Mathematik III - Herbst 2015 [5mm ... · Elementary Di erential Equations (W.E. Boyce, R.C....
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E.W. Farkas
Modellbildung
Systeme
Beispiele vonModellen
Das OhmscheGesetz
DasSonnensystem
Algenwachstum
See als Durch-flussreaktor
StoffaustauschanGrenzflachen
MehrdimensionaleModelle
ModellbildungSysteme
Beispiele von ModellenStoffaustausch an Grenzflachen
Mehrdimensionale Modelle
Mathematik IIIHerbst 2015
Gesundheitswissenschaften und Technologie BachelorMathematik DZ
und Mathematik Lehrdiplom
Prof. Dr. Erich Walter Farkas
Kapitel 3: Mathematische Modelle19. Oktober 2015
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Beispiele von ModellenStoffaustausch an Grenzflachen
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Allgemeine Hinweise
Die verwendete Folien basieren auf die imHerbst 2012 und 2014 verwendete Fassung vonHerrn Dr. A. Caspar und Herrn Prof. Dr. N. Hungerbuhler
Literatur
Systemanalyse (D. Imboden, S. Koch)
Elementary Differential Equations (W. E. Boyce,R. C. DiPrima)
Einfuhrung in partielle Differentialgleichungen(N. Hungerbuhler)
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Modellbildung
Grundfragen
Was ist ein Modell?
Wie erstellt man ein Modell?
Was ist die Beziehung zwischen Modell und Realitat?
Was kann man mit einem Modell alles anstellen?
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Was ist ein (mathematisches) Modell?
Antwortversuch
Ein mathematisches Modell ist die Beschreibung eines realenPhanomens in der Sprache der Mathematik.
Hmmm. . . ?
Galileo Galilei sagte 1623:
Das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik
geschrieben und ihre Buchstaben sind Dreiecke, Kreise und
andere geometrische Figuren, ohne die es ganz unmoglich
ist auch nur einen Satz zu verstehen, ohne die man
sich in einem dunklen Labyrinth verliert. (Galileo Galilei: II
Saggiatore, 1623, Editione Nazionale, Bd. 6, Florenz 1896, S. 232)
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Eugene Wigner erganzte 1960:
The miracle of the appropriateness of the language
of mathematics for the formulation of the laws of physics is
a wonderful gift which we neither understand nor deserve.
We should be grateful for it . . . (aus: The Unreasonable
Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences)
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Albert Einstein war etwas kritischer eingestellt:
Wie ist es moglich, dass die Mathematik, die doch ein von aller Erfahrung
unabhangiges Produkt des menschlichen Denkens ist, auf die Gegenstande
der Wirklichkeit so vortrefflich passt? (. . . ) Hierauf ist nach meiner
Ansicht kurz zu antworten: Insofern sich die Satze der Mathematik auf die
Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind,
beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit. (Einstein, Geometrie und
Erfahrung, 1921)
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Aber wie sieht es mit Modellen ausserhalb der Physik aus?
Israel Gelfand (1913–2009) meinte einst:
There is only one
thing which is more unreasonable than the unreasonable
effectiveness of mathematics in physics, and this is
the unreasonable ineffectiveness of mathematics in biology.
Avner Friedman halt dem 2010 entgegen:
The gulf between biology and mathematics is
narrowing as each domain tackles the language,
concepts, and methods of the other.
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Erste Annaherung an den Begriff
Typischerweise beschranken sich Modelle auf einen engbegrenzten Ausschnitt der Realitat (ReduktionistischerAnsatz).Kritik: Was nicht ins Modell passt wird ausgeblendet undman verliert die grosseren Zusammenhange aus dem Auge.Deshalb: Synthese von Modellen (holistischer Ansatz).
Modelle sind eine vereinfachte Beschreibung der Realitat.
Von einem Phanomen sind verschiedene Modelle moglich.
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Wie erstellt man ein Modell?
Die Modellbildung ist keine mathematische Disziplin: Es sind Kenntnisseaus der jeweiligen Disziplin uber den zu modellierenden Vorgangerforderlich. Zu Beginn mache man sich klar:
Welchen Ausschnitt aus der Realitat will man modellieren?(Systemgrenzen festlegen)
Welche Effekte sind vernachlassigbar, welche relevant?
