec diktovať ďalšie práce. Mnohí historici a matematici považujú

posledných 17 rokov, ktoré strávil Euler v slepote, za najproduktívnejšie obdobie jeho života.

V 1776 podstúpil operáciu šedého zákalu. Niekoľko dní sa zdalo, že bude znova vidieť, ale

rana sa vplyvom infekcie zapálila a Euler bol znova uvrhnutý do tmy.

Zomrel v Petrohrade, dňa 18. septembra 1783 na krvácanie do mozgu. Bol pochovaný

so svojou manželkou na Smolenskom evanjelickom cintoríne na Vasilevského ostrove.

2.3 Zaujímavosti

Figuroval na šiestich sériách Švajčiarskej 10-frankovej bankovky(Príloha 2- Obrázok

3) a na mnohých švajčiarskych, nemeckých a ruských poštových známkach. Asteroid 2002

Euler bol pomenovaný na jeho počesť. Podľa Kalendára svätých Evanjelickej cirkvi si Eulera

pripomínajú 24. mája – bol zástancom biblickej neomylnosti, písal apologetiky a

argumentoval proti prominentným ateistom svojich čias.

7

3 VEDECKÁ PRÁCA

3.1 Matematika

3.1.1 Matematický zápis

Euler zaviedol a popularizoval niekoľko konvencií v označovaní vo svojich početných

a široko kolujúcich učebniciach. Predovšetkým zaviedol pojem funkcie a ako prvý začal písať

f(x), čo označuje funkciu f aplikovanú na argument x. Taktiež zaviedol moderné označovanie

trigonometrických funkcií, písmeno e pre základ prirodzeného logaritmu, grécke písmeno Σ

pre sčitovanie a písmeno i pre označenie imaginárnej jednotky. Euler propagoval aj

používanie gréckeho písmena π na označenie pomeru obvodu kružnice k jej priemeru aj

napriek tomu, že nepochádzalo od neho.

3.1.2 Eulerovo číslo

Matematická konštanta e je základom prirodzeného logaritmu. Jeho približná hodnota

na 30 desatinných miest je:

e = 2,718281828459045235360287471352...

Popri π a imaginárnej jednotke i, je e  jedno z najvýznamnejších čísel v matematike.

Má viacero ekvivalentných definícií, najznámejšie z nich sú uvedené nižšie. Tri najznámejšie

definície:

Definícia e ako limity:

Definícia e ako súčet nekonečného radu:

Definícia e ako jediného reálneho čísla x > 0, pre ktoré platí, že:

8

3.1.3 Eulerova priamka

Je to priamka(Obrázok 1) nachádzajúca sa v každom nerovnostrannom trojuholníku.

Prechádza jeho priesečníkom výšok (ortocentrom), ťažiskom, stredom opísanej kružnice

a stredom Feuerbachovej kružnice. Ťažisko delí spojnicu ortocentra a stredu opísanej kružnice

v pomere 2:1. Rovnostranný trojuholník túto priamku nemá, lebo v ňom všetky tieto body

splývaju. V rovnoramennom je priamka kolmá na základňu.

Obrázok 1, Eulerova priamka

H- ortocentrum

S- ťažisko

U- stred opísanej kružnice

3.1.4 Teória grafov

V roku 1736 Euler vyriešil problém známy ako Sedem mostov Königsbergu. Pruské

mesto Königsberg, bolo postavené na rieke Pregol a zahŕňalo dva veľké ostrovy, ktoré boli aj

s pevninou navzájom poprepájané siedmimi mostmi. Problémom bolo rozhodnúť, či je možné

sledovať cestu, ktorá prechádza každým mostom práve raz a vrátiť sa do východiskového

bodu. Nedá sa: nie je tam Eulerova kružnica. Toto riešenie sa považuje za prvú vetu teórie

grafov, konkrétne v teórii planárnych grafov.

A mnoho ďalších poznatkov z oblastí analýzy (diferenciálneho a integrálneho počtu),

teórie čísel, aplikovanej matematiky, logiky, geometrie, ktoré sú náplňou štúdia vyššieho

matematického vzdelania.

