Lineare Algebra Winter Semester 2007-2008 Ubungsblatt 1...

Lineare Algebra Winter Semester 2007-2008

Ubungsblatt 1: Zu losen bis 10. Oktober

(1) Bestimmen Sie ob die folgenden Mengen mit der ublichen Multiplkationund Addition Vektorraume uber R sind:(a) Die Menge der rationalen Zahlen Q;

(b) Die einpunktige Menge

0000

⊆ R4;

(c) Die Menge aller zweidimensionalen Spaltenvektoren mit ganzzahligenKoordinaten;

(d) Die Menge P3 der Polynome mit Grad hochstens drei:P3 =

{

a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 | a0, a1, a2, a3 ∈ R}

.(2) Finden Sie die Summe der zwei Vektoren (Figur 1) mit dem Verfahren:

(a) Spitze zu Schaft;(b) Parallelogramregel;(c) Addition der Komponenten;

(3) Gegeben sind zwei Vectoren a, b in R2. Finden Sie reelle Skalare λ und µ

so dass:

(−3)(0.5a − 0.2b) + (4a + 0.5b) = λa + µb.

(4) Zeigen Sie, dass sich zwei nicht parallele Geraden im R2 in genau einemPunkt schneiden.

X AXIS

Y AXIS

1 2 3 4−1−2−3

Figure 1. Vektoren for problem II-1

1

UE Lineare Algebra I, Wintersemester 2007/2008

2. Ubungsblatt, bis 17.10.2007

1. Bestimmen Sie, ob die Vektoren u =

1−25

, v =

231

und w =

38−3

linear

abhangig oder linear unabhangig sind. Wie verhalt es sich, wenn man nur je zweiVektoren betrachtet, d.h. u, v oder u, w oder v, w?

2. Es sind folgende Abbildungen fi : R3 → Rni (1 ≤ i ≤ 5) gegeben:

(a) n1 = 2, f1 :

x

y

z

7→

y

2

z

1+x2

(b) n2 = 1, f2 :

x

y

z

7→ x − y + z + 1

(c) n3 = 3, f3 :

x

y

z

7→

2x + y

2+ z

−x − 2z

3

x − y + z

(d) n4 = 2, f4 :

x

y

z

7→ y

(

z

x

)

(e) n5 = 3, f5 :

x

y

z

7→

x − y − 1y − z + 2z − x − 1

Bestimmen Sie, welche fi lineare Abbildungen sind.

3. Gegeben sind die folgenden Abbildungen gi (1 ≤ i ≤ 3). Zeigen Sie, dass die gi lin-eare Abbildungen sind und finden Sie zu jedem gi eine Matrix Ai, die gi reprasentiert.Ist Ai durch gi eindeutig bestimmt?

(a) g1 : R2 → R2,

(

ξ1

ξ2

)

7→

(

ξ2 − ξ1

2ξ1

)

(b) g2 : R3 → R4,

ξ1

ξ2

ξ3

7→

ξ1 − ξ3 + 3ξ2

0ξ4 + ξ3

ξ1 + ξ2 + ξ3 − ξ4

(c) g3 : R2 → R2,

(

ξ1

ξ2

)

7→

(

v1

v2

)

, wobei

(

v1

v2

)

Losung des Gleichungssystems

v1 − 2v2 = ξ1

−2v1 + 3v2 = ξ2

ist.

4. (Schriftlich) Zeigen Sie: Fur alle λ ∈ R sind die beiden Vektoren

1λ

λ

und

λ

λ

−1

linear unabhangig.

5. Stellen Sie den Vektor

111

als Linearkombination der drei Vektoren

−271

,

2−11

und

253

dar. Finden Sie ferner einen Vektor im R3, der sich nicht als Linearkom-

bination dieser drei Vektoren schreiben laßt.

