Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben Abschnitt 1 1. Zahlenarten und -darstellungen

1.1. Die vier Grundrechenarten sind im Bereich der a) natürlichen Zahlen, c) natürlichen Zahlen, ausgenommen die nicht durch null mögliche Division,

ausführbar.

1.2. a) a > b, weil 221 169 289 > 289 ist

1.3. a) 8,14 .. .

-1,86 .. . 15,70 .. . 0,628 .. .

c) a > b, weil gilt

888· 911 808968 896· 901 901· 911 = 911· 901> 911· 901

807296 = 911· 901

13 15 4 c)6'-6,1'9

Alle Ergebnisse sind rationale Zahlen.

Alle Ergebnisse sind irrationale Zahlen.

1.4.

1.5.

a) 11 100

a) Es ist

c) 1001001

1,7320506< J3 < 1,7320509, weil 2,9999992< 3 < 3,0000003 ist.

Demzufolge ist J3 = 1,73205 ...

c) 1,414213 ... + 1,732050 ... = 3,14626 ...

2. Auflösen additiver und multiplikativer Klammem

2.1. a) 3b+2c

2.2. a) a2 - ab + ac

2.3. a) 18a2 - ab - 4b2

2.4. a) a2 + 54ab - 29b2

3. Binomische Formeln

3.1. a) a2 - 6ab + 9b2

3.2. a) 16a4 + 16a2 + 34 a - 24

3.3. a) (7a + 3)2

3.4. a) 48a2 - 16ab + b2

c) 3a+4b+3

c) -4(b-c)

c) a2 - 2ac - b2 + c2

c) -2 (ad - bc)

c) b2 - a2

c) 9a2+12ab - 30ac+4b2 - 20bc+25c2

c) (13a - 5b)2

c) (2J;. + 3Jb)2

3.5. a) (a + b)2 - 1

3.6. a) (2a - 3)2 + (3b - 4)2 = 25

4. Ausklammern gemeinsamer Faktoren

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

a) a (1 + a)

a) (ab + 1)2

a)(a-b)(7c-9d)

a) -2a3 (a - 1)2

1 1 a) n2 (1 + n+~)

5. Division von Klammerausdrücken

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

a) Vor.: a::t= 0; 5a - b + 8c

a) Vor.: a::t= -b;

3a+ 2b

2 a) Vor.: a::t= -Sb;

7a + 2b - 3c

a)Vor.:a::t=-b;

a2 - ab + b2

2 a) Vor.: a::t= -"3b;

3a2 - 2ab _ b2 + 4b 3

3a+2b

a) Wegen x2 +3x +9 > 0

x2 _ 4x _ 2 + 2x + 25 x2 +3x+9

6. Bruchrechnung

6.1.

6.2.

a) 22 . 32 . 11 . 17' 1 , 3

a) 2.34 = 162

6.3.1. a) 0

Abschnitt 1 391

c)(a-b-l)2

c) (.J3 a - fi )2_(.J2 b -.J3 )2=-1

c) 4b (2a + 5b)

c) (a + 1)(1 + 4b)

c) (5a + 1)(3b - 1)

c) 15 (a2 - 4b2)

c) n3 (.1_ 2 )3 n

c) Vor.: a::t= 0; -7a2 +5a-8

2. c) a::t= - 3 '

a-l

5 3 c) Vor.: a::t= 7b-7c;

3x- 5y

c) Vor.: b::t= -1a2;

4a2 - 3b

c) Vor.: a::t= -b;

a2 - ab + b2 _ 2ab a+b

3 c) Vor.: a::t= -2"b;

5a2 - ab + b2 + b 3 2a+3b

c) 23 ·3 . 5 . 19; -9

c) 24 . 3 . 5 . 7 . 13 = 21840

c) 56 5

392 Lösungen

6.3.2. a) Vor.: a::;:. 0;

1 + 1 a

6.4.1. a) 213~

) 5a+3b+20c 6.4.2. a 12

6.4.3. a) Vor.: ab::;:. 0; (2-a) (a2 +b2)

2ab

6.5.1.

6.5.2.

11 13 47 a) 6' 12' 60

3a2 +6a+2 a(a+1)(a+2) rur a ::;:. 0, a::;:. -1, a ::;:. -2

1 a) Vor.: a::;:. 4; 1

4(4a-1)

6.5.3. a) Vor.: axy::;:. 0, 1 x 1 ::;:.1 y I; a-b

x2 _y2

6.5.4. a) Vor.: ab::;:. 0, a::;:. -b; 1

4 (a + b)

6.5.5. a) Vor.: ab::;:. 0, a::;:. -b;

1

6.6. Multiplikation VOn Brüchen

6.6.1. a) 1

6.6.2. a) Vor.: ab::;:. 0;

a2 + 9b2

6.6.3. a) Vor.: a::;:. 0, a::;:. ± "ib;

5b+7 14a

c) Vor.: ab::;:. 0; _1 ab

) 176 cs!

) 7a-24b c 96

c) Vor.: abc::;:. 0;

~+Q b a 2 1 2

c) "3'4' 15

a/-1 rur I a I::;:. 1

2 c) Vor.: a::;:. -1, a ::;:. -"3 ; 2a

(a+1)(3a+2)

c)Vor.:ab::;:'O,lal::;:.lbl; 1

(a+b)2

c) Vor.: a::;:. -2, a::;:. -3; 12

(a + 2)(a + 3)

b c) Vor.: ab::;:. 0, a::;:. -"2; 1

2 (2a + b)

c) 1

c) Vor.: ab::;:. 0; 4a2 - 9b 2

6ab

c) Vor.: a::;:. - 1;

1 a+l

6.7.

6.7.1.

6.7.2.

6.7.3.

6.7.4.

6.7.5.

6.7.6.

6.8.

6.8.1.

6.8.2.

6.8.3.

6.8.4.

6.8.5.

Division von Brüchen

2 a) '9

a) .Q. fur ab:;t ° a

a) Vor.: ab:;t 0, a:;t -2b; (a2 -4b2 )(a+2b)

2a2b

a) Vor.: a:;tO, a:;t 1;

a

a) Vor.: ab:;t 0,

(a2 + ab + b2 > ° immer)

1 1 -a b

a) Vor.: ab:;t 0, ab:;t 1;

a2b-a-l ab

Abschnitt 1 393

a c) b2 furb:;t ° c) abb fur ab :;t 0, a:;t -b

a+

c) Vor.: ab:;t 0, 1 a l:;t 1 b I;

a2 +b2

a2 -b2

c) Vor.: 1 al :;t 1 b I; lal:;t (1 ± .J2)b;

a2 +2ab-b2

a2 -2ab-b2

c) Vor.: ab:;t 0; 1 al:;t 1 b I;

1 2

c) Vor.: a:;t 0, a:;t -b; 1

a2 - a- b :;t 0, d.h. a:;t 2(1± -Jl +4b);

a2

a2 -a- b

Vereinfachen von Brüchen durch Kürzen

10 a) Vor.: a:;t Tb; 7 3

c) Vor.: a:;t 2'c-2'b;

Sc 17x

a) Vor.: a:;t - b; 1 c) Vor.: a:;t -13 ; x+y 3a+7b

13 a) Vor.: a:;t Sb; c) Vor.: ab:;t -34;

t(5a-13b) -k ab + 17

a) Vor.: lal:;tlbl; c) Vor.: ab:;t 0, a:;t - b; a2 +b2 4ab a+b a+b

a) Vor.: a:;t - 3b, x:;t 3y; c) Vor.: ab:;t 4;

l(la+ b)(x2 + 3xy +9y2) 2 3

-5

394 Lösungen

6.8.6. a) Vor.: a * -1;

2 (a-l)

6.9. Rechnen mit (-1)

c) Vor.: a * - (b + 1); a-b+l a+b+l

a)_b-c_-b+c_b-c_c-b_.f._.Q. für d;tO d - d - -d - d -d d

c) Vor.: a;t-b;a-b

Abschnitt 2 1. Potenzbegriff, Addition und Subtraktion von Potenzen

1.1. a)Vor.:a;tO; c)(a-b)3

1.2.

1.3.

a- 4 =_1 a 4

1 a) -81

a) -Wa2 b

c) _1 8

c) 3 (a - b)2

2. Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis

2.1. a) Vor.: abx;t 0; 9an x7

2.2. a) Vor.: xy;t 0;

(~)2 x 4a-3y

2.3. a) Vor.: x;t 0; x3n + x2n + 2 _ xn + 1

c) Vor.: ab * 0; (ab )2(x+l)

c) Vor.: abcxyz * 0; 9by2 z lOacx

c) Vor.: ab;t 0; a3 + a2b + ab2

3. Potenzieren von Potenzen, Multiplikation und Division von Potenzen mit gleichem Exponenten, Rechnen mit negativen Exponenten

3.1. 9 a) 16 c) Vor.: a;t 0;

3.2. a) Vor.: a > 0, b;t 0;

.±a 3

3.3. a) Vor.: 1 al ;t 31 b I;

3b-a 3b+a

_1 _ _ a20

c) Vor.: abxy;t 0; 32 y8

27 x6

2 3 c) Vor.:a;tO,a*3"b,a;t-2"b;

~(2a- 3b)2(3a+ 2b)2 a

Abschnitt 2 395

3.4. a) Vor.: xyz,* 0; c) Vor.: c'* 0, I x I '* I y I; 7

10 z2 C(X~y»)m. c(:~y)r 4. Unter welchen Bedingungen können folgende Zahlen Radikand einer

Quadratwurzel sein?

4.1. a) +a fiir a;::: 0, -a fiir a ~ O. c) +a3 fiir a;::: 0, -a3 fiir a ~ O.

4.2. a) +(a - b) fiir a;::: b, -(a - b) fiir a ~ b. c) a2 - b2 fiir I al ;::: I b I.

5. Addition und Subtraktion von Wurzeln

5.1. a) -5J3 5.2. a)Vor.: Irl>lxl;

2x(2x2 - 3r2 )

Jr2 -x2

5.3. a) Vor.: x< 1; 3-x 2~

c) -33

c) Vor.: kx '* 0;

k2

~(X-k)2 +x2

c) Vor.: I x I < I a I; a2

6. Multiplikation und Division von Wurzeln

6.1. a) 105

6.2.

6.3.

7.

7.1. 7.2.

7.3.

a) 7..fi

7 a) 16

Radizieren von Potenzen und Wurzeln a) 32· 0-5

a) Vor.: a;:::O, n= 1,2,3, ... a2n + 1

a) Vor.: a;::: b;

/a2 -b2/. ~Ia+bl

c) Vor.: I a I > I b I;

a2 +b2

a2 -b2

c) Vor.: I x I;::: 1; 61 x -11.Jx(x + 1)

c) Vor.: a + c> 0, b + C > 0, a,* b;

(.Ja+C + Jb+c f a-b

c) lfi = 1,26 c) Vor.: keine

I a I· b2

c) Vor.: r > 0;

_l.J3x 2 .

396 Lösungen

7.4. a) Vor.: a> 0, b > 0; c) Vor.: a> 0;

l~ v;J

8. Formen Sie folgende Brüche so um, daß ihre Nenner aus rationalen Zahlen bestehen!

8.1. a) '7 c) ~ J2

8.2.

8.3.

8.4.

8.5.

