LK Technik Oberstufe - Webnode

LK Technik Oberstufe

Digitaltechnik

1Dipl.-Ing. Ulrich M. Menne, INI GS Bad Sassendorf, 10'2014

Digitaltechnik: Worum geht es hier?

• In diesem Kapitel lernst du die Grundlagen der digitalen Logik kennen, angefangen bei einfachen Verknüpfungen bis zu komplexen Termen. Am Ende des Kapitels bist du nicht nur in der Lage Aussagen zu verknüpfen und ihnen einen Wahrheitswert zuzuordnen. Du weißt dann auch, wie du sie technisch umsetzen kannst. Des Weiteren lernst du einfache Möglichkeiten kennen, Information digital zu speichern.

• Damit du dein Wissen auch anwenden und testen kannst, nutzen wir in diesem Kapitel die Software Yenka. Einfache Schaltungen können zukünftig auch auf einem Steckbrett realisiert werden. Diese sowie das nötige Zubehör können günstig erworben werden und ermöglichen dir das Bauen von interessanten Schaltungen.

Dipl.-Ing. Ulrich M. Menne, INI GS Bad Sassendorf, 10'2014 2

Logische Verknüpfungen

• Logische Verknüpfungen benötigt man, um Schaltungen und die Funktionsweise eines Computers zu verstehen. Dieser Abschnitt bildet die Grundlage für das Kapitel Digitaltechnik.

• Hier lernst du...

• ... die grundlegenden logischen Verknüpfungen.

• ... logische Verknüpfungen im Alltag kennen.

• ... Grundlagen der booleschen Algebra.


Einstieg logische VerknüpfungenIn der Schule

• Der neue Informatik Lehrer Herr Schneider benutzt ein einfaches System, um für Disziplin in seinem Unterricht zu sorgen. Sowohl bei vergessenen Hausaufgaben, als auch bei vergessenem Arbeitsmaterial bekommt der betroffene Schüler einen Strich. Bei drei Strichen entsprechend eine schriftliche Mitteilung an die Eltern.

• Im Unterricht werden Arbeitsaufträge erteilt. Hausaufgabe ist immer, diese Arbeitsaufträge zuhause fertig zu stellen. Wurde der Schüler bereits in der Stunde fertig, so hat er keine Hausaufgaben.

• Des Weiteren leitet Herr Schneider die Robotik-AG der Schule. Hier dürfen nur Schüler teilnehmen, die 14 Jahre oder älter sind und Informatik als Schulfach haben.

Aufgabe 1: Vervollständige folgende Tabellen


Materialvergessen

Hausaufgabenvergessen

Strichbekommen

falsch falsch

falsch wahr

wahr falsch

wahr

Arbeitsauftragfertig

Rest alsHausaufgabe

Wahr falsch

14 Jahreoder älter

Informatikals Schulfach

Teilnahme-berechtigt

falsch falsch

falsch wahr

wahr

Einstieg logische Verknüpfungen

• Aufgabe 2: Binärschreibweise

• Du weißt bereits aus dem Kapitel Binärdarstellung von Information, dass ein Bit eine Einheit zur Informationsdarstellung ist, die genau zwei Werte annehmen kann, 0 und 1. In der digitalen Logik erfolgt nun folgende Zuordnung:

• Übersetze nun die Tabellen aus Aufgabe 1 in Binärschreibweise!

• Aufgabe 3: Interpretieren

• Die Tabellen entsprechen Verknüpfungen. Welche Verknüpfungen werden jeweils repräsentiert?

• Aufgabe 4:

• In der deutschen Sprache wird oder in zwei Bedeutungen verwendet: Zum einen kann es sich um ein ausschließendes oder (entweder oder) handeln oder um ein nicht ausschließendes oder (einschließendes oder).

• Finde für jede Bedeutung je ein Beispiel und entscheide, welche Bedeutung der ODER -Verknüpfung entspricht.


wahr 1

falsch 0

Aussage

• Beispiele für solche Sätze sind:– Marvin ist 14 Jahre alt.

– Marvin hat Informatik in der Schule.

– Kaiserslautern ist die Hauptstadt von Rheinland-Pfalz.

– Das Fritz-Walter-Stadion steht in Kaiserslautern.

• In jedem dieser Fälle kann zu einem beliebigen Zeitpunkt eindeutig entschieden werden, ob der Satz wahr oder falsch ist.

• Keine Aussagen sind dementsprechend Sätze, die zwar verständlich sind, denen aber nicht eindeutig ein Wahrheitswert wahr oder falschzugeordnet werden kann. Es hängt hier vom Betrachter ab, wie Sätze interpretiert werden:– Marvin sieht gut aus.

– Der 1.FCK ist ein toller Verein.

