Mathematische Kompetenzen und ihre Diagnose in unterschiedlichen Bildungsetappen Wolfgang Schneider...

Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Mathematische Kompetenzen und ihre Diagnose

in unterschiedlichen Bildungsetappen

Wolfgang SchneiderInstitut für PsychologieUniversität Würzburg

1


Entwicklung mathematischer

Kompetenzen

• Schulbeginn bedeutet nicht die „Stunde Null“• Basale Zählfertigkeiten und ein grundlegendes

Verständnis für Mengen entwickelt sich schon im Verlauf der Kindergarten

• Frühe Unterschiede in basalen mathematischen Kompetenzen haben langfristige Auswirkungen

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Prof. Dr. Wolfgang SchneiderVorlesung: Pädagogische Psychologie

Psychologie des Unterrichts II

Erwerb mathematischer Kompetenzen

• Im Unterschied zum Lese- Rechtschreibbereich ist der Bereich der

mathematischen Kompetenzen erst innerhalb der letzten beiden

Jahrzehnten im Hinblick auf Erwerbsprozesse systematischer

untersucht worden.

• Wie für den Schriftsprachbereich gilt auch hier, dass individuelle

Kompetenzunterschiede schon im Vorschulbereich erkennbar werden

und Risiko-Entwicklungen auch schon in dieser Phase vergleichsweise

erfolgreich entgegengewirkt werden kann.

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b) präzises A.

Entwicklung früher mathematischer Kompetenzen(Krajewski, 2008)

Mengen-unterschiede

Zähl-prozedur

exakte Zahlenfolge

I) Basis- fertigkeiten

a) unpräzises A.

wenig vielsehrviel

zwei

drei

eins

zwanzigacht

hunderttausend

eins

fünfvierdreizweieins

zweieins

dreizweieins

1 52 3 4

vierdreizweieins

Mengen-relationen

II) Anzahl- konzept

III) Anzahl- relationen

a) Zerlegung b) Differenzen

3„drei“

2„zwei“ 5

„fünf“3

„drei“

2„zwei“

5„fünf“


Triple-Code-Modell nach Dehaene (1992)

5

•


6

Vorläufermerkmale mathematischer

Kompetenzen

(1) unspezifisch:• Geschlecht• Schicht• Intelligenz• Arbeitsgedächtnis• Informationsverarbeitungsgeschwindigkeit• Phonologische Bewusstheit(2) spezifisch:• Mengen-Zahlen-Kompetenz• „Zahlensinn“


Modell des Arbeitsgedächtnisses nach Baddeley (1986)

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Vorhersage von mathematischen Kompetenzen

• Inzwischen liegen eine Reihe von Längsschnittstudien vor, über die der Einfluss von vorschulischen Fertigkeiten (Zählfertigkeit, Mengen-Schätzen) auf die schulische Entwicklung im Bereich Mathematik untersucht wurden (z.B. Krajewski & Schneider, 2006).

• Wesentlicher Befund: Vorschulische Mengen-Zahlen-Kompetenzen erklären einen beträchtlichen Anteil an Varianz in den Mathematikleistungen zu Ende der Grundschulzeit. In der Studie von Krajewski & Schneider (2006) wurden etwa 26% der Unterschiede in den Mathematikleistungen durch Anzahl- und Invarianzkonzepte der Kindergartenzeit vorhergesagt. Letztere wurden wiederum durch IQ-Unterschiede und Unterschiede in den numerischen Basisfähigkeiten vorhergesagt.



Vorhersage der Mathematikleistungen in der 4. Klasse aus den im Kindergarten erhobenen Prädiktoren (MZK – Mengen-Zahlen-Kompetenzen);

nur signifikante Pfade dargestellt (vgl. Krajewski & Schneider, 2006)

9


Vorhersage der Mathematikleistung und des Leseverständnisses in der dritten Klassenstufe durch die im Kindergarten erhobene nonverbale Intelligenz und das Arbeitsgedächtnis (Krajewski & Schneider, 2009)

10


11

Zentrale Inhalte des Grundschulcurriculums in Mathematik

• Ausbau des Zahlen- und Mengenkonzepts• Erwerb der vier Grundrechenarten• Erweiterung des Zahlenraums (von 20 im ersten Schuljahr

bis zu einer Million im vierten Schuljahr)• Erwerb von Zähl- und anderen Rechenstrategien• Automatisierung des Faktenabrufs (Einspluseins und

Einmaleins)• Erwerb geometrischer Vorstellungen• Umgang mit Größeneinheiten (umwandeln)• Erste Modellierungen (Abbildung der Inhalte von

Sachaufgaben in der Sprache der Mathematik)

Prozentsatz der durch Schulklassenzugehörigkeit aufgeklärten Varianz zu den unterschiedlichen Messzeitpunkten für Textaufgaben und

