Mechanische Kurzschlußfestigkeit von biegesteifen Leitern in IEC ...

Lehrstuhl fur Elektrische Energieversorgungder Friedrich-Alexander-Universitat Erlangen-Nurnberg

Prof. Dr.-Ing. habil. G. Herold Prof. Dr.-Ing. habil. R. Gretsch

Cauerstraße 4, 91058 Erlangen

Mechanische Kurzschlußfestigkeitvon biegesteifen Leitern

in IEC 865-1 / DIN EN 60865-1(VDE 0103/11.94)

– Hintergrunde zur Norm –

Dr.-Ing. Wolfgang Meyer

Erlangen, den 17. April 2002

Inhaltsverzeichnis I

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Verfahren zur Ermittlung der mechanischen Kurzschlußfestigkeit 2

3 Stromkrafte auf die Leiter 4

4 Biegespannungen in den Leitern unter Berucksichtigung plastischen Werkstoffverhaltens undKr afte auf die Stutzpunkte 74.1 Kurzschlußfestigkeit von Stromschienen . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.1.1 Spannungen in den Stromschienen . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 74.1.1.1 Faktorβ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.1.1.2 Faktorq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.1.1.3 Zulassige Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 10

4.1.2 FaktorenVσ undVσs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Krafte auf die Stutzpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 13

4.2.1 Biegemomente in der Stutzeinrichtung . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 134.2.2 FaktorVF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2.3 Faktorα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.3 FaktorVr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Maßgebliche Kennfrequenzen von Haupt- und Teilleitern 195.1 Kennfrequenz eines Einzelleiters als Hauptleiter . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2 Kennfrequenz eines zusammengesetzten Hauptleiters . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.3 Kennfrequenz eines Teilleiters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 245.4 Kennfrequenzen von Stromschienen mit uberstehenden Enden, Zusatzmassen und Eta-

genbogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 24

6 Widerstandsmomente von Haupt- und Teilleitern 266.1 Widerstandsmoment eines Einzelleiters . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 266.2 Widerstandsmomente von Hauptleitern aus Teilleitern zusammengesetzt . . . . . . . . . . . 27

6.2.1 Hauptleiterkraft senkrecht auf der Flache und Teilleiter mechanisch nicht starr mit-einander verbunden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27

6.2.2 Hauptleiterkraft senkrecht auf der Flache und Teilleiter mechanisch starr miteinan-der verbunden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.2.3 Hauptleiterkraft in der Flache . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 316.3 Widerstandsmomente von Teilleitern . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 31

7 Uberlagerung von Spannungen 337.1 Uberlagerung der Haupt- und Teilleileiterspannungenσm undσs . . . . . . . . . . . . . . . 337.2 Uberlagerung von Spannungen, die durch senkrecht aufeinanderstehende Momente hervor-

gerufen werden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 33

8 Ermittlung der Kurzschlußfestigkeit nach IEC 60865-1/DIN EN 60865-1 (VDE 0103/11.94) 358.1 Flußdiagramm ohne Berucksichtigung der Leiter-Kennfrequenzen . . . . . . . . . . . . . . 398.2 Flußdiagramm mit Berucksichtigung der Leiter-Kennfrequenzen . . . . . . . . . . . . . . . 41

9 Schrifttum 46

A Anhang A.1

1 Einleitung 1

1 Einleitung

Die Norm DIN VDE 0101 [7], die die deutsche Fassung des CENELEC-Harmonisierungsdokuments HD637 S1 ist, enthalt die Anforderung fur die Projektierungund Errichtung von Starkstromanlagen mit Nenn-wechselspannungen uber 1 kV. Bereits vor Erscheinen des CENELEC-Dokuments veroffentlichte die IECeinen Normentwurf, der national als E DIN IEC 99/35/CD (VDE 0101 Teil 1) vorliegt [11]. Zu den Stark-stromanlagen zahlen hiernach Schalt- und Umspannanlagen, Stromerzeugungsanlagen, elektrische Netze inFabriken, Industrieanlagen oder anderen industriellen, landwirtschaftlichen, gewerblichen oder offentlichenRaumen.

Betriebsmittel und Tragekonstruktionen, einschließlichihrer Fundamente, mussen den zu erwartenden me-chanischen Beanspruchungen standhalten. In Anlagen mit biegesteifen Leitern werden im Normal-Lastfall(Lastfall 1) dauernd oder vorubergehend wirkenden Belastungen kombiniert, wie Eigengewicht, Montage-last, Eislast, Windlast, wobei die ungunstigste Kombination maßgebend ist. Der Ausnahme-Lastfall (Last-fall 2) fur die selten auftretenden Ereignisse berucksichtigt neben dem Eigengewicht die großte der fallweiseauftretenden Lasten: Schaltkrafte oder Kurzschlußkrafte oder Erdbeben.

Im Gegensatz zum Normal-Lastfall durfen beim Ausnahme-Lastfall geringere Sicherheitsbeiwerte zugrun-degelegt werden wegen der Seltenheit der Ereignisse. Der Teilsicherheitsbeiwert bei Einwirkung betragtnach [4, 13]γF = 1,0 im Lastfall 2 undγF = 1,35 im Lastfall 1, siehe auch [1]. Der Teilsicherheitsbeiwertder WiderstandsgroßeγM wird abhangig von Werkstoffkennwerten und geometrischenGroßen bestimmt aufder Basis von Mindeststreckgrenze, Bruchlast oder Stuckpruflast und im Lastfall 2 mitγM = 1,0 angegeben,außer bei Stahlkonstruktionen mitγM = 1,1; im Lastfall 1 ist stetsγM ≥ 1,1. Dies fuhrt auf einen gesamtenSicherheitsbeiwert beim Lastfall 2 vonγ = γFγM = 1,0 (Stahlγ = 1,1). Hierdurch sind bei dem seltenen Er-eignis eines Kurzschlusses hohere Bemessungswerte zugelassen als im Normal-Lastfall, was eine gunstigereMaterialausnutzung und somit geringere Kosten bedeutet.

Die Beanspruchungen durfen somit nicht hoher als die Bemessungswerte sein. Die zulassigen Biegespan-nungen im Leiter und die dadurch hervorgerufenen Krafte auf die Stutzpunkte durfen daher bestimmte,material- und geometrieabhangige Werte nicht uberschreiten, damit die Werkstoffe nicht uberanstrengt wer-den. Die Ermittlung der Festigkeit einer Anordnung ist somit der Nachweis ihrer Tragsicherheit.

Die Kurzschlußfestigkeit von Drehstrom- und Zweileiter-Wechselstrom-Anlagen kann mit der deutschenNorm DIN EN 60865-1/VDE 0103 [5], der europaischen Norm EN 60865-1 [12] und der IEC-Publikation60865-1 [18] nachgewiesen werden. Die drei Normen sind im Wortlaut identisch.

Das Verfahren, so wie es fur biegesteife Leiter in den Normen angegeben ist, wurde 1955 erstmals von W.Lehmann in [28] beschrieben und 1961 in die erste Ausgabe vonVDE 0103 [45] aufgenommen. In spaterenAusgaben wurde es aufgrund von Forschungsergebnissen erweitert. 1986 erschien die erste IEC-Publikation865 [21].

Diese Methode ermittelt die Kurzschlußfestigkeit nach denRegeln der Statik und berucksichtigt die Dyna-mik des Systems durch

’dynamische‘ Faktoren. Die Zulassung plastischer Verformung der Leiter erlaubt

eine hohere Ausnutzung und somit kostengunstigere Auslegung.

Die Herleitungen und Hintergrunde des Verfahrens und der darin verwendeten Großen sind in vielenVeroffentlichungen und internen Papieren angegeben, wobei immer nur Teilaspekte behandelt sind. EineGesamtdarstellung fehlt bis jetzt. Diese Lucke soll dieser Bericht schließen.

Im Abschnitt 2 wird das Verfahren zur Ermittlung der mechanischen Kurzschlußfestigkeit erlautert unddanach im Abschnitt 3 die statisch wirkenden Stromkrafte angegeben. Der Abschnitt 4 zeigt auf, wie diedynamischen Biegespannungen in den Leitern unter Berucksichtigung plastischen Werkstoffverhaltens unddie dynamischen Krafte auf die Stutzpunkte ermittelt werden. Die Berechnung der Leiterkennfrequenzen istim Abschnitt 5 dargestellt. Die Gleichungen fur die Widerstandsmomente von Haupt- und Teilleitern ver-schiedener Profile werden im Abschnitt 6 abgeleitet. Im Abschnitt 7 wird dieUberlagerung von Spannungenin den Leitern beschrieben. Den Abschluß bildet ein Flußdiagramm im Abschnitt 8.

2

2 Verfahren zur Ermittlung der mechanischen Kurzschlußfestigkeit

Die elektromagnetischen Krafte auf die Leiter hervorgerufen durch die Kurzschlußstrome in den Leiternwirken auf Anordnungen, die man in der Mechanik als Tragwerke aus elastischen Balken bezeichnet. Siewerden durch die zeitabhangigen Stromkrafte zu Schwingungen angeregt, und es treten an bestimmten Ortenzu bestimmten Zeitpunkten maximale Wirkungen auf: großteAuslenkung, hochste Leiterbeanspruchung,hochste Stutzpunktbelastung. Kennt man die hochste Leiterbeanspruchung und die hochste Stutzpunktbe-lastung, so kann man die mechanische Kurzschlußfestigkeitvon Stromschienenanordnungen gewohnlichhinreichend beurteilen. Im allgemeinen benotigt man nur den Betrag und nicht den Ort oder den Zeitpunktder großten Beanspruchung.

Ein solches Verfahren ist in IEC 60865-1, EN 60865-1 und DIN VDE 60865-1/VDE 0103 [5, 12, 18]1

angegeben, das nur die Betrage der hochsten Biegespannung im Leiter einschließlich dessen Festigkeit undder großten Kraft auf die Stutzpunkte ermittelt; die maximalen Auslenkungen sind bei biegesteifen Leiternohne Bedeutung. Die Methode ist auf praktische Erfordernisse ausgerichtet und enthalt Vereinfachungenund Sicherheiten.

Die Berechnungen werden nach den Regeln der Statik in zwei Schritten durchgefuhrt:

1. Das Maximum der Stromkraft wird als ruhende, dauernde Belastung angenommen und hieraus die in-teressierenden Großen bestimmt.

2. Die dynamische Antwort der Struktur auf die zeitabhangige Anregung wird mit Faktoren

V =Strukturantwort auf dynamische Lastannahme

Strukturantwort auf statische Lastannahme(2.1)

berucksichtigt, die sich naturgemaß fur die Leiterbenaspruchung und die Krafte auf die Stutzpunk-te unterscheiden. Mit ihnen werden die statisch ermittelten Großen multipliziert, um die Maxima dertatsachlichen dynamischen Strukturantwort zu erhalten.

Danach ist nur noch zu uberprufen, ob die zulassigen Beanspruchungen nicht uberschritten werden.

Die Gewinnung der FaktorenV war sehr aufwendig: Versuche an Originalaufbauten in Pruffeldern, analyti-sche und numerische Berechnungen.

Dieses Verfahren erlaubt den Nachweis der Kurzschlußfestigkeit ublicher Anlagen mit vertretbarem Auf-wand und ermoglicht umfangreiche Parameteruntersuchungen zur Festlegung der optimalen Anordnung.Die Unterstutzung durch PC-Programme, z. B. [30], erleichtert die rasche Auswertung der Gleichungen.

Das Berechnungsverfahren lauft in den folgenden Schritten ab:

– Berechnung der maximalen Stromkraft zwischen den Hauptleitern beim dreipoligen Kurzschluß

Fm3=µ0

2π

√3

2i2p3

lam

(2.2)

beim zweipoligen Kurzschluß

Fm2 =µ0

2πi2p2

lam

(2.3)

und der maximalen Stromkraft zwischen den Teilleitern bei drei- und zweipoligem Kurzschluß

Fs=µ0

2π

(ipn

)2 lsas

(2.4)

ip3, ip2, ip sind die Stoßkurzschlußstrome,l der Stutzpunktabstand,ls der Abstand zwischen zwei Ver-steifungselementen,am, as die wirksamen Abstande zwischen Haupt- und Teilleitern und n die Anzahlder Teilleiter. Im folgenden ist furFm entwederFm3 oderFm2 einzusetzen.

1Die drei gleichlautenden Normen werden im folgenden als Norm bezeichnet

2 Verfahren zur Ermittlung der mechanischen Kurzschlußfestigkeit 3

– Berechnung der Spannung in den Leitern durch die KraftFm zwischen den Hauptleitern

σm =VσVrβFml8Zm

(2.5)

und der Spannung in den Leitern durch die KraftFs zwischen den Teilleitern

σs =VσsVrFsls16Zs

(2.6)

Die FaktorenVσ , Vσs berucksichtigen die Dynamik des Systems,Vr die Erhohung der Beanspruchungbei erfolgloser dreipoliger Kurzunterbrechnung undβ die Randbedingungen an den Befestigungsstellen.Zm ist das Widerstandsmoment des Hauptleiters undZs das Widerstandsmoment des Teilleiters

– Beide Spannungen durfen material- und geometrieabhangige Hochstwerte nicht uberschreiten, im Haupt-leiter

σtot = σm+σs≤ qRp0,2 (2.7)

und im Teilleiter

σs ≤ Rp0,2 (2.8)

mit dem Plastizitatsfaktorq und der StreckgrenzeRp0,2.

– Berechnung der Kraft auf die Stutzpunkte durch die KraftFm zwischen den Hauptleitern

Fd =VFVrαFm (2.9)

Die FaktorenVF undVr berucksichtigen auch hier die Dynamik des Systems.α gibt die Verteilung derKrafte auf die Befestigungen an.

– FurVσVr, VσsVr undVFVr sind die großtmoglichen Werte einzusetzen. Kleinere Werte sind zugelassen,wenn sie abhangig von den Leiterkennfrequenzen ermitteltwerden. Diese errechnen sich

– fur einen einzelnen Leiter als Hauptleiter

fc =γl2

√

EJm

m′ (2.10)

– fur einen Hauptleiter aus Teilleitern zusammengesetzt

fc = cγl2

√

EJs

m′s

(2.11)

– fur Teilleiter

fcs=3,56

l2s

√

EJs

m′s

(2.12)

γ berucksichtigt die Leiterbefestigung,c die Anordnung und Masse der Zwischenstucke.E ist der Ela-stizitatsmodul,Jm, Js die Flachentragheitsmomente von Haupt- und Teilleiternundm′, m′

s ihre Massen-belage.

Besteht der Hauptleiter nur aus einem einzelnen Leiter, so mussen die Gleichungen fur die Teilleiter (Indexs) nicht ausgewertet werden.

Bei Anordnungen, die nicht mit dem einfachen Verfahren der Norm behandelt werden konnen, oder wenndie Zeitverlaufe der Spannungen, Krafte oder Auslenkungen notwendig sind, um Schwachstellen zu ana-lysieren, stehen heute leistungsfahige Programme mit Finiten Elementen oder Finiten Differenzen zurVerfugung.

4

3 Stromkrafte auf die Leiter

Kurzschlußstrome in den Leitern fuhren auf elektromagnetische Krafte auf die Leiter. Hierbei ist zu unter-scheiden zwischen den Kraften, die durch die Strome in denanderen Hauptleiter im betrachteten Hauptleiterhervorgerufen werden, und den Kraften auf einen Teilleiter hervorgerufen durch die Strome in den anderenTeilleitern des betrachteten Hauptleiters. Diese Berechnung kann bei mehreren Teilleitern je Hauptleiter um-fangreich werden, auch wenn man konstante Stromdichte in den Leitern annimmt. Durch die verschiedenenwirksamen Abstande der Leiter ergeben sich fur jede Anordnung andere, geometrieabhangige Zeitverlaufeder Krafte. Die zusatzliche Berucksichtigung der Stromverdrangung ist nur mit einem Verfahren wie derTeilleitermethode oder Finite-Elemente-Methode moglich.

Fur eine Norm ist ein solches Verfahren nicht praktikabel.Es mussen daher Vereinfachungen vorgenommenwerden.

