Lp Gy Mathematik 20-1-2014

Thringer Ministeriumfr

Bildung, Wissenschaft und Kultur

Lehrplan fr den Erwerb

der allgemeinen Hochschulreife

Mathematik

2013

Inkraftsetzung zum Schuljahr 2014/15 fr Schler der Klassenstufen 5 bis 10

mit Realschulabschluss in der Einfhrungsphase der Thringer Oberstufe

Inhaltsverzeichnis

1 Zur Kompetenzentwicklung im Mathematikunterricht fr den Erwerb der allgemeinen Hochschulreife...............................................................................................................5

1.1 Lernkompetenzen..........................................................................................................6

1.2 Mathematische Kompetenzen........................................................................................7

1.3 Bilinguale Module.........................................................................................................10

2 Ziele des Kompetenzerwerbs in den Klassenstufen 5 10..........................................12

2.1 Klassenstufen 5/6.........................................................................................................12

2.1.1 Arithmetik/Algebra mit Zahlen, Variablen und Symbolen umgehen...........................12

2.1.2 Funktionen Beziehungen/Vernderungen erkunden, beschreiben und darstellen.....15

2.1.3 Geometrie ebene und rumliche Strukturen nach Ma und Form erfassen..............16

2.1.4 Stochastik mit Daten und Zufall arbeiten...................................................................19

2.2 Klassenstufen 7/8.........................................................................................................20





2.3 Klassenstufen 9/10.......................................................................................................27





3 Ziele des Kompetenzerwerbs in der Einfhrungsphase der Thringer Oberstufe fr Schler mit Realschulabschluss...................................................................................32

3.1 Arithmetik/Algebra mit Zahlen, Variablen und Symbolen umgehen...........................33

3.2 Funktionen Beziehungen/Vernderungen erkunden, beschreiben und darstellen.....35

3.3 Geometrie ebene und rumliche Strukturen nach Ma und Form erfassen..............37

3.4 Stochastik mit Daten und Zufall arbeiten...................................................................38

4 Ziele des Kompetenzerwerbs in der Qualifikationsphase der Thringer Oberstufe......39

4.1 Analysis ....................................................................................................................39

3

4.2 Vektorrechnung/Analytische Geometrie.......................................................................41

4.3 Stochastik....................................................................................................................43

5 Leistungseinschtzung.................................................................................................44

5.1 Grundstze..................................................................................................................44

5.2 Kriterien .....................................................................................................................45

5.3 Grundstze der Leistungseinschtzung in bilingualen Modulen...................................46

4

1 Zur Kompetenzentwicklung im Mathematikunterricht fr den Erwerb der allgemeinen Hochschulreife

Im Mathematikunterricht fr den Erwerb der allgemeinen Hochschulreife werden die in der Grundschule erworbenen Kompetenzen der Schler1 aufgegriffen, vertieft, erweitert und bis zum Abitur systematisch weiterentwickelt. Dabei wird Bildung als offener und lebenslanger Pro-zess verstanden. Der Schler lernt, diesen Prozess eigenstndig und eigenverantwortlich mitzu-gestalten. Die Auseinandersetzung mit den Denk- und Arbeitsweisen der Mathematik und ihren vielfltigen Anwendungsmglichkeiten erffnet wichtige Voraussetzungen fr eine erfolgreiche Teilhabe am gesellschaftlichen Leben und fr lebenslanges Lernen. Der Schler wird befhigt, sich mit Entwicklungen der Gesellschaft kritisch auseinanderzusetzen und gesellschaftliche Ver-antwortung zu bernehmen. Ziel ist es dabei, vertiefte mathematische Allgemeinbildung, allge-meine Studierfhigkeit und wissenschaftspropdeutische Bildung zu vermitteln.

Der Mathematikunterricht ist dadurch allgemein bildend, dass er fr den Schler drei Grunder-fahrungen ermglicht:

(1) Erscheinungen und Vorgnge aus Natur, Gesellschaft und Kultur mit Hilfe der Mathematikwahrnehmen, verstehen und unter Nutzung mathematischer Zusammenhnge beurteilen(Mathematik als Anwendung),

(2) Mathematik mit ihrer Sprache, ihren Schreibweisen und ihren Darstellungen in der Bedeu-tung fr die Bearbeitung von Aufgaben und Problemen inner- und auerhalb der Mathematik kennen und begreifen (Mathematik als Struktur),

(3) allgemeine Problemlsefhigkeiten (heuristische Fhigkeiten) in der Bearbeitung und Aus-einandersetzung mit Aufgaben erwerben (Mathematik als kreatives Handlungsfeld).2

Neben dem Erwerb fachspezifischer Kompetenzen zielt der Mathematikunterricht auf Persn-lichkeitsentwicklung und Werteorientierung, d. h. auf die Ausprgung allgemeiner Kompetenzen, die weit ber das Fach Mathematik hinausreichen (vgl. 1.1). Der Mathematikunterricht leistet demzufolge einen wesentlichen Beitrag fr erfolgreiches Lernen auch in anderen Fchern, zur Vorbereitung auf ein Studium sowie auf eine sptere berufliche Ttigkeit und trgt zur Bewlti-gung von Alltagssituationen bei.

In einem kompetenzorientierten Mathematikunterricht stehen positive Einstellungen zur Mathe-matik, Freude am Entdecken mathematischer Zusammenhnge, am Bearbeiten von mathemati-schen Problemstellungen, am bewussten Erleben des Lernzuwachses und am Gewinnen von Erkenntnissen gleichermaen im Mittelpunkt. Ein an Kompetenzen ausgerichteter Unterricht schrft den Blick auf Lernprozesse und auf Lernergebnisse. Fr erfolgreiche Lernprozesse sind Aufgabenstellungen und Unterrichtsformen notwendig, die eine aktive Auseinandersetzung mit neuen Inhalten sowie eine Vernetzung mit dem Vorwissen durch Ausschpfung des Lernpoten-tials der Schler ermglichen (kumulativer Kompetenzerwerb).

Medien untersttzen die individuelle und aktive Wissensaneignung, frdern selbstgesteuertes, kooperatives und kreatives Lernen sowie die Fhigkeit, Aufgaben und Problemstellungen selbststndig und lsungsorientiert zu bearbeiten. Da der Mathematikunterricht zum Erwerb der Medienkompetenz wesentlich beitrgt, enthlt der vorliegende Lehrplan Zielstellungen aus dem

1 Personenbezeichnungen stehen im Lehrplan fr beide Geschlechter.2 Vgl. Winter, Heinrich: Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. In: Mitteilungen der Gesellschaft fr Didaktik

der Mathematik. Heft 61, 1995.

5

Kursplan Medienkunde fr die Klassenstufen 5/6, 7/8, 9/103, die insbesondere im Mathematik-unterricht umsetzbar sind.

Der sinnvolle Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (Taschenrechner, Computeralgebra-systeme (CAS), Tabellenkalkulationssoftware, dynamischer Geometriesoftware, Funktions-plotter) untersttzt die Entwicklung der mathematischen Kompetenzen. Dies betrifft u. a.: das Erweitern der Mglichkeiten des Argumentierens mit selbst gewhlten Beispielen und

des selbststndigen Auffindens von Begrndungen, das experimentelle und heuristische Arbeiten bei inner- und auermathematischen Problem-

stellungen, die Verstndnisfrderung fr mathematische Zusammenhnge durch vielfltige Dar-

stellungsmglichkeiten, die Entlastung des kalklmigen Arbeitens sowie die Verarbeitung grerer Datenmengen, vielfltige Kontrollmglichkeiten.4

Die digitalen Mathematikwerkzeuge sind in technischen Systemen, die sich bestndig weiterent-wickeln, auf verschiedene Weise kombiniert und integriert.

1.1 Lernkompetenzen

Alle Unterrichtsfcher zielen gleichermaen auf die Entwicklung von Lernkompetenzen, da ih-nen eine zentrale Bedeutung fr den Umgang mit komplexen Anforderungen in Schule, Beruf und Gesellschaft zugesprochen wird. Im Mittelpunkt der Lernkompetenzentwicklung stehen Me-thoden-, Selbst- und Sozialkompetenz, die in jedem Unterrichtsfach fachspezifisch ausgeprgt werden. Sie sind daher nicht von der Sachkompetenz zu lsen. Lernkompetenzen weisen inihrer grundstzlichen Funktion ber das einzelne Fach hinaus und haben berfachlichen Cha-rakter.5

Die nachfolgenden Lernkompetenzen werden in allen Lernbereichen des Mathematikunterrichts entwickelt:

Selbstkompetenz Der Schler kann selbstregulierend lernen.

Dies bedeutet insbesondere: sich selbst Arbeits- und Verhaltensziele zu setzen, zielstrebig, zuverlssig, planmig, berlegt und ausdauernd zu

lernen, Eigenverantwortung fr sein Vorgehen zu bernehmen, eigene Lsungen auch unter Nutzung geeigneter Hilfsmittel auf ihre

Richtigkeit zu berprfen, sorgfltig und genau zu arbeiten, Hinweise aufzugreifen und umzusetzen, den eigenen Lernfortschritt einzuschtzen,mit Erfolgen und Misserfolgen angemessen umzugehen.

3 Thringer Ministerium fr Bildung, Wissenschaft und Kultur: Medienkunde, Dezember 2009, Weimar.4 Vgl. www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2012/2012_10_18-Bildungsstandards-Mathe-

Abi.pdf, S. 12 f.5 Vgl. Leitgedanken zu den Thringer Lehrplnen fr den Erwerb der allgemein bildenden Schulabschlsse, 2011.

Kapitel 2.

6

Sozialkompetenz Der Schler kann mit anderen lernen.

Dies bedeutet insbesondere: in kooperativen Lernformen zu arbeiten, Verantwortung fr den gemeinsamen Arbeitsprozess zu ber-

nehmen, andere Schler zu motivieren, diszipliniert zu arbeiten und sich an vereinbarte Regeln zu halten, eigene Standpunkte zu entwickeln und sachlich zu vertreten,mit Konflikten angemessen umzugehen, Hilfe zu geben und Hilfe anzunehmen, Ergebnisse und Wege gemeinsamen Arbeitens und die Leistung des

Einzelnen in der Gruppe einzuschtzen.

Methodenkompetenz Der Schler kann effizient lernen.

Dies bedeutet insbesondere: Aufgabenstellungen sachgerecht zu analysieren und Lsungs-

strategien zu entwickeln, selbststndig und situationsbezogen Lernstrategien und Techniken

auszuwhlen und anzuwenden, Arbeitsschritte zielgerichtet zu planen und umzusetzen, unter Nutzung von Print- und elektronischen Medien Informationen

zu beschaffen, gezielt auszuwhlen, zu speichern, zu veranschauli-chen, auszuwerten und auszutauschen,

Informationen aus Bildern, Texten und graphischen Darstellungen zu entnehmen und zu bearbeiten,

Arbeitsergebnisse unter angemessener Nutzung zeitgemer Technik zu prsentieren.

Durch die aktive Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten werden mathematische Kompetenzen entwickelt, die auch in anderen Fchern bentigt werden.Lernkompetenzen und mathematische Kompetenzen bedingen einander, durchdringen und er-gnzen sich wechselseitig. Sie werden in der ttigen Auseinandersetzung mit fachbezogenen und fcherbergreifenden Kontexten erworben. Im Lernprozess sind sie eng miteinander ver-knpft.

1.2 Mathematische Kompetenzen

Mathematische Bildung zeigt sich an einer Reihe von Kompetenzen (allgemeine mathematische Kompetenzen), die sich auf Prozesse mathematischen Denkens und Arbeitens beziehen. Die allgemeinen mathematischen Kompetenzen erwirbt der Schler durch die aktive Auseinander-setzung mit konkreten Inhalten und im Rahmen konkreter Fragestellungen. Dabei beschreiben die drei Anforderungsbereiche (I, II, III) (vgl. 5.1) unterschiedliche kognitive Ansprche von kom-petenzbezogenen mathematischen Aktivitten.6 Der Schler bearbeitet u. a. Probleme, Aufga-ben und Projekte mit mathematischen Mitteln, liest und schreibt mathematische Texte und kom-muniziert ber mathematische Inhalte. Dies geschieht unter Nutzung geeigneter Medien.