8.6.

a) Vor.: a> 0;

~

a) !(7+v1o)

a) 4(3J2 -4)

a) ~(7+3JS)

) 27.J15 -10 a 55

Abschnitt 3 1. Definition des Logarithmus

1.1. a) x= 2

1.2. a) x =-1

1.3. a) x = 2

1.4. a) x = 16

1.5. a) x= 3

1.6. a) x =-3

1.7. a) x = 1000

1.8. a) x = e2

2. Anwendung der Logarithmengesetze

2.1. a) 4lg 2

2.2. 3

a) 2"

c) Vor.: xy> 0;

I~IFY c) 5(3 +./6)

c) 2(2J2 - JS)

c) Jj

c) ~~7(11-6J2) =~J7(3-J2)

1 c) x=3

2 c) x=-

3

c) x= 3

c) x = 10 1

c) x="2

c) x =-2

c) x = 64

c) x= 1 e

1 c) 2"

1 c) --3

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

a) Vor.: a> 0;

21ga 7

a) Vor.: lal>lbl; 19 (a2 + b2) + 19 la + bl + 19 la - bl

a) Vor.: 1 al < 1;

~[log(1- a) -log(1 + a)]

a) Vor.: a> 1 b I;

log Va + b a-b

a) Vor.: a>O, a>b, b>O;

~~a2 - b2 19 b

Abschnitt 4 397

c) Vor.: abd> 0, c"* 0;

1 (lgl al + 21g1 c 1- 19l bl- 19l dl)

c) Vor.: 1 a 1 > I b I ;

19 la + bl + 19 la - bl-lg (a2 + b2)

c) Vor.: a> 0, b"* 0, c> 0, d> 0;

~ In a - 21nl b 1- tIn c + 31n d

c) Vor.: a> 0, b > 0, c> 0;

1 acVC gJb c) Vor.: a> 0, b > 0, c> 0, d > 0;

1 '{Ja bd g c2

3. Anwendung logarithmischer Grundformein

3.1. a)x=1

3.2. a) x = 30

3.3. a) x=0,5321

Abschnitt 4

1. Elementargeometrie n

l.l.l. a) 12 = 0,2617

1.1.2. a) 22,5° = 22° 30'

1.1.3.a) 0,07396

1.1.4. a) 297,52° = 297° 31' 12"

1.4. A'B'=A'C'=B'C'= 1f (.fj -1)AC

1 c) x=3

c) x = 2

c) x=4

7n c) 12= 1,8317

c) 450°

c) 0,5458

c) 132,42° = 132° 25' 12"

1.5. Bezeichnen wir die Längen der Seite des Quadrates mit s, der beiden Katheten mit a und b, der Hypotenusenabschnitte mit u und v, so ist

a) s = ~ b) s = uv a+b ~u2+v2

398 Lösungen

2. Bestimmen von Werten mittels Taschenrechners

2.1. a) sin a = 0,73432 tan a = 1,0817939

c) sin a = 0,99755 tan a = 14,273816

2.2. a) sin a = 0,8290:

cos a = 0,67880 cot a = 0,9243905

cos a = 0,069925 cot a = 0,070058

a = 55,996° + k . 360° = 0,977 + k . 21t, a = 124,004° + k .360° = 2,164 + k . 21t,

cos a = 0,8290: a = 34,004° + k . 360° = 0,593 + k . 21t, a = - 34,004° + k ·3600 = - 0,593 + k . 21t.

tan a = 0,8290: a = 39,659° + k . 180° = 0,692 + k1t.

cot a = 0,8290: a = 50,341 ° + k . 180° = 0,879 + k1t.

c) Für a = - 2,145 sind sin a und cos a nicht definiert.

tan a = - 2,145: a = - 65,005° + k· 180° = -1,135 + k1t.

cot a = - 2,145: a = - 24,995° + k . 180° = - 0,436 + k1t.

3. Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck

3.1. a) sin a = 0,6, cos a = 0,8, tan a = 0,75, cot a = 1,33

3.2. a) c = 92,7 cm c) a = 24 cm a=32,64° c=74cm ß=57,36° ß=71,1°

3.3. a) hc = 11,44 cm a = ß = 9,98° 'Y = 160,03° A = 743,6 cm2

c) c = 22,3 cm hc = 37,27 cm a = ß = 73,35° A=416cm2

3.4. a) Horizontale und vertikale Geschwindigkeitskomponente betragen jeweils m

14,14s' c) Die Höhe des Baumes beträgt 14,19 m.

4. Berechnungen am beliebigen Dreieck

4.1. a) c = 68,04 m a= 55,7° l = 18,3°

c) c = 189,56 m a=53° ß = 79,5°

Abschnitt 4 399

4.2. a) Die in den beiden Seilen auftretenden Kräfte sind 2627,2 N und 3073,9 N.

c) Die Entfernung zwischen den beiden Punkten A und B beträgt 76,42 m.

5. Anwendung trigonometrischer Formeln

5.1. J2

a) cos a=±T

tana=±1

cot a= ± 1

) . .J3 c sma=±T

1 cos a=±'2

.J3 cota= 3

5.2. Es werden hierbei nur Gleichungen angegeben, mit denen die Beweisführung vorgenommen werden kann.

x 5.2.l.a) Vor.: a *"2 + kx;

sin a tana=--

cos a' sin2 a + cos2 a = 1.

c) wie a)

5.2.2.a) sin2 ~ + cos2 ~ = 1, cos a = cos2 ~ - sin2 ~ c) Vor.: a * kx;

. a sm-a 2 tan-=--2 a'

cosI

2 a ·2 a cos a = cos I - sm 2' . 2. a a

sm a = sm 2 cos 2·

sin2 ~ + cos2 ~ = 1,

5.2.3.a) 4 sin3 a = 3 sin3 a + sin3 a, 1 - sin2 a = cos2 a, 3 sin a cos2 a = 2 sin a cos2 a + sin a cos2 a, cos2 a - sin 2 a = cos 2a, sin 3a = sin (2a + a) = sin 2a cos a + cos 2a sin a.

400 Lösungen

1t ll1t 1t c) Vor.: a:;c 6' + k1t, a:;C""6 + k1t, a:;c '2 + k1t;

sin a tan a=--

cos a' 1 - sin2 a = cos2 a, 1 - cos2 a = sin2 a, sin 3a = 3 sin a - 4 sin3 a, cos 3a = 4 cos3 a - 3 cos a.

5.2.4. a) cos2 a - sin2 a - sin2 a = cos 2a.

c) 2 sin ~ cos ~ = sin a, 1 - 2 sin2 a = cos 2a.

5.2.5. a) sin 2a = 2 sin a cos a, sin 4a = 2 sin 2a cos 2a.

) '( 2), 2,2 c sm a + 3' 1t = sm a cos 3'1t + sm 3' 1t cos a,

sin (a + ~ 1t) = sin (1t + a +~) = - sin (a + ~), , 1t, 1t

= - sm a cos '3 - sm '3 cos a,

Abschnitt 5 I, Betrag und Darstellung

1.1. a) I z I = J2 c) I z I = 4

Im (z) Im (z)

1 2 0 Re (z) 0 Re (z)

-1 z

-2 -{j' z

Bild 5.4 Bild 5.5

1.2. a) Diese Zahlen z liegen auf einem Kreis um den Nullpunkt der Gaußsehen Zahlenebene mit dem Radius r = J2 .

c) Diese Zahlen liegen außerhalb des unter a) genannten Kreises.

2. Addition und Subtraktion

2.1. a) 3 + 3i

Im (z)

3

2

1

0

Bild 5.6

2.2. a) 2 + 2i

Im (zJ

5

2

o / /

/ I

-3 z2 I

Bild 5.8

2 3

Re (z)

Re (z)

3. Multiplikation und Division

c) 2

Im (z)

2

0

-2 z,

Bild 5.7.

c) 4i

Im (zJ

I. z / \

/ \ I \

Bild 5.9

3.1. a) (6 + J6) + (3J3 - 2.J2 ) i = 8,4435 + 2,3677i

c) 18 -72i

Abschnitt 5 401

Re (z)

Re (z)

402 Lösungen

3.2. a) (2x2 -l) + 3xyi

1 2./6. 3.3.1.a) 5--5- 1

3.3.2. a) - J3 + J2 i

c) (~a2 + 15b2) -labi 9 3

c) 3 + 4i

c) lJ3+1 i 7 7

333 )V b 0 28a2-21b2+ ab ... a or.: a :f:. ; 16a2 +9b2 16a2 +9b2 für 16a2 :f:. - 9b2

c) 2a

4. Zusammengesetzte Aufgaben

4.1. a) (!v'3-"i)-(!+"iv'3)i=O,616-0,933i

4.2. a) 1

4.3. a) !J5 4.4.

1 a) '2

4.5. a) Xl = - 2, x2 = 1 -i

Abschnitt 6

c) _1v'3_ 1 i 4 4

c) _1J3+1 i 4 4

Iv'3 1 1 v'3. c) (- 3--)+(-+-)1 2 4 2 4

1 c) '2

c) Xl = J2 i, J2. x2=-T 1

1. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten

1.1. Gleichungen ohne Brüche

1.1.1.a) X = 3

1.1.2.a) x=c für a:f:.b X bel. für a = b

c) X =-3

c) x=-(a+b) für a:f:.b; X bel. für a = b

1.2. Bruchgleichungen mit bestimmten Koeffizienten und Faktoren im Nenner

1.2.l.a)x=7 c)x=O

11 1.2.2. a) x = -"2

4 1.2.3. a) x = 3"

1.2.4. a) x = 2

c) x=4

c) x = 10

14 c) x =13

Abschnitt 6 403

1.3. Bruchgleichungen mit unbestimmten Koeffizienten und Faktoren im Nenner

1.3.1. a) Vor.: abcx:;t 0;

x = a + b + c fur a2 + b2 + c2 :;t 0 und a2 +b2 +c2

a + b + C :;t 0 (entsprechend der Vor.) c) Vor.: ab:;t 0;

x = a + b fur a:;t I b· x bel. fur a = -23 b. 2 '

1.3.2.a) Vor.: a:;t 0;

x = -LI fur a:;t I und b:;t 0; a-

x bel. fur b = 0 (a:;t 0); keine Lösung fur a = I und b :;t O.

c) Vor.: x:;t 0; 2

x=b+l fur a:;tO und b:;t-l;

x bel., aber x:;t 0 (entsprechend der Vor.) fur a = 0; keine Lösung fur b = -1 und a:;t O.

1.3.3.a) Vor.: ab:;t 0; x = I fur a2 + b2 :;t 0 (entsprechend Vor.).

c) Vor.: b:;t 0; x = 1 fur a3 + 2b + 2c + b3 :;t O' , x bel. fur a3 + 2b + 2c + b3 = O.

1.4. Bruchgleichungen mit bestimmten Koeffizienten und Summen im Nenner

1.4.1.a) x = 18 3

1.4.2. a) x ="8

1.4.3. a) x = 6

1.4.4. a) x = 10

1.4.5. a) x = 20

c) x = 50

c) x=O

c) x= 2

c) x = 14

c) x= 3

e) x=-2

5 e) x=:2

e) x=2

5 i)

5 g) x=:2 x=-

2

g) x=2

1 g) x=:2

1.5. Bruchgleichungen mit unbestimmten Koeffizienten und Summen im Nenner

1.5.1.a) Vor.: x:;t2a, a:;tb; x = 2b fur a:;t 0; x bel., aber x:;t 0 fur a = 0 (siehe Vor.!).

404 Lösungen

a b c) Vor.: x:;t:2" x:;t:2';

x = ° tUr a:;t: b und ab:;t: 0, keine Lösung tUr a:;t: b und ab = 0;

x bel., aber x:;t:~ und x:;t:~ tUr a=b (siehe Vor.!).

1.5.2.a) Vor.: x:;t:-b;

x = a-/b tUr a:;t: b (entsprechend der Vor.!), keine Lösung tUr a = b.

c) Vor.: 1 a 1 :;t: 1 b 1 (keine Lösung tUr 1 a 1 = 1 b I;

x = a2 - b2 tUr b:;t: ° und 1 a 1 :;t: 1 b I;

x bel. tUr b = ° und a :;t: 0.

e)Vor.: ab:;t:O,a:;t:-b;

x = abb tUr a2b + ab2 - 1 :;t: 0, d. h. a+

. b ~b3 +4 tUr a:;t:-'2± 4b;

. b ~b3 +4 x bel. tUr a = - '2 ± 4b'

g) Vor.: ab:;t:O, a:;t:-b;

x = a ~ b tUr a:;t: - b, (ist laut Vor. stets erfiillt) und a2 + a + b + b2 :;t: 0, d.h.

tUra:;t: -t(1+~1-4b-4b2);

x bel. tUr a=-k(1+Jl-4b-4b2 ).

3 1.5.3.a) Vor.: 1 x I:;t: '2 1 a I;

x = 2a tUr a:;t: 0;

x bel., aber x:;t: ° tUr a = ° (siehe Vor. !).

c) Vor.: Ixl:;t:2; x = 2ab tUr a:;t: - b und I ab I :;t: 1; keine Lösung tUr a :;t: -b und I ab I = 1; x bel., aber I x I :;t: 2 tUr a = - b (siehe Vor. !).

e)Vor.: b:;t:O,lal:;t:lbl;

x = a - bb tUr 1 a 1 :;t: 1 b 1 :;t: ° (ist laut Vor. stets erfullt). a+

1.6. Bruchgleichungen, die Doppelbrüche enthalten 1 1 a) x = '3 c) Vor.: ax:;t: 0, x:;t: -a'

x = a:;t: ° (nach Vor.)

