Mathematik für Klasse 6 Bruchrechnung Teil 1 -...

Mathematik für Klasse 6

Bruchrechnung

Teil 1

5 Trainingseinheiten zum Unterricht

Datei Nr. 10220

Friedrich W. Buckel

Stand 12. Januar 2006

INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

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Inhalt

Vorwort

1. Training: Bruchteile von Schokolade und Pizza 1

2. Training: Erweitern von Brüchen 4

3. Training: Kürzen von Brüchen 12

4. Training: Bruchteile von Maßeinheiten 15

5. Training: Gemischte Zahlen 24

Lösungsteil für alle Aufgaben 27 - 37

10220 Klasse 6 Einführung Brüche – Erweitern und Kürzen 1

Vorwort

Das Lesen und Verstehen eines solchen Textes ist für Schüler der Klassenstufe 6 oftmals noch zu schwer. Und da meine Hilfe gerne von Eltern in Anspruch genommen wird, deren Kinder Probleme in Mathematik haben, ist hier ein Vorwort notwendig.

Wenn ein Kind in dieser Altersstufe sich in Mathematik schwer tut, kann es viele Ursachen haben.

Das Kind hat zu wenig Grundlagen: Es beherrscht das „Einmal-Eins“ nicht und hat zu wenig Übung im Kopfrechnen.

Das Abstraktionsvermögen des Kindes ist noch nicht so weit entwickelt, dass es Transferleistungen erbringen kann. Dann kann man ihm zwar an einem Beispiel klar machen, wie man rechnen soll, aber bei anderen Aufgaben, vor allem, wenn sie eine andere Gestalt haben, weiß das Kind damit nichts mehr anzufangen. Es kann die gelernte Methode noch nicht vom einen Beispiel auf das andere transferieren ! Dann aber erkennt das Kind auch nicht den Hintergrund einer solchen Rechnung. Es klammert sich eben an die gesehenen Beispiele und sein Rechnen ist ein Nachahmen.

Hier stoßen wir an das generelle Problem des Mathematikunterrichts in dieser Altersstufe (Klasse 5 bis 7). In der Regel stoßen Herleitungen auf Unverständnis, und die, um so abstrakter sie geführt werden. Kinder leben in diesem Alter vom Erkennen und vom Aha-Effekt. An einfachen und sich wiederholenden Beispielen merken die Kinder, dass es Analogien gibt, die man dann zu einer Regel fassen kann. Der Mathematiklehrer sollte dann auch den Mut besitzen und manche Sonderfälle einfach ignorieren. Viele Kinder machen dann zu, wenn man mit zu vielen „ja-aber“ und „wenn-dann“ kommt. Man kann ja andeuten, dass es Ausnahmen gibt. Hier ist der Drang nach Vollständigkeit Grund vielen Übels. Perfekte Mathematiker werden hier zu schlechten Pädagogen ! Der geschickte Lehrer findet gute Beispiele und fördert so das Entdecken der Kinder. Aber bitte langsam und nicht zu viele Varianten auf einmal. Sonst bremst man die Entwicklung eher als man sie zur Entfaltung bringt!

Was also können Eltern tun, wenn Sie mit diesem Text Hilfe suchen ?

Meine Texte sind eher für Eltern gedacht. Sie können nachvollziehen, welche Methoden es gibt, und was man beachten kann. Rechnen Sie dann einzelne Beispiele mit Ihrem Kind durch und zeigen Sie Methoden auf. Nur wenige Kinder werden diese Texte alleine durcharbeiten können. Die Aufgabenseiten hieraus sind durchaus für Kinder selbst geeignet. Doch ich bringe auch anspruchsvolle Aufgaben, denn ich will vieles abdecken, was so möglich ist.


1. Training: Bruchteile von Schokolade und Pizza

Beispiel 1

Eine Tafel „Mathe-Schoko“ hat vier Vertiefungen zum Auseinanderbrechen. Sie wird dadurch in vier Teile aufgeteilt.

Jedes dieser Teile nennt man ein Viertel, oder eine Viertels-Tafel. Dies schreibt man so: 1

4 Tafel .

Nimmt man zwei Teile, also 2 Viertel, dann hat man die halbe Tafel: 1

2 Tafel .

Und dann gibt es noch drei Viertel: 34 Tafel

Und wie man sieht sind 4 Viertel wieder die ganze Tafel: 4

4 Tafel 1Tafel=

Beispiel 2

Eine Pizza zerschneidet man meist in 8 gleich große Teile:

Jedes einzelne Stück bezeichnet man als ein Achtel und schreibt 1

8 Pizza

Die nächste Abbildung zeigt drei Achtel schraffiert: 38 Pizza . Der nicht schraffierte Teil sind 5

8 Pizza . Zusammen ergeben sie eine ganze Pizza: 3 5 8

8 8 8 1+ = =

Man kann durch Abzählen herausfinden:

Nimmt man vier Achtel, hat man die Hälfte: 4 18 2Pizza Pizza= . Nimmt man zwei Achtel, hat man ein Viertel: 2 1

8 4Pizza Pizza= , ja und alle 8 Achtel ergeben die ganze Pizza: 8

8 Pizza 1Pizza= .

Wichtig: Will man mit Bruchteilen rechnen, müssen alle gleichartigen Teile gleich groß sein: Alle Achtel müssen gleich groß sein, alle Viertel, teilt man einen Liter Wasser in 6 Teile, müssen alle 6 Teile gleich groß sein, sonst darf man sie nicht „Sechstel“ nennen !

18

58

38


Es gibt Brüche, die verschieden sind, aber gleich viel bedeuten!

Beispiel 3

Diese Schokoladentafel besteht aus 8 gleich großen Stücken.