6 Ebenda S. 10, 15 ff.

7

Die mathematischen Inhalte der fnf Leitideen (Zahl bzw. Algorithmus und Zahl (L1), Messen (L2), Raum und Form (L3), Funktionaler Zusammenhang (L4), Daten und Zufall (L5))7 8 werden den vier inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen (vgl. folgende Tabelle) zugeordnet. Der Lehrplan weist die mathematischen Kompetenzen (allgemeine mathematische und inhalts-bezogene Kompetenzen), welche der Schler im Mathematikunterricht fr den Erwerb der allge-meinen Hochschulreife erreichen soll, als Ziele fr den Kompetenzerwerb (vgl. 2) aus.

Mathematische Kompetenzenallgemeine mathematischeKompetenzen

inhaltsbezogene mathematischeKompetenzen

Mathematisch argumentieren (K1)

Probleme mathematisch lsen (K2)

Mathematisch modellieren (K3)

Mathematische Darstellungen verwenden (K4)

Mit symbolischen und technischen Ele-menten der Mathematik umgehen (K5)

Mathematisch kommunizieren (K6)

Arithmetik/Algebra mit Zahlen, Variablen und Symbolen umgehen

Funktionen Beziehungen/Vernderungen erkunden, beschreiben und darstellen

Geometrie ebene und rumliche Strukturen nach Ma und Form erfassen

Stochastik mit Daten und Zufall arbeiten

Im Folgenden werden die allgemeinen mathematischen Kompetenzen9 10 erlutert.

Der Schler kann mathematisch argumentieren.

Dies bedeutet insbesondere Fragen zu stellen, die fr die Mathematik charakteristisch sind

(Wie verndert sich ...?, Gibt es ...?, Ist das immer so ...?), und Vermutungen begrndet zu uern,

mathematische Argumentationen zu entwickeln (wie plausible Argu-mente, Erluterungen, Begrndungen, einfache Beweise),

Darstellungen und Problembearbeitungen auf Verstndlichkeit,Vollstndigkeit und Schlssigkeit zu bewerten,

Lsungswege oder Zusammenhnge zu beschreiben und zu be-grnden.

7 Vgl. Sekretariat der Stndigen Konferenz der Kultusminister der Lnder in der BRD (Hrsg.) (2004 b): Bildungsstandards im Fach Mathematik fr den Mittleren Schulabschluss Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 4.12.2003, Mnchen, Wolters Kluwer, S. 13.

8 Vgl. www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2012/2012_10_18-Bildungsstandards-Mathe-Abi.pdf

9 Vgl. Sekretariat der Stndigen Konferenz der Kultusminister der Lnder in der Bundesrepublik Deutschland (Hrsg.) (2004 b): Bildungsstandards im Fach Mathematik fr den Mittleren Schulabschluss Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 4.12.2003, Mnchen, Wolters Kluwer, S. 7 ff.

10 Vgl. www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2012/2012_10_18-Bildungsstandards-Mathe-Abi.pdf, S. 15 20, S. 27.

8

Mathematisch argumentieren (K1)

Der Schler kann Probleme mathematisch lsen.

Dies bedeutet insbesondere inner- und auermathematische Problemstellungen zu erfassen und

mit eigenen Worten wiederzugeben, vorgegebene und selbst formulierte Probleme zu bearbeiten, geeignete heuristische Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien (z. B.

Skizze anfertigen, systematisch probieren, zerlegen und ergn-zen, Symmetrien verwenden, vorwrts und rckwrts arbeiten, Invarianten finden, Extremalprinzip anwenden, Spezialflle un-tersuchen) zum Problemlsen auszuwhlen und anzuwenden,

Lsungsideen zu finden und Lsungswege zu reflektieren, die Plausibilitt der Ergebnisse zu berprfen.

Der Schler kann mathematisch modellieren.

Dies bedeutet insbesondere realittsnahe Situationen, die modelliert werden sollen, in mathe-

matische Begriffe, Strukturen und Relationen zu bersetzen, in den jeweiligen mathematischen Modellen zu arbeiten, Ergebnisse in den entsprechenden Bereichen oder der ent-

sprechenden Realsituation zu interpretieren und zu berprfen.

Der Schler kann mathematische Darstellungen verwenden.

Dies bedeutet insbesondere verschiedene Darstellungsformen von mathematischen Objekten

und Situationen zu unterscheiden, zu interpretieren und anzuwen-den,

Beziehungen zwischen Darstellungsformen (verbale Beschreibung, Diagramm, Graph, Tabelle, Formel) zu erkennen,

unterschiedliche Darstellungsformen je nach Situation und Zweck auszuwhlen und zwischen ihnen zu wechseln.

Der Schler kann mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen.

Dies bedeutet insbesonderemit mathematischen Objekten (wie Termen, Gleichungen,

Funktionen, Diagrammen, Tabellen, Vektoren und geometrischenFiguren) zu arbeiten,

symbolische und formale Sprache in natrliche Sprache zu ber-setzen und umgekehrt,

Lsungs- und Kontrollverfahren auszufhren,mathematische Werkzeuge (wie Formelsammlung, Taschenrechner,

Tabellenkalkulationssoftware, dynamische Geometriesoftware, Computeralgebrasystem) sinnvoll und verstndig einzusetzen.

9

Mathematisch modellieren (K3)

Mathematische Darstellungen

verwenden (K4)

Mit symbolischen und technischen Elementen

der Mathematik umgehen (K5)

Probleme mathematisch lsen (K2)

Der Schler kann mathematisch kommunizieren.

Dies bedeutet insbesondere berlegungen, Lsungswege bzw. Ergebnisse strukturiert zu

dokumentieren, verstndlich darzustellen und zu prsentieren,auch unter Nutzung geeigneter Medien,

die Fachsprache adressatengerecht zu verwenden,mathematische Informationen in Texten und uerungen zu

identifizieren, uerungen ber mathematische Sachverhalte hinsichtlich ihrer

Angemessenheit, Korrektheit und Qualitt zu berprfen.

Im Lehrplan werden die allgemeinen mathematischen Kompetenzen mehrheitlich der Sach-kompetenz zugeordnet. Die allgemeinen mathematischen Kompetenzen, die jedoch in beson-derer Weise die Entwicklung von Lernkompetenzen untersttzen, sind der Methoden- bzw. Selbst- und Sozialkompetenz zugeordnet.

1.3 Bilinguale Module

Bilinguale Module bezeichnen einen inhaltlich und zeitlich begrenzten Abschnitt des Sachfach-unterrichts, in dem eine Fremdsprache als Arbeitssprache genutzt wird.Gegenstand des Unterrichts bilden Inhalte und Methoden des jeweiligen Sachfaches, mehrerer Sachfcher oder gemeinsame Inhalte des Sachfaches/der Sachfcher und der Fremdsprache. Hierzu zhlt auch die korrekte Verwendung von Termini in der deutschen Sprache und der Fremdsprache.Mit dem Erwerb von Kompetenzen im Sachfach erfolgt die Festigung der allgemeinsprachlichen und der Aufbau der fachsprachlichen Kompetenz, die Synergien sowohl fr den Sachfachunter-richt als auch fr den Fremdsprachenunterricht hervorbringen.In den in der Rahmenstundentafel zusammengefassten Klassenstufen 9/10 werden insgesamt mindestens 50 Unterrichtsstunden bilingualer Sachfachunterricht fr alle Schler verpflichtend ausgewiesen. Diese Stunden kommen in der Regel aus den bilingual unterrichteten Fchern und der ersten Fremdsprache. Ein Unterricht von bilingualen Modulen ist darber hinaus auch in den vorhergehenden Klassenstufen mglich. Die Lehrerkonferenz legt langfristig fest, wann, in welchem Stundenumfang, in welchem Fach bzw. in welchen Fchern und in welcher Fremd-sprache bilinguale Module angeboten werden. Als Sachfcher werden dabei alle nach der Stundentafel am Gymnasium unterrichteten Fcher auer Sprachen verstanden.Es ist zu beachten, dass im Fach Mathematik in den zwei in der Rahmenstundentafel zusam-mengefassten Klassenstufen 9/10 keine bilingualen Module angeboten werden.

Im Rahmen von bilingualen Modulen werden die gleichen Kompetenzen entwickelt, die die Lehrplne des jeweiligen Sachfaches bzw. der jeweiligen Sachfcher vorgeben. Nachfolgend werden die am Ende der Klassenstufe 10 vom Schler bei der Bearbeitung von Sachfachge-genstnden in der Fremdsprache erworbenen Kompetenzen beschrieben. Diese sind schulin-tern fr die jeweils gewhlten Sachfachinhalte zu konkretisieren.

10

Mathematisch kommunizieren (K6)

Klassenstufen 5 10

SachkompetenzDer Schler kann ausgewhlte Gegenstnde eines Sachfaches/mehrerer Sachfcher unter Beachtung der

fachlichen und methodischen Spezifik bearbeiten, durch unterschiedliche Medien prsentierte, didaktisierte, adaptierte und/oder authentische

fremdsprachige Texte rezipieren, den Inhalt dieser Texte global, selektiv oder detailliert erfassen und aufgabengem darstel-

len und verarbeiten, verschiedene Textsorten, z. B. Protokolle, Flussdiagramme, Formeln, im Rezeptions- bzw.

Produktionsprozess nutzen, nicht lineare Texte, z. B. Tabellen, Mindmaps, Beschriftungen von graphischen Darstellun-

gen, sowie gelegentlich lineare Texte, z. B. mndliche und schriftliche Berichte, Beschreibun-gen, Zusammenfassungen, unter Nutzung vielfltiger Hilfsmittel produzieren sowie

Texte sprachmittelnd in der deutschen, punktuell in der Fremdsprache unter Nutzung vielflti-ger Hilfsmittel produzieren.

MethodenkompetenzDer Schler kann Situationen und Aufgabenstellungen nutzen, um Erwartungen zur Textrezeption bzw. -pro-

duktion zu entwickeln, fachliches, sprachliches und soziokulturelles Wissen als Verstehenshilfe nutzen, sachfachspezifische Methoden funktional angemessen verwenden, z. B. Erstellung eines

Schaubildes auf Grundlage eines Textes, Beschriftung einer graphischen Darstellung, Proto-kollieren eines Experimentes,

Informationen verdichten, z. B. in Tabellen, Mindmaps, Gedchtnishilfen selbststndig anfertigen, z. B. Notizen, Stichwortgerste sowie altersgeme Hilfsmittel, Medien, Quellen und Prsentationstechniken nutzen.

Selbst- und SozialkompetenzDer Schler kann in Einzel-, Partner- und Gruppenarbeit Verantwortung fr die Aufgabenlsung bernehmen, auch bei Schwierigkeiten weiter an der Lsung der Aufgabe arbeiten, bei Unklarheiten nachfragen, texterschlieende Hilfsmittel selbststndig nutzen, unvoreingenommen und konstruktiv mit Authentizitt umgehen, d. h. Sachverhalte, Vorgn-

ge, Personen und Handlungen aus der Perspektive anderer betrachten, mit anderen zusammenarbeiten und dabei Untersttzung geben und annehmen, ber eigene Lernstrategien und Sprachhandlungen reflektieren sowie seine Kompetenzentwicklung einschtzen.

Grundstze der Leistungseinschtzung in bilingualen Modulen finden sich unter Punkt 5.3

11

2 Ziele des Kompetenzerwerbs in den Klassenstufen 5 10

Nachfolgend werden die mathematischen Kompetenzen und Lernkompetenzen fr die einzel-nen Lernbereiche am Ende der Klassenstufen 6, 8 und 10 beschrieben. Die Kompetenzerwar-tungen orientieren sich an den Bildungsstandards im Fach Mathematik fr den Mittleren Schul-abschluss und fr die Allgemeine Hochschulreife. Damit beziehen sie sich auf das im Durch-schnitt erwartete Niveau der Leistungen von Schlern. Deshalb ergibt sich fr den Lehrer die Aufgabe der gezielten Differenzierung, um Schler mit Lernschwierigkeiten und solche mit be-sonderen Begabungen gleichermaen zu frdern.