Arithmetiktests (leicht modifiziert nach Stern, 1997)

12

Prozent aufgeklärte Varianz


Allgemeine Kompetenzen der Bildungsstandards (leicht modifiziert nach Gölitz et al., 2005)

13

Kompetenz Inhaltliche Konkretisierung für 4. Klasse1. Problemlösen

2. Kommunizieren

3. Argumentieren

4. Modellieren

5. Darstellen

Analyse mathematischer Probleme, Generierung mathematischer Lösungsstrategien, Übertragung auf weitere mathematische Probleme (in der Gruppe) mathematische Lösungswege verstehen, reflektieren und fachsprachlich kommunizieren können den Wahrheitsgehalt mathematischer Aussagen erkennen, prüfen und begründen können Sachaufgaben in der Sprache der Mathematik abbilden und lösen können, mathematische Aussagen in Sachaufgaben abbilden können verschiedene Darstellungen für mathematische Probleme nutzen und beurteilen können


Mathematische Inhaltsbereiche der Bildungsstandards (leicht modifiziert nach Gölitz et al., 2005)

14

Inhaltsbereich Inhaltliche Konkretisierung für 4. Klasse1. Zahlen und

Operationen 2. Raum und Form 3. Muster und

Strukturen

4. Größen und Messen

5. Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Zahldarstellungen und -beziehungen im Zahlenraum bis eine Million verstehen, Rechenoperationen verstehen und beherrschen sowie in Kontexten rechnen Orientierung im Raum, geometrische Figuren und einfache geometrische Abbildungen erkennen, benennen und darstellen, Flächen und Rauminhalte vergleichen und messen Gesetzmäßigkeiten bei Mustern sowie funktionale Beziehungen in Sachsituationen und Tabellen erkennen, beschreiben und darstellen Größeneinheiten kennen, vergleichen, schätzen, messen und umwandeln können, mit Größen in Sachsituationen umgehen können Daten erfassen und darstellen können, Wahrscheinlichkeiten einfacher Zufallsexperimente einschätzen und vergleichen können



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Entwicklung mathematischer Kompetenzen in der

Sekundarstufe

• Kompetenzerwerb verläuft meist nicht kontinuierlich, sondern vielfach auch in Entwicklungssprüngen, die an bestimmten „Schlüsselstellen“ (Blum & Heinze, 2010) auftauchen:

• Beispiele für „Schlüsselstellen“: • - Erweiterung des Zahlbegriffs etwa um Menge der Bruchzahlen• - Ausbildung des Variablenbegriffs, über den der Übergang von der Arithmetik zur Algebra eingeleitet wird (Übergang von konkreten Zahlengrößen zu abstrakten Variablen) - vertiefende Betrachtung von Flächen- und Rauminhalt über konkrete Mess- und Vergleichsaktivitäten vor jeder Formelan- wendung - Erwerb eines angemessenen Wahrscheinlichkeitskonzepts - Erweiterung der Modellierungs-Fähigkeiten, also die Entwicklung eines Verständnisses der Zuordnung von Zahlen und Größen zu realen Gegebenheiten

Wirkungen der Vorkenntnisse auf die Mathematikleistung in der Sekundarstufe (nach Weinert & Helmke, 1987)

16Prof. Dr. Wolfgang Schneider, Lehrstuhl für Psychologie IV

Entwicklung der mathematischen Fähigkeiten von Klasse 5-10 (vom Hofe et al. 2009)




Dyskalkulie und Rechenschwäche

Definition

• Die Forschung zu Schwierigkeiten im Rechnen ist noch recht jung.

• Rechenstörung: beeinträchtige Rechenleistungen mit Diskrepanz zur allgemeinen Begabung und zu anderen Schulfächern, Ausschluss einer ungenügenden Unterrichtung oder neurologischer/organischer Defizite.

• Es sind eher grundlegende Rechenfertigkeiten betroffen (wie Addition, Subtraktion) und weniger höhere mathematische Fertigkeiten (wie Algebra, Geometrie).

• Rechenschwäche (analog zur Lese- und Rechtschreibschwäche) beschreibt das Auftreten sehr schwacher mathematischer Leistungen (die zu den untersten 5-25% der Leistungen von Gleichaltrigen zählen).

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Dyskalkulie und Rechenschwäche

Vorgehen in der Diagnostik

• Ausschluss von Seh- oder Hörschwächen, neurologischen Ursachen

oder einer unzureichenden Beschulung

– IQ mindestens 85

– Leistungen in einem Rechentest durch höchstens 10% aller Kinder

des betreffenden Altersjahrgangs unterboten werden

– Hohe Differenz zwischen allg. Begabung und Leistung im Rechnen;

Diskrepanz auch zu anderen schulischen Leistungen

– -> Rechenstörung

• Etwa 1-7% der Kinder einer Altersstufe sind betroffen, häufiger

Mädchen als Jungen.