6. Zeigen Sie, dass drei Vektoren im R2 immer linear abhangig sind.



1. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginarteil folgender komplexen Zahlen:

(2 − 8i) + (5 + 4i) ; (2 − 8i) − (5 + 4i) ; (2 − 8i) · (5 + 4i) ;2 − 8i

5 + 4i

(b) Ein Argand Diagramm ist die graphische Darstellung von komplexen Zahlenals Punkte in der komplexen Ebene, wobei auf der x-Achse (= reelle Achse)der Realteil und auf der y-Achse (= imaginare Achse) der Imaginarteil einerkomplexen Zahl aufgetragen wird.

Zeichnen Sie 1 + 3i, 2− 2i, − 4 + i, − 2− 2i in ein Argand Diagramm ein,und berechnen Sie die Betrage dieser komplexen Zahlen.

2. Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen α = ℜ(α) + iℑ(α) die die Gleichung

α2 = −5 − 12i

erfullen.

Bestimmen Sie weiters die Losungen der quadratische Gleichung

z2 − (4 + i) z + (5 + 5i) = 0.

3. Bestimmen Sie das Bild des Punktes z = 2 + it, t ∈ R unter den folgenden Trans-formationen:

• z 7→ iz,

• z 7→ z2,

• z 7→ ez,

• z 7→ 1/z.

4. Zeigen Sie:

(a) Wenn eine Menge S = {0} nur den Nullvektor enthalt, dann ist S linearabhangig.

(b) Jede Menge von Vektoren, die den Nullvektor enthalt, ist linear abhangig.

(c) Ist Am×n eine Matrix so dass∑n

j=1 aij = 0 fur alle i = 1, 2, . . . ,m gilt (also jedeZeilesumme 0 ergibt), dann sind die Spalten von A linear abhangig.

(d) Jede Teilmenge einer linear unabhangigen Menge von Vektoren ist linear un-abhangig.

(e) Jede Obermenge einer linear abhangigen Menge von Vektoren ist linear abhangig.

5. Bestimmen Sie alle Losungen der folgenden Systeme linearer Gleichungen:

{

x − 2y = −2x − 2y = 2

;

{

x − 2y = −2−2x + 4y = 4

;

2x + z = 3x − y − z = 1

3x − y = 4.

Geben Sie eine graphische Deutung der Resultate.

6. Es sei P ∈ Rn, und V2 ⊂ Rn ein zweidimensionaler Untervektorraum. Zeigen Sie:

Es gibt genau eine Ebene E ⊂ Rn mit P ∈ E und{−→PQ | P,Q ∈ E

}

= V2, namlich

E ={

X ∈ Rn|−−→PX ∈ V2

}

.



1. Sei K ein Korper. Gegeben sei die Menge

V = {alle Funktionen f : K → K}.

(a) Wir definiern eine Vektorsumme (f + g)(x) = f(x) + g(x) und eine skalareMultiplikation (kf)(x) = kf(x) fur f, g ∈ V und k ∈ K;

Zeigen Sie dass V mit den obigen Operationen ein Vektorraum uber K ist.

2. Gegeben ist der Vektorraum V aller Funktionen von dem Zahlenkorper R in denZahlenkorper R. Bestimmen Sie in jedem der folgenden Falle ob W ein Unterraumvon V ist:

(a) W = {f : R → R |f(−x) = f(x) fur alle x ∈ R.}

(b) W = {f : R → R | x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y)}

3. Gegeben sei V = R3.

(a) Zeigen Sie, dass W = {(a, b, 0)|a, b ∈ R} ein Unterraum von V ist.

(b) Ist C ∪ W einen Unterraum von V , wobei C = {(0, 0, c)|c ∈ R}?

4. Fur 2 × 2 Matrizen mit Eintragen in R definieren wir eine Vektorsumme so:

(

a11 a12

a21 a22

)

+

(

b11 b12

b21 b22

)

=

(

a11 + b11 a12 + b12

a21 + b21 a22 + b22

)

und skalare Multiplication

k

(

a11 a12

a21 a22

)

=

(

ka11 ka12

ka21 ka22

)

,

mit aij, bij ∈ R und k ∈ R. Mit diesen obigen Operationen ist die Menge der 2 × 2Matrizen mit Eintragen in R ein Vektorraum. Finden Sie α und β so, dass

C =

(

−1 −4−9 −10

)

= αA + βB,

wobei

A =

(

1 10 1

)

und B =

(

1 23 4

)

.