1.7. Sachaufgaben

1.7.1. Die gesuchte Zahl heißt li. 1.7.3. Die gesuchte Zahl heißt 8.

1.7.5. Die gesuchte Zahl heißt 5.

1.7.7. Die gesuchte Zahl heißt 5.

1. 7.9. Die Zahl 25 ist in 10 und!15 zu zerlegen.

1 11 B h · 21 .7. . Der ruc 1st 49.

1.7.13. Die Quadratwurzel soll von 223 ennittelt werden.

1.7.15. Der Angestellte hatte 72 Broschüren zum Verkauf.

1.7.17. Der Vater ist 36 und der Sohn 8 Jahre alt.

Abschnitt 7 405

1.7.19. a) Die Einzelwiderstände betragen R1 = R2 = 150 n, R3 = 300 n, R4=450n

b) Der hindurchfließende Strom hat eine Stärke von 0,1047 A "" 0,105 A. c) Die Teilspannungen haben die Werte VI = V2 "" 15,7 V, V3 "" 31,4 V,

V4 ",,47,2 V.

1.7.21. a) Die drei Widerstände müssen die Werte 20 kn, 40 kn und 120 kn haben. b) Die drei Widerstände müssen die Werte 500 n, 1000 n und 3000 n

haben.

1.7.23. In dem Behälter befinden sich 38,824 Liter Benzin und 1,176 Liter Öl.

1.7.25. Die Spitzengruppe benötigt 38s zum Überfahren der Brücke.

1.7.27. Die Zeitdifferenz beträgt 0,62 s.

Abschnitt 7 (1)

A B

w w w f f w f f

A/\B (A /\ B)

w f f w f w f w

- - (A v B) A B

f f f f w w w f w w w w

406 Lösungen

(3) A B C BvC A A (B v C) A(AB AAC (A A B) v (A A C) w W w w w w w w w f w w w f w f w w w f w w f f f f f f f w w w f f f f w f w f f f f f w w f f f f f f f f f f

Abschnitt 8 1.

2.

3.

a) a+ 1 = b a

(a+~r = b2

a2+2+-1 -3=b2 -3 a2

(a2 + a; -1)(a+~)=(b2_3)b a3+~=b3_3b

a

) A .. 3x-4< 1 angenommen, es ware 2x + 4 - - .

Dann würde folgen (wegen 2x + 4 > 0) 3x - 4 ~ - 2x - 4, 3x ~ - 2x, 5x ~ 0, x ~ 0, was ein Widerspruch zur Voraussetzung 0 < x < 00 ist.

(1 + 1) ·1 a) n = 1 : 1 = 2 = 1.

(k + 1)· k V: 1 + 2 + ... + k = 2

(k + 2)(k + 1) B: 1 + 2 + ... + k + (k + 1) = 2

(k+ 1)· k V ---t B: 1 + 2 + ... + k + (k + 1) = 2 + (k + 1)

(k + 1) . k + (k + 1) . 2 = 2

(k + 1) (k + 2) = 2

2 (2 . 1 + 1)(1 + 1) . 1 3· 2 b) n = 1 : 1 = 6 = 6 = 1.

w w w f f f f f

Abschnitt 9 407

. 2 2 2 _ (2k + 1)(k + 1) . k V.I + 2 + ... + k - 6

. 2 2 2 2 _ (2k + 3)(k + 2)(k + 1) B. 1 + 2 + .. , + k + (k + 1) - 6

(2k + I)(k + I)k V ~ B: 12 + 22 + ... + k2 + (k + 1)2 = 6 + (k + 1)2

(2k + 1) . k + 6 (k + 1) = (k + 1) 6

1 = 6 (k + 1) (2k2 + 7k + 6)

1 = 6 (k + 1) (2k + 3) (k + 2)

c) n = 0 : 20 = 20+ 1 -1 = 1.

V: 20 + 21 + ... + 2k = 2k+1 - 1.

B: 20 + 21 + ... + 2k +2k+1 = 2k+2 - 1.

V ~ B: 20 + 21 + ... + 2k +2k+1 = 2k+1 - 1 + 2k+1

= 2· 2k+1 -1

= 2k+2 - 1

Abschnitt 9 1. a) {2, 3, 5, 7,11,113,17, 19}

c) {2}

2. b) XE M, Y E M, Z li!O M d) x li!O M, Y E M, Z E M

b) {-3,2} d) 0

c) XE M, Y li!O M, Z E M

3. a) Mt cM2 b) Mt =M2 c) M3 cMt cM2

4. {a, u, t, o}, {a, u, t}, {a, u, o}, {a, t, o}, {u, t, 0 },

{a, U}, {a, t}, {a, o}, {u, t}, {u, o}, {t, 0 },

{a}, tu}, {t}, {o}, 0

5. b) MI U M2 = {2, 3, 4, 6,8,9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, ... } M1 nM2 ={6,12,I8, ... } M2 \ M2 = {2, 4, 8, 10, 14, 16, ... } M2 \ Mt = {3, 9, 15, ... }

c) MI uM2 = {l,2,-2} Mt n M2 = {I} M1 \M2 ={-2} M2 \ Mt = {2}

408 Lösungen

6.

8.

Mu0=M Mn0=0 M\0=M

M = {4}

7. MuM=M MnM=M M\M=0

9. a) MI b) MI c) M d) 0

10. MI = {l, 2, 3,4, 5}, M2={l,3,5}

11. a) Mt \ M2 = Mt b) Mt \ M2 = 0

12. a) [-3, 7) b) [1,2) c) [-3, 1) d) [2, 7) e) MI X M2 = { (x, y) I x E [-3,2) A Y E [1,7) } (Bild 9.1)

y

7 ---, I I I I I I I I I I

-3 2 x Bild 9.1

13. b) FI ist Abbildung aus MI auf M2, D = { I}, W = M2.

F2 ist Abbildung aus MI in M2, D = {I, 3}, W = (al.

F3 ist Abbildung von M I auf M2,

F 4 ist Abbildung von M I in M2,

FS ist Abbildung aus MI aufM2,

d) F2, F3, F4, Fs sind eindeutig, Fs ist eineindeutig.

Abschnitt 10 1. b) 720 c) 30

D=MI, W=M2·

D=Ml, W={a}.

D = {l, 2}, W =M2.

2. a) (n -1) n (n + 1) b) (n + 1) (n + 2) ... 2n

3. a) 15 b) -0,0625 c) 1 d) 4 e) 1

f) 1 g) 120 h) 42 i) 0

Abschnitt 10 409

.) 7 J "6

4. a) (D b) (i) c) (~) d) (~) e) G) f) (~) 5. d) _1 x4 _lx3y+lx2y2 _lxy 3 +...L y4

16 6 6 27 81 e) 4a + 12.Jäb + 9b f) x6 + 3x4 y2 + 3x2 y4 + y6

6. a) 0 c) 1

7.

8.

9.

10.

11.

13.

14.

15.

17.

19.

20.

21.

22.

b) (7a - 3)2

b) fahne 52. Stelle, hafen 75. Stelle

b) P5 - P4 = 96 c) Mit c beginnen

mit de beginnen mit cdef beginnen

b) p~1,1,2) = 12

P5 = 120, P4 = 24, P2 =2.

(2) 26! Y26 = (26-2)! =650

y(80) = 1080 W IO

a) C~4) =(~)= 15

C(5) - (6\ -6 6 - 5 -)

C~~ = (322)= 496

y(4) = 26. 104 = 260000 WIO

P6 = 6! = 120

b) pO,4, 1) = 8! = 280 8 3!· 4!· I!

y(5) = 105 wlO

b) C~~ =(6+:-1)= 126

c~~ = ( 6 + ~ -1) = 252

C~2) = (i)= 6

y(6) __ 1 . y(5) = 900 000 WIO 10 W IO

410 Lösungen

Abschnitt 11 1.

1.1.

1.1.1.

1.1.2.

1.l.3.

1.1.4.

1.1.5.

1.1.6.

1.2.

1.2.1.

1.2.2.

Lineare Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

Gleichungssysteme mit bestimmten Koeffizienten 1

a)xI=-2, x2 =4 c) x = 0, y= -20

a) xI=3, x2 = 5 c) x = 14, y= 10

a) x = 24, Y = 21 c) x = 13, y = 17 5 7

c) x = 3, y=6 a) x =2' y=2

2 1 a) Xl = '3-"3X2' x2 beliebig bzw.

x2=2- 3xI' Xl beliebig

c) Xl = 3, x2=4

a)xI=2, 1

x2=2 c) Xl = 0, x2 = 1

Gleichungssysteme mit unbestimmten Koeffizienten

a+b a2 -b a) Xl = a+l; X2=a+i füra:;e-l;

für a = -1 und b = 1 ist X I = -(x2 + 1), x2 beliebig bzw. x2 = -(xl + 1), Xl beliebig; für a = -1 und b * 1 gibt es keine Lösungen.

a+b a-b c) X = -4-' Y = -4- für alle a, b.

1 a) Vor.: 1 al * 2'1 b I;

1 Xl = 2a - b, x2 = 2a + b für 1 al *2'1 b 1 (entspr. d. Vor.)

c) Vor.: b * 0; X = 1, Y = 1 für 1 al * 1 b I; für 1 al = 1 b 1 ist X = 1, y beliebig.

1.2.3. a) Vor.: 1 al * 1 b I; a+b a-b

x= a-b' y= a+b für lal*lbl (entspr.d. Vor.)

c) Wenn a = 0 und b = 0 sind X und y beliebig; für ab * 0, a * -b ist

a+b a-b x=-a-' y=-b-;

Abschnitt 11 411

rur a = 0, b :t:. 0 oder a:t:. 0, b = 0 gibt es keine Lösungen; rur a = -b:t:. 0 iSt x = Y + 2, y beliebig bzw. y = x - 2, x beliebig.

1.2.4. a) Vor.: ab:t:. 0;

x=a+b=I+ll y=a-b=~_ rura:t:.b' a a' b b '

rur a = b ist x = 2 - y, y beliebig bzw. y = 2 - X, x beliebig.

c) Vor.: a:t:. -b, y:t:. a, y:t:. 0; a 3 -b3 a2 +ab+b2 a 3 +b3 a2 -ab+b2

x= a2 -b2 = a+b y= a2 -b2 = a-b

rur 1 a 1 :t:. 1 b 1 und ab :t:. 0; keine Lösung rur 1 a 1 = 1 b I;

rur a = 0 und b:t:. 0 ist x = -y, y beliebig; rur b = 0 und a :t:. 0 ist x = y, y beliebig.

1. 3. Sachaufgaben

1.3.1. Die beiden Zahlen heißen 35 und 25.

1.3.3. Die beiden Zahlen heißen 13 und 18.

1.3.5. Die beiden Zahlen sind 778 und 222.

1.3.7. Die beiden Widerstände betragen 100 Q und 200 Q.

1.3.9. X ist 5 km und Y 7 km vom Stadtzentrum entfernt.

1.3.11. Durch den einen Abflußstutzen fließt eine Wassermenge von t I pro Minute,

durch den anderen eine Wassermenge von 11 pro Minute.

1.3.13. Der Preis der beiden Saftsorten pro Flasche beträgt 2,70 EUR bzw 1,70 EUR.

1.3.15. Würden die beiden Arbeiter allein arbeiten, brauchte der eine 20 Tage und der andere 30 Tage.

1.3.17. Die Geschwindigkeiten der beiden Körper sind 9 mund 36 m . s s

2. Drei Gleichungen mit drei Unbekannten

2.1. Gleichungssysteme mit bestimmten Koeffizienten

a) x = Ii, y = ~, z = 1;

c) xl = 3,6 , x2 = 3, x3 = 1

e) x = 5,

g) x=20,

') 1 I xI=-4'

k)x=12 2 '

y=3,

y=2I, 7

x2 = -4' y=3,

z=I

z=22

X3=~ z=4

412 Lösungen

2.2. Gleichungssysteme mit unbestimmten Koeffizienten a) xl = -a + b + c, x2 = a - b + c, x3 = a + b - c

fur alle a, b, c. c) X = .!2.....±-l y = a + 1 z = a + b fur ab :;t 0'

2a ' 2b ' 2 ' keine Lösung fur ab = ° und fur a = 0, b:;t -1 und fur a:;t -1, b = 0;

X bel., y = z = -1 fur a = 0, b = -1; y bel., x = z = -1 fur a = -1, b = 0.

e) Vor.: xyz:;t 0; x= _1_ y- 1

b-a' a-b' keine Lösung fur 1 a 1 = 1 b I·

3. Beliebig viele Gleichungen mit beliebig vielen Unbekannten

a) Xl = 1, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3 c)xI=4, x2=-4, x3=13, x4=-6, xs=8

4. Homogene Gleichungssysteme

a) Xl = x2 = x3 = ° c) Xl = !X2 - iX 3' x2 beliebig, x3 beliebig.

