Lösungen978-3-662-56723-4/1.pdf · 252Beweisverfahren 1.3 Beweisen Sie die Ungleichung vom...

Teil II

Lösungen

Algebra-Grundwissen

0.1 Multiplizieren Sie aus und fassen Sie wenn möglich zusammen:

2x(−y+2z−3) =−2xy+4xz−6xa)

(a−2b)(3c+4d) = 3ac+4ad−6bc−8bdb)

(x−2)(2+y)(4w−9z)= 8wx+4wxy−16w−8wy−18xz−9xyz+36z+18yzc)

0.2 Berechnen Sie. Kürzen Sie wenn möglich:

35 +

78 = 24

40 +3540 = 59

40a)

32 +

53 − 7

5 = 4530 +

5030 − 42

30 = 5330b)

( 12 +

716

)· 4

3 =( 8

16 +716

)· 4

3 = 1516 · 4

3 = 54 · 1

1 = 54c)

( 13 +

29

)·( 11

8 − 14

)=( 3

9 +29

)·( 11

8 − 28

)= 5

9 · 98 = 5

8d)

( 132 : 169

12

): 3

26 =( 13

2 · 12169

)· 26

3 = 1226 · 26

3 = 123 = 4e)

0.3 Schreiben Sie den Bruch als Dezimalbruch und als Prozentsatz:

15 = 0,2 = 20%a)

610 = 0,6 = 60%b)

1 = 1 = 100%c)

23 = 0,6 = 66,6%d)

215 = 0,13 = 13,3%e)

27 = 0,285714 = 28,571428%f)

245© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2018S. Proß und T. Imkamp, Brückenkurs Mathematik für den Studieneinstieg,https://doi.org/10.1007/978-3-662-56723-4

246 Algebra-Grundwissen

0.4 Lösen Sie mithilfe der Binomischen Formeln auf:

(2y+6z)2 = 4y2 +24yz+36z2a)

(a−4b)2 = a2−8ab+16b2b)

(2c+5)(2c−5) = 4c2−25c)

(4x+5y+ z)2 = 16x2 +40xy+8xz+25y2 +10yz+ z2d)

(2m−6n)(m−3n) = 2m2−12mn+18n2e)

0.5 Faktorisieren Sie mithilfe der Binomischen Formeln:

x2 +6x+9 = (x+3)2a)

4y2− 125 = (2y+ 1

5 )(2y− 15 )b)

4a2−24a+36 = (2a−6)2c)

−2x2 +8x−8 =−2(x2−4x+4) =−2(x−2)2d)

0.6 Wenden Sie die Potenzgesetze an und fassen Sie so weit wie möglich zusam-men:

s2 · t2 ·u2 = (stu)2a)

a2 ·a5 ·b−3 ·a−6 ·b3 = a2a5a−6b−3b3 = a2+5−6b−3+3 = ab)

(x3)−4 · (y−1)−6 · xy = x−12xy6y = x−12+1y6+1 = x−11y7 = y7

x11c)

s3 · t−8 · s−1

t3 · st2 = s3s−1st−8t−3t−2 = s3−1+1t−8−3−2 = s3t−13 = s3

t13d)

2a2·6b3·3c4abc = 2·6·3a2b3c

4abc = 9a2−1b3−1c1−1 = 9ab2e)

5(l5)2 ·2m ·2(3n)3 · m−1

n−1 · 5n2

6mn · lm−3 = 5l104m ·27n3m−1n5n2 16 m−1n−1lm−3

= 5 ·4 ·27 ·5 · 16 l10+1m1−1−1−3n3+1+2−1 = 450l11m−4n5 = 450l11n5

m4

f)

0.7 Berechnen bzw. vereinfachen Sie so weit wie möglich im Kopf:

432 =√

43 = 4√

4 = 4 ·2 = 8a)

( 1343

) 13 = 3

√1

343 = 13√343

= 17b)

Algebra-Grundwissen 247

(6

32

)2=(√

63)2

= 63 = 216c)

(5−

32

) 23 ·25

12 = 5−

32 · 23 ·√

25 = 5−15 = 1d)

a23 ·b 2

3 ·a ·b 13 · (ab)

23 = a

23 aa

23 b

23 b

13 b

23 = a

23+1+ 2

3 b23+

13+

23 = a

73 b

53 =

3√a7b5e)

0.8 Berechnen Sie mithilfe der Wurzelgesetze:

√3 ·√

12 =√

3 ·12 =√

36 = 6a)

3√2563√4

= 3√

2564 = 3√64 = 4b)

3√

3√512 = 3√

8 = 2c)

4√964√2· 4√3

= 4√

962·3 = 4√16 = 2d)

5√a7· 5√a205√a2

= 5√

a7a20

a2 =5√a7+20−2 =

5√a25 = a255 = a5e)

7√

(ab)7· 7√a9b15

7√a2· 7√b= 7√

a7b7a9b15

a2b =7√a7+9−2b7+15−1 =

7√a14b21 = a147 b

217 = a2b3f)

0.9 Berechnen Sie mithilfe des Pascal’schen Dreiecks:

(2y−3z)3 = 8y3−3 ·12y2z+3 ·18yz2−27z3 = 8y3−36y2z+54yz2−27z3a)

(−a+3b)3 =−a3 +3 ·3a2b−3 ·9ab2 +27b3 =−a3 +9a2b−27ab2 +27b3b)

(x+ y)9 = x9 +9x8y+36x7y2 +84x6y3 +126x5y4 +126x4y5 +84x3y6

+36x2y7 +9xy8 + y9c)

(3a+7b)5 = 243a5+5 ·567a4b+10 ·1323a3b2+10 ·3087a2b3+5 ·7203ab4

+16807b5

= 243a5 +2835a4b+13230a3b2 +30870a2b3 +36015ab4 +16807b5

d)

(2y−1)6 = 64y6−6 ·32y5 +15 ·16y4−20 ·8y3 +15 ·4y2−6 ·2y+1= 64y6−192y5 +240y4−160y3 +60y2−12y+1

e)

0.10 Bestimmen Sie die Werte der Binomialkoeffizienten:(

42

)= 6a)

(53

)= 10b)

248 Algebra-Grundwissen(

4440

)= 1c)

(85

)= 56d)

(83

)= 56e)

(106

)= 210f)

Beweisverfahren

1.1 Schreiben Sie die folgenden Summen ausführlich hin:

(Beispiel:4∑

k=2k2 = 22 +32 +42)

5∑

i=1i3 = 13 +23 +33 +43 +53a)

6∑

i=3

1i =

13 +

14 +

15 +

16b)

10∑

k=6

√k =√

6+√

7+√

8+√

9+√

10c)

4∑j=1

1j3 = 1

13 +123 +

133 +

143d)

1.2 Beweisen Sie durch vollständige Induktion nach n:

a)n∑

i=1i(i+1) = n(n+1)(n+2)

3 ∀ n ∈ N

Induktionsanfang (n = 1):

1

∑i=1

i(i+1) = 1(1+1) = 2 =1(1+1)(1+2)

3= 2

√

Induktionsschritt:

n+1

∑i=1

i(i+1) =n

∑i=1

i(i+1)

︸︷︷︸↓ Induktionsannahme

+(n+1)((n+1)+1)

=n(n+1)(n+2)

3+

3(n+1)(n+2)3


250 Beweisverfahren

=n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)

3

=(n+3)(n+1)(n+2)

3

=(n+1)((n+1)+1)((n+1)+2)

3ut

b) 3|n3 +5n+3 ∀ n ∈ NInduktionsanfang (n = 1):

13 +5 ·1+3 = 93|9 √

Induktionsschritt:

(n+1)3 +5(n+1)+3 = n3 +3n2 +3n+1+5n+5+3

= n3 +5n+3︸︷︷︸↓ Induktionsannahme

+3n2 +3n+6

= k ·3+3(n2 +n+2) (k ∈ N)= 3(k+n2 +n+3) ut

c) 3|13n +2 ∀ n ∈ NInduktionsanfang (n = 1):

131 +2 = 153|15

√

Induktionsschritt:

13n+1 +2 = 13 ·13n +2= 12 ·13n +13n +2︸︷︷︸

↓ Induktionsannahme

= 12 ·13n + k ·3 (k ∈ N)= 3(4 ·13n + k) ut

d)n∑

i=0qi = qn+1−1

q−1 ∀ n ∈ N und q 6= 1


0

∑i=0

qi = 1 =q0+1−1

q−1= 1

√

Beweisverfahren 251

Induktionsschritt:

n+1

∑i=0

qi =n

∑i=0

qi


+qn+1

=qn+1−1

q−1+qn+1

=qn+1−1+qn+1(q−1)

q−1

=qn+1−1+qn+2−qn+1

q−1

=q(n+1)+1−1

q−1ut

e)n−1∑

i=0

13i =

32

(1− 1

3n

)∀ n ∈ N


0

∑i=0

13i = 1 =

32

(1− 1

31

)= 1

√

Induktionsschritt:

n

∑i=0

13i =

n−1

∑i=0

13i


+13n

=32

(1− 1

3n

)+

13n

=32− 3

2 ·3n +13n

=32− 1

2 ·3n

=32− 3

2 ·3n+1

=32

(1− 1

3n+1

)ut

252 Beweisverfahren

1.3 Beweisen Sie die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel:

a+b2≥√

ab ∀ a,b ∈ R+.

Dabei ist R+ die Menge aller nicht-negativen reellen Zahlen.

Beweis (indirekt).

a+b2

<√

ab ∀ a,b ∈ R+

⇒ (a+b)2

4< ab

14(a2 +2ab+b2)−ab < 0

14

a2− 12

ab+14

b2 < 0

14(a2−2ab+b2)< 0

14(a−b)2 < 0 � ut

Die Annahme a+b2 <

√ab führt zu dem Widerspruch, dass eine Quadratzahl kleiner

als Null sein soll. Somit ist die gegebene Ungleichung a+b2 ≥

√ab bewiesen.

1.4 Beweisen Sie direkt, also ohne vollständige Induktion zu benutzen:

a) 3|n3−n ∀ n ∈ N

n3−n = n(n2−1) = n(n−1)(n+1)

Beweis. Der Term n(n−1)(n+1) ist das Produkt dreier aufeinanderfolgendernatürlicher Zahlen, daher ist genau eine davon durch 3 teilbar, und somit ist dasProdukt durch 3 teilbar. ut

b) Ist p > 3 eine Primzahl, so gilt 3|p2−1.

Beweis. Da p eine Primzahl ist, ist 3 kein Teiler von p.1. Fall: 3 ist Teiler von p+1, also p+1 = 3k, dann gilt

p2−1 = (p+1)(p−1) = 3k(3k−1−1) = 3k(3k−2)√

2. Fall: 3 ist Teiler von p+2, also p+2 = 3k, dann gilt

p2−1 = (p+1)(p−1) = (3k−2+1)(3k−2−1) = (3k−1)(3k−3)= (3k−1)3(k−1)

√ ut

Beweisverfahren 253

1.5 Beweisen Sie mit einem von Ihnen zu wählenden Verfahren die so genannteBernoulli’sche Ungleichung:

(1+ x)n ≥ 1+nx ∀ n ∈ N, x >−1.

Beweis (mittels vollständiger Induktion).


(1+ x)≥ 1+ x√

Induktionsschritt:

(1+ x)n+1 = (1+n)n︸︷︷︸↓ Induktionsannahme

(1+ x)

≥ (1+nx)(1+ x)

= 1+ x+nx+nx2

= 1+(n+1)x+ nx2︸︷︷︸≥0

≥ 1+(n+1)x ut

1.6 Erinnern Sie sich daran, dass Sie sich in der Oberstufe mit der e-Funktion be-fasst haben. Ausgehend von dieser definiert man cosh(x) := ex+e−x

2 bzw. sinh(x) :=ex−e−x

2 und nennt die so erklärten Funktionen Kosinus hyperbolicus bzw. Sinus hy-perbolicus. Diese Funktionen heißen auch Hyperbelfunktionen.

a) Beweisen Sie, dass für alle x ∈ R die Gleichung cosh(2x) = 1+2sinh2(x) gilt.Dabei gilt: sinh2(x) := (sinh(x))2.

cosh(2x) =e2x + e−2x

2

1+2sinh2(x) = 1+2(

ex− e−x

2

)2

= 1+2e2x−2exe−x + e−2x

4

= 1+e2x−2+ e−2x

2

=2+ e2x−2+ e−2x

2

=e2x + e−2x

2⇒ cosh(2x) = 1+2sinh2(x) ut

254 Beweisverfahren

b) Bestimmen Sie den Wert des Terms cosh2(x)− sinh2(x) für beliebige x ∈ R.

cosh2(x)− sinh2(x) =(

ex + e−x

2

)2

−(

ex− e−x

2

)2

=e2x +2exe−x + e−2x− e2x +2exe−x− e−2x

4

=4exe−x

4= 1 ut

Aussagenlogik undMengenlehre

2.1 Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind:

A(x): x ist blau.

a) Die Elemente der leeren Menge sind blau.Formal: ∀x ∈ /0 : A(x)Jede Allaussage über die leere Menge ist wahr, da es kein Objekt gibt, für dasman A(x) überprüfen müsste.

b) Die Elemente der leeren Menge sind nicht blau.Formal: ∀x ∈ /0 : ¬A(x)Jede Allaussage über die leere Menge ist wahr, da es kein Objekt gibt, für dasman ¬A(x) überprüfen müsste.

c) Nicht alle Elemente der leeren Menge sind blau.Formal: ∃x ∈ /0 : ¬A(x)Jede Existenzaussage über die leere Menge ist falsch, da es kein Element derleeren Menge gibt, das ¬A(x) erfüllt.

d) Nicht alle Elemente der leeren Menge sind nicht blau.Formal: ∃x ∈ /0 : A(x)Jede Existenzaussage über die leere Menge ist falsch, da es kein Element derleeren Menge gibt, das A(x) erfüllt.


256 Aussagenlogik und Mengenlehre

2.2 Überprüfen Sie die Richtigkeit des Satzes von der PrämissenvorschaltungA⇒ (B⇒ A) für beliebige Aussagen A und B mithilfe der Wahrheitstabellen.

A B B⇒ A A⇒ (B⇒ A)

w w w ww f w wf w f wf f w w

2.3 Überzeugen Sie sich mithilfe eines selbstgewählten Beispiels von der Richtig-keit der folgenden Aussage:

¬(∃x : A(x))⇔∀x : ¬A(x).

Wir betrachten beispielsweise die (falsche) Aussage:

Alle natürlichen Zahlen sind durch 5 teilbar.

Formal:∀ x ∈ N : 5|x

Die Negation einer falschen Aussage ist wahr, somit ist die Aussage

¬(∀ x ∈ N : 5|x)

Nicht alle natürlichen Zahlen sind durch 5 teilbar.

wahr. Oder anders formuliert:∃x ∈ N : 5 - x

Es existiert mindestens eine natürliche Zahl, die nicht durch 5 teilbar ist.

2.4 Gegeben seien die Mengen A = {1,2,5,10} und B = {1,3,9,27}. Bilden SieA∪B, A∩B und A\B in der aufzählenden Form.

A∪B = {1,2,3,5,9,10,27}, A∩B = {1}, A\B = {2,5,10}

2.5 Überzeugen Sie sich mithilfe eines Euler-Venn-Diagrammes von der Richtigkeitdes Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetzes für Mengen A,B,C.

1) Kommutativgesetz: A∪B = B∪A und A∩B = B∩A

A B A BA B

Aussagenlogik und Mengenlehre 257

2) Assoziativgesetz: A∪ (B∪C) = (A∪B)∪C und A∩ (B∩C) = (A∩B)∩C

A B

C

A B

C

3) Distributivgesetz: A∩ (B∪C) = (A∩B)∪ (A∩C) undund A∪ (B∩C) = (A∪B)∩ (A∪C)

A B

C

A B

C

2.6 Beweisen Sie analog des Beweises der ersten de Morgan’schen Regel die zweitede Morgan’sche Regel für Mengen A,B:

A∩B = A∪B.

x ∈ A∩B⇔ x ∈ X ∧ x /∈ A∩B

⇔ x ∈ X ∧ (x /∈ A∨ x /∈ B)

⇔ (x ∈ X ∧ x /∈ A)∨ (x ∈ X ∧ x /∈ B)

⇔ x ∈ X \A∨ x ∈ X \B

⇔ x ∈ A∨ x ∈ B

⇔ x ∈ A∪B ut

2.7 Beweisen Sie durch vollständige Induktion nach n: Die Anzahl der Teilmengeneiner n-elementigen Menge ist 2n.


M0 = /0 ⇒ ℘(M0) = { /0} ⇒ |℘(M0)|= 20 = 1√

Induktionsschritt:Sei Mn+1 eine Menge mit n+1 Elementen:

Mn+1 = {m1,m2, . . . ,mn+1}.

Sei K ⊂Mn+1, dann gilt:

1. Fall: mn+1 /∈ K: Dann ist K ⊂ Mn := {m1,m2, . . . ,mn} und nach Voraussetzunggibt es 2n Teilmengen von Mn, also 2n Teilmengen von Mn+1 ohne das Elementmm+1.

258 Aussagenlogik und Mengenlehre

2. Fall: mn+1 ∈ K: Dann ist K = K∪{mn+1} mit K ⊂Mn. Nach Voraussetzung gibtes 2n Möglichkeiten für K und somit 2n Teilmengen von Mn+1 mit dem Elementmm+1.