Klaus zerbricht ihre Tafel in 8 Teile und isst davon 2, Maria zerteilt in 4 Teile und isst davon 1 Teil. Man sieht, dass beide dieselbe Menge Schokolade gegessen haben:

Wir schreiben daher: 2 18 4Schokolade Schokolade= oder kurz: 2 1

8 4= .

ACHTUNG: Die Schreibweise 2 18 4= heißt nicht, dass dies dieselben Brüche

sind. Es sind verschiedene Brüche mit gleichem Wert !

Wie man sieht, sind auch 4 2 18 4 2= = !

Wir werden später lernen, wie man solche Brüche ineinander umrechnen kann.

Beispiel 4

Diese Tafel Schokolade kann man in 6 gleiche Reihen oder in 12 Stücke zerbrechen:

Man erkennt: 2 112 6= und darunter: 4 2 1

12 6 3= =

Dabei ist es egal, welche Teile man markiert. Auch das sind 412 :

Ja, und wer ein scharfes Messer hat, kann gar 24 Teile daraus machen, indem er jedes Stückchen nochmals zerteilt. Damit man aber selbst die 4

12 Schokolade behält, muss man sich nun das Doppelte nehmen, also haben wir

8 4 2 124 12 6 3= = = .


Bitte Nachdenken: Wir haben gesehen, dass man ein Stück (Schokolade oder Pizza oder was auch immer) immer weiter zerteilen kann, man muss nur gleichzeitig immer mehr Stücke nehmen, damit man dieselbe Menge behält. Schauen wir uns als letztes Beispiel dieses an; Eine Tafel Edelsahne mit Himbeeraroma hat 4 Rippen und kann daher leicht in 5 Teile zerlegt werden. Ich gönne mir davon 2 Rippen, besitze also 2

5 dieser Tafel.

Zerteilt man die Tafel zusätzlich nochmals quer durch die Mitte, ergibt dies 10 Teile, und ich besitze nun 4 davon also: 4

10 .

Ich könnte nun weiter zerbröseln und Jedes der 10 Teile nochmals in der Länge halbieren, dann komme ich auf 20 Teile. Und bin stolzer Besitzer von 8 jetzt deutlich kleineren Teilen : 8

20 .

Ja, und wer meint, er habe noch eine Idee, könnte die ursprüngliche Tafel 2 mal quer durchschneiden, dann komme ich auf 6

15 .

Es ist klar, dass mein Besitz an Schleckereien immer derselbe bleibt, sehen wir vom zerbröselnden Abfall ab.

Also gilt: 2 4 6 8 ....5 10 15 20= = = =

Entdeckst Du auch, was rechnerisch passiert ? Multipliziert man im ersten Bruch Zähler und Nenner mit 2, entsteht der 2. Bruch. Multipliziert man im ersten Bruch Zähler und Nenner mit 3, entsteht der 3. Bruch. Multipliziert man im ersten Bruch Zähler und Nenner mit 4, entsteht der 4. Bruch.

Wie müsste folglich der Zähler heißen: 2 ?5 50=

Hier wird der Nenner mit 10 multipliziert, also müsste dies auch im Zähler

geschehen: 2 205 50= .

Oder: Wie muss der Nenner heißen ? 3 247 ?=

Der Zähler wurde mit 8 multipliziert, also rechnen wir genau so im Nenner: 3 247 56= .

Was wir hier tun, nennt man ERWEITERN eines Bruches !


2. Training: Erweitern von Brüchen

MERKE:

Man erweitert einen Bruch, indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert.

Dabei ändert sich der Wert dieses Bruches nicht!

Mit der Zahl 0 darf man nicht erweitern.

Erweitern von 37

mit 5 ergibt 53 3 157 7 55 3

⋅⋅

= =

Erweitern von 512

mit 4 ergibt 5 5 2012 12

444 8⋅

=⋅=

Erweitern von 15039

mit 2 ergibt 2150 150 30039 3 729 8⋅

=⋅=

Erweitern von 1512

mit 30 ergibt 1 1 30 30512 512 30 15360

⋅= =⋅

.

Grundaufgabe: Brüche auf denselben Nenner bringen !

Erweitere beide Brüche so, dass sie denselben Nenner erhalten. Warum gibt es viele Lösungen ?

2 4und3 5

.

Wenn man den ersten Bruch mit 5 erweitert und den zweiten mit 3, dann folgt.

2 2 5 10 4 4 3 12und3 3 5 5 1315 55

⋅ ⋅= = = =⋅ ⋅

Man kann auch mit dem Doppelten davon erweitern, also mit 10 und 6:

2 2 10 20 4 4 6 24und3 3 10 5 053 360

⋅ ⋅= = = =⋅ ⋅

Man kann auch mit dem Dreifachen davon erweitern, also mit 15 und 9:

2 2 15 20 4 4 9 36und3 3 15 5 554 495

⋅ ⋅= = = =⋅ ⋅

usw.


Berechnung der kleinsten gemeinsamen Nenners (=Hauptnenner)

Beispiel

Erweitere die Brüche 5 11und12 20

so, dass sie den kleinsten gemeinsamen

Nenner erhalten.

Zwischenüberlegung Schüler neigen dazu, das Produkt der beiden Nenner als kleinsten gemeinsamen Nenner zu verwenden. Das stimmt nur in manchen Fällen. Würde man hier als Hauptnenner 12 20 240⋅ = verwenden, dann sähe das Ergebnis so aus:

5 5 100 11 11 132und12 12 20240 240

20 122 2200 1

⋅ ⋅= =⋅

= =⋅

.

Aber bereits 120 ist ein gemeinsamer Nenner von 12 und 20. Man muss dazu den ersten Bruch mit 10 und den zweiten mit 6 erweitern:

5 5 50 11 11 66un1 d12 12 2120 12

0 60 010 620

= = = =⋅ ⋅⋅ ⋅

.