2.1 Klassenstufen 5/6

Den Zielbeschreibungen fr die einzelnen Lernbereiche sind Ausfhrungen zur Lernausgangs-lage vorangestellt. Diese haben orientierende Funktion, da sich Schler am Ende der Klassen-stufe 4 auf unterschiedlichen Kompetenzstufen befinden knnen.Die Lernausgangslage bezieht sich auf die im Mathematikunterricht der Grundschule am Ende der Klassenstufe 4 angestrebten Kompetenzen. Sie basiert auf dem Thringer Lehrplan fr den Mathematikunterricht der Grundschule aus dem Jahr 201011 und bercksichtigt auch die Zielbe-schreibungen der mathematischen Bildung des Thringer Bildungsplans fr Kinder bis 10 Jah-re12 sowie der Bildungsstandards fr das Fach Mathematik fr den Primarbereich13. Dabei wer-den die aus der Sicht der Kompetenzentwicklung im Mathematikunterricht der Klassenstufen 5/6 wesentlichen Lernvoraussetzungen in der Reihenfolge Sach-, Methoden- bzw. Selbst- und Sozialkompetenz aufgefhrt.

2.1.1 Arithmetik/Algebra mit Zahlen, Variablen und Symbolen umgehenLernausgangslage

Der Schler liest, versteht, schreibt, ordnet, vergleicht und rundet Zahlen bis 1 Million. Er stellt Zahlen auf verschiedene Weise (strukturiertes Material, Ziffern, Zahlwort, Stellenwerttafel, Zahl-zerlegung, Zahlenstrahl) dar. Er kann rmische Zahlen lesen und darstellen.Der Schler verfgt ber ein sicheres Verstndnis fr die Grundrechenoperationen. Er erklrt Zusammenhnge (Umkehr- und Tauschaufgabe) und nutzt diese beim Rechnen. Strategien, Gesetzmigkeiten und Rechenvorteile kann er beschreiben und anwenden. Dazu gehren auch Kenntnisse ber arithmetische Begriffe (Vorgnger und Nachfolger; gerade und ungerade Zahl; Glieder der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division; Vielfache und Teiler; das Doppelte und die Hlfte).

Der Schler beherrscht die Grundaufgaben aller Grundrechenoperationen (Einspluseins, Ein-maleins) aus dem Gedchtnis, lst geeignete Aufgaben aller vier Grundrechenoperationen mndlich und halbschriftlich mit individueller Notation. Der Schler fhrt die Verfahren des schriftlichen Rechnens (Addieren bis zu drei Summanden, Subtrahieren bis zu zwei Subtra-henden, Multiplizieren mehrstelliger Zahlen, Dividieren durch einstellige und wichtige zweistelli-ge Divisoren (wie 10, 12, 20, 25, 50) aus. Die berschlagsrechnung nutzt er zur Ergebnis-schtzung und Kontrolle.Der Schler lst Gleichungen und Ungleichungen durch inhaltliches berlegen oder Probieren.Er ist in der Lage, komplexe Sachaufgaben zu erschlieen, diese zu lsen und das Ergebnis am Sachverhalt zu prfen, variierte Sachaufgaben zu vergleichen und Vernderungen zu be-

11 Die Thringer Lehrplne der Grundschule 2010 sind verffentlicht unter www.thillm.de.12 Thringer Kultusministerium (Hrsg.) (2008): Thringer Bildungsplan fr Kinder bis 10 Jahre, Weimar Berlin, verlag

das netz, S. 97 ff.13 Sekretariat der Stndigen Konferenz der Kultusminister der Lnder in der Bundesrepublik Deutschland (Hrsg.)

(2005): Bildungsstandards im Fach Mathematik fr den Primarbereich, Beschluss vom 15.10.2004, Mnchen & Neuwied, Luchterhand.

12

schreiben. Dabei setzt er geeignete Hilfsmittel (Skizze, Tabelle, Diagramm) zur Lsungsfindung ein. Fr Kontrollrechnungen nutzt der Schler den Taschenrechner.

Der Schler verfgt ber reale Grenvorstellungen (Geld: ct - ; Lnge: mm cm m km; Zeit: s min h, Tag Monat Jahr; Masse: g kg t; Volumen: ml l;) und kennt reprsenta-tive Vergleichsmae. Er kann Grenangaben lesen, schreiben, umwandeln, vergleichen, ord-

nen (auch 14

h, 12

m, 34

l), verwendet die Kommaschreibweise und lst Sachaufgaben.

Der Schler entnimmt Informationen aus Tabellen sowie Diagrammen und stellt diese dar. L-sungsverfahren und Lsungsstrategien (wie Hilfsaufgaben, Verdoppeln und Halbieren, Zerle-gen) whlt er selbststndig aus.In kooperativen Lernformen bernimmt er Verantwortung fr den Arbeitsprozess in der Gruppe. Ergebnisse und Lsungswege kann er verstndlich prsentieren.

Klassenstufe 6

SachkompetenzDer Schler kann natrliche Zahlen bis 1 Billion (1012) auf verschiedene Arten im Zehnersystem darstellen (mit

Ziffern, als Zahlwort, auf dem Zahlenstrahl, in der Stellenwerttafel, mit Zehnerpotenzen) und zwischen diesen wechseln,

natrliche Zahlen in einem anderen Zahlensystem lesen und angeben, natrliche, gebrochene und negative Zahlen in unterschiedlichen Situationen lesen, im mndlichen und schriftlichen Sprachgebrauch sicher und sachgem verwenden, Bruchteile zeichnerisch darstellen, aus geometrischen Darstellungen ablesen, gebrochene und negative Zahlen der Situation angemessen darstellen, dies bedeutet insbe-

sondere die Zahlengerade zu nutzen, gemeine Brche zu krzen und zu erweitern, gemeine Brche und Dezimalbrche ineinander umzuwandeln, ausgewhlte Prozentzahlen (bequeme Prozentstze) zu veranschaulichen, Punkte mit ganzzahligen Koordinaten im rechtwinkligen Koordinatensystem abzulesen und

darzustellen (I. IV. Quadrant), natrliche Zahlen, Dezimalzahlen, einfache gemeine Brche und negative Zahlen aus All-

tagssituationen ordnen, vergleichen, natrliche Zahlen und Dezimalbrche auf vorgegebene Stellen runden, ausgewhlte gebrochene Zahlen und Prozentstze einander zuordnen, die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung + an Beispielen begrnden, die Grundrechenoperationen im Bereich der natrlichen und gebrochenen Zahlen im Kopf

und schriftlich ausfhren, Rechengesetze zum vorteilhaften Rechnen anwenden (Kommutativ-, Assoziativ- und

Distributivgesetz, Rechnen mit 0 und 1, a0 a0 und a1), an Beispielen den Zusammenhang zwischen Rechenoperationen und deren Umkehropera-

tionen erlutern,

13

Teiler und Vielfache natrlicher Zahlen bestimmen, Untersuchungen zur Teilbarkeit mit Hilfe von Teilbarkeitsregeln (2, 3, 4, 5, 9, 10, 100, 1000)

durchfhren sowie Strategien zur Untersuchung der Teilbarkeit natrlicher Zahlen auswhlen und anwenden,

ein Verfahren zur Bestimmung von Primzahlen anwenden, Potenzen mit natrlichen Exponenten berechnen, die Quadratzahlen bis 20 aus dem Gedchtnis wiedergeben,Gren der Zeit, der Lnge, der Masse, des Geldes, der Flche, des Volumens schtzen, vergleichen und ordnen, umrechnen,mit Gren rechnen und Einheiten sinnvoll anwenden, groe Anzahlen schtzen, einfache kombinatorische berlegungen ausfhren, um die Anzahl der jeweiligen

Mglichkeiten zu bestimmen, einfache Terme mit Variablen aufstellen und Termwerte berechnen, einfache Gleichungen und Ungleichungen durch inhaltliche berlegungen und

systematisches Probieren lsen, einfache Probleme aus dem Alltag lsen, in denen mehrere Rechenoperationen miteinander zu verknpfen sind, negative Zahlen vorkommen (z. B. Temperaturnderungen).

MethodenkompetenzDer Schler kann zur Lsungsfindung heuristische Mittel (informative Figuren, Tabellen) verwenden, durch systematisches Probieren Lsungen ermitteln, Lsungswege und Ergebnisse anschaulich prsentieren (Tafel, Folie, Lernplakat) und dabei

arithmetische Begriffe sachgerecht anwenden, die Probe und berschlagsrechnungen sinnvoll nutzen, einen Taschenrechner nach Vorgabe nutzen.

Selbst- und SozialkompetenzDer Schler kann selbststndig und situationsbezogen Rechenstrategien auswhlen, anwenden,

in kooperativen Lernformen Aufgaben bearbeiten, Verantwortung fr den gemeinsamen Arbeitsprozess bernehmen, Ergebnisse selbststndig am Sachverhalt berprfen, mit vorgegebenen Lsungen vergleichen, Lsungswege anderer Schler nachvollziehen, Fehler erkennen und berichtigen,mit Erfolg und Misserfolg angemessen umgehen.

14

2.1.2 Funktionen Beziehungen/Vernderungen erkunden, beschreiben und darstellen

Lernausgangslage

Der Bereich Funktionen wird im Thringer Lehrplan der Grundschule nicht explizit ausgewiesen, sondern dem Lernbereich 2.1 Arithmetik zugeordnet.Der Schler kann in Sach- und Problemaufgaben funktionale Beziehungen erkennen, beschrei-ben (z. B. Menge Preis, Zeitpunkt Temperatur), diese darstellen und Sachaufgaben zur Pro-portionalitt lsen.Der Schler kann in strukturierten Aufgabenfolgen Muster/Zusammenhnge beschreiben und fortsetzen. Er entwickelt selbst Aufgabenfolgen mit arithmetischen Mustern.

Klassenstufe 6

SachkompetenzDer Schler kann alltagsbezogene Zuordnungen (Weg Zeit, Menge Preis, Zeitpunkt Temperatur, Seiten-

lnge Umfang, Seitenlnge Flcheninhalt, Mastab) erkennen, beschreiben, aus mastblichen Darstellungen auf reale Gren schlieen und umgekehrt, unterschiedliche Darstellungsformen von alltagsbezogenen Zuordnungen situationsangemessen auswhlen, erstellen und zwischen ihnen wechseln,Muster bei Zahlen und Figuren erkennen, verbal beschreiben, fortsetzen oder reproduzieren, einfache Zuordnungsaufgaben inhaltlich lsen und den Lsungsweg begrnden.

MethodenkompetenzDer Schler kann Informationen zielangemessen entnehmen aus: Texten, Tabellen, Karten, Diagrammen.

Selbst- und SozialkompetenzDer Schler kann Tabellen bersichtlich anlegen, Diagramme sorgfltig und genau zeichnen, seine berlegungen zu Zuordnungen verstndlich darstellen, seine Ergebnisse selbststndig berprfen.

15

2.1.3 Geometrie ebene und rumliche Strukturen nach Ma und Form erfassenLernausgangslage

Der Schler kann sich im Raum und auf Plnen orientieren. Dies umfasst das Erkennen, Be-nennen, Beschreiben und Nutzen rumlicher Beziehungen (Anordnungen, Wege, Plne, An-sichten, senkrecht zu , parallel zu ). Er ordnet bildhafte Darstellungen von Bauwerken (Wrfelgebude) einander zu, d. h. er baut nach Vorlagen, erstellt Bauplne zu Bauten, ver-gleicht Krper mit Kantenmodellen und Netzen.

Der Schler erkennt, unterscheidet und benennt Krper (Wrfel, Quader, Kugel, Zylinder, Kegel, Pyramide) und ebene Figuren (Viereck, Rechteck, Quadrat, Trapez, Parallelogramm, Raute, Drachenviereck, Dreieck, gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke, Kreis) und verwendet da-bei sachgerecht Fachbegriffe (Punkt, Strecke, Seitenlnge, Ecke, Kante, Seite, Flche, Durch-messer, Radius, Mittelpunkt des Kreises, rechter Winkel).Der Schler kann Strecken, die parallel oder senkrecht zueinander sind, unter Verwendung des Geodreiecks zeichnen und feststellen, ob Strecken diese Eigenschaft besitzen.Er zeichnet Kreise mit gegebenem Radius oder Durchmesser.

Er identifiziert Krper und ebene Figuren in der Umwelt, stellt Modelle von Krpern und ebenen Figuren her und untersucht sie (baut, legt, zerlegt, fgt zusammen, faltet, spannt, schneidet aus). Der Schler zeichnet Strecken, ebene Figuren und symmetrische Muster mit Hilfsmitteln (Schablone, Lineal, Geodreieck, Zirkel, Gitterpapier) sowie frei Hand.