– Informatik erleben macht Spaß.

• Du kennst bereits aus der Mathematik Verknüpfungen, mit deren Hilfe du Zahlen verbinden und damit zu neuen Zahlen gelangen kannst. Hierzu zählen plus, minus, mal und geteilt. Auch Aussagen kannst du verknüpfen!


Unter einer Aussage versteht man einen Satz, der so formuliert ist, dass man eindeutig sagen kann, ob er wahr oder falsch ist.

UND-Verknüpfung

• Marvin ist 14 Jahre alt und hat Informatik als Schulfach.

• Aus den beiden Aussagen Marvin ist 14 Jahre alt und Marvin hat Informatik als Schulfach ist durch die Verknüpfung mit dem Operator und eine neue Aussage entstanden. Da beide Teilaussagen wahr sind, ist auch die durch die Verknüpfung entstehende neue Aussage wahr. Bezogen auf unser Einstiegsbeispiel bedeutet das, dass an der Robotik-AG von Herrn Schneider teilnehmen darf.

• Die Aussage Kaiserslautern ist die Hauptstadt von Rheinland-Pfalz und das Fritz-Walter-Stadion steht in Kaiserslautern ist dagegen insgesamt falsch, da bereits die Aussage über die Hauptstadt falsch ist.

• Du weißt bereits, dass ein Bit eine Einheit zur Informationsdarstellung ist, welche genau zwei Werte annehmen kann, 0 und 1. In der digitalen Logik erfolgt nun folgende Zuordnung:

• Für zwei Aussagen a und b, die mit und verknüpft

werden, schreiben wir in der digitalen Logik: a ∧ b.


wahr 1

falsch 0

a b a ∧ b

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Für die UND-Verknüpfung, die man auch Konjunktionnennt, ergibt sich nun folgende Wahrheitstabelle:

NICHT-Verknüpfung

• Kaiserslautern ist nicht die Hauptstadt von Rheinland-Pfalz.

• Das Fritz-Walter-Stadion steht nicht in Kaiserslautern.

• Ist a die ursprüngliche Aussage, so schreiben wir für die Negation von a ā und wir erhalten folgende Wahrheitstabelle:


Du hast sicherlich bemerkt, dass die NICHT-Verknüpfung eine Aussage umkehrt. Diesen Vorgang nennt man auch negieren. Die so entstehende Aussage besitzt nun den entgegengesetzten Wahrheitswert wie die ursprüngliche Aussage.

a ā

0 1

1 0

ODER-Verknüpfung

– Kaiserslautern ist die Hauptstadt von Rheinland-Pfalz oder das Fritz-Walter-Stadion steht in Kaiserslautern.

– Marvin ist 14 Jahre alt oder Marvin hat Informatik in der Schule.

Bei der ersten Aussage ist nur die zweite Teilaussage wahr, bei der zweiten beide Teilaussagen. In beiden Fällen ist die neu entstandene Aussage wahr, da es sich um ein einschließendes oder handelt. Für zwei Aussagen a und b, die mit oder verknüpft werden, schreiben wir kurz

a v b.

Für die Disjunktion ergibt sich folgende Wahrheitstabelle:


Bei der ODER-Verknüpfung, auch Disjunktion genannt, handelt es sich um ein einschließendes oder. Ist eine Teilaussage wahr, so ist auch die durch die Disjunktion entstandene Aussage wahr.

a b a v b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Boolesche Algebra


Die Zeichen ∧, ∨ und ̄ ̄ nennen wir Operatoren. Einen Ausdruck, der aus Variablen und Operatoren besteht, nennen wir booleschen Term.

Übungen• Aufgabe 1

Ordne folgenden Aussagen ihren Wahrheitswert zu, falls möglich!a. Berlin ist die Hauptstadt von Deutschland.b. Ein Auto besitzt 21 Räder.c. Kaiserslautern liegt am Rhein.d. Eine Außentemperatur von 17°C ist warm.e. Bei 100°C siedet Wasser.

• Aufgabe 2Ordne nun den verknüpften Aussagen ihren Wahrheitswert zu, indem du die Ergebnisse aus Aufgabe 1 verwendest!– a ∧ b– a ∨ b– e– c ∧ e

• Aufgabe 3Du hast bestimmt bereits gemerkt, dass auch die Verknüpfung von drei, vier oder noch mehr Aussagen möglich ist. Erstelle nun Wahrheitstabellen für eine UND-und eine ODER-Verknüpfung, mit je drei Aussagen (zum Beispiel a ∧ b ∧ c)!

• Beschreibe nun, wie die Wahrheitstabellen von UND- bzw. ODER-Verknüpfungen mit 4, 5 oder n Aussagen aussehen.