Der kleinste gemeinsame Nenner, also das, was man als den Hauptnenner bezeichnet, ist jedoch nur 60. Dazu muss man den ersten Bruch mit 5 und den 2. mit 3 erweitern:

Wenn man bedenkt, dass ein gemeinsamer Nenner ja ein Vielfaches der beiden gegebenen Nenner ist, denn man muss ja jeden von ihnen durch Multiplikation in diesen Hauptnenner überführen, dann wird klar, dass der Hauptnenner das kleinste gemeinsame Vielfache der Einzelnenner ist ! Die Berechnung dieses kgV wurde in der Datei 10216 „Teilbarkeit“ besprochen. Hier gibt es dazu nochmals einige Beispiele.

MERKE:

Unter dem Hauptnenner von Brüchen versteht man den kleinsten gemeinsamen Nenner, also das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Einzelnenner.

5 5 25 11 11 33und12 12 260 60 0 0

5 35 32

= ⋅⋅

= =⋅ =⋅


Beispiele zur Grundaufgabe

Erweitern zum Hauptnenner

Methode 1 Bringe 27

und 53

auf den Hauptnenner.

Merkmal: Die Nenner 7 und 3 haben keine gemeinsamen Teiler. Damit ist das kleinste gemeinsame Vielfache ihr Produkt: 21

2 2 67 7

3213

⋅⋅

= = und 75 5 353 3 17 2

⋅⋅

= =

Hinweis: Alle Zahlen haben den gemeinsamen Teiler 1, doch der ist hier stets unbrauchbar und wird weggelassen.

Methode 2: Bringe 27

und 514


Merkmal: Der große Nenner 14 ist ein Vielfaches des kleineren. Damit ist der größere das kleinste gemeinsame Vielfache: 14

2 2 47 7

2142

⋅⋅

= = und 514

(bleibt so).

Methode 3:

a) Bringe 221

und 514


Merkmal: Die Nenner 7 und 3 haben gemeinsamen Teiler. Damit ist das kgV kleiner als ihr Produkt! Methode: Man zerlegt die beiden Nenner in Primfaktoren:. Man schreibt aber stets nur gleiche untereinander. Das Produkt aller Spalten ist das kgV. Die fehlenden Zahlen bilden die Erweiterungszahlen. Also ist der Hauptnenner 42, und den Bruch mit dem Nenner 21 muss man mit 2, den mit dem Nenner 14 mit 3 erweitern:

2 2 421 2

221 42

⋅⋅

= = und 5 5 1514 14

343 2⋅

=⋅= .

21

EZ 2EZ 3

21 7 314 7 2

kgV 7 3 2 42

==

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ =

Diese drei Methoden muss man auswendig lernen: Man muss zuerst erkennen, welches Merkmal vorliegt, dann wird die passende Methode angewandt !


b) Bringe 1154

und 581


Merkmal: Die Nenner 54 und 91 haben gemeinsamen Teiler. Primfaktorzerlegung: Ich zeige hier, wie man zuerst beide Nenner in ein Produkt „zerkleinert“ um dann daraus die Primfaktoren aufzuspüren. Man kann aber auch zuerst ein anderes Produkt entdecken, etwa, dass beide Zahlen Vielfache von 90 sind, dann sieht die PFZ so aus: Man achte stets darauf, dass immer nur gleiche Primfaktoren untereinander stehen ! Jetzt ist zwar die Reihenfolge der Primfaktoren anders, aber das Ergebnis ist davon unabhängig.

Abkürzende Methode Für gute Rechner (Schüler der Klasse 6 sind damit oft überfordert) kann man diese Methode der PFZ abkürzen. Ich zeige hier die Kurzform einmal richtig und einmal falsch: Im ersten Kasten habe ich beide Nenner in Vielfache von 27 zerlegt, und die Faktoren zu 27 sind 2 und 3 und damit teilerfremd. Daher ist der HN ihr Produkt also 2 23 7⋅ ⋅ .

Im zweiten Kasten habe ich beide Nenner in Vielfache von 9 zerlegt, und die Faktoren zu 9 sind 6 und 9. Diese haben aber den gemeinsamen Teiler 3, daher darf man nicht ihr Produkt verwenden. 6 99⋅ ⋅ ist nicht der Hauptnenner.

Ich zeige im Anschluss noch drei Beispiele für PFZ, einmal ausführlich und einmal mit der Kurzmethode, die ich älteren Schülern nahe lege !

81

54 2 27 2 3 3 381 3 27 3 3 3 3HN kgV

EZ 3EZ 2

2 3 13 3 3 62

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ⋅ ⋅ ⋅ =

==

⋅

54

54 9 6 3 3 2 381 9 9 3 3 3 3HN kgV 3 3 2 3 1

EZ 3EZ 2

3 62

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

==

= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

81

EZ 3EZ 2

54 281 3HN 2 3 1

272

67

2 27

= ⋅= ⋅= ⋅ =

=

⋅=

81

EZ 9EZ

54 681 9HN 6 9 48

699

9 6

= ⋅= ⋅= ⋅ =

=

⋅=


c) Bringe 724

und 1356


Primfaktorzerlegung: Schnellmethode: Bei der Schnellmethode muss ich den größten gemeinsamen Teiler finden: 8, so dass seine Vielfachen 3 und 7 teilerfremd sind. Dann ist deren Produkt zusammen mit der 8 der HN !

7 7 4924 24 1 87 6

7⋅= =⋅

und 13 13 1956 56 1 83 6

3⋅= =⋅

d) Bringe 49108

und 760


Primfaktorzerlegung: Schnellmethode: In der Schnellmethode verwendet man den ggT 12 und hat dann die teiler- fremden Faktoren 9 und 5!