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Reaktionszeiten für Zahlengrößenvergleich und physischen Größenvergleich für 8- bis 9-Jährige mit unauffälliger Entwicklung, Legasthenie, Dyskalkulie

und kombinierter Legastenie/Dyskalkulie (modifiziert aus Landerl & Kaufmann, 2008)

20

Größenvergleich Zahlenvergleich0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

Kontrollgruppe

Gruppe mit Legastenie

Gruppe mit Dyskalkulie

Gruppe mit Legasthenie/Dyskalkulie

RT

s in

ms


Prozentuale Anteile von Schülerinnen und Schülern unter oder auf der Kompetenzstufe I beziehungsweise auf der Kompetenzstufe IV in den

Ländern Deutschlands (Frey et al., 2008)


• Objektivität: Das Testergebnis hängt nicht vom Untersucher ab (Vorgaben für die Durchführung und Auswertung sind für die Testleiter leicht nachvollziehbar)

• Reliabilität: gibt die Zuverlässigkeit an, mit der etwa bei Testwiederholung unter gleichen Bedingungen mit der gleichen Ergebnis gerechnet werden kann

• Validität: Der Test misst in der Tat das, was er zu messen vorgibt


Gütekriterien von Tests

Testverfahren zur Erfassung früher mathematischer Kompetenzen

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Test Inhaltsbereich Altersbereich

Osnabrücker Test zur Zahlbegriffsentwicklung (OTZ; van Luit et al., 2001)

Zahlenwissen und Zahlenverständnis

4-7

Neuropsychologische Testbatterie für Zahlenverarbeitung und Rechnen (ZAREKI-K; von Aster et al., 2009)

Zahlen nachsprechenKopfrechnenMengenbearbeitungZählen/Abzählen

4-5

Mathematische Basiskompetenzen im Vorschulalter (MBK-O; Krajewski et al., im Druck)

Kenntnis der ZahlenfolgeZiffernkenntnis (1-20)AnzahlkonzeptAnzahldifferenz

4-6

Mathematik und Rechentest zur Erfassung von Konzepten im Vorschulalter (MARKO-D; Ricken et al., 2012)

ZählenMentaler ZahlenstrahlKardinalität und ZerlegbarkeitEnthaltenseinRationaler Zahlenbegriff

4-6;5


Osnabrücker Test zur Zahlbegriffsentwicklung (OTZ; van Luit, van de Rijt & Hasemann, 2001)


Ziel: Prüfung der Zahlbegriffsentwicklung im Zahlenraum bis 10

Subtests: 8 Komponenten des frühen Zahlbegriffs

Gütekriterien:Reliabilität: α = .88 (Testversion A)

α = .84 (Testversion B)Validität:

Normstichprobe: N = 330

Neuropsychologische Testbatterie für Zahlenverarbeitung und Rechnen – Kindergartenversion (ZAREKI-K; von Aster, Bzufka & Horn, 2009)


Ziel: Erfassung des Zahlenverständnisses, der Zahlenverarbeitung und erster rechnerischer Operationen bei Kindergartenkindern

Subtests: N=18: 1. Schätzen, 2. Zahlenerhaltung, 3. Mengenbeurteilung kognitiv, 4. Vorwärtszählen, 5. Rückwärtszählen, 6. Zählen in 2er-Schritten, 7. Vorgänger/Nachfolger, 8. Abzählen, 9. Zahlenlesen, 10. Zahlenschreiben, 11. Zahlenvergleich mündlich, 12. Zahlenvergleich schriftlich, 13. Symbol-Mengen-Zuordnung, 14. Visuelles Rechnen, 15. Kopfrechnen, 16. Zahlenstrahl, 17. Zahlennachsprechen, 18. Textaufgaben.

Gütekriterien:Reliabilität: r = .93 Validität: Augenscheinvalidität


Mathematik- und Rechenkonzepte im Vorschulalter – Diagnose (MARKO-D; Ricken, Fritz-Stratmann & Balzer, 2012)


Subtests: 55 Items, mit denen fünf Konzepte erfasst werden: Zählzahl, ordinaler Zahlenstrahl, Kardinalität und Zerlegbarkeit, Enthaltensein und Klasseninklusion sowie Relationalität.