Der Schler verkleinert und vergrert ebene Figuren mastblich.

Er beschreibt symmetrische Muster (Bandornamente, Parkettierungen), setzt symmetrische Muster fort und erfindet selbst symmetrische Muster.

Der Schler kann ebene Figuren auf Achsensymmetrie untersuchen, Symmetrieachsen bestim-men und einzeichnen.Der Schler legt und zeichnet achsensymmetrische Figuren.

Der Schler untersucht ebene Figuren nach Umfang und Flcheninhalt. Er bestimmt und ver-gleicht den Umfang von Figuren, den Flcheninhalt ebener Figuren durch Auszhlen von Ein-heitsflchen und Rauminhalte von Quadern durch Bestimmen der Anzahl der enthaltenen Ein-heitswrfel. Der Schler kann verschiedene ebene Figuren zu gegebenem Flcheninhalt bzw. Umfang zeichnen.

Der Schler kann Zeichen- und Arbeitsgerte sachgerecht auswhlen und nutzen. Beim Lsen geometrischer Aufgaben wendet er Strategien (Probieren, Skizzieren, Beispiele finden) an und beschreibt sein Vorgehen verstndlich.

Der Schler schtzt seinen erreichten Lernstand zu ausgewhlten geometrischen Inhalten ein (z. B. Merkmale von Flchen und Krpern, Umgang mit dem Geodreieck) und setzt sich ziel-strebig und ausdauernd mit geometrischen Aufgaben auch in kooperativen Arbeitsformen aus-einander.

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Klassenstufe 6

SachkompetenzDer Schler kann geometrische Grundbegriffe (Punkt, Strecke, Strahl, Gerade, Abstand, Winkel) bzw.

Relationen (zueinander senkrecht, zueinander parallel) sinnvoll verwenden und ihre symbolischen Schreibweisen nutzen,

ebene Figuren (Dreieck, Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Rhombus (Raute), Trapez, Drachenviereck, Kreis) identifizieren, durch charakterisierende Eigenschaften beschreiben, klassifizieren, skizzieren, zeichnen, verschieben, an einer Geraden spiegeln, auf weitere Eigenschaften ebener Figuren schlieen und diese anschaulich begrnden, Verschiebungen und Achsenspiegelungen durch charakterisierende Eigenschaften beschreiben, in Darstellungen erkennen, zum Lsen von Problemen nutzen, mit Lineal und Geodreieck sowie mit dynamischer Geometriesoftware durchfhren, Punktsymmetrien in Figuren erkennen, ebene Figuren im rechtwinkligen Koordinatensystem (I. IV. Quadrant) darstellen, verschieben, spiegeln, dynamische Geometriesoftware zum experimentellen Erkunden von Eigenschaften der

Achsen- und Punktspiegelung sowie der Verschiebung einsetzen,Winkelgren den Winkelarten zuordnen, schtzen, zeichnen, mit Geodreieck und dynamischer Geometriesoftware messen, Scheitel- und Nebenwinkelsatz, Stufen- und Wechselwinkelsatz, Innenwinkelsatz fr

Dreiecke, Dreiecksungleichung anhand von Beispielen und Gegenbeispielen erlutern, durch einfache Plausibilittsberlegungen begrnden, sachgerecht zum Lsen von Problemen anwenden, Formeln (Umfang, Flcheninhalt von Quadraten und Rechtecken; Oberflcheninhalt,

Volumen von Wrfeln und Quadern) ohne Hilfsmittel angeben, an Beispielen anschaulich erlutern, sachgerecht zum Lsen von Problemen anwenden, Umfang und Flcheninhalt von Quadraten, Rechtecken und aus ihnen zusammengesetzten

Figuren messen, berechnen, Umfang und Flcheninhalt von Dreiecken, Trapezen, Parallelogrammen, Drachenvierecken

durch Zerlegung bzw. Ergnzung bestimmen,

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Wrfel, Quader, Pyramide, Zylinder, Kegel, Kugel identifizieren, durch charakterisierende Eigenschaften beschreiben, klassifizieren, im Schrgbild skizzieren, Netze und Krper einander zuordnen, Netze sowie Schrgbilder von Wrfeln und Quadern zeichnen,Modelle von Wrfeln und Quadern herstellen.

MethodenkompetenzDer Schler kann Lngen an realen Objekten schtzen und messen, Verfahren zum Zeichnen von Winkeln und ebenen Figuren anwenden mit: Lineal, Geodreieck, Zirkel, dynamischer Geometriesoftware, Informationen zu geometrischen Sachverhalten aus kurzen Texten und Bildern mit eigenen Worten wiedergeben, durch Skizzen veranschaulichen, eigene Aufzeichnungen und das Lehrbuch zum Nachschlagen verwenden, Lsungswege strukturiert und nachvollziehbar in kurzen Beitrgen darstellen, Prsentationsmedien einsetzen (Tafel, Folie, Lernplakat).

Selbst- und SozialkompetenzDer Schler kann Skizzen und Zeichnungen sorgfltig ausfhren, in der Gruppe arbeiten.

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2.1.4 Stochastik mit Daten und Zufall arbeitenLernausgangslage

Der Bereich Stochastik wird im Thringer Lehrplan der Grundschule nicht explizit ausgewiesen, sondern dem Lernbereich 2.1 Arithmetik zugeordnet.Der Schler sammelt und strukturiert Daten, stellt sie in Diagrammen dar und fhrt Berechnun-gen aus. Er entnimmt geeignete Informationen aus Darstellungen (Diagramme, Tabellen, Skiz-zen) und interpretiert diese. Er kann zwischen diesen Darstellungen wechseln.Der Schler kann Gewinnchancen bei einfachen Zufallsexperimenten (Glcksrad, Wrfeln, Mnzwurf, Ziehen von Losen) durch experimentelles Vorgehen oder inhaltliche berlegungen einschtzen, vergleichen, begrnden und unter Verwendung der Begriffe sicher, unmglich, mglich bzw. wahrscheinlich beschreiben.

Klassenstufe 6

SachkompetenzDer Schler kann Daten in Ur- und Strichlisten erfassen, ordnen, veranschaulichen in: Ranglisten, Hufigkeitstabellen, Diagrammen,

absolute Hufigkeiten ermitteln, Daten unter Verwendung von Kenngren (Minimum, Maximum, Spannweite, arithmetisches

Mittel, Modalwert, Median) charakterisieren, vergleichen, darstellen, Daten aus statistischen Darstellungen entnehmen, vergleichen.

MethodenkompetenzDer Schler kann Daten, auch unter Nutzung des Computers, in Tabellen und Diagrammen (Sulen- und

Streifendiagramm) darstellen, das arithmetische Mittel, auch mit Hilfe des Taschenrechners, bestimmen, Ideen und Ergebnisse zur Datenerfassung und -auswertung in kurzen Beitrgen

prsentieren.

Selbst- und SozialkompetenzDer Schler kann erfasste Daten im Hinblick auf die Angemessenheit ihrer Darstellung kritisch werten,mit erfassten Daten sensibel umgehen.

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2.2.1 Arithmetik/Algebra mit Zahlen, Variablen und Symbolen umgehen

Klassenstufe 8

SachkompetenzDer Schler kann rationale Zahlen auf der Zahlengeraden darstellen, mit abgetrennten Zehnerpotenzen darstellen, in Taschenrechnerdarstellungen richtig lesen, Punkte, deren Koordinaten rationale Zahlen sind, im Koordinatensystem darstellen, rationale Zahlen ordnen, vergleichen, sinnvoll runden, arithmetische Begriffe und zugehrige Schreibweisen sachgerecht anwenden: zueinander entgegengesetzte Zahlen, Betrag einer Zahl, ganze Zahl, rationale Zahl, irrationale Zahl, reelle Zahl, die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung bzw. + an Beispielen begrn-

den, die Grundrechenoperationen im Bereich der rationalen Zahlen im Kopf und mit dem

Taschenrechner ausfhren, Rechengesetze zum vorteilhaften Rechnen anwenden, Potenzen mit rationaler Basis und natrlichem Exponenten berechnen,Quadrat- und Kubikwurzeln bestimmen, die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung beschreiben, Termstrukturen beschreiben, Terme zu vorgegebenen Sachverhalten aufstellen, Termwerte durch Belegung der Variablen berechnen, Terme quivalent umformen durch: Zusammenfassen, Ausmultiplizieren, Ausklammern, Krzen und Erweitern, Anwendung der binomischen Formeln, die Lsungsmenge von linearen Gleichungen und Ungleichungen bei vorgegebenem Varia-

blengrundbereich durch inhaltliche berlegungen und algebraische Verfahren ermitteln, Zusammenhnge aus Alltagssituationen, Mathematik, Technik, Wirtschaft und Naturwissen-

schaften mit Hilfe von Variablen, Termen und Gleichungen darstellen, Formeln aus der Mathematik und den Naturwissenschaften umstellen, Kenntnisse ber rationale Zahlen und lineare Gleichungen zur Lsung inner- und auerma-

thematischer Problemstellungen anwenden.

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MethodenkompetenzDer Schler kann zur Problemlsung verschiedene Darstellungsformen (Tabelle, Skizze, Term, Gleichung) an-

wenden, Problemlsungsstrategien anwenden, wie: berschlagen, Zurckfhren auf Bekanntes, Spezialflle finden, Verallgemeinern,Ergebnisse und Lsungswege in einem vorbereiteten kurzen Vortrag strukturiert und

nachvollziehbar prsentieren, Taschenrechner und Formelsammlung sinnvoll nutzen.

Selbst- und SozialkompetenzDer Schler kann selbststndig Lsungsplne entwickeln und anwenden, in kooperativen Lernformen ber Ergebnisse und Lsungswege diskutieren, Verantwortung fr den gemeinsamen Arbeitsprozess einer Gruppe bernehmen, Ergebnisse selbststndig auf Plausibilitt berprfen, mit vorgegebenen Lsungen vergleichen,mathematische Argumentationen anderer Schler nachvollziehen und diese auf Korrektheit

berprfen, Fehlerquellen ermitteln und Strategien zu ihrer Vermeidung entwickeln,mit Erfolg und Misserfolg angemessen umgehen.

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Klassenstufe 8

SachkompetenzDer Schler kann proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnungen von Zahlen und Gren durch ver-

bale Beschreibung, Gleichung, Wertetabelle und Graph darstellen, aus unterschiedlichen Darstellungen auf Proportionalitt und umgekehrte Proportionalitt

schlieen, den Zusammenhang proportional quotientengleich, umgekehrt proportional produktgleicherlutern und anwenden,

den Dreisatz anwenden, gemeine Brche oder Dezimalzahlen als Prozentstze angeben und umgekehrt, auch Pro-

zentstze ber 100%, bequeme Prozentstze ohne Hilfsmittel verwenden, prozentuale Verteilungen von Gren aus Kreis- bzw. Streifendiagrammen ablesen, in Kreis- bzw. Streifendiagrammen darstellen, Begriffe sachgerecht und in Zusammenhngen anwenden: Prozent, Promille, Grundwert, Prozentsatz, Prozentwert, Rabatt, Skonto, Mehrwertsteuer, die Zinsrechnung auf die Prozentrechnung zurckfhren und die zugehrigen Begriffe sach-

gerecht in Zusammenhngen anwenden: Kapital, Zinssatz, Zinsen, Ratenzahlung, an konkreten Zuordnungen entscheiden, ob es sich um eine Funktion handelt, anhand eines Graphen, einer Tabelle oder einer Funktionsvorschrift entscheiden und be-

grnden, ob eine lineare Funktion vorliegt, die proportionale Zuordnung als besondere lineare Funktion beschreiben,Graphen linearer Funktionen effektiv zeichnen, die Funktionsgleichungen linearer Funktionen aus der graphischen Darstellung ablesen, die Bedeutung der Parameter m und n in der Funktionsgleichung y=f x =mxn fr die

Eigenschaften der linearen Funktion erlutern, lineare Funktionen auf Definitions- und Wertebereich, Nullstellen, Anstieg, Monotonie, Ach-

senschnittpunkte untersuchen, die Begriffe Differenzenquotient, Anstieg und Achsenabschnitt zur Beschreibung linearer

Funktionen nutzen, die gegenseitige Lage zweier Geraden aus den Eigenschaften der zugehrigen linearen

Funktionen bestimmen (Parallelitt, Orthogonalitt, Existenz eines Schnittpunktes, Identitt),

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Funktionsgleichungen aus vorgegebenen Eigenschaften des Graphen einer linearenFunktion (zwei Punkte, Punkt und Anstieg) bestimmen,

inner- und auermathematische Problemstellungen analysieren, strukturieren und lsen fr: proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnungen, Prozent- und Zinsrechnung (auch Steigerung um bzw. auf; Verminderung um bzw. auf), lineare Funktionen.