Es folgt: 49 49 245108 10 5 05 4

58⋅= =⋅

und 7 7 6360 60 5 09 4

9⋅= =⋅

.

e) Bringe 4972

und 2596


Primfaktorzerlegung: Schnellmethode: In der Schnellmethode verwendet man den ggT 24 und hat dann die teiler- fremden Faktoren 3 und 4!

Es folgt: 49 49 19672 72 24 8

48

⋅=⋅= und 25 25 75

96 96 2 83 83⋅= =⋅

.

24

24 4 6 2 2 2 356 7 8 2 2 2 7HN kgV 2 2 2 3 1

EZ 7EZ 3

7 68

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

==

= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

EZ 7E

24 356 7

8Z168

83 7 8

3HN

==

= ⋅= ⋅= ⋅ ⋅ =

108

108 9 12 3 3 3 2 260 5 12 3 2 2 5

HN kgV 3

EZ

3

5

3 2 5 52 4

EZ

0

9= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

==

=

1212

EZ 5EZ 9

108 960 5HN 129 5 540

= ⋅= ⋅= ⋅ ⋅ =

==

2424

EZ 4EZ

72 396 4HN 3 288

34 24

= ⋅= ⋅= ⋅ ⋅ =

==

72

72 9 8 3 3 2 2 296 8 12 3 2 2 2 2 2HN kgV

EZ 4EZ 32883 3 2 2 2 2 2

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

==

=


Anwendung: Vergleichen von Brüchen

Musteraufgabe:

Welcher Bruch ist größer : 1736

oder 2342

?

Überlegung: Stellen wir uns eine große Schokoladetafel vor. Zerteilen wir sie in 36 Teile, dann sind diese sicher größer, als bei einer Zerteilung in 42 Teile. Denn mehr Teile bedeutet, dass sie kleiner werden. Dafür nehmen wir aber statt 17 dann 23. Wo hat man mehr: Bei 17 von 36Teilen oder bei 23 von 42 Teilen ? Methode: Um vergleichen zu können, bringen wir beide Brüche auf den Hauptnenner! Lösung: Primfaktorzerlegung: Schnellmethode:

In der Schnellmethode verwendet man den ggT 6 und hat dann die teiler- fremden Faktoren 6 und 7, also ist der Hauptnenner das 42-fache von 6.

Nun die Lösung der Aufgabe: 17 17 11936 36 27 2

75

⋅=⋅= , 23 23 138

42 42 26 26

5⋅=⋅= .

Ergebnis: 17 13836 42< !

Erweiterte Aufgabenstellung: Hauptnenner von 3 Brüchen

Musteraufgabe: Ordne diese Brüche der Größe nach: 17

64 , 21

80 und 13

48

Methode: Um vergleichen zu können, bringen wir alle Brüche auf den Hauptnenner! Lösung: Primfaktorzerlegung: Schnellmethode:

151

15

7 25564 960

=⋅⋅

, 121

22

1 25280 960

=⋅⋅

und 202

10

3 26048 960

=⋅⋅

.

Ergebnis: 1321 1780 65 48< < !

36

36 9 4 3 3 2 242 6 7 3 2 7HN kgV

EZ 7EZ 6253 3 2 2 7 2

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

==

=42

EZ 7EZ

36 642 7

HN

66

66 25276

= ⋅= ⋅= ⋅ ⋅ =

==

6

64

5 32 2 32 2 5

64 2 (! EZ 15EZ 12

) 2 2 2 2 2 280 8 10 2 2 2 2 548 8 6 2 2 2 2 3HN kgV 2 2 2 2 2 2 5

Z3

E6

09

20

⋅⋅⋅ ⋅

= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ⋅

==

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ==

60

64 480 548 3

1

HN 4 5

6161616

EZ 1512EZ

EZ 209603

===

= ⋅ ⋅= ⋅= ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ =


Aufgabenblatt

Aufgabe 1 Erweitere und ergänze den fehlenden Zähler bzw. Nenner

a) 5 ?8 48= b) 5 ?

36 180= c) 7 ?

15 135=

d) 5 8512 ?= e) 21 105

25 ?= f) 27 81

17 ?=

Aufgabe 2 Bringe diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner (Hauptnenner)

a) 3 1und8 3

b) 1 3und2 5

c) 3 11und11 12

d) 3 11und4 36

e) 7 1und9 144

f) 17 15und64 16

g) 3 1und4 6

h) 3 5und8 12

i) 9 12und14 35

j) 8 2und27 45

k) 7 7und4 22

l) 4 7und9 42

Aufgabe 3 Welcher Bruch ist größer ? Berechne die Hauptnenner ausführlich !

a) 17 19oder36 42

b) 7 47oder48 108

c) 25 45oder32 52

d) 57 81oder125 175

e) 14 23oder135 180

f) 131 101oder240 168

Aufgabe 4 Ordne diese Brüche der Größe nach:

a) 5 7 11, und8 12 18

b) 13 19 27, und10 15 20

c) 11 13 19, und24 30 40

d) 25 39 59, und54 81 135


3. Training: Kürzen von Brüchen

MERKE:

Man kürzt einen Bruch, indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert.

Dabei ändert sich der Wert dieses Bruches nicht!

Mit der Zahl 0 kann man nicht kürzen.

Kürzen ist die Umkehrung des Erweiterns !