Grundgatter

• Worum geht es hier?

Du hast bereits die logischen Verknüpfungen und, oder und nicht kennengelernt. Aber wie werden diese technisch realisiert? Wo gibt es einfache Anwendungsfälle?


... die drei Grundgatter kennen.

... wie logische Verknüpfungen technisch umgesetzt werden.


Erkundung - Grundgatter

• Der Türöffner

Das zweistöckige Haus der Familie Behr besitzt nur einen Eingang an der Vorderseite. Dieser wird durch zwei Schalter, einen im ersten und einen im zweiten Stock, verwaltet.

• Aufgabe 1

Realisiere nun die Schaltung mit Yenka und teste durch Klick auf die Schalter, wie die Verwaltung der Tür geregelt ist. Wann darf ein Besucher eintreten und wann wird ihm der Einlass verwehrt? Erstelle hierzu eine Wahrheitstabelle!

Aufgabe 2

Welcher logischen Verknüpfung entspricht diese Regelung? Begründe!

Wie wird diese Verknüpfung im Beispiel umgesetzt? Wie werden die Bitwerte 0 und 1 realisiert?


Technische Umsetzung

Die Wahrheitswerte wahr und falsch, bzw. die Bitwerte 1 und 0 werden technisch durch die beiden Zustände

• Strom fließt

• Strom fließt nicht

realisiert. Die Verknüpfungen und, oder und nicht werden durch Schaltbausteine, die wir im Folgenden Gatter nennen, umgesetzt. Alle Gatter haben gemeinsam, dass die Grundform ein Rechteck ist. Die Beschriftung des Gatters gibt dann an, um welche Verknüpfung es sich handelt. Die drei Grundgatter werden durch folgende Symbole repräsentiert:

Konvention

Bei der Beschriftung von Gattereingängen und -ausgängen beachten wir folgende Regeln:

Eingangssignale werden mit Kleinbuchstaben beschrieben

Ausgangssignale dementsprechend mit Großbuchstaben


Schaltsymbol Yenka

AND-Gatter

OR-Gatter

NOT-Gatter

Übungen

• Aufgabe 1 - AufzugssteuerungDer Aufzug soll sich nur dann nach oben bewegen, wenn der Knopf gedrückt und die Tür zu– Beschreibe, wie die Aufzugssteuerung technisch umgesetzt wird. – Benenne die für die Steuerung notwendigen Größen.– Lege eine Wahrheitstabelle an.– Welcher boolesche Term beschreibt die Aufzugssteuerung?

• Aufgabe 2Baue für jedes Grundgatter eine Schaltung auf. Diese soll je zwei Eingänge haben und das Ausgangssignal soll an einer LED anliegen.

• Aufgabe 3Die Firma Digitech hat sich zur Sicherung ihres Tresorraumes folgendes System überlegt: Der Geschäftsleiter besitzt einen Schlüssel, der ihn direkt öffnet. Die drei Sicherheitsbeauftragten können den Tresorraum nur öffnen, wenn alle drei gleichzeitig aufschließen.

• Erstelle eine Schaltung, die die vier Personen als Eingangssignale besitzt. Ausgang soll eine LED sein, die leuchtet, wenn der Tresorraum geöffnet wird.


Komplexe Gatter

• Worum geht es hier?• In den vorangegangenen Abschnitten hast du verschiedene

Grundgatter kennengelernt. Leider reichen diese Gatter in manchen Fällen nicht aus, sodass man sie erweitern oder kombinieren muss, um komplexere Bausteine zu erhalten, die ein Problem lösen können.

• Hier lernst du ...• ... was es mit dem NAND-Baustein auf sich hat.• ... wieso man einen NOR-Baustein benötigt.• ... wie die Schaltung eines XOR-Bausteins funktioniert.


AGs ohne Teilnehmer?

An unserer Schule findet mittwochs zwischen 13:00 und 14:30 Uhr immer die AG Schulorchester statt. Parallel liegen im ersten Halbjahr die Proben des Projektchores, damit die beiden Gruppen verschiedene Stücke gemeinsam einstudieren können.

Herr Müller sucht einen Termin für seine neue Digitaltechnik-AG. Nachdem er seinen Stundenplan erhalten hat, bemerkt er, dass der für ihn günstigste Termin parallel zu Schulorchester und Projektchor liegt. Er möchte nun herausfinden, welche Schülerinnen und Schüler aus den Informatik-Klassen und Kursen zu diesem Zeitpunkt die Möglichkeit besäßen, an der Digitaltechnik-AG teilzunehmen.

Aufgabe 1

Unterstütze Herrn Müller, in dem du die nachfolgende Tabelle mit 10 Schülern, die für die AG in Frage kommen, mithilfe der binären Schreibweise ausfüllst.

