FachbeitragHofmann/Müller/Biskupek, Lunar Laser Ranging: Das Erde-Mond-System und Tests …

337140. Jg. 6/2015 zfvDOI 10.12902/zfv-0087-2015

ZusammenfassungDas Erde-Mond-System stellt ein natürliches Labor dar, das mit Hilfe von Laserentfernungsmessungen (englisch: Lunar Laser Ranging – LLR) sehr genau vermessen werden kann. Die Analyse der LLR-Daten erlaubt einen einzigartigen Einblick in die Dynamik des Systems und bietet gleichzeitig die Mög-lichkeit, Aspekte der Einstein’schen Gravitationstheorie zu untersuchen. Dieser Beitrag beschreibt die Messtechnik und Analyse der LLR-Messungen und gibt einen Überblick über die mit LLR bestimmbaren Parameter. Ein besonderes Augenmerk liegt auf der Schätzung von langperiodischen Nutationskoef-fizienten der Erde und Tests von Einsteins Gravitationstheorie.

SummaryThe Earth-Moon system represents a natural laboratory which can be observed with very high accuracy by Lunar Laser Rang-ing – LLR. The analysis of LLR data enables a unique view into the system’s dynamic and allows testing predictions of Ein-stein’s theory of gravity. This article describes the technique and analysis of LLR data and gives an overview of the estimated parameters from LLR with special focus on long-periodic nuta-tion coefficients of the Earth and tests of Einstein’s theory of gravity.

Schlüsselwörter: Relativität, Lunar Laser Ranging, Gravita-tions theorie, geodätische Raumverfahren, Nutation

1 Einleitung

Der Mond ist das hellste Objekt am Nachthimmel und der einzige natürliche Satellit der Erde. Der Abstand zur Erde beträgt im zeitlichen Mittel etwa 385.000 km und variiert während des Umlaufs auf einer elliptischen Bahn zwischen rund 363.000 km in Erdnähe (Perigäum) und 405.000 km in Erdferne (Apogäum). Die Mondbahn un-terliegt weiterhin vielfältigen gravitativen Störeinflüssen durch die Körper des Sonnensystems, hauptsächlich Son-ne und Erde, die eine Abweichung von der ungestörten Keplerbahn in der Größenordnung von einigen Tausend Kilometern erzeugen (Nordtvedt 2003). Die Rotation des Mondes erfolgt mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit und der gleichen Rotationsrichtung wie der Bahnumlauf um die Erde. Durch diese gebundene Rotation zeigt stets die gleiche Seite des Mondes zur Erde. Aufgrund der el-liptischen Bahn des Mondes, Neigung der Mondbahn von rund 5 Grad gegen die Ekliptik und Position des Beobach-ters auf der Erde entsteht eine scheinbare Taumelbewe-gung des Mondes am Himmel (optische Libration) und es

können im Lauf der Zeit bis zu 59 % der Mondoberfläche von der Erde aus beobachtet werden. Der Einfluss von äußeren und inneren Drehmomenten, aufgrund gravita-tiver Kräfte der Körper im Sonnensystem und des inne-ren Mondaufbaus, verursacht eine reale Taumelbewegung (physische Libration) in der Größenordnung weniger Bo-genminuten (Rambaux 2011).

Bereits ohne optische Hilfsmittel können die größten Strukturen auf der Mondoberfläche (lavagefüllte, dunkle Mare und die helleren, von Einschlagskratern geprägten Hochländer) von der Erde aus beobachtet werden. Seit Jahrtausenden wird die Bewegung des Mondes studiert und z. B. zur Festlegung von Kalendern genutzt. Auch der Sonnen- und Mondfinsternissen zugrundeliegende Saroszyklus1 wurde schon zu Zeiten der Babylonier vor etwa 2.500 Jahren durch Beobachtung des Mondes ent-deckt (Aaboe et al. 1991). Eine genaue Beschreibung der Mondbewegung beschäftigte die Wissenschaftler in den folgenden Jahrhunderten bis in die heutige Zeit hinein. Ptolemäus nutzte ein mathematisches Modell aus Epi-zykeln (System aus sich überlagernden Kreisen für die Bahn der Planeten und des Monds) und Evektion (eine der Bahnstörungen durch die Sonne) um die komplexe Bewegung des Mondes zu beschreiben. Die erste physi-kalische Theorie wurde von Isaac Newton mit Hilfe des von ihm entdeckten Gravitationsgesetzes aufgestellt (Newton 1687). Damit wurde die Basis für eine genauere Beschreibung der Mondbewegung aufgrund der auf ihn einwirkenden Kräfte von Erde, Sonne und Planeten gelegt (Gutzwiller 1998). Die Betrachtung von Raum und Zeit, und damit auch die Beschreibung der Bewegung der Kör-per im Sonnensystem und darüber hinaus, wurde durch die 1915 veröffentlichte Allgemeine Relativitätstheorie von Albert Einstein (Einstein 1915) revolutioniert. Ohne die Relativitätstheorie könnten die aktuellen geodäti-schen Weltraumverfahren wie Globale Satellitennaviga-tionssysteme (GNSS), Interferometrie auf langen Basisli-nien (VLBI) und Lasermessungen zu Satelliten (SLR) bzw. Mond (LLR) nicht oder zumindest nicht mit einer hohen Genauigkeit genutzt werden (Müller et al. 2008).

