5. Teilchensysteme und Impulserhaltung · –1 © R. Girwidz 1 5. Teilchensysteme und...

–1

© R. Girwidz 1

5. Teilchensysteme und Impulserhaltung5. Teilchensysteme und Impulserhaltung

5.1 Massenmittelpunkt

5.2 Impuls als Bewegungsgröße

5.3 Impulserhaltungssatz

5.4 Stoßprozesse

5.5 Raketenphysik

© R. Girwidz 2

5.1 Massenmittelpunkt5.1 Massenmittelpunkt

Massenmittelpunkt:

Massenmittelpunkt / Schwerpunkt:

2211 xmxmxm sGes

V: 2 Wagen auf Balken

Spezialfall 1 dim. Welt:

–2

© R. Girwidz 3


Massenmittelpunkt:

Massenmittelpunkt / Schwerpunkt:

2211 xmxmxm sGes

i

ii2211

mxm

mxmxmx

Gess

V: 2 Wagen auf Balken

Spezialfall 1 dim. Welt:

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Allgemein:

ii

iii

s

iiisGes

m

rmr

rmrm


–3

© R. Girwidz 5

Trägheitssatz und Newton II für ein System von Teilchen:

Der Massenmittelpunkt eines Systems bewegt sich unter dem Einfluss einer resultierenden äußeren Kraft wie ein Teilchen mit der Masse:


V: Schraubenschlüssel mit Markierung

Vergleich mit Ball

)( i

iGes mm

© R. Girwidz 6

Trägheitssatz und Newton II für ein System von Teilchen:

Der Massenmittelpunkt eines Systems bewegt sich unter dem Einfluss einer resultierenden äußeren Kraft wie ein Teilchen mit der Masse:

Spezialfall:

(d. h. der Massenmittelpunkt bewegt sich geradlinig gleichförmig oder ruht)

;;0 konstvF tSchwerpunk


V: Schraubenschlüssel mit Markierung

Vergleich mit Ball

)( i

iGes mm

–4

© R. Girwidz 7

Def.:

Mit Hilfe des Impulses lässt sich die Grundgleichung der Mechanik allgemein formulieren:

vmp

pvmdt

dF )(

5.2 Impuls als Bewegungsgröße5.2 Impuls als Bewegungsgröße

pF

spGesext

spGesext

vmF

amF

© R. Girwidz 8

dt

pdF

ptF

pddtF


Aussagen ablesen können

pF

–5

© R. Girwidz 9

Kraftstoß und Impulsänderung:

Kraftstoß = Impulsänderung

dt

pdF

ppddtF


© R. Girwidz 10

5.3 Impulserhaltungssatz (actio = reactio)5.3 Impulserhaltungssatz (actio = reactio)

–6

© R. Girwidz 11

Gesamtimpuls vorher = Gesamtimpuls nachher(Impulserhaltung)

2211

21

amam

FF


Theorie: vereinfachendFi = konst.

2211

22

11

vmvmt

vm

t

vm

''

)'()'(

22112211

222111

vmvmvmvm

vvmvvm

© R. Girwidz 12

Allgemein:

Impulssatz:

Ohne Einwirkung äußerer Kräfte bleibt in einem System die Summe aller Impulse konstant.

. oder 00 constpdt

pdFa


–7

© R. Girwidz 13


© R. Girwidz 14


–8

© R. Girwidz 15

5.3 Stoßarten5.3 Stoßarten

StoßartCharakteristik

ElastischSumme der kinetischen Energie vor und nach dem Stoß gleich

IneleastischSumme der kinetischen Energie nach dem Stoß kleiner

unelastischDie Körper bewegen sich nach dem Stoß zusammen mit gleicher Geschwindigkeit

überelastisch 0Q

0Q

0Q

QEE vorKinnachKin ,,

0Q

© R. Girwidz 16

Experimente zum geraden unelastischen Stoß

Spezialfall: ''' 21 vvv

121

112

3

2'2)

2

1')

vvmmb

vvmma

5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)5.4 Stoßprozesse (eindim. /kollineare Stöße)

–9

© R. Girwidz 17

Unelastisch: Körper haften nach dem Stoß aneinander, d. h. v1' = v2' = u'

Impulssatz:

Energiesatz:


© R. Girwidz 18

Unelastisch: Körper haften nach dem Stoß aneinander, d. h. v1' = v2' = u'

Impulssatz:

Energiesatz:

Sei speziell v2=0 (ruhendes Target):

')( 212211 vmmvmvm

Qvmmvmvm 2

21

2

22

2

11 ')(2

1

2

1

2

1

121

1' vmm

mv


Inelastisch Stoß auf Fahrbahn: Geschwindigkeiten messen

–10

© R. Girwidz 19

Beispiel: Zusammenstoß LKW - PKW

m1= 15 t; v1= 100 km/hm2= 1,5 t; v2=-100 km/h


© R. Girwidz 20


m1= 15 t; v1= 100 km/hm2= 1,5 t; v2=-100 km/h

Frontaler Zusammenstoß, vollkommen inelastisch:

')( 212211 vmmvmvm

''' 21 vvv


–11

© R. Girwidz 21


m1= 15 t; v1= 100 km/hm2= 1,5 t; v2=-100 km/h

Frontaler Zusammenstoß, vollkommen inelastisch:

Der LKW verliert nur ca. 20% seiner Geschwindigkeit

')( 212211 vmmvmvm

''' 21 vvv

21

2211'mm

vmvmv

x

x

ev

ev

1

1

hkm

hkm

82'

105,115

)100(105,11001015'

3

33


© R. Girwidz 22

Energieabgabe beim unelastischen Stoß:


–12

© R. Girwidz 23


2

1

21

2

12

11

2

21

2

11

2

1

2

1

')(2

1

2

1

vmm

mvm

vmmvmQ


);0( 2 v

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2

1

21

2

12

11

2

21

2

11

2

1

2

1

')(2

1

2

1

vmm

mvm

vmmvmQ

1

21

2

2

11

21

2

2

1

21

21

*

2

1

2

1

Emm

mQ

vmmm

m

vmm

mmQ


2

121

2

1 1

1

mmmm

m

E

Q

);0( 2 v

–13

© R. Girwidz 25

Energieabgabe:

Je leichter das Projektil, umso höher


1EQ

2

121

2

1 1

1

mmmm

m

E

Q

© R. Girwidz 26

Energieabgabe:

Je leichter das Projektil, umso höher


1EQ

2

121

2

1 1

1

mmmm

m

E

Q

12

1EQ :mma) 21

1EQ :mmb) 21

Spezialfälle:

–14

© R. Girwidz 27

Weiterer spezieller Fall: vvvmmm 2121 ;

2

1 2

122 vmEQ


© R. Girwidz 28

B) Elastischer Stoß

I) Impulssatz:

II) Energiesatz:

'' 22112211 vmvmvmvm

222

211

222

211 '

2

1'

2

1

2

1

2

1vmvmvmvm


–15

© R. Girwidz 29

Spezialfall: v2 = 0 (ruhendes Target)

aus IS:

aus ES:

''0 221111 vmvmvm

2

22

2

11

2

11 '2

1'

2

1

2

1vmvmvm

(1)

(2)


© R. Girwidz 30


2

22

2

1

2

11

21

2

12

''

''

vmvvm

vvm

mv

(1')

(2')

–16

© R. Girwidz 31


2

22

2

1

2

11

21

2

12

''

''

vmvvm

vvm

mv

211211

111112

2

11

2

2

111111

'

''

'''

mmvmmv

vvmvvm

vvm

mvvvvm

121

211' v

mm

mmv

(1')

(2')

(1') in (2'):

© R. Girwidz 32

121

12

2' v

mm

mv


–17

© R. Girwidz 33

'2

'1

'

21

21

2

2

1

22

21

2111

221

21

21111

vvmm

m

m

m

vmmm

mmvm

vmvmm

mmmvm

in (1)

121

12

2' v

mm

mv


© R. Girwidz 34

zwei gleiche Massen:


;0; 221 vmm

121

211' v

mm

mmv

121

12

2' v

mm

mv

–18

© R. Girwidz 35


vollständige Energieübertragung


;0; 221 vmm

121 ' ;0' vvv

121

211' v

mm

mmv

121

12

2' v

mm

mv

© R. Girwidz 36




;0; 221 vmm

121 ' ;0' vvv

:21 mm El. Stoß auf Wand

121

211' v

mm

mmv

121

12

2' v

mm

mv

–19

© R. Girwidz 37



sehr geringer Energieübertragung


;0; 221 vmm

121 ' ;0' vvv


0' ;' 211 vvv

121

211' v

mm

mmv

121

12

2' v

mm

mv

© R. Girwidz 38





Kugelpendel


;0; 221 vmm

121 ' ;0' vvv


:21 mm 1211 2' ;' vvvv

0' ;' 211 vvv

121

211' v

mm

mmv

121

12

2' v

mm

mv

–20

© R. Girwidz 39


lxh

hlhlhhlllx

lxhl

2

2

2

2

2222

222

– Messung von Geschw. m. d. ballistischen Pendel

1m;g;49,0g;646 lMM GP

© R. Girwidz 40


P

G

PGG

PPGGG

vm

Mmv

vMmvm

0

lgxhgv

hgMmvMm

P

PGPPG

2

2

1 2

lgx

m

Mmv

G

PGG

Impulssatz:

(für Geschoss+Pendel)

vP aus Energiebetrachtung:

–21

© R. Girwidz 41

Relativer Energieübertrag:

Max. bei m1=m2


1

2'E

E

;2

2'

2

1'

2

21

1122222

mmvmmvmE

2

1

2

1

2

221

21

1

2

1

44'

mm

mm

mm

mmE

E

2111 2

1 vmE

© R. Girwidz 42

5.5 Raketenphysik5.5 Raketenphysik

–22

© R. Girwidz 43

Prinzip:Antrieb durch Rückstoß ausströmenden Gase; Impulserhaltung für Gesamtsystem (Rakete + ausströmenden Gas)


v(t) : Geschwindigkeit der Rakete im raumfesten System

Ausströmgeschw. der Gase relativ zur Rakete

ww

wtvtvG

mR: Masse Rakete; mG: Masse der ausgestoßenen Gase;

