Matrizen und lineare Gleichungssysteme...10.2. Lineare Gleichungssysteme Häuﬁg wird eine Lösung...

KAPITEL 10

Matrizen und lineare Gleichungssysteme

10.1 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24410.2 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25110.3 Gauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25410.4 Gauß-Jordan-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26410.5 Invertierbare Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26610.6 Anwendungen von linearen Gleichungssystemen . . . . . . . . . . 278

Lernziele 10• Begriffe: Matrix, Element bzw. Komponente einer Matrix,

Zeilenvektor, Spaltenvektor, Typ der Matrix,

• Rechenregeln für Matrizen: Gleichheit, Multiplikation mit Zahl,Addition bzw. Subtraktion, Matrizenmultiplikation,

• lineares Gleichungssystem, Lösungsmenge, äquivalenteUmformungen,

243

10.1. Matrizen

• Gauß-Algorithmus, Gauß-Jordan-Algorithmus,

• Zeilen-Stufen-Form eines linearen Gleichungssystems,Lösungsverhalten, Lösbarkeitsentscheidung,

• transponierte Matrix, inverse Matrix, orthogonale Matrix

10.1 Matrizen

Was ist eine Matrix?

Definition 10.1Eine Matrix vom Typ m ◊ n (oder eine m ◊ n-Matrix) ist einrechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten:

A =

Q

ccca

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

......

...am1 am2 ... amn

R

dddb.

Die Zahlen aij œ R heißen Komponenten (oder Elemente) der MatrixA. Man schreibt abkürzend:

A = (aij )m ni=1, j=1 = (aij )m◊n.

Die m ◊ 1-Matrizen (bzw. 1 ◊ n-Matrizen) werden Spaltenmatrizen oderSpaltenvektoren (bzw. Zeilenmatrizen oder Zeilenvektoren) genannt, sie haben

244

10.1. Matrizen

die Form

s =

Q

ccca

a1

a2

...am

R

dddbbzw. z =

!a1 a2 ... an

".

Die Matrix A = (aij )m◊n besteht aus m Zeilenvektoren (mit je n Komponenten)!

ai1 ai2 ... ain

", 1 Æ i Æ m,

bzw. aus n Spaltenvektoren (mit je m Komponenten)Q

ccca

a1j

a2j

...amj

R

dddb, 1 Æ j Æ n.

Definition 10.2Zwei Matrizen A = (aij ) und B = (bij ) heißen gleich (man schreibt dafürA = B), wenn sie vom gleichen Typ m ◊ n und ihre Komponentengleich sind, d.h. aij = bij für alle 1 Æ i Æ m, 1 Æ j Æ n.

Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einem Skalar

Die Matrix, deren Komponenten alle gleich Null sind, heißt Nullmatrix O.

245

10.1. Matrizen

Definition 10.3Für Matrizen A = (aij ) und B = (bij ) gleichen Typs m ◊ n und jede Zahl⁄ œ R ist die Summe A + B und das ⁄-fache von A komponentenweisedefiniert:

A + B = (aij + bij )m◊n und ⁄A = (⁄aij )m◊n.

Die Differenz zweier Matrizen gleichen Typs ist definiert als

A ≠ B = A + (≠1)B = (aij ≠ bij )m◊n.

Hieraus folgen die Rechenregeln:Für beliebige Matrizen A, B, C gleichen Typs m ◊ n und beliebige reelle Zahlen⁄, ‹ gilt:

1. A + B = B + A (Kommutativität),

2. (A + B) + C = A + (B + C) (Assoziativität),

3. A + O = A (Nullelement),

4. A + (≠A) = O, (inverses Element der Addition),

5. (⁄µ)A = ⁄(µA),

6. 1 A = A

7. (⁄ + µ)A = ⁄A + µA,

8. ⁄(A + B) = ⁄A + ⁄B.

Matrizenmultiplikation

246

10.1. Matrizen

Definition 10.4Das Produkt einer m ◊ k -Matrix

A = (aij )m◊n =

Q

ccca

a1

a2

...am

R

dddb(Zeilendarstellung)

mit einer k ◊ n-Matrix

B = (bij )k◊n =!

b1 b2 ... bn

"(Spaltendarstellung)

ist definiert durch

AB :=

Q

ccca

a1 · b1 a1 · b2 ... a1 · bn

a2 · b1 a2 · b2 ... a2 · bn

......

...am · b1 am · b2 ... am · bn

R

dddb,

mit

ai · bj =kÿ

r=1

air br j = ai1b1j + ai2b2j + ... aik bkj

Beispiel 10.5Matrizenmultiplikation. Matrix A, vom Typ 3 ◊ 3,

1. Zeile2. Zeile3. Zeile

Q

a1 2 32 1 24 1

2 1

R

b

1. Spalte 2. Spalte 3. SpalteQ

a1 2 32 1 24 1

2 1

R

b

247

10.1. Matrizen

Matrix B vom Typ 3 ◊ 2, Q

a1 22 23 1

R

b

Dann ist A · B = C eine Matrix vom Typ 3 ◊ 2 und wird wie folgt berechnet:Q

a1 2 32 1 24 1

2 1

R

b·

Q

a1 22 23 1

R

b =

Q

a1 · 1 + 2 · 2 + 3 · 3 1 · 2 + 2 · 2 + 3 · 12 · 1 + 1 · 2 + 2 · 3 2 · 2 + 1 · 2 + 2 · 14 · 1 + 1

2 · 2 + 1 · 3 4 · 2 + 12 · 2 + 1 · 1

R

b =

Q

a14 910 88 10

R

b

Man kann das ganze auch in einem Schema darstellen:B

A C, hier sieht

man den Typ der Matrix C sofort:

1 22 23 1

1 2 32 1 24 1

2 1

14 910 88 10

Bemerkung 10.61. Man beachte, dass das Produkt „Zeile mal Spalte“ eine Zahl ist.2. Das Produkt AB zweier Matrizen ist nur dann erklärt, wenn die Spaltenzahlvon A gleich der Zeilenzahl von B ist.3. Auf diese Weise stellt Ax = b tatsächlich das lineare Gleichungssystem(10.1)(siehe später) dar.

