M.K¨unzer...

B. Chen, M. Jedlitschky,

B. Krinn, M. Kutter,

M. Werth

1. Gruppenubung zur Vorlesung

Hohere Mathematik 1M. Kunzer

M. Stroppel

Wintersemester 2013/2014

Prasenzubungen

Aufgabe P 1. Elementares Rechnen

Berechnen Sie ohne Taschenrechner:

(a) x1 = 23455,5 : 19

(b) x2 =1

35· 213

5

(c) x3 =√152 + 362

(d) x4 =

(

1512

)

Aufgabe P 2. Funktionsgraphen

Skizzeren Sie die Graphen folgender Funktionen:

(a) f : [0,+∞) → R : x 7→√x (b) f : R → R : x 7→ 2 sin(x− π) + 1

Aufgabe P 3. Summen

Welche der folgenden Ausdrucke liefern fur n ∈ N und fur alle reellen Zahlen aj stetsdasselbe Resultat?

(a)n

∑

k=0

a2k+1 (b)n+4∑

k=4

a2k−7

(c)2n+1∑

k=1

ak −n

∑

k=1

a2k (d)2n+1∑

l=1

(

1− (−1)l)

2sin

(π

2+ 2lπ

)

al

(e)

2n∑

l=0

(−1)l2+l a2n−(l−1)

2+

2n+1∑

k=1

(−1)k+1 ak

2

Aufgabe P 4. Induktion

Die Fibonacci-Zahlen sind rekursiv definiert durch

f0 := 0, f1 := 1 und fn+1 := fn + fn−1 fur n ≧ 1.

Berechnen Sie f7 .Zeigen Sie mit vollstandiger Induktion, dass fur n ≧ 1 gilt:

n∑

i=0

fi = fn+2 − 1 und fn+1fn−1 − f 2n = (−1)n .

www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel/

1. Gruppenubung Hohere Mathematik 1

Hausubungen (Abgabe in der nachsten Gruppenubung):

Aufgabe H 1. Funktionsgraphen

1

π

1

1(i) (ii)

1

1

1

1

(iii) (iv)

Ordnen Sie jedem der obigen Funktionsgraphen jeweils eine der unteren Funktionen zu undbegrunden Sie jede dieser Zuordnungen.

(a) f : R → R : x 7→{

12x x < 0

2x x ≧ 0

(b) f : R → R : x 7→ cos(

x− π

2

)

(c) f : R → R : x 7→ exp(x)

(d) f : R → R : x 7→{

12x x < 0

|x| x ≧ 0

(e) f : R → R : x 7→ sin(

x− π

2

)

(f) f : R → R : x 7→√x2

Aufgabe H 2. Induktion

Zeigen Sie mit vollstandiger Induktion:

(a) Fur k ∈ N0 ist∑k

j=0

(

5+j

j

)

=(

5+k+1k

)

.

(b) Fur n ∈ N und α ∈ R ist | sin(nα)| ≦ n| sin(α)| .Hinweis: Man kann sin(β + γ) = sin(β) cos(γ) + cos(β) sin(γ) verwenden.

Aufgabe H 3. Induktion

Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit vollstandiger Induktion.

(a) Fur n ∈ N0 ist 49n + 16n− 1 durch 64 teilbar.

(b) Fur n ∈ N mit n ≧ 3 ist (1 + 1n)n < n .

(c) Fur n ∈ N mit n ≧ 2 ist∑n

k=11

n+k> 13

24.




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Prasenzubungen

Aufgabe P 5. Abbildungen

Geben Sie an, welche Eigenschaft eine Abbildung erfullen muss, um nicht injektiv beziehungs-weise nicht surjektiv zu sein.Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivitat, Surjektivitat und Bijektivitat.

(a) Es seien A die Menge der (anwesenden) Teilnehmer Ihrer Ubungsgruppe und B dieMenge {Januar, Februar, . . . ,Dezember} . Weiterhin sei f : A → B die Abbildung, diejedem Teilnehmer seinen Geburtsmonat zuordnet.

(b) Es sei C die Menge der Vereine der ersten Fußball-Bundesliga und D die Menge derZahlen zwischen 1 und 18 . Weiterhin sei t : C → D die Abbildung, die jedem Vereinseinen aktuellen Tabellenplatz zuordnet. Kann t vom Spieltag abhangen?

(c) Sei g : [2,∞) → R : x 7→ x2 − 4x+ 5 . Skizzieren Sie auch den Graphen.

Aufgabe P 6. Ungleichungen, Betrage

Fur welche (x, y) ∈ R2 gilt

∣

∣x− y∣

∣ ≦∣

∣x2 − y2∣

∣.

Aufgabe P 7. Beispiele von Abbildungen

Finden Sie

(a) eine Abbildung f : [0, 1] → [0, 1] , die injektiv aber nicht surjektiv ist.

(b) eine Abbildung f : R → [0, 1] , die weder surjektiv noch injektiv ist.

(c) eine Abbildung f : [−1, 2] ∪ (3, 5] → [0, 1] , die bijektiv ist.

Aufgabe P 8. Mengen

Es seien A und B Mengen und f : A → B eine Abbildung.

Sei U j A . Wir schreiben f(U) := {f(x) | x ∈ U} j B .

Sei V j B . Wir schreiben f←(V ) := {x ∈ A | f(x) ∈ V } j A .

Sind folgende Rechenregeln richtig?

(a) f←(f(U)) = U (b) f(f←(V )) = V




Aufgabe H 4. Abbildungen

Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivitat, Surjektivitat und Bijektivitat.Geben Sie gegebenenfalls eine Umkehrabbildung an.

(a) Sei R die Menge der Rechtecke mit positivem Flacheninhalt in der Ebene.Sei F : R → R

+ : x 7→ (Flacheninhalt von x).

(b) Sei u : Rr {−5} → Rr {0} : y 7→1

y + 5.

Aufgabe H 5. Ungleichungen

(a) Fur welche (x, y, z) ∈ R3 ist (x+ y + 2z)2 ≦ 6(x2 + y2 + z2)?

Hinweis: Schwarzsche Ungleichung.

(b) Zeigen Sie folgende Ungleichung fur n ∈ N0 und x ∈ R+

0 .

(1 + x)n ≧ 1 + nx+1

2n(n− 1)x2

Ist die Ungleichung fur x = −1/2 auch noch fur alle n ∈ N0 richtig?

Aufgabe H 6. Abbildungen

Finden Sie

(a) eine Abbildung f : N → [0, 1] , die injektiv ist. Ist Ihr Beispiel surjektiv?

(b) eine Abbildung f : R → [0, 1] , die surjektiv, aber nicht injektiv ist.

(c) eine Abbildung f : R+

0 → (0, 1] , die bijektiv ist.

(d) eine Abbildung f : R2 → {0, 1, 2, 3} , die surjektiv ist.