5. Gegeben ist die Menge V aller (n×n) Matrizen mit Eintragen in R. Wir definiereneine Vektoraddition und eine skalare Multiplikation analog wie fur 2 × 2 Matrizenim letzten Beispiel (also komponentenweise). Sei

W := {symetrische Matrizen; das heißt aij = aji fur alle 0 ≤ i, j ≤ n}.

Bestimmen Sie, ob W ein Unterraum von V ist.



1. Bestimmen Sie alle Losungen des folgenden linearen Gleichungssystems uber C:

(1 + i)x − 3y + iz = −17ix − (2 + i)y + z = i

(1 − 2i)x − y − iz = 0

2. Sei R[X] der R-Vektorraum aller Polynomfunktionen f : R → R, X 7→∑n

i=0 aiXi,

wobei a0, . . . , an ∈ R. Untersuchen Sie, welche der folgenden Abbildungen linearsind:

(a) D : R[X] → R[X],∑n

i=0 aiXi 7→

∑ni=1(i · ai)X

i−1 (Differentiation)

(b) gr : R[X] → R, f 7→ gr(f) (Gradabbildung)

(c) ωa : R[X] → R, f 7→ f(a) (Auswertung an der Stelle a ∈ R)

(d) Die Abbildung κl : R[X] → R,∑n

i=0 aiXi 7→ al, mit l ∈ N0

3. Es seien a, b, c ∈ C. Unter welchen notwendigen und hinreichenden Bedingungenhat das lineare Gleichungssystem

ax + by = c

x + y = 1

(a) eine Losung ( xy ) ∈ C2?

(b) eine Losung ( xy ) ∈ R2?

Bestimmen Sie samtliche Losungen in C2 bzw. R2. Deuten Sie die reellen Losungengeometrisch.

4. (schriftlich) Sei K ein Korper, V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum, undseien V1 und V2 Untervektorraume von V . Zeigen Sie, dass folgende Aussagenaquivalent sind:

(a) V = V1 + V2 und die Summe ist direkt.

(b) Ist [x1, . . . , xm] eine Basis von V1 und [y1, . . . , yn] eine Basis von V2, dann ist[x1, . . . , xm, y1, . . . , yn] eine Basis von V .

5. Es sei K ein Korper und φ : V → W ein Isomorphismus von K-Vektorraumen.Zeigen Sie, dass fur K-Untervektorraume V1, . . . , Vn von V folgende Aussagen aquivalentsind:

1

(a) V =∑n

i=1 Vi und die Summe ist direkt.

(b) W =∑n

i=1 φ(Vi) und die Summe ist direkt.

Warum ist diese Aussage im Allgemeinen falsch, wenn φ kein Isomorphismus ist?

2



1. Betrachten Sie die folgende drei Abbildungen R2 → R2:

(a) f1: Rotation um den Winkelθ gegen den Uhrzeigersinn.

(b) f2: Spiegelung an der x-Achse.

(c) f3: Projektion auf die Geradey = x.

(a) Zeigen Sie, dass die Abbildungen fi sind linear.

(b) Finden Sie zu jedem fk eine Matrix Ak = [aij] die fk reprasentiert:

fk (p) = fk

(

x1

x2

)

=

(

a11x1 + a12x2

a21x1 + a22x2

)

.

2. Eine Dreiecksmatrix ist eine n × n Matrix, fur die alle Eintrage unterhalb (obereDreiecksmatrix) bzw. oberhalb (untere Dreiecksmatrix) der Hauptdiagonalen Null

sind. Zeigen Sie: Ist T eine Dreiecksmatrix mit tii 6= 0 fur alle i = 1, . . . , n, dannsind die Zeilen von T linear unabhangig; weiters sind die Spalten von T linearunabhangig.