Zuerst werden nur Hauptleiter aus unendlich langen, linienformigen Einzelleitern L1, L2 und L3 untersucht,die sich mit gleichen Mittenabstandenam zwischen benachbarten Leitern in einer Ebene befinden. Auf dieLangel der Leiter wirken die Krafte

– beim dreipoligen Kurzschluß

FL1 =µ0

2πiL1

(

iL2 +iL3

2

)l

am(3.1)

FL2 =µ0

2πiL2 (iL1 + iL3)

lam

(3.2)

FL3 =µ0

2πiL3

(iL1

2+ iL2

)l

am(3.3)

– beim zweipoligen Kurzschluß zwischen den Leitern L1 und L2

FL1 = FL2 =µ0

2πiL1 iL2

lam

(3.4)

Sie sind von der Zeit und dem Zuschaltwinkel bei Kurzschlußbeginn abhangig. Setzt man die Kurzschluß-strome ein, kann man die Stromkraftverlaufe ermitteln. [3] enthalt eine ausfuhrliche Herleitung, die auf[16, 36, 40] beruht. Auf eine Wiedergabe wird hier verzichtet, und nur die fur das Verstandnis der folgendenAbschnitte notwendigen Ergebnisse aufgefuhrt.

Die Zeitfunktionen der Krafte bestehen aus derUberlagerung von vier Teilfunktionen

F(t) = F0+F2ω(t)︸︷︷︸

stationar

+Fg(t)+Fω(t)︸︷︷︸

abklingend

(3.5)

– einem konstanten GleichgliedF0, arithmetischer Mittelwert im eingeschwungenen Zustand;

– einer ungedampften SchwingungF2ω(t) der doppelten Netzfrequenz;

– einem mitτ/2 abklingenden GleichgliedFg(t);

– einer mitτ abklingenden, netzfrequenten SchwingungFω(t).

Die Zeitkonstanteτ ist vom Verhaltnis Wirkwiderstand zu ReaktanzR/X der Netzimpedanz abhangig, mitder Kreisfrequenzω = 2π f des Netzes,

τ =RL=

XωR

(3.6)

Die sich bei verschiedenen Zuschaltwinkeln ergebenden maximalen Zeitverlaufe erlauben folgende Aussa-gen:

3 Stromkrafte auf die Leiter 5

a) Vergleich der Krafte am mittleren Leiter L2 mit denen an den außeren Leitern L1, L3:

– Das konstante GleichgliedF0 hat bei den Leitern L1 und L3 eine betrachtliche Große, beim LeiterL2 ist es nicht vorhanden.

– Die Maxima der stationaren SchwingungF2ω sind fur den Leiter L2 doppelt so groß wie fur dieLeiter L1 und L3. Die Maxima vonFω undFg sind fur L2 etwas großer als fur L1 und L3.

– Die Zeitverlaufe unterscheiden sich deutlich. Die Maxima sind fur den Leiter L2 stets etwa 7%großer als fur L1 und L3, unabhangig vonR/X sowohl wahrend des Einschwingvorgangs als auchstationar.

Daraus folgt, daß aus den Kraften allein nicht entschiedenwerden kann, ob der mittlere oder die außerenLeiter und deren Stutzisolatoren mehr beansprucht werden. Im Abschnitt 4 wird gezeigt, daß bei Hoch-und Hochstspannungsanlagen, bei denen die Kennfrequenz der Leiter wesentlich kleiner als die Netz-frequenz ist, die Leiter L1, L3 hoher beansprucht werden als der Leiter L2, wohingegen bei Mittel- undNiederspannungsanlagen mit ihren Kennfrequenzen gleich oder großer als die Netzfrequenz der LeiterL2 maßgebend ist.

b) Vergleich der Krafte beim zweipoligen Kurzschluß mit denen an den Leitern L1 und L3 beim dreipoligenKurzschluß:

– Die Gleichglieder sind gleich groß.

– Die Maxima aller Teilfunktionen sind beim zweipolige Kurzschluß etwas kleiner.

– Die Zeitverlaufe der Krafte sind sehr ahnlich. Die Maxima sind beim zweipoligen Kurzschluß stetsetwa 7% kleiner bezogen auf die Werte des dreipoligen Kurzschlusses.

Die Beanspruchung beim zweipoligen Kurzschluß ist etwas kleiner als die Beanspruchung der Leiter L1,L3 beim dreipoligen Kurzschluß. Der zweipolige Kurzschlußbraucht somit nicht gesondert betrachtetzu werden.

Die Maximalwerte der Krafte betragen

– beim dreipoligen Kurzschluß auf den mittleren Leiter L2

Fm3,L2 =µ0

2π

√3

2i2p3

lam

= 0,866µ0

2πi2p3

lam

(3.7)

beim dreipoligen Kurzschluß auf die außeren Leiter L1 und L3

Fm3,L1 = Fm3,L3 =µ0

2π3+2

√3

8i2p3

lam

= 0,808µ0

2πi2p3

lam

(3.8)

– beim zweipoligen Kurzschluß

Fm2=µ0

2πi2p2

lam

=µ0

2π

(√3

2ip3

)2l

am= 0,750

µ0

2πi2p3

lam

(3.9)

ip3 bzw. ip2 sind die Stoßkurzschlußstrome beim drei- bzw. zweipoligen Kurzschluß. Sie lassen sich ausdem Effektivwert des Anfangs-KurzschlußstromsI ′′k und dem Faktorκ fur den Stoßkurzschlußstrom [8, 20]bestimmen

ip = κ√

2I ′′k (3.10)

Das Kraftmaximum am mittleren Leiter nach Gleichung (3.7) ist am großten, es wird als statische Stromkraftin Gleichung (2.2) und in Gleichung (2) der Norm fur den dreipoligen Kurzschluß angenommen

Fm3=µ0

2π

√3

2i2p3

lam

(3.11)

6

Die statische Stromkraft in Gleichung (2.3) fur den zweipoligen Kurzschluß folgt aus Gleichung (3.9):

Fm2 =µ0

2πi2p2

lam

(3.12)

Leiter in Anlagen haben keinen punktformigen Querschnitt. Daher ist in Gleichung (3.11) furam der wirk-same Abstand einzusetzen, der die Veranderung des Magnetfeldes realer Leiter gegenuber dem Feld derLinienleiter berucksichtigt und von den Abmessungen des Profils abhangig ist. Bei den in Hochspannungs-anlagen verwendeten Rohrleitern stimmt er mit dem Leitermittenabstand uberein, ebenso bei Kreisprofilen:am = a. Bei Rechteck-, U- oder I-Profilen weicht er vom Leitermittenabstand ab und laßt sich mit den An-gaben in der Norm ermitteln; fur weitere Informationen siehe [28, 10, 24]. Bestehen die Hauptleiter ausTeilleitern, so wird vereinfachend ein Ersatzleiter mit den Außenabmessungen des Hauptleiters angenom-men.

Der Einfluß der Stromverdrangung in den Leitern kann mit derTeilleitermethode ermittelt werden [27]. Erist jedoch gering, wie in [26] gezeigt, so daß Gleichung (3.11) mit ausreichender Genauigkeit gilt.

Die Anordnung der Hauptleiter in einer Ebene fuhrt auf Kraftvektoren konstanter Richtung in dieser Ebene.Befinden sich die Hauptleiter in den Eckpunkten eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlangeam, sobeschreiben die Spitzen der Kraftvektoren nach Kurzschlußeintritt ellipsenformige Ortskurven, die stationarin Kreise ubergehen. Das Kraftmaximum auf einen Leiter zeigt radial nach außen und kann so bestimmtwerden, als lage ein Ersatzleiter in der Mitte der Verbindungslinie der beiden anderen Leiter und fuhre dieSumme ihrer Strome. Die Kraft entspricht dann der eines zweipoligen Kurzschlusses nach Gleichung (3.12)mit dem Abstand

am√3/2

(3.13)

Sie hat somit den gleichen Wert wie die Kraft auf den mittleren Leiter der Einebenenanordnung nach Glei-chung (3.7). Das tangentiale Maximum ist um den Faktor

√3 kleiner.

Die Beanspruchung der Teilleiter wird getrennt von denen der Hauptleiter berechnet und nach Abschnitt 7uberlagert. In jedem dern Teilleiter fließt der StromiL/n in gleicher Richtung. Die Kraft ist in den außerenTeilleitern maximal, da sich die Kraftanteile der ubrigenn−1 Teilleiter addieren:

F1 =µ0

2π

(iLn

)2 [ 1as,12

+1

as,13+ ⋅ ⋅ ⋅+ 1

as,1n

]

ls =µ0

2π

(iLn

)2 lsas

(3.14)

ls ist der Abstand zwischen zwei benachbarten Zwischenstucken undas,1i der wirksame Abstand zwischenden Teilleitern 1 undi. Der Ausdruck in eckigen Klammern kann im wirksamen Abstandaller Teilleiteras zusammengefaßt werden. Das Kraftmaximum entspricht dem des zweipoligen Kurzschlusses nach Glei-chung (3.12)

Fs=µ0

2π

(ipn

)2 lsas

(3.15)

und gilt bei drei- und zweipoligen Kurzschlussen.Fs ist die statische Stromkraft zwischen den Teilleitern inGleichung (2.4).

Somit sind die statischen Belastungen bei drei- und zweipoligen Kurzschlussen in Drehstromanlagen undbei Kurzschlussen in Zweileiter-Wechselstromanlagen bekannt, und es konnen die Beanspruchungen derLeiter und die Krafte auf die Stutzpunkte im nachsten Abschnitt ermittelt werden.

4 Biegespannungen in den Leitern und Krafte auf die Stutzpunkte 7

4 Biegespannungen in den Leitern unter Berucksichtigung plastischen Werk-stoffverhaltens und Krafte auf die Stutzpunkte

Die Ermittlung der Kurzschlußfestigkeit nach den Regeln der Statik unter der Maßgabe, daß nur Verfor-mungen der Leiter im elastischen Bereich auch bei Berucksichtigung der

’dynamischen‘ FaktorenV auf-

treten, fuhrt auf eine Dimensionierung der Anlagen, die kleinere Stutzabstande, großere Leiterquerschnitteund/oder starkere Stutzeinrichtungen erfordern, also hohere Errichtungskosten verursachen. Laßt man hin-gegen eine geringe plastische Verformung der Leiter nach dem Auftreten des Kurzschlusses zu, so kannman zu wesentlich gunstigeren Auslegungen kommen. Der Tragsicherheitsnachweis wird daher unter Aus-nutzung plastischer Tragfahigkeit des Systems durchgef¨uhrt, die Beanspruchung erfolgt nach der Fließge-lenktheorie, wie sie im Stahlbau ublich ist [4, 13].

4.1 Kurzschlußfestigkeit von Stromschienen

Die statisch wirkende StromkraftFm ruft in einem Trager die statische Biegespannung

σm,stat=Mpl,max

Zm= β

Fml8Zm

(4.1)

hervor mit dem MomentMpl,max nach Tabelle 4.1 und seinem WiderstandsmomentZm. Der Faktorβermoglicht die Berechnung fur verschiedene Trager- undBefestigungsarten. Die dynamische Strukturant-wort wird durch den mit Gleichung (2.1) definierten FaktorVσ fur die Biegespannung im Leiter berucksich-tigt [3, 14, 15, 16, 28, 36, 40], und es ergibt sich die Bemessungsspannung im Hauptleiter

σm =VσVrσm,stat=VσVrβFml8Zm

(4.2)

Der FaktorVr beschreibt den Einfluß der dreipoligen erfolglosen Kurzunterbrechung und wird in Abschnitt4.3 erlautert.

Teilleiter sind miteinander durch Zwischenstucke verbunden. Die außeren Teilleiter schwingen gegenein-ander und konnen wie in den Zwischenstucken eingespannteEinfeldtrager behandelt werden. Die Struk-turantwort auf die Kraft zwischen den Teilleitern fuhrt analog zu den Gleichungen (4.1) und (4.2) auf dieBemessungsspannung im Teilleiter

σs =VσsVrσs,stat=VσsVrMpl,max

Zs=VσsVr

Fsls16Zs

(4.3)

Dieser Abschnitt erlautert die Ermittlung des Faktorsβ und der maximal zulassigen Biegespannung imLeiter, und anschließend der FaktorenVσ undVσs. Der FaktorVr fur den Einfluß der dreipoligen Kurzunter-brechung folgt im Abschnitt 4.3. Die WiderstandsmomenteZm undZs werden im Abschnitt 6 hergeleitet.

4.1.1 Spannungen in den Stromschienen

Stromschienen werden dann noch als kurzschlußfest angesehen, wenn sie unter Einwirkung der Kurzschluß-krafte keine merkbare bleibende Verformung zeigen [28, 29]. Dies ist fur kurzzeitige Beanspruchungen dannder Fall, wenn die Beanspruchung des Werkstoffs die doppelte Streckgrenze nicht uberschreitet unter Aus-nutzung der Plastizitat

σzul = 2Rp0,2 (4.4)

Versuche zeigen, daß hierbei eine bleibende Durchbiegung von 3 . . . 5 ‰ der Stutzlange auftritt, die einerVerlangerung der Schiene um etwa 0,3 ‰ entspricht1. Dieser Plastizitatsfaktor von 2 entsteht, wenn ein

1Die Versuche wurden 1942 und 1944 im Schaltwerk der Siemens-Schuckert-Werke in Berlin durchgefuhrt.

8

Tabelle 4.1: Maximales MomentMpl,max bei Auftreten von Fließgelenken an den Einspannstellenen beiEinfeldtragern oder an den inneren Stutzpunkten bei Mehrfeldtragern, maximales MomentMel,max im elastischen Zustand und Faktorβ bei verschiedenen Stutzpunktanordnungen

Trager- und Befestigungsart Mpl,max Mel,max β

A und B:gestutzt

A B

—Fml

81,0

EinfeldtragerA: eingespanntB: gestutzt

A B

Fml

11

Fml

8

8

11= 0,73

A und Beingespannt

A B

Fml

16

Fml

12

8

16= 0,5

2 FelderA AB

Fml

11

Fml

8

8

11= 0,73

durchlaufenderMehrfeldtragermit gleichenStutzabstanden 3 oder mehr

FelderA B AB

Fml

11

Fml

8

8

11= 0,73

beidseitig eingespannter Trager neben der eigentlichen Plastizitat innerhalb der beanspruchten Querschnittezusatzlich an den Einspannstellen einknickt und von vollstandiger in teilweise Einspannung ubergeht, alsoFließgelenke entstehen.

Im Stahlbau wird die Belastbarkeit eines Tragers als erschopft betrachtet [1], wenn eine Fließgelenkketteentsteht. Dies bedeutet, daß bei einem Balken an den Einspannstellen und im Feld die Spannung an derStreckgrenze ist und vollplastischer Zustand vorliegt. Die Fließgelenke an den Einspannstellen berucksich-tigt der Faktorβ und das Fließgelenk im Feld der Faktorq.

4.1.1.1 Faktorβ

Bei konstanter StreckenlastFm tritt das maximale MomentMpl,max im Balken beiUbergang von vollstandi-ger in teilweise Einspannung ein schon vor Erreichen des maximalen MomentsMel,max bei Betrachtung nurdes elastischen Zustandes. Hierdurch wird das maximale Moment an der Einspannung abgebaut. Beide Mo-mente sind in Tabelle 4.1 angegebenen [1]. Der Vergleich zeigt, daß durch Zulassung von Fließgelenkeneine hohere Auslastung moglich ist. Beim beidseitig eingespannten Balken ergibt sich damit ein Gewinnvon 33 %:

Mel,max

Mpl,max=

Fml/12

Fml/16=

4

3= 1,33 (4.5)

Der Einfeldtrager gestutzt/gestutzt hat keine Fließgelenke in den Befestigungspunkten. Bei durchlaufendenMehrfeldtragern werden die Felder einzeln betrachtet unddie Momente bestimmt. Bei zwei Feldern ent-sprechen die einzelnen Felder einem Balken gestutzt/eingespannt. Bei drei und mehr Feldern entsprechen


die außeren Felder naherungsweise einem Balken gestutzt/eingespannt und die inneren Felder einem Bal-ken eingespannt/eingespannt; die Momente sind in den außeren Feldern großer als in den inneren, was mandurch Vergleich mit den Einfeldtragern erkennt, somit sind die außeren Felder maßgebend.

Die plastischen Momente bei den verschiedenen Trager- undBefestigungsarten werden auf das Momentbeim beidseitig gestutzten Trager bezogen und hieraus der Faktorβ gewonnen, der ebenfalls in Tabelle 4.1angegeben ist

β =Mpl,max

Mel,max, gestutzt/gestutzt(4.6)

4.1.1.2 Faktorq

Das plastische Verhalten zwischen den Stutz- bzw. Einspannstellen kann am einfachsten bei Werkstoffenmit ausgepragter Fließgrenze erlautert werden. Diese ist weder bei Aluminium noch bei Kupfer vorhanden,wie das Spannungs-Dehnungs-Diagramm in Bild 4.1a zeigt, sie wird durch eine ideal elastisch-plastischeCharakteristik ersetzt, bei der die Grenze des Hookeschen (elastischen) Bereichs und die Streckgrenze zu-sammenfallen.