Das älteste geodätische Weltraumverfahren stellen die Laserentfernungsmessungen zum Mond dar, bei de-nen der Abstand zwischen dem Referenzpunkt einer Bo-denstation und einem Reflektor auf dem Mond über die Laufzeit von Laserpulsen gemessen wird. Im Jahr 1969 begann damit ein neues Zeitalter bei der Erforschung der Erde-Mond-Dynamik und für hochgenaue Tests von

Lunar Laser Ranging: Das Erde-Mond-System und Tests der Einstein’schen Gravitationstheorie

Franz Hofmann, Jürgen Müller und Liliane Biskupek

1 Periode von 18 Jahren, in der eine besondere Abfolge von Sonnen- und Mondfinsternissen stattfindet.

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Einsteins Relativitätstheorie. Die Astronauten der Apol-lo 11 Mission stellten den ersten Laser-Retroreflektor auf der Mondoberfläche im südliche Mare Tranquillitatis auf. Bis 1973 wurden vier weitere Reflektoren zum Mond gebracht. Zwei Reflektoren stellten die Astronauten der Apollo 14 und Apollo 15 Missionen auf und zwei wei-tere Reflektoren befinden sich an den sowjetischen Lu-nochod 1 und 2 Rovern, die bei den Missionen Luna 17

und Luna 21 zum Mond gebracht wurden. Die Position der Reflektoren ist in Abb. 1 dargestellt. Die Reflektoren der Apollo-Missionen bestehen aus einem Verbund von 100 (Apollo 11 und 14) bzw. 300 (Apollo 15) Tripleprismen mit einem Durchmesser von jeweils 3,8 cm (Abb. 2). Auf den Lunochod-Rovern wurden französische Reflektoren aus 14 Einzelprismen mit einer Seitenlänge von 11 cm genutzt. Auf der Erde sind nur wenige Observatorien in der Lage, LLR-Messungen durchzuführen. In den USA ist es das Projekt APOLLO (Apache Point Observatory Lunar Laser-ranging Operation) in New Mexico, in Frankreich das Observatoire de la Côte d’Azur in Grasse und die Ma-tera Laser Ranging Station in Italien. Die längste LLR-Da-tenreihe (von 1969 bis 2013) des McDonald Observatory in Texas, USA, kann zurzeit aufgrund von finanziellen Problemen nicht fortgesetzt werden. Von 1984 bis 1990 führte das Observatorium auf dem Mt. Haleakala (Hawaii) LLR-Messungen durch. Einzelne Messungen wurden auch an der australischen Station Orroral und auf der geodä-tischen Fundamentalstation in Wettzell im Bayerischen Wald durchgeführt, wo der LLR-Betrieb demnächst wie-der aufgenommen werden soll. In Abb. 3 sind diejeni-gen Observatorien verzeichnet, deren LLR-Daten in der Auswertung des Instituts für Erdmessung (IfE) verwendet werden.

2 Messtechnik

LLR-Messungen zwischen einer Station am Erdboden und einem Reflektor auf dem Mond sind eine sehr an-spruchsvolle Aufgabe. Ausgangspunkt ist ein gepulster Laser, der im grünen Spektralbereich bei 532 nm kurze, nur etwa 100 ps lange Laserpulse mit einer Energie von etwa 100 bis 200 mJ und einer Pulsrate von 10 bis 20 Hz erzeugt. Der größte Teil des Laserlichtes wird über den Strahlengang des Teleskops zum Mond geschickt, wäh-rend ein kleiner Teil aus dem Strahlengang ausgekoppelt und zur Bestimmung der genauen Startzeit verwendet wird. Der einzelne Laserpuls formt kurz nach Verlassen des Teleskops eine Strahlungsscheibe von etwa 3 cm Dicke und einem Durchmesser entsprechend des eingesetzten Teleskops (z. B. bei APOLLO 3,5 m oder in Wettzell 0,7 m). Bei einer Pulsenergie von 100 mJ enthält der Einzelpuls

etwa 3 × 1017 Photonen. Das parallel aus dem Teleskop austretende Laserlicht durchläuft als erstes die turbulente Erdatmosphäre, die, je nach Qualität der atmosphärischen Bedingun-gen, eine Divergenz des Lichtbündels zwischen einer und fünf Bogensekunden verursacht. Auf dem Mond bedeutet dies, dass der »beleuchtete« Bereich eine Fläche zwischen 10 und 70 km2 umfasst. Zum Vergleich, die 300 Triplepris-men des Apollo 15 Reflektors ergeben zusam-men eine reflektierende Fläche von 0,34 m2, also nur 3,4 × 10–7 km2. Bei guten atmosphäri-schen Bedingungen trifft damit nur etwa jedes

Abb. 1: Position der LLR-Reflektoren auf der Mondober-fläche

Abb. 2: Reflektor der Apollo 14 Mission mit 100 Einzel-prismen in einer 10 × 10-Anordnung

Abb. 3: Position aller LLR-Stationen, deren Daten in der Auswertung des IfE genutzt werden.

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30-millionste Photon auf den Reflektor und wird zur Erde zurückgeschickt. Der reflektier-te Teil des Laserpulses divergiert aufgrund der Eigenschaften des Reflektors ebenfalls und be-leuchtet auf der Erdoberfläche eine Kreisfläche mit 15 km Durchmesser, wovon nur der kleine Bereich der Teleskopöffnung die verbleibenden Photonen zum Detektor leitet. Der gesamte Si-gnalverlust, inklusive zweimaligem Durchlauf durch die Atmosphäre und dem Trans mis-sions grad des Empfangssystems, beträgt etwa 18 Größenordnungen (Murphy et al. 2008).