3. Gegeben sind die folgenden Teilmengen des R4:

A =

1223

,

2413

,

3614

, B =

0011

,

1234

.

Zeigen Sie, dass gilt: lineare Hulle von A = lineare Hulle von B.

4. Geben Sie eine geometrische Darstellung der linearen Hullen der folgenden Vektorenin R3:

(a)

132

,

264

,

−3−9−6

,

(b)

−400

,

050

,

110

,

(c)

100

,

110

,

111

.

5. A = {a1, a2, . . . , an} sei eine Basis des Vektorraum V uber K.

(a) Zeigen Sie, dass sich jeder Vektor von V auf hochstens eine Weise alsLinearkombination der ai schreiben lasst,

v = β1a1 + β2a2 + · · · + βnan ,

d.h. , die βi ∈ K sind durch v eindeutig bestimmt.

(b) Schreiben Sie den Vektor

14

−3

∈ V = R3, K = R, als eindeutige

Linearkombination der Basis

11−1

,

15−1

,

−300

des R3.



1. Nehmen Sie an dass x,y, und z linear unabhangige Vektoren sind. Zeigen Sie, dassdie drei Vektoren x + y, x − y und x − 2y + z auch linear unabhangig sind.

2. Finden Sie eine Basis und erklaren warum dies eine Basis ist fur:

(a) den Vektorraum V aller 3 × 3 Matrizen mit komplexen Eintragen uber demKorper C .

(b) den Vektorraum V aller Polynome vom Grad hochstens 4 uber dem Korper R.

3. Gegeben sei der Vektorraum V aller Funktionen f : R → R.

(a) Zeigen Sie, dass die Funktionen g = x2 and h(x) = x2 + 1 linear unabhangigsind. (Zwei Funktionen sind als Vektoren des Vektorraums genau dann gleich,wenn sie fur alle x ∈ R desselben Wert annehmen).

(b) Geben Sie ein Beispeil zweier Funktionen, die linear abhangig sind.

4. Entscheiden Sie, ob {(3,3,3),(1,2,3),(4,-2,2)} eine Basis des R3 ist.

5. Gegeben {(1,2,3),(1,1,1)}, finden Sie einen dritten Vektor, um eine Basis des R3 zuerhalten.

6. Gegeben ist der Unterraum des R4 definiert durch {(a, b, c, d)|a − b = 0, c = 4d}.Finden Sie eine Basis fur diesen Unterraum.

7. Sei W eine Unterraum eines endlich dimensionen Vektroraums V der Dimension n.Beweisen Sie

(a) die Dimension von W ist kleiner gleich n.

(b) wenn die Dimension von W gleich n ist, dann ist W = V .

8. (Wiederholung) Seien U und W Unteraume eines endlich dimensionalen Vektor-raums. Sei {u1, .., un} eine Basis von U und {w1, .., wm} eine Basis von W und seiV = U ⊕ W . Beweisen Sie, dass {u1, .., un, w1, .., wm} eine Basis von V ist.



1. Gegeben sind die zwei Vektoren

v1 =

1−30−1

, v2 =

21−10

des R4. Erganzen Sie v1, v2 zu einer Basis [v1, v2, v3, v4] des R4.

2. Der Korper C der komplexen Zahlen ist vermoge der Skalarmultiplikation R×C →C, λ(x + iy) = (λx) + i(λy) ein zweidimensionaler R-Vektorraum mit der Basis[1, i]. Sei z = a + ib ∈ C mit a, b ∈ R. Durch Multiplikation mit z ist eine R-lineareAbbildung x 7→ zx von C nach C gegeben. Finden Sie die Matrixdarstellung dieserAbbildung bzgl. der Basis [1, i].

3. Fur Funktionen f, g : R → R definieren wir das Produkt fg : R → R (wie ublich)wertweise: (fg)(x) = f(x)g(x). Bestimmen Sie die Menge aller Abbildungen f :R → R fur die die Menge {f, f2, f 3, . . . } linear abhangig im R-Vektorraum allerFunktionen von R nach R ist.