Die folgendenUberlegungen werden an einem Balken mit Rechteckprofil durchgefuhrt, was am einfachstenist; sinngemaß gelten sie aber auch fur andere Profile.

a)sF

e

ss

s

e e

2

10,01

0,2

0,20,01

b)sF

dy

z

c)sF

y

d)sF

Bild 4.1: Spannungs-Dehnungsdiagramm und Biegespannungsverlauf in einem Rechteckprofila) Spannungs-Dehnungsdiagramm;

1: Kupfer, Aluminium;2: ideal elastisch-plastischb) Biegespannung im elastischen Zustandc) Biegespannung im elastisch-plastischen Zustandd) Biegespannung im vollplastischen Zustand

Der Rechteckbalken werde mit der StreckenlastFm beansprucht. Im elastischen Bereich steigt die Spannungvon der neutralen Achse bis zur Randfaser linear an, Bild 4.1b. Fur das innere Moment gilt

Mel =

∫

A

σ (x,y)y dA=

d/2∫

−d/2

σmy

d/2ybdy=

d2b6

σm = Zmσm (4.7)

Ihm wirkt ein außeres Moment entgegen, z. B.Fl/8 beim beidseitig gestutzten Leiter. Das außere Momentwird weiter erhoht, bis in der außeren Randfaser die FließspannungσF erreicht ist. Da jedoch alle anderenFasern im elastischen Bereich liegen, wird die Randfaser durch die Stutzwirkung der inneren Fasern amausgepragten Fließen gehindert, es treten noch keine unzulassig hohen Verformungen ein. Es wird daher zurbesseren Ausnutzung eine weitere Ausbreitung der Fließspannung uber den Querschnitt zugelassen, Bild4.1c. Die Gebiete∣y∣< d/2 sind noch nicht voll ausgelastet und konnen noch an der Lastaufnahme beteiligt

10

werden. Bei Teilplastizierung wird das innere Moment

Mel−pl = 2

⎡

⎣

y∫

0

σFyyybdy+

d/2∫

y

σFybdy

⎤

⎦= σF

[(d2

)2

− y2

3

]

(4.8)

Fur y= 0 ist die Fließspannung im ganzen Querschnitt erreicht, Bild 4.1d. Bei einer bleibenden Randdeh-nung vonε0,2 = 0,2% wirkt ein außeres MomentMTr, das Tragmoment genannt wird. Es ist gleich deminneren MomentMel−pl nach Gleichung (4.8) beiy= 0

MTr = Mel−pl (y= 0) =d2b4

σ0,2 = 1,5Zmσ0,2 = qZmσ0,2 (4.9)

Gegenuber dem rein elastischen Zustand kann das außere Moment bei dem hier betrachteten Rechteck-leiter durch Zulassung plastischer Verformungen noch um 50% gesteigert werden bis die Tragfahigkeiterschopft ist. Die vollplastische Stutzziffer betragtsomit bei Rechteckleiternq = 1,5. Bei anderen Leiter-profilen weicht sie von diesem Wert ab und ist in Tabelle 4.2 angegeben [22, 29].

Tabelle 4.2: Faktorq fur die eingezeichneten Biegeachsen

Leiterprofil Leiterprofil

q= 1,5 q= 1,83

q= 1,19

q= 1,7

Ds

q= 1,71− (1−2s/D)3

1− (1−2s/D)4

Ds

q= 1,51− (1−2s/D)3

1− (1−2s/D)4

s D/

q

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,51,0

1,2

1,4

1,6

1,8

4.1.1.3 Zulassige Spannungen

Die bleibende Randdehnung vonε0,2 = 0,2% entspricht einer Streckgrenze vonRp0,2. Die maximale Span-nungσm im Einzelleiter bzw.σtot im Schienenpaket darf daher nicht großer sein als durch dasTragmomentnach Gleichung (4.9) vorgegeben

σm ≤ qRp0,2 bzw. σtot ≤ qRp0,2 (4.10)

Bei der Teilleiterspannungσs wird empfohlen, die Streckgrenze nicht zu uberschreiten,um den Abstandzwischen den Teilleitern nicht zu verandern:

σs ≤ Rp0,2 (4.11)


Werden fur die Streckgrenze der Leitermaterialien in den Normen MindestwerteRp0,2 und HochstwerteR′

p0,2 angegeben, so ist in den Gleichungen (4.10) und (4.11) der MindestwertRp0,2 einzusetzen, damit diebleibende Verformung nicht zu groß wird.

Durch das Rechnen mit Plastizitat unter Berucksichtigung desUbergangs von vollstandiger zu teilweiserEinspannung ist somit eine hohere Auslastung der Stromschienen moglich gegenuber der Betrachtung al-lein im elastischen Zustand, wenn man eine geringe, nicht merkbare Verformung zulaßt. Fur beidseitigeingespannte Rechteckleiter betragt sie 4/3⋅1,5 = 2, was dem Meßergebnis in Gleichung (4.4) entspricht.Bei den im Schaltanlagenbau ublichen Rohrleiterabmessungens/D = 0,02. . .0,3 und uber zwei oder mehrFelder durchlaufenden Rohren kann die Auslastung um den Faktor 1,8 bis 2,3 gesteigert werden.

4.1.2 FaktorenVσ und Vσs

Die FaktorenVσ undVσs in den Gleichungen (2.5), (2.6), (4.2) und (4.3) berucksichtigen also die dyna-mische Strukturantwort auf den Zeitverlauf der elektromagnetischen Kurzschlußkrafte auf die Leiter. IhreBestimmung wird im folgenden erlautert.

Das dynamische Verhalten des Leiters wahrend des Kurzschlußstromflusses und danach kann analytischam kontinuierlichen Biegebalken untersucht werden. Hierzu muß die partielle Differentialgleichung derAuslenkungy am Ortx des Balkens zum Zeitpunktt

∂ 2y(x, t)∂ t2 +2δ

∂y(x, t)∂ t

+EJm

m′∂ 4y(x, t)

∂x4 =F ′(t)m′ (4.12)

integriert werden.δ ist die Leiterdampfung undF ′(t) der elektromagnetische Kraftbelag auf den Leiter. DieLosung beschreiben [14, 28, 36, 41]. Die Leiterspannungensind dann der zweiten Ableitung der Auslenkungnach dem Ort proportional und die Querkrafte der dritten Ableitung. Der FaktorVσ ist dann der zeitlicheMaximalwert der zweiten Ableitung

Vσ = Max

{∂ 2y(x, t)

∂x2

}

(4.13)

beim beidseitig eingespannten Balken furx= 0, l und beim beidseitig gestutzten Balken furx= l/2.

Bild 4.2 zeigt den FaktorVσ fur die beiden außeren Leiter L1 und L3 als Funktion ihrer mechanischen Kenn-frequenz fc bei zwei verschiedenen logarithmischen DampfungsdekrementenΛ und beidseitiger Einspan-nung. Bezugsfrequenz ist die Netzfrequenzf .Vσ zeigt eine starke Abhangigkeit von der Kennfrequenzfc, dadie anregende Kraft sich aus vier Teilfunktionen nach Gleichung (3.5) zusammensetzt [3, 14, 16, 28, 36, 40].Bei fc sehr viel kleiner als die Netzfrequenzf wird Vσ durch die Gleichglieder bestimmt, und es ergibt sichVσ < 1. Wird fc sehr viel großer als 2f , so folgt die Leiterbewegung der anregenden Kraft und somitVσ = 1.Zwischen beiden Grenzfallen tretenUberhohungen auf, wenn die Kennfrequenz oder eine hohereEigenfre-quenz des Leiters in den Bereich vonf oder 2f kommt, wobei dieUberhohungen bei Resonanz mit 2fhoher sind als mitf . Die Uberhohungen verringern sich mit Zunahme der mechanischen Leiterdampfungδ , dazwischen hat die Dampfung wenig Einfluß. Andere Randbedingungen verschieben die Spitzen beiResonanz der Leiteroberschwingungen mitf oder 2f .

Vσ fur den mittleren Leiter L2 ist nur an den Resonanzen mit 2f und bei fc/ f > 1 großer als fur die außerenLeiter L1 und L3, da an L2 die Komponente der elektromagnetischen Kraft mit 2f doppelt so groß istund der konstante Gleichanteil fehlt. Im Bereichfc/ f < 1 ist, abgesehen von den Resonanzen mit 2f , dieBeanspruchung von L1 und L3 durch den konstanten Gleichanteil großer als von L2.

Die Uberhohungen durch Resonanz setzen voraus, daß der Leitervoll elastisch bleibt. Tatsachlich wirdjedoch bei Resonanz oder in der Nahe der Resonanz im Bereichder Netzfrequenz oder der doppelten Netz-frequenz die Leiterspannung soweit ansteigen, bis Plastizitat erreicht wird. Hierdurch verschiebt sich dieLeiterkennfrequenz zu kleineren Werten hin, und die im elastischen Bereich geltende Resonanzbedingung

12

L3L2L1

R X/ = 0,07

tk = 0,5 s

L = 0

L = 0,2

0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 1 2 5 100

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Vs

f fc/

Hochspannungsanlagen

übliche MS- undNS-Anlagen

mechanische Resonanz des Leiters mit

f

( )f

2f

( 2 )f

berechnet

genormte Kurve

Bild 4.2: Berechnete FaktorenVσ fur die außeren Leiter L1 und L3 bei dreipoligem Kurzschluß abhangigvon der bezogenen Kennfrequenzfc/ f des Leiters und dem logarithmischen Dampfungsdekre-mentΛ bei beidseitiger Einspannung [3, 14, 16, 36] und genormte Kurve

ist nicht mehr erfullt. Da die Voraussetzung fur ein Anwachsen der Beanspruchung durch Resonanz einekonstante Eigenfrequenz ist, sind bei vollstandiger Plastizitat keine Resonanzerscheinungen moglich [34].Der FaktorVσ kann nicht großer als eins werden. Die dynamische Brerechnung entspricht dann einer sta-tischen Ermittlung mit dem Hochstwert der elektromagnetischen Kraft als statische Ersatzkraft, die dasaußere TragmomentMTr nach Gleichung (4.9) hervorruft. Kleinere außere Momentefuhren auf elastischeoder elastisch-plastische Verformung, die geringere Leiterspannungen ergeben als durch das Tragmoment,wodurch die Gleichungen (4.10) und (4.11) jedoch stets erf¨ullt sind, da sie vom vollplastischen zustandausgehen.

Das Bild 4.2 ist fur einen beidseitig eingespannten Balkenermittelt. In Schaltanlagen sind die Leiter aufIsolatoren befestigt, die elastisch sind und mitschwingen. Somit liegt keine starre Einspannung vor. DieResonanzuberhohungen werden im Bereichfc < f deutlich verringert und auch die Beanspruchungen da-zwischen [15, 36, 38]; hierbei sind haupsachlich das konstante und das abklingende Gleichglied in derelektromagnetischen Kraft maßgebend. Fur das veinfache Verfahren genugt es, beifc < f eine Kurve anzu-geben, die im Bereich der Minima im Bild 4.2 liegt. Im Bild 4.2ist diese in die Norm aufgenomme Kurveebenso eingetragen, der ansteigend Teil endet beiVσ = 1, ab da wird sie horizontal weitergefuhrt wegen derinfolge Plastizitat ausbleibenden Resonanz beifc/ f = 1 und 2. Hierbei ist in Bild 4.2 zu beachten, daß sichder statische Bezugswert vonVσ fur die berechneten Kurven geringfugig von dem der genormten Kurve un-terscheidet: In der Norm wird vom MaximumFm der elektromagnetischen Kraft am Leiter L2 ausgegangen,das 7% großer ist als an den Leitern L1 und L3, siehe Abschnitt 3.

Vσ wird daher nicht großer als eins. Wird der Nachweis der Kurzschlußfestigkeit eines Leiters ohne Beruck-sichtigung seiner Kennfrequenz durchgefuhrt, so kann quasistatisch mit dem HochstwertVσ = 1 gerechnetwerden. Daher istVσ = 1 in Tabelle 2 der Norm eingetragen. Die Ausnutzung von FaktorenVσ < 1 vorallem bei Hochspannungsanlagen setzt somit die Kenntnis der Kennfrequenzen der Leiter voraus, die imAbschnitt 5 bestimmt wird.


Bild 4.2 gilt fur R/X = 0,07, wasκ = 1,81 entspricht. Der Spitzenwert der elektromagnetischen Kraft aufdie Leiter ist nach Abschnitt 3 proportionalκ2, nimmt also mit kleiner werdendemκ , d. h. ansteigendemR/X, ab; die Hochstwerte des abklingenden Gleichglieds und der abklingenden netzfrequenten Komponentewerden kleiner, da ihre Zeitkonstante kleiner wird, wohingegen das konstante Gleichglied und die Kompo-nente mit doppelter Netzfrequenz unabhangig vonκ sind [3, 36, 40]. Im Bereich kleiner Kennfrequenzenfc ≪ f ist das konstante Gleichglied maßgebend,Vσ nimmt daher zu bei abnehmendemκ zu, weil der sta-tische Bezugswert mitκ2 abnimmt. Wegen des statischen Bezugswertes werden auch dieResonanzen mit2 f großer. Die im Bild 4.2 eingezeichneten Verlaufe verschieben sich somit zu hoheren Werten. Die in dieNorm aufgenommen Kurven folgen wieder den Minima der berechneten Kurve. FurR/X ≤ 0,15 entspre-chendκ ≥ 1,64 genugt eine Kurve, da der Unterschied gering ist. Durch die Plastizitat des Leiters ist auchhierVσ > 1 nicht moglich.

Die Kurzschlußdauer betragttk = 500ms in Bild 4.2. Kleinere Kurzschlußdauer reduziert die Oberschwin-gungsresonanzen stark, beitk ≤ 20ms treten sie nicht mehr auf [41, 42]. Abtk ≈ 200ms ist im Bereich derHoch- und Hochstspannungsanlagen eine deutliche Minderung der Beanspruchung der Leiter erreichbar,wohingegen bei Mittel- und Niederspannungsanlagen erst bei tk ≤ 20ms. Hinzu kommt, daß beitk ≤ 10msdie Maximalwerte der Kurzschlußstromkrafte kleiner werden als nach den Gleichungen (3.11), (3.12) und(3.15) ermittelt, da der Augenblickswert der Kraft am Kurzschlußende geringer als die Stoßkurzschlußkraftist.

Wie schon weiter oben beschrieben, werden die Teilleiter als beidseitig eingespannt betrachtet. Sie verhaltensich dynamisch wie die Hauptleiter jedoch mit anderen Kennfrequenzen, namlichfcs. Fur die FaktorenVσs

zur Ermittlung der Teilleiterbeanspruchung konnen daherdie gleichen Kurven wie furVσ verwendet werden,jedoch ist fc durch fcs zu ersetzen. Bei der Ermittlung der Teilleiterbeanspruchung ohne Berucksichtigungder Kennfrequenzen wirdVσs = 1 gesetzt.

Wechselstromanlagen werden wie Drehstromanlagen behandelt, es gilt die im Bild 4.2 angegebene genormteKurve.

4.2 Krafte auf die Stutzpunkte

Die Krafte Fd auf die Stutzpunkte des Leiters werden, ebenso wie die Biegespannungen im Leiter in Ab-schnitt 4.1, aus der statisch wirkenden StromkraftFm ermittelt [3, 14, 15, 16, 28, 36, 40]:

Fd =VFVrαFm (4.14)

Hierin berucksichtigt der FaktorVF wieder die Strukturantwort auf die dynamische Lastannahmenach Glei-chung (2.1) und somit den Zeitverlauf der elektromagnetischen Kraft. Der Faktorα gibt die Verteilung derKrafte auf die einzelnen Stutzpunkte an. Beide werden im folgenden beschrieben.

Zuerst muß jedoch geklart werden, wie das dynamische Moment langs der Stutzeinrichtung im Vergleichzum statischen Moment verlauft.