Gütekriterien:Reliabilität: α = .91 Validität: Inhaltsvalidität ist gegeben


Ziel: Erfassung erster Rechenkonzepte im Vorschulalter

Beispielaufgaben für die jeweiligen Niveau-Stufen (MARKO-D)

27

Niveau Konzepte Itemanzahl pro Niveau

Itembeispiele

Niveau I Zahlen 15 Gib mir 5 Plättchen

Niveau II Mentaler Zahlenstrahl

10 Wie heißt die Zahl, die zwischen der 5 und der 7 kommt?

Niveau III

Kardinalität und Zerlegbarkeit

14 Hier (links) hat Ben hingemalt, wie viele Nüsse er hat. Lege bitte hier (rechtes Kästchen genau so viele Punkte hin, dass es genau so viele sind wie hier (auf das linke Kästchen zeigen).

Niveau IV

Enthaltensein 8 Jetzt möchte der Biber 6 Blumen haben – mehr blaue als rote. Gib mir bitte 6 Plättchen, davon sollen mehr blau als rot sein.

Niveau V Rationaler Zahlenbegriff

9 Und jetzt bringt mir 8 Blumen. Es sollen 2 mehr blaue als rote sein.


Erfassung mathematischer Basiskompetenzen(MBK-0 und MBK1; Krajewski, Ennemoser & Sinner, im Druck;

Sinner, Ennemoser & Krajewski, im Druck)

28

Ziel des MBK-1: Erfassung mathematischer Basiskompetenzen im Verlauf der ersten Klasse (Gruppentest)


Subtests: 2 Subtests (Ebene I): Zahlendiktat, Zahlenlücken 4 Subtests (Ebene II): Anzahlkonzept,

Zahlenstrahl, Anzahlseriation, Anzahlvergleich 4 Subtests (Ebene III): Eins mehr und Eins

weniger, Zahlergänzung, Teil-Ganzes, Textaufgaben

Gütekriterien:Reliabilität: α = .89 bis α = .93 Validität: Inhaltsvalidität erfüllt


Test zur Erfassung numerisch-rechnerischer Fertigkeiten vom Kindergarten bis zur 3. Klasse (TEDI-MATH, Kaufmann, Nuerk, Graf, Krinzinger, Delazer &

Willmes, 2009)


Subtests: 28 Untertests, von denen jeweils einige durchgeführt werden

z.B. Zahlenverarbeitung (Größenvergleich arabische Zahlen und Zahlwörter, Transkodierübungen)

Rechnen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Textaufgaben)

Gütekriterien:Reliabilität: zufriedenstellend bis gut (r = .59 bis.98) Validität: ab Einschulung mittelhohe Korrelationen mit Mathe-Note (r=-.37 bis -.67)


Ziel: Prüfung basaler rechnerischer Kompetenzen, Identifikation von Rechenstörungen (Dyskalkulie)

Deutsche Mathematiktests für die Grundschule

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Test Inhaltsbereich Dauer N

DEMAT 1+ Mengen – ZahlenAddition –

SubtraktionTeil – GanzesSachaufgaben

45 min 2936

DEMAT 2+ LängenvergleicheAddition –

SubtraktionVerdoppeln, Halbieren

Sachaufgaben, Geometrie

45 min 4014

DEMAT t 3+ ArithmetikSachrechnen

Geometrie

45 min 4209

DEMAT 4+ ArithmetikSachrechnen

Geometrie

45 min 5266


Deutscher Mathematiktest für erste Klassen (DEMAT 1+; Krajewski, Küspert & Schneider, 2002)


Ziel: Überprüfung der mathematischen Kompetenz von Grundschülern in Bezug auf die Inhalte der Mathematiklehrpläne der 1. Klassen (aller deutschen Bundesländer) sowie zur frühzeitigen Diagnose einer Rechenschwäche bzw. besonderer Mathematikstärken.

Subtests: Zu Mengen-Zahlen, Zahlenraum, Addition und Subtraktion, Zahlenzerlegung-Zahlenergänzung, Teil-Ganzes-Schema, Kettenaufgaben, Ungleichungen und Sachaufgaben

Gütekriterien:Reliabilität: α = .89 bzw. α = .88 für die 1. bzw. 2. KlasseValidität: Kriteriumsvalidität gegeben: Korrelation mit Mathe-Note r =-.66, mit „Diagnostikum Basisfähigkeiten“ mit r=.77

Normstichprobe: N = 1354 (1. Schuljahr) und N = 1582 (erste drei Monate des 2. Schuljahres)

Deutscher Mathematiktest für zweite Klassen (DEMAT 1+; Krajewski, Liehm & Schneider, 2004)


Ziel: Überprüfung der mathematischen Kompetenz von Grundschülern in Bezug auf die Inhalte der Mathematiklehrpläne der 2. Klassen (aller deutschen Bundesländer) sowie zur frühen Diagnose einer Rechenschwäche bzw. besonderer Mathematikstärken.

