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Mechatronische Mehrkörpersimulation -

Ansatz zur Behandlung wandernder Koppelstellen im FEM

Daniel Spescha

Hop Nguyen

23.01.2014

VPE Swiss Workshop

Kopplung von Struktur und Steuerung/Regelung

Inhalt

Mechatronische Mehrkörpersimulation (H. Nguyen)

– Einleitung/Grundlagen

– Modellbildung

– Simulationsbeispiele

– Fazit und Ausblick

Ansatz zur Behandlung wandernder Koppelstellen im FEM (D. Spescha)

– Stand der Technik

– Ansatz über Fourier-Reihenentwicklung einer Kraftdichtefunktion

– Diskretisierung der Kraftdichtefunktion

– Positionsabhängigkeit der resultierenden Kraft und des Kraftschwerpunktsfehlers

– Umsetzung in Finite-Elemente-Modell

– Versuchsergebnisse

– Fazit und Ausblick

Spescha © 01/2014 inspire AG 2

Einleitung

Mechatronische Mehrköpersimulation (MKS)

– Kopplung von Antrieben, Regelung und mechanischer Struktur für

dynamische Analysen wie beispielsweise:

– Frequenzantworten

– Modalanalysen

– Transiente Simulationen

– Vergleich mit Finite Elemente Modellen

– Geringere Modellordnung und somit geringere Rechendauer bei MKS

– MKS nur dann zulässig, wenn die dominierende Nachgiebigkeit in den

Koppelstellen liegt


Grundlagen


MKS-Gleichung: 𝐌𝐪 + 𝐃𝐪 + 𝐊𝐪 + 𝐟 = 𝟎

– 𝐪𝑖 = (x, y, z, a, b, c)𝑻; 𝐪 = (𝐪1, 𝐪2,… , 𝐪𝑛−1, 𝐪𝑛)𝑻

– 𝐌 : Massen-Matrix, 𝐃 : Dämpfungs-Matrix, 𝐊: -Steifigkeits-Matrix

– 𝐪𝑖: Freiheitsgrade eines Körpers i (z.B. eine Maschinenachse)

– 𝐟 : externe Kräfte

Zustandsraumdarstellung 𝐱 = (𝐪, 𝐪 ) 𝐱 = 𝐀𝐱 + 𝐁𝐮; 𝐲 = 𝐂𝐱

– 𝐱: Zustandsraum, 𝐀: Zustandsmatrix aus Systemmatrizen 𝐌, 𝐃 und 𝐊

– 𝐁: Eingangsmatrix, 𝐮: Eingangsvektor, 𝐂: Ausgangsmatrix,

y: Ausgangsvektor

Regelmodell (kaskadiert)

– Lageregler

– Geschwindigkeitsregler

– Stromregler approximiert als Tiefpass (Element 1. Ordnung)

Modellbildung

Input der Modellparameter

– Direkte Modellparametereingabe über Excelsheets

– Darstellung von Ersatzkörpern

– Import aus ANSYS FE-Daten

– Darstellung der Struktur über ANSYS FE-Netz


Simulationsbeispiel I

GUI für positionsabhängige Strukturanalysen


Bsp: Modalanalyse und Darstellung der Eigenform

Simulationsbeispiel II

Beispiel: 360° Bewegung einer Schwenkachse im Werkstück-

Koordinatensystem: Y- und Z- Achse interpolieren mit der A-Achse

Für konstanten Abstand zwischen Werkstück und TCP konstant über 360°

Schwerpunkt der Schwenkachse abhängig von A

Bewegung einer Schwenkachse


Pos. A bei 0° Pos. A bei 60° Pos. A bei 120°

Simulationsbeispiel III

8 Spescha © 01/2014 inspire AG

Statische Simulationen von A 0° bis 360°

– Statische Berechnungen bis 360° und auf 0° referenziert

– Statische Verlagerung des Tisches gegenüber dem Werkzeug fliesst in die

kinematische Kalibration ein

– Statische Verlagerung führt zu Ungenauigkeiten vor allem in der simultanen 5-

Achs-Bearbeitung

Pos. A bei 60° 0 50 100 150 200 250 300 350

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

A [°]