Für die Multiplikation von Matrizen gelten die folgendenRechenregeln: Für beliebige m ◊ n-Matrizen A, A1, A2, n ◊ r -MatrizenB, B1, B2 und r ◊ s-Matrix C gilt:

1. (A1 + A2)B = A1B + A2B, A(B1 + B2) = AB1 + AB2, (Distributivgesetze),2. –(AB) = (– A)B = A(– B), – œ R,3. A(BC) = (AB)C, (Assoziativität der Matrizenmultiplikation),

248

10.1. Matrizen

4. EmA = AEn = A, Einheitsmatrizen En, Em

5. Aber im Allgemeinen ist AB ”= BA.

Beispiel 10.7Es sei

A =

31 20 1

4und B =

31 02 3

4

dann gilt

AB =

31 20 1

4·3

1 02 3

4=

35 62 3

4”=

31 22 7

4=

31 02 3

4·3

1 20 1

4=BA.

Spezielle Matrizen

Wir benötigen noch weitere spezielle Matrizen, wir kennen bereits die NullmatrixO, deren Elemente alle Null sind und die Einheitsmatrix En. Die quadratischeMatrix Q

ccca

1 0 ... 00 1 ... 0...

. . .. . . 0

0 ... 0 1

R

dddb

auf deren Hauptdiagonale Einsen stehen und alle anderen Elemente Null sindheißt Einheitsmatrix oder n ◊ n-Einheitsmatrix wenn der Typ von Bedeutung istund wird mit E bzw. En bezeichnet.

Es sei A eine quadratische Matrix vom Typ n ◊ n :

A =

Q

ccca

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

......

...an1 an2 ... ann

R

dddb,

249

10.1. Matrizen

dann heißt die Menge der Elemente {aii}ni=1 Hauptdiagonale von A und die

Menge der Elemente {aj(n+1≠j)}nj=1 Nebendiagonale von A.

Die Matrix A ist eine obere Dreiecksmatrix, wenn von Null verschiedeneElemente nur auf bzw. über der Hauptdiagonale stehen, d.h. aij = 0 für i > j .Dagegen ist A eine untere Dreiecksmatix, wenn von Null verschiedene Elementenur auf bzw. unterhalb der Hauptdiagonale stehen, d.h. aij = 0 für i < j .Man kann noch stärker unterteilen, indem man nicht nur von unterer/obererDreiecksmatrix sondern von rechter/linker unterer/oberer Dreiecksmatrix spricht.Eine Matrix, wo nur auf der Hauptdiagonale von Null verschiedene Elementestehen, heißt Diagonalmatrix.Graphisch kann man das wie folgt veranschaulichen:

Neb

endi

agon

ale

Oberes Dreieck

Unteres Dreieck

Hauptdiagonale

Hauptdiagonale

Hauptdiagonale

Hauptdiagonale

Obere Dreiecksmatrix Untere Dreiecksmatrix Diagonalmatrix

Auch bei einer „rechteckigen“ Matrix A vom Typ m ◊ n wollen wir gelegentlichvon einer oberen Dreiecksmatrix sprechen, d.h., dass alle Elemente aij = 0 füri > j sind.

250

10.2. Lineare Gleichungssysteme

10.2 Lineare Gleichungssysteme

Definition 10.8Ein lineares Gleichungssystem mit m linearen Gleichungen und nunbekannten x1, x2, ... xn hat die Form

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1,a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2,

... ... ... ... ...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm,

(10.1)

mit den Koeffizienten aij œ R und den Absolutgliedern bi œ R.

Hierfür schreibt manAx = b

mit der Koeffizientenmatrix A = (aij )m◊n, dem unbekannten Spaltenvektor xund dem Spaltenvektor der rechten Seite b. Das lineare Gleichungssystem heißthomogen, wenn b = O gilt, andernfalls heißt es inhomogen.

Definition 10.9Ein Spaltenvektor c =

Q

ccca

c1

c2

...cn

R

dddbheißt Lösung des Gleichungssystems

(10.1) bzw. vonAx = b,

wenn für xi = ci , i = 1, ... , n, die m Gleichungen in (10.1) bzw. (wasdasselbe ist) Ac = b gilt.

251


Häufig wird eine Lösung in der Form x1 = c1, x2 = c2, ... , xn = cn angegeben.Handelt es sich um ein Gleichungssystem mit nur 2 oder 3 Unbekannten soschreibt man statt x1, x2, x3 auch oft x , y , z. Ein homogenesGleichungssystem

Ax = O

besitzt stets mindestens eine Lösung, nämlich die triviale Lösung bzw.Nulllösung x1 = x2 = ... = xn = 0.

Nicht jedes Gleichungssystem ist lösbar. Im Allgemeinen treten folgende Fälleauf:

1. Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung.

≠2x + y = 3,≠4x + 2y = 2.

Dies kann man sich dadurch veranschaulichen, dass man die beidenGleichungen als Geradengleichungen interpretiert. Die Lösung desGleichungssystems sind dann der/die Schnittpunkt(e) der Geraden. Imvorliegenden Fall sind die beiden Geraden aber parallel und sie schneidensich folglich nicht. Somit ist das Gleichungssystem nicht lösbar.

2. Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung.

x + 3y = 9,≠2x + y = ≠4.

Dies kann man sich dadurch veranschaulichen, dass man die beidenGleichungen als Geradengleichungen interpretiert. Die Lösung desGleichungssystems sind dann der/die Schnittpunkt(e) der Geraden. Imvorliegenden Fall schneiden sich die Geraden in genau einem Punkt.Somit hat das Gleichungssystem die Lösung x = 3 und y = 2.

3. Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

4x ≠ 2y = 6,≠2x + y = ≠3.

Dies kann man sich dadurch veranschaulichen, dass man die beiden

252


Gleichungen als Geradengleichungen interpretiert. Die Lösung desGleichungssystems sind dann der/die Schnittpunkt(e) der Geraden. Imvorliegenden Fall sind die beiden Geraden aber identisch und damit istjeder Punkt der Geraden Lösung. Somit besitzt das Gleichungssystemunendlich viele Lösungen .

Eine weitere Frage ist, ob es „günstige“ Darstellungen von Gleichungssystemengibt. Wie man leicht nachrechnet hat das Gleichungssystem

x + 3y = 9,≠2x + y = ≠4.

die gleiche Lösungsmenge wie das Gleichungssystem

x + 3y = 9,y = 2.

Dies führt auf den Begriff der Äquivalenz von linearen Gleichungssystemen:

Definition 10.10Zwei Gleichungssysteme

Ax = b, und Bx = c

heißen äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge besitzen.

Die Umformungen werden übersichtlicher, wenn sie an der sogenanntenerweiterten Koeffizientenmatrix

(A | b) :=

Q

ccca

a11 a12 ... a1n b1

a21 a22 ... a2n b2

......