Es gilt also:|℘(Mn+1)|= |℘(Mn)|+ |℘(Mn)|= 2 ·2n = 2n+1 ut

Abbildungen

3.1 Bestimmen Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich und den Wertebe-reich der folgenden Funktionen:

f1(x) =√

x2−4

x2−4≥ 0⇔ x2 ≥ 4⇔ |x| ≥√

4 = 2D f1 =]−∞;−2]∪ [2;∞[ = R\ ]−2;2[W f1 = [0;∞[= R+

a)

f2(x) = 2sin(x)D f2 = R, W f2 = [−2;2]

b)

f3(x) = ln(x3−1)

x3−1 > 0⇔ x3 > 1⇔ x > 3√1 = 1D f3 =]1;∞[, W f3 = R

c)

f4(x) = ex−1

D f4 = R, W f4 = ]0;∞[ = R∗+d)

3.2 Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Bijektivität:

f : R+→ R+, x 7→ f (x) :=√

xist surjektiv, da W f = R+

ist injektiv, da x1, x2 ∈ R+ mit√

x1 =√

x2⇒ x1 = x2⇒ f ist bijektiv

a)


260 Abbildungen

g :]− π2 ; π

2 [→ R, x 7→ g(x) := tan(x)ist surjektiv, da Wg = Rist injektiv, da x1, x2 ∈]− π

2 ; π2 [ mit tanx1 = tanx2⇒ x1 = x2

⇒ g ist bijektiv

b)

3.3 Bestimmen Sie jeweils die Umkehrfunktionen:

f : [0;π]→ [−1;1], x 7→ f (x) := cos(x)

x = cosy

y = arccosx

f−1 : [−1;1]→ [0;π], x 7→ f−1(x) := arccosx

a)

g : R+→ R+, x 7→ g(x) := x4

x = y4

y = 4√

x

g−1 : R+→ R+, x 7→ f−1(x) := 4√

x

b)

3.4 Geben Sie Intervalle an, in denen die durch folgende Gleichungen gegebenenFunktionen umkehrbar sind:

f1(x) = tan(x) D f1 = ]− π2 ; π

2 [a)

f2(x) = ex−3 D f2 = Rb)

f3(x) = 2x−1 D f3 = Rc)

f4(x) = 5x2 D f4 = R+d)

3.5 Schreiben Sie die Funktionen in der surjektiven Form und bilden Sie, fallsmöglich, g◦ f bzw. f ◦g:

a) f (x) = x4, g(x) = cos(x)

f : R→ R+, x 7→ f (x) := x4, g : R→ [−1;1], x 7→ g(x) := cos(x)

Voraussetzung für g◦ f : R+ ⊂ R√

(g◦ f )(x) = cos(x4)

Abbildungen 261

Voraussetzung für f ◦g : [−1;1]⊂ R√

( f ◦g)(x) = (cos(x))4

b) f (x) = ex, g(x) = 1x2

f : R→ R∗+, x 7→ f (x) := ex, g : R∗→ R∗+, x 7→ g(x) :=1x2

Voraussetzung für g◦ f : R∗+ ⊂ R∗√

(g◦ f )(x) =1

e2x

Voraussetzung für f ◦g : R∗+ ⊂ R√

( f ◦g)(x) = e1

x2

c) f (x) = 2x3, g(x) = ln(x2)

f : R→ R, x 7→ f (x) := 2x3, g : R∗→ R, x 7→ g(x) := ln(x2)

Voraussetzung für g◦ f : R 6⊂ R∗

Voraussetzung für f ◦g : R⊂ R√

( f ◦g)(x) = 2(ln(x2)

)3

Gleichungen undUngleichungen

4.1 Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden quadratischen oder biqua-dratischen Gleichungen:

x2−5x+6 = 0

x1,2 =52±√(

52

)2

−6

L= {2;3}

a) −x2 +2x−1 = 0

x2−2x+1 = 0

x1,2 =22±√(

22

)2

−1

L= {1}

b)

x4 +5x2 +6 = 0

z := x2 : z2 +5z+6 = 0

z1,2 =−52±√(

52

)2

−6

z1 = x2 =−2∧ z2 = x2 =−3L= /0

c) 4x2−16x =−16

4x2−16x+16 = 0

x2−4x+4 = 0

x1,2 =42±√(

42

)2

−4

L= {2}

d)


264 Gleichungen und Ungleichungen

x2−7x+13 = 0

x1,2 =72±√(

72

)2

−13

L= /0

e) 2(x−3)(x+5) = 0

L= {−5;3}

f)

3x2 = 8x−1

3x2−8x+1 = 0

x2− 83

x+13= 0

x1,2 =86±√(

86

)2

− 13

L=

{43−√

133

;43+

√133

}

g)

4.2 Beweisen Sie den Wurzelsatz von Vieta.

x1 =−p2+

√( p2

)2−q ∧ x2 =−

p2−√( p

2

)2−q

x1 + x2 =−p2+

√( p2

)2−q− p

2−√( p

2

)2−q =−p ut

x1 · x2 =

(− p

2+

√( p2

)2−q

)·(− p

2−√( p

2

)2−q

)

=( p

2

)2−(√( p

2

)2−q

)2

=( p

2

)2−( p

2

)2+q = q ut

4.3 Leiten Sie durch Zurückführen auf die p-q-Formel eine Lösungsformel derallgemeinen quadratischen Gleichung ax2 +bx+ c = 0 mit a,b,c ∈ R, a 6= 0 her.

x2 +ba

x+ca= 0

x1,2 =−b

2a±√

b2

4a2 −ca

Gleichungen und Ungleichungen 265

=− b2a±√

b2−4ac4a2

=− b2a±√

b2−4ac2a

4.4 Lösen Sie die folgenden Gleichungen mittels einer geeigneten Substitution:

e2x−2ex +1 = 0

z := ex : z2−2z+1 = 0

z1,2 = 1±√

1−1 = 1z = ex = 1⇒ x = ln(1) = 0L= {0}

a)

12 x6− 3

2 x3−20 = 0

z := x3 :12

z2− 32

z−20 = 0

z2−3z−40 = 0

z1,2 =32±√

94+40 =

32± 13

2z1 = x3 = 8⇒ x = 2

z2 = x3 =−5⇒ x = 3√−5

L= { 3√−5;2}

b)

4.5 Schreiben Sie die Funktionsgleichung der folgenden Funktion in stückweiselinearer Form:

f : R→ R, x 7→ f (x) := |−4|x−1|+2|

f (x)= |−4|x−1|+2|={|−4(x−1)+2| falls x≥ 1|4(x−1)+2| falls x < 1

=

{|−4x+6| falls x≥ 1|4x−2| falls x < 1

=

−4x+6 falls 1≤ x≤ 32

4x−6 falls x≥ 32

4x−2 falls 12 ≤ x < 1

−4x+2 falls x < 12


4.6 Lösen Sie die folgenden Betragsgleichungen:

|5x+2|= 4

5x+2 = 4 ∨ 5x+2 =−4

x =25

∨ x =−65

L=

{−6

5;

25

}

a)

|x−3|= 2x+10

1. Fall: x≥ 3 2. Fall: x < 3x−3 = 2x+10 ∨ x−3 =−(2x+10)

x =−13 � ∨ x =−73√

L=

{−7

3

}

b)

x|x|= 9

1. Fall: x≥ 0 2. Fall: x < 0x · x = 9 ∨ x · x =−9 �

x = 3√

L= {3}

c)

4.7 Lösen Sie die folgenden Betragsungleichungen:

a) |4x+7|< 23

1. Fall: x≥−74

2. Fall: x <−74

4x+7 < 23 −4x−7 < 23

x < 4 x >−152

L1 =

[−7

4;4[

L2 =

]−15

2;−7

4

[

⇒ L= L1∪L2 =

]−15

2;4[


b) |−2x+1|< 3x+2

1. Fall: x≤ 12

2. Fall: x >12

−2x+1 < 3x+2 2x−1 < 3x+2

x >−15

x >−3

L1 =

]−1

5;

12

]L2 =

]12

;∞[

⇒ L= L1∪L2 =

]−1

5;∞[

d) −|x−1| ≤ 2x−4

1. Fall: x≥ 1 2. Fall: x < 1−x+1≤ 2x−4 x−1≤ 2x−4

x≥ 53

x≥ 3

L1 =

[53

;∞[

L2 = /0

⇒ L= L1∪L2 =

[53

;∞[

4.8 Beweisen Sie:|a|< b⇔−b < a < b ∀ a,b ∈ R

|a|< b ⇔ a < b ∨ −a < b

⇔ a < b ∨ a >−b

⇔ −b < a < b ut

4.9 Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Bruchgleichungen:

1x+2 +

1x−1 = 2

x D= R\{−2;0;1}

(x−1)x+(x+2)x−2(x+2)(x−1)(x+2)(x−1)x

= 0

x2− x+ x2 +2x−2x2−2x+4 = 0−x+4 = 0

x = 4 ∈ D⇒ L= {4}

a)


x+4x+3 −2 = 4−x

x−5 D= R\{−3;5}

(x+4)(x−5)−2(x+3)(x−5)− (4− x)(x+3)(x+3)(x−5)

= 0

x2− x−20−2x2 +4x+30− x+ x2−12 = 02x−2 = 0

x = 1 ∈ D⇒ L= {1}

b)

1x−1 +

4x−3 = 1

x−1 +2x

x−3 D= R\{1;3}

4x−3

=2x

x−34 = 2x

x = 2 ∈ D⇒ L= {2}

c)

x+bx−b = x−b

x+b +8b2

x2−b2 (Lösungsvariable ist x) D= R\{−b;b}

(x+b)2− (x−b)2−8b2

x2−b2 = 0

x2 +2bx+b2− x2 +2bx−b2−8b2 = 0

4bx−8b2 = 0x = 2b ∈ D (b 6= 0)

⇒ L= {2b}

d)

4.10 Lösen Sie die folgenden Bruchungleichungen:

x−4x+2 > 0 D= R\{−2}

1. Fall: x >−2 2. Fall: x <−2x−4 > 0 x−4 < 0

x > 4 x < 4L1 =]4;∞[ L2 =]−∞;−2[L=]4;∞[ ∪ ]−∞;−2[= R\ [−2;4]

a)


xx+4 − 4+x

x > 0 D= R\{−4;0}

x2− (4+ x)2

(x+4)x> 0

(x+4)x > 0⇔x >−4∧ x > 0⇒ x > 0∨x <−4∧ x < 0⇒ x <−4

1. Fall: x <−4∨ x > 0 2. Fall: −4 < x < 0

x2− (x+4)2 > 0 x2− (x+4)2 < 0

x2−16−8x− x2 > 0 x2−16−8x− x2 < 0−8x > 16 −8x < 16

x <−2 x >−2L1 =]−∞;−4[ L2 =]−2;0[L=]−∞;−4[ ∪ ]−2;0[

b)

2aa+4 > 2a+8

a D= R\{−4;0}

aa+4

>a+4

aa

a+4− a+4

a> 0

siehe b) mit x = a.

c)

4.11 Lösen Sie die folgenden Wurzelgleichungen:

a)√

2x+1 = 1 D= [− 12 ;∞[

2x+1 = 12x = 0x = 0 ∈ D

Probe:√

2 ·0+1 = 1√

L= {0}


b) x+1 =√

x2 +5 D= R

(x+1)2 = x2 +5

x2 +2x+1− x2−5 = 02x−4 = 0

x = 2 ∈ D

Probe: 2+1 = 3 =√

22 +5 = 3√

L= {2}

c) x+2 =√

x2 +4 D= R

(x+2)2 = x2 +4

x2 +4x+4− x2−4 = 04x = 0

x = 0 ∈ D

Probe: 0+2 = 2 =√

0+4 = 2√

L= {0}

d)√

3x+3−√

x+2 = 1 D= [−1;∞[

√3x+3 = 1+

√x+2

3x+3 = 1+2√

x+2+ x+2

x =√

x+2

x2 = x+2

x2− x−2 = 0

x1,2 =12±√

14+2

x1 = 2 ∈ D ∧ x2 =−1 ∈ D

Probe: x1 = 2 :√

3 ·2+3−√

2+2 = 1√

Probe: x2 =−1 :√

3 · (−1)+3−√

(−1)+2 =−1 �

L= {2}

e)√

x+1x−2 =

√x+5x−1 D=]−∞;−5] ∪ ]2;∞[

x+1x−2

=x+5x−1

(x+1)(x−1) = (x+5)(x−2)


x2−1 = x2 +3x−103x = 9

x = 3 ∈ D

Probe:

√3+13−2

= 2 =

√3+53−1

= 2√

L= {3}

4.12 Zerlegen Sie die folgenden Polynome so weit wie möglich in Linearfaktoren:

a) x3 +4x2 + x−6

(x3 +4x2 +x −6) : (x−1) = x2 +5x+6

−(x3 −x2)

5x2 +x

−(5x2 −5x)

6x −6−(6x −6)

0

x2 +5x+6 = 0 ⇒ x2,3 =−52±√

254−6

x1 = 1∧ x2 =−2∧ x3 =−3 ⇒ x3 +4x2 + x−6 = (x−1)(x+2)(x+3)

b) x4 +4x3 +6x2 +4x+1

(x4 +4x3 +6x2 +4x +1) : (x+1) = x3 +3x2 +3x+1

−(x4 +x3)

3x3 +6x2

−(3x3 +3x2)

3x2 +4x

−(3x2 +3x)

x +1−(x +1)

0


(x3 +3x2 +3x +1) : (x+1) = x2 +2x+1

−(x3 +x2)

2x2 +3x

−(2x2 +2x)

x +1−(x +1)

0

x2 +2x+1 = (x+1)2

⇒ x4 +4x3 +6x2 +4x+1 = (x+1)4

c) −2x3 +6x2− x+3

(−2x3+6x2 −x +3) : (x−3) =−2x2−1

−(−2x3+6x2)

0 −x

−(0 +0)

−x +3−(−x +3)

0

−2x2−1 = 0

x2 =−12

�

⇒ −2x3 +6x2− x+3 = (x−3)(−2x2−1)

4.13 Beweisen Sie die Logarithmengesetze 2) und 3) in Satz 4.3.

Beweis (zu 2)). Es gilt nach Def. 4.2 u = blogb u und v = blogb v. Damit ist nach denbekannten Potenzgesetzen (siehe Abschn. 0.4)

uv=

blogb u

blogb v = blogb u−logb v.

Wiederum gilt nach Def. 4.2 die Beziehung


uv= blogb(

uv ).

Ein Vergleich der Exponenten liefert die Behauptung. ut

Beweis (zu 3)). Es gilt nach Def. 4.2 u = blogb u. Damit ist nach den bekanntenPotenzgesetzen (siehe Abschn. 0.4)

ur =(

blogb u)r

= br logb u.

Wiederum gilt nach Def. 4.2 die Beziehung

ur = blogb(ur).

Ein Vergleich der Exponenten liefert die Behauptung. ut

4.14 Lösen Sie die folgenden Exponentialgleichungen:

a) 3x−1 ·84x−3 = 6x

ln(3x−1 ·84x−3) = ln(6x)

ln(3x−1)+ ln(84x−3) = ln(6x)

(x−1) ln(3)+(4x−3) ln(8) = x ln(6)x(ln(3)+4ln(8)− ln(6))− ln(3)−3ln(8) = 0

x =ln(3)+3ln(8)

ln(3)+4ln(8)− ln(6)=

ln(3 ·83)

ln(

84

2

) ≈ 0.96227

L=

ln(3 ·83)

ln(

84

2

)

b) 3x2= 2x ·52x−3

ln(3x2) = ln(2x ·52x−3)

x2 ln(3) = ln(2x)+ ln(52x−3)

x2 ln(3) = x ln(2)+(2x−3) ln(5)

ln(3)x2− (ln(2)+2ln(5))x+3ln(5) = 0

x2− ln(2)+2ln(5)ln(3)

x+3ln(5)ln(3)

= 0

x2− ln(50)ln(3)

x+3ln(5)ln(3)

= 0


x1,2 =ln(50)2ln(3)

±√(

ln(50)2ln(3)

)2

− 3ln(5)ln(3)

/∈ R

L= /0

Die Lösungsmenge ist leer, da der Wert unter der Wurzel kleiner als Null ist.