Aufgabe 2

Wie viele verschiedene Möglichkeiten kannst du in der Tabelle aus Aufgabe 1 ablesen? Entwerfe eine Schaltung, die deine Möglichkeiten abdeckt und die richtigen Ergebnisse liefert. Was hast du dafür benötigt?

Tipp: Trage die Möglichkeiten in eine Wahrheitstabelle ein.


Schülerim Orchester

im Projektchor

kann an der AG teilnehmen

Julian 1 0

Hannes 1 0

Rebecca 0 1

Lukas 0 0

Joana 1 1

Sarah 1 1

Dominik 0 0

Philipp 0 1

Christian 1 0

Marie 0 0

NAND/NOR-Gatter

• Was ist unser Ziel?

• Um dir das Leben zu erleichtern und Schaltpläne übersichtlicher zu gestalten, können wir das Grundgatter OR mit einem NOT-Gatter am Ausgang zusammenfassen.

• Natürlich wollen wir nicht nur die ODER-Verknüpfung verwenden, auch das UND-Gatter soll eine negierte Variante - NAND - erhalten.


NOR-Gatter

• Wir vereinheitlichen die Darstellung eines NOR-Gatters, indem wir das NOT-Gatter direkt an den Ausgang des OR-Gatters anfügen. Dadurch erhalten wir die gewünschte Übersichtlichkeit unserer Schaltpläne.

• Die Wahrheitstabelle zum NOR-Gatter:


Negiert man den Ausgang eines OR-Gatters und fügt die Negation direkt zum Gatter hinzu, so erhält man ein neues Bauteil, das NOR-Gatter.

a b a ∨ b

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

OR-Gatter, dessen Ausgang durch ein NOT-Gatter negiert wird und an eine LED angeschlossen ist.

Die vereinfachte Darstellung mittels negiertem Ausgang: das NOR-Gatter.

NAND-Gatter

• Wie du noch sehen wirst, spielt das NAND-Gatter eine besondere Rolle innerhalb der Digitaltechnik.

• Auch die Darstellung eines NAND-Gatters vereinheitlichen wir, indem wir das NOT-Gatter direkt an den Ausgang des AND-Gatters anfügen. Die Darstellung wird dann ebenfalls einfacher und übersichtlicher.

• Die Wahrheitstabelle zum NAND-Gatter:


Negiert man den Ausgang eines AND-Gatters und fügt die Negation direkt zum Gatter hinzu, so erhält man eine neues Bauteil, das NAND-Gatter.

a b a ∧ b

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

AND-Gatter, dessen Ausgang durch ein NOT-Gatter negiert wird und an eine LED angeschlossen ist.

Die vereinfachte Darstellung mittels negiertem Ausgang: das NAND-Gatter.

XOR-Gatter

• Es wird komplizierter• Herr Raben und Frau Gabel leiten Schulorchester

und Projektchor. Im Lehrerzimmer erzählt Herr Müller von seinem Problem und der Lösung, die er gefunden hat, um zu erfahren, wie viele Schülerinnen und Schüler seiner Klassen überhaupt in Frage kommen.

• Beiden Kollegen fällt dabei auf, dass es für sie auch wichtig wäre zu wissen, wie viele Schüler ihnen jeweils sicher zur Verfügung stehen und welche Schüler sich zwischen Orchester und Chor entscheiden müssen, weil sie an beiden AGs teilnehmen.

• Für die beiden Musiklehrer ist es also wichtig, dass sie erkennen, welche Schüler genau eine der beiden AGs besuchen.

• Aufgabe 1• Hilf den beiden und vervollständige die Tabelle

nach den Kriterien von oben.


Schülerim Orchester

im Projektchor

Schüler ist genau in einer AG

Julian 1 0

Hannes 1 0

Rebecca 0 1

Lukas 0 0

Joana 1 1

Sarah 1 1

Dominik 0 0

Philipp 0 1

Christian 1 0

Marie 0 0

XOR-Gatter

• Die Schaltung, die du in der Erarbeitung für die Tabelle verwendet hast, nennt sich Exklusiv-Oder-Schaltung. Sie liefert den Wert 1 genau dann, wenn nur einer der Eingangsparameter den Wert 1 besitzt. In den anderen Fällen liefert sie den Wert 0.


Eine Schaltung, die genau dann wahr ist, wenn genau einer ihrer Eingangsparameter wahr ist, heißt EXOR oder XOR-Schaltung. Wir verwenden die zweite Schreibweise.

a b a XOR b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Die Wahrheitstabelle zum XOR-Gatter: Zwei Eingänge an einem XOR-Gatter dessen

Ausgang an eine LED angeschlossen ist.