4.2.1 Biegemomente in der Stutzeinrichtung

Die Kraft Fd greift an der Klemme am Kopf der Stutzeinrichtung an. Werden die Stutzen als starr ange-nommen, so ergibt sich ein linearer Momentenverlauf entlang der Stutze, der sich aus dem Produkt vonFd

und dem Abstand vom Kraftangriffspunkt bestimmen laßt. Stutzen in Nieder- und Mittelspannungsanlagenerfullen dies sicher. Stutzen in Hoch- und Hochstspannungsanlagen haben aufgrund ihrer Hohe eine Steifig-keit, die das Schwingungsverhalten des Systems beeinflußt,wie oben beschrieben. An Unterkonstruktionenvon 110-kV-, 220-kV- und 380-kV-Anordnungen wurden die maximalen dynamischen Momente langs einerStutzeinrichtung mit der Methode derUbertragungsmatrizen untersucht [15, 38]. Bild 4.3 zeigt das Ergebisfur die in [3, Volume 2, Case 1] beschriebene zweifeldrige Sammelschiene. Die eingetragenen Meßwerte

14

stimmen sehr gut mit der Rechnung uberein. Das dynamische Moment ist nahezu linear. Weiterhin ist derMomentenverlauf eingezeichnet, der sich bei einer statischen Belastung mit dem maximalen Momentan-wert der elektromagnetischen Kraft ergibt, es nimmt vom St¨utzerkopf aus nach unten linear zu. In beidenFallen treten die hochsten Momente und somit auch die Spannungen in den Fußen der Isolatoren und derStahlstutzen auf.

0 2 4 6 8 kNm 100

0,2

0,4

0,6

0.8

1,0

x

M

l

M M

M

2

M

2

l=

43

45

20

85

22

60

1

2

a) b)

st1 st2

dyn2

dyn1

Bild 4.3: Biegemomente entlang einer 220-kV-Stutze [15]a) Stutze:1 Isolator,2 Stahlstielb) Maximale dynamische MomenteMdyn1, Mdyn2 und statische MomenteMst1, Mst2

Index 1: außere Isolatoren, Index 2: mittlerer Isolator∘ berechnet mit der Methode derUbertragungsmatrizen× gemessen bei der FGH [3, Volume 2, Case 1]

Dieser nahezu lineare dynamische Momentenverlauf rechtfertigt, daß die KraftFd als statische Ersatzkraftauf die Klemme angenommen wird, die die gleichen Momente in der Unterkonstruktion hervorruft wie diedynamische Kraft.

Die vonFd am Isolatorfuß hervorgerufene Spannung darf die Mindestumbruchlast des Isolators nicht uber-schreiten, die durch die am Isolatorkopf angreifende KraftFI angegeben wird. Daher mussen die Momentedie Gleichung

Fd(hI +hc)≤ FIhI (4.15)

erfullen.hI ist die Hohe des Isolators undhc der Abstand zwischen Isolatorkopf und Mittelpunkt des Leitersin der Klemme.

4.2.2 FaktorVF

Ensprechend Gleichung (4.13) gewinnt man des FaktorVF der Stutzpunktkrafte

VF = Max

{∂ 3y(x, t)

∂x3

}

(4.16)


Auch er ist abhangig von der mechanischen Kennfrequenzfc der Leiter [3, 14, 16, 28, 36, 40]. Bild 4.4zeigtVF, analog zuVσ in Bild 4.2, fur beidseitig eingespannten Leiter. Wiederum ist vorausgesetzt, daß derLeiter nur elastisch verformt wird. Unter dieser Annahme kann eine Kurve zur vereinfachten Berechnungangegeben werden, die beifc/ f < 0,6 im Bereich der Minima liegt, bei 0,6< fc/ f < 6 jedoch Resonanzmit f und 2f und mechanische Dampfung berucksichtigt, und furfc/ f > 6 eins wird. Diese genormte Kurveist im Bild 4.4 ebenso eingezeichnet und in die Norm aufgenommen.

L3L2L1

R X/ = 0,07

tk = 0,5 s

L = 0

L = 0,2

0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 1 2 5 100

0,5

1

1,5

2

2,5

3

VF

f fc/

Hochspannungsanlagen

übliche MS- undNS-Anlagen

mechanische Resonanz des Leiters mit

f

( )f

2f

( 2 )f

berechnet

genormte Kurve

Bild 4.4: Berechnete FaktorenVF fur die außeren Leiter L1 und L3 bei dreipoligem Kurzschluß abhangigvon der bezogenen Kennfrequenzfc/ f des Leiters und dem logarithmischen Dampfungsdekre-mentΛ bei beidseitiger Einspannung [3, 14, 16, 36] und genormte Kurve

Der FaktorVF fur die außeren Leiter L1 und L3 unterscheidet sich auch von dem des mittleren Leiters L2 wieim Abschnitt 4.1.2 fur die Leiterbeanspruchung beschrieben. Ebenso ist der Bezugswert fur die berechnetenVerlaufe im Bild 4.4 um 7% kleiner als fur die genormte Kurve.

Stutzpunktbeanspruchungen hoher als nach den Regeln derStatik mitVF = 1 berechnet konnen bei Reso-nanz mit f und 2f nur dann auftreten, wenn die Leiterbeanspruchung im elastischen Bereich bleibt und

2,7

1

00 2,72 3

VF

s

0,8 R'

1 2 3

1 4

tot

p0,2

Bild 4.5: Hochstwert des FaktorsVF bei stati-scher Berechnung abhangig von derLeiterspannungσtot bei dreipoligemKurzschluß.

16

somit unterhalb der technischen ElastizitatsgrenzeRp0,01. Ublicherweise werden fur die LeiterwerkstoffeMindestwerteRp0,2 und Richtwerte fur die HochstwerteR′

p0,2 oder auch nur ein WertRp0,2 in den entspre-chenden Normen aufgefuhrt. Daher wird als Elastizitatsgrenze 0,8R′

p0,2 gesetzt, wobei 0,8R′p0,2 > Rp0,01.

Hiermit lassen sich nun Hochstwerte furVF abhangig von den auftretenden Leiterspannungenσtot angebenfur den Frequenzbereich, in demVσ = 1 nach Bild 4.2 gilt. Sie sind im Bild 4.5 abhangig von 0,8R′

p0,2/σtot

dargestellt. Es konnen drei Bereiche unterschieden werden. Ist σtot > 0,8R′p0,2, dann wird aufgrund der

vollplastischen VerformungVF = 1. Unterschreitetσtot den Wert 0,8R′p0,2, so wird σtot nach Gleichung

(2.5) mitVF = 1 zu gering berechnet, da Resonanzuberhohungen auftreten konnen. Dies wird durch eineVergroßerung vonVF berucksichtigt, und es wird ein linearer Anstieg angenommen bis der Hochstwert vonVF = 2,7 nach Bild 4.5 erreicht ist. Bei noch niedrigeren Leiterspannungen wird der Leiter nur elastischverformt, und es ist der Hochstwert maßgebend.

Bild 4.5 gibt die maximal moglichen Werte vonVF an unabhangig von der Leiter-Kennfrequenz und gilt so-

mit fur alle Anlagen. Es ist in Tabelle 2 der Norm aufgenommen, jedoch als Funktion vonσtot/(

0,8R′p0,2

)

.

Die Ermittlung der Stutzpunktbeanspruchung mit den Hochstwerten nach Bild 4.5 fuhrt vor allem bei Hoch-und Hochspannungsanlagen mitfc/ f ≪ 1 zu einerUberdimensionierung, da dortVF < 1 wird, wie Bild 4.4dargestellt. Daher wird in diesem Fall die Berechnung der Kennfrequenzen empfohlen, um eine genauereAnlagenauslegung zu erreichen oder Reserven auszunutzen.Auch bei Mittel- und Niederspannungsanlagenmit fc/ f > 0,5 kann die Berucksichtigung vonVF nach der genormten Kurve in Bild 4.4 zu gunstigerenErgebnissen fuhren.

VF hangt ebenso wieVσ vom Faktorκ ab, wie im Abschnitt 4.1.2 beschrieben.

Kleinere Kurzschlaußdauer kann auch die Stutzpunktkrafte verringern, bei Mittel- und Niederspannungsan-lagen schon furtk ≤ 200ms.

Wechselstromanlagen werden wie Drehstromanlagen behandelt, jedoch ist die genormte Kurve in Bild 4.4im Bereich der Resonanz mit 2f aufVF = 1,8 begrenzt, und somit auch im Bild 4.5 der Hochstwert.

4.2.3 Faktor α

Nach Kenntnis der auf die Stromschiene wirkenden statischen LastVFVrFm konnen die Krafte auf die ein-zelnen Stutzpunkte mit dem Faktorα ebenso statisch gewonnen werden.

Fur Einfeldtrager, durchlaufende Trager mit zwei und drei Feldern gibt Tabelle 4.3 die aus der Statik be-kannten Werte furα an. Bei mehr als drei Feldern unterscheiden sich die Stutzpunktkrafte im ersten undletzten Feld wenig von denen der zweifeldrigen Anordnung, so daß mit dieser gerechnet werden kann; nu-merische Berechnung der Kraftverlaufe an 110-kV-, 220-kV- und 380-kV-Anlagen bestatigen dies [16, 36].Die weiter innen liegenden Stutzpunkte werden stets niedriger beansprucht.

Unterscheiden sich die Stutzabstande, konnen durch Resonanz bis zu 20% hohere Beanspruchungen ge-genuber dem Fall gleicher Stutzabstande auftreten, wenn die Lange des kurzeren Feldes zwischen 15%und 100% der ubrigen Felder betragt. Eine Verkurzung unter 15% oder eine Verlangerung uber 100% laßtdie Krafte weiter ansteigen [16, 36, 38]. Numerische dynamische und statische Berechnungen zeigen diegleiche Tendenz. Es wird daher empfohlen, bei durchlaufenden Leitern Stutzabstande geringer als 20% desgroßten vorkommenden Stutzabstandes zu vermeiden. Ist dies nicht moglich, so sollten die Leiter in denStutzpunkten geschnitten werden.

4.3 Faktor Vr

In den meisten 110-kV-Netzen und bei allen Spannungsebenendaruber wird stets einpolige Kurzunterbre-chung eingesetzt, die zu keinen hoheren Beanspruchungen gegenuber dem dreipoligen Kurzschluß fuhrt. In


Tabelle 4.3: Faktorα bei verschiedenen Stutzpunktanordnungen

StutzpunktTrager- und Befestigungsart

A B

A und Bgestutzt

A B

0,5 0,5

EinfeldtragerA eingespanntB gestutzt

A B

0,625 0,375

A und Beingespannt

A B

0,5 0,5

2 FelderA AB

0,375 1,25durchlaufenderMehrfeldtragermit gleichenStutzabstanden 3 oder mehr

FelderA B AB

0,4 1,1

Mittel- und Niederspannungsnetzen wendet man dagegen oftmals dreipolige Kurzunterbrechung, manchmalauch in 110-kV-Netzen. Ist die Kurzunterbrechung erfolglos, so tritt erneut ein dreipoliger Kurzschluß ein.In diesem Fall konnen Erhohungen sowohl der Leiterspannungen als auch der Krafte auf die Stutzpunkteeintreten. Der ungunstigste Fall liegt dann vor, wenn der erste Kurzschluß zum Zeitpunkt des großten Mo-ments abgeschaltet und Beginn des zweiten Kurzschlusses wieder mit einem großten Moment der freienLeiterschwingung zusammenfallt [16, 36, 39]. Deshalb wird hierfur der FaktorVr eingefuhrt als Verhaltniszweier dynamischer Strukturantworten:

Vr =Strukturantwort auf dynamische Lastannahme bei erfolgloser Kurzunterbrechung

Strukturantwort auf dynamische Lastannahme ohne Kurzunterbrechung(4.17)

Vr ist, wie die anderen FaktorenV, ebenso von der Leiterkennfrequenz abhangig und steigt bei fc/ f < 2 mitkleiner werdendemfc an; bei fc/ f > 2 ist er praktisch eins, Bild 4.6. Langere Pausenzeitentu verringernVr wegen der Dampfung der Leiterschwingung in dieser Zeit. Der polygonale Verlauf wird durch die eben-falls eingezeichnete Kurve fur die Norm angenahert, wobei sie sowohl fur die Leiterspannung als auch dieStutzpunkkrafte gilt.

Ist keine dreipolige Kurzunterbrechung im Netz vorgesehen, so istVr = 1 in den entsprechenden Gleichun-gen einzusetzen.

Wird dreipolige Kurzunterbrechung angewandt, so ist bei der Ermittlung nur nach Tabelle 2 der Norm ohneBerucksichtigung der Kennfrequenz zusatzlich eine Berechnung ohne dreipolige Kurzunterbrechung durch-zufuhren, da sich hierbei infolge der geringeren Leiterspannung hohere Werte vonVFVr ergeben konnen,was zu einer großeren Stutzpunktbeanspruchung wahrendder ersten Stromflußdauer fuhrt. Bei Berucksich-tigung der Kennfrequenz kann dieser Fall ebenso eintreten,wenn bei der dreipoligen KurzunterbrechungsichVFVr > 1 ergibt. Im Abschnitt 8 sind weitere Informationen zur Berechnung und Vergleiche angegeben.

18

L3L2L1

R X/ = 0,07

L = 0,05

0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 1

12

3

2 51,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

Vr

f fc/

tu = 0,3 s

Bild 4.6: FaktorenVr fur die außeren Leiter L1 und L3 bei dreipoligem Kurzschluß abhangig von derbezogenen Kennfrequenzfc/ f bei beidseitiger Einspannung [16].1 Leiterspannung 2 Stutzpunktkrafte 3 genormte Kurve

5 Maßgebliche Kennfrequenzen von Haupt- und Teilleitern 19

5 Maßgebliche Kennfrequenzen von Haupt- und Teilleitern

Eine wirtschaftliche Auslegung von Sammelschienen kann nur durch Betrachtung der Anordnung alsschwingendes System erfolgen. Hierdurch konnen auf der einen Seite bei Hoch- und Hochstspannungsanla-gen beachtliche Beanspruchungsminderungen erreicht werden, auf der anderen Seite bei Mittel- und Nieder-spannungsanlagen Beanspruchungserhohungen durch Resonanz mit den 50-Hz- und 100-Hz-Anteilen deranregenden elektromagnetischen Kraft vermieden werden. Die in die Gleichungen (2.5), (2.6) und (2.9) ein-gehenden FaktorenVσ , Vσs, VF, Vr berucksichtigen das dynamische Verhalten. Ihre aktuellen Werte konnenabhangig von der maßgeblichen Kennfrequenz der Haupt- undTeilleiter dem Bild 4, ihre Hochstwerte derTabelle 2 der Norm entnommen werden. Es sind daher die maßgeblichen Kennfrequenzen der Hauptleiter,die wiederum aus einem Einzelleiter bestehen oder aus Teilleitern zusammengesetzt sein konnen, und derTeilleiter zu bestimmen.

5.1 Kennfrequenz eines Einzelleiters als Hauptleiter

Besteht der Hauptleiter aus einem einzelnen Leiter, so ergeben sich, nach Losung der transzendenten Eigen-wertgleichung, seine Eigenfrequenzen [17]

fci =γi

l2

√

EJm

m′ (5.1)

l bedeutet die Leiterlange,E der Elastizitatsmodul,Jm das Flachentragheitsmoment undm′ der Massenbelag.Der Frequenzfaktorγi hangt von der Ordnungi der betrachteten Eigenfrequenz ab und außerdem sind dieRandbedingungen zu beachten: ist der Leiter ein Einfeldtr¨ager oder ein durchlaufender Mehrfeldtrager undsind die Befestigungen Stutzungen und/oder Einspannungen.

Die elektromagnetischen Kurzschlußkrafte sind zeitabh¨angig, jedoch uber die Leiterlange (nahezu) kon-stant. Sie regen nur solche Eigenformen an, die nicht punktsymmetrisch zur Mitte der Anordnung sind.Diese sind bei Einfeldtragern mit beidseitiger Stutzungoder Einspannung nur die ungeraden Eigenformen,da diese achsensymmetrisch zur Mitte sind, und bei Einfeldtragern gestutzt/eingespannt alle Eigenformen.Bei durchlaufenden Mehrfeldtragern werden grundsatzlich alle Eigenformen angeregt, die nicht punktsym-metrisch zur Mitte sind. Die zur Eigenform mit der am meistenuberwiegend positiven Biegelinie gehorendeEigenfrequenz wird als maßgebliche Kennfrequenz des Leiter bezeichnet.