Subtests: Zu Zahleneigenschaften, Längenvergleich, Addition und Subtraktion, Verdoppeln und Halbieren, Division, Rechnen mit Geld, Sachaufgaben und Geometrie

Gütekriterien:Reliabilität: α = .93 (2. Klasse), α = .91 (3. Klasse)Validität: Korrelation mit Mathe-Note: r = -.66


Deutscher Mathematiktest für dritte Klassen (DEMAT 3+: Roick, Gölitz &Hasselhorn, 2004)


Ziel: Überprüfung der mathematischen Kompetenz in Bezug auf die Mathematiklehrpläne der 3. Klassen sowie zur frühen Diagnose einer Rechenschwäche bzw. besonderer Mathematikstärken.

Subtests: Arithmetik: Zahlenstrahlen, Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen

Sachrechnen: Sachrechnungen und Längen umrechnen

Geometrie: Spiegelzeichnungen, Formen legen und Längen schätzen

Gütekriterien:Reliabilität: α = .83Validität: Korrelation mit Mathe-Note: r = -.61; mit anderen Mathetests: r = .61 - .70)


Deutscher Mathematiktest für vierte Klassen (DEMAT 4+: Gölitz, Roick &Hasselhorn, 2006)


Ziel: Überprüfung der mathematischen Kompetenz in Bezug auf die Inhalte der Mathematiklehrpläne der 4. Klassen (orientiert an den Bildungsstandards) sowie zur frühen Diagnose von Rechenschwäche bzw. besonderer Mathematikstärken.

Subtests: Arithmetik: Zahlenstrahlen, Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen und Divisionen

Sachrechnen: Größenvergleiche und Sachrechnungen Geometrie: Lagebeziehungen und Spiegelzeichnungen

Gütekriterien:Reliabilität: α = .84 (Mitte 4. Klasse) und α = .85 (Ende 4. Klasse)Validität: Korrelation mit Mathe-Note: r -.70 Korrelation mit anderen Tests: r = . 60 bis .81Normstichprobe: N = 2250 (Mitte 4. Klasse) und N = 3016 (Ende 4. Klasse)


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Neuere Mathematiktests im Bereich der

Grundschule

• Innerhalb der letzten Jahre wurde eine beeindruckende Zahl von Diagnoseinstrumenten für den Grundschulbereich publiziert, die meist Lehrplan-Gültigkeit aufweisen und sich sowohl für die Erfassung des allgemeinen Leistungsstands in Mathematik als auch zur Identifikation von rechen-schwachen Kindern eignen.

• Die folgende Aufstellung von diagnostischen Verfahren ist nicht erschöpfend.

Heidelberger Rechentest Erfassung mathematischer Basiskompetenzen im Grundschulalter

(HRT 1-4; Haffner, Baro, Parzer & Resch, 2005)


Ziel: Erfassung basaler Rechenoperationen, der Größen- und Mengenverarbeitung sowie der räumlich-visuellen Reizverarbeitung

Gütekriterien:Reliabilität: rtt= .87-.93Validität: Korrelationen mit Mathe-Note: r = -.66 bis -.70

Normstichprobe: N = 3.075 Grundschulkinder aus 4 Bundesländern sowie zusätzlich Kinder aus Sprachheilschulen und Förderschulen

Beschreibung der Untertests des Heidelberger Rechentests (HRT) (aus Haffner, Baro, Parzer, Wu & Resch, 2005)

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Abk. Untertest MessinhaltAufgaben-

zahlZeit

(min.)

SG Schreibgeschwindigkeit Visuomotorisches Arbeitstempo 60 0,5

RA Addition Grundrechnen – Plus 40 2

RS Subtraktion Grundrechnen – Minus 40 2

RM* Multiplikation Grundrechnen – Mal 40 2

RD* Division Grundrechnen – Geteilt 40 2

EG Ergänzungsaufgaben Rechenleistung bei variablen Gleichungs-Aufgaben 40 2

GKGrößer-Kleiner-Aufgaben Größenvergleiche,

Überblicksrechnen, Ungleichungen

40 2

ZF Zahlenfolgen Mathematisch logisches Denken, Erkennen von Regeln 20 3

LS Längenschätzen Visuelle Größenerfassung 24 3

WÜ Würfel Mengenerfassung unter Berück-sichtigung räumlicher Vorstellung 28 3

MZ Zählen geordneter Mengen Zählgeschwindigkeit, Mengenstrukturierung 21 1

ZV Zahlenverbinden Wahrnehmungsgeschwindigkeit, Visuomotorik 200 2


Diagnostisches Inventar zu Rechenfertigkeiten im Grundschulalter (DIRG; Grube, Weberschock, Blum, Hasselhorn & Gölitz, 2010)


Ziel: Dokumentation der Entwicklung des Lernstandes, frühzeitige Erkennung und spezifische Diagnostik von Rechenschwierigkeiten und Rechenstörungen.