Erweitern: Umkehrung: Kürzen:

Erweitern von 37

mit 5 Kürzen von 1535

durch 5

ergibt 53 3 157 7 55 3

⋅⋅

= = ergibt 15 : 535 :

15 335 5 7= =

Erweitern von 512


durch 4

ergibt 5 5 2012 12

444 8⋅

=⋅= ergibt : 420 20 548 48 : 4 12= =

Erweitern von 15039


durch 2

ergibt 2150 150 30039 3 729 8⋅

=⋅= ergibt : 2300 300 15078 7 2 9:8 3= =

Erweitern von 1512


durch 30

ergibt 1 1 30512 512

3030 15360

⋅= =⋅

ergibt 30 30 115360 1

: 30: 305360 512

= =

Kürzen verkleinerst also Zähler und Nenner eines Bruches (wenn man nicht den sinnlosen Versuch unternimmt, durch 1 zu kürzen, was ja gar nichts verändert). Das zeigen noch einmal folgende Grafiken:

durch16kürzen

mit16erweiten

48 332 2

⎯⎯⎯⎯⎯→←⎯⎯⎯⎯⎯durch 7kürzenmit 7

erweiten

28 435 9

⎯⎯⎯⎯⎯→←⎯⎯⎯⎯⎯durch 13kürzen

mit 13erweiten

51 368 4

⎯⎯⎯⎯⎯→←⎯⎯⎯⎯⎯


Was die Erfahrung zeigt:

Man erkennt oft nicht, durch welche Zahl man kürzen kann. Daher beginnt man mit kleinen Zahlen und kürzt mehrfach nacheinander:

72 296= 36

2⋅ 448=

⋅9

4⋅ 312=

⋅3

3⋅ 3

44=

⋅

Manche können dies schneller und rechnen vielleicht so:

72 6 1296

⋅=8 12⋅

2= 32⋅ 3

44=

⋅

Es gibt weitere Möglichkeiten. Das Ziel ist es auf jeden Fall, immer so weit wie möglichst zu kürzen. Da man immer nur durch gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner kürzen kann, ist es natürlich optimal, den ggT, also den größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen und durch ihn zu kürzen.

Wiederholung aus 10210 (Teilbarkeit):

Berechnung des ggT durch Primfaktorzerlegung:

Man zerlegt Zähler und Nenner in Primfaktoren, schreibt aber nur gleich untereinander. Und genau diese gemeinsamen Primzahlen bilden den GGT, durch den man kürzt.

Die Primzahlen, die nicht zum ggT gehören (in ), ergeben den Faktor F , der nach dem Kürzen in Zähler bzw. im Nenner stehen bleibt!

Musterbeispiele für das optimale Kürzen bei größeren Zahlen

Beispiel 1 540378

540 540 : 54378 378

0: 54

17

= =

Der neue Nenner, der aus 378 durch Kürzen mit 54 entsteht, ist die markierte 7 und der neue Zähler, der aus 540 durch Kürzen entsteht, ist die markierte 10.

Beispiel 2 192216

Rechne selbst !

72 8 9 2 2 2 3 396 8 12 2 2 2 3 2 2ggT 2 2 2 3 8 3 2

F

4

3F 4==

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =

540 10 54 10 9 6 2 5 3 3 2 3378 2 189 2 9 21 2 3 3 3 7ggT 2 3 3 3 2 27

F 10F

547

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅=

= =

=


Also ist 192 192 : 24 8216 216 : 24 9

= = .

Beispiel 3 252420

252 252 : 84 3420 420 : 84 5

= =

Beispiel 4 136306

136 136 : 34 4306 306 : 34 9

= =

AUFGABE 5

Kürze auf einfache Weise:

a) 2639

b) 2440

c) 4284

d) 8145

e) 7254

f) 8154

g) 4256

h) 63108

i) 75225

j) 48102

k) 4984

l) 96128

AUFGABE 6

Kürze durch den ggT wie in Beispiel 1 bis 4.

a) 126216

b) 126168

c) 140196

d) 162153

e) 18084

f) 108180

g) 336192

h) 343245

192 2 96 2 8 12 2 2 2 2 2 2 3216 2 108 2 9 12 2 2 2 3 3 3gg

F 8F 9

T 2 2 2 3 8 3 24

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

==⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =

252 2 126 2 9 14 2 3 3 2 7420 10 42 10 6 7 2 5 3 2 7ggT 2 3 2 7 12 7 8

F 3F

45

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅=

⋅ =

=

136 2 68 2 2 34 2 2 2 17306 2 153 2 9 17 2 17 3

F3

ggT

4F

2 17 39

4

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

⋅=⋅

= =

=


Masseneinheiten :

Volumen :

Längeneinheiten :

Zeiteinheiten :

4. Training: Bruchteile von Maßeinheiten

1. GRUNDWISSEN

1kg = 1000 g, d.h. 1

10 kg 100 g= , 1100 kg 10 g= , und 1

1000 kg 1g=

1 t = 1000 kg , d.h. 110 t 100 kg= , 1

100 10 kg=t , und 11000 t 1kg=

1 g = 1000 mg, d.h. 110 g 100 mg= , 1

100 g 10 mg= , und 11000 g 1mg=

1kg 1.000.000 mg= , d.h. 11.000.000 kg 1 mg= usw.