......

am1 am2 ... amn bn

R

dddb

253

10.3. Gauß-Algorithmus

ausgeführt werden. Man erweitert die Koeffizientenmatrix A um dieAbsolutglieder (rechte Seite) und trennt sie durch einen senkrechten Strich vonder Koeffizientenmatrix. Die obigen Gleichungsumformungen entsprechen dannden elementaren Zeilenumformungen der erweiterten Koeffizientenmatrix(A | b) :

1. Vertauschen zweier Zeilen,2. Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl – ”= 0,3. Addition (bzw. Subtraktion) des Vielfachen einer Zeile zu (bzw. von) einer

anderen.

Folglich gilt:

Satz 10.11Entsteht (B | c) durch endlich viele elementare Zeilenumformungen,dann sind Ax = b und Bx = c äquivalent.

10.3 Gauß-Algorithmus

Ziel des nach C. F. Gauß benannten Gaußschen Algorithmus ist es, dieerweiterte Koeffizientenmatrix durch äquivalente Umformungen in eine obereDreiecksmatrix zu überführen. Es ist am einfachsten, den Algorithmus amBeispiel zu erläutern. Dazu betrachten wir das Gleichungssystem

x1 + x2 + x3 = 2,2x1 + 3x2 + x3 = 3x1 ≠ x2 ≠ 2x3 = ≠6.

Man hat 3 Möglichkeiten ein solches System in „Schemaform“ zu lösen:

254


1. Gleichungsform

x1 + x2 + x3 = 2

2x1 + 3x2 + x3 = 3

x1 ≠ x2 ≠ 2x3 = ≠6

Wir vereinfachen unser Gleichungssystem dadurch, dass wir durch äquivalenteUmformungen x1 aus der 2. und 3. Gleichung bzw. Zeile eliminieren.Wir behalten die 1. Gleichung/Zeile bei und erzeugen neue 2. bzw. 3.Gleichungen/Zeilen.Die neue 2. Gleichung/Zeile entsteht durch Multiplikation der 1. Gleichung/Zeilemit (≠2) und Addition des Ergebnisses zur 2. Gleichung/Zeile ((≠2)ersterGleichung/Zeile + zweite Gleichung/Zeile = neue zweite Gleichung/Zeile).Analog verfahren wir mit der 3. Gleichung/Zeile indem wir die ersteGleichung/Zeile mit (≠1) durchmultiplizieren und das Ergebnis zur 3.Gleichung/Zeile addieren:

x1 + x2 + x3= 2

x2 ≠ x3= ≠1

≠2x2 ≠ 3x3= ≠8

Wir vereinfachen unser Gleichungssystem weiter indem durch äquivalenteUmformungen x2 aus der 3. Gleichung/Zeile eliminiert wird.Wir behalten die 1. Gleichung/Zeile und die 2. Gleichung/Zeile bei und erzeugeneine neue 3. Gleichung/Zeile indem das 2-fache der 2. Gleichung/Zeile zur 3.Gleichung/Zeile addieren:

x1 + x2 + x3= 2

x2 ≠ x3= ≠1

≠5x3= ≠10

Damit haben wir unser Gleichungssystem auf „Dreiecksgestalt“ gebracht undkönnen daraus ablesen, dass x3 = 2 ist. 2. In Tabellenform sieht das wie folgt

255


ausx1 x2 x3

|1| 1 1 2 | · (≠2) | · (≠1)2 3 1 3 | · 11 ≠1 ≠2 ≠6 | · 11 1 1 20 |1| ≠1 ≠1 | · 20 ≠2 ≠3 ≠8 | · 11 1 1 20 1 ≠1 ≠10 0 ≠5 ≠10

Man kann diese Tabelle noch weiter verkürzen:

x1 x2 x3

|1| 1 1 22 3 1 31 ≠1 ≠2 ≠60 |1| ≠1 ≠10 ≠2 ≠3 ≠80 0 ≠5 ≠10

Die 3. Variante ist die Matrizenform:Q

a|1| 1 1 22 3 1 31 ≠1 ≠2 ≠6

R

b≥

(≠2) · z1 + z2

(≠1) · z1 + z3

Q

a1 1 1 20 |1| ≠1 ≠10 ≠2 ≠3 ≠8

R

b

≥2 · z2 + z3

Q

a1 1 1 20 1 ≠1 ≠10 0 ≠5 ≠10

R

b

Das Ergebnis kann weiter vereinfacht werden indem die 3. Gleichung/Zeile mit≠ 1

5 durchmultipliziert wird.

256


Gauß-Algorithmus-Abfolge

1. Schritt:Man bringt durch eventuelle Zeilen-vertauschung eine Zahl ”= 0 (vor-zugsweise eine Eins) ⌅ an die ersteStelle der ersten Spalte

x1 x2 x3 x4 ... xn≠1 xn

⌅ ú ú ú ... ú ú úú ú ú ú ... ú ú úú ú ú ú ... ú ú ú...

......

......

......

ú ú ú ú ... ú ú ú

2. Schritt:Man annuliert die darunter stehen-den Zahlen durch Addition (Subtrak-tion) eines geeigneten Vielfachender ersten Zeile von den nachfol-genden Zeilen und schreibt die ent-stehenden Zeilen mit der führendenNull darunter.

x1 x2 x3 x4 ... xn≠1 xn


......

......

......

ú ú ú ú ... ú ú ú0 ú ú ú ... ú ú ú0 ú ú ú ... ú ú ú

0...

......

......

...0 ú ú ú ... ú ú ú

257


3. Schritt:Man führe den Algorithmus im umeine Zeile und Spalte (führende Nul-len) reduzierten System wiederumaus indem man wieder an die ers-te Stelle (erste Zeile, 2. Spalte, danach der führenden Null) eine Zahl”= 0 und annuliere die darunter ste-henden Zahlen

x1 x2 x3 x4 ... xn≠1 xn


......

......

......

ú ú ú ú ... ú ú ú0 ⌅ ú ú ... ú ú ú0 ú ú ú ... ú ú ú

0...

......

......

...0 ú ú ú ... ú ú ú0 0 ú ú ... ú ú ú

0 0...

......

......

0 0 ú ú ... ú ú ú

Man führt den Algorithmus solangeaus bis es keine Zeilen mehr zu mo-difizieren gibt. Alle Zeilen, die ers-te Zeilen waren (mit ⌅ beginnen)ergeben nun ein zum Ausgangs-gleichungssystem äquivalentes Glei-chungssystem, dass aber in Zeilen-stufenform ist.Es kann Zeilen geben, die nur ausNullen mit Ausnahme der rechtenSeite bestehen.

x1 x2 x3 x4 ... xn≠1 xn

⌅ ú ú ú ... ú ú ú0 ⌅ ú ú ... ú ú ú0 0 0 ⌅ ... ú ú ú

0 0 0 0...