4. (schriftlich) Uberlegen Sie sich, ob die Menge {sin(x), cos(x)} linear abhangig oderlinear unabhangig im R-Vektorraum aller Funktionen von R nach R ist.

5. Stellen Sie die bzgl. der Standardbasen des R3 bzw. R4 gegebenen Matrix

0 1 −10 2 01 1 1−3 0 0

bzgl. der neuen Basen

1−100

,

10−10

,

100−1

,

1000

und

1−10

,

10−1

,

001

dar.

6. Sei V der R-Vektorraum aller Polynomfunktionen von R nach R deren Grad ≤ 3ist. Sei di : V → V die Abbildung, die jeder Polynomfunktion ihre i-te Ableitungzuordnet (1 ≤ i ≤ 3). Finden Sie die Matrixdarstellung von di bzgl. der Basis[1, x, x2, x3].



1. Sei P3 der R-Vektorraum aller Polynomfunktionen f : R → R, x 7→ a0 + a1x +a2x

2 + a3x3 wobei a0, a1, a2, a3 ∈ R. Dann hat das Polynom f(x) = 1−x+3x2−x3

die Darstellung

0112

bzgl. der Basis B = {1 + x, 1− x, x2 + x3, x2 − x3}. Finden

Sie einen neuen Basis D des P3, so dass das Polynom f(x) die Darstellung

1020

bzgl. der neuen Basis D hat.

2. Mit Mm×n(K) bezeichnen wir die Menge aller m × n-Matrizen uber K; mit derublichen Addition und skalaren Multiplikation ist Mm×n(K) ein linearer Raum uberK. Gegeben seien V ein n-dimensionaler Vektorraum und W ein m-dimensionalerVektorraum uber K. Dann ist L(V,W ) = {f : V → W |f ist K− linear } einK-Vektorraum mit der ublichen Addition + : L(V,W ) × L(V,W ) → L(V,W ),(f + g)(x) = f(x) + g(x) und Skalarmultiplikation · : K × L(V,W ) → L(V,W ),(λf)(x) = λf(x).

Zeigen Sie, dass Mm×n(K) zu L(V,W ) isomorph ist.

3. Gegeben sei eine Menge S. Betrachten Sie den R-Vektorraum L aller Funktionenf : S → R mit der ublichen Addition + : L×L→ L, (f + g)(x) = f(x) + g(x) undder ublichen Skalarmultiplikation · : R× L→ L, (λf)(x) = λf(x).

Zeigen Sie:

(a) wenn S = {1, 2, . . . , n}, dimL = n;

(b) wenn S = R, dimL =∞.

4. Transformieren Sie das lineare Gleichungssystem

x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 = 0

2x1 + 4x2 + x3 + 3x4 = 03x1 + 6x2 + x3 + 4x4 = 0

auf reduzierte Echelon-Form, und bestimmen Sie alle seine Losungen uber R.

5. Gegeben ist die folgende Menge

S =

23−1

1

,

1573

,

−2

4164

,

0−2

60

,

1−1

32

,

−3−1

3−6

⊂ R4

(a) Zeigen Sie, dass [S] = R4

(b) Finden Sie eine Teilmenge von S die eine Basis des R4 ist.



1. Seien f : R → R und g : R → R Abbildungen. Wir definieren (f ◦ g)(x) :=f(g(x)). Zeigen Sie: Wenn f und g bijektiv sind, dann ist auch (f ◦ g) bijektiv.

2. Sei die Menge F = {f1, f2, ..., fn} eine Basis fur den Vektorraum V und E ={e1, e2, ..., en} ebenfalls eine Basis fur V . Wir konnen dann jeden Basisvektor von F

als Linearkombination von Vektoren von E schreiben, das heißt

fi = ai1e1 + ai2e2 + ai3e3 + · · · + ainen .