Subtests: Modul»BASIS« (ab Ende 1. Schuljahr): Addition und Subtraktion im Zahlenraum bis 20, jeweils mit und ohne Zehnerübergang).

Das Modul »M100«: Multiplikationsaufgaben (kleines Einmaleins)

Modul »D100«: Divisionsaufgaben (kleines Einsdurcheins) Modul »AS1000«: Addition und Subtraktion dreistelliger

Zahlen Gütekriterien:Reliabilität: Zwischen rtt = .80 und rtt = .93Validität: Inhaltsvalidität ist gegeben

Normstichprobe: Modul BASIS: N = 5428, Modul M100: N = 2034, Modul D100: N = 1180, Modul AS1000: N = 2156

Kettenrechner für dritte und vierte Klassen (KR 3-4, Roick, Gölitz & Hasselhorn, 2011)


Ziel: Erfassung arithmetischer Rechenleistungen, Leistungs-Screening innerhalb einer Schulklasse, Diagnose von Rechenstörungen, ökonomische Testung großer Stichproben im Bereich der Forschung

Subtests: 4 Subskalen: Aufgaben zur Addition, Subtraktion und Multiplikation im Zahlenraum bis 20 in Form kurzer Rechenketten

Gütekriterien:Reliabilität: rtt = .90 Validität: Substantielle Korrelationen mit Leistungen im Bereich Arithmetik der DEMATs 3+ und 4


Basisdiagnostik Mathematik für die Klassen 4–8 (BASIS-MATH 4–8; Moser Opitz, Reusser, Moeri Müller, Anliker,

Wittich, Freesemann & Ramseier, 2010)


Ziel: Zentrale Kenntnisse der Grundschulmathematik (mathematischer Basisstoff) bei Schülerinnen und Schülern mit schwachen Mathematikleistungen erfassen

Subtests: 48 Aufgaben: Überprüfung der Grundoperationen, aber auch der Rechenwege bzw. Vorgehensweisen beim Rechnen, des Verständnisses des dezimalen Stellenwertsystems, der Zählkompetenz, des Operationsverständnisses und der Mathematisierungsfähigkeit

Gütekriterien:Reliabilität: α = .92Validität: Inhaltsvalidität ist gegeben


Testverfahren zur Dyskalkulie bei Kindern - revidierte Fassung (ZAREKI-R; von Aster, Weinhold & Horn, 2005)


Ziel: Überprüfung der Zahlenverarbeitung und des Rechnens von Grundschulkindern, Exploration von Rechenstörungen

12 Subtests: 1. Abzählen, 2. Zählen rückwärts mündlich, 3. Zahlen schreiben, 4. Kopfrechnen, 5. Zahlenlesen, 6. Anordnen von Zahlen auf einem Zahlenstrahl, 7. Zahlen nachsprechen vorwärts und rückwärts, 8. Zahlenvergleich (Worte), 9. Perzeptive Mengenbeurteilung, 10. Kognitive Mengenbeurteilung, 11. Textaufgaben, 12. Zahlenvergleich (Ziffern).

Gütekriterien:Reliabilität: α = .89Validität: Inhaltsvalidität ist gegeben

Normstichprobe: N = 764 (Kinder des 1. bis 4. Schuljahrs)

Rechenfertigkeiten- und Zahlenverarbeitungs- Diagnostikum für die 2. bis 6. Klasse

(RZD 2-6; Jacobs & Petermann, 2005)


Ziel: Erfassung basaler Zahlenverarbeitung und Exploration umschriebener Rechenstörungen

Je nach Klassenstufe 17 oder 17 Untertests zu Zählfertigkeiten, Zahlenwissen, Kopfrechnen und schriftliches Rechnen, Textaufgaben und visuell-räumliche Mengen-Aufgaben

Gütekriterien:Reliabitität: r = .89 bis .95Gültigkeit: Augenscheinvalidität

Normstichprobe: 497 Kinder aus Bremen

Hamburger Rechentest 1-4 (HaReT 1-4; Lorenz, 2005)


Ziel: Frühzeitige Erkennung von Kindern mit Rechenschwächen (Basis: Triple-Code-Modell)

Aufbau: vier Jahrgangstests mit jeweils 8 bis 10 Untertests (z.B. Größen vergleichen, Spiegelbilder erkennen, Bilder ordnen, Mengen vergleichen)

Gütekriterien:Reliabilität: r = .94 - .97Validität: ?