Die maßgebliche Kennfrequenz von Einfeldtragern ist mit der Grundfrequenz identisch und kann mit Glei-chung (5.1) und den Faktorenγ1 = γ aus Tabelle 5.1 berechnet werden

fc =γl2

√

EJm

m′ (5.2)

Bei ubern Felder durchlaufenden Mehrfeldtragern mit gleichen oderwenig voneinander abweichendenStutzabstanden hat die Eigenform der Ordnungn an den inneren Stutzstellen horizontale oder nahezu hori-zontale Biegetangente und somit uberwiegend positive Biegelinie. Bild 5.1 zeigt die ersten funf Eigenfor-men eines dreifeldrigen Durchlauftragers; die geraden Eigenformen sind achsensymmetrisch zur Mitte derAnordnung, die ungeraden punktsymmetrisch. Die dritte Eigenform ist die niedrigste mit horizontalen Bie-getangenten nahe den inneren Stutzstellen und hat uberwiegend positive Auslenkung, entspricht also vomVerlauf etwa der statischen Biegelinie, die zugehorige Frequenz ist die maßgebliche Kennfrequenz. Anord-nungen mit zwei Feldern haben im mittleren Stutzpunkt eineBiegetangente bei der zweiten Eigenform, diemit der ersten Eigenform beim Einfeldtrager eingespannt/gestutzt ubereinstimmt; daher giltγ = 2,45 nachTabelle 5.1. Fur Mehrfeldtrager mit drei oder mehr Feldern muß die Eigenwertgleichung fur jedesn gelostwerden. Furn→ ∞ stimmen die Biegelinien dern-ten Eigenform zwischen den inneren Stutzstellen mit derersten Eigenform des Einfeldtragers mit beidseitiger Einspannung uberein, und es kann mitγ = 3,56 gerech-net werden. Die tatsachliche maßgebende Kennfrequenz fur die im Schaltanlagenbau ubliche Felderzahl ist

20

Tabelle 5.1: Faktorγ bei verschiedenen Stutzpunktanordnungen

Trager- und Befestigungsart γ

Einfeldtragerdurchlaufender Mehrfeldtragermit gleichen Stutzabstanden

A und Bgestutzt

A B

1,57

A eingespanntB gestutzt

A B

2 FelderA AB

2,45

A und Beingespannt

A B

3 oder mehrFelder

A B AB

3,56

geringfugig kleiner, wie im Bild 5.2 gezeigt. Auf der linken Ordinate ist die mit Gleichung (5.2) berechneteFrequenzfc aufgetragen, sie ist auf die tatsachliche Frequenzfc,n bezogen, die sich fur Durchlauftragerubern Felder ergibt. Auf der rechten Ordinate ist der Fehler∆ fc = fc/ fc,n− 1 in Prozent angegeben. Dietatsachliche Frequenzfc,n wurde mit der Methode der Finiten Elemente ermittelt.

Die beschriebene Frequenzermittlung geht von ideal starren Befestigungen der Leiter aus. Da die Unter-konstruktionen eine Elastizitat besitzen, verschiebt sich die maßgebliche Kennfrequenz zu kleineren Wertenhin, was vor allem in der Nahe von 50 oder 100 Hz zu beachten ist, siehe Abschnitt 4 und [35].

5.2 Kennfrequenz eines zusammengesetzten Hauptleiters

Die Eigenfrequenz eines einzelnen Leiters kann einfach mitGleichung (5.2) bestimmt werden. Ist der Haupt-leiter aus Teilleitern ohne Zwischenstucke zusammengesetzt, so schwingen die Teilleiter mit der Frequenz

f0 =γl2

√

EJs

m′s

(5.3)

1. Eigenform

4. Eigenform

2. Eigenform

5. Eigenform

3. Eigenform

Bild 5.1: Durchlaufender dreifeldriger Trager: Eigenformen der Ordnung 1 bis 5


1,00

1,05

1,10

1,15

1,20

1,25

3 4 5 6 7 8 9 10

0

5

10

15

20

25

n

fc,n

D fc

fc

%

Bild 5.2: Frequenzfc berechnet mit Gl. (5.2) bezogen auf die tatsachliche Frequenz fc,n bei ubern Felderdurchlaufendem Trager und Fehler∆ fc

mit dem Frequenzfaktorγ nach Tabelle 5.1, dem Stutzabstandl , dem ElastizitatsmodulE, dem Flachen-tragheitsmomentJs und dem Massenbelagm′

s eines Teilleiters.

Beim Einbau vonk Zwischenstucken nach Bild 5.3 wird die kontinuierliche Leitermasse durch die zusatz-lichen Massen der Zwischenstucke an ihren Einbauorten erhoht; dies fuhrt bei Abstandhaltern ohne verstei-fende Wirkung zu einer Frequenzerniedrigung gegenuber dem Fall ohne Zwischenstucke, unabhangig vonder Schwingungsrichtung. Sind die Zwischenstucke Versteifungselemente und ist die Schwingungsrichtungsenkrecht zur Flache, so bewirkt ihre versteifende Wirkung eine Frequenzerhohung; bei Schwingungsrich-tung parallel zur Flache ist nur die Masse der Zwischenstucke zu beachten was zu einer Frequenzerniedri-gung fuhrt. Eine hinreichend genaue Frequenzberechnung ist somit nur dann moglich, wenn die zusatzlicheMasse der Zwischenstucke ebenso wie ihre mogliche versteifende Wirkung berucksichtigt werden, wasdurch Messungen gezeigt wurde [25, 44].

a)

ls

ls

ls

ls

l

k = 1

k = 2

k = 3

k = 4 l ls ≈ 0,2

l ls ≈ 0,25

l l ls ≈ 0,33 bis 0,5

l ls ≈ 0,5

b)

senkrecht zur Flache

parallel zur Flache

Bild 5.3: Hauptleiter aus Teilleitern bestehenda) Anordnung von Zwischenstucken innerhalb eines Stutzabstandsb) Schwingungsrichtungen

Um den Einfluß von Masse und versteifender Wirkung der Zwischenstucke zu berucksichtigen, wird Glei-chung (5.3) mit einen Faktorc erweitert, und die Hauptleiterfrequenzfc mit Zwischenstucken aus der Fre-

22

quenz eines Leitersf0 ohne Zwischenstucke ermittelt

fc = c f0 = cγl2

√

EJs

m′s

(5.4)

Der Faktorc setzt sich aus dem Faktorcm fur den Masseeinfluß undcc fur die versteifende Wirkung zusam-men

c= cmcc (5.5)

Zuerst wird der Masseeinfluß betrachtet. Durch die Zwischenstucke schwingen die einzelnen Teilleiter mitgleicher Grundfrequenz und gleichphasig. Die Eigenkreisfrequenz eines Feder-Masse-Systems kann aus derSteifigkeitcF der Feder und der Massembestimmt werden

ω2 =cF

m(5.6)

Die Zwischenstucke werden als zusatzliche Massenmz berucksichtigt und auf dien Teilleiter verteilt undmit dem Einflußfaktorξm gewichtet

ω2 =cF

m′s+ξm

mz/l

n

=1

1+ξmmz

nm′sl

cF

m′s=

1

1+ξmmz

nm′sl

ω20 (5.7)

mit der Eigenkreisfrequenzω0 = 2π f0 eines Leiters ohne Zwischenstucke. Hieraus ergibt sich die Frequenzf mit dem Faktorcm

f =ω2π

=1

√

1+ξmmz

nm′sl

f0 = cm f0 (5.8)

Der Einflußfaktorξm ist von der Anzahlk und der Lagels/l der Zwischenstucke abhangig.mz ist die gesamteMasse eines Zwischenstucks.ξm wird nun aus der tatsachlichen Eigenfrequenz des Hauptleiters bestimmt.Eine obere Schranke kann analytisch mit dem Rayleighschen Quotienten [9, 17] gewonnen werden, der mitdem Energieerhaltungssatz die maximale kinetische Energie Umax bei Durchgang durch die Ruhelage unddie maximale Energie bei RichtungsumkehrEmax wahrend der ungedampften Leiterschwingung vergleicht[23]

Umax= Emax= ω2Emax (5.9)

Hieraus folgt der Rayleighsche Quotient

R= ω2 =Umax

Emax(5.10)

mit

Umax=12

l∫

0

M2b (x)EJs

dx und Emax=12

l∫

0

w2(x)dm (5.11)

w(x) undMb(x) = EJsw′′ (x) sind Biegelinie und Biegemomentenlinie wahrend einer Schwingung. Fur dieEigenfunktion wirdR zum Minimum. Fur eine beliebige Biegelinie und Biegemomentenlinie, z. B. infolgeder Eigengewichtskraft, ergibt sich eine gute Naherung f¨ur die Grundfrequenz, die stets großer ist als derwirkliche Wert. Weitere Moglichkeiten zur Frequenzermittlung sind die Methoden mitUbertragungsmatri-zen und Finiten Elementen.


In umfangreichen Untersuchungen mit dem Rayyleighschen Quotienten und mit Finiten Elementen wur-den fur eine Anordnung mit zwei Rechteckteilleitern und den Randbedingungen beidseitig gestutzt undbeidseitig eingespannt die Grundfrequen berechnet und darausξm gewonnen [23].ξm ist in Tabelle 5.2 auf-gelistet und der Einfluß der Zwischenstuckmasse auf den Faktor cm in Bild 5.4 gezeigt. Beik > 6 kannξm = 1/(k+1) gesetzt werden. Die Ergebnisse gelten auch mit guter Naherung fur mehr als zwei Teilleiter.

Tabelle 5.2: Faktorξm fur den Masseeinfluß der Zwischenstucke und Faktorcc

fur die Wirkung von Versteifungselementen bei Schwingungsrichtungsenkrecht zur Flache

k 0 1 2 2 3 4 5 6

ls/l 1,00 0,50 0,33 0,50 0,25 0,20 0,17 0,14

ξm 0,0 2,5 3,0 1,5 4,0 5,0 6,0 7,0

cc 1,00 1,00 1,48 1,75 1,75 2,14 2,46 2,77

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14

cm

k =

2 ( = 0,5)

2 ( = 0,33)

1

3

4

56

ls

ls

l

l

0,72

0,76

0,78

0,8

0,82

0,84

0,86

1

n m' lmz

s

Bild 5.4: Einfluß der Zwischenstuckmas-sen auf den Faktorcm

Eine versteifende Wirkung der Zwischenstucke ist nur dannmoglich, wenn sie die Teilleiter starr miteinan-der verbinden, und die Schwingungsrichtung senkrecht zur Flache ist. Dies ist in der Praxis bei den ublichenLangen der Zwischenstucke im Vergleich zur Leiterlangeund den ublichen Teilleiterabstanden gewahrlei-stet. Reibung, Spiel oder Schubnachgiebigkeit konnen dieideale versteifende Wirkung herabsetzen. Die Ei-genfrequenz wird auch hier aus der Frequenzf0 nach Gleichung (5.3) des Teilleiters ohne Zwischenstuckemit dem Faktorcc bestimmt:

f = ccγl2

√

EJs

m′s= cc f0 (5.12)

Ein Faktorcc ≥ 1 ist somit zu erwarten, wenn die Zwischenstucke Versteifungselemente sind, und außerdemdie Schwingungsrichtung senkrecht zur Flache ist; in allen anderen Fallen gilt stetscc = 1.

Die Messungen der Eigenfrequenz bei beidseitiger Einspannung [25, 44] enthalten neben der versteifendenWirkung auch den Einfluß der Zwischenstuckmassen; er laßtsich mitcm nach Gleichung (5.8) undξm nachTabelle 5.2 herausrechnen. Die Auswertung der Messungen werden durch Bestimmung der Eigenfrequenzenmit Ubertragungsmatrizen und Finiten Elementen auch fur beidseitige Stutzung erganzt [23]. Die hierbeiermittelten Faktorencc sind ebenso in der Tabelle 5.2 angegeben.

24

Die Berechnung der maßgeblichen Kennfrequenz nach Gleichung (5.2) fur einen zusammengesetztenHaupleiter mit Versteifungselementen durch Einsetzen derin Abschnitt 6.2.2 angegebenen, aus den redu-zierten Widerstandsmomenten ermittelten Flachentragheitsmomente fuhrt auf Werte, die wesentlich hohersind als die Ergebnisse aus Gleichung (5.12). Dies ist darauf zuruckzufuhren, daß die

’dynamische‘ Steifig-

keit geringer als die statische ist.

Bild A.1 im Anhang zeigt das Bild 3 aus der Norm, dem der Faktorc fur den Zwischenstuckeinfluß abhangigvon der Art und der Masse der Zwischenstucke entnommen werden kann.

5.3 Kennfrequenz eines Teilleiters

Die Teilleiter verhalten sie sich wie an den Zwischenstucken eingespannte einfeldrige Balken. Die maßgeb-liche Kennfrequenzfcs kann somit nach Gleichung (5.2) berechnet werden, wennl durchls, Jm durchJs, m′

durchm′s ersetzt werden, und mitγ = 3,56 nach Tabelle 5.1:

fcs=3,56

l2s

√

EJs

m′s

(5.13)

Hierbei istJs bezuglich der BiegeachseOs-Os in Bild 6.4 zu nehmen. Diese Gleichung gilt exakt nur furdie inneren Felder bei durchlaufenden Tragern, wenn die Abstande der Zwischenstucke untereinander undzu den Stutzpunkten gleich sind. Wenn die Abstande ungleich sind, unterscheiden sich die Eigenfrequenzender Abschnitte zwischen den Zwischenstucken, ebenso in den Endfeldern und bei beidseitig gestutzten odergestutzt/eingespannten Einfeldtragern; zur Vereinfachung des Rechenaufwands wird trotzdem empfohlen,Gleichung (5.13) zu verwenden.

5.4 Kennfrequenzen von Stromschienen mit uberstehenden Enden, Zusatzmassen und Eta-genbogen

In den Abschnitten 5.1 und 5.2 ist die Berechnung der maßgeblichen Hauptleiter-Kennfrequenz fur Ein-feldtrager mit/ohne drehfreie Enden sowie fur zugeordnete durchlaufende Mehrfeldtrager beschrieben. Zu-ordnungsmerkmal in Tabelle 5.1 ist die Biegelinie infolge des Massenbelags. Mit dieserUberlegung kannauch auf die Kennfrequenz spezieller Leiteranordnungen geschlossen werden.

Typische Beispiele hierfur sind Stromschienen, wie sie imBild 5.5 a angegeben sind. An den uberkragendenEnden konnen eine Seilverbindung oder eine elastische Verbindung zu einem anderen Betriebsmittel ange-bracht sein, oder im Feld kann sich eine Zusatzmasse befinden, z. B. der Gegenkontakt eines Trenners. Furdie uberkragenden Enden liegen die Faktorenγ bei den gezeichneten Lagerungen zwischen den angegebe-nen Grenzen; welcher Wert zu nehmen ist hangt von der Langedes uberstehenden Teils und der Bewegungs-freiheit des Endpunktes ab. Bei der Zusatzmasse im Feld kanndie Ermittlung der Kennfrequenz mit demFaktorcm aus Abschnitt 5.2 erfolgen. Alternativ kann in allen Fallen die Kennfrequenz mit Gleichung (5.6)aus der maximalen Durchbiegung maxy der Schienen infolge der Eigengewichtskraft abgeschatztwerden:

fc =1

2π

√cF

m≈ 1

2π

√

1m

Fmaxy

=1

2π

√

Fmgn

gn

maxy=

12π

√gn

maxy(5.14)

Hierin bedeutencF die Federkonstante,mdie zusammengefasste Masse,F die durchmhervorgerufenen Ei-gengewichtskraft undgn = 9,81 m/s2 die Normfallbeschleunigung. Es ergibt sich die Zahlenwertgleichung,die im Bild 5.5a angefuhrt ist:

fcHz

≈ 5√

maxycm

(5.15)


a)

max y

Trennergegenkontakt-Masse

elastische Verbindung

Klemme, Seil

1,57< γ < 2,46

2,46< γ < 3,56

Alternativ:fc

Hz≈ 5√

maxycm

b)

j

A

B

Schnitt AB:Durchbiegungslinien

Bild 5.5: Eigenfrequenzbestimmunga) Stromschienen mit uberstehenden Enden und Zusatzmassenb) Etagenbogen

Kompliziertere Leitungsfuhrungen, z. B. Etagenbogen zur Uberbruckung von Hohenunterschieden im Bild5.5 b, konnen so mit guter Naherung untersucht werden. Nimmt man zunachst an, daß die Schenkel gleich-lang und absolut torsionssteif seien, so trifft die Biegelinie senkrecht zur Leiterebene furϕ = 180∘, d. h.gestreckter, beidseitig eingespannter Trager, auch fur90∘ ≤ ϕ < 180∘ zu; demzufolge wurde die Kennfre-quenz richtig bestimmt werden. Beim anderen Extrem, daß keine Torsionssteifigkeit vorhanden ist, konnensich beiϕ = 90∘ die Winkelschenkel wie Kragtrager durchbiegen, wodurch die Kennfrequenz auf 63% dersteifen Anordnung zuruckgeht. Beide Grenzfalle treten im Schaltanlagenbau auf: Die Rohrleiter in Hoch-spannungsanlagen sind ziemlich torsionssteif, wahrend die Rechteckquerschnitte in Mittel- und Nieder-spannungsanlagen torsionsweich sind. Rohrleiter konnendaher zur Kennfrequenzbestimmung rechnerisch

’gerade gebogen‘ werden, und mit Abschlagen zwischen 5% und15% je nach Schenkellange erhalt man

gute Ergebnisse.

