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MATHEMATIK MTA 11 SCHULJAHR 06/07 PROF. DR. CHRISTINA BIRKENHAKE Inhaltsverzeichnis 1. Grundbegriffe 2 2. Addition, Multiplikation und das Distributivgesetz 3 3. Rechnen mit Br¨ uchen 7 4. Potenzen und Wurzeln 11 4.1. Potenzen mit ganzen Exponenten 11 4.2. Erstes Potenzgesetz 11 4.3. Zweites Potenzgesetz 12 4.4. Drittes Potenzgesetz 12 4.5. Potenzen mit rationalen Exponenten 14 4.6. Anwendung: Du-Bois-Formel: 15 4.7 Merkblatt zur Bruch- und Potenzrechnung 16 5. Fl¨ achen und Fl¨ achenmaße 22 5.1 Arbeitsblatt: Fl¨ acheninhalte 22 5.2. Winkel 23 5.3 Arbeitsblatt: K¨ orper und Volumina 25 5.4. Dreiecksgeometrie 29 5.5. Strahlensatz 31 6. Prozentrechnung, Dreisatz und Proportionalit¨ at 34 6.1. Prozentrechnung 34 6.2. Direkte Proportionalit¨ at 35 6.3. Indirekte Proportionalit¨ at 36 7. St¨ ochiometrie 39 8. Mischungsrechnen 43 8.1. Massenanteile 43 8.2. Mischen von L¨ osungen 45 8.3. Mischungsverh¨ altnis 46 8.4. Zu vorgegebenem Massenanteil die Massen m i bestimmen 47 9. Umformen und L¨ osen von algebraischen Gleichungen 49 10. Lineare Funktionen 52 11. Logarithmen 56 11.1. Radioaktiver Zerfall 62 [email protected], http://christina.birkenhake.net . 1
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MATHEMATIK MTA 11SCHULJAHR 06/07
PROF. DR. CHRISTINA BIRKENHAKE
Inhaltsverzeichnis
1. Grundbegriffe 22. Addition, Multiplikation und das Distributivgesetz 33. Rechnen mit Bruchen 74. Potenzen und Wurzeln 114.1. Potenzen mit ganzen Exponenten 114.2. Erstes Potenzgesetz 114.3. Zweites Potenzgesetz 124.4. Drittes Potenzgesetz 124.5. Potenzen mit rationalen Exponenten 144.6. Anwendung: Du-Bois-Formel: 154.7 Merkblatt zur Bruch- und Potenzrechnung 165. Flachen und Flachenmaße 225.1 Arbeitsblatt: Flacheninhalte 225.2. Winkel 235.3 Arbeitsblatt: Korper und Volumina 255.4. Dreiecksgeometrie 295.5. Strahlensatz 316. Prozentrechnung, Dreisatz und Proportionalitat 346.1. Prozentrechnung 346.2. Direkte Proportionalitat 356.3. Indirekte Proportionalitat 367. Stochiometrie 398. Mischungsrechnen 438.1. Massenanteile 438.2. Mischen von Losungen 458.3. Mischungsverhaltnis 468.4. Zu vorgegebenem Massenanteil die Massen mi bestimmen 479. Umformen und Losen von algebraischen Gleichungen 4910. Lineare Funktionen 5211. Logarithmen 5611.1. Radioaktiver Zerfall 62
[email protected], http://christina.birkenhake.net .1
1. Grundbegriffe
Zahlen
Naturliche Zahlen: N = {1, 2, 3, . . .}
Ganze Zahlen: Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Rationale Zahlen: Q = {x = pq| p, q ∈ Z, q 6= 0}
Beispiele rationaler Zahlen: 12
= 0, 5 (z.B. ein halbes Jahr),
112
(z.B. Tortenstuck),
34
= 0, 75 (z.B. dreiviertel 12 = 11.45 h),
23
= 0, 6 = 0, 6666 . . . periodische Zahl.
Irrationale Zahlen: Zahlen wie die Kreiszahl π = 3, 14 . . ., die EulerscheZahl e = 2, 71 . . ., und Wurzeln wie z.B.
√2 = 1, 41 . . . haben in ihrer Dezi-
malentwicklung unendlichviele (nichtperiodische) Stellen, Solche Zahlen heißenirrational.
Reelle Zahlen: R = Q ∪ {irrationale Zahlen}
Die reellen Zahlen werden auf dem Zahlenstrahl veranschaulicht:
-
−1 0 +1 +2 +3
12
Anordnung von Zahlen: x < y x ist kleiner y
x ≤ y x ist kleiner gleich y
x = y x ist gleich y
x > y x ist großer y
x ≥ y x ist großer gleich y
2
2. Addition, Multiplikation und das Distributivgesetz
Addition:
Die Addition von reellen Zahlen kann man sich durch das Aneinanderlegen vonVektoren (Pfeilen) auf dem Zahlenstrahl vorstellen. Dabei entspricht einerreellen Zahl a ein Pfeil der Lange |a| mit Pfeilrichtung rechts, wenn a > 0 undPfeilrichtung links, wenn a < 0:
a > 0 :� -
-.........................................
.........................................|a|
aund
� -
.........................................
.........................................
�
|a|
−a
Die folgenden Skizzen am Zahlenstrahl gelten fur den Fall 0 < b < a, dielinksseitigen Rechnungen gelten fur alle reellen Zahlen a und b:
(+a) + (+b) = +(a + b)-
-
- -+b+a
0+(a+b)
(+a) + (−b) = +(a− b) -
-
-
�
0
+a
-b
+(a-b)
(−a) + (−b) = −(a + b) -
��
�
-b -a
0
-(a+b)
Ahnlich:
a < b : (+a) + (−b) = −(b− a)
a > b : (−a) + (+b) = −(a− b)
a < b : (−a) + (+b) = +(b− a)
⇒ Blatt 1, Aufgabe 3
3
Multiplikation:
Regel 2.1. Minus mal Minus ist Plus: Blatt 1, Aufgaben 4,5
(−a) · (−b) = a · b
Distributivgesetz: Blatt 1, Aufgabe 7
Regel 2.2.
a · b + a · cAusklammern−−−−−−−→
=Ausmultiplizieren←−−−−−−−−−
a · (b + c)
−1 ausklammern: Blatt 1, Aufgabe 10
−a− b = −(a + b)
−a + b = −(a− b)
a− b = −(−a + b) = −(b− a)
a + b = −(−a− b)
Regel 2.3.(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd
Klammerregeln: ⇒ Blatt1, Aufgabe 8,9
a + (b + c) = a + b + c
a + (b− c) = a + b− c
a− (b + c) = a− b− c
a− (b− c) = a− b + c
Regel 2.4. Punkt vor Strichrechnung!
4
Aufgabenblatt 1
Aufgabe 1:
Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
a) 4 ≤ 4b) 6 > 7c) 6 < 7d) 1000 ≥ 0e) 5 = 8
Aufgabe 2:
a) (+7)− (+5) =b) (+5)− (+7) =c) (−5)− (+7) =d) (−7)− (−5) =e) (−18)− (+39) =f) (−46)− (−14) =g) (−x)− (+11x) =h) −35− 78 =
Aufgabe 3:
Losen Sie die Klammer auf, ohne zu addieren oder zu subtrahieren.
a) 12 + (7 + 2)b) 12 + (7− 2)c) 12− (7 + 2)d) 12− (7− 2)
Aufgabe 4:
a) 19− (+23) + (+11) + (−37)− (−16) =b) 7− [−5− (−3)]− 4 + [3− (−4)− 6] =
Aufgabe 5:
a) 3 · (−2) + 5 · (−6) =b) (−5) · 6 · (−2) · (−3) =
Aufgabe 6:
Klammern Sie aus bzw ein
a) 3a + 3bb) 5x− 5yc) (e− 1)ed) 6(3x− 4y) + 5(2x− 3y)
Aufgabe 7:
a) 6x− 8y − (4x + 3y − 5z)
b) 27p− (27p− 15q) + 28q
c) 19w − (24x− 19w)
d) 22x− (16x + 9y)
e) (2x− y − 3z) + (x + y − z)
Aufgabe 8:
a) x + [y + (u− v)]
b) x + [(u− v)− y]
c) x + [y − (u + v)]
d) x− [y + (u− v)]
e) x− [y − (u− v)]
f) x− [y − (u + v − w)]
g) [a + (b− c)]− x
h) a− [(u− v)− (x− y)]
Aufgabe 9:
a) a− {b + [c− (d + e)]}
b) a− {[b− (c− d)− e] + f}
Aufgabe 10:
Klammern Sie −1 aus
a) −a− b− c
b) −a2 − 1
c) x− y
6
3. Rechnen mit Bruchen
Fur einen Brucha
bheißt a der Zahler und b der Nenner.
