MATRIZENRECHNUNG

• Matrix:

542

531

A =

−

−

831125872

1053

• Allgemein: A =

mnmmm

n

n

aaaa

aaaaaaaa

321

2232221

1131211

m Zeilen, n Spalten

• aij: heißt Komponente der Matrix (Element der Matrix)

1

• aij ist Komponente der i-ten Zeile, j-ten Spalte • Matrix der Ordnung m,n (m×n-Matrix): A(m,n) oder Am,n

• Matrix der Ordnung 1,n heißt Zeilenvektor: (1, 12, 8, -4)

• Matrix der Ordnung m,1 heißt Spaltenvektor:

172

• Vektoren sind spezielle Matrizen

• Rechenregeln für Matrizen gelten auch für Vektoren

2

RECHENREGELN FÜR MATRIZEN • Transponieren einer Matrix (Vertauschung von Zeilen und Spalten)

A3,2 =

3751023

, AT3,2 =

3527103

,

2,33,2

3751023

)( AA TT =

=

Allgemein: (AT)T = A Notation: AT oder A′

3

Speziell gilt:

a =

765

, aT = ( )765

• Vektoren werden üblicherweise mit Kleinbuchstaben gekennzeichnet

• Im Allgemeinen wird unter „Vektor x“ ein Spaltenvektor verstanden; xT ist der

zugehörige Zeilenvektor. • Es ist jedoch möglich, anders zu definieren: x = (11, 12, 13)

4

ORDNUNGSBEZIEHUNGEN

A =

2221

1211

aaaa

B =

2221

1211

bbbb

A = B ⇔ ai,j = bi,j , ji,∀ bzw. a11 = b11 a12 = b12 a21 = b21

a22 = b22

d.h. alle Komponenten sind gleich

A ≤ B ⇔ ai,j ≤ bi,j ji,∀

5

Beispiele: Zwischen den Matrizen

10001

11 und

99910

100010 besteht keine Ordnungsbeziehung.

Es gilt:

1001

11 ≠

111100

6

ADDITION/SUBTRAKTION VON MATRIZEN

C = A+B =

++++

22222121

12121111

babababa

bzw. ci,j = ai,j + bi,j , ji,∀ Analog: D = A – B ⇔ di,j = ai,j – bi,j , ji,∀ Das heißt: • Matrizen werden komponentenweise addiert (subtrahiert) • Nur Matrizen gleicher Ordnung sind addierbar (subtrahierbar)

7

MULTIPLIKATION VON VEKTOREN

( )321 ∙

654

= 1∙4 + 2∙5 + 3∙6 = 32

( )111 zyx ∙

2

2

2

zyx

= x1x2 + y1y2 + z1z2

Voraussetzung für Multiplikation: Gleiche Anzahl von Spalten (links) und Zeilen (rechts), d.h. aT

3,1 ∙ b 1,3 = c 1,1

8

MULTIPLIKATION EINER MATRIX MIT EINEM VEKTOR

232221

131211

aaaaaa ∙

3

2

1

bbb

=

++++

323222121

313212111

babababababa

A2,3 ∙ b3,1 = c2,1

A hat 3 Spalten, b hat 3 Zeilen Am,x ∙ by,1 ist nur definiert für x = y

9

MULTIPLIKATION VON MATRIZEN Am,x ∙ By,n ist nicht definiert für x ≠ y

Am,x ∙ Bx,n = Cm,n , mit c ik = ∑=

x

jjkijba

1

A = d.h. cik = ai1∙b1k + ai2∙b2k + … + aix∙bxk

b11 … b1k … b1n

b21 … b2k … b2n bx1 … bxk … bxn

a11 … a1x

ai1 … aix

am1 … amx

………cik

B =

10

A = A 2,2 ∙ B 3,2 = C 3,2 Da A eine quadratische Matrix ist, ist auch

T2,2A ∙ B 3,2 = D 3,2 definiert.

Frage: Gilt C = D ?

1 1 2 4 3 -1

2 -1 0 1

-2 -1 5 4 3 -1 = C

B =

11

AT = ⇒ C ≠ D Allgemein gilt: A ∙ B ≠ AT ∙ B

1 1 2 4 3 -1

2 0 -1 1

2 2 4 3 2 -3

= D

B =

12

MULTIPLIKATION EINER MATRIX MIT EINEM SKALAR Beispiel:

5 ∙

987654321

=

45403530252015105

bzw. umgekehrt

1017

1005

202

103

= 101 ∙

172

113

das heißt, gemeinsame Faktoren können „ausgeklammert“ werden

13

BEZIEHUNG ZWISCHEN MATRIXMULTIPLIKATION UND GLEICHUNGSSYSTEMEN • Ein Matrizenprodukt beschreibt ein Gleichungssystem Am,n · xn,1 = bm,1

⇒

nx

xx

2

1

mnmmm

n

n

aaaa

aaaaaaaa

321

2232221

1131211

mb

bb

2

1

14

⇔

nx

xx

2

1

mnmmm

n

n

aaaa

aaaaaaaa

321

2232221

1131211

=+++

=+++=+++

mmnmnmmmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

...