26

6 Widerstandsmomente von Haupt- und Teilleitern

Die Spannungenσm im Hauptleiter undσs im Teilleiter nach den Gleichungen (2.5) und (2.6) sind abh¨angigvon den WiderstandsmomentenZm des Hauptleiters undZs des Teilleiters. Besteht der Hauptleiter aus einemeinzelnen Leiter, so kannZm Tabellenbuchern entnommen werden. Bei aus Telleitern zusammengesetztenHauptleitern ist der Einfluß der Zwischenstucke, die die Teilleiter verbinden, zu berucksichtigen.

Bei der Ermittlung des WiderstandsmomentsZm eines Hauptleiters ist zu unterscheiden, ob der Hauptleiterein Einzelleiter ist, oder aus zwei oder mehr Teilleitern mit Rechteckprofil oder aus zwei Teilleitern mit U-Profil zusammengesetzt ist. Bei zusammengesetzten Hauptleitern konnen entweder keine Zwischenstuckevorhanden sein, oder die Zwischenstucke sind Abstandhalter oder Versteifungselemente. Zusatzlich muß dieRichtung der Hauptleiterkraft beachtet werden.

Um die Widerstandsmomente von Haupt- und Teilleitern berechnen zu konnen, muß die Verteilung derBiegespannungen in den Leitern beachtet werden. Langskr¨afte treten infolge der in der Leiter-Langsachsein den Stutzpunkten verschiebbaren Lagerungen nicht auf.

6.1 Widerstandsmoment eines Einzelleiters

Bild 6.1 a zeigt die Schnitte durch einen Einzelleiter mit der rechteckigen QuerschnittsflacheAm. ImSchwerpunktSm der Flache befindet sich der Ursprung desxyz-Koordinatensystems. In Gleichung (2.5)ist VσVrβFml/8 der Betrag des maximalen MomentsMm, das vom Hauptleiter-KraftbelagFm/l innerhalbdes Stutzabstandsl hervorgerufen wird. Der mit Doppelpfeilen gekennzeichnete VektorMm in y-Richtunggeht durch den SchwerpunktSm und verursacht oberhalb der NullinieO–O Druck, unterhalb Zug. Die Span-nungsverteilung sei linear [9, 17]

σ = kx (6.1)

Dem außeren MomentMm wirkt ein inneres MomentM gleichen Betrags entgegen

M =

∫

Am

xσ dA= k∫

Am

x2 dA= kJm (6.2)

Jm ist das axiale Flachenmoment 2. Grades (Flachentragheitsmoment) des Hauptleiters um die AchseO–O.k in Gleichung (6.1) kann nun ersetzt werden

σ =MJm

x (6.3)

Die maximale Spannung, die an der Randfaser beix=±dm/2 auftritt, betragt

σm =MJm

dm

2(6.4)

Der Quotient aus dem FlachentragheitsmomentJm und dem Abstanddm/2 des Schwerpunkts von der Rand-faser definiert das Widerstandsmoment des Hauptleiters um seine BiegeachseO–O

Zm =Jm

dm/2(6.5)

so daß fur das innere Moment gilt

M = σmZm (6.6)

Die Widerstandsmomente von Einzelleitern konnen nachgeschlagen werden, z. B. [9, 17, 31, 32], und sindfur die im Schaltanlagenbau haufig auftretenden Querschnitte in Tabelle A.1 im Anhang zusammengestellt.

6 Widerstandsmomente von Haupt- und Teilleitern 27

a)

Mm

Mm

s

sm

SmSm

Am

OO dm

bm

x

y

x

z

b)

Mm

Mm

s

sm

SmSm

Ss

Ss Ss

xsSs

As

Os

es

O

Os

Os

O

Os

d

d

d

b

x

y

xz

c)

Mm

Mm

s

SmSm

Ss

Ss

As

Os

es

O

Os

Os

O

Os

d

d

d

b

x

y

xz

Bild 6.1: Spannungen in Hauptleiterna) Einzelleiterb) Teilleiter mechanisch nicht starr miteinander verbundenc) Teilleiter mechanisch starr miteinander verbunden

6.2 Widerstandsmomente von Hauptleitern aus Teilleitern zusammengesetzt

Besteht der Hauptleiter aus Teilleitern gleichen Profils, die symmetrisch zur Hauptleiter-Biegeachse ange-ordnet sind, so ergeben sich verschiedene Flachentragheits- und Widerstandsmomente abhangig von derAnzahl und der Art der Zwischenstucke und der Richtung der Hauptleiterkraft. Drei Falle sind hierbei zuunterscheiden, die in den folgenden Abschnitten untersucht werden.

Die im Anlagenbau ublichen Teilleiter haben Rechteck- oder U-Profil, selten I-Profile; fur diese Anord-nungen werden die Hauptleiter-Widerstandsmomente hergeleitet und in der Tabelle A.2 im Anhang noch-mals zusammengefaßt. Die Hauptleiter-Widerstandsmomente anderer Profile konnen ebenso einfach ermit-telt werden.

6.2.1 Hauptleiterkraft senkrecht auf der Flache und Teilleiter mechanisch nicht starr miteinanderverbunden

Bild 6.1 b zeigt die Schnitte durch einen Hauptleiter aus zwei Teilleitern. Die elektromagnetische Kraftzwischen den Hauptleitern steht senkrecht auf der BiegeachseO–O. Sind die Teilleiter mechanisch nichtmiteinander verbunden, so konnen sie sich unabhangig voneinander durchbiegen. Dabei verschieben sichdie gegenuberliegenden Flachen in ihrer Langsachse gegeneinander, da hier gedruckte, verkurzte und ge-zogenen, gelangte Fasern zusammentreffen [33]. Die Verschiebungen sind an den Auflagerstellen maximalund in der Mitte zwischen den Auflagerstellen null, wenn der Kraftbelag uber der Leiterlange konstant ist.Die unabhangigen Durchbiegungen sind moglich, wenn

– keine Zwischenstucke vorhanden sind oder

28

– die Zwischenstucke wie Abstandhalter wirken oder

– ein Versteifungselement in der Mitte des Feldes angebracht ist.

Man geht davon aus, daß die Zwischenstucke die Steifigkeit nicht erhohen.

Auf den Hauptleiter wirkt durch die Stromkraft das außere MomentMm = VσVrβFml/8 nach Gleichung(2.5). An jedem Teilleiter greift somitMm/2 an, das auf das innere MomentM fuhrt. Die Spannung injedem Teilleiter

σ =MJs

xs (6.7)

ist punktsymmetrisch zu seinem SchwerpunktSs und wird maximal furxs =±d/2:

σm =MJs

d2=

MZs

=Mm

2Zs(6.8)

Js ist das Flachentragheitsmomenteines Leiters um seine SchwerpunktachseOs–Os:

Js =d3b12

(6.9)

Das Widerstandsmoment des Hauptleiters um die AchseO–O ergibt sich zu

Zm = 2Zs (6.10)

Das Widerstandsmoment des Hauptleiters um seine SchwerpunktachseO–O bei nicht starr miteinander ver-bundenen Teilleitern ist somit gleich der Summe der Widerstandsmomente der Teilleiter um ihre Schwer-punktachseOs–Os.

Dies fuhrt bei Schienenpaketen mitn Teilleitern mit Rechteckquerschnitt nach Bild 6.2a,b und Zeile 3 vonTabelle A.1 auf

Zm = nd2b6

(6.11)

und bei 2 Teilleitern mit U-Profil nach Bild 6.2c mit Zeile 6 von Tabelle A.1 auf

Zm = 2be3− (b−2s) (e−s)3+2s(h−e)3

3e★(6.12)

Das Widerstandsmoment eines Hauptleiters aus zwei Teilleitern mit I-Profil kann in gleicher Weise mit denZeilen 7 und 8 von Tabelle A.1 hergeleitet werden.

6.2.2 Hauptleiterkraft senkrecht auf der Flache und Teilleiter mechanisch starr miteinander ver-bunden

Die Stromkraft wirkt, wie im vorigen Abschnitt 6.2.1, in dergleichen Richtung. Bei mechanisch starrer Ver-bindung wird der obere Teilleiter gestaucht, der untere gedehnt; die Teilleiter konnen sich nicht gegenein-ander verschieben, [33], was durch zwei oder mehr Versteifungselemente als Zwischenstucke erreicht wird.Unter der Annahme einer durchgangig mechanisch starren Verbindung der Teilleiter und Vernachlassigungder Schubspannungen ist die Spannungsverteilung wie beim Einzelleiter punktsymmetrisch zum Schwer-punktSm des Hauptleiters, Bild 6.1c. Das Flachentragheitsmoment muß daher mit dem Satz von Steiner [9]ermittelt werden, wobeiJs das Flachentragheitsmoment eines Teilleiters um seine AchseOs–Os, As seineFlache undes der Abstand seiner Achse von der BiegeachseO–O nach Bild 6.1 und Gleichung (6.9) ist

Jm = 2(Js+e2

sAs)

(6.13)


Die Spannungσ nach Gleichung (6.3) wird maximal furx= dm/2:

σm =MJm

dm

2=

MZm

(6.14)

Fur das Widerstandsmoment des Hauptleiters um die AchseO–O ergibt sich

Zm =Jm

dm/2(6.15)

a)

Fmb

dd d

O

O

Fmb

dd d dd

O

O

Fmb

dd d d dd d

O

O

Fmb

ddd dd d

O

O

b)

Fmb

dd dDd dd

OOT OT

OT OTO

c)

Fmb

h h

s

e eO

D

O

Bild 6.2: Hauptleiter aus Teilleitern zusammengesetzt, Hauptleiterkraft senkrecht auf der FlacheDie Zwischenstucke sind schwarz gezeichneta) 2, 3, 4 undn Teilleiter mit Rechteckquerschnittb) Teilleiter mit Rechteckquerschnitt, paarweise verbundenc) U-Profile

Bei n Teilleitern mit Rechteckquerschnitt nach Bild 6.2 a betragt das Flachentragheitsmoment des Hauptlei-ters um die AchseO–O fur n gerade

Jm = 2(Js+e2

1As)+2(Js+e2

2As)+ ⋅ ⋅ ⋅+2

(

Js+e2n2As

)

= nJs+2As

n2

∑i=1

e2i (6.16)

undn ungerade

Jm = Js+2(Js+e2

1As)+2(Js+e2

2As)+ ⋅ ⋅ ⋅+2

(

Js+e2n−1

2As

)

= nJs+2As

n−12

∑i=1

e2i (6.17)

ei ist der Abstand der Schwerpunktachse des Teilleitersi von der AchseO–O. Bei einem Abstandd zwischenden Teilleitern gleich der Schienendicke konnen die Summen geschrieben werden mit Bild 6.2 a und [2]

n2

∑i=1

e2i = d2+(3d)2+(5d)2+ ⋅ ⋅ ⋅+

((

2n2−1)

d)2

=n(n2−1

)

6d2 (6.18)

30

n−12

∑i=1

e2i = (2d)2+(4d)2+ ⋅ ⋅ ⋅+

(

2n−1

2d

)2

=n(n2−1

)

6d2 (6.19)

Somit gilt fur allen:

Jm = nJs+2Asn(n2−1

)

6d2 = n

(4n2−3

)Js (6.20)

Der Abstand der außeren Randfaser von der Hauptleiter-BiegeachseO–O betragt(2n−1)d/2. Das Wider-standsmoment ergibt sich zu

Zm =Jm

(2n−1)d/2=

n(4n2−3

)

2n−1Js

d/2=

n(4n2−3

)

2n−1Zs (6.21)

mit

Zs =d2b6

(6.22)

Besteht der Hauptleiter nach Bild 6.2 b aus vier Teilleiternmit Rechteckquerschnitt, wobei je zwei Teilleiterdurch Versteifungselemente miteinander verbunden sind, so betragt das Widerstandsmoment eines Teillei-terpaars um seine AchseOT–OT nach den Gleichungen (6.21) und (6.22) mitn= 2

ZsT =263

Zs =13d2b

9(6.23)

Die Teilleiterpaare sind nicht verbunden, daher wird das Hauptleiter-Widerstandsmoment um die AchseO–O nach Abschnitt 6.2.1

Zm = 2ZsT (6.24)

Das Widerstandsmoment ist unabhangig vom AbstandD der Teilleiterpaare.

Bei zwei Teilleitern mit U-Profil nach Bild 6.2 c folgt fur das Flachentragheitsmoment um die AchseO–O

Jm = 2(Js+e2As

)(6.25)

= 2

[

be3− (b−2s)(e−s)3+2s(h−e)3

3+

(D2+h−e

)2

(2h+b−2s)s

]

und mit dem AbstandD/2+h der außeren Randfaser von der Hauptleiter-BiegeachseO–O

Zm =Jm

D/2+h(6.26)

Das Widerstandsmoment eines Hauptleiters aus zwei Teilleitern mit I-Profil kann in gleicher Weise mit denZeilen 7 und 8 von Tabelle A.1 hergeleitet werden.

Die Gleichungen (6.21), (6.24) und (6.26) gehen von durchg¨angig starrer Verbindung der Teilleiter aus. Dadie Versteifungselemente nur punktweise angebracht sind,und somit keine durchgangige Steifigkeit erreichtwird, ergeben sich kleinere tatsachlich wirksame Widerstandsmomente. In [43] wird uber Versuche mit zweiTeilleitern Al 80×10 mit lichtem Abstand gleich der Schienendicke berichtet.Hierbei zeigt sich

– ein Versteifungselement erhoht die Steifigkeit praktisch nicht, siehe Abschnitt 6.2,

– bei zwei oder drei Versteifungselementen kann mit etwa 60 %des Wertes bei idealer Versteifung nachGleichung (6.21) gerechnet werden und

– bei vier Versteifungselementen mit etwa 80 %.


Fur U- und I-Profile sind keine Messungen bekannt. Der Abschnitt 2.2.2.3 in der Norm geht daher vonfolgenden Werten fur die Hauptleiter-Widerstandsmomente aus:

– Bei Rechteckleitern sind in Tabelle 5 der Norm 60 % der Widerstandsmomente nach Gleichungen (6.21)und (6.24) berucksichtigt,

– Bei U- und I-Profilen 50 % der Widerstandsmomente nach Gleichung (6.26).

Durch diese Reduktionen ergeben sich hohere Hauptleiterspannungen nach Gleichung (2.5) als bei idealerVersteifung und somit Ergebnisse auf der sicheren Seite.

6.2.3 Hauptleiterkraft in der Fl ache

Wirkt die Hauptleiterkraft entsprechend Bild 6.3, so habenZwischenstucke, unabhangig ob Abstandhalteroder Versteifungselemente, einen nur unwesentlichen Einfluß auf die Steifigkeit der Anordnung, solangedie Summe der Zwischenstuckabmessungen in Langsrichtung der wesentlich kleiner als der Stutzabstandist. Sie bewegen sich stets gleich. Die neutrale Schicht liegt in der Hauptleiter-BiegeachseO–O, die auchgleichzeitig die Teilleiter-BiegeachseOs–Os ist. Auf jeden dernTeilleiter wirkt wiederMm/n. Die Spannung

σ =MJs

xs (6.27)

verlauft wie im Bild 6.1 b und wird maximal furxs =±d/2

σm =MJs

d2=

MZs

=Mm

nZs(6.28)

Hieraus folgt nach Gleichung (6.6) das Widerstandsmoment des Hauptleiters um die AchseO–O als Summeder Widerstandsmomente der Teilleiter um die gleiche Achse

Zm = nZs (6.29)

a)

Fm

d

b

b

b

b

b

b

O

O

b)

Fm

b

h

h

sO

D

O

Bild 6.3: Hauptleiter aus Teilleitern zusammengesetzt, Hauptleiterkraft in der FlacheDie Zwischenstucke sind schwarz gezeichneta) n Teilleiter mit Rechteckquerschnittb) U-Profile

6.3 Widerstandsmomente von Teilleitern

Außer dem KraftbelagFm/l zwischen den Hauptleitern wirkt auf jeden Teilleiter nach Gleichung (2.6) derBetrag des maximalen außeren MomentsMs =VσsVrFsls/16 hervorgerufen vom KraftbelagFs/ls zwischenden Teilleitern, Bild 6.4, wodurch die Teilleiter sich zwischen zwei benachbarten Zwischenstucken auf-einanderzu bewegen und sich wie beidseitig eingespannte Einzelleiter nach Abschnitt 6.1 verhalten. Daher

32

stimmt das Flachentragheits- und das Widerstandsmomenteines Teilleiters mit den entsprechenden Werteneines Hauptleiters aus einem Einzelleiter mit gleichen Abmessungen und Biegeachse uberein. Sie sind furRechteckprofile der Zeile 3 und fur U- und I-Profile den Zeilen 6–8 von Tabelle A.1 zu entnehmen.