9

3.2 Fyzika a astronómia

Euler pomohol rozvinúť Eulerovo-Bernoulliho rovnicu nosníka, ktorá sa stala

základným kameňom inžinierstva. Okrem úspešného aplikovania svojich analytických

nástrojov do problémov v klasickej mechanike Euler taktiež aplikoval tieto techniky na

astronomické problémy. Jeho práca v astronómii bola uznaná množstvom cien Parížskej

Akadémie niekoľkokrát počas jeho kariéry. Medzi jeho úspechy patrí určenie obežných dráh

komét a iných nebeských telies s veľkou presnosťou, pochopenie povahy komét a

výpočet paralaxy slnka. Jeho výpočty taktiež prispeli k rozvoju dĺžkových tabuliek.

Okrem toho, Euler významne prispel do optiky. Nesúhlasil s Newtonovou

korpuskulárnou teóriou svetla v optike, ktorá bola neskôr prevládajúcou teóriou. Jeho články

z roku 1740 o optike napomohli tomu, že vlnová teória svetla navrhnutá Christianom

Huygensom sa stala dominantným spôsobom zmýšľania aspoň do doby rozvinutia kvantovej

teórie svetla.

10

4 ZÁVER

Touto prácou som priblížiť život Leonharda Paula Eulera v súkromnom aj vedeckom

živote. Malý rozsah projektu mi nedovolil podrobnejšie spomenúť viacero vedcových diel, ale

podľa mňa Eulerovu priamku, Eulerove číslo a matematický zápis, ktoré pokladám za

najdôležitejšie, som zahrnul do mojej práci. Všetky jeho ostatné úspechy, životné ujmy

a prelomy sú spomenuté len okrajovo. Touto prácou som tiež poukázať na tvrdú prácu, ktorou

to všetko dosiahol v rozsiahlych oblastiach matematiky. Verím, že sa mi aj podarilo priblížiť

jeho najväčšie objavy, s ktorými sa dennodenne stretávame. Je pozoruhodné, ako jednoducho

títo velikáni žili a s akými problémami sa museli vyrovnať a predsa dokázali obohatiť

matematickú vedu o svoje objavy.

Jeho život je určite možné podrobnejšie zhrnúť, ale snažil som sa spomenúť tie

najpodstatnejšie udalosti. Nehovoriac o jeho objavoch, na ktoré by som potreboval desiatky,

ak nie stovky strán a ktoré zatiaľ ani neviem fundovane vysvetliť.

11

Použitá literatúra

Internetové zdroje:

http://www.usna.edu/

http://www.ys.sk/

http://sk.wikipedia.org/

http://en.wikipedia.org/

http://www.apprendre-math.info/

http://www.centennialofflight.gov/

http://www.maths.tcd.ie/

http://www.nndb.com/

http://www.britannica.com/

12

PRÍLOHY

13

Príloha 1

Chronologický zoznam diel

1736 - Mechanica, sive mortus scientia analytice exposita - prvá učebnica, v ktorej bola

analytickými metódami spracovaná newtonovská dynamika hmotného bodu

1744 - Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes - prvé

spracovanie variačného počtu

1748 - Introductio in analysin infinitorum – 2-zväzkové dielo, pochádza z neho súčasné

chápanie trigonometrie a väčšina súčasných zápisov, obsahuje vzťah medzi

exponenciálnymi a trigonometrickými funkciami, toto dielo sa dá považovať za prvú

učebnicu analytickej geometrie

1755 - Institutiones calculi differentialis

1768 až 1744 - Institutiones calculi integralis – 3 zväzky

1765 - Theoria mortus corporumsolidorum seu rigidorum - výklad mechaniky pevného telesa

1769 až 1771 – Dioptrica – 3 zväzky, teória prechodu svetelných paprskov sústavami

optických šošoviek

1770 - Vollständige Einleitung zur Algebra - učebnica algebry a vzor pre neskoršie učebnice

algebry.

1774 - Theoria motus planetarum et cometarum - pojednanie o nebeskej mechanike

14

Príloha 2

Obrázok 2- Leonhard Paul Euler

Obrázok 3- Leonhard na 10 frankovej bankovke

15