Am Empfangssystem, bestehend aus einer oder mehreren Lawinen-Photodioden, kommen damit nur einzelne der ehemals über 1017 Pho-tonen des Laserpulses an (Murphy 2013). Diese Einzelphotonen müssen aus einer Menge an Störphotonen durch den hellen Mond mit Hilfe einer dreifachen Filterung (räumlich, spektral und zeitlich) separiert werden. Der räumliche Filter verhindert, dass zu viel Licht von der den Reflektor umgebenden Mondoberfläche zum Detektor gelangt. Der Detektor »sieht« nur einen etwa 4 × 4 km2 großen Ausschnitt des Mondes um die Reflektorposition herum. Im spektralen Bereich lässt ein sehr engbandiger Linienfilter (Halbwertsbreite kleiner 1 nm) nur das Licht mit der Wellenlänge des Lasers pas-sieren. Die zeitliche Filterung wird durch eine geschickte Steuerung der Dioden realisiert. Der zur Detektion nötige Lawinenprozess kann nur in einem engen Zeitfenster um den mit einem Modell vorherbe-rechneten Empfangszeitpunkt durch auftreffende Photo-nen ausgelöst werden. Die Messgröße für jeden Laserpuls ist die Pulslaufzeit, d. h. die Zeitdifferenz zwischen Emp-fangs- und Sendezeitpunkt.

Die Detektion des gefilterten Photons aus einem Ein-zelpuls lässt noch keine Aussage darüber zu, ob es sich wirklich um ein Photon des ursprünglichen Laserpulses oder nicht doch um ein Störphoton handelt. Aus die-sem Grund werden Messungen über einen Zeitraum von etwa 5 bis 15 Minuten zu einem statistisch abgesicher-ten einzelnen Messwert, dem Normalpunkt, zusammengefasst. Die Abb. 4 zeigt die beob-achteten Laufzeitdifferenzen »gemessen minus berechnet« über einen Zeitraum von knapp 6 Minuten von der LLR-Station in Grasse zum Apollo 15 Reflektor. Die vom Mond zurückge-kehrten Photonen sind an der Häufung der Be-obachtungen in der Nähe der vorherberechne-ten Nulllinie (Δt = 0 ns) zu erkennen. Während dieser Messung wurden 3.600 Laserpulse zum Mond geschickt, aber im Mittel nur 0,04 Pho-tonen pro ausgesendetem Laserpuls vom Mond empfangen. Bei APOLLO vergrößert sich die-ses Verhältnis auf einige Zehntel Photonen pro Puls; bei kleineren Teleskopen, z. B. in Wettzell,

werden teilweise weniger als 1/100stel Photonen pro Puls empfangen. Trägt man die Laufzeitdifferenzen in einem Histogramm auf (Abb. 5), erkennt man einen deutlichen Peak der zurückgekehrten Photonen mit einem Offset von etwa einer Nanosekunde. Bei idealer Messung und mit einem idealen Modell würden alle Werte exakt um Null zu finden sein. Das Histogramm dient als Grundlage für die Berechnung des Normalpunktes, der dann als eigentliche Beobachtungsgröße in der LLR-Analyse verwendet wird.

Von 1969 bis Anfang 2015 wurden rund 21.000 Nor-malpunkte gemessen. Die Abb. 6 zeigt die Verteilung über die Zeit und die beteiligten Observatorien. Auf dem

Abb. 4: Gemessene Laufzeitdifferenzen (Δt = gemessen-berechnet) der LLR-Station in Grasse zum Apollo 15 Reflektor über einen Zeit-raum von fast 6 Minuten (Torre 2015)

Abb. 5: Histogramm der Mes-sungen aus Abb. 4. Dazu wurden die ein-zelnen Messungen in einem bestimmten Intervall der ermittel-ten Laufzeitdifferenz zusammengefasst.

Abb. 6: Anzahl der jährlich gemessenen Normalpunkte von 1970 bis Anfang 2015 und deren Aufteilung auf die LLR-Observatorien

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Mond wurde in der Vergangenheit zu einem großen Teil der Apollo 15 Reflektor angemessen, der aufgrund seiner Größe das einfachste Ziel mit der größten Signalstärke darstellt (Abb. 7). Die anderen kleineren Reflektoren sind in der Regel schwieriger anzumessen. Mit APOLLO und dem erneuerten französischen System in Grasse können nun aber auch diese Reflektoren zuverlässig angemessen werden, sodass seit den letzten Jahren eine gleichmäßi-gere Beobachtung aller Reflektoren erreicht wird.

3 Datenanalyse

Die Normalpunkte werden am IfE mit dem Programmpa-ket LUNAR analysiert. Die Entwicklung der Software be-gann im Sonderforschungsbereich 78 an der TU München in der Forschungseinrichtung Satellitengeodäsie (FESG) und wird am IfE an der Leibniz Universität Hannover fortgeführt. Die wichtigsten Bestandteile von LUNAR sind die beiden Programmteile zur Ephemeridenberechnung und Parameterschätzung, siehe auch Müller et al. (2014a).

In der Ephemeridenrechnung wird die Bewegung der Körper im Sonnensystem bis zur ersten nach-New-ton’schen Ordnung, d. h. inklusive relativistischer Terme proportional zu 1/c2, modelliert (Will 1993). Als Grund-lage dienen die Einstein-Infeld-Hoffmann (EIH)-Bewe-gungsgleichungen für sphärisch-symmetrische Körper, die für alle Planeten, Sonne, Mond und ausgewählte Asteroiden numerisch in der Zeit integriert werden. Die Rotation des elastischen Mondes wird über die Euler-Liouville-Gleichungen simultan mitintegriert und relati-vistische Korrekturen (de Sitter und Lense-Thirring Prä-zes sion) angebracht (Müller 1991). Daraus ergibt sich die Orientierung des Mondes im Raum. Weiterhin werden gravitative Effekte durch die Abweichung der Erde, der Sonne und des Mondes von der Kugelgestalt, die säkulare Gezeitenbeschleunigung sowie das dissipative Verhalten des Mondes und der Einfluss eines flüssigen Mondkerns auf die Mondrotation modelliert.