1hl 100 l= , d.h. 110 hl 10 l= , 1

100 hl 1l=

1l 1000 ml= , d.h. 110 l 100 ml= , 1

100 l 10 ml= , und 11000 l 1ml=

1l 100 ml= , d.h. 110 l 10 dl= und 1

100 l 1dg= 31l 1dm= , 3 3 3 31 1

10 1001m 1000 dm 1000 l m 100 l und m 10 l= = ⇒ = =

Daher ist auch 31ml 1cm= und 3 311.000.000 m 1cm 1ml= =

1km = 1000 m, d.h. 110 km 100 m= , 1

100 km 10 m= , und 11000 km 1m=

1 m = 1000 mm , d.h. 110 m 100 mm= , 1

100 m 10 mm= , und 11000 m 1mm=

1 m = 100 cm, d.h. 110 m 10 cm= , 1

100 m 1cm= , und 110 cm 1mm=

1 110 1001dm 10 cm 100 mm dm 1cm und dm 1mm= = ⇒ = = ,

1h 60 min= , d.h. 1

60 h 1min= 1

601min 60 s d.h. min 1s= =

136001h 3600 s, d. h. h 1s= =


2. Einstufige Rechnungen:

(1) Mengen:

12 kg 1000 g : 2 500 g= = , 1

4 kg 1000 g : 4 250 g= =

18 kg 1000 g : 8 125 g= = 1

4 t 1000 kg : 4 250 kg= =

110 g 1000 g :10 100 mg= = 1

100 g 1000 kg :100 10 mg= =

18 t 1000 kg : 8 125 kg= = 1

10.000 t 1.000.000 g :10.000 100 g= =

(2) Volumen

14 l 1000 ml : 4 250 ml= = 1

8 l 1000 ml : 8 125 ml= =

318 m 1000 l : 8 125 l= = 1

20 l 100 dl : 20 5 dl 50 ml= = =

(3) Längeneinheiten

14 km 1000 m : 4 250 m= = 1

2 dm 5 cm= 1

2 cm 5 mm= 110.000 km 100 m=

(4) Zeiteinheiten

13 von 1h 60 min : 3 20 min= = 1

6 von 1h 60 min : 6 10 min= =

130 von 1h 60 min : 30 2 min= = 1

4 von 1min 60 s : 4 15 s= =

1100 von 1h 3600 s :100 36 s= = 1

72 von 1h 3600 s : 72 50 s= =

Diese Aufgaben sind die Grundlagen für die nun folgenden schwereren Aufgaben. Man sollte sie im Kopf lösen können !


3. Zweistufige Rechnungen:

(1) Mengen

3 14 4

14 kg

kg 3 kg 250 g 3 750 g= ⋅ = ⋅ =

5 18 8

18 kg

kg 5 kg 125 g 5 675 g= ⋅ = ⋅ =

7 18 8

18 t

t 7 t 125 kg 7 875 kg= ⋅ = ⋅ =

9 18 8

18 t

t 9 kg 125 kg 9 1125 kg= ⋅ = ⋅ =

7 110 10

110 g

g 7 g 100 mg 7 700 mg= ⋅ = ⋅ =

3 1100 100g 3 g 10 mg 3 30 mg= ⋅ = ⋅ =

(2) Volumen

38

18 l

l 125 ml 3 375 ml= ⋅ =

310

110 l

hl 10 l 3 30 l= ⋅ =

3 331000 m 3 dm 3 l= =

3100 l 1000 ml :100 3 30 ml= ⋅ =

610 hl 100 l :10 6 60 l= ⋅ =

9 125 25l 9 l 9 40 ml 360 ml= ⋅ = ⋅ =

(3) Längeneinheiten:

78

18 m

m 125 mm 7 875 mm= ⋅ =

34 km 250 m 3 750 m= ⋅ =

( )9 1125 125m 9 m 9 1000 mm :125 9 8 mm 72 mm= ⋅ = ⋅ = ⋅ = !!

(4) Zeiteinheiten

5 112 12h 5 h 5 5 min 25 min= ⋅ = ⋅ =

17 120 20min 17 min 17 3 s 51s= ⋅ = ⋅ =

( )11 190 90h 11 h 11 3600 s : 90 11 40 s 440 s= ⋅ = ⋅ = ⋅ = !!

In der ersten Stufe wird bei 34 kg

zuerst 14 kg 1000 g : 4 250 g= =

berechnet.

In der zweiten Stufe nimmt man dann davon das dreifache.


4. Dreistufige Rechnungen:

(1) Mengen

a) 34 von 5 kg ( Oberer Weg im Ablaufschema )

1. Stufe: Berechne 1 14 4von 1kg von 1000 g 250 g= =

2. Stufe: Dann sind 34 von 1kg 3 250 g 750 g= ⋅ =

3. Stufe: Dann sind 34 von 5 kg 5 750 g 3750 g 3 kg 750 g= ⋅ = =

ACHTUNG: Man kann die 2. und 3. Stufe auch vertauschen:

34 von 5 kg ( Unterer Weg im Ablaufschema )

1. Stufe: Berechne 1 14 4von 1kg von 1000 g 250 g= =

2. Stufe: Dann sind 14 von 5 kg 5 250 g 1250 g= ⋅ =

3. Stufe: Dann sind 34 von 5 kg 3 1250 g 3750 g 3 kg 750 g= ⋅ = =

Grundprinzip ist es auf jeden Fall, die Aufgabe zuerst doppelt zu vereinfachen:

Man geht zurück auf 14 von 1 kg und gleicht dies am Ende dadurch aus,

dass man für 34 das Dreifache und für 5 kg das Fünffache verwendet.