Abschnitt 12 (Teilweise werden nicht alle Lösungsfalle behandelt)

1. Quadratische Gleichungen

1. 1. Quadratische Gleichungen mit bestimmten Koeffizienten

1. 1. l.a)

1.1.2.a)

1.l.3.a)

l.lA.a)

Xl = 2, x2 =-2 5 5

Xl = 6' X2 =-6

Xl = 4, x2 =2

Xl = 2,75, x2 = -2,42 1

Xl = 6, x2 ='2

c) Xl = 0, x2 =9

c) Xl = 6, x2 =-5

c) xI,2 = -i(1+mi)

c) Xl = 9, x2 =-1

c) Xl = 2, 45

x2 = 38 l.l.5.a)

l.2

1.2.1.a)

Quadratische Gleichungen mit unbestimmten Koeffizienten

l.2.2.a)

l.2.3.a)

Xl = a, X2 =-a

l.2A.a) Xl = a, X2 = ~

fur a :;t 0, X = ° fur a = °

c)

c)

c)

a xI=-3,x2=-a _a+b _a-b

Xl - 4 ' X2 - 4

Xl =1, x2 =-1 furlal:;tlbl

c) Xl = a:: ~2 , X2 = a + b für I al:;t: I b I, X = ° fur a = -b :;t 0, X bel. fur a = b

Abschnitt 12 413

1.2.5.a) Vor.: 1 a I;t: 1 b I, x;t: 0; a+b a-b

xl = a - b ' x2 = a + b

c) Vor.: x;t:-a, x;t:-b;

xl = a - 2b, x2 = b - 2a

fiir a;t: b, keine Lösung fur a = b.

1.3. Gleichungssysteme, die auf quadratische Gleichungen fuhren

1.3. La) xI;2= !(1±.J'7i) c) xl =2,78, x2=-3,78

6 Yl;2=1±.J'7i Yl=I,81, Y2=4,61

1.3.2.a)

c) Vor.: by;t: 0; keine Lösung fur c = O. ac _ ac

xl = x2-.Ja2 + b2 ' - .Ja2 + b2 '

_ bc _ bc YI - .Ja2 + b2 ' Y2 - _ .Ja2 + b2 .

1.4. Spezielle Gleichungen n-ten Grades, die sich auf quadratische Gleichungen zurückfuhren lassen

1.4.1. Biquadratische Gleichungen mit bestimmten Koeffizienten

a) Xl = 3, x2 = -3, x3 = 2, x4 = -2 c) Xl = 4, x2 = -4, x3 = J3i, x4 = -J3i

1.4.2. Biquadratische Gleichungen mit unbestimmten Koeffizienten

a) xI·2=±(a+b); x3·4=±(a-b) , ,

c) Vor.: ab;t: 0, 1 X I;t: I;

XI·2 = ±J;b fiir ab > 0, ab;t: 1 ,

a(a+ b) x3;4=± b(a-b) furO<b<aundfiirO>b>a.

1.4.3. Gleichungen n-ten Grades mit ao = al = ... = 8.n-3 = 0

a) Xl = x2 = ... = x8 = 0, x9 = -I, xlO =-5

414 Lösungen

c) x bel. fiir a = b = 0; x = 0 filr a = 0, b :;t: 0 und fiir a :;t: 0, b = 0,

Xl = X2 = ... = "6 = 0, x7 = ~, Xs = ~ fiir ab:;t: O.

1.5. a) Vor.: a ~ 0;

xl = !(.J5-1)Fa ,x2= -!(.J5+1)Fa fiira~O, x2 r; x2 r;

a=T(3+'\f5) fiir x~0,a=T(3-'\f5) filr x::;;O.

c) xl = 2a - b, x2 = 2b - a, al = b; X, a2 = 2b - x.

1.6. Sachaufgaben

1.6.1. a) Die beiden Zahlen sind 16 und 48 bzw. -16 und -48. c) Die gesuchte Zahl ist 37.

1.6.2. a) Der Widerstand beträgt 50 n, die Strömstärke4,4..{,

1.6.3. a) Die Fahrzeit des Materialwagens beträgt 4 Std., die der Radsportier 7,5

Std. Die Geschwindigkeit des Materialwagens beträgt 56,25 ~, die der

Radsportier 30 ~. c) Die beiden Motorradfahrer waren ursprünglich 36 m bzw. 40 m von der

Kreuzung entfernt.

e) Die Straßenlänge zwischen Leipzig und Dessau beträgt 60 km.

1.6.4. a) Die beiden Katheten haben die Länge 30 cm und 40 cm.

e) Die heiden Katheten hahen die Länge 18 cm und 24 cm.

e) Die Seitenlänge des Quadrates beträgt 50 cm.

2.

2.1.

2.2.

3.

g) Der Durchmesser des Kreises muß 4,82 cm sein.

i) Die Durchmesser der Hohlkugel betragen 21,25 cm und 27,25 cm. Gleichungen dritten und vierten Grades

1 a) xl = 1, x2 = -1, x3 = -2 c) xl =3' X2 =.J3, X3 =-.{j

a) xl = 1, x2 = 2, x3 = t, ~ = -t c) xl = -1, x2 = 1, x3 = 2 + i, x4 = 2 - i

Wurzelgleichungen

3.1. Wurzelgleichungen mit bestimmten Koeffizienten

3.1.1. a) x=9 c) x=15 3.1.2a) x=25

3.l.3. a) x=100 c) x=3-2J2 3.l.4a) x=51

c) x= 0

c) X = 10

Abschnitt 12 415

3.1.5. a) x=3 c) x = 5 3.1.6a) x=4 c) x=9

3.1.7. a)

3.1.9. a)

3.1.10.a)

c)

3.2.

3.2.1.a)

x=2

x = 12

c) x = 1 3.1.8 a) x = 13 c) x = 7

c) x1=-I, X2=t.J3; X3=-t.J3istkeineLösung!

xl = 3 ist keine Lösung, x2 = -3 1

xl = 1, x2 ="8

Wurzelgleichungen mit unbestimmten Koeffizienten

x = a 2 fur a ~ 0 c) x = (a - b)3 fur a ~ b

3.2.2.a) x = a + b2 fur b ~ 0 c) x = 0 fur a ~ 0

3.2.3.a) Vor.: b ~ 0; c) Keine Lösung fur a = 0, b:t:. 0, x = ab fur a :t:. 0, x ~ 0 bel. fur a ~ 0, x ~ 0 bel. fur a ~ 0,

x :t:. 0 bel. fur a = o. x = 9b2 fur ab :t:. o. a

3.2.4.a) Xl = t fur a > 0, b > O. c) Vor.: a :t:. -b, c :t:. -d

3.2.5.a)

3.2.6.a)

3.2.7.a)

c)

3.3.

3.3.l.a)

x = a fur a:t:. 0,

x ~ 0 bel. fur a = o.

x=~ fura>O b>O a+b '

(Keine Lösung sonst)

x = 1 fur ad :t:. bc, x ~ 0 bel. fur ad = bc.

c) x = 0 fur a = 0, (a -1)2

x= fura> 1 4 - .

c) x=.Ja2 +b2 furb>O,

x = a rur b = 0, a> o.

XI·2 =± ~ furO<b<a unda>b>O. , Va2 + b2

Vor.: a ~ 0, x ~ -a, x ~ a; xI;2 = ±a.

Gleichungssysteme, die Wurzelgleichungen enthalten

xl = 25, x2 = 9 c) xl = 14, x2 = 9 Yl = 9, Y2 = 25 Yl = 2, Y2 = 7

3.3.2.a) x> 0 bel., Y = 0 rur a = b:t:. 0, x = 0, Y > 0 bel. fur a = -b :t:. 0, x=(a+b)2, y=(a-b)2 rur lai ~ Ibl.

416 Lösungen

c) x bel., y = -x fiif a = b = 0,

x = 0, y = W fiif a = 0, b > 0,

x = v;!, y = ° fiif a > 0, b = 0,

x - a y - b fiif a + b > 0. -~a+b' -~a+b

Abschnitt 13

1. Logarithmische Gleichungen

1.1. a) x = - ~~ c) x = 212,4

1.2. a) x = -0,318

1.3. a) xl = 2, x2 = 1 ist keine Lösung c) xl = 10, x2 = -14 ist keine Lösung

1.4. a) xl = 3 c) xl = 4, x2 = -6 ist keine Lösung

1.5. a) x = ~ fiif a > 1. c) x = t fiif a > 1, b > 0.

7 4 -- 1

1.6. a) xl = ° , x2 = ° 4 = lOV103 c) xl = 4, x2 = 8

1.7. a) xl = -3, x2 = 3

1.8. a) xl = 10, x2 = 0-3 ist keine Lösung

1 1 _~ 1 +~ c) xl = 5' X2 = 53 2 , X3 = 53 2

1.9. a) xl = 0,001, x2 = 10

1.10.a) xl=-I, x2=5

8 LILa) x=-3

2. Exponentialgleichungen

2.1. a) x =-8

2.2. a) x = 0,9542

2.3. a) x =-i

1 c) xl = 5' X2 = 625

c) Xl = 0, x2 = 3 ist keine Lösung

1 c) Xl = 27 ' x2 = 9

c) x = 21

c) x = 0,2522

c) x = -3,525

Abschnitt 13 417

2.4. a) x = -14,45 c) x = +1,1359

2.5. 1 a) x I = "2' x2 = 2

1 3 c) xl = -"2' x2 = "2

e) xl =-1, x2=7 g) xl = -2, x2 = 1, x3 = 3

2.6. a) X = -1,731 c) x = -{),85

1 e) xI=4' x2=0 g) xl = 0, x2 = log3 2 = 0,631

i) x = 2 k) xl = -3, X2 = 2

635 3 1 ~ 3 1 ~ 2.7. a) X = logs 11 = 2,52 c) xI= -4, x2 = 1, x3 = -"2+"2v13, x4 = -"2-"2v13

e) XI=-J2, X2=J2 g) XI=-!' x2=1, X3=!+~' X4=!-~ i) XI=-J2, x2=-I, X3=I,X4=J2

2.8. a) x = 1

e) x = 1

3. Goniometrische Gleichungen

3.1. a) xk =26,6° + k . 180°

31t - 71t 3.2. a) xk = 10 + k1t, xk = 10 + k1t

c) xl = log3 1,25 = 0,2031, x2 = 1

c) xk = 68,2° + k . 180°

21t - 61t c) xk = 5 + 4k1t, x k = 5 + 4k1t

3.3. a) xk=58,9°+k·180°, xk=121,lo+k·180°

c) Xk = ~ + k1t, xk = 1t + k . 21t

e) keine Lösung

i) xk = 1t (2k + 1), xk = ~ (4k - 1)

g) xk = 21tk

1t k) xk = "4 (8k - 1)

3.4. a) xk = 1tk, xk = ~ (l2k ± 1) c) xk = ~ (2k + I)

e) xk = 1t (2k + 1), xk = 2; (6k ± 1)

g) xk = 1t (2k + I), xk = ~ (4k + 1)

i) Xk=~ (4k+ 1), xk = (_I)k ~ +1tk

k) xk = 199,5° + k . 360°, xk = 340,5° + k .360°

418 Lösungen

3.5. a) xk = ~ (2k + 1), xk = ~ (6k ± 1)

1t c) xk = "4 (4k + 1), xk = 21tk

1t e) xk = 4 (2k + 1), xk = ~ (2k + 1)

1t g) xk = "2 (4k - 1) i) xk = 2; (6k ± 1)

3.6. 1t a) xk ="2k

1t c) xk = "2k, xk=~(2k+l)

1t e) xk = "4(4k - 1), xk = ;6(4k -1)

1t 1t g) xk="6 +3k, - 1t k Xk="2+ 1t

i) xk = 1tk, x k = ~ (2k + 1)

3.7. a) xk =1tk, xk = ~ (6k ± 1)

1t = 1t k) xk = 1tk, xk ="8 (2k + 1), Xk = 4(2k + 1)

c) xk = ~ (4k - 1), xk = ~ (3k ± 1)

1t 3.8. a) xk = -3 + 1tk

k1t 1t 1t c) xk = (-1) 18-18+3k

1t e) xk = "2(4k + 1)

i) xk = ~ (2k + 1), xk = ~ (3k ± 1)

k) xk = 1tk, xk = ~ (4k + 1)

g) xk = ~ k, x k = ~ (2k + 1)

0) Die Aufgabe hat keine Lösung, da x '* 0 und x '* Z. vorausgesetzt wer-2 den muß.