Regel 3.1.Erweitern und Kurzen von Bruchen: ⇒ Blatt 2, Aufgabe 1
a
b=
ca
cb=
ac
bcMultiplikation : ⇒ Blatt 2, Aufgabe 2,3,4
x · ab
= xa
b=
xa
b=
a
bx
a
b: x =
a
bxa
b· cd
=a · cb · d
a
b:
c
d=
a · db · c
(mit Kehrbruch multiplizieren)
Addition: ⇒ Blatt 2, Aufgabe 5
a
b+
c
b=
a + c
b(Hauptnenner ist b)
a
b+
c
d=
ad
bd+
bc
bd=
ad + bc
bd(Hauptnenner ist bd)
a
b± x =
a± xb
b
Beispiel:
3(2
3+ 1
)= 3
(2 + 3
3
)= 3
(5
6
)= 3
5
6?=
{3+ 5
6= 23
6?
3· 56= 5
2?
Die Losung 52
ist die richtige! �
Regel 3.2.
ab
c= a · b
c
Achtung:
32
5= 3 · 2
5=
3 · 25
=6
5alles andere ist falsch!
7
Bruche und −1:
−a
b=−a
b=−a · (−1)
b · (−1)=
a
−b
Dezimalentwicklung eines Bruches: ⇒ Blatt 2, Aufgabe 7,8
1
2= 0, 5
3
4= 0, 75
1
3= 0, 6 = 0, 666 . . .
99
101=
{ 0,980198020...0,98019800,98020
0,981,0
Beispiel:Runde auf 2 Stellen: ⇒ Blatt 2, Aufgabe 9(
70
9+
50
8
)2
= 196, 78(7, 78 + 6, 25
)2= 14, 032 = 196, 84
�
Regel 3.3. Zwischenergebnisse durfen nicht gerundet werden, nur das Ender-gebnis.
8
Aufgabenblatt 2
Aufgabe 1:
Kurze soweit wie moglich
a) 36
b) 3xx
c) 183d
Aufgabe 2:
a) 386
b) 5a 7b30a
c) 12d144c
6bc
d) 557
: 5
e) 3ab9b
: 15a
Aufgabe 3:
a) 37· 5
4
b) 3 · 52
c) 911· 33
12
d) 3548· 36
25
e) 94· 11
7
f) 7 · 32
g) 815· 3
4
h) 912· 96
81
Aufgabe 4:
a) 14
: 13
b) 056
: 1831
c) 35
: 912
d) 6354
: 1821
e) 125
: 4615
f) 16
: 1112
g) 18
: 912
h) 2555
: 6577
i) 11277
: 2833
j) 2799
: 311
Aufgabe 5:
a) 79
+ 58
b) 512− 5
6
c) 824− 9
45
d) 14
+ 1120
Aufgabe 6:
a) 52·(
34
+ 13
)b) 11
13·(
25
+ 34
)c) 1
4: 1
3
d)(
13
+ 14
): 5
6
e)35+ 2
51925
Aufgabe 7:
Wandeln Sie Bruche in Dezimalzahlen um und runden Sie auf vier Stellen
a) 110
b) 87
c) 25
d) 57
e) 16
f) 1296
Aufgabe 8:
Wandeln Sie Dezimalzahlen in vollstandig gekurzte Bruche um
a) 0, 04b) 0, 00002c) 0, 698d) 0, 75e) 2, 125
10
4. Potenzen und Wurzeln
4.1. Potenzen mit ganzen Exponenten.
Potenzen einer Zahl: a2 = a · aa3 = a · a · aa4 = a · a · a · a...an = a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
n-mal
Fur den Term an heißt a die Basis und n der Exponent oder Hochzahl.
Spezielle Potenzen: a1 = a
a0 = 1
Potenzen mit negativem Exponenten: a−1 = 1a
a−n = 1an
Beispiele:(
14
)3= 1
4· 1
4· 1
4= 1
43 = 4−3
103 = 1000
10−2 = 1102 = 1
100= 0, 01
⇒ Blatt 3, Aufgabe 1
4.2. Erstes Potenzgesetz.
Welche Zahl ist großer: 21900 · 289 oder 2 · 21989?21900 · 289 = 21989 < 2 · 21989 = 21990
Fur p, q ∈ N gilt: ap · aq = (a · . . . · a)p Faktoren
· (a · . . . · a)q Faktoren
= a · . . . · ap+q Faktoren
= ap+q
1. Potenzgesetz:Fur x, y ∈ Z und a ∈ R− {0} gilt:
ax · ay = ax+y ax : ay = ax
ay = ax−y
⇒ Blatt 3, Aufgaben 2 und 3
11
4.3. Zweites Potenzgesetz.
Welche Zahl ist großer: 21989 · 31989 oder 51989?21989 · 31989 = (2 · 3)1989 = 61989 > 51989
Fur p ∈ N gilt: ap · bp = (a · . . . · a)p Faktoren
· (b · . . . · b)p Faktoren
= (ab) · . . . · (ab)p Faktoren
= (ab)ap
2. Potenzgesetz:Fur x ∈ Z und a, b ∈ R− {0} gilt:
ax · bx = (a · b)x ax : bx = ax
bx =(
ab
)x
⇒ Blatt 3, Aufgabe 4
4.4. Drittes Potenzgesetz.
Ordne der Große nach: 4(32),(42
)3, 4(23),
(43
)2?(
42)3
= 46 =(43
)2= 46 < 4(23) = 48 < 4(32) = 49
Fur p, q ∈ N gilt: (ap)q = (a · . . . · a)p Faktoren
· . . . · (a · . . . · a)p Faktoren
q Faktoren
= a · . . . · ap·q Faktoren
= apq
3. Potenzgesetz:Fur x, y ∈ Z und a ∈ R− {0} gilt:(ax
)y= ax·y
⇒ Blatt 3, Aufgabe 4
12
Zehnerpotenzen:...
10−2 = 0, 01
10−1 = 0, 1
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1000...
Beispiele: 342, 1 = 3 · 102 + 4 · 101 + 2 · 100 + 1 · 10−1
5 000 000 = 5 · 106
6, 0221367 · 1023 ·mol−1 Avogadrosche Konstante
Beispiele: (Einheiten umrechnen)
1 km = 1000 m ⇒ 1 km2 = (1000 m)2 = 10002 m2 = 106 m2
1 cm = 10 mm ⇒ 1 cm2 = (10 mm)2 = 100 mm2 = 102 mm2
1 dm = 100 mm ⇒ 1 dm2 = (100 mm)2 = 10 000 mm2 = 104 cm2
1 mm =1
1000m ⇒ 1 mm3 =
( 1
1000m
)3=
(10−3
)3m3 = 10−9 m3
Ahnliches in Aufgabenblatt 5 Aufgabe 1
13
4.5. Potenzen mit rationalen Exponenten.
a
a Quadrat mit Seitenlange aFlache: A = a · a = a2
Sei A = 9 cm2 ⇒ a =? =√
9 cm2 = 3 cm
⇒ a =√
A =2√
A
��
�� �
�
�� �
�
aa
aWurfel mit Seitenlange aVolumen: V = a3
Sei V = 125 cm3 ⇒ a =? =3√
125 cm3 = 5 cm
⇒ a =3√
V
n√
a ist die positive Losung von xn = a
Der Term n√
a heißt n-te Wurzel aus a. Im Fall n = 2, also√
a, spricht manauch von der Quadratwurzel. Fur den Term n
√a heißt a der Radikant. Der Ra-
dikant darf nicht negativ sein, also a ≥ 0.
Potenzen mit rationalen Exponenten:
a12 =√
a, a13 = 3√
a, . . . a1n = n√
a
Rechenregeln fur Wurzeln: n√
a · n√
b =n√
a · bn√
an√
b= n
√a
b
n
√m√
a = nm√
a
⇒ Aufgabenblatt 4
14
4.6. Anwendung: Du-Bois-Formel: Aufgabenblatt 5, Aufgabe 2
Die Du-Bois-Formel schatzt die Korperoberflache A eines Menschen mittelsdes Gewichtes m und und der Korpergroße l ab:
A =( m
kg
)0,425( l
cm
)0,725
· 71, 84 cm2
=( m
kg
) 1740
( l
cm
) 2940 · 71, 84 cm2
= 40
√( m
kg
)1740
√( l
cm
)29
· 71, 84 cm2
Also
A = 40
√(mkg
)1740
√(l
cm
)29
· 71, 84 cm2
Beispiel: Korpergewicht m = 60 kg und Große l = 170 cm
A =(60 kg
kg
)0,425(170 cm
cm
)0,725
· 71, 84 cm2
= 600,4251700,72571, 84 cm2 = 16949, 47 cm2 = 1, 69 m2
Im Pschyrembel von 2002 steht eine vereinfachte Du-Bois-Formel:
A′ =√
mkg
√l
cm· 167, 2 cm2
Im obigen Beispiel ergibt sich die Korperoberflache:
A′ =
√60 kg
kg
√170 cm
cm· 167, 2 cm2
=√
60√
170 · 167, 2 cm2 = 16 886, 37 cm2 = 1, 69 m2
Wenn wir Prozentrechnung machen: Um wieviel Prozent p% weicht das neueErgebnis von dem alten ab?