MethodenkompetenzDer Schler kann Informationen zielangemessen entnehmen aus: Texten, Tabellen, graphischen Darstellungen von Zuordnungen und linearen Funktionen,mathematische Fachsprache und Symbolik verwenden, Computersoftware zum Erstellen von Tabellen, Diagrammen und Funktionsgraphen

nutzen.

Selbst- und SozialkompetenzDer Schler kann Funktionsgraphen im rechtwinkligen Koordinatensystem sorgfltig und genau zeichnen, berlegungen zu funktionalen Zusammenhngen verstndlich darstellen und prsentieren, Ergebnisse selbststndig auf Plausibilitt berprfen, mit vorgegebenen Lsungen vergleichen.

23

2.2.3 Geometrie ebene und rumliche Strukturen nach Ma und Form erfassen

Klassenstufe 8

SachkompetenzDer Schler kann Hhen, Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende, Winkelhalbierende im Dreieck charakterisieren, zeichnen, Passanten, Tangenten, Sekanten und Sehnen eines Kreises charakterisieren, zeichnen, entscheiden, ob Figuren zueinander kongruent sind,mit Hilfe der Kongruenzstze ber die Kongruenz von Dreiecken entscheiden, Dreieckskonstruktionen ausfhren, sein Vorgehen bei der Konstruktion von Dreiecken mit eigenen Worten beschreiben, geometrische Zusammenhnge begrnden und beweisen, Fragen der Lsbarkeit und Lsungsvielfalt von Konstruktionsaufgaben untersuchen, den Satz des Thales an Beispielen erlutern, anwenden, den Satz des Pythagoras ohne Hilfsmittel angeben, an Beispielen erlutern, anwenden, Formeln fr Flcheninhalt von Dreiecken, Parallelogrammen und Trapezen an Beispielen erlutern, anwenden,

ohne Hilfsmittel die Formel fr den Flcheninhalt des Dreiecks A=12 gh angeben, die irrationale Zahl als Proportionalittsfaktor fr den Zusammenhang zwischen Umfang

und Durchmesser des Kreises deuten, Formeln fr Umfang und Flcheninhalt von Kreisen ohne Hilfsmittel angeben und

anwenden, gerade Prismen und Pyramiden identifizieren, durch charakterisierende Eigenschaften beschreiben, im Schrgbild, im Zweitafelbild und als Netz mastblich darstellen, gerade Zylinder und Kegel identifizieren, durch charakterisierende Eigenschaften beschreiben, im Zweitafelbild und als Netz mastblich darstellen,Modelle von Krpern herstellen,Oberflcheninhalt und Volumen von geraden Prismen, Pyramiden, Zylindern, Kegeln und

von Kugeln berechnen,

24

die Formel ohne Hilfsmittel angeben und erlutern fr: Volumen von geraden Prismen und Zylindern V=AGh , Volumen von geraden Pyramiden und Kegeln V=13 AGh .

MethodenkompetenzDer Schler kann Lsungsstrategien bei geometrischen Konstruktionen und Berechnungen anwenden durch: Zeichnen informativer Figuren, Zurckfhren auf Bekanntes, Finden von Beispielen und Gegenbeispielen, Finden von Spezialfllen, geometrische Konstruktionen planen und ausfhren, dynamische Geometriesoftware zum experimentellen Erkunden anwenden, Informationen aus Lehrbuch, Formelsammlung, Lexikon und dem Internet beschaffen, Prsentationsmedien einsetzen.

Selbst- und SozialkompetenzDer Schler kann sauber und bersichtlich konstruieren, eigene Lsungsideen und Lsungswege in kurzen Beitrgen verstndlich darlegen, Lsungsideen Anderer kritisch prfen, werten und aufgreifen.

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2.2.4 Stochastik mit Daten und Zufall arbeiten

Klassenstufe 8

SachkompetenzDer Schler kann Zufallsexperimente planen, durchfhren und protokollieren, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als seine zu erwartende relative Hufigkeit bei

vielen Versuchswiederholungen beschreiben und durch geeignete Simulationen schtzen, Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnen, Ergebnisse und Ereignisse von ein- und zweistufigen Zufallsexperimenten verbal und mit

Hilfe der zugehrigen Mengenschreibweise beschreiben, die Begriffe sicheres und unmgliches Ereignis sowie Gegenereignis anwenden,Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung von Baumdiagrammen und Pfadregeln berechnen.

MethodenkompetenzDer Schler kann die bei Zufallsexperimenten gewonnenen Daten, auch unter Nutzung von Computersoftware,

in Tabellen und Diagrammen darstellen, Ideen und Ergebnisse zur Beschreibung von Zufallsexperimenten adressatengerecht formu-

lieren und prsentieren.

Selbst- und SozialkompetenzDer Schler kann erfasste Daten im Hinblick auf die Angemessenheit ihrer Darstellung kritisch werten,mit erfassten Daten sensibel umgehen, Ergebnisse von Wahrscheinlichkeitsberechnungen kritisch bewerten.

26


Mit der Einfhrung von Computeralgebrasystemen (CAS) wird die Entwicklung der mathemati-schen Kompetenzen in besonderer Weise untersttzt (vgl. 1). Dies setzt einen kontinuierlichen, verbindlichen Einsatz von CAS im Unterricht voraus. Parallel dazu werden durchgngig grund-legende Kompetenzen im hilfsmittelfreien Arbeiten entwickelt.

2.3.1 Arithmetik/Algebra mit Zahlen, Variablen und Symbolen umgehen

Klassenstufe 10

SachkompetenzDer Schler kann die Potenz-, Wurzel- und Logarithmenschreibweise ineinander umwandeln, die Potenzgesetze an Beispielen begrnden und ohne Hilfsmittel anwenden,Gradma und Bogenma von Winkelgren ineinander umwandeln, Terme umformen sowie geeignete Verfahren zur Bestimmung der Lsungsmengen von

Gleichungen und Ungleichungen auswhlen und anwenden, die Lsungsmenge linearer Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen

graphisch interpretieren, ein algorithmisches Lsungsverfahren fr lineare Gleichungssysteme erlutern und

anwenden, geeignete Verfahren zur Bestimmung der Lsungsmengen von Gleichungssystemen

auswhlen und anwenden, Fragen der Lsbarkeit und Lsungsvielfalt von quadratischen Gleichungen sowie linearen

Gleichungssystemen untersuchen, die Lsungsformel fr die Normalform einer quadratischen Gleichung anwenden, ohne Hilfsmittel inhaltlich oder kalklmig lsen: lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen, einfache quadratische Gleichungen, einfache Exponentialgleichungen, einfache Bruchgleichungen, Kenntnisse zu Gleichungen und Gleichungssystemen auf Problemstellungen aus

Alltagssituationen, Mathematik, Naturwissenschaften, Wirtschaft und Technik anwenden.

MethodenkompetenzDer Schler kann Lsungswege und Ergebnisse verstndlich und in angemessener Form schriftlich darstellen, erlutern, prsentieren, reflektieren, interaktive Erkundungsmglichkeiten eines CAS fr experimentelles und heuristisches

Arbeiten in inner- und auermathematischen Situationen verwenden.

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Selbst- und SozialkompetenzDer Schler kann verschiedene Lsungsplne selbststndig entwickeln und realisieren, bezglich ihrer Vor- und Nachteile beurteilen,

in kooperativen Lernformen komplexe Aufgabenstellungen bearbeiten,mathematische Argumentationen anderer Schler nachvollziehen und diese auf Korrektheit

und Vollstndigkeit berprfen,mit Ergebnissen und Hinweisen, die das CAS anzeigt, kritisch umgehen und seine Lsungs-

strategie ggf. entsprechend verndern.


Klassenstufe 10

SachkompetenzDer Schler kann quadratische Funktionen auf Definitions- und Wertebereich, Scheitelpunkt, Achsenschnitt-

punkte, Monotonie, Symmetrie untersuchen und graphisch darstellen, fr quadratische Funktionen in Scheitelpunktsform den Einfluss von Parametern auf die

Eigenschaften und den Graphen beschreiben, aus graphischen Darstellungen quadratischer Funktionen auf die Funktionsgleichung

schlieen, aus Punkten des Funktionsgraphen die Gleichung einer quadratischen Funktion ermitteln, inner- und auermathematische Problemstellungen mit Hilfe quadratischer Funktionen

beschreiben und lsen, charakterisierende Eigenschaften angeben fr: Potenzfunktionen f x=xn mit ganzzahligen sowie rationalen Exponenten, Exponentialfunktionen f x =ax , a+ die Sinusfunktion f x =sinx , den Zusammenhang der Graphen der Funktionen af (xd)+ c mit dem Graphen der

Funktion f(x) sowie zustzlich den Einfluss des Parameters b auf die Eigenschaften derSinusfunktionen f (x)=sin(bx) beschreiben,

die Kosinusfunktion in Analogie zur Sinusfunktion untersuchen, aus Darstellungen von Funktionen auf einen mglichen Funktionstyp schlieen und eine

Funktionsgleichung angeben (in einfachen Fllen auch ohne Hilfsmittel), Funktionen darstellen und ihre Eigenschaften beschreiben (in einfachen Fllen auch ohne

Hilfsmittel), das Verhalten von Funktionen an den Rndern des Definitionsbereiches untersuchen, dabei

den Grenzwertbegriff aus der Anschauung heraus erklren und die Grenzwertschreibweise lim

xf x bzw. limx x0

f x verwenden,

Funktionen zum Lsen inner- und auermathematischer Probleme anwenden.

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MethodenkompetenzDer Schler kann Informationen aus Funktionsgleichungen und Computeranzeigen entnehmen, bearbeiten

und interpretieren, eine Formelsammlung sachgem verwenden.

Selbst- und SozialkompetenzDer Schler kann seine Erkenntnisse zu funktionalen Zusammenhngen unter Verwendung der mathemati-

schen Fachsprache in mndlicher und schriftlicher Form nachvollziehbar dokumentieren und prsentieren,

ein CAS zur Selbstkontrolle nutzen, Ergebnisse kritisch hinterfragen.

2.3.3 Geometrie ebene und rumliche Strukturen nach Ma und Form erfassen

Klassenstufe 10

SachkompetenzDer Schler kann hnliche ebene Figuren durch zentrische Streckung mit positivem Streckfaktor zeichnen, den Einfluss des Streckfaktors auf die Gre von Winkeln, die Lnge von Strecken, den

Flcheninhalt bzw. das Volumen beschreiben, zentrische Streckungen und hnlichkeit mit dynamischer Geometriesoftware veranschauli-

chen, fr rechtwinklige Dreiecke die Definitionen von Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels ohne Hilfsmittel angeben, an Beispielen erlutern,

Winkel und Seitenlngen mit Hilfe von Sinus, Kosinus und Tangens berechnen, den Haupthnlichkeitssatz fr Dreiecke und den Strahlensatz (1. und 2. Teil) an Beispielen

erlutern und anwenden (in einfachen Fllen auch ohne Hilfsmittel), den Sinussatz und den Kosinussatz zur Berechnung von Seitenlngen und Winkeln

anwenden,

die Flcheninhaltsformel A=12

absin fr beliebige Dreiecke erlutern und anwenden,

aus mastabsgerechten Zeichnungen und Skizzen von zusammengesetzten Krpern Mae sachgerecht entnehmen, fr Berechnungen nutzen,Oberflcheninhalt und Volumen von zusammengesetzten Krpern berechnen.

29

MethodenkompetenzDer Schler kann die Lsungsstrategien bei geometrischen Konstruktionen und Berechnungen anwenden: Zerlegen eines Problems in Teilprobleme, Erkennen von speziellen Linien, Dreiecken und Vielecken in ebenen Figuren und Krpern, Vorwrts- und Rckwrtsarbeiten, Lsungswege und Ergebnisse verstndlich und in angemessener Form prsentieren,

erlutern und reflektieren.

