Massehafte Teilchen1 Hauptseminar WS2002/2003 Schlüsselexperimente zur Quantenmechanik Wellenpakete...

Massehafte Teilchen 1

Hauptseminar WS2002/2003

Schlüsselexperimente zur Quantenmechanik

Wellenpakete und Einzelphotoneninterferenz

Michael Grupp7.Januar 2003

Einführung 2/34

Einführung

Doppelspaltexperimente, Photoeffekt,... Unter welchen Bedingungen zeigen Quantenobjekte Wellen- oder Teilchencharakter?

Interpretation von Max Born und Welle-Teilchen-Dualismus

Darstellung der Konsequenzen der dualistischen Beschreibung durch Wellenpakete

Einzelphotoneninterferenz: vom Gedankenexperiment zum Realexperiment

Gliederung 3/34

Gliederung

Allgemeine Betrachtungen zu Wellenpaketen Wellenpakete massenhafter Teilchen Wellenpakete masseloser Teilchen Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier

(et al.) Messpostulat der Quantenmechanik Zusammenfassung Quellverzeichnis

Allgemeine Betrachtungen 4/34

Allgemeine Betrachtungen

Für Photonen gilt im Vakuum die freie Maxwellgleichung

Wellengleichung für Photonen

Verallgemeinerung

Klein-Gordon-Gleichung

Nichtrelativistischer Grenzfall

freie Schrödingergleichung

2

2 2

1 ( , ) 0r tc t

AAAAAAAAAAAAAA

2 2 2

2 2 2

1 ( , ) ( , )m cr t r tc t

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

2

( , ) ( , )2

i r t r tt m

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA


Eigenschaften, Lösung und Dispersionsrelationen

Diese partiellen Differentialgleichungen sind linear es gilt das Superpositionsprinzip

Die Lösung dieser Gleichungen können durch folgende

kontinuierliche Fourierentwicklung dargestellt werden:

( )1( , ) ( )

2i k r tr t k e dk

AAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAA


Eigenschaften, Lösung und Dispersionsrelationen

Die Lösungen unterscheiden sich in denDispersionsrelationen

Freie Maxwellgleichung

Klein-Gordon-Gleichung

Freie Schrödingergleichung

( )k ck

2 42 2

2( )

m ck c k

2

( )2

kk

m


Allgemeine Darstellung von (k) und

(k)

Entwicklung der Dispersionsrelation um k0

Mit vg Gruppengeschwindigkeit und Dispersionsparameter

Berechnung von (k)

Ist der Anfangszustand bekannt, so gilt

22

0 0 02

0 0

1( ) ( ) ( ) ( ) ...

2k k

d dk k k k k k

dk dk

2

0 0 0( ) ( ) ...gv k k k k

0 0

1( , ) ( ) ( )

2t

ikyy t y k e dk

0

1( ) ( )

2ikyk y e dy


Gaußfunktion

Es wird nun für (k) eine Gaußfunktion gewählt

Mit C Normierungskonstante; bestimmt die Breite der Gaußfunktion

Für das Gaußförmige Wellenpaket findet man

20( )( ) k kk Ce

2

0 0( )4( )

( , )2

gx v ti k x ti tC

x ti t

e e


Interpretation der Wellenfunktion

Max Born schlug vor die Wellenfunktion statistisch zu interpretieren:

Das Betragsquadrat der Wellenfunktion ist demnach proportional zur Wahrscheinlichkeit

das Teilchen nachzuweisen.

Für das Gaußförmige Wellenpaket folgt damit

Max Born 1882-1970

Nobelpreis 1954

2

22

2

2 2 2

2

( , )

2

gx v t

xCx t

t

e


Unschärferelation

Für das Gaußpaket ergibt sich folgende Unschärferelation

Vergleicht man dieses Ergebnis mit der Heisenbergschen Unschärferelation,

so ist das Gaußpaket der Zustand geringster Unschärfe für t = 0 bzw. = 0

2 2

21 22

tx p

A und B seinen hermitesche Operatoren

1 ΔAΔB A,B für x=x und p=ih ΔxΔp 22 x

Massenhafte Teilchen 11/34

Massenhafte Teilchen

Zunächst: freies Teilchen

Gruppengeschwindigkeit

Dispersionsparameter

Zustand zum Zeitpunkt t=0 hat geringste Unschärfe Wellenpaket zerfließt für t>0 Schwerpunkt des Gaußpaketes bewegt sich auf