Zielgleichung: A′ = A− p%A da A′ < A
p% =A− A′
A100%
=16949, 47− 16886, 37
16949, 47· 100% = 0, 37%
15
Merkblatt zur Bruch- und Potenzrechnung
Beispiel Regel
Bruche mussen vollstandig gekurzt werden abac
= bc
337
= 3 · 37
= 97
Zahler darf großer als Nenner sein
Kein Zeichen = Multiplikation
Multiplikation und Division von Bruchen
376
= 3·76
= 72
a · bc
= abc
3a2b· 4b
5= 12ab
2·5b= 6a
5ab· c
d= ac
bd
5 : 103
= 5·310
= 32
a : bc
= a · cb
= acb
Multiplikation mit Kehrbruch
3a2b
: 4b5
= 3a2b· 5
4b= 15a
8b2ab
: cd
= adbc
Multiplikation mit Kehrbruch
3b5c
: 7b = 3b5c·7b
= 335c
ab
: c = abc
−23
= −23
= 2−3
−ab
= −ab
= a−b
Addition von Bruchen
34
+ 54
= 3+54
= 84
= 2 ab
+ cb
= a+cb
34
+ 56
= 32·2 + 5
2·3 = 3·32·2·3 + 5·2
2·2·3 = 9+1012
= 1912
ab
+ cd
= ad+cbad
Hauptnenner suchen!
Potenzen
3450 = 1 a0 = 1
2341 = 234 a1 = a
Beispiel Regel
5−1 = 15
a−n = 1an
5−3 = 153 = 1
125
15−3 = 53
(34
)−2=
(43
)2 (ab
)−n=
(ba
)n
52 · 5−3 = 52−3 = 5−1 = 15
an · am = an+m
52
53 = 52−3 = 5−1 = 15
an
am = an−m
45 · a5 = (4a)5 an · bn = (ab)n
827
= 23
33 =(
23
)3 an
bn =(
ab
)n
(32
)5= 32·5 = 310
(an
)m= anm
(−3)5 = (−1)5 · 35 = −35 (−1)ungerade Zahl = −1
(−3)4 = (−1)4 · 34 = 34 (−1)gerade Zahl = 1
Zehnerpotenzen
1000 = 103 1 0 · · · 0︸ ︷︷ ︸ = 10n
n-mal 0
0, 0001 = 10−4 0, 0 · · · 01︸ ︷︷ ︸ = 10−n
n-Stellen
√1000 000 =
√106 = 103 = 1000
√102n = 10n
√0, 0001 =
√10−4 = 10−2 = 0, 01
√10−2n = 10−n
17
Aufgabenblatt 3
Aufgabe 1:
Vereinfachen Sie
a) x · x · x · x =
b) x−1 · x−1 · x−1 · x−1 =
c) x−1 · x−1 · y−1 · y−1 =
d) (x · y)2 =
e) (x−2y2)−2 =
f) −(x0y) · (x0y) · (x0y) =
Aufgaben zum 1. Potenzgesetz:
Aufgabe 2:
Vereinfache (keine Dezimalzahl!)
a) 35 · 32 =
b) 28 · 2−5 =
c) 4−2 · 4−3 =
d) 4−2 : 4−3
e) 28 : 23 =
f) 7−3 : 72 =
Aufgabe 3:
a)x4
x3=
b)y4n
y2n=
c)ax · bx+y
a2x−y · bx−y=
d)xk−1 · y2k+1
x−k · y2k−2=
Aufgaben zum 2. Potenzgesetz:
Aufgabe 4:
a) 24 · 34
b) 24 + 34
c)(
12
)3 · 43
d)(
12
)−2 · 4−2
e) 10−4 : 2−4
f) 0, 6−3 : 2−3
Aufgaben zum 3. Potenzgesetz:
Aufgabe 5:
Vereinfache (keine Dezimalzahl!)
a) (23)4 =
b) (42)−1 =
c) (3−2)4 =
d) (z−2)0 =
e) (−b−4)3 =
f) (−c5)−4 =
g) (a−1b−5)−2 =
Gemischte Aufgaben:
Aufgabe 6:
Vereinfache (keine Dezimalzahl!)
a) 0, 83 · 53 =
b) 7−2 · 2−2 =
c) 66−3 : 3−3 =
d) 4, 5k : 3k =
e) 2n · 5n =
f) 5n · 2n+1 =
g) (2a)3
a3 =
h) x−4
(2x)−4 =
19
Aufgabenblatt 4
Aufgabe 1:
Begrunde wie folgt: 3√
1000 = 10 denn 103 = 1000
a) 3√
1 000 000
b) 4√
16
c) 5√
32
d) 3√
125
e) 3√
8
Aufgabe 2:
Schreibe mit Wurzelzeichen wie folgt: 23 = 8 ⇔ 3√
8 = 2
a) 26 = 64
b) 625 = 54
c) 4, 41 = 2, 12
d) 38 = 6 561
Aufgabe 3:
Schreibe als Potenz
a)√
3 =
b) 3√
4 =
c) 1√5
=
d)4√
53 =
e) 14√
35=
f) 13√10
=
Aufgabe 4:
a)√
4
b) 4√
32
c) 823
d) 2−43
Aufgabenblatt 5
Aufgabe 1:
Rechnen Sie in Quadratmeter m2 bzw Kubikmeter m3 um:
a) 1 km2 =
b) 1 km3 =
c) 10 km2 =
d) 1 dm2 =
e) 1 cm2 =
f) 10 dm2 =
g) 1 dm3 =
h) 1 mm2 =
i) Liter: 10 l =
Aufgabe 2:
Berechnen Sie die Korperoberflache nach beiden Du-Bois-Formeln:
A = 40
√( m
kg
)1740
√( l
cm
)29
· 71, 84 cm2 A′ =
√m
kg
√l
cm· 167, 2 cm2
in cm2 und m2 auf 2 Dezimalstellen gerundet.
a) m = 50 kg, l = 1, 60 m
b) m = 90 kg, l = 1, 85 m
c) m = 3300 g, l = 52 cm
Arbeitsblatt: Flacheninhalte
a
a
Flache: A =
Umfang: U =
a
b
Flache: A =
Umfang: U =
dr
Durchmesser: d, Radius: r = d2,
Flachen: AK =
Umfang: UK =
b
a
ha
Flache: A =
Umfang: U =
��
��\
\\
6
?
a
b cha
Flache: A =
Umfang: U =
5.2. Winkel.
Winkel konnen in Grad gemessen werden:
volle Drehung = 360◦
1/2 Drehung = 180◦
rechter Winkel = 90◦
1◦ (Grad) = 60′(Minuten) , 1′ = 60′′ (Sekunden)
Kreisbogen:
Welchen Winkel bzw Weg legt die Uhrzeigerspitze zu gegebener Zeit zuruck?
b
αr=1
Zeit Winkel α Bogen b
1 h
1 min
Der Kreisbogen b wird durch Mittelpunktswinkel α bestimmt und umgekehrt.
1 Umlauf = Richtungsanderung um α = 360◦ Grad = b = 2π
Umrechnung: Gradmaß ⇔ Bogenmaß
α 7−→ b = α360◦· 2π, und α = b
2π· 360◦ ←− [ b
Gradmaß Bogenmaß
volle Drehung 360◦ ' 2π
12
Drehung 180◦ ' π
14
Drehung 90◦ ' π2
16
Drehung 60◦ ' π3
18
Drehung 45◦ ' π4
23
Aufgabenblatt 6
Aufgabe 1:
Gebe 17360◦ in Grad, Minuten und Sekunden an.
Aufgabe 2:
Gebe den Winkel π7
in Grad, Gradminuten, und Gradsekunden an.
Aufgabe 3:
Rechne in Bogenmaß um (Ergebnis als Vielfaches von π)
a) 360◦
b) 225◦
c) 105◦
d) 1′ =e) 31◦ 17′ 29′′ =
Aufgabe 4:
Wandle folgende Langenmeßwerte in die Einheit Meter um und addiere:8, 5 dm, 125 cm, 7050 dm, 3, 75 dm, 95 mm, 0, 051 km
Aufgabe 5:
Von einem 25 m langen Gartenschlauch sollen 1, 45 m lange Stucke abgeschnit-ten werden.
a) Wieviel Stucke erhalt man?b) Wie lang ist das Reststuck?
Arbeitsblatt: Korper und Volumina
��
�� �
�
�� �
�
aa
a
Oberflache besteht aus
Oberflache: A =
Volumen: V =
b
h
...................................................
................................................... ...................................................
................................................... ...................................................
l
Oberflache besteht aus
Oberflache: A =
Volumen: V =
d
Durchmesser: d
Radius: r = d2
Oberflache: A =
Volumen: V =
h
d=2r
Boden und Deckel:
Mantelflache:
Oberflache: A =
Volumen: V =
d
hs
Boden:
Mantellinie:
Mantel:
Mantelflache:
Oberflache:
Volumen:
26
Aufgabenblatt 7
Aufgabe 1:
Berechne die Flache der folgenden Figuren (Langenangaben in cm):
a) 5b) c)
d) e) 5 4 5f)
g)
8
h)
10
i)5
9
5
j) 4 k)
3
6
13
l)
2
3 4
3
10
27
74
6
5
12 3
810
13
Aufgabe 2:
Berechne die Flache des Sportplatzes:
45 m
80 m
Aufgabe 3:
Ein zylindrischer Silo der Ausmaße: Hohe h = 10 m,Durchmesser d = 3 m soll gestrichen werden. (SamtBoden und Deckel.) Fur wieviel Quadratmeter mußFarbe gekauft werden?
h
d=2r
Aufgabenblatt 8
Aufgabe 1:
Ein Labortisch ist 8 m lang und 1, 2 m breit. Er soll mit quadratischen Fliesender Kantenlange 20 cm belegt werden.
a) Wird ein Fliesenschneider benotigt?b) Wieviele Fliesen werden benotigt?