Selbst- und SozialkompetenzDer Schler kann Arbeitsschritte bei individueller oder kooperativer Arbeit planen und selbststndig umsetzen, Lsungswege, Argumentationen und Darstellungen vergleichen und bewerten.

30

2.3.4 Stochastik mit Daten und Zufall arbeiten

Klassenstufe 10

SachkompetenzDer Schler kannmit Hilfe von Baumdiagrammen oder Vierfeldertafeln ein- und mehrstufige Zufallsexperimente veranschaulichen, Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen bestimmen (in einfachen Fllen auch ohne

Hilfsmittel), Ereignisse verknpfen AB ,AB ,A und die Wahrscheinlichkeit der Verknpfung

bestimmen, Teilvorgnge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastische Unabhngigkeit anhand

einfacher Beispiele untersuchen, Erwartungswert (in einfachen Fllen auch ohne Hilfsmittel) und Standardabweichung von

Zufallsgren berechnen und interpretieren, Bernoulli-Ketten als mehrstufige Zufallsexperimente beschreiben und die Bernoulli-Formel

anwenden, die Bedingungen fr die Anwendbarkeit der Bernoulli-Formel prfen und die Ergebnisse

kritisch werten, binomialverteilte Zufallsgren an Beispielen erlutern, graphisch darstellen, durch Erwartungswert und Standardabweichung charakterisieren, zum Lsen inner- und auermathematischer Probleme anwenden, Simulationen zur Untersuchung binomialverteilter Zufallsgren verwenden.

MethodenkompetenzDer Schler kann die bei Zufallsexperimenten gewonnenen Daten, auch unter Nutzung von Computersoftware,

in Tabellen und Diagrammen darstellen und auswerten, Ideen und Ergebnisse zur Beschreibung, Simulation und Berechnung von

Zufallsexperimenten adressatengerecht formulieren, bewerten, prsentieren.

Selbst- und SozialkompetenzDer Schler kann Ergebnisse stochastischer Berechnungen auf Plausibilitt berprfen und kritisch werten, Chancen und Risiken von zuflligen Ereignissen in Sachkontexten beurteilen.

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3 Ziele des Kompetenzerwerbs in der Einfhrungsphase der Thringer Oberstufe fr Schler mit Realschulabschluss

Die Ausfhrungen in diesem Kapitel gelten fr Schler der Klassenstufe 11S des Gymnasiums, der Klassenstufe 11 der Integrierten Gesamtschule, der Einfhrungsphase (Klassenstufe 11) des beruflichen Gymnasiums und der Einfhrungsphase am Kolleg.

Der Mathematikunterricht in den Klassenstufen 11 13 wird der dreijhrigen Oberstufenzeit gerecht. Hierbei kommt der Klassenstufe 11 eine spezifische Brckenfunktion zu. Es besteht die Notwendigkeit, Schlern mit einem Realschulabschluss bzw. einem vergleichbaren Abschluss einen erfolgreichen Einstieg in die gymnasiale Oberstufe, deren Einfhrungsphase die Klassen-stufe 11 darstellt, zu ermglichen. Durch verschiedene Bildungsgnge und die Unterschiede der Thringer Lehrplne fr den Erwerb des Hauptschul- und des Realschulabschlusses sowie fr den Erwerb der allgemeinen Hochschulreife haben die Schler keine einheitlichen Lernvoraus-setzungen.

Der Unterricht in Klassenstufe 11 folgt grundstzlich den im Lehrplan Mathematik fr den Er-werb der allgemeinen Hochschulreife fr die Klassenstufe 10 ausgewiesenen Zielen. Die Zielbe-schreibungen sind demzufolge nach den Lernbereichen Arithmetik/Algebra, Funktionen, Geo-metrie und Stochastik geordnet.

Neben der Sachkompetenz werden die Lernkompetenzen (Methodenkompetenz, Selbst- und Sozialkompetenz) in der Klassenstufe 11 weiterentwickelt.

Fr den Mathematikunterricht in Klassenstufe 11 ergeben sich fr die Entwicklung der allgemei-nen mathematischen Kompetenzen und der Lernkompetenzen folgende Schwerpunkte: Umgang mit mathematischer Fachsprache und Symbolik, Anwendung heuristischer Strategien zum Problemlsen, Nutzung digitaler Mathematikwerkzeuge, insbesondere CAS, Verbesserung der mathematischen Argumentationsfhigkeit, Eigenverantwortung fr die Gestaltung und Ergebnisse des Lernprozesses.

Die vorliegenden Lehrplanziele beinhalten im Vergleich zum Niveau des Realschulabschlusses sowohl neue als auch bereits erworbene Kompetenzen, die fr den weiteren Lehrgang beson-ders bedeutsam sind. Die Zielbeschreibungen, die auf bereits erworbene Kompetenzen aufbau-en, sind mit dem Symbol gekennzeichnet.

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3.1 Arithmetik/Algebra mit Zahlen, Variablen und Symbolen umgehen

Mit der Einfhrung von Computeralgebrasystemen (CAS) wird die Entwicklung der mathemati-schen Kompetenzen in besonderer Weise untersttzt (vgl. 1). Dies setzt einen kontinuierlichen, verbindlichen Einsatz von CAS im Unterricht voraus. Parallel dazu werden durchgngig grund-legende Kompetenzen im hilfsmittelfreien Arbeiten entwickelt.

Klassenstufe 11

SachkompetenzDer Schler kann die Potenz-, Wurzel- und Logarithmenschreibweise ineinander umwandeln, die Potenzgesetze an Beispielen begrnden und ohne Hilfsmittel anwenden,Gradma und Bogenma von Winkelgren ineinander umwandeln, Terme quivalent umformen (in einfachen Fllen auch ohne Hilfsmittel), insbesondere durch: Zusammenfassen , Ausmultiplizieren , Ausklammern, Krzen und Erweitern, Anwenden der binomischen Formeln, geeignete Verfahren zur Bestimmung der Lsungsmengen von Gleichungen und

Ungleichungen auswhlen und anwenden, die Lsungsmenge linearer Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen

graphisch interpretieren, ein algorithmisches Lsungsverfahren fr lineare Gleichungssysteme erlutern und

anwenden , geeignete Verfahren zur Bestimmung der Lsungsmengen von Gleichungssystemen

auswhlen und anwenden , die Lsungsformel fr die Normalform einer quadratischen Gleichung anwenden , ohne Hilfsmittel inhaltlich oder kalklmig lsen: lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen , einfache quadratische Gleichungen, einfache Bruchgleichungen, einfache Exponentialgleichungen, Kenntnisse zu Gleichungen und Gleichungssystemen auf Problemstellungen aus Alltags-

situationen, Mathematik, Naturwissenschaften, Wirtschaft und Technik anwenden.

MethodenkompetenzDer Schler kann Problemlsestrategien anwenden, wie: berschlagen , Zurckfhren auf Bekanntes , Spezialflle finden, Verallgemeinern , Ergebnisse und Lsungswege verstndlich und in angemessener Form schriftlich darstellen , erlutern ,

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prsentieren , reflektieren, interaktive Erkundungsmglichkeiten eines CAS fr experimentelles und heuristisches

Arbeiten in inner- und auermathematischen Situationen verwenden.

Selbst- und SozialkompetenzDer Schler kann verschiedene Lsungsplne selbststndig entwickeln, bezglich ihrer Vor- und Nachteile beurteilen, Ergebnisse auf Plausibilitt berprfen , mit vorgegebenen Lsungen vergleichen, Fehlerquellen ermitteln und Strategien zu ihrer Vermeidung entwickeln ,mit Ergebnissen und Hinweisen, die das CAS anzeigt, kritisch umgehen und seine Lsungs-

strategie ggf. entsprechend verndern.

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3.2 Funktionen Beziehungen/Vernderungen erkunden, beschreiben und darstellen

Klassenstufe 11

SachkompetenzDer Schler kann an konkreten Zuordnungen entscheiden, ob es sich um eine Funktion handelt ,Graphen linearer Funktionen effektiv zeichnen , die Funktionsgleichungen linearer Funktionen aus dem Graphen ablesen , die Bedeutung der Parameter m und n in der Funktionsgleichung y=f x =mxn fr die

Eigenschaften der linearen Funktion erlutern , lineare Funktionen auf Definitions- und Wertebereich, Nullstellen, Anstieg, Monotonie,

Achsenschnittpunkte untersuchen , die Begriffe Differenzenquotient, Anstieg und Achsenabschnitt zur Beschreibung linearer

Funktionen nutzen, die gegenseitige Lage zweier Geraden aus den Eigenschaften der zugehrigen linearen

Funktionen (Parallelitt, Orthogonalitt, Existenz eines Schnittpunktes,Identitt) bestimmen ,

quadratische Funktionen auf Definitions- und Wertebereich, Scheitelpunkt, Achsenschnitt-punkte, Monotonie, Symmetrie untersuchen und graphisch darstellen ,

fr quadratische Funktionen in Scheitelpunktsform den Einfluss von Parametern auf die Eigenschaften und den Graphen beschreiben,

aus graphischen Darstellungen quadratischer Funktionen auf die Funktionsgleichung schlieen,

aus Punkten des Funktionsgraphen die Gleichung einer quadratischen Funktion ermitteln, inner- und auermathematische Probleme mit Hilfe quadratischer Funktionen beschreiben

und lsen , charakterisierende Eigenschaften angeben fr: Potenzfunktionen f x =xn mit ganzzahligen sowie rationalen Exponenten , Exponentialfunktionen f x =ax , a+ , die Sinusfunktion f x =sinx , den Zusammenhang der Graphen der Funktionen af xdc mit dem Graphen der

Funktion f(x), sowie zustzlich den Einfluss des Parameters b auf die Eigenschaften derSinusfunktionen f x =sin bx beschreiben,

die Kosinusfunktion in Analogie zur Sinusfunktion untersuchen, aus Darstellungen von Funktionen auf einen mglichen Funktionstyp schlieen und eine

Funktionsgleichung angeben (in einfachen Fllen auch ohne Hilfsmittel), Funktionen darstellen und ihre Eigenschaften beschreiben (in einfachen Fllen auch ohne

Hilfsmittel), das Verhalten an den Rndern des Definitionsbereiches untersuchen, dabei den Grenzwert-

begriff aus der Anschauung heraus erklren und die Grenzwertschreibweise limxf x bzw.

limx x0

f x verwenden,

Funktionen zum Lsen inner- und auermathematischer Probleme anwenden.

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MethodenkompetenzDer Schler kann Informationen zielangemessen entnehmen aus: Texten , Tabellen , Graphen , Funktionsgleichungen , Computeranzeigen, eine Formelsammlung sachgem verwenden, Computerprogramme zum Erstellen von Tabellen, Diagrammen und Funktionsgraphen

nutzen,mathematische Fachsprache und Symbolik verwenden.

Selbst- und SozialkompetenzDer Schler kann Funktionsgraphen im rechtwinkligen Koordinatensystem sorgfltig und genau zeichnen , seine Erkenntnisse zu funktionalen Zusammenhngen in nachvollziehbarer mathematischer

Argumentation in mndlicher und schriftlicher Form dokumentieren und prsentieren, Ergebnisse kritisch hinterfragen , ein CAS zur Selbstkontrolle nutzen.

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3.3 Geometrie ebene und rumliche Strukturen nach Ma und Form erfassen

Klassenstufe 11

SachkompetenzDer Schler kann Hhen, Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende, Winkelhalbierende im Dreieck charakterisieren, zeichnen, Passanten, Tangenten, Sekanten und Sehnen eines Kreises charakterisieren, zeichnen, geometrische Zusammenhnge (Strahlenstze, Satz des Pythagoras, Satz des Thales ) mit dynamischer Geometriesoftware veranschaulichen , erlutern und anwenden , ohne Hilfsmittel die Formel angeben fr:

Flcheninhalt des Dreiecks A=12 gh , Volumen von geraden Prismen und Zylindern V=AGh , Volumen von geraden Pyramiden und Kegeln V=13 AGh , fr rechtwinklige Dreiecke die Definitionen von Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels

ohne Hilfsmittel angeben, an Beispielen erlutern,

den Haupthnlichkeitssatz fr Dreiecke und den Strahlensatz (1. und 2. Teil) an Beispielen erlutern und anwenden (in einfachen Fllen auch ohne Hilfsmittel) .