Übungen• Aufgabe 1: Baue eine Schaltung äquivalent zum XOR-Gatter, die die gleiche Wahrheitstabelle erfüllt.

• Aufgabe 2: Verwende deine Schaltung um einen Term dafür aufzustellen.

• Aufgabe 3: Erstelle Wahrheitstabellen für die folgenden Gatter mit drei Eingängen a, b, c:

• NAND

• NOR

• Ein NAND-Gatter mit 3 Eingängen angeschlossenan drei Schalter und eine LED.

• Aufgabe 4

Entwickle eine Schaltung, die das Innenraumlicht eines Autos anschaltet, wenn eine Tür oder die Heckklappe geöffnet wird. Das Auto hat dabei 4 Türen und eine Heckklappe. Verwende dazu

... nur Gatter mit 2 Eingängen.

... ein Gatter mit der Anzahl an Eingängen die du benötigst.


Logikgesetze


Ähnlich wie in der Zahlenalgebra gibt es auch in der booleschen Alegbra Gesetze, die es ermöglichen, Terme zu vereinfachen oder umzustellen. In der Praxis bedeutet das, dass komplizierte Schaltungen stark vereinfacht werden können, was Ressourcen und Platz - und damit Geld - spart.


... die Gesetze von de Morgan.

... weitere Gesetze der digitalen Logik.


Gesetze der digitalen Logik• Du kennst bereits diverse Gesetze aus dem Mathematikunterricht, die dir erlauben, Terme

umzustellen und zu vereinfachen. Auch in der digitalen Logik gibt es Gesetze, die es dir ermöglichen, komplexe Aussagen einfach darzustellen.

• Wiederholung

• Welche Gesetze aus dem Mathematikunterricht kennst du? Erinnerst du dich noch an ihre Namen?

• Aufgabe 1

• Erstelle mit Yenka folgende Schaltung und teste sie. Was fällt dir auf? Was ändert das Vertauschen des UND- mit dem ODER-Gatter?

• Aufgabe 2

• Ähnlich wie in Aufgabe 1 kannst du nun auch die von dir in der Wiederholung gefunden Gesetze testen. Entweder mit einer Schaltung, oder du erstellst eine Wahrheitstabelle.


Analog zur ZahlenalgebraDu kennst bereits aus dem Mathematikunterricht die Rechenregeln Punkt vor Strich sowie Potenzen zuerst. Ganz ähnlich ist es auch in der booleschen Algebra.

Weiterhin kennst du ebenfalls aus dem Mathematikunterricht Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz. Auch diese Gesetze lassen sich auf die boolesche Algebra übertragen.

Gesetze von De Morgan

Zwei weitere grundlegende Gesetze sind die De Morgan'schen Regeln. Mit ihrer Kenntnis ist es möglich, Schaltnetze zu vereinfachen und die Verwendung von Bausteinen einzuschränken.


Die Negation bindet am stärksten. (NICHT-Verknüpfung)Die Konjunktion bindet am zweit stärksten. (UND-Verknüpfung)Die Disjunktion bindet am schwächsten. (ODER-Verknüpfung)

Für drei Aussagen a, b und c gilt:Assoziativgesetz:(a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) bzw. (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)Kommutativgesetz:a ∧ b = b ∧ a und a ∨ b = b ∨ aDistributivgesetz:(a ∧ b) ∨ c = (a ∨ c) ∧ (b ∨ c) bzw. (a ∨ b) ∧ c = (a ∧ c) ∨ (b ∧ c)

a ∧ b = a ∨ ba ∨ b = a ∧ b

Aufgabe 1

• Statt einem Schalter bietet Yenkaauch die Möglichkeit, ein konstantes Signal als Gattereingang zu verwenden. Teste durch Betätigen des Schalters, wie UND- und ODER-Gatter mit einem konstanten Eingang auf eine Änderung des zweiten Signales reagieren.

• Formuliere Regeln, die diese Änderungen beschreiben.


Aufgabe 2

Du weißt bereits, dass die De Morgan'schen Gesetze

a ∧ b = a ∨ ba ∨ b = a ∧ b

gelten. Überprüfe nun, ob auch

a ∧ b ∧ c = a ∨ b ∨ c

eine wahre Aussage darstellt. Begründe deine Entscheidung!Gilt gleiches auch für beliebig viele Eingänge?

Vereinfache folgende boole'schen Ausdrücke:a ∧ b ∨ a ∧ ba ∨ b ∨ a ∨ b(a ∧ b ∧ c) ∨ b ∨ (b ∧ c) ∨ (b ∧ c)


Vereinheitlichung der Gatter


• Unterschiedliche Bausteine bieten unterschiedliche Möglichkeiten, das hast du bereits im Abschnitt Grundgatter gesehen. Die komplexeren Gatter bieten uns die Möglichkeit, schwierigere Fragestellungen mit einfach zu verstehenden Bauteilen zu realisieren, indem sie Grundgatter direkt kombinieren.