Abschnitt 14 l. a) (-00,2) c) (3, 00) e) (- 00, V] g) 0

2. 1 a) R \ [2,2] c) 3

(7,4) e) [-2,5] g) R \ (-3, -2)

3. 11 a) R \ [2, 4) c) R\[-3,-1] 2

e) (3,1) g) R \ {-i} 4. a) [-2, 1) u (6, 00) c) 1 (-00,-2)u(7,3)

e) 11 1 (-12' -"2) u (2, 00) g) 3 R\(-4,1]

5. a) 2 3 (3'2) c) R \ (-3, -1) e) 0 1

g) R \ [2,4]

6. a) 0,5) e) (-00, -5) u (-2, 1) u (2, 00)

7. a) R\[-4,-3] c)

8. a) (-00,0) u (1, 7)

9. a) [3,9]

10. 5 a) (2,3)

11. a) [-1,2)

12. a) (-1, 13)

13. a) (-00, -5)

14. a) siehe Bild 14.12

e) siehe Bild 14.14

-2 -,

-1

-2 Bild 14.12

y 2

Bild 14.14

3 4 [-2' 3)

Abschnitt 14 419

c) R g) [-4, -3] u [4, 00)

e) 0 g) (0, 00) \ {4}

c) [-3, -1) u [1, 00) 3

c) (-00, 5) c) (-3,3)

c) R \ [-3, 5] 6

c) R \ [-3, 5]

c) siehe Bild 14.13

g) siehe Bild 14.15

y

Bild 14.13

Bild 14.15

420 Lösungen

15. a) siehe Bild 14.16

16. a) siehe Bild 14.18

Bild 14.16

y 3

y

-3

3 x

-3 Bild 14.18

17. a) {-2,8} c) {-l}

18. a) {-3, 1-..fi, 1+..fi, 5} e) {2 -..fi, 2, 2 +..fi}

19. a) {-7, -1} 20. a) (-1,5) c) (-00, 1]

21. a) [-5,3]

'I

2

c) siehe Bild 14.17

c) siehe Bild 14.19

4 x -1

-2

-3

Bild 14.17

-3 -2 -1 -1

~~ Bild 14.19

e) {-7,!} g) {O, I}

c) {-2,4}

g) {-tl

g) [2,4]

c) (-00, -2 -JU) v (-2 -.J7, -2 +.J7) v (-2 + JU, 00) e) 0 g) R \{-l}

22. a) (0,3)\{l} c) (-00, 1]\{-4-} e) (-2,-~]V[6,00)

23. a) siehe Bild 14.20 e) siehe Bild 14.22

y

Bild 14.20

-6 -5 -4 -3 -2 -1

Bild 14.22

x

Abschnitt 15

1.

2.

3.

4.

a) y = 0,6x - 1,5, D = R

2 c)y=~-6, D=R\{O}

a) steigend d) steigend für x E (-00, 0]

fallend für x E [0, 00)

a) ungerade e) gerade g) gerade

Abschnitt 15 421

c) siehe Bild 14.21 g) siehe Bild 14.23

Bild 14.21

1 2 3 x

Bild 14.23

d)y=-!x2 +2x+4, D=R

d) y=4x 2 +8x+4, D=R

b) fallend t) fallend für x E (-00, 0]

steigend für x E [0, 00)

b) weder gerade noch ungerade t) weder gerade noch ungerade h) ungerade

422 Lösungen

5. a) X() = 1,5

d) XI;2 = 3

b) Xl = 1, X2 =-2

e) keine reellen Nullstellen

c) Xl = -1, X2 = 2 f) X()=o

6.

7.

8.

1 3 a)Y=-2x +2

b) y= ~, D= [1, 00), W= [0, 00) c)y=..Jx-l, D=[O,oo), W= [-1, 00)

d) y= lfiX, D = [0, 00), W= [0, 00)

a) Cl = 21,8° , XN = 4

2 5 a) y=-x+-3 3

b) y= 3x-2

d) Cl = 0°, keine Nullstelle

c) y = 3x + 3

9. a) Xs =2,ys =-I;xI =1,x2 =3 b) Xs =4,ys =0; xl =x2 =4 c) Xs =3,ys =1; xI;2 =3±i d) Xs =3,ys =-4; xl =5'X2 = 519

e) Xs = 2' Ys = -2; Xl = 3, x2 = 2 g) Xs = 1, Ys = 2; Xl = -2, x2 = 4

10. a) f(XI)=0,f(X2)=10,y=(X-1)(X- ~-I)(x+ ~+1) 1 b) f(xI) = -6,336, f(x2) = 0, Y = 2(x-5)(x+ l)(x+2)

c) f(xI) = -4, f(x2) = 0,488, Y = x(x2 + 2x + 2) = x(x + 1- i)(x+ 1 +i) e) f(xI) = 0, f(x2) = 0, Y = 2(x+ 1)2(x-2)(x-l,5)

11. a) Nullstelle: Xl = -2, Pol: X2 = -3, Lücke: X3 = 1, Y ~ 1 fiir X ~ ±oo

b) Nullstellen: Xl = X2 = 0, X3 = -1, X4 = 4, Pole: Xs = -3, X6 = -2, keine Lücken, y ~ x2 rur X ~ ±oo

c) Nullstellen: Xl = 0, X2 = X3 = -1, Pole: X4 = 3, Xs = -3, X6 = 2, X7 = -2, keine Lücken, y ~ ° rur X ~ ±oo

d) keine Nullstellen, Pole: Xl = X2 = -3, X3 = X4 = 2,

Lücke: Xs = 0, y ~ ° rur X ~ ±oo

e) Nullstelle: Xl = t ' keine Pole, keine Lücken, y ~ 2x - 1 rur X ~ ±oo

12. a) y=log2x+1,D=(0,00),W=R b) y=log2(x+l),D=(-1,00),W=R

c) y=3x,D= R, W=(O,oo) d) y=ex +l, D= R, W=(1,oo)

13. a) fallend rur DI = (-00, 1], steigend rur D2 = [1,00)

y = -..Jx + 1, D = [0, 00), WI = (-00, 1]

y= ..Jx+l, D=[O,oo), W2 =[1,00)

e) fallend für D1 =(-00,-1], steigend für D2 =[-1,00)

y=-~-l, D=[I,oo), W1 =(-00,-1]

y= ~x-l-l, D=[1,oo), W2 =[-1,00)

d)fallendfür D1 =(-oo,2], steigendfür D2 =[2,00)

y=-~+2, D=[I,oo), W1 =(-00,2]

y= ~+2, D=[1,oo), W2 =[2,00)

f) fallendfür D1 =(-00,-1], steigendfür D2 =[-1,00)

y=-~4x-3-1, D=[i,oo), W1 =(-00,-1]

y= ~4x-3-1, D=d,oo), W2 =[-1,00)

Abschnitt 16 423

14. a) y = e w, w = z2, Z = x + 1 d) y = rw, w = Ig z, z = 2x - 3

f) y = rw, w = tan z, z = x - 3

h) y = w - 3, w = tan z, z = J;. e) y=tanw,w=.[;"z=x-3

g) y = rw, w = z - 3, z = tan x 1

j) y = w 2, w = Are eos z, z = 3x - 2

1) . 1 1 Y = SIn w, w = n z, z = x +"3

1

k) y = In w, w = sin z, z = }

p) y=Areeotw,w=ez ,z=2x+l

15. a) y=v2 , v = Are eot w, w = z + 1, z=e X

e) y = sin v,

d) y =Fv, f) y = log 3 v,

g) y = e v,

h) Y = tan v,

16. a) D = [3, 00)

v=5-w,

v=rw,

w = eosz,

w = tanz,

w = z+l,

w=.[;"

w=.[;"

x-4 z=-3-

z=J;. z= 2x

z= 7x-l

z = 7x-l

b) D=[-F3,F3] e) D = (-00, - 3]u[3, 00)

d) D = (-00, - 3)u(3, 00) e)D=R\{2,-3}

h) D = (0, 00)

f) D=(-~,oo)

g) D =[1'~]

Abschnitt 16

1. b) y = x + 5

2. b) y =-x

3. 2 a) y=-S"x+2,

i) D = (0,00) \ { 1 }

e) y = - F3 x - (4 + J3) d) y = 4 e) y = -1 J3 x

1 2 e) y=2x+2 e) y=lOx-2 f) y=-"3x-"3

d =.J29 b) y = 3x + 3, d =.JW d) y = -x - 3, d = 3J2

424 Lösungen

4.

S.

BC: y = -Sx + 8, a = 56 - 1 S r,;;; AB:y=-'6x-'3' c=v37

3 x Y a) y = '5 x + 3, -S +'3 = 1

6. a) parallel b) S(-S, 14)

7. a) S(2, 1), <p = 1OS,26° (74,74~

c) S(0,7), <p = 4So (13So) d)

8.

10.

y = -2x + S

1 y=-'2 x + 1

13. b) M(I, 2), r = 2

1 1 e) M('2'-'3)' r= 1

14. a) (x+2)2+(y+l)2=S

- 4 11 r.7 CA: Y=Sx+S ' b=v41

x Y c) y=2x+S, 1. +'5=1

14 c) S(2, -5)

2

d) identisch

b) S(2,2), <p = 90° (m2 = __ 1 ) ml

S(-4, -3), <p = 42,27° (l37,73~

12. Y = 2x-l

9 9 c) M(O, -'2)' r = '2

f) M(-I, -1), r = 3.J2

b) (x-3)2+(y+3)2 =9 c) Es existieren zwei Kreise, die den angegebenen Bedingungen genügen, mit

den Gleichungen (x+ 1)2 + (y-S)2 = 36 und (x-S)2 +(y-11)2 = 36

d) x2 + y2 = 25 e) (x - 2)2 + (y - 2)2 = 25 f) (x -7)2 + (y - 2)2 = 16

IS. a) g liegt außerhalb k b) g ist Sekante mit SI(O, 0), S2(4, 4) d) g ist Tangente im Punkt P(4,4)

. . (7.J3i 1 .J3i ) f) g ist Sekante mit SI 2"+-2-' 2"+-2- ,

16. Die Gerade berührt den Kreis im Punkt P(3,4)

17. a) Sx + 12y = 169 und Sx -12y = 169

18. Die Verbindungsgerade der gesuchten Mittelpunkte MI. M2 steht senkrecht

auf der berührenden Geraden, hat also den Anstieg 1 und geht durch Po,

ihre Gleichung ist y - 3 = ~ (x + 1). Der Kreis um Po mit dem Radius r = S

schneidet diese Gerade in Ml(2,7) und M2(-4, -1).

