Mihaela Albu [email protected] Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2013-2014 1/25 Meßtechnik Meßtechnik...

Mihaela [email protected]

Vorlesung: Elektrische Meßtechnik 2013-2014

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MeßtechnikMeßtechnikVorlesungen Wirtschaftsingenieurwesen und

Ingenieurswesen [Elektronik]

FILS IIStudienplan 2014:

14 x 2 = 28 Stunden Vorlesung (Dienstags 12-14, CB020)

Übungen: 14 Stunden (Gruppe 1223G: Mittwochs 14-16, EB105-ungerade Wochen)

Übungen: 14 Stunden (Gruppe 1221G: Mittwochs 16-18, EB105-ungerade Wochen)

Labor (nur Gruppe 1223G): Mittwoch 12-14 EB109



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Vorlesungen-Schwerpunkte:

Einführung. Lernziele der Vorlesung; Maßeinheiten und Maßsysteme; Signalen und ihre Bewertung (Mittelwerte, Effektivwerte; Pegel).

Ermittlung der Messunsicherheit. Ermittlung der Messunsicherheit. Die Messfehler vom Die Messfehler vom geschichtlichen Standpunkt aus. Die Ermittlung von geschichtlichen Standpunkt aus. Die Ermittlung von Messunsicherheiten.Messunsicherheiten.

Elektromechanische Meßinstrumente. Das Drehspulmeßwerk. Meßbereichserweiterung. Drehspul-ampermeter, voltmeter, ohmmeter. Das Verhalten bei sinusförmigen Größen. Spitzenwert - , Mittelwert – Effektivwert – Voltmeter mit Dreshspulmeßwerk. Ferromagnetische, elektrostatische, elektrodynamische Meßwerke. Elektrodynamische Wattmeter. Zähler (Induktionsmeßwerk).

Das Oszilloskop.



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Wandler und Teiler. Spannungsteiler (reine Widerstandsteiler, gemischte RC Teiler). Shunts. Meßwandler.

Messungen in Drehstromssytemen. Wirkleitungmessung mit Hilfe der Wattmeter. Blindleistungsmessung. Wirk- und Blindleistungs-energiemessung. Direktes Einschalten der Meßgeräte und Meßschaltungen mit Meßwandler.

Meßverstärker. Verstärker. Ideales und reales Verstärker. Meßverstärker. Invertierende – und nichtinvertierende Verstärker-schaltungen. Komparator. Anwendungen in der Meßtechnik.

Präzisionsmeßmethode. Gleichstrombrücke. Wechselstrombrücke. Kompensatoren. Selbstabgleichende Brücke und -Kompensatore n.



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Digitales Messen. Einleitung. Digitale Signale. Abtast-theorem. Codierung und Verarbeitung digitaler Signale. Zählschaltungen. Digitale Frequenz - und Periodendauermessung. Phasenwinkelmessung.

A/D und D/A Wandler. Digital-Analog Wandler. Analog-Digital Wandler (Parallel-, Nachlaufender-, Sägezahn-, Integrierte – Wandler). Direktcodierung. Spannungsfrequenzwandler (Dual-Slope, Multiple- Slope). Delta-sigma Wandler.

Digitale Meßgeräte. Digitales Oszilloskop. Logikanalysor. Digitaler Spektrumanalysor.

Computergesteuerte Messtechnik. Datenbusse. Serielle – und Parallele Bussysteme. Datenerfassungssysteme – Ausführungsformen und Anwendungen. Moderne (smart) Zähler in den Energiesystemen.