Welche mathematischen Strukturen sind geeignet? (ODE, PDE,Statistik, lineare Algebra, Geometrie, . . . )
Folgende Uberlegungen helfen typischerweise:
Bilanzierung von Masse, Energie, Teilchenzahl, Individuen,. . .
Aufstellen einer Reaktionsgleichung
Betrachten von Wachstums-, Zerfalls- & Interaktionsprozessen
Betrachtung von Transportprozessen (Austausch, Diffusion)
Ausweichen auf statistische Methoden bei Systemen mit vielenFreiheitsgraden (bei subjektiver oder objektiver Unsicherheit)
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Typische Etappen der Modellbildung
Beobachten
Daten sammeln: Messungen
Daten ordnen: Suche nach mathematischen Mustern
Verstehen: Erkennen der Grundprinzipien, Erstellen desmathematischen Modells
Uberprufen (Validieren) des Modells: Vergleich mit derRealitat
Anpassen, Verfeinern oder Verallgemeinern
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Wie hangen Modell und Realitat zusammen?
Grundsatz
Modell 6= Realitat
Realität
System = Ausschnitt der Realität(Objekte, die untereinander in Beziehung stehen, feste Systemgrenzen)
ModellModellierung
Analyse
PrognosenAussagenOptimierung. . .
Theorie
überprüfen
validierenfalsi!zieren
Bei mangelnder ÜbereinstimmungModell anpassen
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Beachten Sie, bitte
Die (mathematische) Analyse liefert nur innerhalb derTheorie korrekte Resultate.
Ist die mathematische Analyse zu schwierig, helfennumerische Simulationen/Berechnungen.Achtung: Diese gelten nur approximativ.
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Beispiele von Theorien
Newtonsche Mechanik
Einsteins Relativitatstheorie
Quantenmechanik (Werner Heisenberg, ErwinSchrodinger, . . . )
Teilchenphysik (Vorhersage des Higgs Bosons)
Statik (Festigkeit von Bauwerken)
Mendelsche Gesetze (Vererbungslehre)
Evolutionstheorie (Charles Darvin)
Doppelhelixmodell der DNS (James Watson, FrancisCrick)
Zellbiologie (Anton van Leeuwenhoek, Robert Hooke)
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Karl Popper uber Theorien:
Eine Theorie kann nicht verifiziert werden, sondern
nur falsifiziert. (Logik der Forschung, 1934)
Einstein uber Theorien:
Neue Theorien entstehen zum einen, wenn neue
Fakten nicht mit bestehenden Theorien erklart werden
konnen, zum anderen durch das Streben nach
Vereinheitlichung und Vereinfachung zu einer Theorie als Ganzem.
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Wozu sind Modelle gut?
Besseres Verstandnis: Welche Ursache hat welcheWirkung? Z.B. Welche Parameter beeinflussen dieAusbreitung einer Seuche?
Optimierung: Z.B. zur Verringerung des Luftwiderstandsbei Fahrzeugen, optimale Dosierung von Medikamenten
Simulation: Wenn die theoretische oder formelmassigeAnalyse zu komplex ist. Z.B. Klimamodelle
Virtuelle Experimente: Wenn reale Experimente zuteuer, zu gefahrlich oder undurchfuhrbar sind. ZumBeispiel: Welche Erhohung des Treibhausgases CO2 fuhrtzu welchem globalen Temperaturanstieg?
Prognose: Modelle erlauben Vorhersagen uber dieZukunft, z.B. das Wetter morgen
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Systemanalyse
Systemanalyse ist der erste Schritt der Modellbildung:
System
Objekte
Wirkung nach aussen
Wirkung von Aussen
Umwelt
Beziehungen
Rückkopplung (if any) wird vernachlässigt
Systemgrenzen
Bemerkung: Um Ruckkopplungen zu integrieren, mussen dieSystemgrenzen erweitert werden.
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System
Ein System ist eine gedankliche Konstruktion, die einen durchfestgelegte Grenzen definierten Teil der Umwelt abbildet unddabei die Objekte und deren Beziehungen identifiziert.
Mathematisches Modell
Ein Mathematisches Modell ist eine vereinfachteBeschreibung eines komplexen Systems mit Hilfemathematischer Formeln und von Systemvariablen(z.B. Konzentration, Temperatur, Menge). Die Anzahl derSystemvariablen heisst Dimension des Modells.