Aufgabe 2:
Ein Wurfel der Kantenlange 30 cm soll in Wurfel der Kantenlange 5 cm zersagtwerden.
a) Wieviele ganze Wurfel erhalt man, bleibt ein Rest?
b) Berechne die Oberflache des großen Wurfels.c) Welche Oberfache haben die kleinen Wurfel zusammen?
Aufgabe 3:
Ein Reagenzglas hat im Querschnitt die fol-genden Abmessungen:
h = 20 cm, d = 1 cm
Berechne seine (außere) Oberflache.Berechne sein Fassungsvermogen.
d
h
Aufgabe 4:
Wieviel Liter faßt ein Becherglass mit einem Innendurchmesser von 20 cm undeiner Fullhohe von 32, 5 cm?
Aufgabe 5:
Ein zylindrischer Wasserbehalter hat einen Innendurchmesser von 60 cm undeine Hohe von 75 cm.Wieviel Liter Wasser faßt der Behalter?
5.4. Dreiecksgeometrie.
beliebiges Dreieck:
b
α β
a
c
γC
BA
Winkelsumme im Dreieck
α + β + γ = 180◦
rechtwinkliges Dreieck:
b a
α β
cSatz von Pythagoras: Ein Dreieck mit den Seiten a, b und c ist genau dannrechtwinklig, wenn
a2 + b2 = c2.
�Hypothenuse: c
Katheten: a und b
Ankathete bezuglich α: b
Gegenkathete bezuglich α: a
Gegenkathete
Hypothenuse=
a
c= sin α
Ankathete
Hypothenuse=
b
c= cos α
Gegenkathete
Ankathete=
a
b= tan α
Fur beliebige Dreiecke gelten:Sinussatz:
a
sin α=
b
sin β=
c
sin γCosinussatz:
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
29
Aufgabenblatt 9
Aufgabe 1:
Zeichnen Sie ein Dreieck mit den angegebenen Seitenlangen. Welche der Drei-ecke scheinen Rechtwinklig zu sein? Uberprufen Sie Ihre Vermutung durchRechnung.
a) 5 cm, 12 cm, 13 cm
b) 4 cm, 7 cm, 8 cm
c) 4 cm, 4, 2 cm, 5, 8 cm
Aufgabe 2:
Gegeben sei ein gleichschenkliges Dreieck mitHohe h = 20 m und Winkel α = 33◦. Berechnea, c und γ auf 2 Dezimalstellen genau.
γ
αc
ah
a
α
Aufgabe 3:
Berechne die fehlenden Seiten (a, bbzw c) und Winkel (α bzw. β) derrechtwinkligen Dreiecke wie in ne-benstehender Abbildung auf 1 Dezi-malstelle bzw. in Grad, Minuten undSekunden genau:
c
ab
βα
a) a = 50 cm, b = 78, 1 cm
b) a = 40 cm, α = 43◦36′
c) a = 66 cm, c = 130 cm
5.5. Strahlensatz.
Bezeichnung: SA = Lange der Strecke vom Scheitel S bis zum Punkt A.
A’ B’
A B
S
A’ B’
S
B A
Fur beide Figuren gilt der sogenannte
Strahlensatz:
SA
SA′=
SB
SB′
SA
SA′=
AB
A′B′
31
Aufgabenblatt 10
Aufgabe 1:
Ein Fernsehturm wirft einenSchatten der Lange s. Kanndie Hohe des Turmes bestimmtwerden?
Bestimme H fur t = 5 m, h =2 m und s = 200 m
s
Aufgabe 2:
2 km Wie weit ist der erste Kirch-turm vom Beobachter ent-fernt?
Aufgabe 3:
Durchleuchtungvorrichtung
Röntgenstrahlen
Röntgenfilm
Konnen wir aufgrund der Abmessungen auf dem Rontgenfilm auf die tatsachli-chen Abmessungen schließen?
33
6. Prozentrechnung, Dreisatz und Proportionalitat
6.1. Prozentrechnung. Prozent: % = 1100
Das Symbol % wird immer als Faktor, also multiplikativ, verwendet.
Beispiel:
4% von 200 sind 8
Prozentsatz Grundwert Prozentwert
p% G W
Zusammenhang von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert mittels Drei-satz:
100%
''OOOOOOOOOOOOO 200
4%ww
77ooooooooooooooooo 4% · 200
100%= 8
100%
&&MMMMMMMMMMMMMM G
p%xx
88qqqqqqqqqqqqqqqqW =
p% ·G100%
=p ·G100
Mit 1% = 1100
laßt sich auch schreiben:
W = p% ·G
Nach dem Prozentsatz bzw Grundwert aufgelost:
p% =W
G100% G =
W
p100
Weitere Beispiele: Aufgabenblatt 11/1-8,14,15
34
6.2. Direkte Proportionalitat.
2 Großen x und y sind direkt proportional, wenn der Quotient xy
= konst.
ist
Beispiel: 5 kg Dunger reichen fur eine Flache von 120 m2.
a) Um welche Proportionalitat handelt es sich?b) Wieviel m2 konnen mit 180 kg Dunger gedungt werden?
c) Wieviel Dunger brauchen wir fur 500 m2?
graphische Losung:
5 kg Dungerii
))TTTTTTTTTTTTTTTTTTT 120 m2
180 kg Dungeruu
55jjjjjjjjjjjjjjjjx
⇒ x =180 kg ·120 m2
5kg= 4 320 m2
Das ist eine Beispiel fur direkte Proportionalitat:
viel Dunger ⇔ viel Quadratmeter,
Dunger
#Quadratmeter= konstant
5 kg Dungerii
))SSSSSSSSSSSSSSS 120 m2
x kg Dungeruu
55kkkkkkkkkkkkkkk
500 m2
⇒ x =5 · 500
120kg = 20, 83 kg
Aufgabenblatt 11/10,11,13,16
35
6.3. Indirekte Proportionalitat.
2 Großen x und y sind indirekt proportional, wenn das Produktx · y = konst. ist
Beispiel:5 Pumpen entleeren ein Wasserbecken in 16, 5 Stunden. Wieviel Zeit benotigen3 Pumpen?5 Pumpen entleeren ein Wasserbecken in 16.5 Stunden. Wie langen brauchen3 Pumpen?
Das ist eine Beispiel fur indirekte Proportionalitat:
viele Pumpen ⇔ wenig Zeit,
Zeit ·#Pumpen = konstant
graphische Losung:
5 Pumpen oo // 16, 5 Stunden
3 Pumpen oo // x
⇒ x =5 · 16, 5
3Stunden = 27, 5 h
Aufgabenblatt 11/9,12
36
Aufgabenblatt 11
Aufgabe 1:
5% von 40 e sind :
Aufgabe 2:
Sie erhalten eine Rechnung uber 2 000 e mit 2% Skonto bei Zahlung innerhalbvon 10 Tagen. Was mussen Sie zahlen?
Aufgabe 3:
Auf Ihren Konto erhalten Sie 4% Zinsen jahrlich. Sie legen 3 000 e fur einJahr fest zu diesem Zinssatz an. Wieviel Geld haben Sie nach einem Jahr?
Aufgabe 4:
Sie haben 100 e in Ihrer Geldborse, davon geben Sie 20e aus.
(1) Um wieviel Prozent hat sich Ihr Geld in der Borse verringert?(2) Auf wieviel Prozent hat sich Ihr Geld in der Borse verringert?
Aufgabe 5:
Sie haben 100 e in Ihrer Geldborse, am Geldautomaten heben Sie zusatzlich20e ab.
(1) Um wieviel Prozent hat sich Ihr Bargeld erhoht?(2) Auf wieviel Prozent hat sich Ihr Bargeld erhoht?
Aufgabe 6:
Bei einem Korpergewicht m = 70 kg und der Große l = 175 cm ist die Korpero-berflache nach den beiden Bu-Bois Formeln:
A =(70 kg
kg
)0,425(175 cm
cm
)0,725
· 71, 84 cm2 = 18 481, 43 cm2
A′ =√
70 · 175 · 167, 2 cm2 = 18 505, 65 cm2
Um wieviel Prozent weicht A von A′ ab?
Aufgabe 7:
Wielviel Gramm Glucose sind in 290 g einer 0, 9%-tigen Glucoselosung enthal-ten?
Aufgabe 8:
Bestimme die Zusammensetzung von 2,5 kg einer 65%-tigen wassrigen Schwe-felsaurelosung.
