Massenmittelpunkt, „Schwerpunkt“,Drehachsen und Trägheitsmoment

Begriffe der „Punktmechanik“ und

„Mechanik der starren Körper“

Inhalt

• Definition des Massenmittelpunkts bzw. „Schwerpunkts“

• Ausblick auf Drehbewegungen

Ort der Masse: Der Schwerpunkt

Bewegung ausgedehnter Objekte

Bei Bewegung ohne Drehung, den „Translationen“, verhalten sich räumlich ausgedehnte oder mehrere zusammenhängende Objekte wie ein einziger Massenpunkt:

• Ort dieses Punktes ist der Massenmittelpunkt, auch „Schwerpunkt“ genannt

• Die Masse an diesem Punkt ist die Summe aller Teil-Massen – Die Masse ist der Proportionalitätsfaktor zwischen

Kraft und Beschleunigung

1 mVektor zum Schwerpunkt von N Massenelementen

1 m kgMit der Masse mi gewichteter Vektor zum Element i

1 kg Gesamte Masse aller Elemente

1 NDie Masse aller Elemente ist die Proportionalitätskonstante zwischen Kraft und Beschleunigung a

Schwerpunkt, Massenmittelpunkt, Kraft und Beschleunigung

ii xm

N

ii

N

iii

S

m

xmx

1

1

xs Vektor zum Massenmittelpunkt in der „Punktmechanik“

N

iimM

1

aMF

Stabil liegt ein Körper im Gravitationsfeld, wenn sein Schwerpunkt zwischen Stützen oder, bei hängenden Objekten, unterhalb des Punktes der Aufhängung liegt

• Obacht! Im Schwerefeld der Erde kippt die Leiter, sobald das Lot des Schwerpunkts über ihren Fußpunkt wandert

Drehungen

Zur Beschreibung einer Drehung ist die Kenntnis der Achse erforderlich (ein Punkt auf der Achse und ein Richtungs-Vektor)

• Das Drehmoment beschleunigt die Drehung– Drehmoment: Produkt aus Kraft und Abstandsvektor zur

Drehachse – die Kraft steht senkrecht zum Abstandsvektor und zur

Drehachse

• Proportionalitätsfaktor zwischen Drehmoment und Winkelbeschleunigung ist das Trägheitsmoment– Das Trägheitsmoment ist bezüglich der Drehachse definiert

Voraussetzung ist die starre Verbingung aller Massenpunkte, dieses Gebiet der Physik heißt daher „Mechanik der starren Körper“

Aufgrund der unterschiedlichen Trägheitsmomente unterscheidet sich die Fahrphysik von Bus und PKW bei Drehbewegungen. Bei geradliniger Fahrt verhalten sich beide annähernd gleich.

Quelle: (FAZ 26.10.99, Seite T5)

1 kg m2 Trägheitsmoment bezüglich einer Achse X

1 mAbstand des Massenelements mi von der Drehachse

1 NmDas Drehmoment ist proportional zum Trägheitsmoment

rad / s2 Winkelbeschleunigung, dω/dx

Trägheitsmoment bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt

N

iiiX rmJ

1

2

ri Abstandsvektor eines Massenpunkts von der Drehachse

ir

XXX JM

X

Schwerpunkt, Masse und Trägheitsmoment

Die erste Information zu einem Objekt aus einer beliebigen Verteilungen von Massepunkten ist

• Die Lage des Schwerpunkts• Die GesamtmasseDiese Information genügt zur Beschreibung von

Translationsbewegungen

Eine zweite, nähere Beschreibung der Verteilung liefert die Angabe

• Einer Achse in Form eines Vektors in Achsrichtung und definierter Lage bezüglich des Objekts

• Das Trägheitsmoment Diese Informationen genügen zur Beschreibung von

Rotationsbewegungen

Erinnerung an Mittelwert und Varianz

Die erste Information zu einer beliebigen Verteilung von Daten ist

• Die Angabe des Mittelwerts• Die Anzahl der Datenpunkte

Eine zweite, nähere Beschreibung der Verteilung zeigt die „Breite“ der Verteilung

• Die Varianz, bzw. die Standardabweichung

Mittelwert aus N Messwerten xi

Messwert xi

N Gesamtzahl der Messwerte

Mittelwert einer beliebigen Verteilung

N

iixN 1

1

ix

N

Mittelwert aus N Messwerten xi

Messwert xi

Mittelwert der Verteilung

N Gesamtzahl der Messwerte

Varianz einer beliebigen Verteilung

2

1

2 )(1

1

N

iixN

ix

N

Zusammenfassung• Bei „Translationen“, das sind Bewegungen ohne

Drehung, verhalten sich räumlich ausgedehnte oder mehrere starr zusammenhängende Objekte wie ein einziger Massenpunkt:– Ort dieses Punktes ist der Massenmittelpunkt, auch

„Schwerpunkt“ genannt– Die Masse an diesem Punkt ist die Summe aller Teil Massen

• Der Vektor zum Schwerpunkt ist ein Quotient– Zähler: Summe über die mit der Masse gewichteten Vektoren zu

den einzelnen Masse-Elementen – Nenner: Summe über die Massen aller Elemente

• Zur Berechnung von Drehbewegungen ist weitere Information erforderlich:– Lage der Drehachse– Verteilung der Massen bezüglich der Drehachse: „das

Trägheitsmoment“

finis

• Obacht! Im Schwerefeld der Erde kippt die Leiter, sobald das Lot des Schwerpunkts über ihren Fußpunkt wandert