Die Ausgleichung im Programmteil der Parameter-schätzung basiert auf dem Gauss-Markov-Modell. Dabei wird der gemessene dem berechneten Abstand d zwischen einem Observatorium auf der Erde und einem Reflektor auf dem Mond gegenübergestellt. Die Grundgleichung des Auswertung kann formal gegeben werden als

( )12 232 2mess rel atmo syn systc cd τ τ τ τ τ τ τ= = + + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ . (1)

Hierbei ist c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und τmess die gemessene Laufzeit vom Observatorium auf der Erde zum Reflektor auf dem Mond und zurück. In der LLR-Analyse werden drei wesentliche Zeitpunkte benötigt: Der Sendezeitpunkt t1, der Reflexionszeitpunkt t2 auf dem Mond und der Empfangszeitpunkt t3 des zurückkehrenden Signals am Observatorium. Im Normalpunkt sind nur der Zeitpunkt t1 in universeller koordinierter Weltzeit (UTC) und die Laufzeit τmess verfügbar. Die Zeitpunkte t2 und t3 müssen iterativ berechnet werden, da die Bewegung von Erde und Mond während der gesamten Lichtlaufzeit von rund 2,6 s berücksichtigt werden muss. Die Analyse der Normalpunkte erfolgt in einem raumfesten Inertialsystem in baryzentrisch-dynamischer Zeit (TDB), dem Zeitsystem der Ephemeridenrechnung. In der Transformation von UTC in TDB müssen auch weitere Zeitskalen (die Atom-zeit TAI und die terrestrisch dynamische Zeit TT) beach-tet werden. Aus den resultierenden Epochenzeiten kann die Pulslaufzeit τ12 = t2 – t1 zwischen Observatorium und Reflektor berechnet werden, entsprechend für den Rück-weg τ23 = t3 – t2. Die Größe Δτrel beschreibt die relativis-tische Laufzeitverzögerung des Laserpulses aufgrund der Ausbreitung im Schwerefeld von Erde und Sonne (Sha-piro-Effekt) sowie Anteile durch die relativistische Zeit-transformation von der terrestrischen Zeitskala auf dem Geoid TT zur dynamisch-baryzentrischen Zeitskala TDB. Die atmosphärisch bedingten Laufzeitverzögerungen sind mit Δτatmo bezeichnet, Δτsyn korrigiert periodische Verän-derungen der geozentrisch betrachteten Mondbewegung aufgrund des solaren Strahlungsdruckes und thermischer Effekte und Δτsyst berücksichtigt systematische Fehler in der Messung.

In die Berechnung fließen weiterhin die Transforma tio-nen zwischen dem raumfesten Inertialsystem, in dem die Bahnen der Körper des Sonnensystems berechnet werden, und den körperfesten Systemen von Erde und Mond ein, in denen die Reflektorpositionen (im Hauptachsensystem des Mondes) und die Stationskoordinaten (im Internatio-nalen Terrestrischen Referenzrahmen ITRF) definiert sind (Biskupek 2015). Die Rotation des Mondes und damit die Eulerwinkel zur Transformation in das Inertialsystem werden im Ephemeridenprogramm berechnet, während die Rotation der Erde durch die wohlbekannten Trans-formationen von Präzession/Nutation, Polbewegung und Erdrotationsphase UT1 beschrieben werden. Für die Ob-servatorien auf der Erde wird eine Reihe von Einflüssen auf die Stationskoordinaten berücksichtigt (Petit und Lu-zum 2010):

Abb. 7: Prozentualer Anteil der Reflektoren an den gemes-senen Normalpunkten von 1970 bis Anfang 2015

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p Gezeiten der festen Erde: Sie entstehen als direkter Ef-fekt der gravitativen Kräfte von Sonne und Mond (ra-dial bis zu 30 cm);

p Ozeanauflasten: Die durch gravitative Kräfte der Him-melskörper bedingte Verlagerung der Ozeanmassen (bis zu 10 cm);

p Atmosphärenauflasten: Sie entstehen einerseits durch die Erwärmung der Luftmassen über den Kontinenten und andererseits ebenfalls durch die gravitativen Kräf-te der Himmelskörper auf die Atmosphäre (ca. 1 cm);

p Polgezeiten: Verursacht durch die Polbewegung, füh-ren sie zu einer Änderung des Zentrifugalpotenzials, was zur Deformation des Erdkörpers führt (radial bis zu 25 mm, horizontal bis zu 7 mm);

p Auflasten durch Ozeanpolgezeiten: Sie entstehen als Folge der Polgezeiten, da diese ebenfalls eine Verla-gerung der Ozeanmassen verursachen (radial bis zu 1,8 mm, horizontal bis zu 0,5 mm) und

p Stationsbewegungen aufgrund der Plattentektonik (je nach Station bis zu einige cm/Jahr).

Die Reflektorkoordinaten werden um Gezeiteneffekte von Erde und Sonne sowie um Deformationen aufgrund der Rotation des Mondes korrigiert.

Die jährlichen gewichteten Residuen zwischen beob-achtetem und berechnetem Erde-Mond-Abstand sind in Abb. 8 gezeigt. In den Anfangsjahren erreichten die Re-siduen Werte bis etwa 30 cm. Ab Mitte der 80er Jahre wurden die Residuen durch mehr Beobachtungen und neue Observatorien mit verbesserter Technologie kleiner. Ab Mitte der 90er Jahre erreichten die Residuen ein Ni-veau von drei bis fünf Zentimeter. Etwa zwei Zentimeter entfallen auf die Orientierung der Reflektoren zum Mess-zeitpunkt. Aufgrund der Librationsbewegung des Mon-des weicht die Reflektornormale bis zu 10 Grad von der Richtung zur Erde ab. Durch diese Verkippung ist die Ent-fernung der einzelnen Tripleprismen des Reflektors zum Observatorium nicht konstant. Dies führt zu einer zusätz-lichen Unsicherheit in der Messung, da nicht bekannt ist, von welchem Einzelprisma die empfangenen Photonen reflektiert wurden. Weitere zwei bis drei Zentimeter ent-fallen auf verbleibende Modellierungsungenauigkeiten, z. B. in der Mondrotation.