MethodenkompetenzDer Schler kann Lsungsstrategien bei geometrischen Konstruktionen und Berechnungen anwenden: Zeichnen informativer Figuren , Zerlegen eines Problems in Teilprobleme , Erkennen von speziellen Linien, Dreiecken und Vielecken in ebenen Figuren und Krpern, Vorwrts- und Rckwrtsarbeiten, Lsungswege und Ergebnisse verstndlich und in angemessener Form prsentieren ,

erlutern und reflektieren, dynamische Geometriesoftware zum experimentellen Erkunden anwenden.

Selbst- und SozialkompetenzDer Schler kann Arbeitsschritte bei individueller oder kooperativer Arbeit planen und selbststndig umsetzen, Lsungswege, Argumentationen und Darstellungen vergleichen und bewerten.

37

3.4 Stochastik mit Daten und Zufall arbeiten

Klassenstufe 11

SachkompetenzDer Schler kannmit Hilfe von Baumdiagrammen oder Vierfeldertafeln ein- und mehrstufige Zufallsexperimente veranschaulichen, Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen bestimmen (in einfachen Fllen auch ohne

Hilfsmittel), Ereignisse verknpfen AB ,AB ,A und die Wahrscheinlichkeit der Verknpfung

bestimmen, Teilvorgnge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastische Unabhngigkeit anhand

einfacher Beispiele untersuchen, Erwartungswert (in einfachen Fllen auch ohne Hilfsmittel) und Standardabweichung von Zu-

fallsgren berechnen und interpretieren, Bernoulli-Ketten als mehrstufige Zufallsexperimente beschreiben und die Bernoulli-Formel

anwenden, die Bedingungen fr die Anwendbarkeit der Bernoulli-Formel prfen und die Ergebnisse

kritisch werten, binomialverteilte Zufallsgren an Beispielen erlutern, graphisch darstellen, durch Erwartungswert und Standardabweichung charakterisieren, zum Lsen inner- und auermathematischer Probleme anwenden, Simulationen zur Untersuchung binomialverteilter Zufallsgren verwenden.

MethodenkompetenzDer Schler kann die bei Zufallsexperimenten gewonnenen Daten auch unter Nutzung von Computersoftware

in Tabellen und Diagrammen darstellen und auswerten , Ideen und Ergebnisse zur Beschreibung, Simulation und Berechnung von Zufallsexperimen-

ten adressatengerecht formulieren, bewerten, prsentieren .

Selbst- und SozialkompetenzDer Schler kann Ergebnisse stochastischer Berechnungen auf Plausibilitt berprfen und kritisch werten , Chancen und Risiken von zuflligen Ereignissen in Sachkontexten beurteilen .

38

4 Ziele des Kompetenzerwerbs in der Qualifikationsphase der Thringer Oberstufe

Der Bildungsauftrag der gymnasialen Oberstufe besteht darin, vertiefte Allgemeinbildung, Wis-senschaftspropdeutik und Studierfhigkeit zu verbinden. Dafr leistet der Mathematikunter-richt als Kernfach auf erhhtem Anforderungsniveau (eA) nach der Einfhrungsphase (Klas-senstufe 10) auch in der Qualifikationsphase (Klassenstufen 11 und 12) einen speziellen und unverzichtbaren Beitrag. Der Schler erweitert und vertieft seine bis dahin erworbenen Kompe-tenzen mit dem Ziel, sich auf die Anforderungen eines Hochschulstudiums oder einer berufli-chen Ausbildung vorzubereiten.

Der Mathematikunterricht in der gymnasialen Oberstufe ist gerichtet auf eine systematische Auseinandersetzung mit wesentlichen, komplexen und vielfltigen Inhalten, Problemen und Mo-dellen, die vertiefte Beherrschung sowie selbststndige Anwendung der mathematischen Ar-beitsmittel und -methoden, auch in fachbergreifenden Zusammenhngen.

Einer Lernkultur wird Rechnung getragen, in der sich jeder Schler seines eigenen Lernweges bewusst ist, diesen weiterentwickelt, unterschiedliche Lsungen reflektiert und selbststndig Entscheidungen trifft. Dieses eigenverantwortliche Lernen von Schlern wird durch gezielte Dif-ferenzierung, geeignete Arbeitsformen und die Verwendung von digitalen Mathematikwerk-zeugen sowie zeitgemer Kommunikations- und Informationstechnik untersttzt. Mit derWeiterfhrung des CAS-Einsatzes wird die Entwicklung der mathematischen Kompetenzen in besonderer Weise gefrdert (vgl. 1). Dies setzt einen kontinuierlichen, verbindlichen Einsatz von CAS im Unterricht voraus. Parallel dazu werden durchgngig grundlegende Kompetenzen im hilfsmittelfreien Arbeiten weiterentwickelt.

Nachfolgend werden die mathematischen Kompetenzen und Lernkompetenzen fr die Lernbe-reiche Analysis, Vektorrechnung/Analytische Geometrie und Stochastik am Ende der Klassen-stufe 12 abschlussorientiert beschrieben. Die Kompetenzerwartungen orientieren sich an den Bildungsstandards im Fach Mathematik fr den Mittleren Schulabschluss und fr die Allgemeine Hochschulreife.

Hinweis:Zur vertiefenden Bearbeitung stehen die Themen 1 Ebenen und 2 Hypothesentests; Normal-verteilung aus den Lernbereichen 4.2 Vektorrechnung/Analytische Geometrie und 4.3 Stochas-tik zur Verfgung. Der Lehrer whlt mindestens ein Thema zur Bearbeitung aus.

4.1 Analysis

Klassenstufe 12

SachkompetenzDer Schler kann die Ableitung einer Funktion als lokale nderungsrate und als Differenzialquotient beschrei-

ben, erlutern und geometrisch als Tangentenanstieg interpretieren, die Ableitung mithilfe der Approximation durch lineare Funktionen aus der Anschauung

heraus deuten, Zusammenhnge zwischen Funktion und Ableitungsfunktion erkennen, begrnden und

darstellen,Ableitungen fr Funktionen ermitteln,

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die Faktor-, Summen-, Produkt- und Kettenregel zum Ableiten von Funktionen in einfachen Fllen ohne Hilfsmittel anwenden,

Eigenschaften der Funktionen f x =ex und f x =lnx angeben,

die ln-Funktion als Stammfunktion von f x =1x und als Umkehrfunktion der e-Funktion

nutzen, grundlegende Begriffe zur Beschreibung von Potenzfunktionen, ganzrationalen, gebrochen-

rationalen, e -, ln - und Sinusfunktionen (Definitions- und Wertebereich, Achsenschnittpunk-te, Symmetrie bezglich der y-Achse und des Koordinatenursprungs, Monotonie, Extrem- und Wendepunkte, Periodizitt, Grenzwert, Asymptoten, Stetigkeit, Polstelle, Lcke) an-schaulich erlutern und anwenden,

Monotonieverhalten, Extrem- und Wendepunkte mithilfe von Ableitungen bestimmen, einfache Verknpfungen und Verkettungen von Funktionen auf charakteristische Eigen-

schaften untersuchen, den Einfluss eines reellen Parameters in der Funktionsgleichung auf charakteristische Eigen-

schaften der Funktion ermitteln und beschreiben,Gleichungen von Sekanten, Tangenten und Normalen (in einfachen Fllen auch ohne Hilfs-

mittel) ermitteln,Gleichungen von ganzrationalen und einfachen gebrochenrationalen Funktionen aus

vorgegebenen Eigenschaften ermitteln, Extremwertprobleme lsen, Zusammenhnge zwischen zwei Datenreihen durch eine geeignete Funktion nherungs-

weise beschreiben, Eigenschaften von Exponentialfunktionen zur Modellierung von Wachstums- und Zerfalls-

prozessen nutzen, das bestimmte Integral als aus nderungen rekonstruierter Bestand und als Flcheninhalt

beschreiben und erlutern, den Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral beschreiben und begrnden, bestimmte Integrale mit Hilfe des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung

berechnen, Stammfunktionen und Integrale ermitteln, bestimmte und unbestimmte Integrale von ganzrationalen, Potenz-, Sinus- und e-Funktionen

unter Anwendung der Regeln fr das Integrieren von Funktionen mit konstanten Summanden oder Faktoren, mehreren Summanden, einfacher Verkettung mit li-nearer innerer Funktion in einfachen Fllen ohne Hilfsmittel bestimmen,

Flcheninhalt von Flchen bestimmen, die durch Funktionsgraphen begrenzt sind, Volumen von Krpern berechnen, die durch Rotation von Funktionsgraphen um die x-Achse

entstanden sind, inner- und auermathematische Problemstellungen mit Hilfe der Differenzial- und

Integralrechnung bearbeiten.

MethodenkompetenzDer Schler kann selbststndig Problemlsestrategien auswhlen und anwenden, dynamische Darstellungsmglichkeiten des CAS nutzen, um mathematische Modelle zu ver-

gleichen und diese zu variieren, Lsungswege verstndlich, angemessen und nachvollziehbar auch unter Verwendung

geeigneter Medien erlutern und prsentieren.

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Selbst- und SozialkompetenzDer Schler kannmit Ergebnissen und Hinweisen, die das CAS anzeigt, kritisch umgehen und seine Lsungs-

strategie ggf. entsprechend verndern, Informationen aus mathematischen Sachtexten und aus Computerdarstellungen entnehmen

und Anderen verstndlich erlutern, selbststndig und in kooperativen Lernformen komplexe Problemstellungen zur Differenzial-

und Integralrechnung bearbeiten.

4.2 Vektorrechnung/Analytische Geometrie

Von den Themen 1 und 2 ist mindestens eines zur Bearbeitung auszuwhlen. Folgender Ab-schnitt enthlt das Thema 1 Ebenen.

Klassenstufe 12

SachkompetenzDer Schler kann Punkte, Strecken, Geraden, Flchen und Krper im dreidimensionalen kartesischen

Koordinatensystem darstellen und ihre Lage beschreiben, aus Darstellungen sowie Eigenschaften von Krpern und Flchen auf die Koordinaten von

Punkten schlieen, Vektoren in Koordinatendarstellung angeben und geometrisch interpretieren, einfache Sachverhalte mit Tupeln beschreiben, Vektoren zeichnerisch und rechnerisch (auch ohne Hilfsmittel) addieren, subtrahieren und

vervielfachen, zwei bzw. drei Vektoren auf lineare Abhngigkeit untersuchen und das Ergebnis geometrisch

interpretieren, den Betrag eines Vektors ermitteln, das Skalarprodukt berechnen (in der Koordinatenform auch ohne Hilfsmittel), geometrisch

deuten und zur Berechnung von Winkelgren nutzen,Geraden durch Gleichungen in der Parameterform beschreiben, Koordinatenebenen durch Gleichungen in der Koordinatenform beschreiben, Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Koordinatenebenen untersuchen, Schnittpunkte und Schnittwinkel zweier Geraden berechnen, Schnittpunkte von Geraden und Koordinatenebenen bestimmen, Vorgehensweisen bei der Bestimmung der gegenseitigen Lage von Geraden und

Koordinatenebenen ohne Hilfsmittel erlutern, Schnittwinkel einer Geraden mit einer Koordinatenebene ermitteln, Abstnde berechnen: Punkt Punkt, Punkt Gerade, Punkt Koordinatenebene,

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seine Kenntnisse aus der Vektorrechnung und analytischen Geometrie auf inner- und auer-mathematische Problemstellungen anwenden.

Thema 1 Ebenen Ebenengleichungen in Parameterform und parameterfreier Form erlutern und ermitteln, Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen untersuchen, Abstnde zwischen Punkten, Geraden und Ebenen bestimmen.

MethodenkompetenzDer Schler kann zusammengesetzte Krper in geeigneten Darstellungen skizzieren, CAS und dynamische Geometriesoftware zur Lsung ebener sowie rumlicher geometri-

scher Problemstellungen selbststndig anwenden.

Selbst- und SozialkompetenzDer Schler kann zeichnerische Darstellungen selbststndig analysieren, bei kooperativen Lernformen das Vorgehen und die Ergebnisse Anderer einschtzen, ber den Einsatz von Hilfsmitteln verantwortungsbewusst entscheiden.