Aufgaben zur Proportionalitat:
Aufgabe 9:
8 Pumpen entleeren ein Wasserbecken in 3 Stunden. Wie langen brauchen 5Pumpen?
Aufgabe 10:
100 g Wasser losen 45 g Salz. Wieviel Salz konnen von 240 g Wasser gelostwerden (bei gleicher Temperatur)?
Aufgabe 11:
100 g Wasser losen bei 20◦ C eine Stoffportion von 88 g Natriumnitrat. WievielGramm Natriumnitrat werden bei gleicher Temperatur von 65 g Wasser gelost?
Aufgabe 12:
Die Fullung eines Heizoltanks reicht bei Betrieb eines Brenners 360 Stunden.Wie lange wurde die Fullung beim gleichzeitigen Betrieb von 5 Brennern aus-reichen?
Aufgabe 13:
10 kg Dunger reichen fur eine Flache von 220 m2.
a) Welche Proportionalitat?
b) Wieviel m2 konnen mit 180 kg Dunger gedungt werden?
c) Wieviel Dunger brauchen wir fur 500 m2?
Aufgabe 14:
Fur ein Sparkonto zahlt die Bank 4, 5% Zinsen p.a.. Wie hoch sind die Zinsennach einem Jahr bei einem Guthaben von 340 e?
Aufgabe 15:
Eine Schulklasse besteht aus 12 Madchen und 15 Buben. Drucken Sie diesenSachverhalt in Prozent aus.
Aufgabe 16:
Ein PKW verbraucht 11, 4 l /100 km. Wieviel kann er mit einer Tankfullungvon 40 l zurucklegen?
38
7. Stochiometrie
Masse eines Stoffes (m) Einheit kg bzw g
Stoffmenge (n) Einheit mol
Definition 7.1. 1 mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebensovielEinzelteilchen besteht, wie Atome in 12 g des Kohlenstoffnuklids 12C.
Die Anzahl der Teilchen in 1 mol eines jeden Stoffes ist gleich.D.h. zum Beispiel: die Anzahl der Teilchen in 1 mol Eisen (Fe) ist gleich derAnzahl von Teilchen in 1 mol Wasser (H2O). Diese Anzahl wird angegebendurch die:
Avogadrosche Konstante: NA = 6, 022 · 1023 mol−1
#Teilchen = n ·NA
Beispiel: Gegeben sei 2 mol H2O Wasser, d.h.: n(H2O) = 2 mol
⇒ Anzahl der Teilchen/Molekule = n(H2O) ·NA
= 2 mol · 6, 022 · 1023 mol−1
' 12 · 1023 �
Frage: Wieviel Molekule sind in 3 mol NAOH?
Molare Masse eines Stoffes (M) = MasseStoffmenge
also M = mn
Einheit kgmol
Die Molare Masse findet man im Periodensystem:
Wasserstoff H M(H) = 1, 008 g / mol
Sauerstoff O M(O) = 16 g / mol
Damit berechnet sich die Molare Masse bei Molekulen:
Beispiel:
Wasser (H2O) : M(H2O) = 2M(H) + M(O)
= 2 · 1, 008 g / mol +16 g / mol
= 18, 016 g / mol
D.h. 1 mol Wasser wiegt ungefahr 18 g. �Beispiel:
Sauerstoff (O2) : M(O2) = 2M(O) = 2 · 16 g / mol = 32 g / mol
Aufgabenblatt 12/1-5, 13/1
39
Molare Masse, Masse und Stoffmenge
Molare Masse M =m
n
Stoffmenge n =m
MMasse m = nM
Beispiel:Gegeben seien 100 g Kupfer (Cu). Berechne die Stoffmenge.m(Cu) = 100 g, M(Cu) = 64 g / mol
⇒ n(Cu) =m(Cu)
M(Cu)=
100 g
64 g / mol= 1, 6 mol
mit Dreisatz:
64 g Cu sind 1 mol
100 g Cu sind x mol⇒ x mol = 100 g ·1mol
64 g= 1, 6 mol �
Aufgabenblatt 12/6, Blatt 13/2
Beispiel:Gegeben seien 0, 43 mmol Natrium (Na), also
n(Na) =0, 43 mmol = 0, 43 · 10−3 mol
M(Na) = 23 g / mol
⇒ m(Na) = n(Na) ·M(Na)
= 0, 43 · 23 · 10−3g = 9, 89 · 10−3g = 9, 89 mg
Mit Dreisatz:
1 mol Na wiegen 23 g
0, 43 mol Na wiegen x g⇒ x g = 0,43 mol ·23 g
1mol= 9, 89 mg �
Aufgabenblatt 12/7-12, Blatt 13/3
40
Aufgabenblatt 12
Aufgabe 1:
Aus wieviel Molekulen besteht eine Portion von 2 mol H2O Wasser?
Aufgabe 2:
Wieviel Molekule sind in 3 mol NaOH?
Aufgabe 3:
Wie schwer ist 1 mol Wasser?
Aufgabe 4:
Was ist die Molare Masse von Sauerstoff O2?
Aufgabe 5:
Was ist die Molare Masse von Calciumcarbonat CaCO3?
Aufgabe 6:
Gegeben seien 100 g Kupfer (Cu). Berechne die Stoffmenge.
Aufgabe 7:
Gegeben seien 0, 43 mmol Natrium (Na), berechnen Sie die Masse.
Aufgabe 8:
Berechne die Molare Masse von a) Salpetersaure (HNO3), b) Methan (CH4),und c) Phenol (C6H5OH).
Aufgabe 9:
Wieviel Gramm Kohlenstoff sind in 11g Kohlendioxyd (CO2)?
Aufgabe 10:
Wieviel Gramm sind a) 3 Mol Schwefelsaure (H2SO4) und b) 5 Mol Salpe-tersaure (HNO3)?
Aufgabe 11:
Wieviel Mol sind 180g Wasser (H2O)?
Aufgabe 12:
Wieviel Gramm sind 12, 04 · 1023 Molekule Sauerstoff (O2) bzw 12, 04 · 1023
Molekule Ozon (O3)?
Aufgabenblatt 13
Aufgabe 1:
Berechne die Molare Masse von:
a) Aluminiumoxid Al2O3,
b) Phenol C6H5OH,
c) Nitrobenzol C6H5NO2,
d) Sauerstoff O2,
e) Stickstoff N2,
f) Natriumhydrogencarbonat NaHCO3
g) Magnesiumammoniumphosphat-6-hydrat Mg(NH4)PO4 · 6H2O
h) Harnstoff CO(NH2)2,
Aufgabe 2:
Berechne die Stoffmenge von:
a) 1, 118 mg Silber Ag
b) 35 kg Aluminium Al
c) 65 g Wasserstoff H2
d) 90 mg Kohlenstoff C
e) 16, 5 kg Iod I2
Aufgabe 3:
Berechne die Masse von:
a) 3, 5 mol Cobalt Co
b) 0, 2 mmol Uran U
c) 4, 1 mol Chlor Cl2
d) 51 mol Wasserstoff H2
e) 1, 83 mol Mangan Mn
8. Mischungsrechnen
8.1. Massenanteile.Was bedeutet: 10%tige wassrige Salzsaure Losung ?
Die Losung ist eine Mischung aus Wasser und Salzsaure so daß in 100 g Losung10 g Salzsaure und 100 g−10 g = 90 g Wasser sind.
Massenanteil (=Konzentration) (w) eines Stoffes in einer Losung:
w = w(g.S.) =m(g.S.)
m(L)(·100%) (1)
Hierbei meint g.S. =geloster Stoff, L die Losung und m(L) die Gesamtmasseder Losung.
Beispiel:Was bedeutet: 5%ige Kochsalzlosung?
w = w(NaCL) = 5%, also enthalten 1 kg Losung gerade1 kg ·w = 1 kg ·5 · 1
100= 50 g Kochsalz. �
Beispiel:Wieviel Kochsalz sind in 200 g 5%iger Kochsalzlosung?m(NaCl) = w ·m(L) = 5 · 1
100· 200 g = 10 g �
Beispiel:15 g Zucker sollen in Wasser zu 5%iger Zuckerlosung aufgelost werden. WievielWasser brauchen wir, wieviel Zuckerlosung erhalten wir?
gegeben: w = 5%, m(Zucker) = 15 g,
gesucht: m(L) und m(H2O).
m(L) =m(g.S.)
w=
15 g
5 1100
= 300 g
m(H2O) = m(L)−m(Zucker) = 300 g−15 g = 285 g
Mit Dreisatz:
5 g Zucker in 100 g Losung
15 g Zucker in x Losung⇒ x = 15 g ·100 g
5 g= 300 g �
Wie man an den Beispielen sieht ist die Formel (1) fur den Massenanteil auchin anderer Form wichtig:
w(g.S.) =m(g.S.)
m(L)(2)
m(L) =m(g.S.)
w(g.S.)(3)
m(g.S.) = w(g.S.) ·m(L) (4)
43
Aufgabenblatt 14
Aufgabe 1:
Was bedeutet: 7, 8%ige Kochsalzlosung?
Aufgabe 2:
Wieviel Kochsalz sind in 500 g 7, 8%iger Kochsalzlosung?
Aufgabe 3:
8, 5 g Zucker sollen in Wasser zu 2%iger Zuckerlosung aufgelost werden. WievielWasser brauchen wir, wieviel Zuckerlosung erhalten wir?