Aufgabe H 7. Skizzieren von Mengen

Gegeben sind

A :={

(x, y) ∈ R2∣

∣ y = 0}

B :={

(x, y) ∈ R2∣

∣ y = ex − e−8}

C :={

(x, y) ∈ R2∣

∣ x2 + y2 ≦ 42}

D :={

(x, y) ∈ R2∣

∣ x > |y|}

Skizzieren Sie folgende Teilmengen der Ebene R2 .

(a) A , B , C und D (b) CR2(A) ∪ CR2(B) (c) C r (D ∪ {(1, 2)})


B. Chen, M. Jedlitschky,B. Krinn, M. Kutter,M. Werth



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Prasenzubungen

Aufgabe P 9. Komplexe Zahlenebene

Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen.

z1 := 1, z2 := 1 + 2i, z3 := −3 + i, z4 :=1√2(1 + i)

(a) Zeichnen Sie z1 , z2 , z3 und z4 in die komplexe Ebene ein.

(b) Zeichnen Sie z2 , z2 + z3 , z2z3 und z54 in die komplexe Ebene ein und uberprufen Siein diesen Beispielen die jeweiligen geometrischen Interpretationen der angewendetenRechenoperationen.

(c) Bestimmen Sie arg(z4) .

Aufgabe P 10. Komplexe Zahlenebene

Skizzieren Sie die folgenden Mengen in der komplexen Zahlenebene.

(a){z ∈ C

∣∣ Re(z) + 2 Im(z) > 1}

(b){z ∈ Cr {0}

∣∣ Re(1z

)> 1}

(c){z ∈ C

∣∣ Re (z + iz) + Im (z + iz) = 0 ∧ zz = 4}

Aufgabe P 11. Abbildungen im Komplexen

Gegeben sei die Abbildungf : C→ C : z 7→ z2

sowie die Mengen A ={z ∈ C

∣∣ Re z = 1}und B =

{z ∈ C

∣∣ Im z = 1}.

Zeichnen Sie A , f(A) und f(B) in die komplexe Ebene ein.

Aufgabe P 12. Symmetrische Gruppe

Finden Sie ein Element σ ∈ Sym({1, 2, 3}) mit σ 6= id , aber σ3 = id .Hierbei ist id(k) = k fur k ∈ {1, 2, 3} , es ist id also die identische Abbildung.




Aufgabe H 8. Gleichungen im Komplexen

(a) Fur welche z ∈ C ist zz − 3iz = 1 + 3i ?

(b) Fur welche z ∈ C ist z2 + |z| = 0 ?

(c) Fur welche z ∈ C ist zz = 4 und |z + 1 +√3i| = 4 ? Bestimmen Sie dies auf

rechnerischem und auf zeichnerischem Weg.

Aufgabe H 9. Komplexe Zahlenebene

Skizzieren Sie die folgenden Mengen in der komplexen Zahlenebene.

(a){z ∈ C

∣∣ |z − 1− i| > 2}

(b){z ∈ C

∣∣ |z − 1− i| > |z − 1 + i|}

(c){(−

√32+ i

2

)n ∣∣∣ n ∈ Z}

(d){z ∈ C

∣∣ Re(z4) = Re(z)4}

Aufgabe H 10. Abbildungen im Komplexen

Gegeben seien die Abbildungen

f : Cr {0} → C : z 7→ z +1

z, g : Cr {0} → C : z 7→ z +

i

z

sowie die Menge A ={z ∈ C

∣∣ |z| = 1}.

(a) Zeichnen Sie A , f(A) und g(A) in die komplexe Ebene ein.

(b) Bestimmen Sie{arg(z)

∣∣ z ∈ C ∧ f(z) = 1}.




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Prasenzubungen

Aufgabe P 13. Nullstellen von Polynomen

Bestimmen Sie alle komplexen Losungen der folgenden Gleichungen und zeichnen Sie diesein die komplexe Zahlenebene ein.

(a) z3 = −1

(b) (w − 3i)4 − i = 0

(c) x3 + 3x2 + x+ 3 = 0

Aufgabe P 14. Untervektorraume

Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Teilmengen um Untervektorraume des R3

handelt.

(a){

(x, y, z) ∈ R3∣

∣ x+ y + z = 1}

(b){

(x, y, z) ∈ R3∣

∣ x+ y + z = 0}

(c){

(x, y, z) ∈ R3∣

∣ x2 + y2 − z2 = 0}

(d){

λ(2, 3, 5) + µ(7, 11, 13)∣

∣ λ, µ ∈ R}

(e){

(1, 2,−7) + λ(−2,−4, 14)∣

∣ λ ∈ R}

Aufgabe P 15. Skalarprodukt

(a) Bestimmen Sie den Cosinus des Winkels, den die Vektoren (1, 1, 1) und (2, 1, 0) ein-schließen.

(b) Fur welche t ∈ R stehen die Vektoren (1, 1, 1, 1) und (2, 1, 0, t) senkrecht aufeinander?

Aufgabe P 16. Untervektorraume, Geraden

Fur t ∈ R seien folgende Teilmengen von C gegeben.

Vt :={

−2 + i− 3λ+ λ(1 + t)i∣

∣ λ ∈ R}

Wt :={

1− i t+ 3λ∣

∣ λ ∈ R}

(a) Zeichnen Sie V2 .

(b) Fur welche t ∈ R ist Vt ein reeller Untervektorraum von C ?

(c) Fur welche t ∈ R ist Vt ein komplexer Untervektorraum von C ?

(d) Fur welche t ∈ R ist Vt = Wt ?




Aufgabe H 11. Skalarprodukt

Auf dem reellen Vektorraum V := C0([0, 1]) aller stetigen Funktionen auf [0, 1] ist durch

〈f | g〉 :=

∫

1

0

f(x)g(x) d x

ein Skalarprodukt definiert (vergleiche 2.6.3). Sei h : [0, 1] → R : x 7→ 3x .

(a) Bestimmen Sie die Teilmenge P j V der Polynome f von Grad ≦ 2 (mit reellenKoeffizienten), fur welche 〈f |h〉 = 0 ist. Ist P ein Untervektorraum von V ?

(b) Sei Q j V die Teilmenge der Polynome f von Grad ≦ 3 , die 〈f − h | f − h〉 = 3erfullen. Ist Q ein Untervektorraum von V ?

(c) Sei R :={

f ∈ V∣

∣ f(12) = 0

}

. Ist R ein Untervektorraum von V ?

Aufgabe H 12. Nullstellen von Polynomen

Bestimmen Sie alle komplexen Nullstellen des jeweiligen Polynoms und zeichnen Sie diese indie komplexe Zahlenebene ein. Zerlegen Sie das jeweilige Polynom in PolC in ein Produktvon Linearfaktoren.

(a) z8 − 1

(b) x5 + 3x4 + 2x3 + x2 + 3x+ 2

(c) x5 + 3x4 + 4x3 + 4x2 + 3x+ 1

(d) u4 − 13u3 − 2u+ 26

Aufgabe H 13. Geraden und Ebenen

Gegeben sind die Punkte

P = (0, 2, 5) , Q = (3, 5, 6) und R = (−1, 0, 0) aus R3 .