Komplexe Zahlen

5.1 Berechnen Sie bzw. fassen Sie zusammen:

(5−4i)(−i−1)

=−5i−5+4i2 +4i

=−9− i

a) (2−3i)− (6+4i)−2i(4+3i)

= 2−3i−6−4i−8i−6i2

= 2−15i

b)

5.2 Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl:

z1 =1

1−2i

=1+2i

(1−2i)(1+2i)=

1+2i1+4

=15+

25

i

Re(z1) =15

Im(z1) =25

a)

z2 =−9i+12+2i

=(−9i+1)(2−2i)(2+2i)(2−2i)

=−18i+18i2 +2−2i

4+4=−16

8− 20

8i

=−2− 52

i

Re(z2) =−2 Im(z2) =−52

b)


276 Komplexe Zahlen

z3 =6−5i6+5i

=(6−5i)(6−5i)(6+5i)(6−5i)

=36−60i+25i2

36+25=

1161− 60

61i

Re(z3) =1161

Im(z3) =−6061

c)

z4 =(2i+3)2

5+i

=(2i+3)2(5− i)(5+ i)(5− i)

=(4i2 +12i+9)(5− i)

25+1

=−20+60i+45−4i3−12i2−9i

26=

3726

+5526

i

Re(z4) =3726

Im(z4) =5526

Beachten Sie hierbei i3 = i2 · i =−1 · i = i.

d)

5.3 Bestimmen Sie die Polarform der folgenden komplexen Zahlen:

a) z1 =1

1+2i

=1−2i

(1+2i)(1−2i)=

1−2i1+4

=15− 2

5i

r = |z1|=√(

15

)2

+

(25

)2

=

√5

25=

√5

5

ϕ =32

π + arctan

(1525

)=

32

π + arctan(

12

)=

32

π +0,4636 = 5,1760

z1 =

√5

5(cos(5,1760)+ isin(5,1760))

b) z2 = 1−√

3i

r = |z2|=√

12 +(√

3)2

= 2

ϕ =32

π + arctan(

1√3

)=

32

π +π6=

53

π

z2 = 2(

cos(

53

π)+ isin

(53

π))

Komplexe Zahlen 277

c) z3 = 2− i

r = |z3|=√

22 +12 =√

5

ϕ =32

π + arctan(

21

)=

32

π +1,1071 = 5,8195

z3 =√

5(cos(5,8195)+ isin(5,8195))

Folgen und Grenzwerte

6.1 Schreiben Sie die ersten sechs Glieder der Folgen hin:

an = 3n−2n

a1 = 31−21 = 1, a2 = 32−22 = 5, a3 = 33−23 = 19,

a4 = 34−24 = 65, a5 = 35−25 = 211, a6 = 36−26 = 665

a)

an = 2n2 +5n

a1 = 2 ·12 +5 ·1 = 7, a2 = 2 ·22 +5 ·2 = 18, a3 = 2 ·32 +5 ·3 = 33,

a4 = 2 ·42 +5 ·4 = 52, a5 = 2 ·52 +5 ·5 = 75, a6 = 2 ·62 +5 ·6 = 102

b)

an =√

4n+1

a1 =√

4 ·1+1 =√

5, a2 =√

4 ·2+1 =√

9 = 3, a3 =√

4 ·3+1 =√

13,

a4 =√

4 ·4+1 =√

17, a5 =√

4 ·5+1 =√

21, a6 =√

4 ·6+1 =√

25 = 5

c)

an =6n−16n+1

a1 =6 ·1−16 ·1+1

=57, a2 =

6 ·2−16 ·2+1

=1113

, a3 =6 ·3−16 ·3+1

=1719

,

a4 =6 ·4−16 ·4+1

=2325

, a5 =6 ·5−16 ·5+1

=2931

, a6 =6 ·6−16 ·6+1

=3537

d)


280 Folgen und Grenzwerte

6.2 Bestimmen Sie jeweils den Grenzwert der Folgen mithilfe der Definition, alsoohne die Grenzwertsätze zu benutzen:

a) an =1n2 Vermutung: lim

n→∞an = 0

Beweis. Sei ε > 0 beliebig vorgegeben. Wähle N(ε) > 1ε . Dann gilt für

n≥ N(ε):∣∣∣∣

1n2 −0

∣∣∣∣=1n2 ≤

1N(ε)2 ≤

1N(ε)

< ε ut

b) an =1√n Vermutung: lim

n→∞an = 0

Beweis. Sei ε > 0 beliebig vorgegeben. Wähle N(ε) > 1ε2 . Dann gilt für

n≥ N(ε):∣∣∣∣

1√n−0∣∣∣∣=

1√n≤ 1√

N(ε)<

1√1ε2

= ε ut

Nebenrechnung:

1√N(ε)

< ε ⇒ N(ε)>1ε2

c) an =5n+23n+7 Vermutung: lim

n→∞an =

53


n≥ N(ε):∣∣∣∣5n+23n+7

− 53

∣∣∣∣=∣∣∣∣3(5n+2)−5(3n+7)

3(3n+7)

∣∣∣∣=∣∣∣∣15n+6−15n−35

9n+21

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣−29

9n+21

∣∣∣∣=29

9n+21≤ 29

9n≤ 29

n≤ 29

N(ε)<

2929ε

= ε ut

Nebenrechnung:

29N(ε)

< ε ⇔ N(ε)>29ε

Folgen und Grenzwerte 281

d) an =(n+2)2

3n2+4n−1 Vermutung: limn→∞

an =13


n≥ N(ε):∣∣∣∣

n2 +4n+43n2 +4n−1

− 13

∣∣∣∣=∣∣∣∣3(n2 +4n+4)− (3n2 +4n−1)

3(3n2 +4n−1)

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣3n2 +12n+12−3n2−4n+1

9n2 +12n−3

∣∣∣∣=8n+13

9n2 +12n−3

≤ 8n+139n2 ≤ 8n+13

8n2 ≤ 1n+

13n

=14n≤ 14

N(ε)< ε ut

Nebenrechnung:

14N(ε)

< ε ⇔ N(ε)>14ε

6.3 Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfallsdie Grenzwerte der Folgen mithilfe der Grenzwertsätze:

a) an =4n+73n+2

limn→∞

4n+73n+2

= limn→∞

n(4+ 7n )

n(3+ 2n )

= limn→∞

4+ 7n

3+ 2n

=limn→∞

(4+ 7

n

)

limn→∞

(3+ 2

n

) =limn→∞

4+ limn→∞

7n

limn→∞

3+ limn→∞

2n

=4+03+0

=43

b) an =n3+n2−6n+9

3n3+1

limn→∞

n3 +n2−6n+93n3 +1

= limn→∞

n3(1+ 1n − 6

n2 +9n3 )

n3(3+ 1n3 )

= limn→∞

1+ 1n − 6

n2 +9n3

3+ 1n3

=limn→∞

(1+ 1

n − 6n2 +

9n3

)

limn→∞

(3+ 1

n3

)

=limn→∞

1+ limn→∞

1n − lim

n→∞6n2 + lim

n→∞9n3

limn→∞

3+ limn→∞

1n3

=1+0+0+0

3+0=

13

282 Folgen und Grenzwerte

c) an =2√

n+12n+1

limn→∞

2√

n+12n+1

= limn→∞

n(

2√n +

1n

)

n(2+ 1n )

= limn→∞

2√n +

1n

2+ 1n

=limn→∞

(2√n +

1n

)

limn→∞

(2+ 1

n

) =limn→∞

2√n + lim

n→∞1n

limn→∞

2+ limn→∞

1n

=0+02+0

= 0

d) an =2n2+13n+1

limn→∞

2n2 +13n+1

= limn→∞

n(2n+ 1

n

)

n(3+ 1

n

) = limn→∞

2n+ 1n

3+ 1n

=limn→∞

(2n+ 1

n

)

limn→∞

(3+ 1

n

) =limn→∞

2n+ limn→∞

1n

limn→∞

3+ limn→∞

1n

=∞+03+0

= ∞

e) an =n+10177

n

limn→∞

n+10177

n= lim

n→∞

n(

1+ 10177

n

)

n= lim

n→∞

(1+

10177

n

)

= limn→∞

1+ limn→∞

10177

n= 1+0 = 1

6.4 Beweisen Sie den Grenzwertsatz für Quotientenfolgen:

Satz 6.6 Seien (an)n∈N und (bn)n∈N konvergente Folgen reeller Zahlen mitlimn→∞

an := a und limn→∞

bn := b. Dabei werde b 6= 0 vorausgesetzt. Dann existiert eine

natürliche Zahl N, sodass gilt bn 6= 0 ∀ n≥ N. Die Folge(

anbn

)n≥N

konvergiert, und

es giltlimn→∞

an

bn=

ab. C

Beweis. Wir zeigen zunächst, dass limn→∞

1bn

= 1b ist. Da b 6= 0 vorausgesetzt wird, gilt

|b|2 > 0, es gibt also ein n0 ∈ N mit

|bn−b|< |b|2

∀n≥ n0.

Folgen und Grenzwerte 283

Daraus folgt |bn| ≥ |b|2 und zudem bn 6= 0 für n≥ n0. Sei ε beliebig vorgegeben.

∃N1 ∈ N : n≥ N1 : |bn−b|< ε|b|22

Dann gilt für n≥ N := max(n0,N1)

∣∣∣∣1bn− 1

b

∣∣∣∣=∣∣∣∣b−bn

bn ·b

∣∣∣∣=1

|bn| · |b||b−bn|<

2|b|2 ·

ε|b|22

= ε

Damit ist limn→∞

1bn

= 1b gezeigt. lim

n→∞anbn

= ab ergibt sich aus Satz 6.5, da sich der Quo-

tient als Produkt an · 1bn

schreiben lässt. ut

Reihen

7.1

Zeigen Sie mithilfe der Summenformel der geometrischen Reihe, dass gilt:

0,9+0,09+0,009+ . . .= 1.

∞

∑i=1

910i = 9

∞

∑i=1

(110

)i

= 9

(∞

∑i=0

(1

10

)i

−1

)

= 9

(1

1− 110

−1

)= 9

(109−1)= 9 · 1

9= 1

a)

Berechnen Sie∞∑

i=0

( 27

)iund

∞∑

i=15 ·( 1

3

)i.

∞

∑i=0

(27

)i

=1

1− 27

=75

∞

∑i=1

5 ·(

13

)i

= 5∞

∑i=1

(13

)i

= 5

(∞

∑i=0

(13

)i

−1

)

= 5

(1

1− 13

−1

)= 5 ·

(32−1)=

52

b)


286 Reihen

7.2 Rechnen Sie ohne Einsatz des Taschenrechners (!) die folgenden Dezimalzahlenin gewöhnliche Brüche um:

a) 0,12

=1

10+

2100

+2

1000+ · · ·= 1

10+

2102 +

2103 + . . .

=1

10+

∞

∑i=2

21

10i =110

+2∞

∑i=2

110i

=1

10+2

∞

∑i=2

(1

10

)i

=110

+2

(∞

∑i=0

(1

10

)i

−1− 110

)

=1

10+2

(1

1− 110

−1− 110

)=

110

+2(

109−1− 1

10

)

=1190

b) 0,23

=23

100+

2310000

+ · · ·= 23102 +

23104 + . . .

=∞

∑i=1

231

102i = 23∞

∑i=1

1102i

= 23∞

∑i=1

(1

100

)i

= 23

(∞

∑i=0

(1

100

)i

−1

)

= 23

(1

1− 1100

−1

)= 23

(10099−1)

=2399

c) 0,99216

=99

100+

216100000

+216

100000000+ · · ·= 99

100+

216105 +

216108 + . . .

=99

100+

∞

∑i=2

2161

103i−1 =99

100+216

∞

∑i=2

1103i−1

=99

100+216

∞

∑i=2

1103i

10

=99100

+216 ·10∞

∑i=2

(1

1000

)i

=99

100+216 ·10

(∞

∑i=0

(1

1000

)i

−1− 11000

)

Reihen 287

=99

100+216 ·10

(1

1− 11000

−1− 11000

)

=99

100+216 ·10

(1000999

−1− 11000

)

=99

100+216 ·10

1999000

=36713700

7.3 Berechnen Sie die Summe folgender Reihen:

a)∞∑

n=4

12n−1

=∞

∑n=4

12n

2

= 2∞

∑n=4

12n = 2

(∞

∑n=0

12n −1− 1

2− 1

4− 1

8

)

= 2

(1

1− 12

− 158

)=

14

b)∞∑

n=1

83n

= 8∞

∑n=1

(13

)n

= 8

(∞

∑n=0

(13

)n

−1

)

= 8

(1

1− 13

−1

)= 4

c)∞∑

n=1

14n−1

≥∞

∑n=1

14n

=14

∞

∑n=1

1n= ∞

Harmonische Reihe siehe Bsp. 7.4

.

d) 0,5+0,005+0,00005+ . . .

=5

10+

51000

+5

100000+ · · ·= 5

101 +5

103 +5

105 + . . .

= 5∞

∑n=1

1102n−1 = 5

∞

∑n=1

1102n

10

= 5 ·10∞

∑n=1

(1

100

)n

288 Reihen

= 50

(∞

∑n=0

(1

100

)n

−1

)= 50

(1

1− 1100

−1

)= 50 · 1

99=

5099

7.4 Beweisen Sie mithilfe der Euler’schen Gleichung bzw. den Additionstheore-men:

a) sin(2x) = 2sin(x)cos(x) und cos(2x) = cos2(x)− sin2(x)(Tipp: Verwenden Sie die Additionstheoreme mit x = y und formen Sie ge-schickt um.)

y = x : sin(x+ x) = sin(2x) = sinxcosx+ cosxsinx = 2sinxcosx

y = x : cos(x+ x) = cos(2x) = cosxcosx− sinxsinx = cos2 x− sin2 x

a) sin(3x) = 3sinx−4sin3 x und cos(3x) = 4cos3 x−3cosx(Tipp: Verwenden Sie auch den trigonometrischen Pythagorascos2(x)+ sin2(x) = 1 (siehe Abschn. 3.1).)

y = 2x : sin(3x) = sin(x)cos(2x)+ cos(x)sin(2x)

= sin(x)(cos2(x)− sin2(x)

)+ cos(x)2sin(x)cos(x)

= sin(x)cos2(x)− sin3(x)+2sin(x)cos2(x)

= 3sin(x)cos2(x)− sin3(x)

= 3sin(x)(1− sin2(x)

)− sin3(x)

= 3sin(x)−3sin3(x)− sin3(x)

= 3sin(x)−4sin3(x)

y = 2x : cos(3x) = cos(x)cos(2x)− sin(x)sin(2x)

= cos(x)(cos2(x)− sin2(x)

)− sin(x)2sin(x)cos(x)

= cos3(x)− cos(x)sin2(x)−2sin2(x)cos(x)

= cos3(x)−3cos(x)sin2(x)

= cos3(x)−3cos(x)(1− cos2(x)

)

= cos3(x)−3cos(x)+3cos3(x)

= 4cos3(x)−3cos(x)

Reihen 289

c) eiπ +1 = 0(Nach unserer Meinung und der der meisten Mathematiker ist dies die schönste For-mel der gesamten Mathematik, weil die fünf wichtigsten Zahlen in einer einfachenGleichung vorkommen ,.)

eiπ = cos(π)︸︷︷︸=−1

+isin(π)︸︷︷︸=0

=−1

d) ii ∈ Rii =

(e

π2 i)i

= eπ2 i2 = e−

π2 ∈ R

7.5 Berechnen Sie die vier 4. komplexen Wurzeln aus der Zahl −16. VereinfachenSie Ihre Ergebnisse so weit wie möglich.(Hinweis: Es gilt: −16 = 16 · eiπ = 16(cosπ + isinπ).)

z4 =−16 = 16eπi

r = |z|= 4√16 = 2, ϕk =π + k2π

4k ∈ {0,1,2,3}

z0 = 2eπ4 i = 2

(cos(π

4

)+ isin

(π4

))

= 2(

12

√2+ i

12

√2)=√

2+ i√

2

z1 = 2e3π4 i = 2

(cos(

3π4

)+ isin

(3π4

))

= 2(−1

2

√2+ i

12

√2)=−√

2+ i√

2

z2 = 2e5π4 i = 2

(cos(

5π4

)+ isin

(5π4

))

= 2(−1

2

√2− i

12

√2)=−√

2− i√

2

z3 = 2e7π4 i = 2

(cos(

7π4

)+ isin

(7π4

))

= 2(

12

√2− i

12

√2)=√

2− i√

2

Grenzwerte bei Funktionen

8.1 Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:

limx→∞

2−xx+3

= limx→∞

x( 2

x −1)

x(1+ 3

x

) = limx→∞

2x −1

1+ 3x

=0−11+0

=−1

a)

limx→−3

(x3−2x+1)

=−27+6+1 =−20

b)

limx→2

2−xx2−4

= limx→2

2− x(x−2)(x+2)

= limx→2

−(x−2)(x−2)(x+2)

= limx→2

−1x+2

=−14

c)

8.2 Bestimmen Sie die folgenden uneigentlichen Grenzwerte ähnlich wie in Bsp.8.3:

a) limx→∞

(x3−2x2 +14)

f (x) = x3−2x2 +14 = x3 ·(

1− 2x+

14x3

)

Zu zeigen ist limx→∞

f (x) = ∞. Sei x≥ 3, dann gilt:

1− 2x+

14x3 ≥ 1− 2

x≥ 1− 2

3=

13.


292 Grenzwerte bei Funktionen

Da wir uns für das Verhalten von f (x) für x→ ∞ interessieren, bedeutet dieBedingung auf x≥ 3 keinerlei Einschränkung.

Sei (xn)n∈N eine Folge reeller Zahlen mit limn→∞

xn = ∞, dann gilt:∃n0 ∈ N : ∀ n≥ n0 : xn ≥ 3 und für n≥ n0 somit

limn→∞

f (xn) = limn→∞

(x3

n−2x2n +14

)

= limn→∞

(x3

n

(1− 2

xn+

14x3

n

))

≥ limn→∞

(13

x3n

)≥ lim

n→∞xn = ∞.

Die letzte Ungleichung folgt wegen der Voraussetzung xn ≥ 3.

b) limx→∞

(2x4− x3 +5x2 + x+1)

f (x) = 2x4− x3 +5x2 + x+1 = x4 ·(

2− 1x+

5x2 +

1x3 +

1x4

)

Zu zeigen ist limx→∞

f (x) = ∞. Sei x≥ 3, dann gilt:

2− 1x+

5x2 +

1x3 +

1x4 ≥ 2− 1

x≥ 2− 1

3=

53.

Da wir uns für das Verhalten von f (x) für x→ ∞ interessieren, bedeutet dieBedingung auf x≥ 3 keinerlei Einschränkung.

Sei (xn)n∈N eine Folge reeller Zahlen mit limn→∞

xn = ∞, dann gilt:∃n0 ∈ N : ∀ n≥ n0 : xn ≥ 3 und für n≥ n0 somit

limn→∞

f (xn) = limn→∞

(2x4

n− x3n +5x2

n + xn +1)

= limn→∞

(x4

n

(2− 1

xn+

5x2

n+

1x3

n+

1x4

n

))

≥ limn→∞

(53

x4n

)≥ lim

n→∞xn = ∞.