...0 0 0 0 ... ⌅ ú ú0 0 0 0 ... 0 0 ú

258


Bemerkung 10.12Kennzeichen der Zeilenstufenform

• In jeder stehen links vor ⌅ nur Nullen.

• Liest man von oben nach unten, so rückt ⌅ um mindestens eineStelle nach rechts.

Wenn man den Gauß-Algorithmus abgearbeitet hat, kann man nun das Ergebnisdurch Rückwärtseinsetzen ausrechnen. Dies ergibt denGauß-Jordan-Algorithmus. Im Beispiel und in Tabellenform sieht das wie folgtaus:

x1 x2 x3

1 1 1 20 1 ≠1 ≠10 0 ≠5 ≠10 | ÷ (≠5)1 1 1 2 | · 10 1 ≠1 ≠1 | · 10 0 |1| 2 | · 1 ·(≠1)1 1 0 0 | · 10 |1| 0 1 | · (≠1)0 0 1 21 0 0 ≠10 1 0 10 0 1 2

259


und in MatrixformQ

a1 1 1 20 1 ≠1 ≠10 0 |1| 2

R

b≥

1 · z3 + z2

(≠1) · z3 + z1

Q

a1 1 0 00 |1| 0 10 0 1 2

R

b

≥(≠1) · z2 + z1

Q

a1 0 0 ≠10 1 0 10 0 1 2

R

b

Im nächsten Beispiel beantworten wir die Frage wie man am GaußschenAlgorithmus sieht, dass das Gleichungssystem unlösbar ist.

Beispiel 10.13Wir betrachten des Gleichungssystem

x1 ≠ x2 + 2x3 = 32x1 ≠ 2x2 + 5x3 = 4x1 + 2x2 ≠ x3 = ≠3

2x2 + 2x3 = 1

Wir formen zunächst äquivalent gemäß dem Gaußschen Algorithmus um: Imersten Schritt behalten wir die erste Zeile bei:

Q

cca

•1 ≠1 2 32 ≠2 5 41 2 ≠1 ≠30 2 2 1

R

ddb¥

z2 + (≠2)z1

z3 + (≠1)z1

Q

cca

1 ≠1 2 30 0 1 ≠20 3 ≠3 ≠60 2 2 1

R

ddb

Jetzt vertauschen wir die 2. und die 3. Zeile und dividieren anschließend die(neue) 2. Zeile durch 3 und behalten nun diese Zeile bei:

¥z2 ¡ z3

Q

cca

1 ≠1 2 30 3 ≠3 ≠60 0 1 ≠20 2 2 1

R

ddb¥

13 z2

Q

cca

1 ≠1 2 30 •1 ≠1 ≠20 0 1 ≠20 2 2 1

R

ddb

260


Im nächsten Schritt addieren wir (≠2)-fache der 2. Zeile zur 4. Zeile undbehalten die 3. Zeile bei:

¥(≠2)z2 + z4

Q

cca

1 ≠1 2 30 1 ≠1 ≠20 0 •1 ≠20 0 4 5

R

ddb¥

(≠4)z3 + z4

Q

cca

1 ≠1 2 30 1 ≠1 ≠20 0 1 ≠20 0 0 13

R

ddb

Jetzt sieht man an der letzten Zeile, dass das Gleichungssystem nicht lösbarist. Denn die letzte Zeile ausgeschrieben bedeutet nichts anderes als

0x1 + 0x2 + 0x3 = 13

was nie erfüllt werden kann.

Als nächstes betrachten wir das folgende homogene Gleichungssystem

Beispiel 10.14

x1 + 2x2 ≠ 5x3 = 0≠2x1 ≠ 3x2 + 6x3 = 0

Hier sind die äquivalenten Umformungen zunächst sehr einfach, wir behalten die1. Gleichung bei und addieren das 2-fache der ersten Gleichung zur 2.Gleichung, d.h.

3•1 2 ≠5 0≠2 ≠3 6 0

4¥

(≠2)z1 + z2

31 2 ≠5 00 1 ≠4 0

4

Wir führen zusätzlich einen Schritt der Rückwärtselimination aus:

¥z1 + (≠2)z2

31 0 3 00 1 ≠4 0

4

Offensichtlich können wir nicht mehr eliminieren und offensichtlich gibt esmindestens eine Lösung, nämlich die triviale Lösung. Um uns einen Überblicküber die Lösungsmenge zu verschaffen, schreiben wir die letzte Matrix wieder

261


als Gleichungssystem auf:

x1 + 3x3 = 0x2 ≠ 4x3 = 0

oder andres ausgedrückt, sowohl x1 als auch x2 können in Abhängigkeit von x3

dargestellt werden:x1 = ≠3x3

x2 = 4x3.

Setzt man nun x3 = r œ R, so sieht man, dass das Gleichungssystemunendlich viele Lösungen besitzt:

x1 = ≠3r , x2 = 4r , x3 = r , r œ R.

Oder anders geschrieben:

x =

Q

a≠341

R

b r , r œ R.

Durch „Rückwärtssubstitution„ bzw. Rückwärtselimination erhält man aus derZeilenstufenform die Gauß-Jordan-Normalform.

Bemerkung 10.15Allgemein gilt: Die erweiterte Koeffizientenmatrix (A|b) wird mittelsGauß-Algorithmus in (M|d) äquivalent umgeformt, mit M in

262


Zeilenstufenform:

(M|d) =

Q

cccccccccccccca

1 ú ú ú ú ú ... ú ... ú d1

0 1 ú ú ú ú ... ú ... ú d2

0 0 0 1 ú ú ... ú ... ú d3

0 0 0 0 0 0 ... ú ... ú d4

......

......

...... ...

... ......

...0 0 0 0 0 0 ... 1 ... ú dr

0 0 0 0 0 0 ... 0 ... 0 dr+1

......

......

......

......

...0 0 0 0 0 0 ... 0 ... 0 dm

R

ddddddddddddddb

(10.2)

Satz 10.16Sei A eine m ◊ n Matrix und b ein Spaltenvektor der Länge m. Dann gilt:

1. Lösbarkeitsentscheidung: Ist eine der Zahlen dr+1, ... , dm vonNull verschieden, so ist Mx = d nicht lösbar, und damit ist auchdas Ausgangsgleichungssystem Ax = b nicht lösbar.