• Wollen wir einen Computer bauen, so ist sein Aufbau durch viele verschiedene Grundbausteine wesentlich komplexer und schwieriger zu realisieren, als ein Aufbau mittels eines einzigen Gatters.

• Hier lernst du ...

• ... dass man Grundgatter mittels komplexer Gatter darstellen kann.

• ... wieso man die Gatter vereinheitlicht.

• ... den Aufbau der Grundgatter mittels NOR/NAND anhand von Aufgaben kennen.

• ... warum das NAND-Gatter die bessere Wahl ist.


Klaus' SchaltungHobbybastler Klaus hat eine Schaltung realisiert, die du rechts sehen kannst (Vergrößerung per Klick). Die Schaltung liefert für die Eingangssignale 1-1-1, 0-0-1 und 1-0-1 die Ausgabe 1, in den anderen Fällen resultiert aus der Eingabe eine 0.

Klaus kennt Steffen Wos, der bei der Firma Pfälzische Halbleiter AG arbeitet. Steffen bietet Klaus an, sein Bauteil innerhalb der Firma bauen zu lassen, sodass Klaus es dann kompakter wiederverwenden kann.


Klaus' SchaltungNachdem Klaus Steffen die Schaltskizze, die er mit einer Simulationssoftware entworfen hat, zugesendet hat, meldet sich Steffen telefonisch bei Klaus:

Klaus benötigt deine Hilfe, unterstütze ihn!


Klaus: "Hallo.„

Steffen: "Hallo Klaus, hier ist Steffen. Ich habe mir deine Schaltung angesehen."

Klaus: "Sehr gut, was meinst du dazu."

Steffen: "Wir können das bauen, unsere Konstrukteure haben mir aber gesagt, dass wir uns auf weniger Bauteile beschränken sollen. Die Produktion wäre für dich dann auch wesentlich günstiger."

Klaus: "Alles klar, dann ändere ich meine Schaltskizze entsprechend ab. Ich muss nur noch herausfinden, welches Bauteil ich nehmen kann, hast du eine Idee?"

Steffen: "Die Ingenieure sagen, eines der komplexeren Gatter, NOR oder NAND, sollte funktionieren."

Klaus: "Vielen Dank, Steffen, ich mache mich an die Arbeit und sende dir die neue Skizze dann zu."

Steffen: "In Ordnung, bis dann."

Wie kommen wir zum NOT-Gatter?

• In diesen Übungen sollst du Klaus helfen, die Grundgatter nur aus NOR-Gattern aufzubauen.

• Wir wollen nun zuerst ein NOT-Gatter aus einem NOR-Gatter aufbauen. Überlege dir bevor du weiterliest, wie viele Eingänge das NOT-Gatter haben muss und wie viele ein NOR-Gatter mindestens besitzt.

• Du wirst erkennen, dass wir beim NOR-Gatter mehrere (mindestens zwei) und beim NOT-Gatter lediglich einen Eingang haben. Eine Schaltung, die die Wahrheitstabelle des NOT-Gatters erfüllt, muss also auch einen einzigen Eingang besitzen.

• Aufgabe 1

• Entwerfe eine Schaltung, die ein NOR-Gatter (mit zwei Eingängen) enthält. Schließe zunächst nur einen der beiden Eingänge an. Am Ausgang solltest du eine LED positionieren. Notiere dir die Wahrheitstabelle.

• Verzweige nun den einen Eingang der Schaltung so, dass er an beide Eingänge des NOR-Gatters angeschlossen ist. Notiere dir die Wahrheitstabelle erneut.

• Vergleiche die beiden Wahrheitstabellen mit der dir bekannten des NOT-Gatters. Welche deiner Lösungen ist korrekt?

Lösung:



• Du weißt nun bereits, wie das NOT-Gatter zu Stande kommt. Der Unterschied zwischen NOR- und OR-Gatter ist der negierte Ausgang. In dem wir den Ausgang des NOR-Gatters negieren erhalten wir wieder die Schaltung eines OR-Gatters.

• Aufgabe 2

• Entwerfe die oben genannte Schaltung und vergleiche die Wahrheitstabelle mit der des OR-Gatters.

Lösung:

Es geht weiter - Der Weg zum OR


• Aufgabe 3

• Um das OR-Gatter aufzubauen, haben wir den Ausgang des NOR-Gatters negiert. Für das AND-Gatter verwenden wir nun negierte Eingänge es NOR-Gatters. Entwerfe die Schaltung (du benötigst 3 NOR-Gatter) und negiere dabei jeden der Eingänge eines NOR-Gatters jeweils mit einem weiteren. Überprüfe deine Schaltung mithilfe der Wahrheitstabellen.