Die letzte Ungleichung folgt wegen der Voraussetzung xn ≥ 3.

8.3 Untersuchen Sie die Funktion f mit f (x) = 2x+3x+1 hinsichtlich ihres Verhaltens

an der Stelle−1 und für x→±∞. Plotten Sie dazu zunächst den Graphen und stellenSie eine Vermutung auf.

limx↑−1

2x+3x+1

=−∞

Grenzwerte bei Funktionen 293

limx↓−1

2x+3x+1

= ∞

limx→∞

2x+3x+1

= limx→∞

x(2+ 3

x

)

x(1+ 1

x

) = limx→∞

2+ 3x

1+ 1x

=2+01+0

= 2

limx→−∞

2x+3x+1

= 2

−10 −5 5 10

−10

−5

5

10

x

f (x)

Abb. 16.3: Graph der Funktion f mit f (x) = 2x+3x+1

8.4 Berechnen Sie mithilfe der Additionstheoreme von sin und cos folgende Grenz-werte: (Hinweis: Die Additionstheoreme lauten sin(x± y) = sinxcosy± cosxsinyund cos(x±y) = cosxcosy∓sinxsiny (siehe Satz 7.1). Setzen Sie, falls nötig, x = yund formen Sie geschickt um, siehe auch Aufg. 7.4.)

limx→0

sin2xsinx

= limx→0

2sinxcosxsinx

= limx→0

2cosx = 2

a)

294 Grenzwerte bei Funktionen

limx→0

1−cos2x2x2

= limx→0

1− (cos2 x− sin2 x)2x2 = lim

x→0

1− cos2 x+ sin2 x2x2 = lim

x→0

sin2 x+ sin2 x2x2

= limx→0

2sin2 x2x2 = lim

x→0

sin2 xx2

= limx→0

(sinx

x

)2

= 12 = 1

(siehe Bsp. 8.4 für limx→0

sinxx = 1 )

b)

limx→0

3sinx+cosx5x = ∞c)

limx→0

sinxx+2sinx

= limx→0

sinx · 1sinx

(x+2sinx) · 1sinx

= limx→0

1x

sinx +2

=1

limx→0

xsinx +2

=1

1+2=

13

(siehe Bsp. 8.4 für limx→0

xsinx = lim

x→01

sinxx

= 1limx→0

sinxx

= 1 )

d)

8.5 Berechnen Sie folgende Grenzwerte:

a) limx→b

x2−b2

x−b

= limx→b

(x−b)(x+b)x−b

= limx→b

(x+b) = 2b

b) limx→a

√x−√ax−a

= limx→a

(√

x−√a)(√

x+√

a)(x−a)(

√x+√

a)= lim

x→a

x−a(x−a)(

√x+√

a)= lim

x→a

1(√

x+√

a)

=1

2√

a

c) limx→a

2x4−2a4

x2−a2

= limx→a

2(x2−a2)(x2 +a2)

x2−a2 = limx→a

2(x2 +a2) = 2 ·2a2 = 4a2

Stetigkeit

9.1 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit an der betrachtetenStelle x0:

a) f (x) = |x|, x0 = 0

f (x) = |x|={

x für x≥ 0−x für x < 0

gl = limx↑0

f (x) = limx↑0

(−x) = 0

gr = limx↓0

f (x) = limx↓0

x = 0

gl = gr⇒ g = 0 = f (0)⇒ f ist stetig an der Stelle x0 = 0

b) f (x) = |x2−1|, x0 = 1

f (x) = |x2−1|={

x2−1 für x≥ 1∨ x≤−1

−x2 +1 für −1 < x < 1

gl = limx↑1

f (x) = limx↑1

(−x2 +1) = 0

gr = limx↓1

f (x) = limx↓1

(x2−1) = 0


c) f (x) =

x für 0≤ x < 12 für x = 14− x für x > 1

x0 = 1

gl = limx↑1

f (x) = limx↑1

x = 1

gr = limx↓1

f (x) = limx↓1

(4− x) = 3


296 Stetigkeit

gl 6= gr⇒ f ist unstetig an der Stelle x0 = 1

9.2 An welchen Stellen ihres Definitionsbereichs sind die folgenden Funktionenunstetig?

a) f (x) =

|x| für x < 0x für 0≤ x < 3

x2 für x≥ 3

=

−x für x < 0x für 0≤ x < 3

x2 für x≥ 3

Die Stellen x1 = 0 und x2 = 3 müssen auf Stetigkeit untersucht werden:

x1 = 0 :gl = lim

x↑0f (x) = lim

x↑0(−x) = 0

gr = limx↓0

f (x) = limx↓0

x = 0

gl = gr⇒ g = 0 = f (0)⇒ f ist stetig an der Stelle x1 = 0x2 = 3 :gl = lim

x↑3f (x) = lim

x↑3x = 3

gr = limx↓3

f (x) = limx↓3

x2 = 9

gl 6= gr⇒ f ist unstetig an der Stelle x2 = 3

b) f (x) =

√2− x für 0≤ x≤ 2

(x−2)2 für 2 < x < 44 für x≥ 4

Die Stellen x1 = 2 und x2 = 4 müssen auf Stetigkeit untersucht werden:

x1 = 2 :

gl = limx↑2

f (x) = limx↑2

√2− x = 0

gr = limx↓2

f (x) = limx↓2

(x−2)2 = 0

gl = gr⇒ g = 0 = f (2)⇒ f ist stetig an der Stelle x1 = 2x2 = 4 :

gl = limx↑4

f (x) = limx↑4

(x−2)2 = 4

gr = limx↓4

f (x) = limx↓4

4 = 4


Stetigkeit 297

9.3 Die folgenden Funktionen sind für 0 ≤ x < 2 und für x > 2 definiert. Untersu-chen Sie jeweils, ob es an der Stelle 2 eine stetige Ergänzung gibt, und bestimmenSie diese gegebenenfalls:

a) f (x) = x−28−x3

(−x3 +8) : (x−2) =−x2−2x−4

−(−x3 +2x2)

−2x2

−(−2x2 +4x)

−4x +8−(−4x +8)

0

⇒ 8− x3 = (x−2)(−x2−2x−4)

gl = limx↑2

f (x) = limx↑2

x−28− x3 = lim

x↑2x−2

(x−2)(−x2−2x−4)

= limx↑2

1−x2−2x−4

=− 112

gr = limx↓2

1−x2−2x−4

=− 112

⇒ gl = gr⇒ f ist an der Stelle x0 = 2 stetig ergänzbar:

g(x) =

x−28− x3 für x 6= 2

− 112

für x = 2=

1−x2−2x−4

b) f (x) = 2x2−10x+12x2−4

gl = limx↑2

f (x) = limx↑2

2x2−10x+12x2−4

= limx↑2

2(x−3)(x−2)(x+2)(x−2)

= limx↑2

2(x−3)x+2

=−12

gr = limx↓2

2(x−3)x+2

=−12

⇒ gl = gr⇒ f ist an der Stelle x0 = 2 stetig ergänzbar:

298 Stetigkeit

g(x) =

2x2−10x+12x2−4

für x 6= 2

−12

für x = 2=

2(x−3)x+2

c) f (x) = x2−3x−2

gl = limx↑2

f (x) = limx↑2

x2−3x−2

=−∞

gr = limx↓2

f (x) = limx↓2

x2−3x−2

= ∞

⇒ f ist an der Stelle x0 = 2 nicht stetig ergänzbar.

Grundlagen derDifferentialrechnung:Differenzierbarkeit undAbleitung

10.1 Berechnen Sie die Ableitung folgender Funktionen im Punkt x0 mithilfe derDef. 10.1:

a) f (x) = cosx

f ′(x0) = limh→0

cos(x0 +h)− cosx0

h

=Satz 7.1

limh→0

cosx0 cosh− sinx0 sinh− cosx0

h

= limh→0

cosx0(cosh−1)h

− limh→0

sinx0 sinhh

=cosx0 limh→0

cosh−1h︸︷︷︸

=0

−sinx0 limh→0

sinhh︸︷︷︸

=1

=− sinx0

Für die Berechnung der Grenzwerte sei auf Kap. 8, insbesondere Bsp. 8.4, ver-wiesen.

b) f (x) = 1x

f ′(x0) = limh→0

1x0+h − 1

x0

h= lim

h→0

x0−(x0+h)(x0+h)x0

h


300 Grundlagen der Differentialrechnung: Differenzierbarkeit und Ableitung

= limh→0

x0− x0−hh(x0 +h)x0

=− limh→0

1(x0 +h)x0

=− 1x2

0

c) f (x) = 1x2

f ′(x0) = limh→0

1(x0+h)2 − 1

x20

h= lim

h→0

x20−(x0+h)2

x20(x0+h)2

h

= limh→0

x20− x2

0−2x0h−h2

x20(x0 +h)2h

= limh→0

h(−2x0−h)x2

0(x0 +h)2h

= limh→0

−2x0−hx2

0(x0 +h)2 =−2x0

x40

=− 2x3

0

10.2 Berechnen Sie die Ableitung im Punkt x mithilfe der Ableitungsregeln, insbe-sondere der Kettenregel:

f (x) = xtanx = eln(xtanx) = etanx lnx

f ′(x) = etanx lnx(

1cos2 x

lnx+ tanx1x

)= xtanx

(lnx

cos2 x+

tanxx

)a)

f (x) = ln(x4 +1)

f ′(x) =4x3

x4 +1

b)

f (x) = (x+1)ex2

f ′(x) = ex2+(x+1)2xex2

= ex2(2x2 +2x+1)

c)

f (x) = aax= eln(a)ax

= eln(a)eln(ax)= eln(a)ex ln(a)

(a > 0)

f ′(x) = (ln(a))2ex ln(a)eln(a)ex ln(a)= (ln(a))2axaax

d)

Grundlagen der Differentialrechnung: Differenzierbarkeit und Ableitung 301

f (x) = (sinx)ln(cosx) = eln((sinx)ln(cosx)) = eln(cosx) ln(sinx)

f ′(x) =(− sinx

cosxln(sinx)+ ln(cosx)

cosxsinx

)eln(cosx) ln(sinx)

e)

10.3 Überprüfen Sie, ob die Funktion im angegebenen Punkt differenzierbar ist,und bestimmen Sie gegebenenfalls die Ableitung:

f (x) =

xsin1x

für x 6= 0

0 für x = 0x0 = 0

limh→0

f (0+h)− f (0)h

= limh→0

hsin( 1

h

)−0

h= lim

h→0sin(

1h

)

Der Grenzwert existiert nicht. Die Funktion f ist an der Stelle x0 = 0 nichtdifferenzierbar.

a)

f (x) =

x3 sin1x

für x 6= 0

0 für x = 0x0 = 0

f ′(0) = limh→0

f (0+h)− f (0)h

= limh→0

h3 sin( 1

h

)−0

h= lim

h→0h2 sin

(1h

)= 0

(siehe dazu Bsp. 10.4). Die Funktion f ist an der Stelle x0 = 0 differenzierbar.

b)

f (x) =

{ex−1 für x≤ 1

x2 für x > 1x0 = 1

gr = limh↓0

=f (1+h)− f (1)

h= lim

h↓0(1+h)2− e0

h= lim

h↓01+2h+h2−1

h= lim

h↓0(2+h) = 2

gl = limh↑0

e1+h−1− e0

h= lim

h↑0eh−1

h= 1

Der linksseitige Grenzwert ist wegen f ′(0) = limh↑0 eh−1h (für f (x) = ex) be-

kannt. Der Grenzwert existiert nicht, da gl 6= gr. Die Funktion f ist somit ander Stelle x0 = 1 nicht differenzierbar.

c)


10.4 Beweisen Sie mithilfe der Def. 10.1 der Ableitung und der Grenzwertsätze dieSummenregel, Produktregel und Quotientenregel (Satz 10.3 (2), (3), (4)).

Beweis (Summenregel).

f (x) = f1(x)+ f2(x)

f ′(x) = limh→0

f (x+h)− f (x)h

= limh→0

f1(x+h)+ f2(x+h)− f1(x)− f2(x)h

= limh→0

f1(x+h)− f1(x)h

+ limh→0

f2(x+h)− f2(x)h

= f ′1(x)+ f ′2(x) ut

Beweis (Produktregel).

f (x) = u(x) · v(x)

f ′(x) = limh→0

f (x+h)− f (x)h

= limh→0

u(x+h) · v(x+h)−u(x) · v(x)h

= limh→0

u(x+h) · v(x+h)

Nullerweiterung︷︸︸︷−u(x) · v(x+h)+u(x) · v(x+h)−u(x) · v(x)

h

= limh→0

([u(x+h)−u(x)] · v(x+h)

h+

u(x) · [v(x+h)− v(x)]h

)

= limh→0

(u(x+h)−u(x)

h· v(x+h)

)+ lim

h→0

(u(x) · v(x+h)− v(x)

h

)

=

(limh→0

u(x+h)−u(x)h

)·(

limh→0

v(x+h))+u(x) ·

(limh→0

v(x+h)− v(x)h

)

= u′(x) · v(x)+u(x) · v′(x) ut

Beweis (Quotientenregel).

f (x) =u(x)v(x)

f ′(x) = limh→0

f (x+h)− f (x)h

= limh→0

u(x+h)v(x+h) −

u(x)v(x)

h

= limh→0

u(x+h) · v(x)−u(x) · v(x+h)h · v(x+h) · v(x)

= limh→0

u(x+h) · v(x)Nullerweiterung︷︸︸︷

−u(x) · v(x)+u(x) · v(x)−u(x) · v(x+h)h · v(x+h) · v(x)

= limh→0

(1

v(x+h) · v(x)

([u(x+h)−u(x)] · v(x)

h− [v(x+h)− v(x)] ·u(x)

h

))


= limh→0

(1

v(x+h) · v(x)

)(limh→0

(u(x+h)−u(x)

h

)· v(x)

− limh→0

(v(x+h)− v(x)

h

)·u(x)

)

=1

v(x)2 ·(u′(x) · v(x)− v′(x) ·u(x)

)

=u′(x) · v(x)− v′(x) ·u(x)

v(x)2 ut

10.5 Berechnen Sie mithilfe der Ableitungsregel für die Umkehrfunktion die erstenAbleitungen:

f (x) = arccos(x)

(arccos(x))′ =− 1sin(arccos(x))

=−1√

1− cos2(arccos(x))=

−1√1− x2

a)

f (x) = arctan(x)

(arctan(x))′ =1

tan2(arctan(x))+1=

1x2 +1

b)

f (x) = n√

x n ∈ N,n≥ 2

(n√

x)′=

1

n( n√

x)n−1 =1

nx1− 1n

c)

10.6 In der Physik sind die ersten und zweiten Ableitungen einer Weg-Zeit-Funktion die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion und die Beschleunigungs-Zeit-Funktion.Berechnen Sie diese für die folgenden Fälle:

s(t) = 12 at2 + v0t + s0

s(t) = at + v0, s(t) = a

a)


x(t) = X0 sin(ωt +ϕ)

x(t) = X0ω cos(ωt +ϕ), x(t) =−X0ω2 sin(ωt +ϕ)

b)

y(t) = mρ

(v0 +

mgρ

)(1− e−

ρm t)− mg

ρ t

y(t) =mρ

(v0 +

mgρ

)ρm

e−ρm t − mg

ρ=

(v0 +

mgρ

)e−

ρm t − mg

ρ

y(t) =− ρm

(v0 +

mgρ

)e−

ρm t

c)

Für die physikalisch Versierten: Interpretieren Sie diese Gleichungen. Welche phy-sikalischen Vorgänge werden durch sie beschrieben?

a) Weg-Zeit-Gesetz einer Überlagerung einer gleichmäßig beschleunigten Bewe-gung mit einer geradlinig gleichförmigen Bewegung, die zum Zeitpunkt 0 bei s0beginnt.

b) Weg-Zeit-Gesetz einer harmonischen Schwingung mit einem Phasenwinkel ϕ .

c) Weg-Zeit-Gesetz des verzögerten Falls mit Luftwiderstand eines Körpers derMasse m mit Widerstandskoeffizient ρ und Anfangsgeschwindigkeit v0.

Die Ableitungen sind entsprechend die zugehörigen v-t- bzw. a-t-Gesetze.

10.7 In der Wellenlehre tauchen sowohl räumliche als auch zeitliche Ableitun-gen auf und somit auch Funktionen mit zwei Variablen x und t. Ableitungen nachder Zeit werden in der Regel mit einem Punkt bezeichnet. So ist s(t) = d

dt s(t) unds′(x) = d

dx s(x).

Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung nach x bzw. t bei den Funktionenz(x, t) = Z0 cos(ωt− kx) und z(x, t) = Z0 sin(ωt− kx). Zeigen Sie, dass die beidenFunktionen die Gleichung z(x, t) = c2z′′(x, t) erfüllen (dabei ist c = ω

k die so ge-nannte Phasengeschwindigkeit der Welle). Betrachten Sie bei der Ableitung nach xdie Zeit t als Parameter und umgekehrt.

z′ = Z0k sin(ωt− kx), z′′ =−Z0k2 cos(ωt− kx)

z =−Z0ω sin(ωt− kx), z =−Z0ω2 cos(ωt− kx)


z =−Z0ω2 cos(ωt− kx) =k2

k2

(−Z0ω2 cos(ωt− kx)

)

=ω2

k2

(−Z0k2 cos(ωt− kx)

)= c2z′′

Sätze aus derDifferentialrechnung:Funktionsuntersuchung

11.1 Bestimmen Sie die Extrema der Funktionen f mit

a) f (x) = x3ex

Notwendige Bedingung f ′(x) = 0:

f ′(x) = 3x2ex + x3ex = ex(3x2 + x3)

ex︸︷︷︸6=0∀x∈R

(3x2 + x3) = 0 ⇒ 3x2 + x3 = 0⇔ x2(3+ x) = 0⇔ x = 0∨ x =−3

Hinreichende Bedingung f ′(x) = 0 und f ′′(x) 6= 0:

f ′′(x) = ex(3x2 + x3)+ ex(6x+3x2) = ex(x3 +6x2 +6x)

x = 0 :f ′′(0) = 0

Überprüfung auf Sattelpunkt: hinreichende Bedingung mittels dritter Ableitung:

f ′′′(x) = ex(x3 +6x2 +6x)+ ex(3x2 +12x+6) = ex(x3 +9x2 +18x+6)f ′′′(0) = 6 6= 0x =−3 :

f ′′(−3) = 9e−3 > 0

⇒ Der Graph der Funktion hat im Punkt T (−3| −27e−3) einen Tiefpunkt.


308 Sätze aus der Differentialrechnung: Funktionsuntersuchung

b) f (x) = x3 lnx D= R\{0}


f ′(x) = 3x2 lnx+ x3 1x= x2(3lnx+1)

x2(3lnx+1) = 0⇔ x = 0 /∈ D∨3lnx+1 = 0

⇔ lnx =−13⇒ x = e−

13


f ′′(x) = 2x(3lnx+1)+ x2 3x= 6x lnx+2x+3x = 6x lnx+5x

f ′′(e−13 ) = 6e−

13 ln(e−

13 )+5e−

13 =−2e−

13 +5e−

13 = 3e−

13 > 0

⇒ Der Graph der Funktion hat im Punkt T(

e−13

∣∣∣∣−13

e−1)

einen Tiefpunkt.

c) f (x) = (1− x)e−2x+1


f ′(x) =−e−2x+1 +(1− x)(−2)e−2x+1 = e−2x+1(−3+2x)

e−2x+1︸︷︷︸6=0∀x∈R

(−3+2x) = 0⇔ x =32


f ′′(x) =−2e−2x+1(−3+2x)+ e−2x+1 ·2 = (8−4x)e−2x+1

f ′′(

32

)= 2e−2 > 0

⇒ Der Graph der Funktion hat im Punkt T(

32

∣∣∣∣−12

e−2)

einen Tiefpunkt.

11.2 Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion f mitf (x) = x3 +ax2 +bx+ c in Abhängigkeit von den drei Parametern a,b,c ∈ R.


f ′(x) = 3x2 +2ax+b

3x2 +2ax+b = 0 ⇔ x2 +23

ax+13

b = 0

x1,2 =−13

a±√

19

a2− 13

b =−13

a±√

a2−3b3

1. Fall a2−3b = 0:

Sätze aus der Differentialrechnung: Funktionsuntersuchung 309

Eine mögliche Extremstelle bei x =− 13 a.

2. Fall a2−3b > 0:

Zwei mögliche Extremstellen bei x1 =− 13 a+

√a2−3b

3 und x2 =− 13 a−

√a2−3b

3 .

3. Fall a2−3b < 0:

Keine mögliche Extremstelle.


f ′′(x) = 6x+2a

1. Fall a2−3b = 0 mit x =− 13 a:

f ′′(−1

3a)=−2a+2a = 0

Überprüfung auf Sattelpunkt: hinreichende Bedingung mittels dritter Ableitung:

f ′′′(x) = 6

f ′′′(−1

3a)= 6 6= 0

⇒ Der Graph der Funktion hat an der Stelle x =− 13 a einen Sattelpunkt.

2. Fall a2−3b > 0 mit x = −a±√

a2−3b3 :

f ′′(−a+

√a2−3b

3

)=−2a+2

√a2−3b+2a = 2

√a2−3b > 0

⇒ Der Graph der Funktion hat an der Stelle x = −a+√

a2−3b3 eine Minimalstelle.

f ′′(−a−

√a2−3b

3

)=−2a−2

√a2−3b+2a =−2

√a2−3b < 0

⇒ Der Graph der Funktion hat an der Stelle x = −a−√

a2−3b3 eine Maximalstelle.

310 Sätze aus der Differentialrechnung: Funktionsuntersuchung

11.3 Beweisen Sie mithilfe des Satzes 11.6 und des Mittelwertsatzes den folgendenSatz:

Satz 11.7 Seien f1,2 : [a,b] → R zwei stetige und im Intervall ]a;b[ differen-zierbare Funktionen mit f ′1(x) = f ′2(x) ∀ x ∈]a;b[. Dann existiert ein c ∈ R mitf1(x) = f2(x)+ c ∀ x ∈ [a;b]. C

Beweis. Wir definieren zunächst die Hilfsfunktion g : [a,b]→ R mit

g(x) = f1(x)− f2(x).

Diese Hilfsfunktion ist differenzierbar, da f1 und f2 differenzierbar sind. Es gilt

g′(x) = f ′1(x)− f ′2(x) = 0,

da laut Voraussetzung f ′1(x) = f ′2(x) ist. Aus Satz 11.6 folgt

g(x) = f1(x)− f2(x) = c

für alle x ∈ [a,b] mit einer konstanten Zahl c ∈ R. Somit gilt

f1(x) = f2(x)+ c. ut

Rationale Funktionen

12.1 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Singularitäten und Asymptoten.Plotten Sie sämtliche Graphen zur Überprüfung.

a) f (x) = x+1x2−1 D= R\{−1;1)

f (x) =x+1x2−1

=x+1

(x+1)(x−1)=

x 6=−1

1x−1

x =−1 :

g = limx→−1

1x−1

=−12

⇒ Bei x =−1 liegt eine hebbare Definitionslücke vor.x = 1 :

gl = limx↑1

1x−1

=−∞

gr = limx↓1

1x−1

= ∞

⇒ Bei x = 1 liegt ein Pol mit Vorzeichenwechsel vor.


312 Rationale Funktionen

-2 -1 1 2

-10

-5

5

10

x

f (x)

b) f (x) = x+1(x−1)(x+3) D= R\{−3;1)

x =−3 :

gl = limx↑−3

x+1(x−1)(x+3)

=−∞

gr = limx↓−3

x+1(x−1)(x+3)

= ∞

⇒ Bei x =−3 liegt ein Pol mit Vorzeichenwechsel vor.x = 1 :

gl = limx↑1

x+1(x−1)(x+3)

=−∞

gr = limx↓1

x+1(x−1)(x+3)

= ∞


-4 -3 -2 -1 1 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

f (x)

Rationale Funktionen 313

c) f (x) = x+2(x2−1)(x+2) D= R\{−2;−1;1)

f (x) =x+2

(x2−1)(x+2)=

x 6=−2

1x2−1

x =−2 :

g = limx→−2

1x2−1

=13

⇒ Bei x =−2 liegt eine hebbare Definitionslücke vor.x =−1 :

gl = limx↑−1

1x2−1

= ∞

gr = limx↓−1

1x2−1

=−∞

⇒ Bei x =−1 liegt ein Pol mit Vorzeichenwechsel vor.x = 1 :

gl = limx↑1

1x2−1

=−∞

gr = limx↓1

1x2−1

= ∞


-3 -2 -1 1 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

f (x)


d) f (x) = x3+1x+1 D= R\{−1)

(x3 +1) : (x+1) = x2− x+1

−(x3 +x2)

−x2

−(−x2 −x)

x +1−(x +1)

0

f (x) =x3 +1x+1

=x 6=−1

x2− x+1

⇒ Bei x =−1 liegt eine hebbare Definitionslücke vor.

-2 -1 1 2

1

2

3

4

5

6

7

x

f (x)

e) f (x) = x2+1x D= R\{0)

f (x) = x+1x

x = 0 :

gl = limx↑0

(x+

1x

)=−∞

gr = limx↓0

(x+

1x

)= ∞


⇒ Bei x = 0 liegt ein Pol mit Vorzeichenwechsel vor.Die Gerade p(x) = x ist die asymptotische Kurve der Funktion.

-3 -2 -1 1 2 3

-6

-4

-2

2

4

6

x

f (x)

f) f (x) = x3−2x2+x+11x−1 D= R\{1)

(x3 −2x2 +x +11) : (x−1) = x2− x+11

x−1−(x3 −x2)

−x2 +x

−(−x2 +x)

0 +11−(0 +0)

11

Die Parabel mit der Gleichung p(x) = x2− x ist die asymptotische Kurve derFunktion.

x = 1 :

gl = limx↑1

x3−2x2 + x+11x−1

=−∞

gr = limx↓1

x3−2x2 + x+11x−1

= ∞



-3 -2 -1 1 2 3

-40

-30

-20

-10

10

20

30

40

x

f (x)

12.2 Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen und vereinfachenSie die Terme der Ableitungsfunktionen so weit wie möglich. Bestimmen Sie bei a)auch die zweite Ableitung und vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich.

a) f (x) = 3x+1x2−1

f ′(x) =3(x2−1)− (3x+1)2x

(x2−1)2 =3x2−3−6x2−2x

(x2−1)2 =−3x2−2x−3

(x2−1)2

f ′′(x) =(−6x−2)(x2−1)2− (−3x2−2x−3)2(x2−1)2x

(x2−1)4

=(−6x−2)(x2−1)−4x(−3x2−2x−3)

(x2−1)3

=−6x3 +6x−2x2 +2+12x3 +8x2 +12x

(x2−1)3 =6x3 +6x2 +18x+2

(x2−1)3

b) f (x) = ax2+bx+c2x−1 (a,b,c ∈ R)

f ′(x) =(2ax+b)(2x−1)− (ax2 +bx+ c) ·2

(2x−1)2

=4ax2−2ax+2bx−b−2ax2−2bx−2c

(2x−1)2

=2ax2−2ax−b−2c

(2x−1)2


c) f (x) = cos(x)(x2+1)2

f ′(x) =−sin(x)(x2 +1)2− cos(x)2(x2 +1)2x

(x2 +1)4

=−sin(x)(x2 +1)−4xcos(x)

(x2 +1)3

12.3 Führen Sie die folgenden Polynomdivisionen durch:

a) (x3−2x2 +5x+6) : (x2 + x+3)

(x3 −2x2+5x +6) : (x2 + x+3) = x−3+5x+15

x2 + x+3−(x3 +x2+3x)

−3x2+2x +6

−(−3x2−3x −9)

5x +15

b) (2x6−4x2 +3x+7) : (−4x2−9x+2) =

−(2x6 +92

x5 −x4)

−92

x5 +x4 −4x2 +3x +7

−(−92

x5 −818

x4 +94

x3)

898

x4 −94

x3 −4x2 +3x +7

−(898

x4 +80132

x3 −8916

x2)

−87332

x3 +2516

x2 +3x +7

−(−87332

x3 −7857128

x2 +87364

x )

8057128

x2 −68164

x +7

−(8057128

x2 +72513

512x−8057

256)

−77961512

x +9849256


(2x6−4x2 +3x+7) : (−4x2−9x+2) =

− 12

x4 +98

x3− 8932

x2 +873128

x− 8057512

+− 77961

512 x+ 9849256

−4x2−9x+2

12.4 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen hinsichtlich maximalem Defi-nitionsbereich, Schnittpunkte mit den Achsen, Extremstellen, Singularitäten undAsymptoten. Aufgabenteil b) ist mithilfe eines graphischen Taschenrechners (GTR)oder eines Computeralgebrasystems (CAS) zu lösen.

a) f (x) = 3x3+xx2−1

Maximaler Definitionsbereich:

D= R\{−1;1}

Schnittpunkte mit der x-Achse:

f (x) = 0 :

3x3 + x = x(3x2 +1) = 0

x = 0 ∨ x2 =−13�

Schnittpunkte mit der y-Achse:

f (0) =3 ·03 +0

02−1= 0

Ableitungen:

f ′(x) =(9x2 +1)(x2−1)− (3x3 + x)2x

(x2−1)2

=9x4−9x2 + x2−1−6x4−2x2

(x2−1)2 =3x4−10x2−1

(x2−1)2

f ′′(x) =(12x3−20x)(x2−1)2− (3x4−10x2−1)2(x2−1)2x

(x2−1)4

=12x5−20x3−12x3 +20x−12x5 +40x3 +4x

(x2−1)3 =8x3 +24x(x2−1)3

Extremstellen:

Notwendige Bedingung: f ′(x) = 0

3x4−10x2−1 = 0


z = x2 ⇒ 3z2−10z−1 = 0 ⇔ z2− 103

z− 13= 0

⇒ z =5±√

283

x2 =5+√

283

∨ x2 =5−√

283

⇒ x1 =

√5+√

283

∧ x2 =−

√5+√

283

∧ x3 =

√5−√

283

/∈ D ∧ x4 =−

√5−√

283

/∈ D

Hierbei kommen nur x1 und x2 als mögliche Extremstellen in Betracht,da x3 und x4 nicht reell sind.

Hinreichende Bedingung: f ′(x) = 0 und f ′′(x) 6= 0

f ′′(x1)≈ 6,64 > 0

⇒ Der Graph der Funktion hat im Punkt T(√

5+√

283

∣∣∣8,60)

einen Tiefpunkt.

f ′′(x2)≈−6,64 < 0

⇒ Der Graph der Funktion hat im Punkt H(−√

5+√

283

∣∣∣−8,60)

einen Hoch-

punkt.

Singularitäten:

gl = limx↑−1

3x3 + xx2−1

=−∞

gr = limx↓−1

3x3 + xx2−1

= ∞

⇒ An der Stelle x =−1 hat die Funktion einen Pol mit Vorzeichenwechsel.

gl = limx↑1

3x3 + xx2−1

=−∞

gr = limx↓1

3x3 + xx2−1

= ∞

⇒ An der Stelle x = 1 hat die Funktion einen Pol mit Vorzeichenwechsel.


Asymptoten:

(3x3 +x) : (x2−1) = 3x+4x

x2−1−(3x3−3x)

4x

Die Gerade mit der Gleichung y = 3x ist die Asymptote der Funktion.

b) f (x) = x4+x−1x2−x Maximaler Definitionsbereich:

D= R\{0;1}

Schnittpunkte mit der x-Achse:

x4 + x−1 = 0

Die Funktion hat die Nullstellen x1 = 0,724 und x2 =−1.221 (Ermittlung mit-hilfe eines GTR/CAS).

Schnittpunkte mit der y-Achse:Die Funktion ist für x = 0 nicht definiert.

Ableitungen:

f ′(x) =(4x3 +1)(x2− x)− (x4 + x−1)(2x−1)

(x2− x)2

=4x5−4x4 + x2− x−2x5 + x4−2x2 + x+2x−1

(x2− x)2

=2x5−3x4− x2 +2x−1

(x2− x)2

f ′′(x) = (10x4−12x3−2x+2)(x2−x)2−(2x5−3x4−x2+2x−1)2(x2−x)(2x−1)(x2−x)4

=2x6−6x5 +6x4 +2x3−6x2 +6x−2

(x2− x)3

Extremstellen:Notwendige Bedingung: f ′(x) = 0

2x5−3x4− x2 +2x−1 = 0

Ermittlung der möglichen Extremstellen mithilfe eines GTR/CAS:


x1 = 1,525

Hinreichende Bedingung: f ′(x) = 0 und f ′′(x) 6= 0Überprüfung der hinreichenden Bedingung mithilfe eines GTR/CAS:

f ′′(1,525) = 16,385 > 0

⇒ Der Graph der Funktion hat im Punkt T (1,525|7,411) einen Tiefpunkt.

Singularitäten:

gl = limx↑0

x4 + x−1x2− x

=−∞

gr = limx↓0

x4 + x−1x2− x

= ∞


gl = limx↑1

x4 + x−1x2− x

=−∞

gr = limx↓1

x4 + x−1x2− x

= ∞


Asymptoten:

(x4 +x −1) : (x2− x) = x2 + x+1+2x−1x2− x

−(x4 −x3)

x3 +x −1

−(x3 −x2)

x2 +x −1

−(x2 −x)

2x −1

Die Parabel mit der Gleichung y = x2 + x+1 ist die Asymptote der Funktion.

Berechnung speziellerGrenzwerte – die del’Hospital’schen Regeln

13.1 Berechnen Sie die Grenzwerte mithilfe der Regeln von de l’Hospital:

limx→0

xsinxx2−sinx = lim

x→0sinx+xcosx

2x−cosx = 0a)

limx→0

x2−sinxx2+sinx = lim

x→02x−cosx2x+cosx =−1b)

limx→−2

x2−x−62x+4 = lim

x→−22x−1

2 =− 52c)

limx→−1

x3−x2+3x+5x+1 = lim

x→−13x2−2x+3

1 = 8d)

limx→0

ex−13x = lim

x→0ex

3 = 13e)

limx→∞

(−xsin2 ( 1

x

))= lim

x→∞

−sin2( 1x )

1x

= limx→∞

−2sin( 1x )cos( 1

x )(− 1

x2

)

− 1x2

= limx→∞

(−2sin

( 1x

)cos( 1

x

))= 0

f)

limx→∞

logb xxa = lim

x→∞

ln(x)ln(b)xa = lim

x→∞ln(x)

ln(b)xa = limx→∞

1x

ln(b)axa−1 = limx→∞

1ln(b)axa = 0

(a,b > 0)

g)

13.2 Manchmal ist eine Mehrfachanwendung der Regeln von de l’Hospital notwen-dig. Berechnen Sie unter Berücksichtigung dieser Tatsache die folgenden Grenzwer-te:

a) limx→−1

x3+3x2+3x+1x2+2x+1 = lim

x→−13x2+6x+3

2x+2 = limx→−1

6x+62 = 0


324 Berechnung spezieller Grenzwerte – die de l’Hospital’schen Regeln

b) limx→0

cosx−1x2 = lim

x→0−sinx

2x = limx→0

−cosx2 =− 1

2

13.3 Beweisen Sie die Ihnen bekannte Tatsache, dass „die e-Funktion schnellerwächst als jede Potenz“, mithilfe der Regeln von de l’Hospital. Etwas mathemati-scher formuliert:

Beweisen Sie: limx→∞

xn

ex = 0 ∀ n ∈ N.