2. Anzahl der freien Variablen: Ist Ax = b lösbar, dann enthält dieallgemeine Lösung n ≠ r freie Variable, dabei ist n die Anzahl derUnbekannten.

3. Lösungsstruktur: Ist das System Ax = b lösbar, dann lässt sichdie allgemeine Lösung in der Form

v = v0 + u,

263

10.4. Gauß-Jordan-Algorithmus

darstellen. Dabei ist v0 eine spezielle Lösung des inhomogenenGleichungssystems und u die allgemeine Lösung deszugeordneten homogenen Gleichungssystems.

Beweis: (1) und (2) liest man aus (10.2) ab. (3): Mit Au = 0 und Av0 = b giltA(v0 + u = b, andererseits folgt aus Av = b und Av0 = b, dass die Differenzu := v ≠ v0 das homogene Gleichungssystem Ax = 0 löst. #

10.4 Gauß-Jordan-Algorithmus

Definition 10.17Eine Matrix ist in Gauss-Jordan-Normalform, wenn

1. Jede Zeile, die nur aus Nullen besteht, am unteren Ende derMatrix steht.

2. Das erste, von Null verschiedene Element einer Zeile, eine 1 ist.Dieses Element sei „führende Eins“ genannt.

3. Die führende Eins einer jeden Zeile nach der ersten Zeile befindetsich rechts von der führenden Eins der vorherigen Zeile.

4. Alle anderen Elemente einer Spalte, die eine führende Einsenthält, sind Null.

Es ist recht umständlich den Gauss-Algorithmus zu verwenden, um eineGauss-Jordan-Normalform zu erhalten, da zunächst die Eliminationsschritteausgeführt werden und dann die Rückwärtselimination erfolgt. Man kann diese

264

10.4. Gauß-Jordan-Algorithmus

beiden Teile auch zu einem Algorithmus – den wir Gauss-Jordan-Algorithmusnennen wollen – vereinen.

Beispiel 10.18Anwendung des Gauss-Jordan-Algorithmus:

Wir betrachten das Gleichungssystem

2x3 ≠ 2x4 = 23x1 + 3x2 ≠ 3x3 + 9x4 = 124x1 + 4x2 ≠ 2x3 + 11x4 = 12

bzw. in Matrixform Q

a0 0 2 ≠2 23 3 ≠3 9 124 4 ≠2 11 12

R

b

1. Schritt: Man bringe, wenn nötig, durch Zeilenvertauschen ein von Nullverschiedenes Element an die Spitze der ersten Spalte.

¥z1 ¡ z2

Q

a•3 3 ≠3 9 120 0 2 ≠2 24 4 ≠2 11 12

R

b

2. Schritt: Wenn das von Null verschiedene Element ungleich 1 ist, somultipliziere man die Zeile in der mit der reziproken Zahl durch, um eineführende Eins zu erhalten:

¥!13

"z1

Q

a1 1 ≠1 3 40 0 2 ≠2 24 4 ≠2 11 12

R

b

3. Schritt: Man erzeuge in der Spalte in der sich das Pivotelement befindet überund unter diesem Nullen indem man geeignete Vielfache der Zeile, die die

265

10.5. Invertierbare Matrizen

führende Eins enthält, zu allen anderen Zeilen addiert.

¥(≠4)z1 + z3

Q

a1 1 ≠1 3 40 0 2 ≠2 20 0 2 ≠1 4

R

b

4. Schritt: Man behalte die Zeile, die die führende Eins enthält und alle Zeilendarüber bei und wende den 1. und den 2. Schritt auf die Restmatrix an. Dannwende man den 3. Schritt auf die gesamte Matrix an.

Man wiederhole den 4. Schritt bis die Gauss-Jordan-Normalform entstanden ist.

¥(≠4)z1 + z3

Q

a1 1 ≠1 3 40 0 •2 ≠2 20 0 2 ≠1 4

R

b ¥!12

"z2

Q

a1 1 ≠1 3 40 0 1 ≠1 10 0 2 ≠1 4

R

b

¥(≠2)z2 + z3

z2 + z1

Q

a1 1 0 2 50 0 1 ≠1 10 0 0 •1 2

R

b¥

z3 + z2

(≠2)z3 + z1

Q

a1 1 0 0 10 0 1 0 30 0 0 1 2

R

b

Die Lösung des Gleichungssystems ist damit

x4 = 2, x3 = 3, x2 = t , x1 = 1≠t , bzw.

Q

cca

x1

x2

x3

x4

R

ddb =

Q

cca

1032

R

ddb+t

Q

cca

≠1100

R

ddb , t œ R.

10.5 Invertierbare Matrizen

In diesem Abschnitt betrachten wir quadratische n ◊ n Matrizen. Mit E

bezeichnen wir stets die Einheitsmatrix E = (eij )n◊n mit eij =

;1, wenn i = j ,0, wenn i ”= j .

.

266


Definition 10.19Eine n ◊ n- Matrix A heißt invertierbar, wenn es eine n ◊ n-Matrix Bgibt, so dass gilt

AB = BA = E .

In diesem Fall ist die Matrix B eindeutig bestimmt, sie wird mit A≠1

bezeichnet (d.h. B := A≠1), und heißt inverse Matrix oder die Inversevon A.

Die inverse Matrix ist eindeutig bestimmt, denn es gilt:

Satz 10.20Wenn es zur n ◊ n-Matrix A zwei n ◊ n-Matrizen B, C gibt mitBA = AC = E , dann ist A invertierbar und B = C = A≠1.

Beweis: Es ist B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C. Also gilt AB = AC = E undBA = CA = E und es gibt zu A keine andere Matrix mit dieser Eigenschaft; d.h.es ist B = A≠1. #

Beispiel 10.21Die Einheitsmatrix E = EE ist invertierbar mit E≠1 = E .

Für

A =

3a bc d

4a, b, c, d œ R, mit ad ≠ bc ”= 0

ist

A≠1 =1

ad ≠ bc

3d ≠b

≠c a

4.

267


Mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus kann man nun einen Algorithmus zurBerechnung inverser Matrizen angeben. Es sei die n ◊ n-Matrix in Zeilenformgegeben:

A =

Q

ccca

a1

a2

...an

R

dddb

und wir suchen die inverse Matrix B = A≠1 in Spaltenform

B =!

b1 b2 ... bn

".

Außerdem stellen wir die Einheitsmatrix E ebenfalls in Spaltenform dar:

B =!

e1 e2 ... en

".