Daher kann man dann die Rechnung so in einem Schritt durchführen:

( )3 1

4 415

von 5 kg von 1kg 3 5 250 g 15 3750 g 3 kg 750 g= ⋅ ⋅ = ⋅ = =

1kg 14 250 g

34 also 3⋅ 750 g

1250 g5 kg also 5⋅

3750 g

Ablaufschema für eine dreistufige Rechnung:

5 kg also 5⋅

34 also 3⋅


b) 58 von 30 g ( Oberer Weg im Ablaufschema )

1. Stufe: Berechne 1 18 8von 1g von 1000 mg 125 mg= =

2. Stufe: Dann sind 58 von 1g 5 125 mg 625 mg= ⋅ =

3. Stufe: 58 von 30 g 30 625 mg 18750 mg 18 g 750 mg= ⋅ = =

ACHTUNG: Man kann die 2. und 3. Stufe auch vertauschen:

( Unterer Weg im Ablaufschema )

1. Stufe: Berechne 1 18 8von 1g von 1000 mg 125 mg= =

2. Stufe: Dann sind 18 von 30 g 30 125 g 3750 g= ⋅ =

3. Stufe: 58 von 30 g 5 3750 mg 18750 mg 18 g 750 mg= ⋅ = =

Auch gehen wir so vor, dass wir zunächst zweimal vereinfachen: Wir berechnen 1

8 von 1 g und multiplizieren dann mal 5 für 58 und mit 30

für 30 g. Damit kann man die Rechnung in einem Rutsch so durchführen:

( ) ( )5 18 8

150

von 30 g von 1g 5 30 125 mg 150 18750 mg 18 g 750 mg= ⋅ ⋅ = ⋅ = =

c) 720 von 11t :

Kurzlösung:

( )7 120 20

77von 11t von 1t 7 11 50 kg 77 3850 kg 3 t 850 kg= ⋅ ⋅ = ⋅ = =

1g 18 125 mg

58

625mg

3750mg30 g

18750 mg

58

30 g

1t 120 50 kg

720

350kg

550kg11t

3850 kg

720

11t


(2) Volumen

a) ( )3 18 8von 5 l von 1l 3 5 125 ml 15 1875 ml 1l 875 ml= ⋅ ⋅ = ⋅ = =

Oder in zwei Schritten:

b) ( )3 3 3 37 120 20von 5 m von 1m 7 5 50 dm 35 1750 dm= ⋅ ⋅ = ⋅ =

(3) Streckenlängen

a) ( )7 14 4von 3 km von 1km 7 3 250 m 21 5250 m 5 km 250 m= ⋅ ⋅ = ⋅ = =

oder bei Berechnung in zwei Schritten:

b) ( )3 125 25von 8 m von 1m 3 8 4 cm 24 96 cm= ⋅ ⋅ = ⋅ =

(4) Zeiteinheiten:

a) ( )2 13 3von 7 h von 1h 2 7 20 min 14 280 min= ⋅ ⋅ = ⋅ =

b) ( )2 15 5von 9 min von 1min 2 9 12 s 18 216 s= ⋅ ⋅ = ⋅ =

1l 18 125 ml

38

375 ml

625 ml5 l

1875 ml

38

5 l

1km 14 250 m

78

750 m

1750m

3 km

5250 m

78

3 km

1min 15 12 s

25

24 s

108 s9 min 2

5

216 s9 min


5. Dreistufige Rechnungen mit Zahlenvorteil

ES GIBT AUFGABEN, BEI DENEN MAN EINE STUFE AUSLASSEN KANN !

(1) Mengen

a) 58 von 200 g

Hier muss man nicht zuerst 18 von 1 g berechnen ! Da man 200 ohne Rest

durch 8 teilen kann, lässt sich 18 von 200 g sofort berechnen: 25 g.

Daher geht die Rechnung z. B. so:

1. Stufe: Berechne 18 von 200 g 25 g=

2. Stufe: Dann sind 58 von 200 g 5 25 g 125 g= ⋅ = !!!

Kurzrechnung: ( )5 18 8von 200 g von 200 g 5 25 g 5 125 g= ⋅ = ⋅ =

b) 74 von 12 kg Man kann 12 durch 4 teilen, also:

1. Stufe: Berechne 14 von 12 kg 3 kg=

2. Stufe: Dann sind 74 von 12 kg 7 3 kg 21kg= ⋅ =

Kurzrechnung: ( )7 14 4von 12 kg von 12 kg 7 3 km 7 21kg= ⋅ = ⋅ =

(2) Strecken a) 5

6 von 30 km

Da man 30 ohne Rest durch 6 teilen kann, lässt sich 16 von 30 km sofort

berechnen: 5 km ! Daher geht die Rechnung z. B. so:

( )5 16 6von 30 km von 30 km 5 5 km 5 25 km= ⋅ = ⋅ =

b) 715 von 450 m Man kann 450 durch 15 teilen, also rechnet man so:

( )7 115 15von 450 m von 450 m 7 30 m 7 210 m= ⋅ = ⋅ =

c) 730 von 6 m Man kann 6 nicht durch 30 teilen, also wandelt man 6 m in

600 m um. Nun kann man aber 600 m durch 30 teilen:

( )7 130 30von 6 m von 600 cm 7 20 cm 7 140 cm 1m 40 cm= ⋅ = ⋅ = =

d) 512 von 7 km 200 m Man kann 7200 m durch 12 teilen:

1. Stufe: Berechne 112 von 7200 m 600 m=

2. Stufe: Dann sind 512 von 7200 m 5 600 m 3000 m 3 km= ⋅ = =

( )5 112 12von 7 km 200 m von 7200 m 5 600 m 5 3000 m 3 km= ⋅ = ⋅ = =

Toll !


(3) Zeiteinheiten

a) 813 von 26 h

Hier muss man nicht zuerst 113 von 1 h berechnen ! Da man 26 ohne Rest

durch 13 teilen kann, lässt sich 113 von 26 km sofort berechnen: 2 h !