Beweis.

limx→∞

xn

ex = limx→∞

nxn−1

ex = limx→∞

n · (n−1)xn−2

ex = . . .

= limx→∞

n · (n−1) . . .1 · x0

ex

= limx→∞

n!ex = 0 ut

Integralrechnung

14.1 Berechnen Sie die folgenden Integrale durch Substitution:

∫ 43

3x4x2−1 dx

∫ 4

3

3x4x2−1

dx =∫ 63

35

3√

z+14

zdz

8√

z+14

=38

∫ 63

35

1z

dz

=38

ln |z|∣∣∣63

35

=38(ln(63)− ln(35))

=38

ln(

95

)

z = 4x2−1⇒ x =

√z+1

4dzdx

= 8x⇔ dx =dz8x

z(3) = 35, z(4) = 63

a)

∫ 21

x√x2+2

dx

∫ 2

1

x√x2 +2

dx =∫ 6

3

√z−2√

zdz

2√

z−2

=12

∫ 6

3

1√z

dz

=12

2√

z∣∣∣6

3=√

6−√

3

z = x2 +2⇒ x =√

z−2dzdx

= 2x⇔ dx =dz2x

z(1) = 3, z(2) = 6

b)


326 Integralrechnung

∫ 40 x√

3x2 +7dx

∫ 4

0x√

3x2 +7dx =∫ 55

7

√z−7

3√

zdz

6√

z−73

=16

∫ 55

7

√zdz

=16

23

z32

∣∣∣55

7=

19

√z3∣∣∣55

7

=19

(55√

55−7√

7)

z = 3x2 +7⇒ x =

√z−7

3dzdx

= 6x⇔ dx =dz6x

z(0) = 7, z(4) = 55

c)

∫ ba f (x) · f ′(x)dx

∫ b

af (x) · f ′(x)dx

=∫ f (b)

f (a)z f ′(

f−1(z)) dz

f ′ ( f−1(z))

=∫ f (b)

f (a)zdz =

12

z2∣∣∣

f (b)

f (a)

=12(

f (b)2− f (a)2)

z = f (x)⇒ x = f−1(z)dzdx

= f ′(x)⇔ dx =dz

f ′(x)z(a) = f (a), z(b) = f (b)

d)

∫ 41

1(x+2)2 dx

∫ 4

1

1(x+2)2 dx =

∫ 6

3

1z2 dz =−1

z

∣∣∣6

3

=−16+

13=

16

z = x+2dzdx

= 1⇔ dx = dz

z(1) = 3, z(4) = 6

e)

Integralrechnung 327

14.2 Berechnen Sie das unbestimmte Integral mittels einer geeigneten Methode(Substitution/partielle Integration):

a)∫

tan(x)dx∫

tan(x)dx =∫ sinx

cosxdx

=∫ sin(arccosz)

zdz

−sin(arccosz)

=−∫ 1

zdz =− ln |z|+C

=− ln |cosx|+C

z = cosx⇒ x = arccoszdzdx

=−sinx⇔ dx =dz−sinx

b)∫ 1

tan(x)dx

∫ 1tan(x)

dx =∫ cosx

sinxdx

=∫ cos(arcsinz)

zdz

cos(arcsinz)

=∫ 1

zdz

= ln |z|+C = ln |sinx|+C

z = sinx⇒ x = arcsinzdzdx

= cosx⇔ dx =dz

cosx

c)∫

x2e2x3dx

∫x2e2x3

dx =∫ (

3

√z2

)2

ez dz

6(

3√ z

2

)2

=16

∫ezdz

=16

ez +C =16

e2x3+C

z = 2x3⇒ x = 3

√z2

dzdx

= 6x2⇔ dx =dz6x2

d)∫

ln(2− x2)dx∫

ln(2− x2)dx =∫

ln(2− x2) ·1dx = ln(2− x2) · x−∫ −2x

2− x2 xdx

= ln(2− x2) · x−2∫ −x2

Nullerweiterung︷︸︸︷+2−2

2− x2 dx

= ln(2− x2) · x−2(∫ 2− x2

2− x2 dx−∫ 2

2− x2 dx)


= ln(2− x2) · x−2∫

1dx+4∫ 1

2− x2 dx

= ln(2− x2) · x−2x+4∫ 1

2− x2 dx

Betrachte nur∫ 1

2−x2 dx:

x2

2= tanh2 z⇒ x =

√2tanhz

dxdz

=

√2

cosh2 z⇔ dx =

√2dz

cosh2 z

∫ 12− x2 dx =−1

2

∫ 1x2

2 −1dx =−1

2

∫ 1tanh2 z−1

√2dz

cosh2 z

=−√

22

∫ 1sinh2 z− cosh2 z︸︷︷︸

=−1

dz =

√2

2

∫1dz =

√2

2z+C

=

√2

2artanh

(x√2

)+C

∫ln(2− x2)dx = ln(2− x2) · x−2x+2

√2artanh

(x√2

)+C

e)∫

2x ln(2− x2)dx∫

2x ln(2− x2)dx =∫

2√

2− z ln(z)dz

−2√

2− z

=−∫

ln(z) ·1dz

=−(

ln(z) · z−∫ 1

z· zdz

)

=− ln(z) · z+ z+C

= (1− ln(z))z+C

=(1− ln(2− x2)

)(2− x2)+C

z = 2− x2⇒ x =√

2− zdzdx

=−2x⇔ dx =dz−2x

(Siehe dazu auch Bsp. 14.4 2).)


14.3 Berechnen Sie den Flächeninhalt einer Ellipse. Die Ellipse wird dabei be-schrieben durch die Gleichung x2

a2 +y2

b2 = 1. Dabei sind a und b die Halbachsen derEllipse.

y2 = b2− x2b2

a2

y =±√

b2

(1− x2

a2

)=±b

√a2− x2

a2 =±ba

√a2− x2

A = 4ba

∫ a

0

√a2− x2dx

x = asinz⇒ z = arcsin( x

a

)

dxdz

= acosz⇔ dx = acoszdz

z(0) = arcsin(0) = 0, z(a) = arcsin(1) =π2

A =4ba

∫ π2

0

√a2−a2 sin2(z)acoszdz

=4ba

∫ π2

0a√

1− sin2(z)acoszdz

= 4ab∫ π

2

0

√cos2(z)coszdz

= 4ab∫ π

2

0cos2(z)dz

= 4absinzcosz+ z

2

∣∣∣π2

0

= 4abπ4= abπ

Für die Berechnung des Integrals∫

cos2(z)dz sei auf Abschn. 14.2 verwiesen.

14.4 Zeigen Sie, dass im Fall |x| ≥ 1 aus x = 12 (e

z + e−z) folgt, dassz = ln(x+

√x2−1). (Tipp: Bedenken Sie, dass cosh : R+→ [1;∞[ bijektiv ist mit

der Umkehrfunktion arcosh.)

x =12(ez + e−z) = coshz mit D= R+, W= [1;∞[

Substituiere: u = ez

x =12

(u+

1u

)


12

u2 +12− xu = 0

u2−2xu+1 = 0

u = x±√

x2−1Resubstituiere:

ez = x+√

x2−1

z = ln(

x+√

x2−1)= arcoshx mit D= [1;∞[, W= R+

(Zur Substitution siehe auch Bsp. 4.5.)

14.5 Berechnen Sie das Integral∫ 1√

x2 +1dx.

∫ 1√x2 +1

dx =∫ 1√

sinh2(z)+1coshzdz

=∫ 1√

cosh2(z)coshzdz

=∫ 1

coshzcoshzdz =

∫1dz

= z+C = arsinhx+C

cosh2(z)− sinh2(z) = 1 ∀z ∈ Rx = sinhz⇒ z = arsinhxdxdz

= coshz⇔ dx = coshzdz

14.6 Berechnen Sie das Integral∫ 1

1+ cosxdx.

Tipp: Die Substitution ist ohne Hilfe relativ schwer zu finden. Man muss wissen,dass man rationale Funktionen in sin(x) und cos(x) mit der Substitution u = tan

( x2

)

bearbeiten kann (falls x kein ungeradzahliges Vielfaches von π ist, man beachteauch den Definitionsbereich des Integranden). Zeigen Sie mithilfe geeigneter Um-formungen, dass gilt: sinx = 2u

1+u2 und cosx = 1−u2

1+u2 . Dann sollte es klappen.

u = tan( x

2

)⇒ x = 2arctanu

dxdu

=2

u2 +1⇔ dx =

2u2 +1

du

(Für die Ableitung von arctanu siehe Aufg. 10.5.)


sinx = sin(2arctanu) = sin(

arctan(

2u1−u2

))=

2u1−u2√

1+(

2u1−u2

)2

=2u

(1−u2)

√(1−u2)2+4u2

(1−u2)2

=2u√

1−2u2 +u4 +4u2=

2u√(1+u2)2

=2u

1+u2

cosx = cos(2arctanu) = cos(

arctan(

2u1−u2

))=

1√1+(

2u1−u2

)2

=1√

(1−u2)2+4u2

(1−u2)2

=1−u2

1+u2

∫ 11+ cosx

dx =∫ 1

1+ 1−u2

1+u2

2u2 +1

du =∫ 1

1+u2+1−u2

1+u2

2u2 +1

du

= 2∫ 1+u2

2du

u2 +1=∫

1du = u+C = tan( x

2

)+C

Alternativer Lösungsweg:∫ 1

1+ cosxdx =

∫ 11+ cosx

· 1− cosx1− cosx

dx =∫ 1− cosx

1− cos2 xdx

=∫ 1− cosx

sin2 xdx =

∫ 1sin2 x

dx−∫ cosx

sin2 xdx

Betrachte nur∫ 1

sin2 xdx:

∫ 1sin2 x

dx

=−∫ 1

sin2 (arccotz)sin2 (arccotz)dz

=−∫

1dz

=−z =−cotx+C

z = cotx =cosxsinx

⇒ x = arccotz

dzdx

=− 1sin2 x

⇔ dx =−sin2 xdz


Betrachte nur∫ cosx

sin2 xdx:

∫ cosxsin2 x

dx =∫ cos(arcsinz)

z2dz

cos(arcsinz)

=∫ 1

z2 dz+C

=−1z=− 1

sinx+C

z = sinx⇒ x = arcsinzdzdx

= cosx⇔ dx =dz

cosx

Alles zusammenfügen:∫ 1

1+ cosxdx =−cotx+

1sinx

+C =1− cosx

sinx+C = tan

( x2

)+C

14.7 Berechnen Sie die folgenden Integrale. Entscheiden Sie, ob Sie Substitutionoder Partialbruchzerlegung verwenden müssen.

a)∫ 1

9x2+1 dx

∫ 19x2 +1

dx =∫ 1

(3x)2 +1dx

=∫ 1

z2 +1dz3

=13

∫ 1z2 +1

dz

=13

arctanz+C

=13

arctan(3x)+C

z = 3xdzdx

= 3⇔ dx =dz3

In Aufg. 10.5 b) haben wir bereits mithilfe der Ableitungsregel für die Umkehr-funktion gezeigt, dass

(arctanx)′ =1

x2 +1ist. Dies haben wir bei diesem Lösungsweg genutzt.

Alternativer Lösungsweg:

(3x)2 = tan2 z⇒ x =13

tanz

dxdz

=1

3cos2 z⇔ dx =

dz3cos2 z


∫ 19x2 +1

dx =∫ 1

(3x)2 +1dx

=∫ 1

tan2 z+1dz

3cos2 z

=∫ 1

3(sin2 z+ cos2 z︸︷︷︸=1

)dz

=13

∫1dz =

13

z+C

=13

arctan(3x)+C

b)∫ 1

x2+4x+4 dx

=∫ 1

(x+2)2 dx =− 1x+2

+C

c)∫ 1

x2+4x−5 dx

x2 +4x−5 = 0 ⇒ x1,2 =−2±√

4+5⇒ x1 =−5 ∨ x2 = 1

1x2 +4x+4

=A

x+5+

Bx−1

=A(x−1)+B(x+5)

(x+5)(x−1)1 = A(x−1)+B(x+5)1 = Ax−A+Bx+5B

1 = x(A+B)−A+5B

A+B = 0−A+5B = 1

⇒ A =−16, B =

16

∫ 1x2 +4x+4

=−16

∫ 1x+5

dx+16

∫ 1x−1

dx

=−16

ln |x+5|+ 16

ln |x−1|+C


d)∫ 1−1

2x2−5x+6 dx

x2−5x+6 = 0 ⇒ x1,2 =52±√

254− 24

4⇒ x1 = 3 ∧ x2 = 2

2x2−5x+6

=A

x−3+

Bx−2

=A(x−2)+B(x−3)

(x−3)(x−2)2 = A(x−2)+B(x−3)2 = Ax−2A+Bx−3B

2 = x(A+B)−2A−3B

0 = A+B

2 =−2A−3B

⇒ A =−2, B =−2

∫ 1

−1

2x2−5x+6

dx = 2∫ 1

−1

1x−3

dx−2∫ 1

−1

1x−2

dx

= 2ln |x−3|−2ln |x−2|∣∣∣1

−1

= 2(ln |−2|− ln |−1|− (ln |−4|− ln |−3|))

= 2(

ln(−2−1

)− ln

(−4−3

))

= 2(

ln(2)− ln(

43

))= ln

(94

)

14.8 Berechnen Sie die folgenden Integrale mittels Partialbruchzerlegung:

a)∫ x3−2x2+x+4

x2−4 dx

(x3 −2x2 +x +4) : (x2−4) = x−2+5x−4x2−4

−(x3 −4x)

−2x2+5x +4

−(−2x2 +8)

5x −4


x2−4 = 0 ⇒ x1,2 =±2⇒ x1 = 2 ∧ x2 =−2

5x−4x2−4

=A

x−2+

Bx+2

=A(x+2)+B(x−2)

(x−2)(x+2)5x−4 = A(x+2)+B(x−2)5x−4 = Ax+2A+Bx−2B

5x−4 = x(A+B)+2A−2B

5 = A+B

−4 = 2A−2B

⇒ A =32, B =

72

x3−2x2 + x+4x2−4

=∫(x−2)dx+

32

∫ 1x−2

dx+72

∫ 1x+2

dx

=12

x2−2x+32

ln |x−2|+ 72

ln |x+2|+C

b)∫ x4

x3−x dx

x4 : (x3− x) = x+x2

x3− x−(x4−x2)

x2

x3− x = x(x2−1) = 0⇒ x1 = 0 ∧ x2 = 1 ∧ x3 =−1

x2

x3− x=

Ax+

Bx−1

+C

x+1=

A(x−1)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x−1)x(x−1)(x+1)

x2 = A(x−1)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x−1)

x2 = Ax2−A+Bx2 +Bx+Cx2−Cx

x2 = x2(A+B+C)+ x(B−C)−A


0 =−A

0 = B−C

1 = A+B+C

⇒ A = 0, B =12, C =

12

∫ x4

x3− xdx =

∫xdx+

12

∫ 1x−1

dx+12

∫ 1x+1

dx

=12

x2 +12

ln |x−1|+ 12

ln |x+1|+C

=12

x2 +12

ln |x2−1|+C

14.9 Vorsicht Falle! Berechnen Sie das Integral

∫ 1

−1

1t2 e−

1t dt

mittels einer geeigneten Substitution. Geben Sie anschließend das Integral in einengraphikfähigen Taschenrechner oder ein Computeralgebrasystem ein und wundernSie sich einen Augenblick. Erklären Sie dann Ihre Beobachtung, indem Sie nocheinmal über Ihre Berechnung nachdenken. Was ist also schiefgelaufen?

FALSCHE RECHNUNG:

∫ 1

−1

1t2 e−

1t dt =

∫ 1

−1

1( 1

u

)2 e−u du− 1

( 1u )

2

=−∫ 1

−1e−udu = e−u

∣∣∣1

−1= e−1− e

u =1t⇔ t =

1u

dudt

=− 1t2 ⇔ dt =

du− 1

t2

u(−1) =−1, u(1) = 1

Im Integrationsintervall [−1;1] liegt die Stelle 0, und diese Stelle ist nicht definiert.Es handelt sich somit um ein uneigentliches Integral.