(a) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Geraden g , die durch die Punkte P

und Q geht. Mit welchen Parameterwerten wird dabei die Strecke von P nach Q

beschrieben?

(b) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Ebene, die durch P , Q und R geht.

(c) Parametrisieren Sie die Dreiecksflache mit den Ecken P , Q und R mittels zweierParameter.

(d) Skizzieren Sie die Menge

{

αP + βQ+ γR∣

∣ α, β, γ ∈ R+

0 und α + β + γ = 1}

.




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Prasenzubungen

Aufgabe P 17. Vektorraume

Erklaren Sie Ihrem Nachbarn die Begriffe “linear unabhangig”, “Erzeugendensystem”, “Basis”und “Dimension”.

Nun seien die folgenden Vektoren aus R2 gegeben:

v1 = (3, 7) , v2 = (−6, 4) , v3 = (3,−2) , v4 = (1, 9) , v5 = (0, 0) .

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind:

(a) Die Menge L (v3) ist ein Untervektorraum von R2 .

(b) Die Vektoren v1 , v2 , v3 sind linear unabhangig.

(c) Die Vektoren v5 , v3 sind linear unabhangig.

(d) Es gilt: L (v3, v4) = R2 .

(e) Die Vektoren v1 , v2 und v4 sind ein Erzeugendensystem von R2 .

(f) Die Vektoren v2 und v3 bilden eine Basis von R2 .

(g) Es gilt: L (v4) ={

(x, y) ∈ R2∣

∣ 9x− y = 0}

.

Aufgabe P 18. Basen

Es seien die Basen C : (0, 1), (1, 0) und D : (1, 1), (−1, 1) von R2 gegeben. Weiter seien die

Vektoren a, b ∈ R2 gegeben mit

Ca = (−6, 5),

Cb = (5,−9)

Geben Sie die Koordinaten der Vektoren bezuglich der Standardbasis und bezuglich der BasisD an. Skizzieren Sie die beiden Basen und die Vektoren a und b .

Aufgabe P 19. Hesse-Normalform

Gegeben sei die Ebene

E ={

(1, 0, 0) + λ(1, 1, 0) + µ(0, 1, 1)∣

∣ λ, µ ∈ R}

.

(a) Bestimmen Sie das Vektorprodukt der Vektoren (1, 1, 0) und (0, 1, 1) .

(b) Bestimmen Sie die Hesse-Normalform von E und den Abstand dieser Ebene vomUrsprung.

Aufgabe P 20. Funktionenraume

Gegeben seien die folgenden Funktionen aus dem Vektorraum C0(R) (siehe 2.6.3):

f1 : R → R : x 7→ 1 f2 : R → R : x 7→ sin(3x) f3 : R → R : x 7→ sin(x)

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

(a) Die Funktionen f1 , f2 und f3 sind linear unabhangig.

(b) Die Funktionen f1 , f2 und f3 bilden eine Basis des Untervektorraums L (f1, f2, f3) .




Aufgabe H 14. Hesse-Normalform und Vektorprodukt

Es seien die Punkte A = (5, 1, 6) , B = (1,−4, 3) , C = (−3,−1, 8) und Dt = (1, t, 7 + t)gegeben, wobei t ein reeller Parameter ist.

(a) Berechnen Sie−→AB ×

−→AC .

(b) Bestimmen Sie die Hessesche Normalform der Ebene E , die A , B und C enthalt.

(c) Bestimmen Sie{

t ∈ R∣

∣ Dt ∈ E}

.

(d) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist, und bestimmen Sie dessenFlacheninhalt.

(e) Bestimmen Sie den Parameter t so, dass ABCDt eine Raute bildet. Berechnen Sieden Flacheninhalt dieser Raute.

Aufgabe H 15. Funktionenraume

Gegeben seien die folgenden Funktionen aus dem Vektorraum C0(R) (siehe 2.6.3):

f1 : R → R : x 7→ 1, f2 : R → R : x 7→ cos(2x),

f3 : R → R : x 7→ sin(x), f4 : R → R : x 7→ sin(2x).

(a) Bestehe C aus den Funktionen f1 , f2 , f3 und f4 . Zeigen Sie, dass C eine Basis vonL (f1, f2, f3, f4) ist.

(b) Seig : R → R : x 7→ (sin(x) + cos(x)) sin(x)

undh : R → R : x 7→ cos(x) .

Liegen g und h in L (f1, f2, f3, f4)? Berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinaten-vektoren bezuglich der Basis C .

Aufgabe H 16. Basen

Wir betrachten den komplexen Vektorraum V := Pol4 C der Polynome mit Koeffizientenin C von Grad ≦ 4 . Gegeben seien darin die Polynome

1, i +X, (i +X)2 und (i +X)3 .

(a) Zeigen Sie, dass diese Polynome linear unabhangig sind.

(b) Bestimmen Sie eine Basis B von V , die alle diese Polynome enthalt.

(c) Bestimmen Sie den Koordinatenvektor des Polynoms X3 bezuglich B .

(d) Sei U := L (X2 − 1, (X + i)2, (X − i)2, X2) . Bestimmen Sie dimU .




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Prasenzubungen

Aufgabe P 21. Matrixmultiplikation

Gegeben sind die Matrizen

A =(

1 3 −2 0)

, B =

1 2 −40 1 −20 0 1

, C =

1 1 00 1 2

−2 3 50 0 −4

.

Berechnen Sie alle moglichen Produkte aus je zwei dieser Matrizen. Berechnen Sie B3 .

Aufgabe P 22. Matrizen

Gegeben ist die Matrix

A =

(

1 12 2

)

.

Bestimmen Sie alle reellen 2× 2-Matrizen B , die AB = 0 erfullen.

Aufgabe P 23. Matrizen und lineare Gleichungssysteme


(a) Es existiert eine 2× 2-Matrix H mit H⊺

=

(

1 23 0

)

.

(b) Es existiert eine Matrix A mit

A

(

10

)

=

220

und A

(

20

)

=

331

.

(c) Sei A ∈ R3×2 . Sei b ∈ R3 . Fur alle y, z ∈{

x ∈ R2∣

∣ Ax = b}

ist A(y − z) = 0 .

(d) Sei A ∈ R3×2 . Sei b ∈ R3 . Wenn{

x ∈ R2∣

∣ Ax = b}

= R2 ist, dann gilt A = 0

und b = 0 .




Aufgabe H 17. Matrizen

Es bezeichnen e1 =(

1 0)⊺

und e2 =(

0 1)⊺

.

Bestimmen Sie die jeweilige Menge

(a) aller A ∈ R2×2 , fur die e⊺

1Ae2 = e

⊺

2Ae1 gilt.