Sei P diejenige Matrix deren i-te Spalte der Koordinatenvektor des Vektors fi

bezuglich der Basis E ist. Die invertierbare Matrix P heißt”Ubergangsmatrix“

von der Basis E zur Basis F . Fur jeden Vektor v ∈ V gilt dann die GleichungP [v]f = [v]e, wobei zum Beispiel [v]e den Spaltenvektor bezeichnet, dessen Eintragedie Koordinaten von v bezuglich der Basis E sind.

(a) Verwenden Sie das Konzept”Inverse Matrix“ und finden die Ubergangsmatrix

von F nach E.

(b) Nehmen Sie an dass T : V → V ein lineare Abbildung ist und [T ]e dieMarixdarstellung von T bezuglich der Basis E ist, das heißt [Tv]e = [T ]e[v]e.Verwenden Sie das Konzept

”Inverse Matrix“ und finden Sie eine Formel fur

die Marixdarstellung von T bezuglich der Basis F .

3. Gegeben sind die folgenden Mengen ⊂ R3:

A =

111

,

341

,

539

, B =

1−27

,

2−312

,

3−417

.

Bestimmen Sie, ob die lineare Hulle von A gleich der linearen Hulle von B ist.

4. Gegeben ist die 3 × 3 Matrix

A =

1 0 22 −1 34 1 8

.

Finden Sie A−1.

1

5. (a) Ist

A =

1 0 00 2 32 0 0

invertierbar? Begrunden Sie Ihre Aussage.

(b) Ist

A =

(

1 0 00 1 0

)

invertierbar? Begrunden Sie Ihre Aussage.

6. Gegeben sei die lineare Abbildung T (x, y, z) = (x+2y−z, y +z, x+y +2z). Findeneinen Basis fur Kern(T ).

2



1. Bestimmen Sie ob die folgende Matrix invertierbar ist und berechnen Siegegebenenfalls die Inverse:

1 3 −1−4 0 2−5 2 2

2. Bestimmen Sie ob die folgende Matrix invertierbar ist und berechnen Siegegebenenfalls die Inverse:

1 −1 0 −14 2 0 26 0 2 21 3 5 0

3. Bestimmen Sie eine Basis fur den Kern und das Bild folgender Matrix:

1 −1 −1 04 3 8 66 0 6 61 3 7 4

4. Sei A eine n × n Matrix uber R und k ∈ N0. Wir definieren die k-te Potenz Ak

von A rekursiv durch A0 := I, Ak := A · Ak−1, wobei I die n × n Einheitsmatrixbezeichnet.

(a) Zeigen Sie, dass Kern(A) ⊂ Kern(A2) ⊂ Kern(A3) ⊂ · · · ⊂ Kern(Ak) ⊂ . . .

gilt, und dass es ein k0 ≥ 0 mit Kern(Ak0) = Kern(Ak) fur alle k ≥ k0 gibt.Wir definieren dann K(A) := Kern(Ak0).

(b) Zeigen Sie, dass Bild(A) ⊃ Bild(A2) ⊃ Bild(A3) ⊃ · · · ⊃ Bild(Ak) ⊃ . . . gilt,und dass es ein k0 ≥ 0 mit Bild(Ak0) = Bild(Ak) fur alle k ≥ k0 gibt. Wirdefinieren dann B(A) := Bild(Ak0).

5. Seien die Voraussetzungen und Bezeichnungen wie im vorigen Beispiel.

(a) Zeigen Sie, dass K(A) invariant unter A ist, d.h., dass Ax ∈ K(A) fur allex ∈ K(A) gilt. Ditto fur B(A).

(b) Beweisen Sie, dass Rn = K(A) + B(A), und dass die Summe K(A) + B(A)direkt ist.

1

6. Sei A eine n × n Matrix uber R. Seien K und B Untervektorraume des Rn sodassRn = K +B ist, diese Summe direkt ist, und K und B invariant unter A sind. (ZurTerminologie

”invariant“ siehe das vorige Beispiel.) Seien v1, . . . , vl und w1, . . . , wm

Basen von K bzw. B. Dann gilt l + m = n. Zeigen Sie, dass die Matrixdarstellung[A]b von A bzgl. der Basis b = (v1, . . . , vl, w1, . . . , wm) die folgende Gestalt hat:

[A]b =

(

X 0l,m

0m,l Y

)

Hierbei bezeichnen X eine l × l Matrix, Y eine m × m Matrix und 0α,β die α × β

Nullmatrix.