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Literaturverzeichnis

[1] Armin Schöne, Meßtechnik, Springer Verlag, 1997[2] Reinhard Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer, 2007.[3] Elmar Schrüfer, Elektrische Meßtechnik, Hanser Verlag, 1992.[4] Gabriele dÁntona, Al. Ferrero, Digital Signal Processing for Measurement Systems, Springer, 2006[5] Niebuhr, Lindner, Physikalische Messtechnik mit Sensoren, Oldenbourg, 2002[6] Bonfig, Liu, Virtuelle Instrumente und Signalverarbeitung, VDE Verlag, 2004[7] Pfeiffer, Simulation von Meßschaltungen, Springer, 1994[8] http://www.vlab.pub.ro/courses/messtechnik/[9][9] Bernd Pesch, Messen, Kalibrieren, Prüfen, BoD, 2009Bernd Pesch, Messen, Kalibrieren, Prüfen, BoD, 2009



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Schätzung der Studenten Kentnisse und AktivitätSchätzung der Studenten Kentnisse und Aktivität::

Prüfung Juni 2013: 50%Prüfung Juni 2013: 50%

Test (beim Kurs): Test (beim Kurs): 5%5%

Hausaufgaben : 20%Hausaufgaben : 20%

Übungsstundearbeit: 30%Übungsstundearbeit: 30%

Kommunikation:Kommunikation:

http://www.vlab.pub.ro/courses/messtechnik/http://www.vlab.pub.ro/courses/messtechnik/

[email protected]@upb.ro

SprechstundenSprechstunden: EB129, Dienstags:16-18: EB129, Dienstags:16-18



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4. Unsicherheitsrechnung - Herkunft der Unsicherheiten

4.1 Der Abschied vom Messfehler

Die Existenz eines Messfehlers setzt voraus, dass man etwas anders macht, als es den gängigen Erwartungen oder Normen entsprechen würde.

Der Fehler – so wir er früher in der Messtechnik verstanden wurde – wurden in meisten Fällen durch den Begriff “Messabweichung” ersetzt.

Laut VIM (Intenationales Wörterbuch der Metrologie) ist die Messabweichung (engl.: deviation) das Messergebnis minus einem wahren Wert der Messgrösse.



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4.2. Die systematischen Fehler vom geschichtlichen Standpunkt aus

Zu den systematischen Fehlern gehören aber auch prinzipiell erfaßbare Umwelteinflüsse, die eine Abweichung bestimmten Betrags und bestimmtes Vorzeichnen bringen. Die wichtigste Umweltgröße ist die Temperatur. Meßgeräte können, ebenso wie jedes andere elektronische Gerät, nämlich nur in einem ganz bestimmten Temperaturbereich einwandfrei funktionieren. Außerhalb dieses Bereiches treten Störungen oder Defekte auf.

Es kann daher ein sog. Arbeitstemperaturbereich (engl.: operating temperature range) bestimmt werden. Er liegt durchschnittlich zwischen 0°C und + 50°C, wobei sich die Temperaturangaben auf die Umgebungsluft des jeweiligen Gerätes beziehen.



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4.2. Systematische Fehler

Beispiel: Das Multimeter hat auch, für jeden Meßbereich, einen Temperaturkoeffizient kT : für den Wechselstrombereich 200 µA:

kT = 10-3 K-1

Für Im1 = 50 µA (der gemessene Wert), der an einer Temperatur von 26°C gemessen wird, der Korrekturfaktor ist:

KI = 10-3· (26 - 23)·Im1 = 0,15 µAAus dem Datenblatt: die Bezugstemperatur ist 23 °C 2°C und der Betriebstemperaturbereich ist 0 °C bis 50 °C.

Die absolute Unsicherheit: IImax = 0,6 µA + 0,15 µA = 0,75 µADie relative Unsicherheit: = (IImax / Im1) ·100 = (0,75/50)100 = 1,5 %

Neben der Umgebungstemperatur kann für ein Meßgerät auch die Luftfeuchtigkeit, sowie die Einsatzhöhe bezogen auf den Meeresspiegel (NN) von Bedeutung sein. In Einzelfällen gibt es auch dafür Grenzwerte, die nicht überschritten werden dürfen. Ein anderes Beispiel in diesem Sinne ist die Erwärmung der Kreisbauelemente (Widerstände usw.) wegen der Leistung.