Normstichprobe: mehr als 2000 Kinder aus dem Großraum Hamburg

Test zur Diagnose von Dyskalkulie (TeDDY-PC; Schroeders & Schneider, 2008)


Ziel: Computergestützte Überprüfung der Rechenkompetenz von Schülerinnen und Schülern der ersten bis zur vierten Klassenstufe

Aufbau: Zusammenstellung der Untertests orientiert sich am Triple-Code-Modell; die Subtests beziehen sich auf Grundrechenarten, geometrische Aufgaben und Sachaufgaben (lehrplanorientiert)

Gütekriterien: Reliabilität: r = .92 - .93Validität: Lehrplanvalidität ist gegeben; Korrelationen mit Mathe-Noten: r = -.55 bis -.66


Der Bielefelder Rechentest für das zweite Schuljahr (BIRTE 2; Schipper, Wartha, & v. Schroeders, 2011)


Ziel: Erfassung arithmetischer Kompetenzen mit einem software-gestützten Diagnose-Verfahren

Aufbau: 4 Modulgruppen, die wiederum aus insgesamt 13 Einzelmodulen bestehen (Orientierung im Zahlenraum; Basis-kompetenzen; Rechnen, Grundvorstellungen zu Größenbereichen und zu Grundrechenarten)

Gütekriterien:Reliabilität: r = .77 - .78Validität: Lehrplangültigkeit ist gegeben; Korrelation mit Mathe-Note: r = -.62


Testverfahren zur Erfassung mathematischer Leistungen in der Sekundarstufe

46

Test Inhaltsbereich Dauer NDeutscher Mathematiktest für fünfte Klassen(DEMAT 5+; Götz et al., 2013a)

ArithmetikGeometrie

Sachrechnen

35 min 2400

Deutscher Mathematiktest für sechste Klassen (DEMAT 6+; Götz et al., 2013b)

ArithmetikGeometrie

Sachrechnen

35 min

Deutscher Mathematiktest für neunte Klassen (DEMAT 9; Schmidt et al., 2012)

Arithmetik/Gleichungen -

Funktionen Geometrie Sachrechnen

Stochastik

35-40 min 1230

Test zur Erfassung des Konventions- und Regelwissens (KRW; Ennemoser, 2012)

Basale Rechenkompetenzen


Die Deutschen Mathematiktests für die fünfte und sechste

Klassenstufe (DEMAT 5+ und DEMAT 6+; Götz, Lingel & Schneider, 2013a und b)


Ziel: Überprüfung des Leistungsstands im mathematischen Bereich gegen Ende der 5. und 6. Klassenstufe in unterschiedlichen Schulformen, orientiert an den Leitlinien der Bildungsstandards

Aufbau: Jeweils 3 Subskalen (Arithmetik, Geometrie, Sachrechnen)

Gütekriterien:Reliabilität: r = .89 - .91Validität: Lehrplangültigkeit ist gegeben; Korrelation mit anderen Mathe-Tests variiert zwischen .55 (HRT) und .81 (LEMAT)

Normstichproben: N = 2345 (DEMAT 5+) und N = 1931 (DEMAT 6+)

Überblick über die Aufgabeninhalte des DEMAT 5+ (leicht modifiziert nach Götz et al., 2013)

48

Inhaltsberei

ch

AufgabeninhaltAnzahlItems

Leitidee Bearbeitungsz

eit

Subtest AArithmetik

Zahlenstrahl 2 1, 3

11 Min.

Bestimmung eines Anteils 1 1, 3Rechengesetze 2 1Umwandung von Maßeinheiten

2 1, 3

Rechnen mit Maßeinheiten 1 1, 3Rechnen mit unbekannter Variable

1 1, 4

Schriftliches Rechnen mit unbekannten Variablen

1 1

Aufstellen eines Terms 1 1Aufstellen einer Gleichung 1 1, 4Grundrechenarten 2 1 14

Anmerkung: Zuordnung zu den Leitideen der Kultusministerkonferenz – fett markiert ist die Primärzuordnung wie folgt: 1: Zahl und Operation; 2: Raum und Form; 3: Größen und Messen; 4: Funktionaler Zusammenhang; 5: Daten und Zufall



Überblick über die Aufgabeninhalte des DEMAT 5+ (leicht modifiziert nach Götz et al., 2013)

49

Anmerkung: Zuordnung zu den Leitideen der Kultusministerkonferenz – fett markiert ist die Primärzuordnung wie folgt: 1: Zahl und Operation; 2: Raum und Form; 3: Größen und Messen; 4: Funktionaler Zusammenhang; 5: Daten und Zufall

Inhaltsberei

ch

AufgabeninhaltAnzahl Items

Leitidee Bearbeitungsze

it

Subtest B Geometrie

Umfangmessung 1 2, 3

5 Min.Symmetrie 1 2Umfang Quadrat 1 1, 3Umfang Rechteck 1 1 , 3, 4

4

Subtest C Sachrechnen

Proportionalität Dezimalzahl 1 1, 3, 4

15 Min.

Aufstellen eines Terms: Division 1 1, 3Proportionalität 2 1, 3, 4Aufstellen eines Terms: Subtraktion

1 1, 3

Aufstellen eines Terms: Addition 1 1, 3Gleichung 1 1, 3, 4Datenbearbeitung Tabelle 2 1, 3, 5 Aufstellen eines Terms: Differenz

1 1, 3

Datenbearbeitung Diagramm 5 1, 3, 5 15

Summe DEMAT 5+ Gesamt 33 31 Min.