(b) aller A ∈ R2×2 , die e⊺

2Ae2 = 0 und A2 = A erfullen.

(c) aller A ∈ R2×2 , die AA⊺

= 0 erfullen.

(d) aller A ∈ C2×2 , die AA⊺

= 0 erfullen.

Aufgabe H 18. Dimension von Untervektorraumen

Seien Untervektorraume des Vektorraums R4 gegeben durch

U := L

1000

,

−2000

,

7202

,

2−50

−5

,

2202

undW :=

{

v ∈ R4∣

∣ v1 + v2 + v3 + v4 = 0}

.

(a) Bestimmen Sie jeweils eine Basis und die Dimension von U , W und U ∩W .

(b) Bestimmen Sie eine Matrix A ∈ R3×4 mit U ={

x ∈ R4∣

∣ Ax = 0}

.

Aufgabe H 19. Matrizen


(a) Die Menge

A ∈ R3×2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

A

(

11

)

=

220

und A

(

12

)

=

330

enthalt mindestens zwei Elemente.

(b) Fur jede Matrix C ∈ R2×2 r {0} gibt es eine Matrix D ∈ R2×2 mit CD = E2 .

(c) Sei F ∈ R2×2 mit F 2 = E2 . Dann ist F ∈ {−E2 , E2} .

(d) Es gibt eine Matrix G ∈ R2×2 mit G2 = −E2 .




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Prasenzubungen

Aufgabe P 24. Lineares Gleichungssystem

(a) Wir betrachten das folgende lineare Gleichungssystem.

2x1 − x2 + 3x3 = 14x1 + 2x2 + 5x3 = 4

2x1 + 2x3 = 6

Stellen Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix auf. Formen Sie diese in die in Satz 3.7.2angegebene Form um. Verwenden Sie dies zur Ermittlung der Losungsmenge.

(b) Wir betrachten das folgende lineare Gleichungssystem in Matrixform.[

2 4 3 5 21 2 2 3 1

]

Bringen Sie dieses Gleichungssystem in die in Satz 3.7.2 angegebene Form. GebenSie eine spezielle Losung an. Geben Sie eine Basis des Losungsraums des zugehori-gen homogenen linearen Gleichungssystems an. Verwenden Sie diese Ergebnisse zurErmittlung der Losungsmenge.

Aufgabe P 25. Lineare Abbildung

Gegeben sei die lineare Abbildung ϕ : R2→ R

2 mit

ϕ

(

10

)

=

(

2−1

)

, ϕ

(

21

)

=

(

43

)

.

(a) Geben Sie die MatrixdarstellungEϕE

von ϕ bezuglich der Standardbasis E an.

(b) Bestimmen Sie das Bild von x =

(

2−2

)

unter ϕ .

(c) Geben Sie (EϕE)2 an. Geben Sie

E(ϕ2)

Ean.

Aufgabe P 26. Einschrankung einer linearen Abbildung

Sei f : R2→ R

2 : x 7→

(

1 21 1

)

x .

Wir betrachten den Untervektorraum U :={

x ∈ R2∣

∣ x1 − x2 = 0}

.

(a) Geben Sie eine Basis von U an.

(b) Ist f(U) j U ?

Aufgabe P 27. Matrixmultiplikation

Bestimmen Sie die Menge{

A ∈ R2×2

∣

∣ AB = BA fur alle B ∈ R2×2

}

.




Aufgabe H 20. Lineares Gleichungssystem

Wir betrachten das folgende reelle lineare Gleichungssystem.

S :

−x2 − 2x3 + 11x4 − 3x5 = 15−2x1 + x2 + 2x3 − 4x4 + 3x5 = −3−5x1 + 2x2 + 4x3 − 5x4 + 6x5 = −16x1 − x2 − 2x3 − 10x4 − 3x5 = −21

−x1 + 2x2 + 4x3 − 19x4 + 6x5 = −25

(a) Erstellen Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix fur S . Bringen Sie diese mittels Algo-rithmus 3.7.3 in die in Satz 3.7.2 angegebene Form.

(b) Bestimmen Sie eine spezielle Losung von S . Bestimmen Sie eine Basis des Losungs-raums des zugehorigen homogenen linearen Gleichungssystems SH .

(c) Geben Sie die Losungsmenge von S an. Verwenden Sie dazu (b).

(d) Ersetzen Sie in der letzten Gleichung −25 durch −24 und bestimmen Sie nun dieLosungsmenge.

Aufgabe H 21. Die komplexen Zahlen als reeller Vektorraum

Wir konnen C als Vektorraum uber R auffassen. Dieser hat die Basis B : 1, i .Fur w ∈ C betrachten wir die lineare Abbildung αw : C → C : z 7→ zw .

(a) Bestimmen SieB(α1+3i)

B.

(b) Finden Sie fur jedes w ∈ C ein u ∈ C mit (B(αw)

B)2 =

B(αu)

B.

(c) Finden Sie alle w ∈ C mit (B(αw)

B)3 = −2E2 .

(d) Beschreiben Sie die Abbildung αi in der Zahlenebene geometrisch. Liegt eine Spiege-lung vor?

Aufgabe H 22. Einschrankung einer linearen Abbildung

Sei f : R3→ R

3 : x 7→

1 0 10 1 11 1 0

x .

Wir betrachten den Untervektorraum U :={

x ∈ R3∣

∣ x1 + x2 − 2x3 = 0}

j R3 .

(a) Bestimmen Sie zwei Basen B und C von U .

(b) Weisen Sie nach, dass f(U) j U ist.

(c) Sei g : U → U : x 7→ f(x) die Einschrankung von f auf U .Bestimmen Sie die Matrizen

BgB

undBgC.

(d) Ist g bijektiv?




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Prasenzubungen

Aufgabe P 28. Determinante

Berechnen Sie

det

(

1 2i−i 3 + i

)

und det

1 5 34 2 03 10 2

.

Aufgabe P 29. Lineare Abbildung

Es seien die Basen B : b1 =

(

12

)

, b2 =

(

2−1

)

und E : e1 , e2 des R2 gegeben.

Sei σ : R2→ R

2 die Spiegelung an der Geraden L (b1) .

(a) Zeichnen Sie die Vektoren e1 , e2 , b1 , b2 , σ(b1) , σ(b2) , σ(e1) und σ(e2) in ein Koor-dinatensystem.

(b) Bestimmen SieBσ(b1) und

Bσ(b2) .

(c) Geben Sie damit die MatrixBσB

an.

(d) Berechnen SieBe1 und

Be2 .

(e) Berechnen SieBσ(e1) und

Bσ(e2) mit Hilfe der Ergebnisse aus (c) und (d).

(f) Berechnen Sie nunEσ(e1) und

Eσ(e2) .

(g) Geben Sie hiermit nun die MatrixEσE

an.

(h) Geben Sie die MatrixEid

Ban. Berechnen Sie daraus

Bid

E.