...

...

2211

22222222121

11112121111

⇔ Ax=b

15

Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme

• Einsetzverfahren • Gleichsetzungsverfahren • Additionsverfahren • Gauß-Algorithmus

)2(2846)1(1264

21

21=−=−

xxxx

16

a) Einsetzungsverfahren Aus (1) folgt:

´)1(2)6(:|4126

132

2

12xx

xx+−=

−−=−

(1´) in (2) einsetzen:

6

203

818

283886

28)322(46

1

1

11

11

=

=−

=−+

=+−−

x

x

xx

xx

61 =x in (1´) einsetzen ergibt 2x = 26322 =⋅+−

17

b) Gleichsetzungsverfahren

Aus (1) folgt: ´)1(322 12 xx +−=

Aus (2) folgt:

´)2(12372

bzw.162824

xx

xx

+−=

−=−

(1´) und (2´) gleichsetzen:

)3(237

322 11 xx +−=+−

(3) nach 1x auflösen: 61 =x

61 =x in (1´) ergibt 22 =x

18

c) Additionsverfahren

Ziel: Durch Multiplikation und anschließende Addition der Gleichungen soll eine Unbekannte eliminiert werden.

)'2(56812)'1(361812

)2()2(|2846)1(3|1264

21

21

21

21

−=+−=−

−⋅=−⋅=−

xxxx

xxxx

Durch Addition von Gleichung (1’) und (2’)

)'2()56812()'1(361812

21

21−=+−+

=−xxxx

ergibt sich: -10x2 = – 20 und damit x2 = 2. Einsetzen von x2 = 2 in (1) liefert x1 = 6.

19

Gauß-Algorithmus/Gauß’sche Elimination • Allgemeines lineares Gleichungssystem

mnmnmm

nn

nn

baaa

baaabaaa

xxx

xxxxxx

=+++

=+++=+++

.........

...

...

2211

22222121

11212111

(System 1)

m = Anzahl der Zeilen (Gleichungen) n = Anzahl der Unbekannten

• m > n : Einige Gleichungen überflüssig oder widersprüchlich • m = n : Genau eine Lösung (sofern keine Gleichungen widersprüchlich [keine Lösung] oder überflüssig

[redundante Information, z.B. x + 3 = 5, 2x + 6 = 10]) • m<n : Unendlich viele Lösungen (wichtiger praxisrelevanter Fall im Rahmen der linearen Optimierung)

20

• Lösung des allgemeinen linearen Gleichungssystems

**,2

*2,1

*1,

*2

*,22

*2,21

*1,22

*1

*,12

*2,11

*1,11

00

00000

mnnmmmmmmmm

nnmmmm

nnmmmm

bxaxaxax

bxaxaxaxbxaxaxax

=+++++

=+++++

=++++++

++++

++++

++++

(System 2)

• Das Gleichungssystem wird auf diese Form gebracht durch folgende (erlaubte) Rechnungsoperationen:

1. Multiplikation einer Zeile mit Zahl c ≠ 0 2. Addition von Zeilen

3. Vertauschen von Zeilen und/oder Spalten

21

• System 2 wird auch als das „entschlüsselte“ System bezeichnet • x1, x2, …, xm heißen „Schlüsselvariablen“ („Schlüssel“) des Systems • xm+1, xm+2, …, xn heißen „freie Variablen“ des Systems • Sofern mindestens eine freie Variable existiert hat das System unendlich viele Lösungen. Durch Festlegung

des Wertes der freien Variable(n) ergibt sich eine spezielle Lösung.

22

EINHEITSMATRIX UND EINHEITSVEKTOR

E2 =

1001

E3 =

100010001

En =

100

010001

• heißen Einheitsmatrix (der Ordnung 2, 3 bzw. n) • Einheitsmatrizen sind spezielle quadratische Matrizen

23

Beispiele für Einheitsvektoren:

•

001

,

010

,

100

Ordnung 3

•

01

,

10

Ordnung 2

MULTIPLIKATION MIT EINHEITSMATRIZEN Für A 3,2 gilt: A 3,2 ∙ E3 = A 3,2 bzw. A ∙ E = A E2 ∙ A 3,2 = A 3,2 bzw. E ∙ A = A

24

INVERSE MATRIX • Sind A und X zwei quadratische Matrizen der Ordnung n und gilt

A ∙ X = E ,

so heißt X Inverse (oder Kehrmatrix) der Matrix A und wird mit A 1− bezeichnet. Es gilt: A ∙ A 1− = E und A 1− ∙ A = E

• Berechnung der Inverse A 1− zu einer gegebenen Matrix A: Verschiedene Verfahren; eines der Verfahren basiert auf dem Gauß-Algorithmus.

25

Beispiel: Inverse einer Matrix A

A =

4364

⇒ Zugehörige Einheitsmatrix: E =

1001

⇒

4364

1001

)2()1(

Durch Umschlüsselung mittels Gauß-Algorithmus bringen wir das Gleichungssystem auf die folgende Form:

1001

2221

1211

bbbb

26

⇒ Matrix

2221

1211

bbbb

ist die gesuchte Inverse zur Matrix A

27