4 Ergebnisse der Parameterschätzung – Erde-Mond-System

Mit Hilfe der Laserentfernungsmessungen zum Mond lassen sich verschiedene Parameter im Erde-Mond-Sys-tem bestimmen. Gleichzeitig bietet LLR eine einzigartige Möglichkeit, um bestimmte Aspekte der Einstein’schen Gravitationstheorie auf ihre Gültigkeit zu untersuchen, siehe auch Müller et al. (2014a) und Biskupek (2015).

Die hochgenau bestimmte Mondbahn, in Wechselwir-kung mit den Körpern des Sonnensystems, kann zur Re-alisierung eines dynamischen Referenzsystems herange-zogen werden. Die Positionen und Geschwindigkeiten der Körper zu bestimmten Zeitpunkten bilden die »Festpunk-te« des Referenzrahmens. Das mondfeste seleno zentrische Referenzsystem ist ein im Massenmittelpunkt des Mondes gelagertes Hauptachsensystem und wird über die mitge-schätzten Reflektorkoordinaten realisiert. Mit einer Ge-nauigkeit im Bereich von etwa 10 cm sind die fünf Re-flektoren die am genauesten bestimmten Punkte auf der Mondoberfläche. Umgekehrt lassen sich die Stationskoor-dinaten und -geschwindigkeiten auf der Erde mit einer Genauigkeit von wenigen Zentimetern bzw. Millimetern pro Jahr bestimmen.

In Biskupek (2015) sind die mit LLR schätzbaren Erd-orien tierungsparameter, wie langperiodische Nutations-koeffizienten, Erdrotationsphase und Polkoordinaten so- wie die Präzessionskonstante, untersucht worden. Als Grundlage diente dabei die Transformationsmatrix aus dem erdfesten ITRS (Internationales terrestrisches Refe-renzsystem) ins raumfeste GCRS (Geozentrisches him-melsfestes Referenzsystem), in die die jeweiligen Kompo-nenten einfließen. Die Nutation des aktuellen MHB2000 Modells (Mathews et al. 2002) liegt für die beiden Win-kel Δψ und Δε als Reihenentwicklung vor

( ) ( ) ( ) ( )1

sin cosn

MHB i i i i ii

A A dt ARG A A dt ARGψ=

′ ′′ ′′′∆ = + + +∑ , (2)

( ) ( ) ( ) ( )1

cos sinn

MHB i i i i i ii

B B dt ARG B B dt ARGε=

′ ′′ ′′′∆ = + + +∑ . (3)

Die jeweiligen Koeffizienten A, A′, A″, A″′, B, B′, B ″ und B ″′ sind durch das Modell gegeben, dt bezeichnet die Zeitdifferenz zu J2000.0 in Julianischen Jahrhunderten, n die Anzahl der Reihenelemente (678 für die lunisolare und 687 für die planetare Nutation). In

1

mi

i j jj

ARG M F=

= ∑ (4)

fließen die Fundamentalargumente Fj ein, de-ren Zahlenwerte in Petit & Luzum (2010) ange-geben sind. Die Summe berechnet sich dabei entweder über m = 5 Elemente für die luni solare Nutation bzw. über m = 14 für die planetare Abb. 8: Gewichtete jährliche Residuen der LLR-Analyse am IfE

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Nutation. ijM bezeichnet die jeweiligen Multiplikatoren.

In der LLR-Auswertung können die nicht-zeitabhängigen Koeffizienten A, A″, B und B ″ für die Perioden 18,6 und 9,3 Jahre sowie 365,3 und 182,6 Tage geschätzt werden. In unterschiedlichen Untersuchungen hat sich gezeigt, dass die zugrunde gelegte Transformation aus dem ITRS ins GCRS einen Einfluss auf die geschätzten Nutationsko-effizienten hat. Für die hier diskutierten Ergebnisse wur-de die Transformation über den Frühlingspunkt durch-geführt. Die Präzession wurde in LLR1 über die Winkel von Fukushima (2003) und Williams (1994) modelliert, in LLR2 gemäß Capitaine und Wallace (2006). Der Vergleich mit dem offiziellen MHB2000-Modell, dargestellt in Tab. 1, offenbart besonders in den langperiodischen Koef-fizienten der Δψ-Komponente, also entlang der Eklip tik, signifikante Abweichungen. Die jährlichen Koeffizienten passen, besonders in LLR2, sehr gut zum Modell.

Die LLR-Ergebnisse, die Genauigkeiten von 0,2 bis 0,5 mas in Δψ und 0,1 bis 0,3 mas in Δε erreichen, sind zwar schlechter als Nutationsergebnisse aus VLBI, trotz-dem können sie bei einer Kombination von LLR und VLBI durch die Langzeitstabilität zu einem präziseren Nuta-tions modell beitragen.

Die ungleichmäßige Verteilung der LLR-Beobachtun-gen über den synodischen Monat und die wenigen Obser-vatorien führen zu Problemen in der Datumsfestlegung. Dadurch ist es nicht trivial, Erdrotationsparameter aus

LLR zu schätzen. Untersuchun-gen von Biskupek (2015) haben allerdings ergeben, dass es über geeignete Auswertestrategien möglich ist, Zeitreihen für die Polbewegung mit einer Genauig-keit von 1 bis 20 mas und für die Erdrotationsphase mit 0,03 bis 0,3 ms zu berechnen. Besonders die hochgenauen Beobachtungen der Station APOLLO tragen hier positiv zu den Ergebnissen bei, siehe auch Müller et al. (2015).