Deutscher Mathematiktest für neunte Klassen (DEMAT 9; Schmidt, Ennemoser & Krajewski, 2012)


Ziel: Bereitstellung eines ökonomischen und lehrplanvaliden Verfahrens, das schulform-übergreifende Erfassung des Leistungsstands in Mathematik ermöglicht und sich an den Leitlinien der Bildungsstandards orientiert.

Aufbau: Insgesamt 9 Aufgabengebiete: Lineare Gleichungen, Zahlenrätsel, Prozent- und Zinsrechnung, Dreisatz, Satz des Pythagoras, Geometrische Flächen und Körper, Datenbasis Abbildung, Datenbasis Tabelle (Informationsentnahme aus Abbildungen/ Tabellen)

Gütekriterien: Reliabilität: r = .82 - .89Validität: Lehrplangültigkeit; Korrelation mit KRW: r =. 64 - .73


Ergänzungstest Konventions- und Regelwissen (KRW; Ennemoser, 2012)

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Dieser Screening-Test ergänzt den DEMAT 9 und erfasst das Verständnis der mathematischen Notation, d.h. mathematischer Symbole, Konventionen und Rechenregeln. Sämtliche Aufgaben sind im Zahlenraum bis 10 zu lösen.

Inhalt: Fünf Bereiche: Vorzeichen-/Klammerregeln, Brüche, Dezimalzahlen, Wurzeln und Potenzen

Bearbeitungszeit: weniger als 5 Minuten



Basale Zahl-Größen-Kompetenzen im vier- bis zehnstelligen Zahlenraum (oben) sowie Konventions- und Regelwissen im Zahlenraum bis 10

(unten) differenziert nach Klassenstufe und Schulform (vgl. Ennemoser et al., 2011)



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Zusammenfassung

Ein erster Tests-und Trends-Band zur Diagnostik von Mathematik-leistungen (Hasselhorn, Marx & Schneider, 2005) wies auf ein Defizit an geeigneten Testverfahren hin, wartete aber schon mit einigen Mathematiktests insbesondere im Grundschulbereich auf und verwies auf einen positiven Trend.Mittlerweile sind wesentlich mehr geeignete Verfahren im Grundschulbereich verfügbar, weiterhin aber auch normierte Diagnostik-Instrumente im Vorschulbereich und im Bereich der Sekundarstufe, die sowohl allgemeine Leistungsstands-Erhebungen als auch gezielte Überprüfungen in den Problembereichen Rechenstörungen und Rechenschwäche ermöglichen. Die meisten Verfahren sind lehrplangültig, umfassend normiert und zeitökonomisch. Sie kommen in der Regel mit einer Schulstunde aus. Angesichts der Vielzahl von prinzipiell geeigneten Verfahren hat die Lehrerin/ der Lehrer nun vielfach sogar die Qual der Wahl, was eine völlig neue, jedoch durchaus angenehme Situation darstellt.


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Ausgewählte weiterführende Literatur

• Hasselhorn, M., Heinze, A., Schneider, W. & Trautwein, U. (Hrsg.) (2013), Diagnostik mathematischer Kompetenzen. Tests und Trends, N.F. Band 11. Göttingen: Hogrefe.

• Hasselhorn, M. & Schneider, W. (Hrsg.) (2011). Frühprognose schulischer Kompetenzen. Tests und Trends, N.F. Band 9. Göttingen: Hogrefe.

• Fritz, A., Ricken, G. & Schmidt, S. (Hrsg.) (2009). Handbuch Rechenschwäche (2. Aufl.). Weinheim: Beltz.

• Jacobs, C. & Petermann, F. (2007). Rechenstörungen. Göttingen: Hogrefe.

• Landerl. K. & Kaufmann, L. (2008). Dyskalkulie – Modelle, Diagnostik, Intervention. München: Reinhardt (UTB).

• Schneider, W., Küspert, P. & Krajewski, K. (2013). Entwicklung mathematischer Kompetenzen. Paderborn: Schöningh (UTB).

Mathematische Kompetenzen und ihre Diagnose in unterschiedlichen Bildungsetappen Wolfgang Schneider...

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