klassischer Bahn

2( ) 2k k m

0

0

2gk

kdv

dk

0

2

2 2k

d

dk m


Visualisierung

Die komplexe Zahl kann durch Farben dargestellt

werden Der Farbton ist abhängig von der

Phase Die Helligkeit ist eine Funktion

des Absolutbetrages IzI Für IzI = 0 schwarz Für IzI weiß

Visualisierung komplexer Zahlen durch Farben

Im z

Re z

z= iz e


Freies Teilchen

Ruhendes freies Teilchen Bewegtes freies Teilchen

1t 1t

2 1t t 2 1t t

03_05a.mov03_03b.mov 03_06a.mov

03_03a.mov


Freies Teilchen

Das Auseinanderlaufen eines Wellenpaketes ist kein auf die Quantenmechanik beschränktes Phänomen!

Der größte Unterschied zur klassischen Beschreibung von Teilchen steckt in der Bedeutung der Phase des Wellenpaketes

Wellenpakete die ein Teilchen beschreiben können mit sich selbst interferieren!


Teilchen in der Box

Lösung der freien Schrödingergleichung (x,t) unter

Dirichletschen Randbedingungen

Analogie zur Spiegelladungsmethode in der Elektrostatik

Lösung für eindimensionale Box der Länge L

0

( , ) (2 , ) (2 , )n

x t nL x t nL x t

0,x L

n

Z

(0, ) ( , ) 0 tt L t


Teilchen in der Box

Ensemble aus klassischen Teilchen würde sich mit der Zeit gleichmäßig auf L verteilen

Quantenmechanische Betrachtung führt auf Strukturen!

1. Gebrochene Wiederkehr 2. Wiederkehr

ist die Wiederkehrzeit1T h E

14t T 3

4t T 12t T t T

04_06b.mov 04_07a.mov 04_07b.mov 04_07c.mov


Teilchen in der Box

Quantenteppich – Aufenthaltswahrscheinlichkeit in

Falschfarbendarstellung (aus Studienführer Physik, Universität Ulm, 2002)


Weitere Beispiele

Gaußpaket trifft auf Potentialstufe

Gaußpaket trifft auf Potentialbarriere

07_04a.mov

07_11b.mov 07_16b.mov

Masselose Teilchen 19/34

Masselose Teilchen

Die Dispersionsrelation führt auf

Gruppengeschwindigkeit

Dispersionsparameter

Die Form eines Wellenpakets, das sich im Vakuum mit

c ausbreitet bleibt erhalten Gaußpaket ist Zustand geringster Unschärfe für alle t

( )k ck

0

gk

dv c

dk

0

2

20

k

d

dk

Masselose Teilchen 20/34

Energie-Zeit-Unschärferelation

Die Breite x des Wellenpaketes lässt sich als seine Kohärenzlänge festlegen

Impulsunschärfe

Die Energie-Zeit-Unschärferelation folgt nicht direkt aus der

Heisenbergschen Unschärferelation!

kohx c t l

Ep c

2x p E t Energie - Zeit - Unschärferelation

Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) 21/34

Versuch von Grangier (et al.)

Experimenteller Nachweis der Einzelphotoneninterferenz

Notwendig: Hochgeschwindigkeitselektronik daher war dieser Versuch erst 1985 durchführbar

Wie erzeugt man kontrolliert einzelne Photonen?

Erster Versuchsteil : ein Stahlteiler Photonen verhalten sich wie Teilchen

Zweiter Versuchsteil : Mach-Zehnder-Interferometer Einzelphotoneninterferenz


Erster Versuchsteil

Einzelne Photonen treffen auf einen Strahlteiler und werden durch zwei Photomultipier nachgewiesen.


Wie erzeugt man kontrolliert einzelne Photonen?

Quelle: Durch Laser angeregte Kalziumatome angeregter Zustand zerfällt in zwei Schritten in den

Grundzustand das erste emittierte Photon 1 wird von PM1 nachgewiesen

und das Gate wird für w 9ns geöffnet nur während w kann das zweite Photons 2 (Lebensdauer 2=

4,7ns) durch die Photomultipier PMr und PMt nachgewiesen werden

2 1 Trick: Messung von wird auf den Nachweis von getriggert!