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Beispiel
Phosphatkonzentration in einem See
Wasser
Biomasse
Sediment
Zu!uss Ab!uss
Phosphor
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Phosphatkonzentration in einem See (cont.)
Festlegen der Systemgrenzen
Definieren der Systemvariablen
Definieren der inneren und ausseren Relationen (Empirie)
Wir betrachten die Komponenten des Systems vereinfacht als raumlichvollstandig durchmischt (homogen). Man nennt dies dann ein Boxmodell.Hier erhalt man ein Modell mit 3 Systemvariablen
Masseninput Massenab!uss
Maq Mbio
Msed
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Phosphatkonzentration in einem See (cont.)
Masseninput: Masse an Phosphor im Zufluss [kg sec−1]Massenabfluss: Masse an Phosphor im Abfluss [kg sec−1]Maq: Masse an Phosphor im Wasser [kg]Mbio: Masse an Phosphor in der Biomasse [kg]Msed: Masse an Phosphor im Sediment [kg]
Diese Grossen hangen im Allgemeinen von der Zeit t und den
Anfangsbedingungen ab. Statt mit den Massen rechnet man gern mit den
Konzentrationen. Uber die Relationen (Pfeile) sind Modellannahmen zu
treffen.
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Das Ohmsche GesetzDas SonnensystemAlgenwachstumSee als Durchflussreaktor
Beispiele von Modellen
Das Ohmsche Gesetz
U = RI
U: Spannung uber einem Widerstand [Volt]R: Widerstand [Ohm]I : Stromstarke [Ampere]
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Das Ohmsche GesetzDas SonnensystemAlgenwachstumSee als Durchflussreaktor
Sonnensystem
Auf einfachen Beobachtung basierend (Phanomenologie)
Aristarchos von Samos (3. Jh.v.Chr): Heliozentrisches Weltbild
Ptolemaus (2. Jh.v.Chr): Geozentrisches Weltbild
Vereinfachung des komplizierten geozentrischen Weltbildes
Nikolaus Kopernikus (Anfang 16. Jh.): Heliozentrisches Weltbild
Messungen
Tycho Brahe (Ende 16. Jh): Prazise Messungen wecken Zweifel amheliozentrischen System
Datenbasiertes mathematisches Modell (beschreibend)
Johannes Kepler (Anfang 17. Jh.): 3 Keplersche Gesetze
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Das Ohmsche GesetzDas SonnensystemAlgenwachstumSee als Durchflussreaktor
Sonnensystem (cont.)
Mathematisch-physikalisches Modell (erklarend)
Isaac Newton (Ende 17. Jh.): Keplers Gesetze folgen mathematischaus dem Gravitationsgesetz
Verfeinerung: Newtons Mechanik ist eine Naherung der relativistischenMechanik
Albert Einstein (Anfang 20. Jh.): Periheldrehung des Merkur wirddurch die allgemeine Relativitatstheorie erklart
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Das Ohmsche GesetzDas SonnensystemAlgenwachstumSee als Durchflussreaktor
Algenwachstum und Nitratkonzentration
X (t) sei die Algenkonzentration einem einem See. Beikonstanter Nitratkonzentration wachst die Algenkonzentrationgemass
X ′(t) = λX (t)
wobei der Wachstumskoeffizient λ = λ(C ) von derNitratkonzentration C abhangt. D.h. es gilt
λ(C ) =X ′(t)
X (t)= (lnX (t))′ =: W
Uber einen gewissen Zeitraum wurden nun gemessen:
die Nitratkonzentration C in einem See
das spezifische Wachstum W der Algenpopulation im See
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Das Ohmsche GesetzDas SonnensystemAlgenwachstumSee als Durchflussreaktor
Bezogen auf eine Referenzkonzentration C0 ergab sich:
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.5
1.0
1.5
2.0
CC0
W
Man vermutet daher ein Potenzgesetz der Art
W = W0
(C
C0
)α(∗)
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Durch Logarithmieren gelangt man auf
logW = logW0 + α logC
C0
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Das Ohmsche GesetzDas SonnensystemAlgenwachstumSee als Durchflussreaktor
Die logarithmierten Daten sehen so aus:
3.0 - 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5
1.0
0.5
0.5
CC0
log
log W
Die Regressionsgerade hat Achsenabschnitt logW0 = 0.69 und Steigung
α = 0.59. Wir haben also die Modellgleichung (∗) fur das spezifische
Algenwachstum in Abhangigkeit der Nitratkonzentration erhalten!27 / 34
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Das Ohmsche GesetzDas SonnensystemAlgenwachstumSee als Durchflussreaktor
Ein See als linearer Durchflussreaktor
Dieses Beispiel ist typisch fur lineare Modelle mit einer Systemvariablen.
