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Mathe

Rechnen und Sachaufgaben

Rechnen und Sachaufgaben

www.schuelerlexikon.de

Wieselfl ink geübt: nur 15 bis 30 Minuten am Tag!

• Alle wichtigen Themen • Überschaubare Lernportionen

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Extras:

• Abschlusstest• Lernkalender fürs eigene Zeitmanagement• Herausnehmbares Lösungsheft

Geeignet für 8- und 9-jähriges Gymnasium, Realschule und Gesamtschule. Berücksichtigt die neuen Bildungspläne der Bundesländer.

6. Klasse

ISBN 978-3-411-72862-65,99 3 (D) · 6,20 3 (A)

6. K

lass

e

Mat

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Sac

hau

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15-Minuten-Lernhilfen_Mathe_6_Kl.indd 115-Minuten-Lernhilfen_Mathe_6_Kl.indd 1 06.10.2011 9:55:56 Uhr06.10.2011 9:55:56 Uhr

Duden

Rechnen und Sachaufgaben 6. Klasse

in MinutenMathe

DudenverlagMannheim · Zürich

6.6. KlasseKlasse

15

2., aktualisierte Aufl age

001-064_Ueh_Ma6.indd 1 11.10.2011 12:27:52 Uhr

Inhalt

1 Rechnen mit BrüchenDarstellung von Brüchen und Anteilen ............ 4

Vergleichen, erweitern, kürzen ........................... 6

Addieren und subtrahieren von Brüchen ......... 8

Multiplizieren und dividieren von Brüchen ..... 10

Rechenausdrücke mit Bruchzahlen lösen ........ 12

2 Rechnen mit DezimalzahlenDarstellung von Dezimalzahlen ......................... 14

Addieren und subtrahieren .................................. 16

Multiplizieren und dividieren .............................. 18

Dezimal- und Bruchschreibweise ....................... 20

3 Rechnen mit rationalen ZahlenDarstellung rationaler Zahlen ............................. 22

Zahlenmengen und Begriffe ............................... 24

Vorzeichenregeln beim Rechnen ........................ 26

4 Rechenstrategien und geschicktes RechnenRegeln für geschicktes Rechnen ......................... 28

Teilen und vervielfachen ....................................... 38

Rechnen mit Zehnerpotenzen und Größen ..... 40

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5 Anwendungs- und SachaufgabenTerme mit einer Variablen .................................... 42

Von der Textaufgabe zum Term .......................... 44

Sachverhalte als Rechenbäume darstellen ...... 46

Einfache Gleichungen ............................................ 48

Lösen von Gleichungen ......................................... 50

Von der Textaufgabe zur Gleichung .................. 52

6 Abhängigkeiten zwischen GrößenZuordnungen, Häufigkeiten, Mittelwerte ........ 54

Proportionalität und Dreisatz ............................. 56

Prozentrechnung .................................................... 58

Schaubilder und Diagramme .............................. 60

Abschlusstest .................................................................. 62

Lösungsheft zum Herausnehmen ........................ L1– L8

001-064_Ueh_Ma6.indd 3 11.10.2011 12:27:54 Uhr

4

Darstellung von Brüchen und Anteilen

Gib den Anteil der Bälle an, die …

a) ein Punktemuster haben:

c) nicht mehr ganz rund sind:

e) ein Muster haben:

Brüche können auf dem Zahlenstrahl angeordnet werden. Die Strecke zwischen 0 und 1 entspricht einem Ganzen, das aufgeteilt wird.■ Der Nenner gibt an, in wie viele gleiche Teile das Ganze geteilt wird.■ Der Zähler gibt an, wie viele Teile vorhanden (gemeint) sind.■ Der Bruchstrich bedeutet das Gleiche wie das Geteilt-Zeichen (:). 6

3 = 6 : 3

■ Im Nenner eines Bruchs darf nie die Zahl 0 stehen! ■ Ist der Zähler eines Bruchs null, so ist der ganze Bruch gleich null.

Ist bei einem Bruch der Zähler kleiner als der Nenner, so heißt der Bruch echter Bruch. Ist der Zähler gleich dem oder größer als der Nenner, so ist der beschrie-bene Bruchteil ein Ganzes oder größer und heißt unechter Bruch.Einen unechten Bruch kann man als gemischte Zahl schreiben. Dies ist die Summe aus einer natürlichen Zahl und einem echten Bruch. Das Pluszeichen wird nicht geschrieben. 1

12

= 1 + 12 = 2

2 + 12 = 3

2 ; 3 34

= 3 + 34 = 12

4 + 34 = 15

4

1

Trage die angegebenen Zahlen am Zahlenstrahl ein. Verwende für die

unechten Brüche eine andere Farbe.