Aufgabe 4:
Wieviel Bariumhydroxid (Ba(OH)2) sind in 103, 48 g, 3, 36%igem Barytwasser(wassrige Bariumhydroxidlosung)?
Aufgabe 5:
Wielviel Gramm Glucose sind in 290 g einer 0, 9%-tigen Glucoselosung enthal-ten?
Aufgabe 6:
Bestimme die Zusammensetzung von 2,5 kg einer 65%-tigen wassrigen Schwe-felsaurelosung.
8.2. Mischen von Losungen.
300 g Salpetersaure der Konzentration 60% (Losung L1) und 150 g Salpeters.der Konzentration 20% (Losung L2) werden zu einer Losung L gemischt. Wel-che Konzentration bzw. Masse hat L?
L1 m1 = 300 g w1 = 60% m(S1) = m1w1 = 300 g 60100
= 180 g
+ + +
L2 m2 = 150 g w2 = 20% m(S2) = m2w2 = 150 g 20100
= 30 g
L m = 450 g m(S) =m1w1
+m2w2
= 210 g
Das laßt sich in einer Formel zusammenfassen:
w(L) =m(S1) + m(S2)
m(L)=
w(L1)m(L1) + w(L2)m(L2)
m(L1) + m(L2)
Mischungsformel:
Losung L1 habe die Masse m1 und den Massenanteil w1,Losung L2 habe die Masse m2 und den Massenanteil w2, und dieMischung L aus L1 und L2 habe die Masse m und den Massenanteil w.Dann gilt:
Losungen: Losung L1 + Losung L2 = Losung L
Massen: m1 + m2 = m
Masse g. S.: w1m1 + w2m2 = wm = m(g.St.)
Massenanteil: w =w1m1 + w2m2
m
Beispiel:Sie mischen 2 kg 9%ige Salzsaure mit 1 kg 40%iger Salzsaure. Was erhaltenSie?
m = m1 + m2 = 2 kg +1 kg = 3 kg
m(g.St.) = w1m1 + w2m2 = 2 kg ·9% + 1 kg ·40% = 580 g
w =w1m1 + w2m2
m1 + m2
=2 kg ·9% + 1 kg ·40%
3 kg= 19, 33%
�
45
8.3. Mischungsverhaltnis.Beispiel:4%-ige und 20%-ige Kalilauge sollen zu 12, 5%-iger Kalilauge gemischt werden.Man bestimme das benotigte Massenverhaltnis m1
m2.
Losung:Masse von Li ist mi. Dann ist die Masse m von der Mischung L, m = m1 +m2
und es gilt:
4%m1 + 29%m2 = 12, 5%(m1 + m2) | · 1m2· 1
%
4m1
m2+ 20 = 12, 5
(m1
m2
+ 1)
20− 12, 5 = (12, 5− 4)m1
m2
m1
m2=|w2 − w||w − w1|
= 20−12,512,5−4
= 1517
Das Massenverhaltnis ist m1
m2= 15
17, also 15 Teile L1 und 17 Teile L2 werden
benotigt.
Mischungskreuz:
4%((QQQQQQ
12, 5%
88qqqqqqq
&&MMMMMMM
|20− 12, 5||12, 5− 4|
=15
17=
m1
m2
20%
66mmmmmm
also 15 Teile Losung 1 und 17 Teile Losung 2. �
Mischungskreuz allgemein:
w1 −&&LLLLLL
w
::vvvvvv
$$IIIIII|w2 − w||w − w1|
=m1
m2
w2
− 88rrrrrr
⇒ Aufgabenblatt 15, Aufgabe 3
46
8.4. Zu vorgegebenem Massenanteil die Massen mi bestimmen.Beispiel:14%-ige und 1, 6%-ige Magnesiumchloridlosung sollen zu 1, 8 kg 10%-iger Ma-gnesiumchloridlosung gemischt werden. Welche Massen m1 und m2 an Aus-gangslosungen werden benotigt?Losung:Wie oben berechne man zuerst das Massenverhaltnis:
m1
m2
=10− 1, 6
14− 10= 2, 1
Es werden verlangt:
1, 8 kg = m = m1 + m2 = m2(m1
m2
+ 1) = m2(2, 1 + 1)
m2 =m
m1
m2+ 1
=1, 8 kg
3, 1= 580, 64 g
m1 = m−m2 = 1, 8 kg−580, 64 g = 1, 22 kg
Mischungskreuz:
L1 14%++XXXXXXXXXXX |1, 6− 10| = 8, 4 Teile
10%22eeeeeeeee
,,YYYYYYYYYYY +
L2 1, 6%
33ffffffffff |14− 10| = 4 Teile
L 10% 12, 4 Teile
L11,8 kg ·8,4
12,5 = 1, 22 kg 8, 4 Teile
L21,8 kg ·4
12,5 = 0, 58 kg 4 Teile
�Allgemein:
L1 m1 w1
,,XXXXXXXXXXXXXX |w2 − w| = t1 Teile
w11ccccccccccccc--[[[[[[[[[[[[[ +
L2 m2 w2
22ffffffffffffff |w − w1| = t2 Teile
L m t1 + t2 = t Teile
L1 m1 = m·t1t
t1 = t1t
Teile
L2 m2 = m·t2t
t2 = t2t
Teile
47
Aufgabenblatt 15
Aufgabe 1:
300 g Salpetersaure der Konzentration 60% (Losung L1) und 150 g Salpeters.der Konzentration 20% (Losung L2) werden zu einer Losung L gemischt. Wel-che Konzentration bzw. Masse hat L?
Aufgabe 2:
Berechne Masse und Massenanteil des gelosten Stoffes in der Mischung von
a) 4 kg 10%-tige und 1, 3 kg 37%-tige Salzsaure.b) 4 kg 7, 2%-tige und 1, 3 kg 37%-tige Salzsaure.c) 2, 7 kg 5%-tige und 275 g 85%-tige und 1, 06 kg 14%-tige Phosphorsaure.d) 0, 9 kg 99, 8%-tige und 440 g 9, 6%-tige und 88 g 43%-tige Essigsaure.e) 0, 9 kg 55%-tige und 440 g 9, 6%-tige und 88 g 43%-tige Essigsaure.f) 650 g 45, 5%-tige und 1, 2 kg 10%-tige und 870 g 15%-tige und 3, 2 kg 2%-
tige Natronlauge.
Aufgabe 3:
Berechnen Sie die Massenverhaltnisse:
a) 7, 5%-ige und 20%-ige Kalilauge sollen zu 12, 5%-iger Kalilauge gemischtwerden.
b) 37%-ige und 2%-ige Salzsaure sollen zu 11%-iger Salzsaure gemischt wer-den.
c) 10%-ige und 2%-ige Salzsaure sollen zu 7%-iger Salzsaure gemischt wer-den.
Aufgabe 4:
Berechnen Sie die benotigen Massen der Ausgangslosungen:
a) 5%-ige und 60%-ige Natriumhydroxidlosung sollen zu 750 g 35%-iger Na-triumhydroxidlosung gemischt werden.
b) 16%-ige und 60%-ige Natriumhydroxidlosung sollen zu 750 g 35%-igerNatriumhydroxidlosung gemischt werden.
c) 12%-ige und 1, 6%-ige Magnesiumchloridlosung sollen zu 1, 8 kg 10%-igerMagnesiumchloridlosung gemischt werden.
d) 6, 2%-ige und 0, 09%-ige Kaliumdichromatlosung sollen zu 670 g 4%-igerKaliumdichromatlosung gemischt werden.
9. Umformen und Losen von algebraischen Gleichungen
Beispiel:
Aus dem Rechenbuch des Abu Zacharjia el Hassar :Bei einem Fisch nimmt der Kopf ein Drittel und der Schwanz ein Viertel seinesGewichtes ein, das Mittelstuck wiegt 10 Pfund. Wieviel wiegt der Fisch?Losung:Der Fisch besteht aus Kopf, Mittelstuck und Schwanz. Ist x das Gewicht desFisches, also gilt:
x =1
3x + 10 +
1
4x
Auflosen nach x liefert:
x− 1
3x− 1
4x = 10
x(1− 1
3− 1
4) = 10
x =10
(1− 13− 1
4)
=10
12−4−312
=10 · 12
5= 24
Der Fisch wiegt also 24 Pfund. �
Hierbei handelt es sich um eine sogenannte algebraische Gleichung
Die einfachsten algebraischen Gleichungen sind die:
Lineare Gleichungen: ax = b mit a 6= 0.
Die Gleichung aus Aufgabe 11 ist linear.
Losung linearer Gleichungen: x = ba
Die Aufgaben auf dem nachsten Aufgabenblatt lassen sich durch Aquivalenz-umformungen alle auf lineare Gleichungen zuruckfuhren. Bei Gleichungen mitx im Nenner berucksichtigen Sie bitte auch die Definitionsmenge.