RICHTIGE RECHNUNG:∫ 1

−1

1t2 e−

1t dt =

∫ 0

−1

1t2 e−

1t dt +

∫ 1

0

1t2 e−

1t dt = lim

a↑0

∫ a

−1

1t2 e−

1t dt + lim

b↓0

∫ 1

0

1t2 e−

1t dt

= lima↑0

[e−

1t

]a

−1+ lim

b↓0

[e−

1t

]1

b

= lima↑0

(e−1a︸︷︷︸

→∞

−e)+ limb↓0

(e−1− e−1b︸︷︷︸

→0

) = ∞


14.10 Berechnen Sie die folgenden Integrale:

a)∫ 1

x3−1 dx

(x3 −1) : (x−1) = x2 + x+1

−(x3 −x2)

x2 −1

−(x2 −x)

x −1−(x −1)

0

Partialbruchzerlegung:

1x3−1

=A

x−1+

Bx+Cx2 + x+1

1 = A(x2 + x+1)+(Bx+C)(x−1)

1 = Ax2 +Ax+A+Bx2−Bx+Cx−C

1 = x2(A+B)+ x(A−B+C)+A−C

A+B = 0A−B+C = 0

A−C = 1

⇒ A =13, B =−1

3, C =−2

3∫ 1

x3−1dx =

13

∫ 1x−1

dx+∫ − 1

3 x− 23

x2 + x+1dx

Betrachte nur∫ − 1

3 x− 23

x2+x+1 dx:

∫ − 13 x− 2

3x2 + x+1

dx =−16

∫ 2x+4x2 + x+1

dx =−16

∫ 2x+1+3x2 + x+1

dx

=−16

(∫ 2x+1x2 + x+1

dx+∫ 3

x2 + x+1dx)

Betrachte nur∫ 2x+1

x2+x+1 dx:


∫ 2x+1x2 + x+1

dx =∫ z′

zdzz′

=∫ 1

zdz = ln |z|+K

= ln |x2 + x+1|+K

z = x2 + x+1

z′ =dzdx

= 2x+1⇔ dx =dz

2x+1

Betrachte nur∫ 3

x2+x+1 dx:

∫ 3x2 + x+1

dx =∫ 3

x2 + x+0,52−0,52︸︷︷︸quadr. Ergänzung

+1dx = 3

∫ 1(x+0,5)2 +0,75

dx

Siehe für die nächsten Schritte auch Aufg.14.7 a).

= 343

∫ 143 (x+0,5)2 +1

dx = 4∫ 1(

2√3(x+0,5)

)2+1

dx

(2√3(x+0,5)

)2

= tan2 z⇒ x =

√3

2tanz−0,5

dxdz

=

√3

2cos2 z⇔ dx =

√3dz

2cos2 z

= 4∫ 1

tan2 z+1

√3dz

2cos2 z=

4√

32

∫ 1sin2 z+ cos2 z

dz

= 2√

3∫

1dz = 2√

3z+K

= 2√

3arctan(

2(x+0,5)√3

)+K

Alles zusammenfügen:

∫ 1x3−1

dx =13

ln |x−1|− 16

ln |x2 + x+1|− 13

√3arctan

(2x+1√

3

)+C

b)∫ 1+ex

ex−1 dx ∫ 1+ ex

ex−1dx =

∫ 1ex−1

dx+∫ ex

ex−1dx

Betrachte nur∫ 1

ex−1 dx:

∫ 1ex−1

dx =∫ 1

zdz

z+1

z = ex−1⇒ x = ln(z+1)dxdz

=1

z+1⇔ dx =

dzz+1


Partialbruchzerlegung:

1z(z+1)

=Az+

Bz+1

=A(z+1)+Bz

z(z+1)1 = Az+A+Bz

1 = z(A+B)+A

⇒ A = 1, B =−1∫ 1

z(z+1)dz =

∫ 1z

dz−∫ 1

z+1dz = ln |z|− ln |z+1|+C

= ln |ex−1|− ln |ex−1+1|+C = ln |ex−1|− x+C

Betrachte nur∫ ex

ex−1 dx:

∫ ex

ex−1dx =

∫ eln(z+1)

zdz

eln(z+1) =1z

dz

= ln |z|+C = ln |ex−1|+C

z = ex−1⇒ x = ln(z+1)dzdx

= ex⇔ dx =dzex

Alles zusammenfügen:∫ 1+ ex

ex−1dx = 2ln |ex−1|− x+C

c)∫ x4+2x2+8

(x+1)x3 dx

(x4 +2x2+8) : (x4 + x3) = 1+−x3 +2x2 +8

x4 + x3

−(x4+x3)

−x3 +2x2+8

x4 + x3 = x3(x+1) = 0⇒ x1,2,3 = 0 ∧ x4 =−1

−x3 +2x2 +8x4 + x3 =

Ax+

Bx2 +

Cx3 +

Dx+1

=Ax2(x+1)+Bx(x+1)+C(x+1)+Dx3

x3(x+1)

−x3 +2x2 +8 = Ax3 +Ax2 +Bx2 +Bx+Cx+C+Dx3

−x3 +2x2 +8 = x3(A+D)+ x2(A+B)+ x(B+C)+C


−1 = A+D

2 = A+B

0 = B+C

8 =C

⇒ A = 10, B =−8, C = 8, D =−11

∫ x4 +2x2 +8(x+1)x3 dx

=∫

1dx+10∫ 1

xdx−8

∫ 1x2 dx+8

∫ 1x3 dx−11

∫ 11+ x

dx

= x+10ln |x|+81x−4

1x2 −11ln |x+1|+C

14.11 Untersuchen Sie die Konvergenz bzw. Divergenz der Integrale

∫ 1

0

1xr dx für r ∈ R.

Für r 6= 1 gilt:

lima→0

∫ 1

a

1xr dx = lim

a→0

∫ 1

ax−rdx = lim

a→0

1−r+1

x−r+1∣∣∣1

a

= lima→0

1−r+1

(1−a−r+1)

1. Fall: − r+1 > 0⇔ r < 1∫ 1

0

1xr dx =

1−r+1

Das Integral ist konvergent.

2. Fall: − r+1 < 0⇔ r > 1∫ 1

0

1xr dx = ∞

Das Integral ist divergent.

14.12 Untersuchen Sie auf Konvergenz bzw. Divergenz:

a)∫ 1

01√

1−x2dx

x = sinz⇒ dxdz

= cosz⇔ dx = coszdz

∫ 1

0

1√1− x2

dx = lima→1

∫ a

0

1√1− x2

dx = lima→1

∫ z(a)

z(0)

1√1− sin2 z

coszdz


= lima→1

∫ z(a)

z(0)

1√cos2 z

coszdz = lima→1

∫ z(a)

z(0)

1cosz

coszdz

= lima→1

∫ z(a)

z(0)1dz = lim

a→1z∣∣∣z(a)

z(0)= lim

a→1arcsinx

∣∣∣a

0

= lima→1

(arcsina− arcsin0) =π2


b)∫ ∞

0 e−xdx

lima→∞

∫ a

0e−xdx = lim

a→∞−e−x

∣∣∣a

0= lim

a→∞

(−e−a +1

)= 1


c)∫ − 2

π−∞

1x2 sin 1

x dx

z =1x⇔ x =

1z,

dzdx

=− 1x2 ⇔ dx =

dz− 1

x2

lima→−∞

∫ − 2π

a

1x2 sin

1x

dx = lima→∞

∫ z(− 2π )

z(a)

1( 1

z

)2 sinzdz− 1

( 1z )

2

= lima→−∞

∫ z(− 2π )

z(a)−sinzdz = lim

a→−∞cosz

∣∣∣z(− 2

π )

z(a)

= lima→−∞

cos(

1x

)∣∣∣− 2

π

a

= lima→−∞

(cos(−π

2

)− cos

(1a

))

= lima→−∞

−cos(

1a

)=−1



14.13 Beweisen Sie mithilfe der vollständigen Induktion:

Γ (n+1) = n! ∀ n ∈ N.

Beweis. Es gilt der Ergänzungssatz (siehe Satz 14.8):

Γ (n+1) = nΓ (n).

Induktionsanfang (n = 1):Γ (2) = 1 ·Γ (1) = 1.

Induktionsschritt:

Γ ((n+1)+1) = Γ (n+2) = (n+1)Γ (n+1)︸︷︷︸↓ Induktionsannahme

= (n+1) · n!= (n+1) ·1 ·2 · . . .n= 1 ·2 · . . .n · (n+1) = (n+1)! ut

14.14 Berechnen Sie mithilfe der Gammafunktion das uneigentliche Integral∫ ∞

0

√xe−xdx.

∫ ∞

0

√xe−xdx =

∫ ∞

0x

12 e−xdx =

∫ ∞

0x

32−1e−xdx

= Γ(

32

)=

Satz 14.8

12

Γ(

12

)=

Bsp. 14.15

12√

π

14.15

a) Zeigen Sie mithilfe von Substitution und dem Ergänzungssatz der Gammafunk-tion, dass gilt

1√2π

∫ ∞

−∞e−

x22 dx = 1.

Der Integrand ist Ihnen als Dichte der Standardnormalverteilung aus dem Sto-chastikunterricht der Oberstufe bekannt.

z =12

x2⇒ x =√

2z,dxdz

=1√2z⇔ dx =

1√2z

dz

1√2π

∫ ∞

−∞e−

x22 dx =

2√2π

∫ ∞

0e−z 1√

2zdz


=2√2π

∫ ∞

02−

12 z−

12 e−zdz

=2√

2π√

2

∫ ∞

0z−

12 e−zdz

=2

2√

πΓ(

12

)=

22√

π√

π = 1

Siehe für den ersten Schritt die Bemerkung unter Bsp. 14.15.

b) Zeigen Sie, dass allgemeiner gilt:

1σ√

2π

∫ ∞

−∞e−

(x−µ)2

2σ2 dx = 1.

Die Größen µ bzw. σ spielen in der Stochastik die Rollen des Erwartungswertesbzw. der Standardabweichung einer normalverteilten Zufallsgröße.

z =(x−µ)2

2σ2 ⇒ x =√

2zσ2 +µ =√

2zσ +µ,dxdz

=1√2z

σ ⇔ dx =σ√2z

dz

1σ√

2π

∫ ∞

−∞e−

(x−µ)2

2σ2 dx =2

σ√

2π

∫ ∞

0e−z σ√

2zdz

=2σ

σ2√

π

∫ ∞

0z−

12 e−zdz

=1√π

Γ(

12

)=

Bsp. 14.15

1√π√

π = 1

Siehe für den ersten Schritt die Bemerkung unter Bsp. 14.15.

*GewöhnlicheDifferentialgleichungen

15.1 Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen. Achten Sie bei e) und f)notfalls auf mögliche Lösungsintervalle:

a) y′(x) = 2y(x)+ e−3x

Allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DGL:

y′h = 2yh∫ y′h

yhdx =

∫2dx

ln |yh|= 2x+K

yh =Ce2x

Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL:

yp = Ae−3x

y′p =−3Ae−3x

−3Ae−3x = 2Ae−3x + e−3x

⇒ A =−15

yp =−15

e−3x

Allgemeine Lösung der inhomogen DGL:

y = yh + yp =Ce2x− 15

e−3x


346 Gewöhnliche Differentialgleichungen

b) y′(x) =−y(x)+ x2


y′h =−yh∫ y′h

yhdx =−

∫1dx

ln |yh|=−x+K

yh =Ce−x


yp = Ax2 +Bx+C

y′p = 2Ax+B

2Ax+B =−Ax2−Bx−C+ x2

0 = x2(A−1)+ x(2A+B)+B+C

A−1 = 02A+B = 0B+C = 0⇒ A = 1, B =−2, C = 2

yp = x2−2x+2


y = yh + yp =Ce−x + x2−2x+2

c) y′(x) = 2y(x)+ cos(2x)− sin(2x)Allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DGL:

y′h = 2yh∫ y′h

yhdx =

∫2dx

ln |yh|= 2x+K

yh =Ce2x


yp = Acos(2x)+Bsin(2x)

y′p =−2Asin(2x)+2Bcos(2x)

−2Asin(2x)+2Bcos(2x) = 2Acos(2x)+2Bsin(2x)+ cos(2x)− sin(2x)

0 = sin(2x)(−2A−2B+1)+ cos(2x)(2B−2A−1)

Gewöhnliche Differentialgleichungen 347

−2A−2B+1 = 02B−2A−1 = 0

⇒ A = 0, B =12

yp =12

sin(2x)


y = yh + yp =Ce2x +12

sin(2x)

d) 2y′(x)+5y(x) = 3ex


y′h =−52

yh

∫ y′hyh

dx =−∫ 5

2dx

ln |yh|=−52

x+K

yh =Ce−52 x


yp = Aex

y′p = Aex

2Aex +5Aex = 3ex

⇒ A =37

yp =37

ex


y = yh + yp =Ce−52 x +

37

ex

e) y′(x) = cosx · y(x)Allgemeine Lösung:

∫ y′

ydx =

∫cosxdx

ln |y|= sinx+K


y =Cesinx

f) y′(x)+ 1x2 y(x) = 0

Allgemeine Lösung:

∫ y′

ydx =−

∫ 1x2 dx

ln |y|= 1x+K

yh =Ce1x

15.2 Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme:

a) y′(x) = sinx · y(x), y(0) = 1Allgemeine Lösung:

∫ y′

ydx =

∫sinxdx

ln |y|=−cosx+K

y =Ce−cosx

Spezielle Lösung:

y(0) =Ce−1 = 1⇔C = e

y = e · e−cosx = e1−cosx

b) y′(x) = 2xy(x), y(0) = 1Allgemeine Lösung:

∫ y′

ydx =

∫2xdx

ln |y|= x2 +K

y =Cex2

Spezielle Lösung:

y(0) =Ce0 = 1⇔C = 1

y = ex2

c) 2u′(t)−u(t)+2t = 0, u(1) =−2Allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DGL:


u′h =12

uh

∫ u′huh

dt =∫ 1

2dt

ln |uh|=12

t +K

yh =Ce12 t


up = At +B

u′p = A

0 = 2A−At−B+2t

0 = t(−A+2)+2A−B

−A+2 = 02A−B = 0⇒ A = 2, B = 4

up = 2t +4


u = uh +up =Ce12 t +2t +4

Spezielle Lösung:

u(1) =Ce12 +2+4 =Ce

12 +6 =−2⇔C =−8e−

12

y =−8e−12 e

12 t +2t +4 =−8e

12 (t−1)+2t +4

15.3 Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen bzw. Anfangswertproblememit separierten Variablen:

a) y′ = 2xyAllgemeine Lösung:

dydx

= 2xy∫ 1

ydy =

∫2xdx

ln |y|= x2 +K

y =Cex2


b) y′ = ey sinx, y(0) = 0Allgemeine Lösung:

dydx

= ey sinx∫

e−ydy =∫

sinxdx

−e−y =−cosx+C

y =− ln(cosx−C)

Spezielle Lösung:

y(0) =− ln(1−C) = 0⇒C = 0y =− ln(cosx)

c) t2u = (1+ t)u, u(0) = 1Allgemeine Lösung:

dudt

=t2u

1+ t∫ 1

udu =

∫ t2

1+ tdt

ln |u|= 12

t2− t + ln |t +1|+K

u =Ce12 t2−t+ln |t+1|

Berechnung des Integrals∫ t2

1+t dt:

∫ t2

1+ tdt =

∫ t2−1+11+ t

dt =∫ t2−1

1+ tdt +

∫ 11+ t

dt

=∫

(t +1)(t−1)1+ t

dt +∫ 1

1+ tdt

=∫(t−1)dt +

∫ 11+ t

dt

=12

t2− t + ln |t +1|+K


Alternativer Lösungsweg:

t2 : (t +1) = t−1+1

t +1−(t2 +t)

−t

−(−t −1)

1

∫ t2

1+ tdt =

∫(t−1)dt +

∫ 1t +1

dt

=12

t2− t + ln |t +1|+K

Spezielle Lösung:

u(0) =Ce0 = 1⇔C = 1

u = e12 t2−t+ln |t+1|

15.4 Lösen Sie die folgenden eulerhomogenen DGLs:

a) xyy′ =−x2− y2

Allgemeine Lösung:

z =yx⇒ y = zx⇒ y′ = z′x+ z

y′ =−x2

xy− y2

xy=−x

y− y

x

z′x+ z =−1z− z

dzdx

x =−1z−2z

1− 1

z −2zdz =

1x

dx

−∫ z

1+2z2 dz =∫ 1

xdx

−14

ln(1+2z2) = ln |Cx|

ln(

14√1+2z2

)= ln |Cx|


14√1+2z2

=Cx

11+2z2 = (Cx)4

1+2z2 =1

(Cx)4

z =±√

12(Cx)4 −

12

yx=±

√1

2(Cx)4 −12

y =±x

√1

2(Cx)4 −12

Berechnung des Integrals∫ z

1+2z2 dz:

∫ z1+2z2 dz =

∫√

u−12

udu

4√

u−12

=14

∫ 1u

du

=14

ln |u|+C

=14

ln |1+2z2|+C

u = 1+2z2⇒ z =

√u−1

2dudz

= 4z⇔ dz =du4z

b) y′ = 2 yx

Allgemeine Lösung:

z =yx⇒ y = zx⇒ y′ = z′x+ z

y′ = 2yx

z′x+ z = 2zdzdx

x = z∫ dz

z=∫ dx

xln |z|= ln |Cx|

z =Cx


yx=Cx

y =Cx2

c) (5x2 +3xy+2y2)dx+(x2 +2xy)dy = 0Allgemeine Lösung:

(5x2 +3xy+2y2)dx+(x2 +2xy)dy = 0∣∣∣ : x2

(5+3

yx+2(y

x

)2)

dx+(

1+2yx

)dy = 0

(1+2

yx

) dydx

=−5−3yx−2(y

x

)2

z =yx⇒ y = zx⇒ y′ = z′x+ z

(1+2z)(z′x+ z) =−5−3z−2z2

z′x+ z+2zz′x+2z2 =−5−3z−2z2

z′(x+2zx) =−5−4z−4z2

z′ =−4z2−4z−5

x(1+2z)∫ 1+2z−4z2−4z−5

dz =∫ 1

xdx

−14

ln |−4z2−4z−5|= ln |Cx|1

4√−4z2−4z−5=Cx

−4z2−4z−5 =

(1

Cx

)4

z2 + z+54=−1

4

(1

Cx

)4

z2 + z+54+

14

(1

Cx

)4

= 0

z =−12±√

14− 5

4− 1

4

(1

Cx

)4

yx=−1

2±√−1− 1

4

(1

Cx

)4


y =−12

x± x

√−1− 1

4

(1

Cx

)4

Berechnung des Integrals∫ 1+2z−4z2−4z−5 dz:

∫ 1+2z−4z2−4z−5

dz =−14

∫ 1u

du

=−14

ln |u|+C

=−14

ln |−4z2−4z−5|+C

u =−4z2−4z−5dudz

=−8z−4

=−4(2z+1)

⇔ dz =du

−4(2z+1)

15.5 Lösen Sie die folgenden linearen DGLs 2.Ordnung:

a) u+13u+40u = 0Allgemeine Lösung:

λ 2 +13λ +40 = 0

λ1,2 =−132±√(

132

)2

−40 =−132± 3

2

λ1 =−8 ∧ λ2 =−5

u =C1e−8t +C2e−5t

b) u+4u+4u = 0Allgemeine Lösung:

λ 2 +4λ +4 = 0

λ1,2 =−2±√

22−4 =−2

u =C1e−2t +C2te−2t

c) u+3u−10u = 20Allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DGL:

λ 2 +3λ −10 = 0

λ1,2 =−32±√(

32

)2

+10 =−32± 7

2

λ1 = 2 ∧ λ2 =−5

u =C1e2t +C2e−5t



up = A, up = 0, up = 00+3 ·0−10A = 20 ⇒ A =−2up =−2


u = uh +up =C1e2t +C2e−5t −2

d) u−2u+u = et


λ 2−2λ +1 = 0

λ1,2 = 1±√

1−1 = 1u =C1et +C2tet


up = At2et

up = 2Atet +At2et = (2At +At2)et

up = (2A+2At)et +(2At +At2)et = (At2 +4At +2A)et

et = (At2 +4At +2A)et −2(2At +At2)et +At2et∣∣∣ : et

1 = t2(A−2A+A)+ t(4A−4A)+2A

⇒ A =12

up =12

t2et


u = uh +up =C1et +C2tet +12

t2et

Hinweis zu d): Eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL hat die Form p(t)et ,wobei p(t) = At2. Probieren Sie ein wenig aus!