Dann ist

AB = E ≈∆ Abk =

Q

ccca

a1

a2

...an

R

dddbbk = ek , k = 1, 2, ... , n,

d.h. die Spalten von A≠1 sind die Lösungen des GleichungssystemsAx = ek , k = 1, 2, ... , n. Zur Vereinfachung des Algorithmus kann man stattnur einen Vektor anzufügen und den Gauß-Jordan-Algorithmus abzuarbeiten,sofort alle Spaltenvektoren der Einheitsmatrix anfügen, also die gesamteEinheitsmatrix anfügen. Das ergibt folgenden Algorithmus:

268


Satz 10.22 (Algorithmus zur Bestimmung der inversen Matrix)Es sei A eine n ◊ n-Matrix.

1. Man füge die n ◊ n Einheitsmatrix an die Matrix A an, d.h. manbilde die Matrix (A|E).

2. Man erzeuge durch äquivalente Zeilenumformungen gemäß demGauß-Jordan-Algorithmus die Gauß-Jordan-Normalform derMatrix (A|E).Ist die erzeugte Gauß-Jordan-Normalform von der Gestalt (E |B),so ist B die zu A inverse Matrix.Ist es nicht möglich die Gestalt (E |B) zu erhalten, dann ist A nichtinvertierbar.

Beispiel 10.23Man untersuche, ob die Matrix

A =

Q

a1 ≠1 ≠22 ≠3 ≠5

≠1 3 5

R

b

invertierbar ist. Wir beginnen damit die Einheitsmatrix anzufügen und den

269


Gauß-Jordan-Algorithmus abzuarbeiten:

[A|E ] =

Q

a•1 ≠1 ≠2 1 0 02 ≠3 ≠5 0 1 0

≠1 3 5 0 0 1

R

b

¥z2 + (≠2)z1

z3 + z1

Q

a1 ≠1 ≠2 1 0 00 •≠1 ≠1 ≠2 1 00 2 3 1 0 1

R

b

¥(≠1)z2

Q

a1 ≠1 ≠2 1 0 00 1 1 2 ≠1 00 2 3 1 0 1

R

b

¥z1 + z2

z3 + (≠2)z2

Q

a1 0 ≠1 3 ≠1 00 1 1 2 ≠1 00 0 •1 ≠3 2 1

R

b

¥z1 + z3

z2 + (≠1)z3

Q

a1 0 0 0 1 10 1 0 5 ≠3 ≠10 0 1 ≠3 2 1

R

b

Mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus kann auf der rechten Seite eineEinheitsmatrix erzeugt werden und damit existiert A≠1 und ist gleich

A≠1 =

Q

a0 1 15 ≠3 ≠1

≠3 2 1

R

b .

Beispiel 10.24Man überprüfe, ob die Matrix

A =

Q

a1 1 51 2 72 ≠1 4

R

b

invertierbar ist und gebe gegebenenfalls die inverse Matrix an. Wir beginnen

270


wiederum mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus:

(A|E) =

Q

a•1 1 5 1 0 01 2 7 0 1 02 ≠1 4 0 0 1

R

b¥

z2 + (≠1)z1

z3 + (≠2)z1

Q

a1 1 5 1 0 00 •1 2 ≠1 1 00 ≠3 ≠6 ≠2 0 1

R

b

¥z1 + (≠1)z2

z3 + 3z2

Q

a1 0 3 2 ≠1 00 1 2 ≠1 1 00 0 0 ≠5 3 1

R

b

In der letzten Zeile ist es unmöglich an der 3. Stelle eine „1“ zu erzeugen,deshalb bricht der Algorithmus hier ab und die Matrix A ist nicht invertierbar.

Satz 10.25Es sei

Ax = b

ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten.Wenn die zu A inverse Matrix A≠1 existiert, ist die Lösung desGleichungssystems eindeutig bestimmt durch

x = A≠1b.

Beweis: Wir beweisen zunächst, dass x = A≠1b eine Lösung ist:

Ax = A(A≠1b) = (AA≠1)b = Eb = b.

Folglich erfüllt x = A≠1b das Gleichungssystem und ist damit eine Lösung.Wir zeigen nun die Eindeutigkeit: Es sei y eine Lösung des Gleichungssystems,d.h.

271


Ay = b,A≠1(Ay ) = Ab, beide Seiten der Gleichung wurden mit der exis-

tierenden inversen Matrix A≠1 multipliziert.(A≠1A)y = A≠1b, die Matrizenmultiplikation ist transitiv

Ey = A≠1b, A≠1A = Ey = A≠1b.

Folglich gibt es nur diese eine Lösung.

Transponierte Matrix

Definition 10.26Jeder m ◊ n Matrix A = (aij )m◊n zugeordnet ist die transponierteMatrix AT := (aji )n◊m, deren i-te Zeile aus den Koeffizienten der i-tenSpalte von A besteht.

Aus den Spalten von A werden die Zeilen von AT und gleichzeitig werden dabeiaus den Zeilen von A die Spalten von AT .

Beispiel 10.27Sei A die folgende 4 ◊ 3-Matrix

A =

Q

cca

1 – 02 4 —

– x 20 — x

R

ddb , dann ist AT =

Q

a1 2 – 0– 4 x —

0 — 2 x

R

b

eine 3 ◊ 4-Matrix.

272


Satz 10.28 (Rechenregeln)1. (A + B)T = AT + BT für Matrizen m ◊ n-Matrizen A und B,

2. (–A)T = – AT für alle Matrizen A und – œ R,

3. (AT )T = A für alle Matrizen A,

4. (AB)T = BT AT , für alle m ◊ n-Matrizen A und n ◊ r -Matrizen B.

Beweis: (1) bis (3) ergibt sich sofort. Um (4) zu beweisen, beachte man, dass

zs =!

–1 –2 ... –n

"

Q

ccca

—1

—2

...—n

R

dddb=

nÿ

k=1

–k —k

=!

—1 —2 ... —n

"

Q

ccca

–1

–2

...–n

R

dddb= sT zT .

Definition 10.29Eine n ◊ n Matrix A heißt symmetrisch, wenn A = AT gilt, sie heißtschiefsymmetrisch, wenn A = ≠AT gilt.

Bemerkung 10.30Jede symmetrische Matrix A = AT = (aij )n◊n ist wegen aij = aji symmetrisch zurHauptdiagonalen der Matrix A.Für jede n ◊ n Matrix A, sind die Matrizen A + AT und AAT symmetrisch.Dagegen ist die Matrix A ≠ AT schiefsymmetrisch.

