LINEARE ALGEBRAÜBUNGSSTUNDE 2

JÉRÔME LANDTWING

D-ITETETH ZÜRICH

28. SEPTEMBER 2020

ÜBERBLICK

1 Was bisher geschah

2 LR-Zerlegung

3 AusblickTipps zur SerieNächste Woche

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ABLAUF

Nachbesprechen Abgeben Vorbesprechen SpeziellWoche 1 - - - -Woche 2 - - Serie 1 -Woche 3 - Serie 1 Serie 2 -Woche 4 Serie 1 Serie 2 Serie 3 -Woche 5 Serie 2 Serie 3 Serie 4 -Woche 6 Serie 3 Serie 4 Serie 5 -Woche 7 Serie 4 Serie 5 Serie 6 -Woche 8 Serie 5 Serie 6 Serie 7 MidtermWoche 9 Serie 6 Serie 7 Serie 8 -Woche 10 Serie 7 Serie 8 Serie 9 -Woche 11 Serie 8 Serie 9 Serie 10 -Woche 12 Serie 9 Serie 10 Serie 11 EndtermWoche 13 Serie 10 Serie 11 Serie 12

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WAS BISHER GESCHAH

WAS BISHER GESCHAH

GleichungssystemeGaussalgorithmusI Protokollmatrix

VerträglichkeitsbedingungenI Keine LösungI Eine LösungI unendlich viele Lösungen

Rang einer Matrix

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RANG

r = Rang einer Matrix

= Anzahl nicht Nullzeilen im Endschema

= maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen

= maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten

Zeilenstufenform

∗ ∗ ∗ ∗ ... ∗ c10 0 ∗ ∗ ... ∗ c20 0 0 ∗ ... ∗ c3...

......

......

......

0 0 0 0 0 ∗ cr0 0 0 0 0 0 cr+1...

......

......

......

0 0 0 0 ... 0 cm

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VERTRÄGLICHKEITSBEDINGUNGEN

LGS in Zeilenstufenform (ZSF) a11 a12 a13 b10 a22 a23 b20 0 a33 b3

Fall 1: LGS besitzt eine eindeutige Lösung, falls(a33 6= 0, b3 beliebig)

Fall 2: LGS besitzt keine Lösung, falls(a33 = 0, b3 6= 0)

Fall 3: LGS besitzt unendlich viele Lösungen, falls(a33 = 0, b3 = 0) (Kompabilitätsbedingung /Verträglichkeitsbedingung) erfüllt.

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THEORIE

Matrizen Begriffe

LR-Zerlegung

Lösen von Gleichungssystemen mit LR-Zerlegung

Matrizenrechnung

Matlab

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SPEZIELLE MATRIZEN

Nullmatrix

rechte Dreiecksmatrix

untere Dreiecksmatrix

Einheitsmatrix

Inverse Matrix

Diagonalmatrix

Permutationsmatrix

[1 0 02 0 05 8 2

](1)

aij 6= 0 ⇐⇒ i = j (2)

[1 0 00 1 00 0 1

](3)

[0 420 2

](4)

aij = 0 ∀i , j (5)

[0 1 00 0 11 0 0

](6)

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TRANSPONIERTE

Sei A eine m × n Matrix, dann ist AT die n ×m Matrix mit (AT )ij = Aji

A =

[1 4 65 0 2

]AT =

1 54 06 2

(7)Eine Matrix heisst symmetrisch falls: A = AT

Eine Matrix heisst orthogonal falls A−1 = AT ⇐⇒ AAT = 1Hermit Transponierte: Alle Einträge werden zusätzlich komplex konjugiert.

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LR-ZERLEGUNG

GAUSSELIMINATION MIT PROTOKOLLMATRIX→ LR-ZERLEGUNG

Gaussalgorithmus liefert rechte Dreiecksmatrix (R)

Protokollmatrix ist linke Dreiecksmatrix (L)

Vertauschen von Zeilen (Permutationsmatrix) (P)

ohne Permutation mit Permutation

A = LR PA = LR

Anwenden von Gaussalgorithmus mit Protokoll-matrix.

Protokollmatrix: Eintrag Lij beschreibt: Wie vielMal Zeile j von Zeile i subtrahiert wurde.

Permutationsmatrix: Welche Zeilen wurden ver-tauscht. (Pivotierung, siehe Beispiel)

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BEISPIEL LR-ZERLEGUNG

Beispiel

Berechne eine LR-Zerlegung der Matrix A

A =

2 −1 10 3 −24 −2 1

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BEISPIEL LR-ZERLEGUNG

Beispiel

Berechne eine LR-Zerlegung der Matrix A

A =

2 −1 10 3 −24 −2 1

Lösung

LR =

1 0 00 1 02 0 1

2 −1 10 3 −2

0 0 −1

Notation= 2 −1 10 3 −2

2 0 −1

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BEISPIEL LR-ZERLEGUNG MIT PERMUTATION

Beispiel

Gesucht Matrizen L, R, P so dass LR = PA

A =

0 3 −24 −2 12 −1 1

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BEISPIEL LR-ZERLEGUNG MIT PERMUTATION

Beispiel

Gesucht Matrizen L, R, P so dass LR = PA

A =

0 3 −24 −2 12 −1 1

Lösung

LR =

1 0 00 1 02 0 1

2 −1 10 3 −2

0 0 −1

= 0 0 11 0 0

0 1 0

0 3 −24 −2 1

2 −1 1

= PA

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LÖSEN VON LGS MIT LR-ZERLEGUNG

Ziel: Ax = b lösen

PA = LR LR-Zerlegung mit Gauss PAx = LRxPb = LRx Pb, Rx ausrechnen Pb = b̂, Rx = c

b̂ = Lc Vorwärtseinsetzenc = Rx Rückwärtseinsetzen

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ADDITION

Elementweise

Nur für Matrizen gleicher Dimension[a bc d

]+

[e fg h

]=

[a + e b + fc + g d + h

]Rechenregeln

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C)

(A + B)T = AT + BT

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MATRIXMULTIPLIKATION

Dimensionen: Eine m× p Matrix wird mit einer p × nMatrix multipliziert. Das Ergebnis ist eine m×n Matrix.

(AB)ij =n∑

k=1

Aik Bkj

Rechenregeln

(A+B)C = AC + BC

A(B+C) = AB + AC

(AB)C = A(BC)

(AB)T = BT AT

AB 6= BA

...

... ......

ai1 ai2 ... aip...

... ......

... b1j ...

... b2j ......

......

... bpj ...

=

. . ....

...... cij ...

......

. . .

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ELEMENTAROPERATIONEN DURCH MATRIXMULTIPLIKATION

Zeilen vertauschen: PermutationsmatrixAddieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen. Bsp. E21 addiert das dreifacheder ersten Zeile zu der zweiten Zeile

E21 =

[1 0 03 1 00 0 1

]

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INVERSE

Eindeutig, falls sie existiert

(AB)−1 = B−1A−1

(AT )−1 = (A−1)T

A invertierbar ⇐⇒ Ax = b für jedes b lösbar⇐⇒ Ax = 0 hat nur die triviale Lösung

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AUSBLICK

TIPPS ZUR SERIE 2

2.1 -

2.2 Dimensionen überprüfen. Üben, üben, üben, ...

2.3 Siehe Folien, Matlab Template für Skizze.

2.4 Matrizeneigenschaften ausnutzen. Überspringen, wenn keine Idee.

2.5 Siehe Folien

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AUSBLICK

Norm und Skalarprodukt

Orthogonalität

Rotationsmatrizen

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