Berechnen SieEid

B BσB B

idE. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit (d) und (g).

Aufgabe P 30. Dimensionsformel

Es seien

A :=

1 3 2 0 00 1 0 3 01 4 2 3 0

und ϕ : R5→ R

3 : x 7→ Ax .

(a) Bestimmen Sie den Rang von A .

(b) Bestimmen Sie die Dimension von Kern (ϕ) und die Dimension von Bild (ϕ) .

(c) Bestimmen Sie eine Basis von Kern (ϕ) und eine Basis von Bild (ϕ) .

Aufgabe P 31. Invertieren

Berechnen Sie(

1 32 4

)

−1

und

0 1 25 4 36 0 1

−1

.




Aufgabe H 23. Parameterabhangiges LGS

Gegeben sei die von α ∈ R abhangige Matrix

Aα :=

2 2α 4 + 2α−2 −α −4− α

1 2α 2 + α + α2

,

die die lineare Abbildung ϕα : R3→ R

3 : x 7→ Aαx beschreibt.

(a) Bestimmen Sie die Determinante und den Rang von Aα in Abhangigkeit von α ∈ R .

(b) Bestimmen Sie in Abhangigkeit von α ∈ R das Bild von ϕα und seine Dimension,sowie den Kern von ϕα und seine Dimension.

(c) Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem Aαx = bα , wobei

bα := (2 + 2α,−2− α, 1 + 3α)⊺

.

Fur welche α ∈ R besitzt dieses LGS

(i) genau eine Losung? Bestimmen Sie diese.

(ii) unendlich viele Losungen? Bestimmen Sie die Losungsmenge.

(iii) keine Losung?

Aufgabe H 24. einseitige Inverse

Gegeben seien die Matrizen

A :=

1 −2 3−1 3 −52 −4 5

, B :=

(

1 1 12 1 2

)

, C :=

(

6 −9−4 6

)

.

(a) Bestimmen Sie die Menge{

X ∈ R3×3

∣

∣ AX = E3

}

.

(b) Bestimmen Sie die Menge{

X ∈ R3×2

∣

∣ BX = E2

}

.

(c) Bestimmen Sie die Menge{

X ∈ R2×2

∣

∣ CX = E2

}

.

(d) Welche der Matrizen A , B , C sind invertierbar?Geben Sie, falls moglich, die Inverse an.

Aufgabe H 25. Lineare Abbildung

Sei F die Ebene im Raum R3 durch den Ursprung, auf welcher der Vektor b = (1, 1, 1)

⊺

senkrecht steht. Sei σ : R3→ R

3 die Spiegelung an der Ebene F .

(a) Bestimmen Sie eine Basis B : b1, b2, b3 von R3 so, dass b1 und b2 in F enthalten sind

und b3 auf F senkrecht steht.

(b) Bestimmen SieBσB.

(c) Bestimmen SieEid

Bund

Bid

E, wobei E : e1 , e2 , e3 die Standardbasis des R

3

bezeichnet.

(d) Bestimmen SieEσE

unter Verwendung von (b) und (c). Berechnen Sie(

EσE

)2

.




M. Werth



M. Stroppel


Prasenzubungen

Aufgabe P 32. Schmidtsches Orthonormierungsverfahren

Konstruieren Sie zu den Vektoren

v1 = (1, 0, 1)⊺

, v2 = (2,−1, 0)⊺

, v3 = (1, 3, 1)⊺

eine Orthonormalbasis F : f1, f2, f3 von R3 mit L(v1) = L(f1) , L(v1, v2) = L(f1, f2) und

L(v1, v2, v3) = L(f1, f2, f3) .

Aufgabe P 33. Rechnen mit Determinanten

Berechnen Sie die Determinanten der Matrizen

A =

2 −1 0 02 1 0 00 0 −3 10 0 1 3

, B =

2 1 −4 22 1 1 02 1 −4 −1

−3 2 8 3

.

Warum ist A invertierbar? Ist A orthogonal? Berechnen Sie die Determinante von A−1B .

Aufgabe P 34. Affine Abbildungen

(a) Bestimmen Sie eine Matrix A und einen Vektor t so, dass die affine Abbildungf : R2

→ R2 : x 7→ Ax + t die Spiegelung an der Geraden (1, 0)

⊺

+ L(

(0, 1)⊺)

be-schreibt. Ist f eine Isometrie? Ist f eine eigentliche Isometrie?

(b) Bestimmen Sie eine Matrix B und einen Vektor r so, dass die affine Abbildungg : R2

→ R2 : x 7→ Bx + r die Spiegelung an der Geraden (2, 0)

⊺

+ L(

(0, 1)⊺)

beschreibt.

(c) Berechnen Sie jeweils den linearen Anteil und den Translationsanteil der Umkehrabbil-dung f−1 und des Kompositums f ◦ g .




Aufgabe H 26. Affine Abbildungen

(a) Bestimmen Sie eine affine Abbildung f : R2→ R

2 mit

f

(

11

)

=

(

62

)

, f

(

−25

)

=

(

1−4

)

, f

(

31

)

=

(

126

)

.

(b) Bestimmen Sie das Bild der Geraden

(

10

)

+ L

((

01

))

unter f .

(c) Bestimmen Sie die inverse Abbildung zu f .

(d) Existiert eine affine Abbildung g : R2→ R

2 mit

g

(

11

)

=

(

62

)

, g

(

−25

)

=

(

1−4

)

, g

(

−59

)

=

(

126

)

?

Wie kann die Antwort allein mit der Geradentreue begrundet werden?

Aufgabe H 27. Determinanten und lineare Abbildungen

Gegeben sei die Abbildung

s : R4→ R :

x1

x2

x3

x4

7→ det

1 x1 0 10 x2 1 11 x3 0 00 2x4 1 0

.

Begrunden Sie, dass s eine lineare Abbildung ist. Geben Sie die MatrixdarstellungEsE

an.Bestimmen Sie Kern und Bild von s . Ist s injektiv? Ist s surjektiv?

Aufgabe H 28. Schmidtsches Orthonormierungsverfahren

In R3 sind die Vektoren v1 = (1, 0,−1)

⊺

, v2 = (1, 1,−1)⊺

und v3 = (−1, 3,−2)⊺

gegeben.

(a) Konstruieren Sie eine Orthonormalbasis F : f1, f2, f3 von R3 derart, dass L (f1) =

L (v1) , L (f1, f2) = L (v1, v2) und L (f1, f2, f3) = L (v1, v2, v3) ist.

(b) Konstruieren Sie eine Orthonormalbasis G : g1, g2, g3 von R3 derart, dass L (g1) =

L (v1) , L (g1, g2) = L (v1, v3) und L (g1, g2, g3) = L (v1, v2, v3) ist.

(c) IstFid

Gorthogonal? Ist

Fid

Geigentlich orthogonal? Bestimmen Sie

Gid

F.