273


Satz 10.31 (Rechenregeln für das Invertieren quadratischer Matrizen)1. Die Inverse einer invertierbaren n ◊ n-Matrix A ist invertierbar;

!A≠1"≠1

= A.

2. Das Produkt AB zweier invertierbarer n ◊ n-Matrizen ist invertierbar;

(AB)≠1 = B≠1A≠1.

3. Die transponierte AT einer n ◊ n-Matrix ist genau dann invertierbar,wenn A invertierbar ist. In diesem Fall ist

!AT

"≠1=

!A≠1"T

.

Beweis zu (1): Die Definition der inversen Matrix besagt, dass es zur Matrix Aeine Matrix B mit

AB = BA = E

gibt und diese eindeutig bestimmt ist, d.h. B = A≠1 bzw.

AA≠1 = A≠1A = E . (10.3)

Lesen wir diese Gleichung nun bezogen auf A≠1, so steht da, dass es eineMatrix gibt, die von rechts und von links mit A≠1 multipliziert gerade dieEinheitsmatrix ergibt, also ist diese Matrix gerade die inverse Matrix zu A≠1 unddie Gleichung (10.3) besagt gerade, dass (A≠1)≠1 = A ist.

zu (2): Wie man leicht sieht gilt:

(B≠1A≠1)AB = B≠1(A≠1A)B = B≠1EB = B≠1B = E

und auch

AB(B≠1A≠1) = A(BB≠1)A≠1 = AEA≠1 = AA≠1 = E .

274


Nach der Definition der inversen Matrix ist damit (AB)≠1 = B≠1A≠1.

zu (3): Wir haben nachzuweisen, dass falls A invertierbar ist, dann ist auch AT

invertierbar und umgekehrt. Außerdem haben wir zu zeigen, dass dann(A≠1)T = (AT )≠1 gilt. Wir nehmen daehalb zunächst an, dass A invertierbar istund die inverse Matrix ist A≠1, d.h.

AA≠1 = A≠1A = E | transponieren

≈∆ (AA≠1)T = (A≠1A)T = ET

≈∆ (A≠1)T AT = AT (A≠1)T = E

d.h. auch AT ist invertierbar und (AT )≠1 = (A≠1)T .

Nehmen wir nun an, dass AT invertierbar ist, d.h.

AT (AT )≠1 = (AT )≠1AT = E | transponieren

≈∆!AT (AT )≠1"T

=!(AT )≠1AT

"T= ET

≈∆!(AT )≠1"T

A = A!(AT )≠1"T

= E .

Folglich ist A invertierbar und es gilt A≠1 =!(AT )≠1

"T ≈∆ (A≠1)T = (AT )≠1. #

Beispiel 10.32Man berechne, so möglich, die inverse Matrix zu

A =

34 13 1

4.

34 1 1 03 1 0 1

4¥

31 1

414 0

3 1 0 1

4¥

31 1

414 0

0 14 ≠ 3

4 1

4

¥3

1 14

14 0

0 1 ≠3 4

4¥

31 0 1 ≠10 1 ≠3 4

4

275


und wir erhalten

A≠1 =

31 ≠1

≠3 4

4.

Man berechne nun (AT )≠1. Wegen

(AT )≠1 = (A≠1)T

ergibt sich

(AT )≠1 =

31 ≠3

≠1 4

4.

Definition 10.33Eine Matrix A heißt orthogonal, wenn gilt

AT A = E .

Das bedeutet insbesondere, dass die inverse Matrix einer orthogonalen Matrixgerade die transponierte Matrix ist.

Beispiel 10.34Die Matrix

A =12

Q

cca

1 1 1 ≠1≠1 1 1 1≠1 ≠1 1 ≠11 ≠1 1 1

R

ddb

ist eine orthogonale Matrix, da

AT A =14

Q

cca

1 ≠1 ≠1 11 1 ≠1 ≠11 1 1 1

≠1 1 ≠1 1

R

ddb

Q

cca

1 1 1 ≠1≠1 1 1 1≠1 ≠1 1 ≠11 ≠1 1 1

R

ddb =

Q

cca

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

R

ddb = E .

276


Foglich ist

A≠1 = AT =

Q

cca

1 ≠1 ≠1 11 1 ≠1 ≠11 1 1 1

≠1 1 ≠1 1

R

ddb .

Beispiel 10.35Man löse das Gleichungssystem

x1 + 2x2 ≠ x3 = b1

x1 + x2 ≠ 2x3 = b2

x1 ≠ x2 ≠ x3 = b3

für Q

ab1

b2

b3

R

b =

Q

a123

R

b ,

Q

a014

R

b ,

Q

a52

≠3

R

b .

Dazu ist es nicht erforderlich, dass das Gleichungssystem dreimal gelöst wird.Man kann alle 3 rechten Seiten auf einmal einsetzen. Man schreibt zunächst wieüblich die Koeffizientenmatrix hin und fügt dann alle 3 rechten Seiten an:

Q

a1 2 ≠1 1 0 51 1 ≠2 2 1 21 ≠1 ≠1 3 4 ≠3

R

b ¥

Q

a1 2 ≠1 1 0 50 ≠1 ≠1 1 1 ≠30 ≠3 0 2 4 ≠8

R

b

¥

Q

a1 2 ≠1 1 0 50 1 1 ≠1 ≠1 30 ≠3 0 2 4 ≠8

R

b ¥

Q

a1 0 ≠3 3 2 ≠10 1 1 ≠1 ≠1 30 0 3 ≠1 1 1

R

b

¥

Q

a1 0 0 2 3 00 1 1 ≠1 ≠1 30 0 1 ≠ 1

313

13

R

b ¥

Q

a1 0 0 2 3 00 1 0 ≠ 2

3 ≠ 43

83

0 0 1 ≠ 13

13

13

R

b

Folglich hat das Gleichungssystem für

Q

ab1

b2

b3

R

b =

Q

a123

R

b die Lösung

277

10.6. Anwendungen von linearen Gleichungssystemen

Q

ax1

x2

x3

R

b = 13

Q

a6

≠2≠1

R

b , für

Q

ab1

b2

b3

R

b =

Q

a014

R

b die Lösung

Q

ax1

x2

x3

R

b = 13

Q

a9

≠41

R

b und für

Q

ab1

b2

b3

R

b =

Q

a53

≠2

R

b die Lösung

Q

ax1

x2

x3

R

b = 13

Q

a081

R

b .