Abschnitt 16 425

19. Die auf der gegebenen Geraden senkrecht stehende Gerade (Anstieg -~) durch den Punkt M(O, 0) schneidet den Kreis in den Berührungspunkten

3 3 PI (2, -2)' P2 (-2, 2)· Tangentengleichungen: Sx - 6y = 25, -Sx + 6y = 25.

x2 y2 x2 y2 (x+3)2 (y-7)2 20. a) 121 +57" = 1 b) 52 +16 = 1 c) 41 + 25 = 1

21. b) M(-3,1), a=9, b=J56, F1(-S,I), F2(2,l) c) M(4,0), a=4, b=2J3, 1)(2,0), F2(6,0) d) M(-I,5), a = 6, b = 2J5, F1 (-5,5), F2 (3, 5) e) M(O,O), a=2J13, b=4, F1(-6,0), F2(6,0)

b) (x -1)2 + (y -1)2 = 1 25 9

(x+3)2 (y+4)2 d) 4 + 1 = 1

S sJ3 24 37 b) SI(O,O), S2(5'-5-) c) SI(O,I), S2(0'0)

(X-l)2 (y-l)2 (x+l)2 (y+2)2 c) 16 1 = 1 d) 9 - 4 = 1

1 25. a) a = 12, b = 6, y = ±2x b) a=S, b=3, y=±ix

26. a) M(2,0), a = 8, b = 3 c) M(-2,-l), a=4, b=2

16 16 27. b) SI (10, 3")' S2 (-10, 3") c) S(-4,35, -2,1)

16 4 d) SI (1'"3)' S2(1, -3)' S3(19, 14,45), S4(19, -10,45)

1 28. a) S(O, 0), F( -5' 0) b) S(O,O), F(O, 1) 3 e) S(-I, 1), F(2' 1)

7 1 7 1 f) S( 2 ' - "4 ), F( 2' 0) g) S(2, 3), F( 2' 3) h) S(-2,-4), F(-2,-7)

29. a) x2 =4y e) (x-2)2 =4(y+3) f) (x+2)2 =-4(y-3)

30. (y-8)2 =4(x-3) 31. (x-2)2 =-4(y+3)

32. a) Berührungspunkt P(-I, -2) b) kein Schnittpunkt . 1 1 5 25

c) Schmttpunkte P1(-2'-12)' P2(-2'-12)

426 Lösungen

e) Berührungspunkt P( 298 , _ 1:)

Abschnitt 17

1. -a = (-1, 0, 2), a + b = (-2, -5, -2), a - c = (-3, 1, -9), 2a - b + 3c = (17, 2, 17)

2.

4.

a = i-xl = (-5, 9, -8)

lal= 13, Ibl=3, Icl= 3-"3

3. 2 x = (4, 4, 4)

5. 1 (2 1 3) 1 ea = ~ . a = Jl4' - Jl4' Jl4 ' eb = fbl' b = (1, 0, 0)

6. a· b =0 7.

8. 1 a) a· b ="6 b) a· b = 1

9. 112,62°

11. axb=o

12. a) axb=(-1,43, 13) 3 17 5 b) axb= (-4'4'2)

13. FD = 17,66 14. Fp = Jm = 13,08

15. v = 0, a, b, c sind komplanar 16. v = i I[a, b, cll = 21 17. Aus [a,b,c]=O mit a=P2-PI=(-1,0,2-x),

b = P3 - PI = (-3, -2, 4 - x), c = P4 - PI = (0, -3, 9 - x) folgt x = 3.

18. a) gI: x = (0, 1,2) + A(O, 1,-1) b) g2: x = (0, 1,2) + A(O, 2, 1)

19. xl liegt auf g, i liegt nicht auf g.

20. XS = (-8, 13, 13), <p = 158,88° (21,12)

21. a) kein Schnittpunkt

22. a) xp = (6, 7, 0)

b) XS = (-3, 3, -5)

7 b) Xp = (-1, 0, 2)

23. a) EI: x=(O, 1,2)+A(0,2, 1) +/..l(2, 3,-5) b) E2: x = (0, 1,2) + A (2, -4, 2) + /..l (7, -10, -3) c) E3: (0,2, l)x = 4

24.

25. a) xl und x2 liegen auf EI

Abschnitt 19 427

E2: 8XI + 5X2 + 2X3 = 9

b) xl liegt nicht auf E2 ,

i liegt auf E2.

26. a) Schnittpunkt zwischen gl und E: xs = (3, -2, 0)

b) g2 verläuft Parallel zu E c) g3 liegt in E

27. a) g: x = (0, 6, 7) + A (1, 5, 7) b) g: x = (0, 7, 2) + A (1,2, 1)

(Um zwei Punkte der Geraden zu erhalten, wurden nacheinander Xl = 0,

Xl = I gesetzt).

Abschnitt 18 1. Bestimmung von no(E)

I I 1.1. a) a = "2 ' nO(E) = 2r

2.

2.1.

Berechnung des Grenzwertes von Zahlenfolgen

I a) a = -"2 c) bestimmt divergent (+ 00)

g) a = 0 i) a = 0

2.2. a) a = e4

1 e) a=­e

2.3. a) a = 0 c) a = 1

Abschnitt 19 1. Grenzwerte von Funktionen

1. 1. La) 2 c) - 2

1.1.3. a) 1 c) 1 2

1.1.5.a) 0 c) 3

i) - I k) - 1

1.2. a) o für x -7 - 0, c) 00 für x -7 1-0, e) -lfür X -7 -0, g) 0 für x -71 - 0, i) I für x -71 - 0,

1.1.2.a) 12

1.1.4. a) 1

e) 0

00 für X-7+0 0 für x-71+0 +1 für X-7+0 00 fürx-71+0 0 fürx-71+0

e) a=± k) a=!

1 er c) a = ee = "e

g) a = 1

e) a = 2

c) -4

c) 1

g) !

428 Lösungen

k) + 00 für x ~ -1 - 0, -oofür x~-1+0

2. Stetigkeit von Funktionen

a) x = 1, Sprungstelle c) x = 1, Lücke, behebbar, f(1) = 1 x = -1, Polstelle e) x = 3, Lücke, f(3) = 4

g) x = 0, Sprungstelle k) x = 0, Lücke, f(O) = 0

i) x = 0, f(O) = 0

Abschnitt 20

1. a) f '(xo) = XO (3XO - 4) c) f '(XO) = 1 Fo für XO ~ 0

e) f '(XO) = 1 für XO :;f: 1 (xo -1)2

2. Der Körper erreicht nach t = 3 s seine größte Höhe h = 45 m . Die Anfangsge­

schwindigkeit hat den Wert von Vo = 30 ll! . s

3. Aus der vollständigen Tabelle ist ersichtlich, daß 1im ~St = 6 mist. At-+Ou S

4. a) y' = -2x3 + x2 - 4x - --\­x

) ' 1 (10 9 1) ft· c y =- ---+ ur x3 x3 x

e) y' = 1 für x ~ 0

für x:;f: 0

g) Y'=3x2+ix~-2x-!~ für x~O

i) y' = _(_l_+~) für x:;f: 0 k) y' = _1_ für x> 0 3x2 3x3 6v;J

5.1. a) y'=--4x3 + 3x2 + 1 c) y'=iv;J (13~-1l) für x~O

5.2. a) y'= 1- ;(2x+l) 2 c) y'=O für X:;f:4 (x +x+1)

e) y' = .J3 -r-:n 2 für I x I:;f: fi3 ( 3x+ 2) "/3 g) y' = J;. 1 J;. 2 für x > 0, x:;f: 1

2 x (1- x)

. , 2(x4 +x3 -5x'!..lx-'!..Ix) 1) y = x2(2x+l)2 für x>O

Abschnitt 20 429

5.3. a) y' = Ir sin x + J;. cos x für x> 0 2"11 x

5.4.

5.5.

c) y' = sin 2x e) y' = 2 (2 sin x + x cos x) für x * k1t

) ,_(I+x)sinx+(I-x)cosx für x*31t4

+ k1t g y - I+sin2x

i) y' = tan2 x + cot2 x für x * k ~

) , I-x a y=--e X

a) y' = I-fx x

c) y' =eX (tan2 x + tan x + 1) für x *~+k1t

fürx>O c) y' = x (2 In x + 1) für x > 0

5.6. a) y' = 5Xln 5 + 2x In 2 c) y'=2x ln2-2

5.7. a) y' = 8 (2x + 1)3 c) y' =...l. (1_1)7 für x * 0 x2 x

5.8. a) y' = *' für I x I > 1 c) y' = -V für x> 1 x2 -I 4(x-l) (x-l)3

e) y' = n für I x I < 1 g) y' = I~ für I x I < 1 (I-x) I-x2 I-x2 + I-x2

5.9. a) y' = IOx (sin 2x + x cos 2x) , cos.Jt

c) y = .Jt fürx>O

. 1

4· ~ 2

sm--) ' l+x f" 1 2 1 e y = 2 ur x * -, x * (2k I) -(1+ x) + 1t

g) y' = 3 [I + cot2 (1- 3x)] für x * I-3k1t

i) y' = ~+~ für 2k1t < x < (4k + I)~ und (2k + 1)1t < x< (!+ 2k)1t

k) y' = 2sin2x (1+ cos2 x)2

2COS~ 0) y' = für x > 0

xWx

m)y' = ~o~x (5-~) für x * k1t sm x smx

430 Lösungen

5.10. a) y' =.J 1 für 1 xl< 1 a I, a * 0 a2 -x2

c) y'=--21 für x*O e) y,=_I_ für Ixl*1 x +1 l+x2

) ' 1 f" x g y = -2- ur r::;--: x +1 vx2 +1

1 ')' 1 fi' 1 < 1 Y = --- ur x * l+x2

k) , 1 f" y = ur x.Jx 2 +x-l

x2 + x-I> 0, x * 0

5.11. a) y' = ecosx (1- xsin x)

e) y'- 4 für x:#O - (eX +e-x )2

') , -2x (1 x 2' x) 1 Y = e -cos-- sm-2 2 2

5.12. a) y' = 1. für x> 0 x

) ' 1 fi' x>1 e y = 2x .Jln x ur

c) y'=xe./x (2+t.rx) für x>O

g) y' = e -cosx (1- c~t x) für x * k1t Slnx

c) y,=llnx für x>O x

g) y' = ~2 für 2k1t < X < (4k + l)E2 Sln x

und (2k + 1)1t < X < (~ + 2k ) 1t

i) y' = __ ._1_ für 4k1t < x < (4k + 1)1t Slnx

und 2 (2k + 1)1t < X < (3 + 4k)1t sowie x:# k1t

k) y' = ~ für I x I < 1 I-x

m)y' = I rur x >0 x(x 2 +x.Jx2+1+1

0) y' =.J I für x:# 0 sowie x> 0, a < 0 und x< 0, a > 0 x(2a+x)

q) y' = - (12(:+2) + 20(~3_2») für x> 2

5.13. a) y'= 1, für x>O,

y' = -1, für x < 0

e) y' = xI~x für x> 0, aber x * 1 y' = Xln~-X) für x< 0, aber x *-1

Abschnitt 20 431

5.14. a) Y'=~ (1-lnx) für x>O x

6.

c) y'=xx(xX-1+I) (InX(InX+l)+~) für x>O

e) y' = (cos x)1 + sin x (In cos x - tan2 x) für cos x > 0

g) y' = xex eX (ln x +~) für x> 0

i) y' = (ArctanX)X(lnArctanx+ 2 x ) (l+x )Arctanx

für x>O

a) <p = 26,6° c) <p = 0° g) <p = 90° i) <p = 45°

e) <p = 70° k) <p = 28.4°

7. Die Kurvenpunkte, in denen die Tangenten an die Kurve die x-Achse unter einem Winkel von 45° [135°] schneiden, werden mit PI (xl' YI) bzw.

Pll (xll'Yll) und P12 (xI2'YI2) [P2(x2'Y2) bzw. P21 (x21'Y21) und P22 (x22, Y22)] bezeichnet.

1 1 1 1 a) P1(2' 4)' P2(-2' 4)

c) Pu = P22, Pu (I,2),

8. a) y' = nx n- 1

P12 = P21 P12(2,2)

y" = n (n -1) x n- 2

y'" = n (n -1) (n - 2) xn- 3

t n) = n!, n ~ 1, ganz

i) y' = - 2 cos (1 - 2x)

y" = - 4 sin (1 - 2x)

y'" = 8 cos (1 - 2x)

e) P21(O,82, 5,49) P22(-4,82, -11,49)

)' 1 e Y = (l-x)2

" 2 Y = (1- x)3

y"'_ 6 - (1-x)4

t n) - n! für x:;t: 1 - (1- x)n+l

m)y' = eX (sin x + cos x)

y" = 2 eX cos x

y'" = 2 eX (cos x - sin x)

)' 2x q Y = 3(1+x2) ,

,,2(1-x2) '" 4x(x2 -3) Y = 3(1+x2)2 ' Y = 3(I+x2)3

432 Lösungen

9.1. a) y = 2x

y=-2x

9.2. a) y = -x + 1

1 5 c) y= -4"x+4"

1 5 Y=4"x-4"

c) y= x y=x+4

10. dx 1 a) -d 29 =-8

Y Y=-T c) f '(XO) = 0, ~x existiert nicht!

y Y= Yo

e) y = f(x) ist an der Stelle Xo = 1 nicht differenzierbar.

g) dx _ ..fi dy y=o - 2

i) dx =_1 dy y=o 2

k) dx = 2. dyy=o 1t

m) dx = 1 dy y=l

dx q) d = xo+I

2 dx Xo

s) - = , xO* e Y y = Yo= In(xo+l) dy y = Yo xv;:;; (I-ln xo)

11. a) y ist stetig und differenzierbar für alle x * o. c) y ist stetig für alle x, differenzierbar für x * 1. e) y ist stetig und differenzierbar für alle x. g) y ist stetig für alle x, differenzierbar für x * o. i) y ist stetig und differenzierbar für x * o. k) y ist stetig und differenzierbar für I x I ::;:. 1.

m) y ist stetig und differenzierbar für I x I <~. 0) y ist stetig für 0 ~ x < 4, differenzierbar für 0 < x < 4. q) y ist stetig für 0 < x ~ 1, differenzierbar für 0 < x < 1.