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4.3. Zufällige Messabweichungen

Nach Berücksichtigung aller systematischen Fehler bleibt das Ergebnis immer noch mit Unsicherheiten behaftet. Eine große Zahl unerfaßbarer Umwelteinflüsse rufen durch schwankende Beeinflussung eine Streuung der Meßergebnisse hervor. Diese zufälligen Abweichungen schwanken ebenfalls nach Betrag und Vorzeichnen.

Wiederholt derselbe Beobachter am gleichen Meßgegenstand eine Messung der gleichen Meßgröße mit demselben Meßinstrument unter gleichen Bedingungen, und vergleicht ein Beobachter dasselbe Meßgerät mit demselben Normal unter gleichen Bedingungen mehrmals, so weichen die einzelnen Meßwerte voneinander ab, sie streuen.

Durch statistische Verfahren können aber auch hier Aussagen gemacht werden. Allerdings, ist hierzu eine große Meßreihe erforderlich.



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4.3. Zufällige MessabweichungenBeispiel:Mit einem Millivoltmeter wurden 10 Messungen durchgeführt:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Xi

[mV]103 106 102 104 105 104 104 103 104 105

Der Mittelwert (engl.: mean value):

Die Streuung (Standardabweichung für sehr viele Messungen) (engl.: standard deviation), als Maß für die Streuung:

mVn

xx i

i

10410

1040

10

1

xx

mit

mVn

s

ii

ii

155,1

9

12

1

10

1

2



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4. Unsicherheitsrechnung - Herkunft der Unsicherheiten4.3. Zufällige Messabweichungen

Im Bild ist die Verteilung der Meßwerte dargestellt. (Wie oft haben wir einen bestimmten Wert gemessen). P ist der Scheitelwert (engl.: peak value) und R sind die Wendepunkte (engl.: inflexion points). In den meisten Fällen, bei dennen viele kleine Abweichungen (nach unterschiedlichem Betrag und Vorzeichen) vorliegen, ergibt sich die sogenannte Normalverteilung - Gauß'sche Normalverteilung - (engl.:normal law). Dieser Fall liegt insbesondere dann vor, wenn die Zahl der Messungen sehr groß gemacht wird



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Die vorangegangenen 10 Meßwerte sind nur eine Stichprobe (engl.: sample) aus der Grundgesamtheit, die einer echten Normalverteilung bei sehr vielen Punkten entspricht. Bei sehr vielen Meßpunkten N: die Normal-verteilung mit dem Mittelwert µ und der Standardabweichung :

2

2

2,

2

1)(

x

exN

N(X) ist die Dichte der N-Verteilung, mit X eine stetig verteilte Zufallsvariable. Für x, als diskrete Zufallsvariable, die die Werte xi ,1 i N, annimmt, gibt es, im allgemeinen:

der Mittelwert: die Streuung: N

xx

N

ii

1

11

2

N

xs

N

ii



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Im Bild ist die Grundgesamtheit durchgehend, die Stichprobe gestrichelt gezeichnet; µ ist der Mittelwert der Grundgesamtheit und x, der Mittelwert der zufälligen Stichprobe. Es kann aus x zwar nicht µ bestimmt werden, aber die Statistik erlaubt die Angabe eines Vertrauensbereiches um x, in dem µ mit einer angenommenen Wahrscheinlichkeit P liegt. Der Vertrauensbereich ist definiert durch:

sN

txs

N

tx

Dabei ist t von der Zahl N der Meßpunkte der Stichprobe und der angenommenen Wahrscheinlichkeit P abhängig: t = t(N,P). Die der t-Verteilung entsprechenden Werte sind in Tabelle angegeben.



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Vor jeder Anwendung der statistischen Methoden ist allerdings zu prüfen, ob überhaupt eine Normalverteilung vorliegt. Dazu muß man die Meßwerte der Größe nach sortieren und anschließend auszählen:

Meßwert(mV)

Häufigkeitabsolut

Häufigkeitin %

Summe derrelativen

Häufigkeiten101 0-mal 0 0102 1-mal 10 10103 2-mal 20 30104 4-mal 40 70105 2-mal 20 90106 1-mal 10 100107 0-mal 0 100

Die Summenhäufigkeit wird dann in ein sogennantes Wahrscheinlichkeitsnetz für die Gauß'sche Normalverteilung eingetragen. Die Aufteilung ist so gewählt, daß sich bei einer Normalverteilung eine Gerade ergibt .