15.6 Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme:

a) u+u = 0, u(0) = 0, u(0) = 1Allgemeine Lösung:

λ 2 +1 = 0


λ1,2 =±i

u =C1 cos t +C2 sin t

Spezielle Lösung:

u(0) =C1 = 0u =−C1 sin t +C2 cos t

u(0) =C2 = 1u = sin t

b) u−2u+u = 2, u(0) = 1, u(0) = 1Allgemeine Lösung:

λ 2−2λ +1 = 0

λ1,2 = 1±√

1−1 = 1u =C1et +C2tet


up = A, up = 0, up = 00−2 ·0+A = 2 ⇒ A = 2up = 2


u = uh +up =C1et +C2tet +2

Spezielle Lösung:

u(0) =C1 +2 = 1⇔C1 =−1u =C1et +C2et +C2tet

u(0) =C1 +C2 = 1⇔C2 = 2u =−et +2tet +2

15.7 Übertragen Sie das Gelernte auf die folgende DGL 3. Ordnung und lösen Siesie mit den bekannten Methoden:

...u +3u+3u+u = 0

λ 3 +3λ 2 +3λ +1 = 0 ⇒ λ1 =−1


(λ 3 +3λ 2 +3λ +1) : (λ +1) = λ 2 +2λ +1

−(λ 3 +λ 2)

2λ 2 +3λ +1

−(2λ 2 +2λ )

λ +1−(λ +1)

0

λ 2 +2λ +1 = (λ +1)2 ⇒ λ2,3 =−1

Allgemeine Lösung:u =C1e−t +C2te−t +C3t2e−t

15.8 Lösen Sie die Schwingungsdifferentialgleichung x(t)+ Dm x(t) = 0 unter den

Anfangsbedingungen x(0) = xmax > 0, x(0) = 0, lassen Sie also die Zeitmessungim oberen Umkehrpunkt beginnen.Allgemeine Lösung:

λ 2 +DM

= 0

λ1,2 =±√

DM

i

u =C1 cos

(√DM

t

)+C2 sin

(√DM

t

)

Spezielle Lösung:

x(0) =C1 = xmax

x =−C1

√DM

sin

(√DM

t

)+C2

√DM

cos

(√DM

t

)

x(0) =C2

√DM

= 0⇔C2 = 0

x = xmax cos

(√DM

t

)

*Taylorreihen undPolynomapproximationen

16.1 Für −1 < x ≤ 1 sei f (x) = ln(x+ 1). Entwickeln Sie die Funktion f in eineTaylorreihe um den Entwicklungspunkt a = 0 bis zum 4. Glied und stellen Sie eineVermutung darüber auf, wie die gesamte Reihe aussehen könnte.

f (x) = ln(x+1) f (0) = 0

f ′(x) =1

x+1f ′(0) = 1

f ′′(x) =− 1(x+1)2 f ′′(0) =−1

f ′′′(x) =2

(x+1)3 f ′′′(0) = 2

f (4) =− 6(x+1)4 f (4)(0) =−6

f (x) = 0+11

x− 12

x2 +26

x3− 624

x4± . . .

= x− 12

x2 +13

x3− 14

x4± . . .

=∞

∑n=1

(−1)n−1 xn

n


360 Taylorreihen und Polynomapproximationen

16.2 Für |x| < 1 sei f (x) = arctanx. Führen Sie die Anweisungen von Aufg. 16.1mit dieser Funktion durch.

Beweisen Sie dann mithilfe Ihrer (als richtig angenommenen) Lösung die Behaup-tung:

π4=

∞

∑n=0

(−1)n 12n+1

.

Diese Reihe heißt Leibnizreihe.

Für die Ableitung f (x) = arctanx von siehe Aufg. 10.5 b).

f (x) = arctanx f (0) = 0

f ′(x) =1

x2 +1f ′(0) = 1

f ′′(x) =− 2x(x2 +1)2 f ′′(0) = 0

f ′′′(x) =6x2−2(x2 +1)3 f ′′′(0) =−2

f (4) =−24x3 +24x(x2 +1)4 f (4) = 0

f (x) = x− 26

x3±·· ·= x− 13

x3±·· ·=∞

∑n=0

(−1)n x2n+1

2n+1

π4= arctan(1) =

∞

∑n=0

(−1)n 12n+1

2n+1=

∞

∑n=0

(−1)n 12n+1

= 1− 13+

15± . . .

16.3 Erinnern Sie sich an die Formel für die geometrische Reihe:

11− x

=∞

∑n=0

xn für |x|< 1.

Betrachten Sie diese im Rahmen dessen, was Sie über Taylorreihen gelernt haben.

f (x) =1

1− xf (0) = 1

f ′(x) =1

(1− x)2 f ′(0) = 1

f ′′(x) =2

(1− x)3 f ′′(0) = 2

Taylorreihen und Polynomapproximationen 361

f ′′′(x) =2 ·3

(1− x)4 f ′′′(0) = 2 ·3 = 6

f (4) =2 ·3 ·4(1− x)5 f (4)(0) = 2 ·3 ·4 = 24

f (x) = 1+ x+22!

x2 +2 ·33!

x3 +2 ·3 ·4

4!x4 + . . .

= 1+ x+2!2!

x2 +3!3!

x3 +4!4!

x4 + . . .

=∞

∑n=0

xn

Ergänzende undweiterführende Literatur

- Arens T. et al.: Grundwissen Mathematikstudium – Analysis und Lineare Alge-bra mit Querverbindungen. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg (2013)

- Forster O.: Analysis 1 – Differential- und Integralrechnung einer Veränderli-chen. Springer Spektrum, Wiesbaden (2016)

- Grieser D.: Mathematisches Problemlösen und Beweisen – Eine Entdeckungs-reise in die Mathematik. Springer Spektrum, Wiesbaden (2017)

- Herrmann N.: Mathematik für Naturwissenschaftler – Was Sie im Bachelorwirklich brauchen und in der Schule nicht lernen. Springer Spektrum, Berlin,Heidelberg (2012)

- Hilgert I., Hilgert J.: Mathematik – ein Reiseführer. Springer Spektrum, Berlin,Heidelberg (2012)

- Kemnitz A.: Mathematik zum Studienbeginn – Grundlagenwissen für alle tech-nischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftli-chen Studiengänge. Springer Spektrum, Wiesbaden (2014)

- Papula L.: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 – EinLehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Springer Vieweg, Wiesbaden(2014)

- Turtur C. W.: Prüfungstrainer Mathematik – Klausur- und Übungsaufgaben mitvollständigen Musterlösungen. Springer Spektrum, Wiesbaden (2014)


Sachwortverzeichnis

Äquivalenz, 39Äquivalenzumformung, 82

Abbildung, 56abelsch, 51Abgeschlossenheit, 51Ableitung, 141

zweite, 147Ableitungs-

funktion, 147regeln, 147

Additionstheoreme, 113algebraische Strukturen, 35Allquantor, 23Alternative, 36Anfangsbedingung, 220Approximation, 140Areafunktionen, 201Argument, 93Arkus-

funktion, 63kosinus, 63sinus, 63tangens, 63

Assoziativgesetz, 4Asymptote, 168asymptotische Kurve, 168asymptotisches Verhalten, 167Aussage, 36Aussageform, 23, 36Axiom, 21

Basis, 11Bernoulli’sche Ungleichung, 32, 253Beschränktheit, 133Beschränkung, 102

nach oben, 102nach unten, 102

Betragsfunktion, 73

Beweis, 21direkt, 28indirekt, 30

bijektiv, 62Bildungsgesetz, 98Bildweite, 78Binomialkoeffizient, 15Binomische Formeln, 9Binomischer Lehrsatz, 28Bogenmaß, 59Brennweite, 77Bruch, 6

echter, 6unechter, 6

Bruchgleichung, 79

Cauchy’scher Hauptwert, 210charakteristische Gleichung, 230charakteristisches Polynom, 230Corollar, 105

de Morgan’schen Regeln, 47deduktiv, 21, 27Definitionsbereich, 56Definitionslücke

stetig behebbare, 122, 168Definitionsmenge, 36Dezimalbruch, 8

gemischt-periodischer, 9rein-periodischer, 9

Differentialgleichungeulerhomogene, 229gewöhnliche, 217homogene, 220inhomogene, 220partielle, 217

Differentialquotient, 147Differenz-

menge, 43


366 Sachwortverzeichnis

regel, 148term, 5

Differenzierbarkeit, 141disjunkt, 45Disjunktion, 36Diskriminante, 68Distributivgesetz, 4Divergenz, 111

bestimmte, 99, 111unbestimmte, 99, 111

Dreiecksungleichung, 77

Einheits-kreis, 58wurzel, 114

Entwicklungspunkt, 239Erfüllungsmenge, 36Ergänzungssatz der Gammafunktion, 212Erwartungswert, 216, 343Euler’sche

Gleichung, 113Zahl, 103

Euler-Venn-Diagramm, 46Existenzquantor, 30Exponent, 11Exponential-

form, 114gleichung, 70, 83reihe, 111

Extrem-punkt, 156stelle, 156

Extremum, 156

Faktor, 4Faktorisieren, 5Faktorregel, 147Fallunterscheidung, 75Faraday’sches Induktionsgesetz, 221Fibonacci-Zahlen, 98Folge, 97

alternierende, 98Folgenglied, 97Folgerung, 37Formel von de Moivre, 113Fundamentalsatz

der Algebra, 115der Differential- und Integralrechnung, 182

Funktion, 55abschnittsweise definierte, 73ganzrationale, 119gebrochen-rationale, 167rationale, 167trigonometrische, 57

zyklometrische, 63Funktionenschar, 160

Gammafunktion, 210Gauß’sche Zahlenebene, 90Gegenstandsweite, 78Gleichung

biquadratische, 69quadratische, 67

Grenzwert, 99, 101linksseitiger, 128rechtsseitiger, 128uneigentlicher, 111

Grenzwertsätze, 104Grundmenge, 36Gruppe, 50

Hauptsatz der Differential- und Integralrech-nung, 182

Heavisidesche Sprungfunktion, 165hebbare Lücke, 122hinreichend, 39hinreichendes Kriterium, 157Hochpunkt, 156Hyperbelfunktionen, 33

imaginäre Einheit, 90Imaginärteil, 91Implikation, 37Induktion, 221Induktions-

anfang, 24annahme, 24schluss, 25schritt, 24

induktiv, 21injektiv, 62Integral

bestimmtes, 183, 187unbestimmtes, 181

Integral-formel, 190funktion, 190rechnung, 181

Integrand, 181, 187Integrandenfunktion, 181Integration

logarithmische, 198unbestimmte, 181

Integrationsgrenzeobere, 187untere, 187

Integrationsvariable, 187integrierbar, 187

Sachwortverzeichnis 367

Intervall, 44abgeschlossenes, 44, 133beschränktes, 133halboffenes, 44offenes, 44uneigentliches, 45

inverses Element, 50

Körper, 51kartesisches Produkt, 56Kehr-

bruch, 7wert, 7

Kettenregel, 148Koeffizient, 70Koeffizientenfunktion, 220kommutativ, 51Kommutativgesetz, 3Komplementmenge, 43komplexe Zahlen, 52, 89Komposition, 64konjugiert komplex, 92Konjunktion, 36Kontrapositionsregel der Logik, 39Konvergenz, 99, 101Kosinus, 57

hyperbolicus, 33Kosinusreihe, 113Kovergenz, 111Kubikwurzel, 12

l’Hospital’schen Regeln, 177Lösung

allgemeine, 219partikuläre, 220spezielle, 220

Lösungsmenge, 36Laufindex, 24Leibnizreihe, 242, 360Lemma, 28Linearfaktor, 68Linsengleichung, 78Logarithmengesetze, 83Logarithmus, 83

natürlicher, 62, 83

Maximum, 156globales, 156lokales, 134, 155

Menge, 41Minimum, 156

globales, 156lokales, 134, 155

Minorante, 111

Mittelwertsatz der Differentialrechnung, 163Monotonie, 63

Negation, 36Nenner, 6neutrales Element, 50Newton’sche Abkühlungsgesetz, 84Normalverteilung, 213notwendig, 39notwendiges Kriterium, 156Nullfolge, 99Nullstellensatz, 131

Obersumme, 185Oder-Verknüpfung, 36

p-q-Formel, 67Parabel

punktiert, 172Partialbruch, 202Partialbruchzerlegung, 202Partialsumme, 109partielle Integration, 194Pascal’sches Dreieck, 15Pol

mit Vorzeichenwechsel, 168ohne Vorzeichenwechsel, 169

Polarform, 93Polasymptote, 170Polynom, 70

lineares, 71quadratisches, 71

Polynom-division, 72funktion, 119

Potenz, 11Potenz-

gesetze, 11menge, 43regel, 148

Prämisse, 37Produkt-

integration, 194regel, 148term, 5

Prozentsatz, 8

q. e. d, 28quadratische Ergänzung, 68Quadratwurzel, 12Quotienten-

regel, 148term, 5

368 Sachwortverzeichnis

Radiant, 61Radikand, 12Rand-

extremum, 134funktion, 182

Realteil, 91Reihe, 109

geometrische, 109harmonische, 111unendliche, 109

Rekursion, 98Relation, 56Reziprokwert, 7Riemann’sche Summe, 187Riemann-

Integral, 187Integration, 187

Sattelpunkt, 157Satz von

Bolzano, 131Rolle, 162

Schnittmenge, 42Schranke

obere, 102untere, 102

Schwingungsdifferentialgleichung, 232Sekante, 140Selbstinduktionsspannung, 221Separation der Variablen, 226Singularität, 167

hebbare, 168Sinus, 57

hyperbolicus, 33Sinusreihe, 113Störfunktion, 220Stammfunktion, 181Standardabweichung, 216, 343Standardnormalverteilung, 216, 342stetig differenzierbar, 194stetige Ergänzung, 129Stetigkeit, 128

schlechthin, 128Struktur, 49Subjunktion, 37Substitution, 69, 194, 196, 228Substitutionsregel

reverse, 197Summand, 4Summen-

regel, 148term, 5zeichen, 23

surjektiv, 62

Tangens, 57Tangente, 140Taylor-Formel, 239Taylorreihe, 239Teil-

bruch, 202menge, 42

Term, 5Tiefpunkt, 156Trennung der Veränderlichen, 226triviale Lösung, 219

Umkehrfunktion, 62Und-Verknüpfung, 36Untersumme, 184

Variable, 5Verbindungsgesetz, 4Vereinigungsmenge, 42Verkettung, 64Verneinung, 36Vertauschungsgesetz, 3Verteilungsgesetz, 4Verzinsung

kontinuierliche, 103stetige, 103

vollständige Induktion, 22Vorzeichenregeln, 6Vorzeichenwechselkriterium, 158

Wahrheits-tabellen, 36tafeln, 36

Werte-bereich, 57menge, 57

Wurzel-exponent, 12gesetze, 12, 14gleichung, 81rechnung, 12

Wurzelsatz von Vieta, 69

Zähler, 6Zahlenfolge, 97Zerfalls-

gesetz, 220konstante, 218

Zuordnung, 56eindeutige, 55

Zwischenwertsatz, 132

A13958

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