Lösung:

Es fehlt das AND


• Klaus hat die Grundgatter mit deiner Hilfe aus NOR-Bausteinen gebaut. Fehlen noch die Grundgatter aus NAND-Bausteinen.

• Tipp: In allen Aufgaben ist es hilfreich, wenn du dir die Wahrheitstabelle der Grundgatter nochmals notierst.

• Aufgabe 1

• Entwerfe eine Schaltung aus NAND-Gattern, die die Wahrheitstabelle des AND-Gatters erfüllt.

• Aufgabe 2

• Entwerfe eine Schaltung aus NAND-Gattern, die die Wahrheitstabelle des OR-Gatters erfüllt.

• Aufgabe 3

• Entwerfe eine Schaltung aus NAND-Gattern, die die Wahrheitstabelle des NOT-Gatters erfüllt.

Übungen - NAND


• Das Ziel: Ein einziger Baustein für alle Gatter

• In den vorangegangenen Teilen dieses Abschnittes hast du nicht nur gelernt, dass man die Grundgatter mit einem einzigen komplexen Gatter darstellen kann, sondern auch geübt, wie das funktioniert.

• Die Konstrukteure, die Klaus' Schaltung realisieren, baten ihn nicht umsonst darum, die Schaltung so zu vereinfachen.

• Auf realen Bausteinen sind außerdem meist mehrere gleiche Gatter zusammengebaut, sodass man mit einem einzigen Baustein Schaltungen direkt konstruieren kann.

• Wenn du deine Übungen betrachtest, dann fällt dir nun sicher auf, dass jedoch weiterhin zwei Bausteine, NOR- und NAND-Gatter, zur Auswahl stehen. Welches dieser Gatter verwendet man nun für Schaltungen in Rechnern?

• Um das zu beantworten reicht es nicht, sich das Gatter selbst anzusehen. Man muss sich seine elektrische Realisierung mit weiteren Grundbausteinen, die eine Ebene tiefer gehen, anschauen. Dies führt zu der Einsicht, dass sich ein NAND-Gatter noch einfacher realisieren lässt als ein NOR-Gatter, sodass Schaltungen nur noch aus NAND-Bausteinen aufgebaut werden, die meist mehrere NAND-Gatter enthalten.

Vereinheitlichung

Schaltungen in der Digitaltechnik werden aufgrund der hohen Verfügbarkeit und leichteren Realisierbarkeit lediglich aus NAND-Gattern gebaut.


Aufgabe 1

Entwerfe eine Schaltung aus NAND-Gattern, die das Problem des Sicherheitschefs (Zugang zum Safe) löst.

Du findest die Aufgabenbeschreibung unter Grundgatter » Übungen.

Aufgabe 2

Unten findest du nochmals die Schaltung von Klaus, die bei einem Eingangszustand 0-0-1, 1-0-1 und 1-1-1 am Ausgang eine 1 liefert und in allen anderen Fällen eine 0.

Erstelle eine Schaltung aus NAND-Gattern, die die gleiche Wahrheitstabelle erfüllt.

Weitere Übungen



• Eine grundlegende Fähigkeit von Computern ist das Rechnen mit Zahlen. Die Umsetzung einer Rechenoperation kann mit Gattern und Schaltungen realisiert werden. Dieses Kapitel beschäftigt sich deshalb mit der Addition von Binärzahlen.


• ... wie zwei einstellige Binärzahlen addiert werden.

• ... wie man Binärzahlen beliebiger Länge addieren kann.

Addierer


• Eine Aufgabe von Computern ist das Addieren von Zahlen. Da der Computer aber nur 0 und 1 versteht, müssen wir mit Binärzahlen arbeiten. Bevor wir jedoch mit größeren Binärzahlen rechnen, betrachten wir zunächst einmal nur die Addition mit Binärzahlen der Länge 1.

• Zu beachten ist hierbei, dass bei der Rechnung auch ein Übertrag für die nächste Stelle auftreten kann (in der Grafik rot markiert). Das bedeutet, dass auch der Übertrag bei dem Erstellen einer Schaltung berücksichtigt werden muss. Somit besteht das Ergebnis aus einem Übertrag (Ü) und einer Endziffer (S). Die Endziffer gibt hier die letzte Stelle unserer Stellenwerttafel bei der Addition an.

• Aufgabe 1

• (a) Erstelle eine Wahrheitstabelle für den Übertrag (Ü) und der

Ergebnisziffer (S).

• (b) Entwickle die zugehörige Schaltung der Wahrheitstabelle.