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4. Unsicherheitsrechnung

4.4. Fehlerfortpflanzung systematischer Fehler (eine Geschichte)

Sei die Größe y als eine bekannte Funktion der Größen x1, x2, x3 definiert:

y = f( x1, x2, x3 )

Für kleine systematische Fehler (Einflüsse), d.h. x1, x2, x3 die im Betrag und Vorzeichen bekannt sind, kann die Abweichung y der Größe y bestimmt werden. y wird als Differenz zwischen dem unsicherheitsbehafteten und dem unsicherheitsfreien, "wahren" Funktionswert angesetzt :

y = y - yw = f(x1 + x1, x2 + x2, x3 + x3) - f( x1, x2, x3 ) y

y

xx

y

xx

y

xx

1

12

23

3



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4.4. Fehlerfortpflanzung systematischer Fehler (eine Geschichte)

Beispiel: Der Spannungsteiler: aus der gemessen Sekundärspannung (U2) soll die Primärspannung (U1) bestimmt werden. Die Meßunsicherheit bei der Bestimmung von U2 sowie die Abweichung der Widerstände R1 und R2 von ihrem Nennwert sind nach Betrag und Vorzeichen bekannt, gesucht ist die Gesamtabweichung bei der Ermittlung von U1:R1 = 900 + 1% R1 = 9 R2 = 100 + 2% R2 = 2 U2 = 100 V + 1% U2 = 1 V

VU

RUR

RRU

RU

R

RU

VUR

RU

R

RRU

1210010000

9009100

100

11

100

9001

11

10001

1

2222

112

22

2

11

22

12

2

211



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4.4. Fehlerfortpflanzung zufälliger Messabweichungen (eine Geschichte)Sei y = f(x1, x2, ... xn). Da Zufallsmessabweichungen vorliegen, wurde jede der Größen x1, ... xn wiederholt gemessen und die Mittelwerte mx1, ... mxn und die Standardabweichungen s1, ... sn wurden ermittelt. Die y-Werte bilden eine Verteilung und die Aufgabe ist, eine Rechenvorschrift zur Bestimmung des Mittelwerts my und der Standardabweichung sy dieser Verteilung zu finden.

a) Bestimmung des Mittelwerts my: Die Größe x1 ist k-mal gemessen. Ihrer Mittelwert ist:

Ein beliebiger Wert x1j kann als x1j = mx1 + x1j geschrieben werden usw. für alle Größen x1, x2, ... xn. In folgendem werden für die Erleichterung des Verständnises nur zwei gemessenen Größen angenommen: x1, x2.

Für die r-gemessenen Meßwerte x2i gilt: x2i = mx2 + x2i mit

k

jjx x

km

111

1

r

iix x

rm

122

1



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Für ein beliebiges Meßwertpaar x1j und x2i ergibt sich yji zu:

i

mm

j

mm

xx

ixjxijji

xx

xxfx

x

xxfmmf

xmxmfxxfy

xxxx

2

,2

211

,1

2121

221121

2121

)(),(),(

),(),(

),,,(

,11

,

11,

1

,1

11

21

211

221

11

21

12

211

121

1 12

21

121

1 1

n

xx

r

ii

m

jjxx

r

ii

m

jjxx

m

j

r

iijxx

m

j

r

ijiy

xxxfy

mmfxrx

fx

mx

fmmf

xx

fm

rmx

x

fr

rmmmfrm

rm

xx

fx

x

fmmf

rm

yrm

myji


4.4. Fehlerfortpflanzung zufälliger Messabweichungen (eine Geschichte)



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b) Berechnung der Standardabweichung sy . Es sind die entsprechenden Standardabweichungen s1 und s2 der x-Werte bekannt.