Weiterhin werden Parameter für die Berechnung der Mond-ephe meride mitgeschätzt. Die Translation und Rotation des Mondes wird über einen Satz von Anfangswerten für die Epheme-ridenintegration den Messwerten angepasst. Für die Mondtransla-tion wird die initiale Position und Geschwindigkeit, für die Mon-drotation die initiale Orientie-rung und Winkelgeschwindigkeit bestimmt. Das komplette Mond-schwerefeld bis Grad und Ord-nung 5 wird in der Berechnung verwendet (Müller et al. 2014b). Um eine bestmögliche Anpas-

sung an die LLR-Messwerte zu erreichen, werden eini-ge Koeffizienten vom Grad 2 und 3 geschätzt. Weiterhin werden das Produkt der Gravitationskonstante mit der Gesamtmasse des Erde-Mond-Systems sowie gezeiten-abhängige Parameter und Kenngrößen des Mondinneren bestimmt. Dazu gehören die Lovezahlen k2 und h2, ein Dissipationsparameter D, um die zeitliche Verzögerung des Mondes auf die Gezeitenwirkung zu modellieren und ein Parameter für die säkulare Gezeitenbeschleunigung des Mondes. Die vom Mond erzeugten Gezeitenberge werden durch die im Vergleich zum Mondumlauf schnel-lere Erdrotation und Reibung aus der Verbindungslinie Erde–Mond herausbewegt. Der mondnahe Gezeitenberg befindet sich somit immer ein Stück »vor« dem Mond und verursacht eine kleine, aber stetige Beschleunigung des Mondes, der sich demzufolge um etwa 3,8 cm pro Jahr von der Erde entfernt.

5 Ergebnisse der Parameterschätzung – Gravitationsexperimente

Die Analyse der LLR-Messungen erlaubt, wichtige Kom-ponenten der Einstein’schen sowie auch der Newton’schen Gravitationstheorie zu testen, siehe Müller et al. (2014a) und Soffel (2015). Für schwache Gravitationsfelder und kleine Geschwindigkeiten, im Vergleich zur Lichtge-

Tab. 1: Zuschläge zu den MHB2000-Nutationskoeffizienten für vier Perioden, bestimmt aus der Analyse von LLR-Daten unter Anwendung verschiedener Trans-formationen zwischen dem ITRS und GCRS, jeweils über den Frühlingspunkt. In LLR1 wurde die Präzession gemäß Fukushima (2003) und Williams (1994) modelliert, in LLR2 gemäß Capitaine und Wallace (2006). Als Vergleichsmodell sind die Werte des MHB2000 Nutationsmodells (Mathews et al. 2002) gegeben. Die Einheit sind jeweils Millibogensekunden [mas].

Period MHB2000 [mas] LLR 1 [mas] LLR 2 [mas]

18,6 Jahre

A –17.206,42 2,70 ± 0,20 5,21 ± 0,25

B 9.205,23 –0,48 ± 0,10 –1,32 ± 0,11

A″ 3,34 –4,62 ± 0,12 –3,46 ± 0,21

B″ 1,54 –2,29 ± 0,09 –2,19 ± 0,10

182,6 Tage

A –1.317,09 –2,38 ± 0,08 –1,69 ± 0,11

B 573,03 0,25 ± 0,05 0,15 ± 0,05

A″ –1,37 1,80 ± 0,07 1,85 ± 0,09

B″ –0,46 0,23 ± 0,05 0,22 ± 0,05

9,3 Jahre

A 207,46 0,45 ± 0,11 0,85 ± 0,18

B –89,75 –0,15 ± 0,07 –0,13 ± 0,08

A″ –0,07 –1,50 ± 0,12 –0,97 ± 0,20

B″ –0,03 –0,87 ± 0,08 –1,35 ± 0,09

365,3 Tage

A 147,59 –2,91 ± 0,10 –0,51 ± 0,16

B 7,39 0,55 ± 0,06 0,01 ± 0,07

A″ 1,12 –2,30 ± 0,09 –0,06 ± 0,11

B″ –0,19 –0,29 ± 0,05 –0,02 ± 0,05

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schwindigkeit, kann die Einstein’sche Theorie durch die Newton’sche approximiert werden, z. B. das Newton’sche Gravitationsgesetz mit der Gravitationskonstanten G und dem Abstandsvektor r zwischen einer Testmasse und der felderzeugenden Masse M

²GMr r

= −rr . (5)

Die Unveränderlichkeit von G ist eine der grundlegenden Annahmen der Einstein’schen Theorie, während einige alternative Gravitationstheorien einen zeitlich veränder-lichen Wert für G vorhersagen (Sanders et al. 2010, Stein-hardt und Wesley 2010). Falls solche Variationen signi-fikant beobachtet werden würden, ließen sich Hinweise auf Modifikationen der Einstein’schen Theorie gewinnen. Die lange LLR-Beobachtungsreihe schränkt eine mögliche zeitliche Variation auf 131,5 10G G −< ⋅ /Jahr ein. Das obe-re Limit für eine mögliche quadratische Variation wurde von Biskupek (2015) zu 155 10G G −< ⋅ /Jahr2 abgeschätzt.