7. Bestimmen Sie den Rang folgender Matrix:

0 −1 1 1 0−2 2 −2 2 0−3 1 4 3 10 1 0 4 −1

2




A =

1 3 1 −4−1 −3 1 0

2 6 2 −8

.

Uberprufen Sie, dass rang(

AT A)

= rang (A) = rang(

AAT)

.

2. Ein System linearer Gleichungen Ax = b von m linearen Gleichungen in n Variablenuber R heißt konsistent, wenn es eine Losung hat. Sonst heißt es inkonsistent.

(a) Im Fall b = 0 (homogenes Gleichungssystem), zeigen Sie:

i. das lineare Gleichungssystem Ax = 0 ist immer konsistent.

ii. das lineare Gleichungssystem Ax = 0 hat genau eine Losung (d.h. x = 0)⇔ rang(A) = n.

(b) Im Fall b 6= 0 (inhomogenes Gleichungssystem), zeigen Sie:

i. das lineare Gleichungssystem Ax = b ist konsistent ⇔ rang([A|b]) =rang(A).

ii. das lineare Gleichungssystem Ax = b hat genau eine Losung ⇔ rang(A) =n.

3. Finden Sie ein homogenes System von 3 linearen Gleichungen in 4 Variablen uberR das die folgende allgemeine Losung hat

x2

−2100

+ x4

−3021

.

4. Zeigen Sie, dass fur invertierbare Matrizen Ar×r, Bs×s gilt:

(a)

(

A 0r,s

0s,r B

)

−1

=

(

A−1 0r,s

0s,r B−1

)

,

(b)

(

A C

0s,r B

)

−1

=

(

A−1 −A−1CB−1

0s,r B−1

)

.

5. Eine quadratische Matrix heißt nilpotent vom Index k, wenn Nk = 0 und Nk−1 6= 0fur die positive naturliche Zahl k gilt.

(a) Sei N ∈ Rn×n nilpotent vom Index n und y ein Vektor, sodass Nn−1y 6= 0.Zeigen Sie dass, B = {y,Ny,N2y, . . . , Nn−1y} eine Basis von Rn ist.

(b) Zeigen Sie: [N ]B

=

0 0 · · · 0 01 0 · · · 0 00 1 · · · 0 0...

.... . .

......

0 0 · · · 1 0

(c) Seien A und B zwei nilpotente n × n Matrizen vom Index n. Dann existierteine invertiebare Matrix P , sodass A = P−1BP (das folgt nach (b) ).


(

0 1−2 3

)

.

Finden Sie alle Unterraume V ⊂ R2 die invariant unter A sind, d.h., alle V ⊂ R2

mit Ax ∈ V fur alle x ∈ V .

7. Gegeben sei die Matrix

A =

(

1 −11 1

)

.

Berechnen Sie alle Eigenwerten und Eigenvektoren von A.

8. Fur quadratische Matrizen A uber einem Korper K

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

an1 an2 · · · ann

definiert man die Spur (”trace” auf English), sp(A), als die Summe der

Diagonalelemente: sp(A) = a11 + a22 + · · · + ann =n∑

i=1

aii.

Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften:

(a) sp(

AT A)

≥ 0.

(b) sp(

AT A)

= 0 ⇔ A = 0.

(c) Fur Matrizen Am×n und Bn×m gilt sp (AB) = sp(BA).

(d) Invarianz der Spur unter zyklischen Vertauschungen:fur n × n Matrizen A,B,C gilt sp (ABC) = sp (BCA) = sp (CAB).

(e) Die Spur ist invariant unter Basistransformationen:fur eine Matrix A und eine invertierbare Matrix B gilt sp (B−1AB) = sp (A).

Lineare Algebra Winter Semester 2007-2008 Ubungsblatt 1...

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