Tip: Betrachte die Spalten Ü und S getrennt voneinander.

Einstieg

a b Ü S

0 0 0 0

0 1

1 0

1 1


Schaltung des Halbaddierers

Folgende Grafik zeigt den Modulbaustein eines Halbaddierers

Symbol Halbaddierer

HalbaddiererDer Halbaddierer ist eine Schaltung, welches aus zwei Eingängen und zwei Ausgängen besteht. Dieser wird zur Addition von zwei einstelligen Binärzahlen verwendet. Hierbei liefert der obere Ausgang S die Endziffer der Addition und der untere Ausgang Ü den Übertrag.


• Während der Halbaddierer die Addition von zwei einstelligen Binärzahlen durchführen kann, muss der Computer jedoch in der Lage sein, Binärzahlen beliebiger Länge zu addierern.

• Hierbei kann das Problem auftreten, dass eine Stelle nun auch von einem Übertrag aus der vorherigen Stelle abhängig ist.

• Um dieses Problem zu lösen muss unsere Schaltung erweitert werden.

Volladdierer


• Eine Herleitung dieser neuen Schaltung findest du in der folgenden Grafik.

Volladdierer


• Im folgen kannst du herausfinden, wie Halb- und Volladdierer für die Addition von zweistelligen Binärzahlen verwendet werden.

Volladdierer


• Schaltung des Volladdierers

• Folgende Grafik zeigt den Modulbaustein eines Volladdierers

• Symbol Volladdierer

VolladdiererDer Volladdierer ist eine Schaltung, welches aus drei Eingängen und zwei Ausgängen besteht. Dieser wird bei der Addition von Binärzahlen verwendet, da er auch den Übertrag einer vorherigen Stelle berücksichtigt. Der obere Ausgang S liefert die Endziffer der Addition und der untere Ausgang Ü den Übertrag.


• Aufgabe 1

Erstelle die ausführliche Schaltung eines Volladdierers (das Schaltsymbol eines Halbaddierersdarf nicht verwendet werden) in deinem Heft. Vollziehe die Schaltung nach, indem du in diesem Modell die folgenden Werte anlegst.

a) a=1 b) a=1 c) a=0 d) a=1

b=1 b=1 b=1 b=0

ü=1 ü=0 ü=0 ü=1

Zeichne hierbei die Verbindungen, an denen eine 1 anliegt, mit verschiedenen Farben.

• Aufgabe 2

a) Erstelle mittels der Schaltsymbole von Halb- und Volladdierer eine Schaltung, welche zwei Binärzahlen der Länge 4 Bit addieren kann.

b) Addiere die folgenden Binärzahlen zunächst per Hand. Führe die Rechnung danach wie in Aufgabe 1 wieder an der Schaltung durch und mache dir klar, wie die Zwischenwerte der Schaltung mit der Rechnung zusammenhängen.

i) 1010 ii) 111 iii) 1001 iv) 1111

+ 11 +1011 + 101 + 1

Übungen



• Eine wichtige Fähigkeit von Computern ist die Möglichkeit Daten für längere Zeit zu Speichern. Dies soll mittels Schaltungen realisiert werden.


• ... wie man mittels Schaltungen einen Wert dauerhaft Speichern kann.

RS-Flipflop


Der heiße Draht ist ein bekanntes Spiel. Ziel ist es, eine Öse entlang eines Drahts zu führen, ohne dass Öse und Draht sich berühren. Im folgenden soll eine Schaltung entwickelt werden, welche bei Kontakt von Öse und Draht eine Lampe aktiviert.

Aufgabe 1: Arbeite dich durch die folgende Grafik durch und löse die Aufgaben selbstständig, bevor du auf weiter klickst. Denn die folgenden Aufgabenteile bauen auf den vorherigen Ergebnissen auf.

RS-Flipflop


Schaltung des RS-Flipflop

Symbol RS-Flipflop

RS-FlipflopEin RS-Flipflop ist eine Schaltung zum Speichern von einem Bit. Sie besitzt zwei Eingänge S und R. Kein Signal auf dem Eingang S bewirkt, dass eine 1 gespeichert wird. Das Flipflop wird auf 0 zurückgesetzt, wenn auf Eingang R keine Spannung anliegt. Um eine Speicherung, beziehungsweise Löschung, des Speichers sinnvoll durchzuführen, wird vor beide Eingänge des Flipflops jeweils ein NOT-Gatter geschaltet. Des weiteren Besitzt ein RS-Flipflop noch zwei Ausgänge Q und Q. An Ausgang Q kann man den aktuell gespeicherten Wert der Schaltung ablesen, an Qdessen Negation.


• Quellen: http://inf-schule.de/rechner/digitaltechnik

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