Eine mögliche Distanzabhängigkeit der Gravitations-konstanten und damit eine Verletzung von Newtons 1/r2-Gesetz, d. h. der quadratischen Abnahme der Gravi-tationsbeschleunigung mit steigendem Abstand zum an-ziehenden Körper, kann durch Einführung eines zusätzli-chen Yukawa-Potenzials zum Gravitationspotenzial von Erde und Mond über

( ) ( )/1 rErde MondEM

GM MV r e

rλα −= + (6)

untersucht werden (Hofmann et al. 2014a). Die Größe λ bezeichnet die effektive Reichweite und α die Kopplungs-konstante. Eine entsprechende zusätzliche Beschleuni-gung mit λ = 380.000 km wird in die LLR-Analyse ein-geführt und die Kopplungskonstante geschätzt. Es wurde bisher keine Verletzung des 1/r2-Gesetzes mit LLR gefun-den und die Obergrenze von α zu 1,8 ⋅ 10–11 bestimmt. Alle Verletzungen der Einstein’schen Theorie – so auch eine Yukawa-Störung – würden zu einer von der Vorher-sage abweichenden Bahn des Mondes führen. In Abb. 9 ist dieser Fall in einer stark übertriebenen Version für einen zusätzlichen hypothetischen Yukawa-Term (mit α = 6 ⋅ 104) in den Bewegungsgleichungen dargestellt.

Die Gültigkeit des Äquivalenzprinzips ist ein weiteres Kernelement der Gravitationstheorien von Newton und Einstein. Es ist mit dem freien Fall von Körpern in einem äußeren Gravitationsfeld verknüpft und kann in verschie-dene Varianten unterschieden werden (Nordtvedt 1968). Das schwache Äquivalenzprinzip besagt, dass alle unge-ladenen Körper unabhängig von ihrer chemischen Zu-sammensetzung, Größe und Masse im Vakuum die glei-che Frei-Fall-Beschleunigung erfahren. Im Newton’schen Sinne ist das Verhältnis zwischen träger Masse, die den Widerstand eines Körpers gegen äußere Kräfte darstellt, und schwerer Masse, die in die Berechnung der Gravita-tions kraft eingeht, für alle Körper gleich. Im Labor auf der Erde kann das schwache Äquivalenzprinzip z. B. durch hochempfindliche Torsionswaagen überprüft wer-

den (Wagner et al. 2012). Im Erde-Mond-System würde durch den unterschiedlichen inneren Aufbau von Erde und Mond (die Erde besitzt einen nickel- und eisenreichen Kern, der Mond besteht größtenteils aus Silikatgestein) eine Verletzung des schwachen Äquivalenzprinzips zu einer unterschiedlichen Beschleunigung im Gravitations-feld der Sonne führen und damit zu einer Veränderung der Mondbahn gegenüber der theoretischen Vorhersage.

Das starke Äquivalenzprinzip ist ein Grundpfeiler der Einstein’schen Gravitationstheorie und erweitert die schwache Variante um die gravitative Selbstenergie der Körper. In der Einstein’schen Theorie erzeugt jede Form von Energie eine gravitative Wirkung, d. h. auch die Ener-gie des eigenen Gravitationsfeldes erzeugt Gravitation. Die gravitative Selbstenergie ist für Testkörper in einem Labor nahezu verschwindend klein. Betrachtet man hin-gegen astronomische Körper mit größerer Selbstenergie, kann auch das starke Äquivalenzprinzip getestet werden. Dieses sagt aus, dass die Frei-Fall-Beschleunigung von Testkörpern unabhängig vom Anteil der gravitativen Selbstenergie ist. Betrachtet man die Erde und den Mond als Testkörper im Gravitationsfeld der Sonne, so erlaubt LLR einen kombinierten Test des schwachen und starken Äquivalenzprinzips (Müller et al. 2012). Berücksichtigt man Labortests zum schwachen Äquivalenzprinzip zwi-schen zwei Körpern mit erd- und mondähnlichem Aufbau (Adelberger 2001), kann mit LLR das starke Äquivalenz-prinzip allein getestet werden. Bisher wurde keine Ver-letzung des Äquivalenzprinzips mit LLR detektiert. Die Obergrenze für eine mögliche (normierte) Differenzbe-schleunigung zwischen Erde und Mond beträgt

( )132 10

1 2

n EMEM

Erde Mond

aaa a

−∆∆ = < ⋅

+. (7)

Abb. 9: Mondbahn über einen Zeitraum von 12 Monaten mit dem Effekt eines zusätzlichen Yukawa-Potenzials. Zu reinen Darstellungszwecken wurde die Berechnung mit einer extrem große Kopplungskonstante von α = 6*104 durchgeführt. Die Erde (blau) befindet sich im Ursprung des Diagramms, in schwarz ist die ungestörte und in rot die Yukawa-gestörte Mondbahn dargestellt.

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Alternativ kann der Test des starken Äquivalenzprinzips auch über den Nordtvedt-Parameter η ausgedrückt wer-den (Nordtvedt 1968) mit

( )2

42,0 4,0 10nEMa mcU

η −∆= = ± ⋅ , (8)

wobei U die gravitative Selbstenergie und m die Masse des Erde-Mond-Systems sind.

Ein weiterer Aspekt der Einstein’schen Theorie betrifft die sogenannte geodätische oder auch de Sitter-Präzes-sion. Dabei handelt es sich um eine relativistische Ro-tation des Mondorbits um etwa 1,9 Bogensekunden pro Jahrhundert (de Sitter 1916). Diese Bewegung ist in den relativistisch formulierten EIH-Bewegungsgleichungen bereits enthalten. Um zu testen, ob die Mondbahn die von Einstein vorhergesagte Präzessionsbewegung ausführt, wird die geodätische Präzession ein zweites Mal in die Bewegungsgleichungen eingeführt und ein Parameter für die relative Abweichung zur Einstein’schen Gravitations-theorie geschätzt. Die Analyse der LLR-Daten bestätigen die Vorhersage der Einstein’schen Theorie auf 0,5 %.