Aufgabe H 29. Determinanten

Sei A :=

2 1 0 −5 −10 3 1 0 −1

−1 0 5 4 31 0 −1 0 13 0 6 0 6

.

Bestimmen Sie det(A) . Bestimmen Sie Rg(A) . Bestimmen Sie det(A + A⊺

) . BestimmenSie det(A− A

⊺

) . Wie kann man im letzten Fall eine Rechnung vermeiden?




M. Werth



M. Stroppel


Prasenzubungen

Aufgabe P 35. Koordinatentransformation

Es seien in der Ebene das Standardkoordinatensystem E sowie die Koordinatensysteme

F =

((

−11

)

;

(

01

)

,

(

−12

))

und G =

((

−21

)

;

(

10

)

,

(

0−1

))

gegeben. Sei P der Punkt mitEP =

(

10

)

.

(a) Fertigen Sie eine Skizze an.

(b) Bestimmen SieFP .

(c) Bestimmen SieEκ

Fund

Eκ

G.

(d) Bestimmen Sie mit (c) nunGκ

E.

(e) Bestimmen Sie mit (c) und (d) nunGκ

F.

(f) Bestimmen Sie mit (b) und (e) nunGP .

(g) Bestimmen Sie mit (f) und (c) nunEP und vergleichen Sie mit dem Ausgangsvektor.

Aufgabe P 36. Eigentlich und uneigentlich orthogonale Matrizen

Gegeben seien die Matrizen

A1 =1

2

(

−√

3 1

1√

3

)

, A2 =1

2

(√3 1

−1√

3

)

,

sowie die Abbildungen

α1 : R2 → R

2 : v 7→ A1v , α2 : R2 → R

2 : v 7→ A2v .

Sei β := α1 ◦ α2 . Sei γ := α2 ◦ α1 .

(a) Welche der Abbildungen α1 , α2 , β und γ sind Isometrien? Welche davon sind ei-gentlich und welche uneigentlich?

(b) Bestimmen Sie fur alle eigentlichen Isometrien aus der Menge {α1 , α2 , β , γ} denDrehwinkel.

(c) Geben Sie fur alle uneigentlichen Isometrien aus der Menge {α1 , α2 , β , γ} die Spie-gelachse an.




Aufgabe H 30. Koordinatentransformation

Gegeben seien in R3 die Punkte

P =

010

, Q1 =

031

, Q2 =

−12

−1

, Q3 =

112

,

das Koordinatensystem F = (P ;−−→PQ1 ,

−−→PQ2 ,

−−→PQ3) und das Standardkoordinatensystem E .

(a) Geben Sie die KoordinatentransformationenEκ

Fund

Fκ

Ean.

(b) Bestimmen Sie die F-Koordinaten der Punkte

R1 = (0, 5, 2)⊺

, R2 = (−3, 4,−3)⊺

, R3 = (−1, 1,−2)⊺

.

(c) Mit den Bezeichnungen aus (b) gelte fur die affine Abbildung α : R3 → R

3 :

α(P ) = P , α(Q1) = R1 , α(Q2) = R2 , α(Q3) = R3 .

Bestimmen Sie sowohl die Darstellung von α bezuglich F als auch die bezuglich E .

Aufgabe H 31. Drehungen und Spiegelungen

Die vom Parameter α ∈ R abhangige Matrix

Aα =1

2

0√

2 −√

2

−√

2 α α√2 α α

definiert eine lineare Abbildung durch ϕα : R3 → R

3 : x 7→ Aα x .

(a) Bestimmen Sie ein α ∈ R , fur das Aα eigentlich orthogonal ist. In diesem Fall be-schreibt ϕα eine Drehung. Berechnen Sie die Drehachse und den Drehwinkel.

(b) Bestimmen Sie ein α ∈ R , fur das Aα uneigentlich orthogonal ist. In diesem Fallbeschreibt ϕα eine Drehspiegelung. Finden Sie eine Spiegelung σ und eine Drehung δ

so, dass ϕα = δ ◦ σ ist.

Aufgabe H 32. Drehungen und Spiegelungen

Sei α : R3 → R

3 die Drehung um die x1 -Achse, die (0, 1, 0)⊺

auf (0, 0, 1)⊺

abbildet.Sei β : R

3 → R3 die Drehung um die x2 -Achse, die (1, 0, 0)

⊺

auf (0, 0, 1)⊺

abbildet.Sei γ : R

3 → R3 die Spiegelung an der x1 -x2 -Ebene.

(a) Bestimmen Sie die Fixpunktmenge von β ◦ α . Liegt eine Drehung vor? Falls ja, be-stimmen Sie Drehachse und -winkel.

(b) Bestimmen Sie die Fixpunktmenge von α ◦ β . Liegt eine Drehung vor? Falls ja, be-stimmen Sie Drehachse und -winkel.

(c) Bestimmen Sie die Fixpunktmenge von α ◦ γ . Liegt eine uneigentliche Isometrie vor?Liegt eine Spiegelung vor? Falls ja, bestimmen Sie die Spiegelebene.

(d) Bestimmen Sie die Fixpunktmenge von β ◦ α ◦ γ . Liegt eine uneigentliche Isometrievor? Liegt eine Spiegelung vor? Falls ja, bestimmen Sie die Spiegelebene.




M. Werth



M. Stroppel


Prasenzubungen

Aufgabe P 37. Diagonalisieren

Berechnen Sie die Eigenwerte und die zugehorigen Eigenraume von A .Ist A diagonalisierbar? Geben Sie diesenfalls eine Matrix T und eine Diagonalmatrix D anmit T−1AT = D .

(a) A =

(

1 01 2

)

.

(b) A =

(

1 −24 5

)

.

(c) A =

(

2 4−1 −2

)

.

Aufgabe P 38. Orthogonales Diagonalisieren, Definitheit

Sei A :=

(

1 22 1

)

.

Ist A diagonalisierbar? Ist A orthogonal diagonalisierbar? Geben Sie diesenfalls eine ortho-gonale Matrix T und eine Diagonalmatrix D an mit T

⊺

AT = D .

Bestimmen Sie ein x ∈ R2 mit qA(x) > 0 . Bestimmen Sie ein y ∈ R

2 mit qA(y) < 0 .Ist A indefinit?

Aufgabe P 39. Eigenraume

Bestimmen Sie eine Matrix, die den Eigenraum L

((

11

))

zum Eigenwert 2 und den

Eigenraum L

((

21

))

zum Eigenwert 5 besitzt.




Aufgabe H 33. Diagonalisieren

(a) Sei A =

−1 0 1 00 1 0 −1

−1 1 1 −1−1 1 1 −1

.

Bestimmen Sie eine Matrix T und eine Diagonalmatrix D mit T−1AT = D .

(b) Sei A =

4 −1 −1 −1−1 4 −1 −1−1 −1 4 −1−1 −1 −1 4

.

Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix T und eine Diagonalmatrix D mit T⊺

AT = D .