Momentangschwindigkeit

© R. Girwidz 44

Impulssatz bei momentanem Masseausstoß (dmG):

(dm * dv vernachlässigt)


dvvdmmwvdmmv G

dt

dmw

dt

dmw

dt

dvm RG

R

Gase Rakete

Schubkraft

Bewegungsgleichung:

Aufstellen der Bewegungsgleichung für den kräftefreien Raum

–23

© R. Girwidz 45

Impulssatz bei momentanem Masseausstoß (dmG):

(dm * dv vernachlässigt)


dvvdmmwvdmmv GRR

dt

dmw

dt

dmw

dt

dvm RG

R

;0;0;0 sGR Fw

dt

dm

dt

dm

...; constFconstwconstdt

dms

Gase Rakete

Schubkraft

realistisch:

Bewegungsgleichung:

Aufstellen der Bewegungsgleichung für den kräftefreien Raum

© R. Girwidz 46

Rakete im Schwerefeld (Raketenstart)

äußeres Kraftfeld

kommt hinzu;

Bewegungsgleichung:

Schubkraft Schwerkraft

man beachte: m =m (t)!

mgdt

dmw

dt

dvm G

gmFG

Fs>0 FG<0


–24

© R. Girwidz 47

Integration der Bewegungsgleichung:

mit m0=m(t=0)=Masse der vollgetankten Rakete bei Zündung

dtgm

dmwdv

R

G

tm

m

Rv

dtgtm

dmwdv

00 0)(

tgtm

mwtv o

)(ln)(


© R. Girwidz 48

Diskussion:

entscheidende Parameter für Schubkraft:

hängt von Brennkammerdruck und -temperatur sowie vom verwendeten Gasgemisch ab;

a) Bedingung für Abheben:GS FF

dt

dv 0

; und dt

dmw

w


–25

© R. Girwidz 49

Diskussion:

entscheidende Parameter für Schubkraft:

hängt von Brennkammerdruck und -temperatur sowie vom verwendeten Gasgemisch ab;

In der Praxis:

a) Bedingung für Abheben:GS FF

dt

dv 0

; und dt

dmw

w

dt

dm höheres aber ,5,2~w kleines O fl.-Kerosin

dt

dm kleines aber ,

s

km4,5~w hohes O fl.H fl.

2

22

s

km


© R. Girwidz 50

Masse der leergebrannten Rakete bei Brennschluss

entscheidende Parameter:

b) Endgeschwindigkeit vE (=Geschwindigkeit bei Brennschluss t = tE)

EE

E tgm

mwv 0ln

EE ttmm mit

E

0 und m

mw


–26

© R. Girwidz 51

Masse der leergebrannten Rakete bei Brennschluss

entscheidende Parameter:

In der Praxis:

b) Endgeschwindigkeit vE (=Geschwindigkeit bei Brennschluss t = tE)

EE

E tgm

mwv 0ln

EE ttmm mit

E

0 und m

mw

s

kmv

m

m

bisw

E 8

6

(5,45,2

E

0

oben) siehes

km

zum Vergleich: Fluchtgeschwindigkeit vmin=11,2 km/s Mehrstufenprinzip!


© R. Girwidz 52

1. Stufe: Kerosin + fl. O2

Brenndauer:

Daten der Saturn V (Apollo-Projekt)

;4700

29002000;2950 0

E

Treibstoffo m

mmm t;t

N;s

t

s

km 7103,3;15;2,2 sFdt

dmw

min 2Et


2., 3. Stufe: fl. H2 + fl. O2

–27

© R. Girwidz 53

nach 1. Stufe ------ 2 km/snach 2. Stufe ------ 6,8 km/snach 3. Stufe ------ 7,85 km /s

Umlaufbahn in 185 km Höhe

Endgeschwindigkeit vE

Beschleunigung der Rakete:

a) am Anfang (kurz nach Start:

b) am Ende (kurz vor Brennschluss):

;2,020

0 gm

gmFa s

A

2s

m

;440 gm

gmFa

E

EsE

2s

m


© R. Girwidz 54


Die heißen Verbrennungsgase strömen aus den Brennkammern nach hinten aus.

–28

© R. Girwidz 55

5.6 Stöße - zweidimensional5.6 Stöße - zweidimensional

© R. Girwidz 56


Stoßart Charakteristik

geradeGeschwindigkeitsvektoren liegen auf einer Geraden

schiefGeschwindigkeitsvektoren liegen in einer Ebene und schließen einen Winkel ein

zentralDie Schwerpunkte liegen auf der Stoßnormalen (Senkrechte zur Stoßebene)

exzentrischDie Schwerpunkte liegen nicht auf der Stoßnormalen => Rotation

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© R. Girwidz 57


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Bei gleichen Massen stehen die Geschwindigkeitsvektoren nach dem Stoß senkrecht aufeinander.

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