12. Zur Kontrolle werden nur die ExtremwertsteIlen xE sowie die Abszissen der Wendepunkte Xw angegeben.

a) xE = 1 (Min.) c) xE = 6 (Max.), xWl = 0, xW2 = 4.

e) xEl = - 1 (Min.), XE2 = 1 (Max.),

Xw = - J3, Xw = 0, Xw = J3 . 1 2 3

g) XEl = - 1 (Min.), xE2 = 1 (Min.), x::;:. o.

1t k) XE! = 4" + 2k 1t (Max.), 51t XE3 = 4"" + 2k 1t (Max.),

31t m) XE! = 4"" + 2k 1t (Max.),

0) XE! = n (Max.),

q) XE = In 2 (Max.),

s) xE! = 1 (Min.),

13. Kurvendiskussion

Abschnitt 20 433

X .:I: 0, X .:I: a, 1 a 1 .:I: 1 b I,

(Die Art der Extrema ist abhängig von den

Vorzeichen von a und b.)

xE2 = 3: + 2k 1t (Min.),

xE4 = 7: + 2k 1t (Min.), Xw = k· ~ .

xE2 = 7: + 2k 1t (Min.), Xw = ~ + k1t.

xE2 = ° (Min.), Xw, = n ±.rn . !;2

Xw = In 4.

xE =...1-2 (Max.), Xw = 1 . 2 e e

Die Angaben werden nach folgender Gliederung vorgenommen: 1. Nullstellen, 2. mögliche Extremwertstellen, 3. Abszissen möglicher Wendepunkte, 4. Extremwertpunkte und Art der Extrema, 5. Wendepunkte und Art derselben, 6. Punkte, die einer besonderen Untersuchung bedürfen.

13.1. a) 1. Xl = 2, x2 = - 1 1

2. x3 = 2" 4. f 11 (!) = 2 > 0.

Min. in P3(!'- ~)

h) 1. xl = 1

3. x2 = 2

5. f'" (2) = - 6 < 0,

links - rechts Wendepunkt

(l.-r.-Wp.) in P2(2, - 2)

13.2. c) 1. xl = 3, x2 = -3, x3 = 1, x4 =-1 2. x5 = 0, X(, = J5, x7 = - J5

.J15 .J15 3. Xs = -3-' x9 = - -3-

4. f 11 (0) = - 20< 0, Max. in P5(0, 9), f" (J5) = 40 > 0, Min. in P6(J5, -16), f 11 (-.J5) = 40 > 0, Min. in P7(-.J5, -16),

5. f"f~)=8"I5>o.r.-l-WP.inP.(~.- ~),

434 Lösungen

h) l. x I = - 2, x2 = 1 4

2. x3 = - 2, x4 = -5" Xs = 1

3. "6 = 1, x7 = - 0,07, Xg = - 1,54 4. f" (-2) = - 54< 0, Max. in P3(- 2,0),

f" (-~) = 19,44>0, Min. in P4(-~,-8,4), f" (1) = °

5. f '" (1) = 54 > 0, r.-l.-Wp. in P6(1, 0), f 111 (-0,07) = -31,39< 0, l.-r.-Wp. in P7(-o,07, - 4,56), f 111 (-1,54) = 75,34 > ° r.-l.-Wp. in Pg(-1,54, -3,44)

13.3. g) l. xl = 4, x2 = 1 2. x3 = 7, x4 = 3 4. f" (7) = 1 > 0,

Min. in P3(7, 9), f" (3) = -1 < 0, Max. in P4(3, 1)

6. Xs = 5

13.4. e) 2. Xl = ° 4. f" (0) = 1 > 0,

Min. in PI(O, 1)

13.5. d) l. Xl = 1 3. x2 = 1,13 5. f 111 (1,13) = ± 53,8,

1) l. Xl = ° 2. x2 = 1, x3 = -1

3. x4 = 0, Xs = .J3 , "6 =-.J3

4. f"(1)=-l <0, Max. in P2(1, 1), f"(-l)=l>O, Min. in P3(-1, -1)

5. f" (0) = -12< 0, l.-r.-Wendepunkt in P4(0, 0)

f"(± .J3) = i > ° r.-l.-Wendepunkt in Ps(1,73, 0,87) und P6(-1,73, -0,87)

k) l. Xl = ° 2. x2 =0 3. x3 =0 4. f" (0) = ° 5. f 111 (0) = -* < 0,

l.-r.-Wp. in P2(O, 0)

r.-l.-Wp. in P2(1,13, 0,46), l.-r.-Wp. in P3(1,13, - 0,46)

e) 1. xl = 0, x2 = 1 3

2. x3 = 0, x4 = "4 3. x5 = 0,32 4. f" (0) ist nicht definiert,

flIC;) ~ 0,

5. f 111 (0,32) ~ 0,

1t 13.6. d) 2. xl = k . "2

1t 1t 3. X2="4+k."2'

51t X4 = 4+k. 21t,

4. f"(k· ~) = -2< 0,

f "(k . ~) = 2 > 0,

5. f "'( ~ + k· 21t) = 4 > 0,

f '" ( 3: + k . 21t) = - 4 < 0,

f",(5:+ k . 21t) =4>0,

f "'( 7: + k. 21t) = - 4 < 0,

i) 1. xl = k1t

Abschnitt 20 435

Max. in P4 (;,0,32),

Min. in P4 (;, - 0,32)

l.-r.-Wp. in P5(0,32, 0,15),

r.-l.-Wp. in P5 (0,32, -0,15)

31t x3 = 4+k ·21t,

71t x5 = """4 + k . 21t.

für gerades k, Max. in PI (k . ~ , 2),

für ungerades k, Min. in PI (k . ~ , 1).

r.-l.-Wp. in P2 (~ + k· 21t, ~),

l.-r.-Wp. in P3( 3: + k· 21t, ~),

r.-l.-Wp.in P4 (5:+ k . 21t, ~),

l.-r.-Wp. in Ps( 7: +k·21t, i). 1t 1t 21t 41t

2. X2="4+k."2' X3="3+k.21t, X4="3+k.21t

3. X5 = k1t

4. f" ( ~ + k· ~) = - 2 (1 + ..fi) < ° für k = 4n, Max.,

= 2 (1-..fi) < ° für k = 4n + 1, Max.,

= 2 (.J2 - 1) > ° für k = 4n + 2, Min., = 2 (.J2 + 1) > ° für k = 4n + 3, Min.

5. f'''(k1t) =-14<0 fürgeradesk,l.-r.-Wp., = 7 > ° für ungerades k, r.-l.-Wp.

13.7. b) 1. xl = ° d) 1. X I = 1, x2 = -1 2. x2 = 1 2. x3 = 0,41, x4 = -2,41 3. x3 = 2 3. x5 = -0,27, x6 = -3,73

436 Lösungen

4. f"(1)=_l<O, e

Max. in P2 (1, 1) e

5. fm (2) = -t > 0, e

r.-l.-Wp. in P3(2, ;) e

13.8. b) 1. xl = Ji, x2 =-Ji

4. f" (0,41) = 4,21> 0,

Min. in P3(0,41, -1,25),

f" (-2,41) = - 0,25< 0,

Max. in P4(2,41, 0,43)

5. fm (-(),27) * 0, Wp. in PS(-{),27, -(),71), f"' (-3,73) * 0, Wp. in P6(-3,73, 0,31).

6. y nicht differenzierbar für I X I < 1 d) 1. x I = e, x2 = 1

2. x3 =.re 3. x4 = e.re

4. f n( .re ) = ~ > 0, Min. in P3 (.re , - i ) 5. f m(,J;3 ) = e;~ < 0, l.-r.-Wp. in P4 (e.re, ~)

14. Extremwertaufgaben

14.1. a) Die beiden Summanden sind x = y = ~ .

b) Die beiden Summanden sind x = m+a und y = n+a . m n m n

14.2. b) Die Seiten des Rechtecks sind um den Wert x = a 2 b zu verändern.

Das gesuchte Rechteck ist ein Quadrat mit der Seitenlänge s = a ~ b .

d) Die auf dem Kreisdurchmesser liegende Rechteckseite muß den Wert 2x = Ji r haben.

Die andere Rechteckseite ist y = 1 r. g) Die auf c liegende Seite des Rechtecks ist x = ~. Die andere Seite ist

y = h; . Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt A = i hc . c.

Abschnitt 21 437

14.3. a) Der Zylinder muß die Abmessungen h = 2r = ~ ~ ·2 haben.

c) Der Durchmesser des gesuchten Kreiskegels beträgt 1r, seine Höhe ~h.

14.4. a) Die beiden Seiten müssen gleich lang sein, das Dreieck ist ein gleichschenk­liges.

c) Wenn der Neigungswinkel <p = 60° ist, wird der Querschnitt am größten. d) Das geforderte Dreieck muß ein gleichschenkliges sein. (Bei gegebenem c ist

a = b.)

14.5. b) Die Annäherung der beiden Fahrzeuge ist dann am größten, wenn seit dem Passieren der Kreuzung durch das erste Fahrzeug 2,77s vergangen sind.

c) Der Punkt P liegt so auf g, daß ~ APB von dem durch P gehenden Lot 1 auf g halbiert wird (Reflexionsgesetz).

Abschnitt 21

1. a) ,±x4 _~x3+-tx2 -2x+C

1 3r 6 1 b)-x-2 +C c)4"x""x+C d)7 x6 + C

e) lxVii +C h) -ax-l -lbx-2 _lcx-4 +C 524

i) 1;2·2X +C j) -tcotx+c k) ~Arctanx+C

1) 1cosep.s2+C m)1t3-6t2+9t+C n) 185t1i +C

2. a) In I x 1+ C b) - jcosx+c c) 7x + C

1 d) -icosx+C e) -2tan x + C t) t2 +C

3. b) 0 d) -2 e) 1t

t) 1 + 1t 4

) 2 2 g x2 -Xl +xI -x2 i) e

") 56 J15 k) _1 2n

1) _1_(a b -aa) lna

4. a) ~ ~(x2 -7)4 +C c) _1_. 23x+6 +C 31n2 d) -2cos (tx-1)+C

e) Arctan(x + 1) + C t) tan(4t - 5) + C g) i ~(x2 -7)4 +C

i) le2x2 +3 +C 4

j) _lcos8 x+C 8

k) -!(1-2sinx)4 +C

438

5.

6.

7.

8.

9.

Lösungen

m)In 1 sinti + C n) In 12x2- 5x + 31 + C 0) i(ArCsinu)2 +C

p) i ~(21nx+3)3 +C q) sine x +C r) _ecost +C

a) 1 Are tan(2x) + C b) ~Arctan(.J2X)+C 2 2

e) ~ ~ Aretan( ~ x )+C d) ~ Are sin(..J3 x) + C

e) ~ Arcsint+ C f) ~ArCSin( H x )+C

1 x-5 g) "3Aretan-3-+C

1 x-I h) gAretan-3-+C i) Are sin(x - 2) + C

2 b) 1(1_-1 ) 15 a) - 225 3 e3 e) 1n2

d) 104 625

e) 4 f) 1nl e4 + 11 e2 +1

g) 1- e h) 1t 8

.) 1 1 -4

a) -{),2(xeosx - sinx) +C b) x4 (1nx-i)+C

e) 1(eOSxsinx+x)+C

i) ~xt'x (lnx-~)+C

a) 1 e

d) l(e1t + 1) 2

e) -x2 cosx+2xsinx+2eosx+C

j) xAretanx-11n(x2 +1)+C

b) 21n2-1 e) 1(1-1n2)

b) 4 e) 34 e) 0,5 3

32 f) In2 g)15

i) i (Sehnittpunktabszissen: Xl = 1, X2 = 2)

j) 4~ (Sehnittpunktabszissen: Xl = 0, x2 = 2)

k) ~O - 2 ·ln 3 (Sehnittpunktabszissen: Xl = 3, X2 = ~)

10.