Gibt es ein x ∈ R4 mit x

⊺

Ax < 0 ?

Aufgabe H 34. Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit

Fur α ∈ R sei Aα =

(

1 α

3 5

)

.

(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugehorigen Eigenraume von A4 .

(b) Berechnen Sie fur jedes α die Eigenwerte von Aα , sowie deren jeweilige algebraischeund geometrische Vielfachheit.

(c) Fur welche α ist Aα diagonalisierbar? Bestimmen Sie ein α , fur welches Aα orthogonaldiagonalisierbar ist.

(d) Bestimmen Sie die Menge aller α , fur die

(

−1 + 3i2

)

ein Eigenvektor von Aα ist.

Aufgabe H 35. Eigenraume

(a) Bestimmen Sie eine Matrix A , die

• den Eigenraum L(

(1, 1, 1)⊺)

zum Eigenwert 1 ,


(1, 0, 1)⊺)

zum Eigenwert 2 und


(−1, 1, 0)⊺)

zum Eigenwert −1

besitzt.

(b) Gibt es eine reelle symmetrische Matrix mit den in (a) genannten Eigenschaften?

(c) Geben Sie eine Matrix T und eine Diagonalmatrix D mit A = TDT−1 an. BestimmenSie Dk und Ak fur alle k ∈ Z .

(d) Gibt es eine Matrix mit einem Eigenwert λ , fur welchen dλ = 2 und eλ = 3 ist?




M. Werth



M. Stroppel


Prasenzubungen

Aufgabe P 40. Hauptachsentransformation

Bestimmen Sie fur die folgenden Quadriken jeweils eine euklidische Normalform und einKoordinatensystem, bezuglich dessen die Quadrik diese Normalform hat. Skizzieren Sie dieQuadriken.

• Q1 =

{(

x1

x2

)

∈ R2

∣

∣

∣

∣

x2

1+ x2

2− 2x2 − 3 = 0

}

• Q2 =

{(

x1

x2

)

∈ R2

∣

∣

∣

∣

x2

1+ x2

2+ 2x1x2 + x1 − x2 = 0

}

• Q3 =

{(

x1

x2

)

∈ R2

∣

∣

∣

∣

x1x2 + 2x1 = 0

}

Aufgabe P 41. Quadriken

Gegeben sei die Quadrik

Q ={

(x1, x2, x3)⊺ ∈ R

3

∣

∣

∣−x2

1− x2

2+ 2x3 + 4 = 0

}

.

(a) Schneiden Sie die Quadrik Q mit den Ebenen x3 = 0 , x3 = −2 , x3 = −4 , x2 = 0 .Geben Sie jeweils eine Gleichung fur den Schnitt und die Gestalt des Schnitts an.Skizzieren Sie jeweils den Schnitt.

(b) Skizzieren Sie nun die Quadrik Q . Welcher Typ liegt vor?

Aufgabe P 42. Grobeinteilung von Quadriken

Fur welche α ∈ R ist die Quadrik

Q ={

x ∈ R3∣

∣ x2

1+ x2

2+ αx2

3+ 4αx2 x3 + 2α (α− 1) x3 + α (α− 1) = 0

}

eine kegelige Quadrik, eine Mittelpunktsquadrik oder eine parabolische Quadrik?




Aufgabe H 36. Hauptachsentransformation


Q =

{

(x1, x2, x3)⊺∈ R

3

∣

∣

∣

∣

∣

1

18x2

1+ x2

2+

1

18x2

3+

1

9x1x3 +

√2

3x1 + 4x2 +

√2

3x3 + 4 = 0

}

.

(a) Bestimmen Sie den Typ von Q mittels der erweiterten Matrix.

(b) Bestimmen Sie die euklidische Normalform und die Gestalt von Q .

(c) Bestimmen Sie ein Koordinatensystem F , bezuglich dessen Q diese Normalform hat.

(d) Skizzieren Sie Q und F in das Ausgangskoordinatensystem E .

Aufgabe H 37. Hauptachsentransformation


Q ={

(x1 , x2 , x3)⊺ ∈ R

3

∣

∣

∣x2

1+ 2x2

2+ 4x2 + 3x3 + 1 = 0

}

.

(a) Bestimmen Sie den Typ von Q mittels der erweiterten Matrix.

(b) Bestimmen Sie die euklidische Normalform und die Gestalt von Q .

(c) Bestimmen Sie ein Koordinatensystem F , bezuglich dessen Q diese Normalform hat.

(d) Bestimmen SieEκFund

FκE.

Aufgabe H 38. Ebene Schnitte einer Quadrik


Q = {(x1, x2, x3)⊺ ∈ R

3 | −4x2

3+ 2x1x2 + 1 = 0} .

(a) Betrachten Sie die ebenen Schnitte der Quadrik mit den Koordinatenebenen x1 = 0und x3 = 0 , sowie mit den Ebenen x2 = 1

2, x3 = 1

2und x3 = 1 . Geben Sie jeweils

eine euklidische Normalform der Schnittquadrik an und bestimmen Sie deren Gestalt.Skizzieren Sie die Schnitte.

(b) Sei b1 :=1√

2(−1, 1, 0)

⊺

und b2 := (0, 0, 1)⊺

. Sei E := L (b1 , b2) .

Beschreiben Sie die Quadrik Q ∩ E bezuglich des Koordinatensystems (0 ; b1 , b2)in E . Skizzieren Sie Q ∩ E .

Hinweis: Einsetzen von x = s1b1+s2b2 in die Gleichung von Q , wobei (s1 , s2)⊺ ∈ R

2 .

(c) Bestimmen Sie die euklidische Normalform der Quadrik Q und geben Sie an, welcheGestalt sie hat. Geben Sie ein Koordinatensystem F an, bezuglich dessen Q dieseeuklidische Normalform hat.

(d) Skizzieren Sie die Quadrik Q im Standardkoordinatensystem (per Hand oder mit Hilfegeeigneter Software). Heben Sie in Ihrer Skizze außerdem

• die Schnitte aus (a) und (b),

• das Koordinatensystem F

hervor.


B. Chen, M. Jedlitschky,B. Krinn, M. Kutter,M. Werth



M. Stroppel


Prasenzubungen

Aufgabe P 43. Monotonie und Beschranktheit von Folgen

Gegeben seien die reellen Folgen (an)n∈N , (bn)n∈N und (cn)n∈N , die durch

an :=n2 + 3n− 4

n2 + 8n+ 16bn :=

1

n− 1

n+ 1und cn :=

1

2n2 − 20n+ 1

definiert sind.Untersuchen Sie diese Folgen auf Monotonie und Beschranktheit.Falls eine obere Schranke existiert, so geben Sie zwei verschiedene obere Schranken an.Falls eine untere Schranke existiert, so geben Sie zwei verschiedene untere Schranken an.