Die Ursache hierfür ist, dass die Eigenschaft des Gleichungssystems genaueine/unendlich viele/keine Lösung besitzt nicht von der rechten Seite, sondernnur von der Koeffizientenmatrix abhängt.

10.6 Anwendungen von linearen Gleichungssystemen

Interpolation

Es sei eine Menge von Datenpunkten gegeben:

(x1, y1), (x2, y2), ... , (xn, yn).

Gesucht ist ein Polynom, dessen Graph durch die Datenpunkte verläuft. Manzeigen, dass es ein eindeutig bestimmtes Polynom (höchstens) (n ≠ 1). Gradesgibt, dessen Graph durch alle Datenpunkte verläuft:

y = a0 + a1x + ... an≠2xn≠2 + an≠1xn≠1.

Die unbestimmten Koeffizienten a0, a1, ... , an≠1 werden durch einsetzten derDatenpunkte bestimmt.

Beispiel 10.36Datenpunkte: (1; 6), (2; 3), (3; 2). Zu bestimmen ist ein Polynom 2.Grades

y (x) = a0 + a1x + a2x2.

278


Wir erhalten folgendes Gleichungssystem:

y (1) = 6 = a0 + a1 + a2

y (2) = 3 = a0 + 2a1 + 4a2

y (3) = 2 = a0 + 3a1 + 9a2

Lösung des Gleichungssystems:Q

a•1 1 1 61 2 4 31 3 9 2

R

b¥

z2 ≠ z1

z3 ≠ z1

Q

a1 1 1 60 •1 3 ≠30 2 8 ≠4

R

b

¥(≠2)z2 + z3

z1 ≠ z2

Q

a1 0 ≠2 90 1 3 ≠30 0 •2 2

R

b ¥!12

"z3

Q

a1 0 ≠2 90 1 3 ≠30 0 1 1

R

b¥

2z3 + z1

(≠3)z3 + z2

Q

a1 0 0 110 1 0 ≠60 0 1 1

R

b

Lösung des Gleichungssystems ist a1 = 11, a2 = ≠6, a3 = 1, folglich verläuft dieParabel

y (x) = 11 ≠ 6x + x2

durch alle Datenpunkte.

Kryptographie

Unter der Kryptographie versteht man den Prozess des Ver- undEntschlüsselung von Nachrichten. Das Wort kommt vom griechischen Wortkryptos, was soviel wie „versteckt“ bedeutet. Heutzutage werden komplizierteMethoden angewandt um Nachrichten zu ver- und entschlüsseln. Ein ziemlichschwer zu brechender Kode entsteht bei der Verwendung riesigerKodierungsmatrizen. Der Empfänger entschlüsselt die Nachricht mit Hilfe derDekodierungsmatrix, die die inverse Matrix zur Kodierungsmatrix ist. Wirerläutern das an folgendem einfachen Beispiel.

279


Wir wollen die Nachricht

Mathematik ist leicht

verschlüsseln. Dazu ordnen wir zunächst jedem Buchstaben des Alphabets eineZahl zu, der Einfachheit halber sei das die Position des Buchstaben im Alphabet,also A ist 1, B ist 2, usw. Der Zwischenraum zwischen 2 Worten erhalte die Zahl27.

M A T H E M A T I K I S T L E I C H T13 1 20 8 5 13 1 20 9 11 27 9 19 20 27 21 5 9 3 8 20

Diese Nachricht wird nun mit Hilfe der Kodierungsmatrix

A =

Q

a≠3 ≠3 40 1 14 3 4

R

b

verschlüsselt. Da wir eine 3 ◊ 3-Matrix zur Kodierung verwenden wollen,unterteilen wir die in Zahlen übertrage Nachricht in 3 ◊ 1-Matrizen:Q

a13120

R

b

Q

a8513

R

b

Q

a1209

R

b

Q

a11279

R

b

Q

a192027

R

b

Q

a2159

R

b

Q

a3820

R

b

Wir multiplizieren nun jede der Spaltenmatrizen mit der Kodierungsmatrix, was ineinem Schritt mittels Matrizenmultiplikation in der folgenden Weise gemachtwerden kann:

Q

a≠3 ≠3 40 1 14 3 4

R

b

Q

a13 8 1 11 19 21 31 5 20 27 20 5 820 13 9 9 27 9 20

R

b

=

Q

a38 13 ≠27 ≠78 ≠9 ≠42 4721 18 29 36 47 14 28135 99 100 161 244 135 116

R

b

280


Die Nachricht wird somit als

38, 21, 135, 13, 18, 99, ≠27, 29, 100, ≠78, 36, 161, ≠9, 47, 244, ≠42, 14, 135, 47, 28, 116

übetragen. Um die Nachricht zu dekodieren benötigen wir nun die inverse derKodierungsmatrix. Berechnung der Dekodierungsmatrix:

Q

a≠3 ≠3 4 1 0 00 1 1 0 1 04 3 4 0 0 1

R

b ¥≠ 1

3 z1

Q

a1 1 ≠ 4

3 ≠ 13 0 0

0 1 1 0 1 04 3 4 0 0 1

R

b

¥(≠4)z1 + z3

Q

a1 1 ≠ 4

3 ≠ 13 0 0

0 1 1 0 1 00 ≠1 28

343 0 1

R

b¥

z1 ≠ z2

z3 ≠ z2Q

a1 0 ≠ 7

3 ≠ 13 ≠1 0

0 1 1 0 1 00 0 31

343 1 1

R

b ¥3

31 z3

Q

a1 0 ≠ 7

3 ≠ 13 ≠1 0

0 1 1 0 1 00 0 1 4

31331

331

R

b

¥z1 +

!73

"z3

z2 ≠ z3

Q

a1 0 0 ≠ 1

31 ≠ 2431

731

0 1 0 ≠ 431

2831 ≠ 3

31

0 0 1 431

331

331

R

b

und damit ist die Dekodierungsmatrix

A≠1 =131

Q

a≠1 ≠24 7≠4 28 ≠34 3 3

R

b

Fasst man nun die kodierte Nachricht wieder in 3 ◊ 1-Spaltenvektorenzusammen und wendet darauf die Dekodierungsmatrix an, so ergibt sich derursprüngliche Text der Nachricht.

281

Matrizen und lineare Gleichungssysteme...10.2. Lineare Gleichungssysteme Häuﬁg wird eine Lösung...

Documents

Transcript of Matrizen und lineare Gleichungssysteme...10.2. Lineare Gleichungssysteme Häuﬁg wird eine Lösung...