Gravitationstheorien können für schwache Gravita-tionsfelder und kleine Geschwindigkeiten, im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit, in einer parametrisierten nach-Newton’schen Näherung mit bestimmten dimensions-losen Parametern (PPN-Parameter) dargestellt werden (Will 1993). Mit LLR lassen sich einige dieser Parameter bestimmen. Es kann beispielsweise getestet werden, ob es bevorzugte Bezugssysteme gibt, in denen die Gravi-tationswirkung zwischen zwei Körpern richtungsab-hängig ist, während bei Einstein solche Bezugssysteme nicht existieren. Innerhalb der Messgenauigkeit konnten mit LLR keine signifikanten Effekte festgestellt werden (Müller et al. 1996, Soffel et al. 2008). Im Prinzip lassen sich mit LLR auch Metrikparameter, wie der Raumkrüm-mungsparameter γ und der Nichtlinearitätsparameter β, schätzen, jedoch können diese mit anderen Verfahren ge-nauer bestimmt werden. Unter der Annahme der Gültig-keit des schwachen Äquivalenzprinzips und dem Fehlen von bevorzugten Bezugssystemen kann aus dem LLR-Test des starken Äquivalenzprinzips (η aus (8)) in Verbindung mit Raumsondenmessungen für γ (∼10–5, Bertotti et al. 2013) ein genauerer Wert für β aus

( )1 34

β η γ= + + (9)

angegeben werden, der den Einstein’schen Wert von 1 auf 10–4 bestätigt.

6 Fazit

Lasermessungen zum Mond stellen einen einzigartigen Beobachtungssatz dar, mit dem eine Reihe von Effek-ten im Erde-Mond-System untersucht werden kann. Die größte Bedeutung hat LLR – durch den großen Erde-

Mond-Abstand und die mehr als 45-jährige Datenreihe – aber hinsichtlich des Tests von Gravitationstheorien. Ins-besondere die Untersuchungen zum Äquivalenzprinzip und zur Konstanz der Gravitationskonstanten haben eine große Bedeutung, da von alternativen Theorien Abwei-chungen zur Einstein’schen Gravitationstheorie erwartet werden. Die Analyse der LLR-Messungen bestätigt die Vorhersagen der Allgemeinen Relativitätstheorie bis jetzt in beeindruckender Weise und trägt zu einem besseren Verständnis des Erde-Mond-Systems bei.

Die höchste Messgenauigkeit wird gegenwärtig von der APOLLO-Station erzielt. Durch die große Teleskop-öffnung können in wenigen Minuten tausende reflektier-te Photonen empfangen und damit die statistische Ge-nauigkeit eines Normalpunktes (über das 1 N -Gesetz) in den mm-Bereich gesenkt werden. Damit ist APOLLO die einzige Station auf der Erde mit der Möglichkeit ei-ner mm-genauen LLR-Messung. Um dieses Genauigkeits-potenzial noch besser auszuschöpfen, wird die LLR-Ana-lysesoftware des IfE auch in Zukunft weiter verbessert, z. B. die Modellierung der Mondrotation in der Epheme-ridenrechnung durch eine detailliertere Berücksichtigung der auf den Mond wirkenden Drehmomente.

Neben Verbesserungen in der LLR-Analyse sind in den kommenden Jahren auch messtechnische Fortschritte zu erwarten. Durch fortwährende Verbesserungen in den Ob-servatorien ist heutzutage die LLR-Messgenauigkeit einer Einzelmessung durch die librationsbedingte Reflektor-orientierung limitiert. Um auch mit kleineren Teleskopen als APOLLO mm-Genauigkeit zu erreichen, können z. B. neuartige Einzel-Prisma-Reflektoren auf dem Mond in-stalliert werden (Currie et al. 2013). Durch die Elimination der librationsbedingten Einschränkungen ist die Messung dann wieder durch die Genauigkeit der Observatorien be-grenzt. Künftige Verbesserungen in der Hardware der Ob-servatorien, z. B. eine kürzere Pulsdauer der Einzelpulse, würden sich dann direkt auf die LLR-Normalpunkte aus-wirken. Eine weitere Möglichkeit zur Genauigkeitsstei-gerung besteht im Absetzen von Lasertranspondern auf der Mondoberfläche. Damit ist der Signalverlust nur noch proportional zu 1/Abstand2 (statt zur Zeit 1/Abstand4) und auch die SLR-Stationen können dann Signale vom Mond empfangen. Der Einsatz eines Teils des weltweiten SLR-Netzes würde die terrestrische Abdeckung der LLR-Observatorien und auch die Menge an qualitativ hoch-wertigen LLR-Daten wesentlich verbessern.

Eine allgemeine Genauigkeitssteigerung um eine Grö-ßenordnung in den 1 mm-Bereich in Verbindung mit ei-ner mm-genauen Analyse steigert auch die Genauigkeit der mit LLR bestimmbaren Parameter (z. B. G G um einen Faktor von 15 innerhalb einer Dekade, Hofmann et al. 2014b). Damit hat LLR das Potenzial, in Zukunft die Gül-tigkeit der Einstein’schen Theorie in noch engeren Gren-zen zu überprüfen.

FachbeitragHofmann/Müller/Biskupek, Lunar Laser Ranging: Das Erde-Mond-System und Tests …

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DankDie LLR Daten werden gesammelt, archiviert und ver-teilt unter der Schirmherrschaft des Internationalen La-ser Ranging Service (ILRS), Pearlman (2002). Wir danken dem Personal aller beteiligten LLR-Stationen für mehr als 45 Jahre an LLR-Daten. Teile der Arbeit wurden durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft in der Forschergruppe FOR1503 »Space-Time Reference Systems for Monitoring Global Change and for Precise Navigation in Space« so-wie FOR584 »Earth Rotation and global dynamic proces-ses« finanziert.

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Anschrift der AutorenDipl.-Ing. Franz Hofmann Prof. Dr.-Ing. Jürgen MüllerDr.-Ing. Liliane BiskupekLeibniz Universität Hannover, Institut für ErdmessungSchneiderberg 50, 30167 Hannoverhofmann@ife.uni-hannover.de

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