Was wird gemessen? – Klassische Betrachtung

Wahrscheinlichkeiten

gemittelte Intensität während Messzeit

Aus der Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung folgt

Damit gilt für die Wahrscheinlichkeiten

(Anti)korrelationskoeffizient

1

tt n

Np iN 1

rr n

Np iN

2

1

cc n

Np iN

22n ni i

c r tp p p 1 1c cklassisch

r t r t

p N N

p p N N

ni


Was wird gemessen – quantenmechanische Betrachtung

Die Verletzung der klassischen Ungleichung führt auf ein Antikorrelationskriterium, das ein nichtklassisches Verhalten charakterisiert.

Eine umfangreiche quantenmechanische Rechnung

führt auf

ist in diesem Experiment nahe 1

2

12

2 ( )1

( )c

QM

r t

f w Nw NwN N

N N f w Nw

( )f w


Ergebnis: Photon zeigt Teilcheneigenschaft

Vergleich zwischen Messergebnissen und der theoretischen Kurve (durchgezogen)

Maximal gemessene Verletzung der klassischen Ungleichung:

Messzeit T 5h bei N1 8800s-1

Klassische Theorie sagt 50 Koinzidenzen voraus gemessen wurden nur 9!

0,18 0,06

Die Photonen verhalten sich in diesem Experiment wie Teilchen!


Mach-Zehnder-Interferometer

Die Versuchsanordnung wird nun in ein Mach-Zehner-Interferometer umgebaut.


Wellenpaket

Wellenpaket eines Photon, das von einem Atom emittiert ist lorentzförmig

Zur Erinnerung: Wellenpaket behält seine Form (Vakuum!)

Abschätzung der Kohärenzlänge

Kohärenzlänge ist unabhängig von Abstand

Quelle-Detektoren

Beobachtung der Interferenz hängt von der Wegdifferenz

ab und nicht von dem Abstand Quelle-Detektor

2τ c=4,7ns = t c t=l = 1,41m


Ergebnis: Photon zeigt Welleneigenschaften

Gemessen wurde um die Weißlichtposition =0 in 256 Stufen mit einemjeweiligen Abstand von /50 (8,45nm) : a) 1s Messzeit pro Kanal b) 15s Messzeit pro Kanal


Teilt sich das Photon?

Auch hier: Erster Stahlteiler teilt das Wellenpaket in zwei

Teilpakete Beide Teilwellenpakete bestimmen die

Wahrscheinlichkeit das eine Photon nachzuweisen Wellenpaket “sieht“ und “nutzt“ alle Möglichkeiten

sich im Interferometer auszubreiten Photon ist an der Quelle und an dem Detektor

lokalisierbar dazwischen nicht

0,18 0,06

Gedankenexperiment 31/34

Gedankenexperiment – Eigenschaft “Weg“

Photonen lassen sich durch Polarisationsfilter “markieren“

Beide gleich eingestellt Interferenzmuster Ungleich eingestellt kein Interferenzmuster

Messpostulat 32/34

Messpostulat der Quantenmechanik

Obwohl ein Quantenobjekt eine Eigenschaftnicht besitzen muss, wird bei einer Messung dieser Eigenschaft immer ein bestimmter Wert (Eigenwert) gefunden!

Zusammenfassung 33/34

Zusammenfassung

Quantenmechanik seit fast achtzig Jahren eine der erfolgreichsten Theorien

Dynamik einzelner Quantenobjekte kann durch Wellen-pakete beschrieben werden

Wellenpakete können visualisiert werden und damit die Quantenmechanik verdeutlichen

Die Einzelphotoneninterferenz hat den Welle-Teilchen-Dualismus des Photons bestätigt (1985(!))

Quellverzeichnis 34/34

Quellverzeichnis

B. Thaller, Visual Quantum Mechanics, Springer-Verlag, New York, 2000 (http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/)

T. Fließbach, Quantenmechanik, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2000

Grangier, P.; Rogier, G; Aspect, A., Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beamsplitter, Europhys. Lett. 1 (1986)173

P. Grangier cited by A. L. Robinson, Science 231(1986)671 Müller,R;Wiesner,H., Photonen im Mach-Zehnder-

Interferometer, Universität München (http://www.physik.uni-muenchen.de/didaktik/quanten/Interferometer.pdf)

W.P.Schleich, Elements of Quantum Mechanics, Ulm, 2002

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