Daher geht die Rechnung z. B. so:

1. Stufe: Berechne 113 von 26 h 2 h=

2. Stufe: Dann sind 813 von 26 h 8 2 h 16 h= ⋅ = !!!

Kurz: ( )8 113 13von 26 h von 26 h 8 2 h 8 16 h= ⋅ = ⋅ =

d) 45 von 40 min

Man stellt zuerst fest, dass 40 : 5 8= ist:

( )4 15 5von 40 min von 40 min 4 8 min 4 32 min= ⋅ = ⋅ =

e) 1115 von 3 h

Jetzt muss man erkennen, dass 3 h = 180 min durch 15 teilbar ist:

( )11 115 15von 3 h von 180 min 11 12 min 11 132 min= ⋅ = ⋅ =

f) 2930 von 5 min

( )29 130 30von 5 min von 300 s 29 10 s 29 290 s 4 min 50 s= ⋅ = ⋅ = =


Aufgabe 7 Berechne in einer kleineren Einheit

a) 74 kg b) 17

25 t c) 2350 g d) 3

1000 t

e) 25 von 13 kg f) 11

8 von 4 t g) 34 von 17 g (e bis g mit 3 Stufen !!!)

Aufgabe 8 Berechne in derselben Einheit

a) 23 von 600 g b) 4

7 von 280 kg c) 59 von 36 t

Aufgabe 9 Verkürzte Rechnungen

a) 45 von 12 km b) 11

8 von 2 m c) 1720 von 3 dm

d) 47 von 140 m e) 3

4 von 500 km f) 29 von 81cm

g) 513 von 2 m 60 cm h) 3

16 von 2 km (in m)

i) 1340 von 10 km j) 7

30 von 6 m (in cm)

Aufgabe 10

a) 53 h b) 5

12 min

c) 530 h d) 1

600 h

Aufgabe 11

a) 415 von 20 min b) 7

6 von 14 min

c) 1720 von 2 h d) 3

4 von 3 h 24 min

e) 710 von 8 h f) 3

11 von 121h

g) 518 von 30 min h) 4

27 von 9 h


5. Training: Gemischte Zahlen

Einführung:

Wir können Ganze und Brüche zusammenfassen:

Unser Rechenwerkzeug ist wieder die Bruchschokolade von der Firma Mathegut:

Das sind 1 Tafel und eine halbe Man könnte dies so schreiben:

112

+ oder kürzer 112

.

Und hier haben wir

1 12 24 4

+ =

Dann 3 34 44 4

+ = .

Ganze in Brüche zerteilen:

Hier haben wir 112

Tafeln.

Zerteilen wir die ganze Tafel

in 2 halbe Tafeln: 212

= , dann besitzen wir insgesamt 1 312 2= Tafeln !

Oder diese 124

Tafeln.

Zerlegen wir jede ganze Tafel in 4 Viertel, dann ergeben die 2 ganzen Tafeln zusammen 8 Viertel,

also gilt: 1 8 1 924 4 4 4= + =

Wir rechnen; 2 4 1⋅ + , also ausführlich: 1 2 4 1 924 4 4

⋅ += = .

Jetzt liegen 548

Tafeln auf dem Tisch.

Wir zerlegen jede Tafel in Achtel; Dann erhalten wir insgesamt

4 8 4 32 5 37 Achtel!⋅ + = + =

5 4 8 5 3748 8 8

⋅ += =


Hier noch vier Beispiele ohne Abbildungen:

a) 5 7 12 5 84 5 89712 12 12 12

⋅ + += = = ,

denn wenn ein Ganzes aus 12 Teilen besteht, dann bestehen 7 ganze aus 7 12 84⋅ = Teilen. Dazu kommt der der Rest 5 Zwölftel.

b) 4 3 11 4 37311 11 11

⋅ += =

c) 19 12 25 19 300 19 3191225 25 25 25

⋅ + += = =

d) 5 14 14 5 196 5 2011414 14 14 14

⋅ + += = =

Merke: Ist der Zähler eines Bruches größer als sein Nenner, dann Spricht man von einem unechten Bruch.

Die Umkehrung:

Unechte Brüche enthalten zerbrochene Ganze ! Wir sollen den unechten Bruch in eine gemischte Zahl zurückverwandeln:

358

enthalten 3 ganze (Tafeln Schokolade oder was auch immer), nämlich

aufgeteilt in 4 8 328 8⋅ = , bleiben als Rest 3

8. Daraus erkennt man die

Rechenmethode

35 348 8= , denn 35 : 8 = 4 (Ganze) Rest 3 (Achtel)

41 5312 12= , denn 41 : 12 = 3 (Ganze) Rest 5 (Zwölftel)

64 4125 5= , denn 64 : 5 = 12 (Ganze) Rest 4 (Fünftel)

153 101113 13= , denn 153 : 13 = 11 (11 13 143⋅ = ) Rest 10 (Dreizehntel)


Noch eine Bemerkung:

Bei manchen Rechnungen können Ergebnisse auftreten, die so aussehen,

wie 534

oder 2378

. Hier steht hinter der ganzen Zahl ein unechter Bruch.

Wenn dies passiert, muss man aus dem unechten Bruch noch die Ganzen herausziehen:

Beispiele:

5 5 1 13 3 3 1 44 4 4 4= + = + =

23 23 7 77 7 7 2 98 8 8 8= + = + =

12 2 28 8 2 105 5 5= + =

Die Zwischenschritte darf man weglassen, also so:

3 14 52 2= oder 7 12 4

3 3= oder 14 112 13

13 13= .

Aufgabe 12 Verwandle die gemischten Zahlen in unechte Brüche:

a) 374

b) 1112

c) 365

d) 7118

e) 13425

f) 71215

g) 289

h) 25927

Aufgabe 13 Verwandle die gemischten Zahlen in unechte Brüche:

a) 134

b) 512

c) 135

d) 578

e) 41325

f) 7515

g) 929

h) 24527

Aufgabe 14 Schreibe die gemischten Zahlen korrekt an:

a) 774

b) 5212

c) 1175

d) 15148

e) 13245

f) 271215

g) 18489

h) 1001927

10220 Klasse 6 Lösung der Aufgaben 28

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Mathematik für Klasse 6 Bruchrechnung Teil 1 -...

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