TC

P-D

ispla

cem

ent [µ

m]

X-TCP

Y-TCP

Z-TCP

Y

Z

X

Werkstückkoordinaten

Simulationsbeispiel IV

GUI für Analysen der geregelten Struktur


Bsp: Frequenzgang des X-Antriebs

Simulationsbeispiel V

X-Positionierung auf 10mm, Cross-Talk in Z am TCP


Simulationsbeispiel VI

Cross-Talk bei X-Positionierung auf 50mm


Kippen der Z-Achse um Y

Überhöhte Darstellung

Mehrkörpersimulation - Fazit und Ausblick

12 Spescha © 01/2014 inspire AG

Fazit: MKS mit Antriebsankopplung

– Grundlegende, dynamische Effekte aufgrund von Offsets zwischen

Schwerpunkten, Koppelstellen, Antrieben und Messsystemen können

dynamisch simuliert werden

– Positionsabhängige Maschinenkonfigurationen und erforderliche Regel- und

Antriebsparameter sind mit geringem Rechenaufwand abschätzbar

– Elastizitäten innerhalb der Achskörper sind mit Segmentierung der Körper

approximierbar (Finite Differenzen Methode)

Ausblick

– Flexible Mehrkörpersimulation (MKS mit flexiblen Körpern)

– Einbindung flexibler Körper durch Finite Elemente Modellierung und

Modellordnungsreduktion

Flexible Mehrkörpersimulation

Motivation

– Nicht vernachlässigbare Nachgiebigkeiten von Körpern in der MKS abbilden

– Abbildung von grossen Bewegungen

– Abbildung von grossen Rotationen

Abbildung flexibler Strukturteile

– Lineare Finite Elemente Modelle

– Modellordnungsreduktion (Krylov Unterraum, Balanced Truncation, Modale

Kondensation etc.)

Eine wichtige Fragestellung für die Realisierung:

– Abbildung bewegter Lasten/Koppelstellen auf elastischen Körpern

– Abbildung von Führungsschienen, Kugelgewindetrieben, Umlauflasten etc.

– Identifizieren von Positionsabhängigkeiten

– Transiente Simulation von Bewegungen


Bewegte Lasten auf elastischen Körpern

Nachteile

– Äquidistantes Netz nötig

– Knoteninformationen müssen zur

Simulationszeit vorhanden sein

– Jeder Knoten muss ansprechbar sein

(ungünstig für Modellreduktion)

– Die resultierende Kraft variiert leicht abhängig von der Position

(Rel. Fehler bei 5 Knoten im Eingriff ca. 10−5)

Stand der Technik


Gewichtung mehrerer Knoten über

quadratische Gewichtungsfunktion

[Siedl, 2008] Daniel Siedl, Simulation des dynamischen Verhaltens von Werkzeugmaschinen während Verfahrbewegungen,

Institut für Werkzeugmaschinen und Fertigung, Technische Universität München, 2008

[Siedl, 2008]

Bewegte Lasten auf elastischen Körpern

Kraftdichte 𝑓 𝑥 trapezförmig

– Kraft lokal begrenzt

– Stetige Funktion

Ansatz über Fourier-Reihe einer Kraftdichtefunktion


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

position x

forc

e d

ensi

ty

𝑓 𝑥 =𝑎02+ 𝑎𝑘 cos 𝑘

2𝜋𝐿 𝑥 + 𝑏𝑘 sin 𝑘 2𝜋 𝐿 𝑥

∞

𝑘=1

Fourier-Reihe:

𝑎𝑘 =2

𝐿 𝑓 𝑥 cos 𝑘

2𝜋

𝐿𝑥 𝑑𝑥

𝑐+𝐿

𝑐

𝑏𝑘 =2

𝐿 𝑓 𝑥 sin 𝑘

2𝜋

𝐿𝑥 𝑑𝑥

𝑐+𝐿

𝑐

𝑎0 =1

𝐿 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑐+𝐿

𝑐

Fourier-Reihe einer Trapezfunktion

Reihenentwicklung


Anzahl Harmonische: 30

Konstante Knotengewichtungen für Basisfunktionen

𝑤0𝑖 𝑤𝑐,𝑘𝑖 𝑤𝑠,𝑘𝑖

Diskretisierung der Kraftdichtefunktion

Kraft F𝑖 an Knoten 𝑖:

– Kraftdichte 𝑓 über den an Knoten 𝑖 angrenzenden Flächen- /

Linienelementen integrieren

Verteilung der Kraft auf einzelne Knoten


𝐹𝑖 =1

2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑥𝑖+1

𝑥𝑖−1

=1

2

𝑎02+ 𝑎𝑘 cos 𝑘

2𝜋𝐿 𝑥 + 𝑏𝑘 sin 𝑘 2𝜋 𝐿 𝑥

∞

𝑘=1

𝑑𝑥

𝑥𝑖+1

𝑥𝑖−1

𝐹𝑖 = 𝑎01

4 𝑑𝑥

𝑥𝑖+1

𝑥𝑖−1

+ 𝑎𝑘 1

2 cos 𝑘 2𝜋 𝐿 𝑥 𝑑𝑥

𝑥𝑖+1

𝑥𝑖−1

+ 𝑏𝑘 1

2 sin 𝑘 2𝜋 𝐿 𝑥 𝑑𝑥

𝑥𝑖+1

𝑥𝑖−1

∞

𝑘=1

1D-Beispiel:

Diskretisierung der Kraftdichtefunktion

Kraftdichte vs. Knotenkraft


Positionsabhängigkeit der Kraft

Kraftvariation der Kraftsumme über alle Knoten


Konstante resultierende Kraft bei beliebiger Knotenverteilung

Positionsabhängigkeit der Kraft

Positionsfehler des Kraftschwerpunkts


Positionsauflösung bis ca. 170 mal höher als Knotendistanz (äquidistanter Knotenabstand)

Umsetzung für Finite-Elemente-Modell


Fixierte Lagerungen

Einbindung in FE-Modell

– Systemmatrizen 𝑴, 𝑫, 𝑲

– Ein- resp. Ausgangsmatrizen 𝑩 und 𝑪 mit den Gewichten der

Basisfunktionen (𝑤0𝑖, 𝑤𝑐,𝑘𝑖, 𝑤𝑠,𝑘𝑖)

– Variation der Fourier-Koeffizienten (𝑎0, 𝑎𝑘, 𝑏𝑘) während der Simulation

Testsystem

– Balken mit drei Lagern

– Modellordnungsreduktion

(Modale Kondensation, 100 Modes)

Versuchsergebnisse

Quasistatisch bewegte Last (1Hz)


Versuchsergebnisse

Dynamisch bewegte Last (1kHz)


Versuchsergebnisse

Räumliche Modellierung


Versuchsergebnisse

Positionsabhängigkeit des Amplitudengangs


Kraftdichtefunktionen - Fazit und Ausblick

Eigenschaften des Ansatzes «Fourier-Reihe einer Kraftdichtefunktion»

– Keine Kraftoszillation aufgrund der Diskretisierung während der Bewegung

(keine parameterinduzierte Schwingungen)

– Hohe Positionsauflösung (bis ca. 170-fach höher als Knotenabstand)

– Superposition mehrerer Kraft-, Auswerteverteilungen möglich

– Drehmomente über Kräftepaare realisierbar

– Zweidimensionale Verteilungen über 2D-Fourierreihen möglich

(Bsp. flächig geführte Systeme)

– Positionsabhängige Verlagerungsauswertung möglich

Ausblick

– Untersuchung der Methode unter Einsatz von Krylov-Unterraum-basierten

Reduktionsmethoden

– Einsatz der Methode in der flexiblen Mehrkörpersimulation mit reduzierten FE-

Modellen



Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit...

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