49
Aufgabenblatt 16
Aufgabe 1:
a) x + 47 = 81
b) x− 12 = 51
c) 23 + x = 38
d) x− 44 = 44
e) y − 12 = 30
f) 23 + z = −55
g) x + 16 = 7
h) x− 33 = 0
Aufgabe 2:
a) 7 + (x− 3) = 14 + 10
b) 2− (3− x) = x− (2 + x)
c) 29− 41 = 19− (−x + 12)
d) (9x + 2)− 8x = (9x + 12)− 9x
Aufgabe 3:
a) 3x− 4 = 8
b) 15x + 3 = 6x
c) 5x− 36 = 22 + 4x
d) 16 + 9x = 8x + 18
e) 24− 3x = 26− 4x
f) 13y + 5 = 40 + 12y + 25
g) 6 + 11x + 2 = 6x + (8 + 4x)
h) (7 + 3)x = 24 + 9x
Aufgabe 4:
a) xc− b = a
b) xp
+ 1 = qp
c) cx− d = x
d) x−ab
+ x−ba
= 2
e) (p + x)(q + x) = (p− x)(q − x)
f) x+1x−1
= ab
g) x(a− b) = a(b− x)
h) xm− x
n= m− n
i) ax− bx = cx
Aufgabe 5:
Aus dem Rechenbuch des Inders Bhaskara (ca.1150 n.Chr.):Von einem Schwarm Bienen laßt sich ein Funftel auf einer Kadamabablute, einDrittel auf einer Silindhablume nieder. Der dreifache Unterschied der beidenZahlen flog nach den Bluten einer Kutaja; eine Biene blieb ubrig, welche in derLuft hin und her schwebte, gleichzeitig angezogen durch den lieblichen Dufteiner Jasmine und eines Pandanus. Sage mir nun die Anzahl der Bienen.
Aufgabe 6:
Auf einem Dach sitzen 5 Spatzen. Otto erschießt 2 davon. Wieviele bleibensitzen?
51
10. Lineare Funktionen
Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen. Was fallt auf:
y-Achsenabschnitt
f(x) = 2x− 1 −1
f(x) = 2x 0
f(x) = 2x + 2 2
f(x) = 2x + 5 5
Steigung
f(x) = −x− 1 −1
f(x) = x− 1 1
f(x) = 2x− 1 2
f(x) = 5x− 1 5
lineare Funktion y = f(x) = mx + t
Definitionsbereich D = R
Graph Gerade
Schnittpunkt der Geraden mit y-Achse f(0) = t
Steigung m
y=f(x)
m
1t
x
�
52
Eine Gerade wird durch 2 Punkte festgelegt:
Beispiel: Gerade durch P1 = (1, 2) und P2 = (3, 3)⇒ Zeichnen⇒ Was ist die Funktionvorschrift y = f(x) = mx + t?⇒ Steigungsdreieck einzeichnen
m =3− 2
3− 1=
1
2
⇒ y-Achsenabschnitt t durch einsetzen von P1 bestimmen:
f(1) =1
2· 1 + t = 2 ⇔ t = 2− 1
2=
3
2= 1, 5
⇒ Losung f(x) = 12x + 3
2. �
Allgemein:
x
f(x)
y =f(x )
y =f(x )
xx
x −xt
2 2
22
1
1
1
1
f(x )−f(x )=y −y1
2
2
1
Steigung: m = f(x2)−f(x1)x2−x1
= y2−y1
x2−x1
Durchschnitt mit y-Achse: f(0) = t = y1 −mx1
Funktionsgleichung: f(x) = f(x2)−f(x1)x2−x1
x + t
53
Aufgabenblatt 17
Lineare Funktionen
Aufgabe 1:
Erstellen Sie eine Wertetabelle und zeichnen Sie den Graphen der linearenFunktionen:
a) f(x) = 2x + 1b) f(x) = 2x + 2c) f(x) = 2x + 3d) f(x) = 2xe) f(x) = 2x− 1f) f(x) = x + 1g) f(x) = 3x + 1h) f(x) = −x + 1
Aufgabe 2:
Berechnen Sie die Funktionsgleichung der linearen Funktion, deren Graphdurch die Punkte P und Q geht.
a) P (1|4), Q(4|10)
b) P (1|3), Q(−1| − 5)
c) P (0| − 2), Q(3|1)
d) P (−1| − 7), Q(1|7)
e) P (2|7), Q(5|25)
f) P (1|0), Q(2|30)
Aufgabe 3:
Zeichnen Sie ein Steudiagramm, und eine moglichst gut angepasste Gerade.Was ist die Funktionsgleichung der Geraden?
a) x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y -0,5 0,8 3 5,1 6,9 9,4 10,7 13,01 14,99
b) x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y 1,8 3,2 4,1 5,02 5,98 6,89 8,04 8,97 10,3
c) x 15 17 22 33 37 40 50
y 14,20 14,34 14,89 15,78 16,23 16,46 17,03
d) x 1 3 4 6 8 12 15 20
y 14 12.34 12.02 10.56 11 8.41 6.98 4.23
Aufgabe 4:
Berechnen Sie die Regressionsgeraden zu den Steudiagrammen aus Aufgabe 3nach den Formeln:
Regressionsgerade R: y = f(x) = B · x + A
mit
B =1n
∑i xiyi − xy
1n
∑i x
2i − x2
A :=x · 1
n(∑
i xiyi)− 1n
∑i x
2i · y
1n
∑i x
2i − x2
= 1n
∑i yi −B · 1
n
∑i xi
11. Logarithmen
Beispiel:Ein Kapital von 1000e wird mit p = 7, 5% p.a. verzinst.
Auf wieviel ist das Kapital nach 10 Jahren angewachsen?
Anfangskapital K0 = 1000e
Kapital nach einem Jahr K1 = K0 + p ·K0 = K0 · (1 + p)
Kapital nach 2 Jahren K2 = K1 + p ·K1 = K1 · (1 + p)...
...
Kapital nach n Jahren Kn = Kn−1 · (1 + p)
Sukzessives Einsetzen bringt:
Kn = K0 · (1 + p)n
Mit unseren Zahlen:
Kn = K0 · (1 + p)n
= 1000 · (1 + 7, 5%)ne
= 1000 · (1 + 7,5100
)ne
= 1000 · 1, 075n
K10 = 1000 · 1, 07510 = 2 061, 03e
Wie lange mussen Sie warten, bis das Kapital auf 3 000 e angewachsen ist?
Dazu muss man die folgende Gleichung losen:
Kn = 1000 · 1, 075n = 3 000
1, 075n =3 000
1 000= 3
n = log1,075 3 =log 3
log 1, 075= 15, 19
Man muß also etwas uber 15 Jahre warten.Allgemeine Losung:
n =lg Kn · lg K0
lg(1 + p)
�Beispiele:
10x = 1000 ⇔ x = 3
2x =1
16=
1
24= 2−4 ⇔ x = −4
3√
64 = 4
43 = 64
33hhhhhhhh
++VVVVVVV
log4 64 = 3
Problem: Finde die Losung der Gleichung:
ax = b, mit a, b > 0
Logarithmus:loga b ist die (einzige) Losung der Gleichung ax = b mit a, b > 0. Also
ax = b ⇔ x = loga b
loga b heißt Logarithmus von b zur Basis a.
Beispiele: log10 10 000 = 4 denn 10 000 = 104
log10 0, 1 = −1 denn 10−1 = 0, 1
log5125
= −2 denn 5−2 = 152 = 1
25
Spezielle Logarithmen: log = Lg = lg = Log = log10 Zehnerlogarithmus
ln = loge naturlicher Logarithmus
Definition 11.1. Der pH-Wert einen Saure bzw Lauge ist der negative Zeh-nerlogarithmus der Wasserstoffionenkonzentration, gemessen in Mol pro Liter:
pH = − lg c|H+|
Beispiel:Salzsaure der H+-Konzentration 0, 2 mol /l hat (bei vollstandiger Dissoziation)den pH-Wert:
pH = − lg(0, 2) = − lg(2 · 10−1) = − lg 2 + 1 = 0, 7
�
Beispiel:Welchen pH-Wert hat eine 1 mol / l Salzsaure (bei vollstandiger Dissoziation)?
pH = − lg 1 = 0
Rechenregeln fur Logarithmen: loga 1 = 0
loga a = 1
loga(bc) = loga b + loga c
logabc
= loga b− loga c
loga
(bc
)= c · loga b
loga b = logc blogc a
loga ax = x
aloga b = b
Rechnen mit Logarithmen:
log7 3 = log 3log 7
= ln 3ln 7' 0, 5646
log5(4 · 7 · 39) = log5 4 + log5 7 + 9 · log5 3 = log 4+log 7+9 log 3log 5
' 8, 2139
log7(3 · 5−3) = log7 3− 3 log7 5 = ln 3−3 ln 5ln 7
' −1, 92
Aufgabenblatt 18
Aufgabe 1:
Ein Kapital von 500e wird mit p = 4, 5% p.a. verzinst.
Auf wieviel ist das Kapital nach 90 Jahren angewachsen?
Wie lange mussen Sie warten, bis das Kapital auf 1 000 e angewachsen ist?