2

b) ein Streifenmuster haben:

d) einfarbig sind:

f) ganz rund sind:

12

; 32

; 42

; 43

; 1 13

; 63

; 24

; 56

; 94

; 1 28

0 1 2

Rechnen mit Brüchen1

001-064_Ueh_Ma6.indd 4 11.10.2011 12:27:54 Uhr

5

Rechnen mit Brüchen

1

2

3

4

5

6

3

4

5

Schreibe die gemischte Zahl in Bruchschreibweise.

Beispiel: 3 25

soll umgewandelt werden. Schreibe die natürliche Zahl als Bruch mit dem Nenner 1. Rechne: 3

1 + 25 = 15

5 + 25 = 17

5 , also 3 25 = 175 .

Der neue Zähler ist 17, der Nenner bleibt 5.

a) 1 12 =

c) 5 14 =

e) 2 89 =

g) 7 17 =

Schreibe die Brüche in der gemischten Schreibweise. Ordne sie dann der

Größe nach. Arbeite in deinem Übungsheft.

Beispiel: Der Bruch 236 soll umgewandelt werden. Der Nenner bleibt

erhalten. Teile den Zähler durch den Nenner und schreibe die Ganzen vor den Bruchstrich: Rechne 23 : 6 = 3 Rest 5 23

6 = 3 5

6.

Der Rest ergibt den neuen Zähler 5. Der Nenner 6 bleibt erhalten.

73

; 236

; 113

; 114

; 133

1 l1 l 1 l 1 l 1 l

Gib den Inhalt der Messbecher jeweils als Bruchteil von 1 Liter an.

b) 2 14 =

d) 3 23 =

f) 1 110 =

h) 9 89 =

a) b) c) d) e)

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6

Vergleichen, erweitern, kürzen

Brüche mit gleichem Nenner heißen gleichnamig. Brüche mit verschiedenen Nennern heißen ungleichnamig.■ Von zwei Brüchen mit gleichem Zähler ist derjenige größer, der den kleineren

Nenner hat. 23 > 2

5■ Von zwei Brüchen mit gleichem Nenner ist derjenige größer, der den

größeren Zähler hat. 67 > 4

7

Ungleichnamige Brüche kannst du besser vergleichen, wenn du sie auf einen gemeinsamen Nenner erweiterst (oder kürzt) und sie so gleichnamig machst. ■ Erweitern: Du multiplizierst Zähler und Nenner mit derselben Zahl.■ Kürzen: Du dividierst Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl.

Ein Bruch heißt vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner teilerfremd sind, d. h. nicht weiter geteilt werden können. Am schnellsten geht das, wenn du einen Bruch mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT, \ S. 38) von Zähler und Nenner kürzt. Du kannst aber auch schrittweise kürzen.

1

2

Kürze die Brüche so weit wie möglich. Schreibe in dein Übungsheft.

a) 24

c) 1530

e) 2736

g) 45120

b) 39

d) 2128

f) 1860

h) 13052

Finde den kleinsten gemeinsamen Nenner (Hauptnenner), erweitere

dann beide Brüche auf diesen. Vergleiche sie miteinander.

a) 34

und 56

c) 29

und 16

b) 215

und 310

d) 38 und 5

12

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7

Rechnen mit Brüchen

1

2

3

4

5

6

3

4

5

Claudia hat einen Geheimtext geschrieben. Entschlüssle ihn, indem du

die blau gedruckten Bruchzahlen als Bruch schreibst, dann möglichst

weit kürzt und Scheinbrüche als natürliche Zahlen schreibst.

Hinweis: Scheinbrüche sind eigentlich natürliche Zahlen, weil der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist.

Gestern habe ich sechs achtel Stunden Fußball

gespielt. Ich schoss insgesamt fünfzehn drittel

Eckbälle und vier halbe Tore. Vor lauter Durst trank

ich dreißig zwanzigstel Liter Mineralwasser.

Leider wurde ich fünfzig zehntel Minuten vor Schluss

ausgewechselt. Am Ende haben wir acht Halbe zu

acht Achtel gewonnen.

Markiere die Brüche, die dieselbe Bruchzahl darstellen, jeweils in

derselben Farbe. Denke an das vollständige Kürzen.

a) 12

; 23

; 46

; 24

; 48

; 69

b) 35

; 915

; 814

; 3050

; 710

; 47

Bei den gemischten Brüchen ist etwas schiefgegangen. Kürze die Brüche

so weit wie möglich. Forme so um, dass der Bruchanteil der gemischten

Schreibweise ein echter Bruch ist. Rechne im Übungsheft.