Ms

MsMs

Ms s

ss

Ss

SsSs

xs

Ss

As

Os

O

Os

Os

O

Os

d

d

d

b

y z

Bild 6.4: Spannungen in Teilleitern

7 Uberlagerung von Spannungen 33

7 Uberlagerung von Spannungen

7.1 Uberlagerung der Haupt- und Teilleileiterspannungenσm und σs

Die Zeitverlaufe der elektromagnetischen Krafte zwischen den Hauptleitern und zwischen den Teilleiternunterscheiden sich und ebenso die mechanischen Eigenfrequenzen der Haupt- und Teilleiter. Dies erfordertdie Ermittlung des Maximums der Gesamtspannung aus den Zeitverlaufen der Spannungen hervorgerufendurch die elektromagnetischen Krafte am schwingenden System. Um das Verfahren fur die Praxis in derNorm geeignet zu machen, werden die maximalen Spannungenσm undσs nach den Gleichungen (2.5) und(2.6) getrennt berechnet und nach Bild 7.1 uberlagert. Im Teilleiter 1 subtrahieren sich die Spannungenσm

undσs, im Teilleiter 2 addieren sie sich zur maßgebenden Biegespannungσtot

σtot = σm+σs (7.1)

Bei der im Bild 7.1 gezeichneten Anordnung eines einfeldrigen, an beiden Enden gestutzten Hauptleitersmit einem Zwischenstuck in Feldmitte liegen die Orte vonσm und σs zusammen, ebenso bei beidseitigeingespanntem Hauptleiter. Die Befestigungsart eingespannt/gestutzt oder mehrfeldrige Anordnungen oderunsymmetrisch angebrachte Zwischenstucke fuhren in denmeisten Fallen auf verschiedene Orte vonσm

undσs. Trotzdem wird Gleichung (7.1) angewandt, das Ergebnis liegt auf der sicheren Seite. DieUberlage-rung wird auch durchgefuhrt, obwohl in den Gleichungen (2.5) und (2.6) plastisches Verhalten des Leitersberucksichtigt ist.

Fm

sm ss s

Fm

Fs Fs

+

+ =

=

1:

1 2

2:

-

-

-

-

--+

+

+ + +

+

tot

Bild 7.1: Uberlagerung von Haupt- und Teilleiterspannungen

7.2 Uberlagerung von Spannungen, die durch senkrecht aufeinanderstehende Momentehervorgerufen werden

Bild 7.2 zeigt einen Rechteckleiter und einen Rundleiter, auf die die senkrecht zueinander stehenden Mo-menteM1 und M2 wirken. Dieser Fall tritt z. B. auf, wenn die Kraft zwischen den Hauptleitern senkrechtzur Kraft zwischen den Teilleitern steht, oder wenn zusatzlich zur Beanspruchung durch elektromagnetischeKrafte eine Vorbelastung infolge von Eigengewicht, Eis, Wind senkrecht dazu berucksichtigt werden soll.

Die auf der Querschnittsflache senkrecht stehenden Spannungenσ1 und σ2 sind in die Zeichenebene ge-klappt. In der neutralen SchichtO–O addieren sich die Spannungenσ1 undσ2 zu null, z. B. im PunktA. Diegroßte Spannung tritt in den PunktenH+ undH− auf, die den großten Abstand von der neutralen Schichthaben:

– beim Rechteckleiter, Bild 7.2 a,

σmax=±(σ1max+σ2max) (7.2)

34

a)

M1

M2

-s1

-s2

+s1

+s2

S

H-

H+

A

O

O

b)

M1

M2

-s1

-s2

+s1

+s2

S

H-

H+

A

O

O

-s2'

-s1'

+s1'

+s2'

Bild 7.2: Spannungen durch senkrecht aufeinanderstehendeMomentea) Rechteckleiterb) Rundleiter

– beim Rundleiter, Bild 7.2 b,

σmax=±(σ ′

1+σ ′2

)(7.3)

Gleichung (7.2) gilt ebenso bei U- und I-Profilen, Gleichung(7.3) bei Rohren.

Beim Rundleitern ist zu beachten, daß jede Achse durch den Schwerpunkt Tragheitshauptachse sein kann,auch die in Bild 7.2b eingezeichnete AchseO–O, in der der VektorM = M1+ M2 liegt, und die gleichzeitigneutrale Achse ist. Die hochste Spannung tritt in den PunktenH+ undH− auf, die den großten Abstand vonder neutralen Schicht haben. Fur den Betrag vonM gilt

∣∣∣M∣∣∣= M =

√∣∣∣M1

∣∣∣

2+∣∣∣M2

∣∣∣

2(7.4)

Mit σ1max= M1/Z, σ2max= M2/Z undσmax= M/Z folgt fur die hochste Spannung

σmax=±√

σ21max+σ2

2max (7.5)

Gleichung (7.5) gilt ebenso bei Rohrleitern.

8 Ermittlung der Kurzschlußfestigkeit 35

8 Ermittlung der Kurzschlußfestigkeit nach IEC 60865-1/DIN EN 60865-1 (VDE 0103/11.94)

Im Abschnitt 2 sind das Verfahren und die Gleichungen zum Nachweis der mechanischen Kurzschlußfe-stigkeit angegeben. Der Abschnitt 3 beschreibt die auf das System wirkenden Lasten durch die Kurzschluß-strome, der Abschnitt 4 begrundet die Berucksichtigungder plastischen Verformung und die sich ergebendenFaktoren zur Bestimmung der Leiter- und Stutzpunktbeanspruchungen. Die Abschnitte 5 und 6 zeigen dieHerleitungen der Gleichungen fur die Widerstandsmomenteund die maßgeblichen Leiterkennfrequenzenauf.

Dieser Abschnitt soll der genaue Ablauf der Ermittlung der Kurzschlußfestigkeit vermittelt werden. Hierzusind die Flußdiagramme angegeben, die die einzelnen Schritte zeigen. Wie es in der Norm vorgesehen ist,kann ohne und mit Berucksichtigung der Leiter-Kennfrequenzen gerechnet werden. Zum Verstandnis ist esnotwendig, die Norm gleichzeitig mitzubetrachten.

Zur besserenUbersicht sind die Flußdiagramme in einzelne Blocke aufgeteilt, um den physikalischen Ablaufbei Einzelleitern als auch bei aus Teilleitern zusammengesetzten Hauptleitern zu zeigen und außerdem denAblauf mit und ohne dreipolige Kurzunterbrechung.

In den Anweisungen der Flußdiagramme sind die Gleichungen der Norm mit (...), die Bilder mit F... und dieTabellen mit T... zitiert. Y entspricht ja, und N entsprichtnein; reclosing bedeutet dreipolige Kurzunterbre-chung. Im folgenden Text wird den Nummern der Bilder und Tabellen aus der Norm ein * vorangestellt.

Wird im Netz keine dreipolige Kurzunterbrechung angewandt, so sind

– ohne Berucksichtigung der Leiter-Kennfrequenzen die Blocke a) bis d) im Abschnitt 8.1,

– mit Berucksichtigung der Leiter-Kennfrequenzen die Bl¨ocke a) bis e) im Abschnitt 8.2

zu durchlaufen. Die Berechnung endet an der Marke END 1.

Ist im Netz dreipolige Kurzunterbrechung vorgesehen, so tritt nach einer Pausenzeit ein zweiter Stromflußauf wenn die Kurzunterbrechung erfolglos ist, was fur den Kurzschlußnachweis angenommen werden muß.Nach der Norm werden die Leiterspannungen und Kurzschlußkrafte wahrend der zweiten Stromflußdauerberechnet. Es sind daher

– ohne Berucksichtigung der Leiter-Kennfrequenzen die Blocke a), b), e) und f) im Abschnitt 8.1,

– mit Berucksichtigung der Leiter-Kennfrequenzen die Bl¨ocke a), b), c), f) und g) im Abschnitt 8.2

zu durchlaufen, wobei die gestrichelt eingerahmten Anweisungen ubersprungen werden. Die Berechnungendet an der Marke END 2.

Die Flußdiagramme sind gultig sowohl fur Drehstromanlagen als auch Wechselstromanlagen; hierbei istFm

entwederFm3 oderFm2.

Fur die Streckgrenze der Leitermaterialien sind die aktuellen Werte einzusetzen. Sind nur Mindest- undHochstwerte verfugbar, so istRp0,2 der Mindestwert undR′

p0,2 der Hochstwert.

In den Flußdiagrammen sind weiterhin Marken STOP 1 bis STOP 4angegeben. Werden sie erreicht, so sinddie Spannungen in den Leitern zu groß undAnderungen notwendig:

STOP 1 Die Teilleiter sind nicht kurzschlußfest. Entweder ist der Abstand zwischen zwei benachbartenAbstandhaltern zu groß oder die Abmessungen der Teilleiterzu klein.

STOP 2 Die Hauptleiter sind nicht kurzschlußfest. Entwederist der Abstand zwischen zwei benachbar-ten Stutzpunkten zu groß oder die Abmessungen der Hauptleiter zu klein.

36

STOP 3 Die Teilleiter sind bei dreipoliger Kurzunterbrechung nicht kurzschlußfest. Entweder ist derAbstand zwischen zwei benachbarten Abstandhaltern zu großoder die Abmessungen der Teil-leiter zu klein.

STOP 4 Die Hauptleiter sind bei dreipoliger Kurzunterbrechung nicht kurzschlußfest. Entweder ist derAbstand zwischen zwei benachbarten Stutzpunkten zu groß oder die Abmessungen der Haupt-leiter zu klein.

Die Berechnung ohne Leiter-Kennfrequenzen geht von folgenden Annahmen aus, die zu den Festlegungenin Tabelle *2 fuhren:

– Bei der Leiterbeanspruchung ohne dreipolige Kurzunterbrechung werden die in Bild *4 angegebenenmaximal moglichen WerteVσ = 1 undVσs = 1 als Hochstwerte genommen. DaVr = 1, stehenVσVr = 1undVσsVr = 1 in Tabelle *2. Bei der Leiterbeanspruchung mit dreipoliger Kurzunterbrechung wird dermaximal mogliche WertVr = 1,8 aus Bild *5 mit den maximal moglichen WertenVσ = 1 bzw.Vσs = 1aus Bild *4 multipliziert und als Hochstwerte in Tabelle *2berucksichtigt:VσVr = 1,8 bzw.VσsVr = 1,8.

– Ist die Leiterbeanspruchung im vollplastischen Zustand,so konnen die Krafte auf die Stutzpunkte nichtgroßer werden als nach den Regeln der Statik bestimmt, d. h.VFVr = 1; dies liegt dann vor, wennσtot ≥ 0,8R′

p0,2. Bei σtot < 0,8R′p0,2 geht man von einer Zunahme vonVFVr aus bis zu einem Hochst-

wert, der bei kleinemσtot, also bei Beanspruchung des Leiters im elastischen Bereich, erreicht wird.Dieser Hochstwert betragt 2,7 bei dreipoligen Kurzschl¨ussen bzw. 2,0 bei zweipoligen Kurzschlussenund bestimmt sich aus den Bildern *4 und *5, wenn fur alle Leiter-Kennfrequenzen das ProduktVFVr

gebildet wird, dessen Maximum beifc ≈ 2 f fur VF = 2,7 undVr = 1,0. Dies ist unabhangig davon, obdreipolige Kurzunterbrechung eingesetzt wird oder nicht.

Kleinere Leiterbeanspruchungen und Krafte auf die Stutzpunkte, als nach Tabelle *2 bestimmt, konnen furdie Auslegung der Anlagen berucksichtigt werden, wenn siemit Hilfe der Bilder *4 und *5 ermittelt werden.Hierzu ist die Berechnung der Leiter-Kennfrequenzen notwendig. Es zeigt sich:

– Ohne dreipolige Kurzunterbrechung konnen die Leiterbeanspruchungen beifc < f niedriger sein alsnach Tabelle *2, u. U. erheblich. Mit dreipoliger Kurzunterbrechung sind sie fur allefc niedriger.

– Die Krafte auf die Stutzpunkte sind ohne dreipolige Kurzunterbrechung stets niedriger als nach Tabelle*2 wennVF < 1 nach Bild *4, und mit dreipoliger Kurzunterbrechung wennVFVr < 1 nach den Bildern*4 und *5.In allen anderen Fallen werden zuerstVF undVr den Bildern *4 und *5 entnommen und das ProduktVFVr

gebildet. Ist dieses Produkt großer als der Wert, der sich abhangig vonσtot aus Tabelle *2 ergibt, so wirdder Wert aus Tabelle *2 fur die Dimensionierung zugrundegelegt, andernfallsVFVr aus den Bildern *4und *5. Diese optimale Verknupfung der Ermittlung vonVFVr aus den Bildern *4 und *5 mit Tabelle *2ist auch in den Flußdiagramm-Blocken e) und g) im Abschnitt8.2 angegeben.

Zur wirtschaftlichen Auslegung von Anordnungen wird empfohlen, die Berechnungen stets mit Beruck-sichtigung der maßgeblichen Leiter-Kennfrequenzen auszufuhren, vor allem bei Hoch- und Hochstspan-nungsanlagen, die eine niedrige Leiter-Kennfrequenz aufweisen. Gegenuber der Berechnung ohne Leiter-Kennfrequenzen konnen hierbei erhebliche Einsparungen erzielt werden.

Wie oben beschrieben, berechnet die Norm bei dreipoliger Kurzunterbrechung die Leiterspannungen undStutzpunktkrafte wahrend der zweiten Stromflußzeit. Untersuchungen zeigen jedoch, daß die Krafte auf dieStutzpunkte wahrend der ersten Stromflußzeit hoher seinkonnen als wahrend der zweiten Stromflußzeit.Dies ist auf die Zulassung plastischer Verformung des Leiters in der Norm zuruckzufuhren. Es kann sogardie paradoxe Situation auftreten, daß die Berechnung nach Norm ohne Leiter-Kennfrequenzen zu kleinerenStutzpunktkraften fuhrt als die Berechnung mit Leiter-Kennfrequenzen, was weder physikalisch noch vonder Methode des Verfahrens her moglich ist. Die Leiterspannungen sind wahrend der zweiten Stromflußzeitstets gleich oder großer als wahrend der ersten Stromflußzeit, werden daher nach der Norm richtig ermittelt.Tabelle 8.1 gibt die Leiterspannungen und Stutzpunktkrafte fur die in [6, 19] im Beispiel 1 beschriebene 10-kV-Anordnung und im Beispiel 3 beschriebene 380-kV-Anordnung ohne und mit dreipoliger Kurzunterbre-


chung jeweils ohne und mit Berechnung der Leiter-Kennfrequenz an, wie sie nach Norm ermittelt werden.Zusatzlich sind in den letzten beiden Spalten die großeren Werte angegeben, die sich jeweils wahrend derersten Stromflußdauer (Berechnung nach Norm ohne Kurzunterbrechung) und der zweiten Stromflußdauer(Berechnung nach Norm mit Kurzunterbrechung) ergeben.