Aufgabe 2:
Berechnen Sie den pH-Wert (bei vollstandiger Dissoziation) von
a) 1 mol /l Saure,b) 0, 1 mol /l Saure,c) 0, 0003 mol /l Saure,
Aufgabe 3:
Berechnen Sie ohne Taschenrechner
a) log10 100b) log2 8c) log10 1000d) log2 0, 125e) log3 9f) log2 16
Aufgabe 4:
a) ln e2
b) ln e−1
c) ln√
ed) ln 1√
e
Aufgabe 5:
a) log x + log yb) log x− log yc) 2 log u + 3 log vd) 1
2log c
e) 23log x
f) 6 log√
xg) 3 log a− 2 log b− 5 log ch) − log a− 2 log b− 1
3log c
Aufgabenblatt 19
Aufgabe 1:
Berechnen Sie ohne Taschenrechner (Hinweis: lg 2 = 0, 301)
a) lg 200b) lg 0, 2c) lg 20
Aufgabe 2:
Losen Sie die folgenen Gleichungen (ohne Taschenrechner):
a) 2x = 32b) 10x = 10000c) 10y = 0, 001d) ez = 1e) 2z = 1024
Aufgabe 3:
Man berechne mit Hilfe des Taschenrechners
a) log7 13b) log 111c) log12
√3
d) ln 3e) ln
(26
)Aufgabe 4:
a) log2 8b) log4 2c) log4
√4
d) log4(2 · 4)e) log4 8f) log8 4g) log2(4
√2)
h) log6
√6
i) log7 73
j) log7 734
Aufgabenblatt 20
Aufgabe 1:
Formen Sie mit Hilfe der Logarithmusgesetze um
a) lg axb
b) loga1
x2a3
c) log 1x√
1+x
d) log3(7u2x3)
e) lg abc
f) log34
9x5
g) lg(3a7 · 6b3 · 2c)
h) lg[(ab)3 · c 12 ]
Aufgabe 2:
Drucken Sie durch einen Logarithmusterm aus:
a) 2 lg x + 3 lg y − lg z
b) − ln u− 2 ln v − 13ln w
c) 2(log x− log y)
d) 12(lg u− 3 lg v)
e) log x− 12(log y + 2 log x)
f) 14loga(b + c)− 1
3loga(b− c)
g) loga p− 12loga q + 1
4loga r
h) 3 loga b + 12loga(b + x)
11.1. Radioaktiver Zerfall.
Radioaktiver Zerfall:
Anzahl der Teilchen bei t = 0: N0
Halbwertszeit: T1/2 = ln 2λ
Zerfallskonstante: λ = ln 2T1/2
Einheit von λ: s−1 = Bq Becquerel
Zerfallsgesetz: N(t) = N0e−λt
Aktivitat: Zerfalle pro Zeiteinheit
Aktivitat bei t = 0: A0 = λN0,
Aktivitat zum Zeitpkt. t: A(t) = A0e−λt
Zeiteinheiten:
Jahr = a, Tag = d, Stunde = h, Minute = min, Sekunde = s
1 a = 365, 25 d 1 d = 24 h 1 h = 60 min 1 min = 60 s
Beispiel
Das Radium-Isotop 22488 Ra hat eine Halbwertzeit von T1/2 = 3, 64 d (Tagen/Days).
Das heißt, nach dem Zeitraum T1/2 hat sich eine gegebene Menge Radium hal-biert.
Wann sind nur noch 1% der Ausgangsmenge vorhanden?
N(t1%) = N0 · 1% = N0 ·1
100= N0 · 0, 01
N(t1%) = N0e−λt1%
⇒ 0, 01 = e−λt1%
ln 0, 01 = −λt1%
t1% = − ln 0, 01
λ= −
ln 0, 01 · T1/2
ln 2
= − ln 0, 01 · 3, 64 d
ln 2= 24, 18 d
�
Allgemein: Nach
tx% = −ln x
100
λ= −
ln x100· T1/2
ln 2sind noch x% des Radioaktiven Stoffes vorhanden.
C14-Methode zur Altersbestimmung
Die Halbwertszeit von C14 (= 14C) betragt 5730 Jahre. Ein frisches StuckHolz zeigt 15 Zerfalle pro Minute und Gramm C14.
Beispiel:(vgl. Aufgabenblatt 21, 3) Bei einem antiken Holzgegenstand wurden 9 Zerfallepro Minute und Gramm C14 gemessen.
a) Bestimme die Zerfallskonstante von C14. λ = ln 25730 a
= 1, 21 · 10−4 a−1
b) Was ist die Aktivitat A0 von C14? A0 = 15 min−1
c) Was ist die Aktivitat heute A(tδ)?
A(tδ) = 9 min−1
d) Stelle die Aktivitatsgleichung fur 1 Gramm C14 auf.
A(t) = A0 · e−λ t = 15 · e−1,21·10−4t a−1
min−1
e) Berechne das Alter der Probe.
A(tδ) = 9 min−1 = 15 · e−1,21·10−4tδ a−1
min−1
9
15= e−1,21·10−4tδ a−1
ln9
15= −1, 21 · 10−4tδ a−1
tδ = −ln 9
15· 104
1, 21a = 4, 22 · 103 a = 4220 a
�
Aufgabenblatt 21
Aufgabe 1:
Das naturlich vorkommende Radium-Isotop 22488 Ra hat eine Halbwertzeit von
T1/2 = 3, 64 d. Wann sind nur noch 1% der Ausgangsmenge vorhanden?
Aufgabe 2:
Berechne die Zerfallskonstante λ in Bq = s−1.
Isotop Halbwertszeit T1/2 λ
23592 U Uran 7, 04 · 108 a
23190 Th Thorium 25, 6 h
23191 Pa Protaktinium 3, 25 · 104 a
21986 Rn Radon 3, 96 s
22488 Ra Radium 3, 64 d
22890 Th 1, 913 a
Fur die folgenden 4 Aufgaben benutze die Werte der Tabelle aus Aufgabe 2.
Aufgabe 3:
a) Wieviele Atome 23592 U sind in einer Probe der Aktivitat A = A0 = 312 ·
105 Bq enthalten?b) Berechne die Stoffmenge n(235
92 U)c) Berechne die Masse m(235
92 U)d) Nach welcher Zeitspanne t0 sind 20% der Ausgangsmenge zerfallen?
Aufgabe 4:
a) Wieviele Atome 23190 Th sind in einer Probe der Aktivitat A = A0 = 135, 4 ·
1017 Bq enthalten?b) Berechne die Stoffmenge n(231
90 Th)c) Berechne die Masse m(231
90 Th)d) Nach welcher Zeitspanne t0 sind noch 80% der Ausgangsmenge vorhan-
den?
Aufgabe 5:
a) Wieviele Atome 23191 Pa sind in einer Probe der Aktivitat A = A0 =
4, 05 Bq enthalten?b) Berechne die Stoffmenge n(231
91 Pa)c) Berechne die Masse m(231
91 Pa)d) Nach welcher Zeitspanne t0 sind 10% der Ausgangsmenge zerfallen?
Aufgabe 6:
a) Wieviele Atome 21986 Rn sind in einer Probe der Aktivitat A = A0 = 87, 5 ·
1022 Bq enthalten?b) Berechne die Stoffmenge n(219
86 Rn)c) Berechne die Masse m(219
86 Rn)d) Nach welcher Zeitspanne t0 sind 20% der Ausgangsmenge zerfallen?
Aufgabenblatt 22
Aufgabe 1:
Berechne die Halbwertszeit T1/2.
Isotop Name λ Halbwertszeit T1/2
23290 Th Thorium 1, 56 · 10−18 Bq
23490 Th 3, 33 · 10−7 Bq
23491 Pa Protaktinium 2, 85 · 10−5 Bq
22688 Ra Radium 1, 37 · 10−11 Bq
22388 Ra 7, 02 · 10−7 Bq
21282 Pb Blei 1, 81 · 10−5 Bq
Aufgabe 2:
Ein Mol eines radioaktiven Stoffes der Halbwertszeit 5, 27 a ist gegeben.
a) Berechne die Zerfallskonstante.
b) Bestimme N0
c) Stelle die Zerfallsgleichung auf.
d) Welche Masse ist nach 1 Jahr noch vorhanden?
e) Wieviel Prozent der Masse ist nach 2 Jahren noch vorhanden?
Aufgabenblatt 23
C14-Methode zur AltersbestimmungDie Halbwertszeit von C14 (= 14C) betragt 5730 Jahre. Ein frisches StuckHolz zeigt 15 Zerfalle pro Minute und Gramm C14.
Aufgabe 1:
Bei einem antiken Holzgegenstand wurden 9 Zerfalle pro Minute und GrammC14 gemessen.
a) Bestimme die Zerfallskonstante von C14.b) Was ist die Aktivitat A0 von C14?c) Was ist die Aktivitat heute A(tδ)?d) Stelle die Aktivitatsgleichung fur 1 Gramm C14 auf.e) Berechne das Alter der Probe.
Aufgabe 2:
Holz aus dem Grab des Pharao Sneferu zeigte 7,5 Zerfalle pro Minute undGramm C14. Wann wurde das Holz geschlagen?E-mail address: [email protected]: http://christina.birkenhake.net