Beispiele: Kürze: 1 1216

= 1 34

; oder vereinfache:

2 52

= 2 + 52

= 2 + 42

+ 12

= 2 + 2 + 12

= 4 + 12

= 4 12

a) 1 26 =

c) 5 4221

=

b) 10 510

=

d) 2 92

=

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8

Addieren und subtrahieren von Brüchen

1

2

Willst du ungleichnamige Brüche addieren oder subtrahieren, musst du sie zuerst durch Erweitern (\ S. 6) gleichnamig machen. Als gemeinsamen Nenner wählst du dazu das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV, \ S. 38) der beiden Nenner. Dieser kleinste gemeinsame Nenner heißt Hauptnenner.■ Gleichnamige Brüche addierst du, indem du die Zähler addierst und den

gemeinsamen Nenner beibehältst.■ Gleichnamige Brüche subtrahierst du, indem du die Zähler subtrahierst und

den gemeinsamen Nenner beibehältst.

Berechne die Summen und Differenzen der gleichnamigen Brüche. Bei

den Aufgaben e) bis h) kannst du das Ergebnis noch kürzen.

a) 13

+ 13

= 3

c) 1723

+ 723

= 23

e) 154

– 94

= 4 =

2

g) 139

– 19

= 9 =

3

b) 27

+ 47

= 7

d) 85

– 25

= 5

f) 710

+ 910

= 10 =

5

h) 3316

– 2116

= 16 =

4

Fülle die Lücken in den Rechnungen.

a) 110

+ 210

= 10

c) 25

+ 1320

= 20 +

20 = 20

e) 127

– 107

= 7

g) 56

– 49

= 18 –

18 = 18

b) 12

+ 34

= 4 +

4 = 4

d) 16

+ 38

= 4 + 9 = 24

f) 112

– 113

= 6 –

6 = 6

h) 34

– 917

= 51 – 36 = 68

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9

Rechnen mit Brüchen

1

2

3

4

5

6

3

4

5

Gib zu den beiden Brüchen jeweils drei mögliche gemeinsame Nenner an

und kreise den Hauptnenner ein.

a) 75

und 43

15 30 45

b) 14

und 52

c) 215

und 310

d) 29

und 116

Schreibe das Ergebnis als Bruch und in der gemischten Schreibweise.

Beispiel: 12

+ 13

+ 14

= 612

+ 412

+ 312

= 1312

= 1 112

a) 13

+ 14

+ 15

= = =

b) 17

+ 23

+ 43

+ 114 = = =

c) 910

– 15

– 23

= = =

Löse das Rätsel durch Zeichnen und durch Rechnen im Heft.

Pizzatag: Frau Margherita bekommt zwei Fünftel, Herr Margherita bekommt drei Zehntel der gesamten Pizza. Von dem, was dann noch übrig ist, bekommt Kater Tom ein Drittel. Den Rest bekommt Emilio.Welchen Anteil an der gesamten Pizza erhält der Sohn Emilio?

Antwort:

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10

Multiplizieren und Dividieren von Brüchen

Zwei Brüche multiplizierst du, indem du die beiden Zähler und die beiden Nenner jeweils miteinander multiplizierst. Die Ergebnisse werden gekürzt.■ Durch Multiplikation mit einem Bruch kannst du bestimmen, wie viel ein

Anteil an einer Sache ausmacht. Das Wort „von“ musst du als Malzeichen übersetzen.

23 von 12 kg sind 8 kg, denn 2

3 ‚ 12 = 23 ‚ 12

1 = 243 = 8

1 = 8.

■ Auch einen Anteil an einem Anteil kannst du durch Bruchmultiplikation bestimmen.

310 von 5

2 Liter sind 34 Liter, denn 3

10 „ 52 = 15

20 = 34 .

Den Kehrwert eines Bruchs erhältst du durch Vertauschen von Zähler und Nenner. 5

2 ist der Kehrwert von 25 .

Einen Bruch dividierst du durch einen zweiten Bruch, indem du ihn mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizierst. 3

5 : 47 = 3

5 · 74 = 3 · 7

5 · 4 = 2120

Berechne die Produkte.

a) 12

· 12

= „

„ =

b) 37

· 52

= „

„ =

c) 725

· 114

= „

„ =

d) 13

· 45

· 73 = „ „

„ „ =

1

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