Tabelle 8.1: Leiterspannungen und Stutzpunktkrafte ohne und mit dreipoliger Kurzunterbrechung

Rechteckleiter E-AlMgSi0,5F17 mitd = 10 mm;b= 60 mm; uber 4 Felder durchlaufend;I ′′k3 = 16 kA; f = 50 Hz

a) l = 1,00 m;a= 0,2 m;κ = 1,35; fc/ f = 1,05

Berechnung nach Normempfohlene

Bemessungswerte

dreipolige Kurzunterbrechung nein ja ja

Leiter-Kennfrequenz ohne mit ohne mit ohne mit

Biegespannungen σm N/mm2 73 73 131 73 131 73

Krafte auf Stutzpunkte Fd kN 1,73 1,58 0,96 1,58 1,73 1,58

b) l = 1,25 m;a= 0,25 m;κ = 1,6; fc/ f = 0,67


Bemessungswerte



Biegespannungen σm N/mm2 129 124 (231) 138 138

Krafte auf Stutzpunkte Fd kN 1,39 1,43 1,29 1,43

c) Rohrleiter E-AlMgSi0,5F22 mitD = 160 mm;s= 6 mm; uber 2 Felder durchlaufend;l = 18 m;a= 5 m; I ′′k3 = 50 kA; κ = 1,81; f = 50 Hz; fc/ f = 0,042


Bemessungswerte



Biegespannungen σm N/mm2 115 43 203 69 203 69

Krafte auf Stutzpunkte Fd kN 15,37 3,31 9,22 5,95 15,37 5,95

Die Anordnungen in Tabelle 8.1a und b unterscheiden sich in den Stutzpunktabstanden, somit in den Leiter-Kennfrequenzen, und in den Leiter-Mittenabstanden und dem Faktorκ ; Anordnung c ist ein Rohr mit sehrniedriger Leiter-Kennfrequenz. In Tabelle 8.1a sind nach Norm ohne Berucksichtigung der Leiterfrequenzbei Berucksichtigung der Kurzunterbrechung die Spannunghoher und die Stuzupunktkraft niedriger alsohne Kurzunterbrechung; mit Leiterfrequenz sind die entsprechenden Werte gleich, daVr = 1. In Tabelle8.1b zeigt sich, daß mit Kurzunterbrechung die Kurzschlußfestigkeit der Leiter nur unter Berucksichtigungder Leiterfrequenz nachgewiesen werden kann, da ohne Frequenz die Spannung von 231 N/mm2 uber demzulassigen Wert von 180 N/mm2 = qRp0,2 ist; daher sind die Krafte und die Maxima nicht angegeben. Mit

38

Frequenz sind die Stutzpunktkrafte wahrend der ersten Stromflußdauer etwas hoher als wahrend der zweiten.Die Ergebnisse in Tabelle 8.1c bestatigen den Sachverhaltbei Rechnung ohne Leiterfrequenz aus Tabelle8.1a; bei Berucksichtigung der Leiterfrequenz sind sowohl die Leiterspannungen als auch die Stutzpunkt-krafte in der zweiten Stromflußdauer hoher als in der ersten.

Die in Tabelle 8.1 exemplarisch dargestellten Untersuchungen konnen verallgemeninert werden. Hierbei istwieder zu unterscheiden, ob die Berechnung ohne oder mit Berucksichtigung der Leiter-Kennfrequenzenausgefuhrt wird:

– Ohne Kennfrequenzen:Nach Tabelle *2 sind die Leiterspannungenσm undσs wahrend der zweiten Stromflußzeit stets um denFaktor 1,8 großer als wahrend der ersten Stromflußzeit. Dies ergibt nach Tabelle *2 KrafteFd auf dieStutzpunkte, die wahrend der ersten Stromflußzeit bis zumFaktor 1,8 großer sein konnen als wahrendder zweiten Stromflußzeit, daVFVr von σtot abhangig ist. Somit sind die Stutzpunktkrafte wahrendderersten Stromflußzeit fur die Anlagenauslegung maßgebend,siehe Tabelle 8.1a,c.

– Mit Kennfrequenzen:Es sind verschiedene Falle zu unterscheiden, abhangig von den Kennfrequenzen, wobei ein Leiter jeHauptleiter betrachtet wird:

– Die Leiterspannungσm ist wahrend der ersten und zweiten Stromflußzeit gleich, wenn im Bild *5Vr = 1 ist, was furfc ≥ f der Fall ist. Die Krafte auf die Stutzpunkte stimmen wahrend beider Strom-flußzeiten uberein, siehe Tabelle 8.1a.VF wird in Bild *4 abgelesen und dann berucksichtigt, wenn eskleiner ist als nach Tabelle *2 ermittelt.

– Ist fc < f , so wird wahrend der zweiten StromflußzeitVr > 1 nach Bild *5. Dies fuhrt auf Leiterspan-nungen, die um den FaktorVr großer sind als jene wahrend der ersten Stromflußzeit. Dies hat Einflußauf die Krafte auf die Stutzpunkte:

• BeiVFVr ≤ 1 wahrend der zweiten Stromflußzeit mit den Bildern *4 und *5ist gleichzeitigVF < 1wahrend der ersten Stromflußzeit erfullt, beide sind kleiner als nach Tabelle *2. Die Krafte auf dieStutzpunkte sind daher wahrend der zweiten Stromflußzeitum den FaktorVr großer, siehe Tabelle8.1c.

• Bei VFVr > 1 jedochVF ≤ 1, ist zu uberprufen, ob Tabelle *2 einen kleineren WertVFVr abhangigvon σm fur die zweite Stromflußdauer ergibt; die Stutzpunktkrafte sind wahrend der zweitenStromflußdauer immer großer, jedoch ist der Unterschied zur ersten Stromflußdauer geringer alsim vorigen Punkt.

• Ist VFVr > 1 undVF > 1, so mussen beide Stromflußdauern nacheinander betrachtet werden. Eswird zuerst wahrend der ersten StromflußdauerVF nach Bild *4 mitVFVr nach Tabelle *2 bei derentsprechenden Leiterspannung verglichen und mit dem kleineren Wert der beiden die Stutzpunkt-kraft berechnet. Anschließend wird wahrend der zweiten StromflußdauerVFVr nach den Bildern *4und *5 mitVFVr nach Tabelle *2 bei der entsprechenden Leiterspannung verglichen und mit demkleineren Wert der beiden die Stutzpunktkraft berechnet.Das Maximum der Stutzpunktkrafte ausbeiden Stromflußdauern ist fur die Anlagenbemessung maßgebend. Hierbei kann es vorkommenvor allem bei hohen Leiterbeanspruchung wahrend der zweiten Stromflußdauer, daß die Stutz-punktkraft wahrend der ersten Stromflußdauer den hoherenWert hat, siehe Tabelle 8.1b.

Mehrere Leiter je Hauptleiter ergeben ahnliche Verhaltnisse.

Die Berechnungen mit dreipoliger Kurzunterbrechung unterBerucksichtigung der vorstehendenUberlegun-gen konnen ebenso mit den angegebenen Flußdiagrammen durchgefuhrt werden. Hierzu mussen alle Blockein der angegebenen Reihenfolge durchlaufen werden einschließlich der gestrichelt eingerahmten Anweisun-gen, die notwendig sind fur den Vergleich der Stutzpunktkrafte wahrend der beiden Stromflußdauern.

Dieser Vergleich der Ergebnisse wahrend beider Stromflußdauern ist in der Norm nicht vorgesehen. Es wirdjedoch empfohlen, ihn bei Berechnung

– ohne Leiter-Kennfrequenzen stets durchzufuhren,


– mit Leiter-Kennfrequenzen dann durchzufuhren, wenn sich VFVr > 1 nach den Bildern *4 und *5 ergibt.

und die Maxima aus erster und zweiter Stromflußdauer als Bemessungswerte anzunehmen.

8.1 Flußdiagramm ohne Berucksichtigung der Leiter-Kennfrequenzen

a) Berechnung der elektromagnetischen Krafte zwi-schen den Hauptleitern und zwischen den Teilleitern

a

Fm (5,6)

m (2,3)

n = 1NY

a

Fs (7,8)

s (4)

Start

b) Bereitstellung der Faktorenα , β undq

b T3

q T4

a T3

c) Berechnung der Spannungen infolge der Krafte zwischen den Hauptleitern und zwischen den Teillei-tern;Uberprufung der Kurzschlußfestigkeit von Haupt- und Teilleitern

n = 1 N

ss (10)

VssVrs = 1 T2

Y

Y Y

stot q£ Rp0, 2NN sm q£ Rp0, 2

Stop 2Stop 2

stot (12)

ss £ Rp0, 2

Stop 1Y

N

(14)

(13)(11)

VsVr = 1 T2

sm (9)

40

d) Ermittlung der Krafte auf die Stutzpunkte nach Tabelle*2

*

*

Fd (15)

Y

Y

N

N

End 1reclosing N

Y

Fd1= Fd

= 1 T2V VF r

= 2,7 T2V VF r

'tot0,8 /R s £ 1p0, 2

'tot0,8 /R s £ 2,7p0, 2

'tot= 0,8 / T2V V RF r sp0, 2

Bei nur einem Leiter je Hauptleiter istσtot durchσm zu ersetzen.

* Beim zweipoligen Kurzschluß ist 2,7 durch 2,0 zu ersetzen

e) Berechnung der Spannungen infolge der Krafte zwischen den Hauptleitern und zwischen den Teilleiternwahrend der zweiten Stromflußdauer;Uberprufung der Kurzschlußfestigkeit von Haupt- und Teilleitern

sm (9)

n = 1 N

ss (10)

Y

VssVrs = 1,8 T2

Y Y


Stop 4Stop 4

stot (12)

ss £ Rp0, 2

Stop 3Y

N

(14)

(13)(11)

VsVr = 1,8 T2


f) Ermittlung der Krafte auf die Stutzpunkte wahrend derzweiten Stromflußdauer nach Tabelle *2; Ermitt-lung der Bemessungslast

Fd (15)

End 2

Fd2 = Fd

N YFd2 > Fd1

Fd = Fd2Fd = Fd1

*

*

Y

Y

N

N

= 1 T2V VF r

= 2,7 T2V VF r

'tot= 0,8 / T2V V RF r sp0, 2

'tot0,8 /R s £ 1p0, 2

'tot0,8 /R s £ 2,7p0, 2


* Beim zweipoligen Kurzschluß ist 2,7 durch 2,0 zu ersetzen

8.2 Flußdiagramm mit Berucksichtigung der Leiter-Kennfrequenzen

a) Berechnung der elektromagnetischen Krafte zwi-schen den Hauptleitern und zwischen den Teilleitern

a

Fm (5,6)

m (2,3)

Start

n = 1NY

a

Fs (7,8)

s (4)

b) Bereitstellung der Faktorenα , β , γ undq

b T3

q T4

a T3

g T3

42

c) Berechnung der Hauptleiter- und der Teilleiter-Kennfrequenz

n = 1N

k = 0N

c = 1 c F7

fc (17)

Y

Y

fc (16)

fcs (18)

d) Berechnung der Spannungen infolge der Krafte zwischen den Hauptleitern und zwischen den Teillei-tern;Uberprufung der Kurzschlußfestigkeit von Haupt- und Teilleitern

n = 1NY

Y Y


Stop 2Stop 2

stot (12)

Vss F4

ss (10)

Vrs = 1

ss £ Rp0, 2

Stop 1Y

N

(14)

(13)(11)

Vr = 1

sm (9)

Vs F4


e) Ermittlung der Krafte auf die Stutzpunkte

End 1

Fd (15)

Y = 1 T2V VF r

N

Y

N

F5VF

N

YVF < 1Vr

'

reclosing N

Y

Fd1= Fd

tot= 0,8 / T2V V RF r sp0, 2

'tot0,8 /V V RF r s£ p0, 2

'tot0,8 /R s £ 1p0, 2


44

f) Berechnung der Spannungen infolge der Krafte zwischen den Hauptleitern und zwischen den Teilleiternwahrend der zweiten Stromflußdauer;Uberprufung der Kurzschlußfestigkeit von Haupt- und Teilleitern

sm (9)

Vr F5

n = 1NY

ss (10)

Vrs F5

Y Y


Stop 4Stop 4

stot (12)

ss £ Rp0, 2

Stop 3Y

N

(14)

(13)(11)

Vs F4


g) Ermittlung der Krafte auf die Stutzpunkte wahrend derzweiten Stromflußdauer; Ermittlung der Bemes-sungslast

End 2

Fd (15)

Y

N

Y

N

N

YVF < 1Vr

Fd2 = Fd

N YFd2 > Fd1

Fd = Fd2Fd = Fd1

= 1 T2V VF r

'tot= 0,8 / T2V V RF r sp0, 2

'tot0,8 /R s £ 1p0, 2

'tot0,8 /V V RF r s£ p0, 2

F5VF


46

9 Schrifttum

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9 Schrifttum 47

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[42] Tsanakas, D.: Dynamische Beanspruchung von Hochspannungsanlagen bei kleiner Kurzschlußdauer.etzArchiv 6 (1984), S. 387–392

[43] VDE 0101.6: Untersuchungen uber Tragheits- und Widerstandsmomente von Stromschienen mit 2Teilleitern. Arbeitsbericht Nr. 24, 1958, DKE Frankfurt amMain (unveroffentlicht)

[44] VDE 0101.6: Messung von Leiter–Eigenfrequenzen mit und ohne Zwischenstucke. ArbeitsberichtNr. 166, 1960, DKE Frankfurt am Main (unveroffentlicht)

[45] VDE 0103/01.61: Leitsatze fur die Bemessung von Starkstromanlagen auf mechanische und thermi-sche Kurzschlußfestigkeit. Berlin: VDE, 1961

A Anhang A.1

A Anhang

Tabellen

WiderstandsmomenteZm von Einzelleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2

WiderstandsmomenteZm fur Hauptleiter aus Teilleitern mit Rechteck- und U-Profil. . . . . . . . A.3

Bild

Faktorc fur den Einfluß von Zwischenstucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . A.4

A.2

Tabelle A.1: WiderstandsmomenteZm von Einzelleitern fur die eingezeichneten Biegeachsen

Leiterquerschnitt WiderstandsmomentZm

1Fm

Dπ32

D3

2Fm

D

s

π32

D4− (D−2s)4

D

3Fm

b

d

Fm

d

bd2b6

4Fm

D

s

D4− (D−2s)4

6D

5Fm

D

D

√2

12D3

6Fm

b

h

s

e be3− (b−2s)(e−s)3+2s(h−e)3

3e★

e=12

2h2s+(b−2s)s2

2hs+(b−2s)s

e★ = Max{e,h−e}

7Fm

h

b

sFm

h

bs bh3− (b−s)(h−2s)3

6h

8Fm

h

bs2sh3+(b−2s)s3

6h

A Anhang A.3

Tabelle A.2: WiderstandsmomenteZm fur Hauptleiter aus Teilleitern mit Rechteck- und U-ProfilIn den Zeilen 2, 3 und 6 ist die Reduktion nach Abschnitt 6.2.2berucksichtigt

Anordnung Zwischenstucke WiderstandsmomentZm

1

2

Fmb

ddd dd d

keine,Abstandhalter

oder1 Versteifungselement

Versteifungselemente

nd2b6

35⋅ n(4n2−3

)

2n−1d2b6

3Fm

b

dd dDd dd

Versteifungselemente35⋅ 26d2b

9

4Fm

d

b

b

b

b

b

bkeine,

Abstandhalteroder


nd2b6

5

6

Fmb

h h

s

e e

D

keine,Abstandhalter

oder1 Versteifungselement


23

be3− (b−2s)(e−s)3+2s(h−e)3

e★

e,e★ siehe Zeile 6 von Tabelle A.1

23

be3− (b−2s)(e−s)3+2s(h−e)3

D+2h

+(D+2h−2e)2(2b−D+h−2s)s

D+2hesiehe Zeile 6 von Tabelle A.1

7Fm

b

h

h

s

D

Abstandhalteroder


bh3− (b−s)(h−2s)3

3h

A.4

0 00,02 0,020,04 0,040,06 0,060,08 0,080,1 0,10,12 0,120,14 0,140,8

1,2

1,6

2

2,4

2,8

c c

k =

k = 2 ( = 0,5)

2 ( = 0,5) 2 ( = 0,33)

2 ( = 0,33)

1

1

33

4

4

5

5

6

6

ls

lsls

ls

l

ll

l

0,72

0,76

0,78

0,8

0,82

0,84

0,86

1

ls

ls

ls

ls

l

k = 1

k = 2

k = 3

k = 4 l ls ≈ 0,2

l ls ≈ 0,25

l l ls ≈ 0,33 bis 0,5

l ls ≈ 0,5

a)

c)b)

n m' lmz

s n m' lmz

s

Der Faktorc ist den Bildern b) und c) wie folgt zu entnehmen:

innerhalb eines Stutzabstands sind vorhanden

k Versteifungselemente k Abstandhalter

Schwingungsrichtungsenkrecht zur Flache

Faktorc aus Bild b) Faktorc aus Bild c)

Schwingungsrichtungparallel zur Flache

Faktorc aus Bild c) Faktorc aus Bild c)

Bild A.1: Faktorc fur den Einfluß von Zwischenstuckena) Anordnung von Zwischenstucken innerhalb eines Stutzabstandsb) Zwischenstucke sind Versteifungselementec) Zwischenstucke sind oder wirken als Abstandhalter

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