aus der Taylor'schen Reihenentwicklung

das sogennante "Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz”:

211 1

2 ,;11

xxfyyyrm

sm

j

r

ijiy

ijji x

x

xxfx

x

xxfxxfy 2

2

211

1

2121

,,,

2

2

22

2

1

21

1

22

2

21

21

2

1

111

2211

22

2

21

21

2

11 1

2

22

11

11

211

x

fs

x

fssx

x

f

rx

x

f

m

xxx

f

x

fxm

x

fxr

x

f

rmx

x

fx

x

f

rms

y

r

ii

m

jj

j

r

j

m

ii

r

ii

m

jj

m

j

r

iijy


4.4. Fehlerfortpflanzung zufälliger Messabweichungen (eine Geschichte)



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Angenommen wird, daß sich eine Größe y aus den gemessenen

Größen x1, x2, ..., xn berechnet, wobei für die gemessenen Größen die

Fehlergrenzen (engl.:limit of error) c1, c2, ..., cn, die

Meßbereichsendwerte X1, X2, ..., Xn und damit die Unsicherheiten

X1max, X2max, ..., Xn, max bekannt sind.

Zu bestimmen ist die mögliche Unsicherheit des Ergebnisses y.

Dabei ist zwischen der maximal möglichen Unsicherheit y* und der wahrscheinlichen Unsicherheit y** zu unterscheiden.

4. Fehlerrechnung - Fehlerfortpflanzung

4.5. Fortpflanzung der Fehlergrenzen



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a) Die maximal mögliche Unsicherheit y*. Sei y = f(x1, ...xn )

Wegen des unbekannten Vorzeichnes des xi erhalten wir die maximalen (sicheren) Unsicherheitsgrenzen:

Der Meßwert wird dann angegeben als:

nn

xx

fx

x

fy

11

n

ii

i

n

ii

ii

n

i i

xx

fx

x

fx

x

fy

111

max*

y

yyyyyw

*1*Aber die so berechneten Unsicherheiten sind

sehr unwahrscheinlich, weil alle Werte mit der Unsicherheitsgrenze ci behaftet wären.





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b) Die wahrscheinliche Unsicherheit y**:

[Hier besteht die Schwierigkeit, daß die Verteilung der Unsicherheiten innerhalb einer Genauigkeitsklasse meistens nicht bekannt ist. So gibt es für die obere Beziehung keine mathematische Begründung. Aber die durch diese Gleichung definierten Unsicherheiten werden durch praktische Erfahrung bestätigt]

n

ii

i

xx

fy

1

2

**





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Beispiel: Aus einer Wegmessung L, Garantiefehlergrenze cL = 1% vom Endwert und einer Zeitmessung tm, (Garantiefehlergrenze ct = 2% vom Endwert) ist bei voller Ausnutzung des Meßbereichs die Meßunsicherheit der Geschwindigkeit v=(L/t) zu bestimmen.

a) die maximal mögliche Unsicherheit v*:

b) die wahrscheinliche Unsicherheit v**:

03.002.001.0*

1*

max

max

max

max

max2maxmaxmax

t

t

L

L

v

v

tt

LL

tt

t

vL

L

vv

022.002.001.0**

**

22

2

max

max

2

max

max

24

2max

2

2max

2

max

2

max

t

t

L

L

v

v

Lt

t

t

Lt

t

vL

L

vv





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Beispiel: Die umgesetzte Leistung P in beiden Widerständen soll ermittelt werden. P = R1 I1

2 + R2 I22 ;R1 = 1 ; R2 = 2,5 ;

Die Widerstandswerte seien hinreichend genau, so daß man ihre Abweichungen vernachlässigen kann. I1 = 10 A (2%) I1max = 0,2 AI2 = 4 A (3%) I2max = 0,12 A

Die entsprechende Leistung wird (ohne Berücksichtigung der Abweichungen): P = 140 W