V = Volumen des Sees (konstant)
Q =Q(t) = Zufluss = Abfluss (Wassermenge pro Zeiteinheit)
Cin = Cin(t) = Konzentration eines Stoffs im Zufluss
C = C(t) = Konzentration des Stoffs im See
k = Abbaurate des Stoffs im See
Massenbilanz:
Anderung der Stoffmenge im See pro Zeit =
= Zufuhr des Stoffs − Abfuhr des Stoffs − Abbau des Stoffs
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Das Ohmsche GesetzDas SonnensystemAlgenwachstumSee als Durchflussreaktor
Zwischenschritte:
Menge des Stoffs im See = VC =: M
Zufuhr des Stoffs = QCin
Abfuhr des Stoffs = QC
Abbau des Stoffs = kM = kVC
Also lautet die Systemgleichung
d(VC)
dt= QCin − QC − kVC
Division durch V liefert
C ′ =Q
VCin − C(
Q
V+ k)
Diskussion (fur konstante Koeffizienten)
Stationare Losung (C ′ ≡ 0): C ≡ QCinQ+kV
=: C∞
Inhomogene lineare ODE =⇒ Losung:
C(t) = C∞ + (C0 − C∞)e−t(k+Q/V )
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Das Ohmsche GesetzDas SonnensystemAlgenwachstumSee als Durchflussreaktor
0.5 1.0 1.5 2.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
t
C(t)
C∞
C0
Beachte: Ch(t) := C(t)− C∞ lost die homogene ODE C ′h = −(QV
+ k)Ch,
d.h. Ch(t) = Ch(0)e−t(k+Q/V ). Ch klingt somit in der Halbwertszeit
T 12
=ln 2
k + Q/V
jeweils um die Halfte ab.Statt Halbwertszeit wird oft die Anpassungszeit als Referenz gebraucht,also die Zeit, um auf 5%= 1
20abzuklingen.
T 120
=ln 20
k + Q/V
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Stoffaustausch an Grenzflachen
Im Gleichgewicht
Flüssigkeit
Gas
Feststo!
Flüssigkeit
C A
C B
Ein Stoff S sei in einem Zweiphasensystem A, B gelost. ImGleichgewicht, bei niedriger Konzentration gilt das Gesetz vonHenry:
CA
CB= KA/B (Henry-Koeffizient)
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Mehrdimensionale Modelle
Ausserhalb des GleichgewichtsIst das System nicht im Gleichgewicht, ist der Stoffaustauschan der Grenzflache netto
KA/B = vA/B(CA − C eqA )
wobei
KA/B = Massenfluss pro Flache und Zeit von A nach B
vA/B = Austauschgeschwindigkeit
C eqA = CBKA/B = Konzentration in A, die mit
Konzentration CB in Gleichgewicht ware
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Lineares Zweiboxmodell
Dieses Beispiel ist typisch fur ein mehrdimensionales lineares System.
V1 = Volumen des Sees (konstant)
V2 = Volumen des Sediments (konstant)
A = Flache der Grenzschicht
Q =Q(t) = Zufluss = Abfluss (Wassermenge pro Zeiteinheit)
Cin = Cin(t) = Konzentration eines Stoffs im Zufluss
C1 = C1(t) = Konzentration des Stoffs im See
C2 = C2(t) = Konzentration des Stoffs im Sediment
Massenbilanz:
d(V1C1)
dt= QCin − QC1 − v1/2(C1 − C eq
1 )A
d(V2C2)
dt= v1/2(C1 − C eq
1 )A
wobei C eq1 = C2K1/2.
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Mit C :=
(C1
C2
)lasst sich dies so schreiben
C ′ = AC + B
wobei
A =
−Q+Av1/2V1
v1/2K1/2A
V1v1/2A
V2− v1/2K1/2A
V2
und B =
(QCinV1
0
)Bei konstanten Koeffizienten gilt:
Stationare Losung: C∞ = −A−1B
Losung C(t) = eAt(C0 − C∞) + C∞,mit Anfangsbedingung C(0) = C0.
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