11.

12.

13.

14.

15.

1) 2·.J2 (Schnittpunktabszissen: Xl = ~ , X2 = 5: )

n) 21t -1 (Schnittpunktabszissen: Xl = -2, X2 = 2)

0) 1 (Schnittpunktabszissen: Xl = 0, X2 = 1)

Abschnitt 21 439

q) 2 -.J3 +.J3 In 1 (Schniupunktabszissen: Xl = 0, X2 = ~ ) 1t .J2 1t

r) "8 + In 2 (Schnittpunktabszissen: Xl = 0, X2 = "4 )

a) 1t h5 5 b) 41t(~~+~W+l) d) li1t

9

2 t) 512 1t2 e) -1t 151t g)-

3 2

a) 16 b) 6511t

a) xl = 0, x2 = 4, x3 = 6 b) 71 3

c) 32 1t 3

~(1t+2)

28 1t 3

.11tab2 3

Sachverzeichnis

Abbildung, eindeutige 113 -, eineindeutige 114 -, inverse 114 - zweier Mengen 110 Ableitung 331 - beliebiger analytischer Ausdrücke 343 - der Arkusfunktionen 342 - - elementaren Funktionen 342 - - Exponentialfunktion 342 - - Logarithmusfunktion 332,342 - - Potenzfunktion 332, 342 - - trigonometrischen Funktionen 342 - - Umkehrfunktion 339 - einer mittelbaren Funktion 338 - eines Produktes 337 - - Quotienten 337 -, höhere 335 -, linksseitige 330 -, rechtsseitige 330 Absolutbetrag, siehe Betrag Abstand zwischen Punkten 262 Additionstheoreme 65 Additionsverfahren 135 algebraische Funktion 171 - Gleichung 171 Ähnlichkeit von Dreiecken 53 Ähnlichkeitssätze 53 analytischer Ausdruck 255 Anstieg 239 - der Sekante 330 - - Tangente 331 - einer Geraden 239 260 Äquivalenz 95 ' Arkusfunktionen 254 Asymptote 245 Asymptoten der Hyperbel 274 Aussage 91 Aussageform 91 Aussagenfunktion 92

Aussagenverknüpfung 92

Basis des Logarithmus 43 - einer Potenz 33 Bedingung, hinreichende 98 -, notwendige 98 Bestimmter Ausdruck 311 Betrag einer komplexen Zahl 73 - - Zahl 16 - eines Vektors 285 289 Beweis, direkter 100 - durch vollständige Induktion 102 -, indirekter 101 Binom 118 Binomialkoeffizient 116 Binomische Formeln 17 binomischer Satz 120 Bogenmaß 50, 59 Brennpunkte der Ellipse 270 - - Hyperbel 273 - - Parabel 277 Brüche, Addition 21 -, Division 23 -, Erweitern 21 -, Hauptnenner 22 -, Kürzen 21 -, Multiplikation 23 -, Subtraktion 22

Cramersche Regel 142, 152, 158

Definitionsbereich 110, 234 Determinante 141 ff. Differentialquotient 331 Differentiationsregeln 341 Differenz zweier Mengen 109 Differenzenquotient 330 Differenzierbarkeit 331 - im Intervall 334

Disjunktion 93 Divergenz einer Folge 307 Division durch null 17 - komplexer Zahlen 73 - von Brüchen 23 - - Potenzen 33 - - Wurzeln 36 - zweier Polynome 18 Drehsinn 50 Dreieck 52 -, Ähnlichkeit 53 -, gleichseitiges 57 -, Höhen 52 -, Kongruenz 53 -, Mittelsenkrechten 52 -, rechtwinkliges 55 -, Seitenhalbierenden 52 -, Winkelhalbierenden 52 Durchschnitt zweier Mengen 107

Ebenengleichung, Parameterform 298 -, Skalarform 299 Einsetzungsverfahren 135 Elemente der Menge 104 Ellipse 270 Eulersche Symbole 117 Existenzaussage 97 Exponent 33 Exponentialfunktion 248 Exponentialgleichung 199 ff. Extremum 350 -, hinreichende Bedingung fiir ein 350 -, notwendige Bedingung fiir ein 350 Exzentrizität, lineare 271

Fakultät 116 Flächeninhalt ebener Bereiche 381 -, Riemannscher 370 Folge, siehe Zahlenfolge Funktion 113, 234 -, Ableitung einer 342

Sachverzeichnis 441

-, algebraische 171 -, beschränkte 236 -, Differenzierbarkeit einer 331, 334 -, eineindeutige 237 -, elementare 238 -, explizite 234 -, ganzrationale 170, 238 -, gebrochen rationale 170, 244 -, gerade 236 -, Grenzwert einer 317 ff. -, harmonische 252 -, implizite 234 -, lineare 239 -, mittelbare 255 -, monoton fallende 235 -, - steigende 235 -, periodische 237, 250 -, quadratische 239 -, Stetigkeit einer 317 ff. -, trigonometrische 250 -, ungerade 236 -, verkettete 255 -, zyklometrische 254

Ganze Zahlen 13 Gaußsche Zahlenebene 73 Gaußscher Algorithmus 145, 153ff., 159 Gerade 49 -, Anstieg der 239, 260 Geradengleichung 260 -, Abschnittsform der 261 -, allgemeine Form der 261 -, Normalform der 260 -, Parameterform der 296 -, Punktrichtungsform der 260 -, Zweipunkteform der 261 Gleichsetzungsverfahren 135 Gleichung, algebraische 171 -, biquadratische 178 - dritten Grades 182 ff. -, goniometrische 202 ff.

442 Sachverzeichnis

-, lineare 78 ff. -, logarithmische 196 ff. - mit Beträgen 222 -, nichtlineare 169 -, quadratische 171 ff. -, transzendente 1 71 - Wurzeln der 169 Gleichungssystem 133 ff. -, homogenes 161 -, lineares 13 3 ff. - mit Dreiecksstruktur 135, 145, 159 Gleichwertigkeit von Aussagen 96 goniometrische Gleichung 202 ff. Gradmaß 50 Grenzwert einer Folge 305 ff. Grenzwerte von Funktionen 317 ff., 321 -, linksseitige 3 19 -, rechtsseitige 3 19 -, uneigentliche 320 Grundgesetze natürlicher Zahlen 12 Grundintegral 373

Häufungspunkt 306 Höhensatz 56 Hornerschema 241 Hyperbel 273 Hypotenuse 55

Imaginäre Einheit 71 - Zahl 72 Imaginärteil 73 Implikation 94 Integral -, bestimmtes 370,372 -, Grund- 373 -, unbestimmtes 371 Integrand 370 Integrationsgrenzen 370 Integrationsintervall 370 Integrationsregeln 374 Integrationsvariable 370

Integrieren 369 Intervalle auf der Zahlengeraden 213 Intervallschachtelung 15, 38 irrationale Zahlen 14

Kathete 55, 57 Kathetensatz 56 Kettenregel 338, 344 Koeffizientendeterminante 142 Kombination 127 - mit Wiederholung 129 Kombinatorik 121 komplexe Zahl 73 Komplexionen 121 Kongruenz von Dreiecken 53 Kongruenzsätze 53 konjugiert komplexe Zahl 73 Konjunktion 92 Konklusion 95 Konvergenz einer Folge 307 Kosinus 58 Kosinussatz 63 Kotangens 58 Kreis 266 Kurvendiskussion 351

Linearfaktoren 243 Logarithmengesetze 44 logarithmische Gleichung 196 ff. Logarithmus 43 -, dekadischer 44 -, natürlicher 44 Logarithmusfunktion 248 Logik 91 Lücke 245

Maximum, absolutes 348 -, relatives 350 Menge 104 -, disjunkte 108 -, leere 105

Mengenprodukt 110 Minimum, absolutes 346 -, relatives 350 Modellierungsproblem 357 Monotonie 235 Monotonieintervall 247, 251 Multiplikation komplexer Zahlen 74 - von Brüchen 23 - - Mengen 110 - - Potenzen 33 - - Vektoren 288, 290 - - Wurzeln 36

Natürliche Zahlen 11 Negation 92 Normalenvektor 298 Normalparabel239 Nullfolge 312 Nullstelle 237 Nullvektor 285

Optimierungsproblem 357 Orthogonalität 265 Ortsvektor 284

Parabel 239, 277 Parameterdarstellung der Ebenenglei­chung 298 - - Geradengleichung 296 - einer Funktion 234 Partialdivision 18 partielle Integration 379 Pascalsches Zahlendreieck 119 Permutation 122 - mit Wiederholung 123 Pol 245 Potenz 33 Potenzfunktion 246, 248 Potenzgesetze 33, 38 Potenzieren von Potenzen 33 Potenzwert 33 Prämisse 95

Sachverzeichnis 443

Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten 91 - - - Widerspruch 91 Produktform 243 Produktregel 337 Produkt zweier Mengen 110 Pythagoras, Satz des 56

Quadratische Ergänzung 17 Quotientenregel 337

Radikand 35 rationale Zahlen 13, 14 Rationalmachen des Nenners 37 Realteil 73 Rechnen mit Beträgen 221 - - Ungleichungen 212 ff. Rechtssystem 290 reelle Zahlen 15 Reflexivität 106 Relationen zwischen Mengen 105

Schnittpunkt zweier Geraden 263 Schnittwinkel zweier Geraden 264 Sinus 58 Sinussatz 63 Skalar 284 Skalares Produkt 288 Skalarform der Ebenengleichung 299 Spatprodukt 293 Starnmfunktion 371 Stetigkeit 317 ff., 322 - der analytischen Funktionen 324 - - elementaren Funktionen 324 - - Umkehrfunktion 324 - im Intervall 323 - mittelbarer Funktionen 322 f Strahl 50 Strahlensätze 54 Strecke 50 -, Länge der 262

444 Sachverzeichnis

Substitutionsregel375 Subtraktion komplexer Zahlen 73 - von Brüchen 22 - - Vektoren 287 Summenregel 336 Symmetrie 106

Tangens 58 Tangente an den Kreis 268 - - eine Kurve 329 Teilmenge 105 Transitivität 106

U mkehrfunktion 237 Unbestimmter Ausdruck 310 Ungleichungen 212 - mit Beträgen 226 - - einer Unbekannten 213 - - zwei Unbekannten 218 -, quadratische 216 -, Systeme von 217 Universalaussage 97 Unterdeterminante 151

Variation 124 - mit Wiederholung 126 Vektoren 284 -, Addition von 285 -, Betrag von 285,289 -, Einheits- 285 f -, freie 284 -, Gleichheit von 284 -, kollineare 285 -, komplanare 285 -, Komponenten von 286 -, koordinatenweise Darstellung von 286 -, Multiplikation mit Skalar 285 -, orthogonale 285 -, skalares Produkt 288 -, Subtraktion von 287 -, vektorielles Produkt 290

-, Winkel zwischen 289 Vektorielle Darstellung einer Ebene 297 - -'Geraden 295 Vektorielles Produkt 290 Vereinigung zweier Mengen 106 Vieta, Satz von 173, 185 Volumen eines Rotationskörpers 384 Vorzeichenregeln 16

Wahrheitswert 91 f Wahrheitswerttabelle 92 Wendepunkt 350 -, hinreichende Bedingung rur einen 351 -, notwendige Bedingung rur einen 350 Wertebereich 110, 234 Winkel 50 Winkelfunktionen 58 ff, 250 - am Einheitskreis 58 Wurzet35 Wurzelexponent 35 Wurzelfunktion 247 Wurzelgesetze 36 Wurzelgleichung 186 ff Wurzelwert 35

Zahl, ganze 13 -, imaginäre 72 -, irrationale 14 -, komplexe 73 -, natürliche 11 -, rationale 13, 14 -, reelle 15 Zahlenfolgen 304 ff -, beschränkte 308 -, bestimmt divergente 307 -, divergente 307 -, konvergente 307 -, monotone 308 -, unbestimmt divergente 307