%57,4100140

4,6100*4,612,0425,22,01021*

22*max222max111

P

PWP

IIRIIRP

P


4.5. Fortpflanzung der Fehlergrenzen (eine Geschichte)



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• Wurde am Ende 80 er Jahre als eine quantifizerbare Eigenschaft des gemessenen Wertes eingeführt

• 1984 wurde der Begriff ofiziell in die “International vocabulary of basic and general terms in metrology (VIM) “ definiert

5. Der Unsicherheitsbegriff



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• Dieser Begriff wird von folgenden Aspekten beschrieben:

- wird immer einem Messergebnis zugeordnet und charakterisiert die Streuung der Werte die der zu messenden Grösse vernünftigerweise zugerechnet werden kann;

- ist immer synonym mit der Mängel an genauen Kentnissen des Messergebnisses

Ein genaues Messergebnis anzugeben ohne die Unsicherheit anzugeben ist sinnlos!




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5.1.Die Unscherheitsbestimmung

• Die Standardmessunscherheit (Standard uncertainty) u(x): die Unsicherheit eines Messergebnisses die als eine Standardabweichung ausgedrückt wird;

• Die Standardmessabweichung vom Typ A (Type A evaluation (of standard uncertainty)): Die Ermittlung der Messunsicherheit anhand von Statistik (die für Messreihen angewendet wird);

• Die Standardmessabweichung vom Typ B (Type B evaluation (of standard uncertainty)): Die Ermittlung der Messunsicherheit anhand von Methoden die nicht der Statistik angehören;

• Erweiterte Unsicherheit: das Interval in dem erwartet wird dass die Werte einer Messung vernünftigerweise sich befinden können (mit einem grossen Konfidenzniveau) U= K·u(x); K heisst Erweiterungsfaktor oder Abdeckungsfaktor (coverage factor). Meistens ist er in der Technik mit 2 bewertet weil auf diese Weise das oben erwähnte Interval eine Breite von 95% besitzen würde.



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5.2.Die Bestimmung der Unsicherheit vom Typ B

Der Begriff von indirekter Messung bezieht sich meistens auf mehrere direkte Messungen die weiter von einer Bearbeitung der erhaltenen Messergebnisse gefolgt ist. Praktisch, ist die indirekte Messung die Berechnung des Messergebnisses anhand von mindestens 2 bekannten Werten die der zu messenden Grösse entsprechen. Diese 2 Werte werden von bekannten Messunsicherheiten beeinflusst und werden weiter durch ihre Erwartungswerte charakterisiert die einer bestimmten statistischen Verteilung gehorchen. Meistens ist diese Verteilung die Normalverteilung.



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5.2.Die Bestimmung der Unsicherheit vom Typ B

qxxxfy ,,, 21

Die indirekt gemessene Grösse y hängt also von den direkt gemessenen Grössen x1,x2,…,xq. Jede x Grösse wird q mal gemessen so dass für jede Grösse der Erwartungswert (Mittelwert) und die Standardabweichung bestimmt werden kann. Man nimmt an dass diese x Werte unabhängig voneinander sind und dass sie einer Normalverteilung entsprechen.

N

ii

ic xu

x

fyu

1

2

2

2 )(



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Beispiele und Aufgaben:

6. Sei die Schaltung im nebenstehenden Bild. Man soll den Wert des Widerstandes Rx bestimmen. Das Voltmeter gehört der Genauigkeitsklasse 0.5, hat den Meßbereich 100 V und einen unendlich hoch Innenwiderstand. a) Mit welcher warscheinlichsten Unsicherheit wird der Widerstandwert Rx bestimmen falls:

a1) Ud = 10V;a2) Ud = 80V

b) Es wird 10 Messungen für Ud durchgeführt, mit den folgenden Ergebnissen (Meßwerte):

76; 79; 83; 80; 81; 79; 81.5; 78; 82; 84 [V]b1) berechnen Sie den Mittelwert und die Streuung der

Stichprobe.b2) bestimmen Sie den Vertraunsbereich in dem, den

Mittelwert der Spannung Ud, mit einer angenomenen Wahrscheinlichkeit von 95% liegt.

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