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4.3 Stochastik

Von den Themen 1 und 2 ist mindestens eines zur Bearbeitung auszuwhlen. Folgender Ab-schnitt enthlt das Thema 2 Hypothesentests; Normalverteilung.

Klassenstufe 12

SachkompetenzDer Schler kann exemplarisch statistische Erhebungen planen und beurteilen, zweiseitige Signifikanztests fr binomialverteilte Zufallsgren durchfhren und

interpretieren, normalverteilte Zufallsgren an Beispielen erlutern, graphisch darstellen sowie die Eigenschaften der Gauschen Glockenkurve aus der

Anschauung heraus beschreiben, durch Erwartungswert und Standardabweichung charakterisieren, zum Lsen inner- und auermathematischer Probleme anwenden.

Thema 2 Hypothesentests (auch einseitige Signifikanztests und Alternativtests) fr binomial- und nor-

mal-verteilte Zufallsgren durchfhren und interpretieren, Unsicherheit der Ergebnisse von Hypothesentests begrnden, diskrete und stetige Zufallsgren am Beispiel von Binomial- und Normalverteilungen

vergleichen, den Zusammenhang zwischen Binomial- und Normalverteilung beschreiben, stochastische Situationen untersuchen, die zu annhernd normalverteilten Zufallsgren

fhren.

MethodenkompetenzDer Schler kann Eigenschaften und Anwendungen von normalverteilten Zufallsgren in einer Prsentation

darstellen, Ergebnisse von statistischen Erhebungen prsentieren.

Selbst- und SozialkompetenzDer Schler kann die Bedingungen fr die Modellierung von Zufallsexperimenten und die dabei gewonnenen

Ergebnisse am Sachverhalt prfen und kritisch werten.

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5 LeistungseinschtzungBis zur Verffentlichung einer fachlichen Empfehlung des Thringer Ministeriums fr Bildung, Wissenschaft und Kultur gelten folgende Ausfhrungen.

5.1 Grundstze

Die Leistungseinschtzung bezieht sich auf die im Zusammenhang mit den im Unterricht erwor-benen Kompetenzen und setzt voraus, dass der Schler hinreichend Gelegenheit hatte, die in den Punkten 2, 3 und 4 ausgewiesenen Kompetenzen zu erwerben (vgl. dazu die Ausfhrungen in den Leitgedanken zu den Thringer Lehrplnen)14. Da erfolgreiches Lernen kumulativ ist, mssen grundlegende Kompetenzen, die in vorangegangenen Jahren erworben wurden, wie-derholt und in wechselnden Kontexten angewendet werden. Dies ist in der Leistungseinscht-zung zu bercksichtigen.

Um die pdagogische Funktion der Leistungseinschtzung zu betonen, wird der Begriff Lern-erfolgskontrolle empfohlen.

Die Fachkonferenzen stimmen sich auf der Grundlage der gesetzlichen Bestimmungen ber ge-meinsame Grundstze und Kriterien zur Bewertung ab.

Die Lernerfolgskontrolle erfordert: unterschiedliche Kontrollformen (unterschiedliche schriftliche, mndliche, praktische Formen),

die ber das Schuljahr angemessen und ausgewogen verteilt sind, Transparenz (Anforderungen und Mastbe mssen bekannt sein), Individualitt, unterschiedliche Bewertungskriterien (vgl. 5.2), Bercksichtigung der Anforderungsbereiche I, II, III15 16 (vgl. nachfolgende Tabelle) in einem

angemessenen Verhltnis.

Anforderungsbereich I Anforderungsbereich II Anforderungsbereich IIIWiedergeben von Sachverhal-ten in gelernten Zusammen-hngen sowie Anwenden und Beschreiben gebter Arbeits-techniken und Verfahren

Bearbeiten bekannter Sach-verhalte unter vorgegebenen Gesichtspunkten sowieselbststndiges bertragen und Anwenden des Gelernten auf vergleichbare Zusammen-hnge

Verarbeiten komplexer Sach-verhalte durch selbststndiges Folgern, Verallgemeinern,Begrnden und Werten,Reflektieren des eigenenVorgehens, selbststndiges Whlen der Arbeitstechniken

Unterricht und Leistungseinschtzungen mssen dem Schler in vielfltigen Situationen Gele-genheit geben eigene Strken und Schwchen sowie die Qualitt seiner Leistungen realistisch einzuscht-

zen,

14 Vgl. Leitgedanken zu den Thringer Lehrplnen fr den Erwerb der allgemein bildenden Schulabschlsse, 2011, Kapitel 4.

15 Vgl. Sekretariat der Stndigen Konferenz der Kultusminister der Lnder in der Bundesrepublik Deutschland (Hrsg.) (2004 b): Bildungsstandards im Fach Mathematik fr den Mittleren Schulabschluss Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 4.12.2003, Mnchen, Wolters Kluwer, S. 13 ff.

16 Vgl. www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2012/2012_10_18-Bildungsstandards-Mathe-Abi.pdf, S. 27.

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kritische Rckmeldungen als Chance fr die persnliche Weiterentwicklung zu verstehen, Anderen sachliche Rckmeldungen zu geben sowie bereits erworbene grundlegende Kompetenzen zu wiederholen und in wechselnden Kontex-

ten anzuwenden.Im Sinne der Orientierung an Standards sind grundstzlich alle im Lehrplan ausgewiesenen Zielbeschreibungen fr den Kompetenzerwerb der Lernkompetenzen und mathematischen Kompetenzen (vgl. 1.1 und 1.2) bei der Leistungsbewertung angemessen zu bercksichtigen. Die Zielbeschreibungen beziehen sich auf die Qualitt des zu erwartenden Produkts und des Lernprozesses, ggf. auch der Prsentation des Arbeitsergebnisses. Sie spiegeln gleichzeitig die enge Verbindung aller zu entwickelnder Kompetenzen (Sach-, Methoden-, Selbst- und Sozial-kompetenz) wider und beachten die Spezifik der Lernbereiche Arithmetik/Algebra, Funktionen, Geometrie und Stochastik. Bei kooperativen Arbeitsformen sind sowohl die individuelle Leistung als auch die Gesamtleistung der Gruppe in die Leistungseinschtzung mit einzubeziehen.

5.2 Kriterien

Die Einschtzung erfolgt auf der Basis transparenter Kriterien, die sich aus den Zielbeschrei-bungen fr die Kompetenzbereiche (vgl. 2, 3 und 4) ergeben.

Arithmetik/Algebra Funktionen Geometrie Stochastik

Produkt-bezogeneKriterien

sachliche Richtigkeit bersichtlichkeit, Vollstndigkeit und Strukturiertheit der Darstellung von

Lsungswegen und Ergebnissen angemessene Verwendung der mathematischen Fachsprache und Symbolik

sinnvolleGenauigkeit der Ergebnisse

exakter Umgang mit Gren

Sauberkeit und Genauigkeit bei der graphischen Darstellung von Funktionen (auch auf Millimeterpa-pier)

Sauberkeit und Exaktheit bei geo-metrischen Kon-struktionen und Zeichnungen (auch auf unlinier-tem Papier)

bersichtliche und exakte Dar-stellung und Aus-wertung gewon-nener Daten in Tabellen und Dia-grammen (auch unter Nutzung von Computer-software)

Prozess-bezogeneKriterien

vollstndiges Erfassen von gegebenen und gesuchten Gren Finden und kritisches Werten von Lsungsideen, Planung und Interpretation von

Lsungswegen Anstrengungsbereitschaft, aufmerksames, sorgfltiges und konzentriertes

Arbeiten Teamfhigkeit, gewissenhafte bernahme von sozialen Rollen (Gesprchs-

leitung, Protokollfhrung usw.) Zeitmanagement whrend Einzel- und Gruppenarbeit sachgeme Auswahl und Anwendung von Hilfsmitteln zielgerichtete Beschaffung von Informationen, Nutzung geeigneter Medien Gestaltung der Lernumgebung (Vollstndigkeit der Arbeitsmaterialien, Ordnung

am Arbeitsplatz, Arbeitslautstrke)

sinnvoller Um-gang mit dem Ta-schenrechner sowie mit CAS

sinnvoller Einsatz des Computers

sicherer Umgang mit Zeichen-gerten

kritische Wertung von Daten

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zielangemesse-ner Umgang mit dynamischer Geometrie-software

Prsentations-bezogeneKriterien

Strukturiertheit der Lsungswege und Ergebnisse unter Auswahl geeigneter Visualisierungsmglichkeiten

zielangemessener und sicherer Umgang mit geeigneter Software Prsentation entsprechend der Zielgruppe, Einbeziehen der Zielgruppe

(Kommunikationsfhigkeit) zusammenfassende Darstellung der Ergebnisse Einhalten der vorgegebenen Zeit angemessene Vortragsweise angemessene Krpersprache kompetente Reaktion auf Fragen

5.3 Grundstze der Leistungseinschtzung in bilingualen Modulen

In bilingualen Modulen steht die Leistungsbewertung nicht im Vordergrund. Der Schwerpunkt liegt in der Auseinandersetzung mit dem Sachfachgegenstand in der Fremdsprache.Im Fall einer Bewertung basiert diese auf der fachlichen Leistung, da die Unterrichtsgegenstn-de der bilingualen Module dem Sachfach zugeordnet sind. Eine mgliche Bewertung erfolgt da-her in dem jeweiligen Sachfach durch Ziffernnoten und gegebenenfalls eine verbale Leistungs-einschtzung.Der Lehrer muss sicherstellen, dass die Schler den Unterrichtsstoff verstanden haben. Fr den Schler darf aufgrund von Sprachproblemen kein Nachteil bei der Leistungsbewertung entste-hen.Leistungserhebungen erfolgen in der Regel in der jeweiligen Fremdsprache. Der Schler kann auf die deutsche Sprache zurckgreifen, wenn ihm die mndliche bzw. schriftliche Darstellung des behandelten Gegenstandes nicht im gewnschten Umfang in der Fremdsprache mglich ist.

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1 Zur Kompetenzentwicklung im Mathematikunterricht fr den Erwerb der allgemeinen Hochschulreife1.1 Lernkompetenzen1.2 Mathematische Kompetenzen1.3 Bilinguale Module

2 Ziele des Kompetenzerwerbs in den Klassenstufen 5 102.1 Klassenstufen 5/62.1.1 Arithmetik/Algebra mit Zahlen, Variablen und Symbolen umgehen2.1.2 Funktionen Beziehungen/Vernderungen erkunden, beschreiben und darstellen2.1.3 Geometrie ebene und rumliche Strukturen nach Ma und Form erfassen2.1.4 Stochastik mit Daten und Zufall arbeiten

2.2 Klassenstufen 7/82.2.1 Arithmetik/Algebra mit Zahlen, Variablen und Symbolen umgehen2.2.2 Funktionen Beziehungen/Vernderungen erkunden, beschreiben und darstellen2.2.3 Geometrie ebene und rumliche Strukturen nach Ma und Form erfassen2.2.4 Stochastik mit Daten und Zufall arbeiten

2.3 Klassenstufen 9/102.3.1 Arithmetik/Algebra mit Zahlen, Variablen und Symbolen umgehen2.3.2 Funktionen Beziehungen/Vernderungen erkunden, beschreiben und darstellen2.3.3 Geometrie ebene und rumliche Strukturen nach Ma und Form erfassen2.3.4 Stochastik mit Daten und Zufall arbeiten

3 Ziele des Kompetenzerwerbs in der Einfhrungsphase der Thringer Oberstufe fr Schler mit Realschulabschluss3.1 Arithmetik/Algebra mit Zahlen, Variablen und Symbolen umgehen3.2 Funktionen Beziehungen/Vernderungen erkunden, beschreiben und darstellen3.3 Geometrie ebene und rumliche Strukturen nach Ma und Form erfassen3.4 Stochastik mit Daten und Zufall arbeiten

4 Ziele des Kompetenzerwerbs in der Qualifikationsphase der Thringer Oberstufe4.1 Analysis 4.2 Vektorrechnung/Analytische Geometrie4.3 Stochastik

5 Leistungseinschtzung5.1 Grundstze5.2 Kriterien 5.3 Grundstze der Leistungseinschtzung in bilingualen Modulen

Lp Gy Mathematik 20-1-2014

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