Aufgabe P 44. Quadriken


Q ={x ∈ R2

∣∣∣ xᵀAx+ 2a

ᵀx+ c = 0

}mit

A =

(1 33 1

), a =

(22

), c = 4 .

(a) Bestimmen Sie die euklidische Normalform von Q . Welche Gestalt hat Q? WelchenTyp hat Q?

(b) Fertigen Sie eine Skizze an, in der die Quadrik Q , das Standardkoordinatensystemsowie ein Koordinatensystem, in dem Q euklidische Normalform hat, zu sehen sind.

Aufgabe P 45. Eigenschaften von Folgen

Entscheiden Sie jeweils, ob eine Folge (an)n∈N mit den angegebenen Eigenschaften existiert.

(a) (an)n∈N ist streng monoton steigend und beschrankt.

(b) (an)n∈N ist monoton steigend und monoton fallend.

(c) (an)n∈N ist streng monoton steigend und monoton fallend.

(d) (an)n∈N ist alternierend und beschrankt.




Aufgabe H 39. Quadriken

(a) Gegeben seien die beiden Ellipsen

E ={(x1, x2)

ᵀ ∈ R2∣∣∣ 5x2

1 + 5x22 + 6x1x2 = 8

},

E ′ ={(x1, x2)

ᵀ ∈ R2∣∣∣ (x1 − 5)2 + 4(x2 + 2)2 = 4

}.

Skizzieren Sie die beiden Ellipsen in das Ausgangskoordinatensystem.Geben Sie eine eigentliche Isometrie an, die E auf E ′ abbildet. Geben Sie eine unei-gentliche Isometrie an, die E ′ auf E abbildet. Geben Sie eine affine Abbildung an, dieE auf den Kreis mit Radius 1 um den Ursprung abbildet.

(b) Sei Q : x21 + 4x2 + 2x3 = 0 eine Quadrik im R3 . Sei

H :=

((000

);

(100

),1√5

(021

),1√5

(0−12

)).

Geben Sie die Gleichung von Q in Koordinaten bezuglich H an.Welche Gestalt hat Q?

Aufgabe H 40. Verallgemeinerte Fibonacci-Folge

Die Folge(fn)n∈N sei rekursiv definiert durch

f1 := 0 , f2 := 1 , fn+1 := fn + 6fn−1 fur n = 2 .

Außerdem sei A :=

(1 61 0

).

(a) Zeigen Sie, dass fur alle n = 1 die Gleichungen

A

(fn+1

fn

)=

(fn+2

fn+1

)und An

(10

)=

(fn+2

fn+1

)gelten.

(b) Bestimmen Sie eine Matrix T so, dass T−1AT Diagonalform besitzt. Bestimmen SieAn fur n ∈ Z .

(c) Verwenden Sie (a) und (b), um eine geschlossene Formel (ohne Rekursion) fur fnanzugeben.

(d) Untersuchen Sie die Folge(1/fn+1)n∈N auf Monotonie und Beschranktheit.

Aufgabe H 41. Eigenschaften von Folgen

Entscheiden Sie jeweils, ob eine Folge (an)n∈N mit den angegebenen Eigenschaften existiert.

(a) (an)n∈N ist streng monoton fallend und nicht beschrankt.

(b) (an)n∈N ist monoton steigend und nicht streng monoton steigend.

(c) (an)n∈N streng monoton steigend und nicht nach unten beschrankt.

(d) (an)n∈N ist alternierend und nicht beschrankt.




M. Werth



M. Stroppel


Prasenzubungen

Aufgabe P 46. Konvergenz von Folgen

Untersuchen Sie die jeweilige Folge(

an)n∈N auf Monotonie, Beschranktheit und Konvergenz.Geben Sie den Grenzwert an, falls dieser in R oder in {−∞,+∞} existiert.

(a) an =√n+ 1

(b) an =√n+ 1−

√n− 1

(c) an =2n− 1

(n+ 1)2sin

(nπ

2

)

(d) an = sin( 1n2 )

Hinweis: Es ist sin(x) ≦ x fur x ≧ 0 .

Aufgabe P 47. Haufungspunkte

Sei (an)n∈N jeweils eine Folge. Bestimmen Sie alle Haufungspunkte von (an)n∈N , sowie den

Limes superior limn→∞

an und den Limes inferior limn→∞

an . Ist (an)n∈N konvergent? Ist (an)n∈N

bestimmt divergent? Bestimmen Sie ferner das Supremum supn∈N

an .

(a) an = 5(−1)n (b) an = −2n (c) an = sin(

nπ

2

)

Aufgabe P 48. Produktfolge

Finden Sie jeweils Folgen(

an)n∈N und(

bn)n∈N reeller Zahlen so, dass(

an)n∈N nicht kon-vergiert,

(

bn)n∈N gegen Null konvergiert und die Produktfolge(

anbn)n∈N

(a) unbeschrankt ist,

(b) gegen einen reellen Grenzwert konvergiert,

(c) beschrankt ist, aber nicht konvergiert.



Hausubungen (Abgabe in der ersten Gruppenubung im Sommersemester 2014):

Aufgabe H 42. Konvergenz von Folgen

(1) Sei (an)n∈N jeweils eine Folge. Untersuchen Sie (an)n∈N auf Konvergenz. BestimmenSie lim

n→∞an , falls dieser Grenzwert in R oder in {−∞,+∞} existiert.

(a) an =3n4 − 1

1− 3n3(b) an =

√n−

√

n+ 3√n (c) an =

√

n2 +n

3− n

(d) an = (−1)n(

n

√2n− 2 n

√2)

(e) an =

(

2 + 2(−1)n

5

)n

Hinweis: Es darf limn→∞√bn =

√limn→∞ bn verwendet werden, sofern (bn)n∈N eine

konvergente Folge positiver reeller Zahlen ist.

(2) Sei die Folge (an)n∈N durch an =n2 − 1

n2gegeben. Bestimmen Sie den Grenzwert a

dieser Folge. Finden Sie zu jedem ε > 0 ein nε derart, dass fur alle n > nε dieUngleichung |an − a| < ε gilt.

Aufgabe H 43. Geometrische Reihen

Berechnen Sie jeweils den Wert der Reihe, falls sie konvergiert.

(a)∞∑

k=0

(

1

3

)k

(b)∞∑

k=0

2 + (−1)k

5k(c)

∞∑

k=0

2k (d)∞∑

k=1

23−k

Aufgabe H 44. Haufungspunkte

Sei (an)n∈N jeweils eine Folge. Bestimmen Sie alle Haufungspunkte von (an)n∈N , sowie

limn→∞

an und limn→∞

an . Ist (an)n∈N konvergent? Ist (an)n∈N bestimmt divergent? Falls (an)n∈N

nach oben beschrankt ist, so bestimmen Sie supn∈N

an .

(a) an = sin(

nπ

3

)

−√n

n!(b) an =

(−1)n

n3(c) an = n cos

(

nπ

4

)

(d) an = −n((−1)n)

Aufgabe H 45. Rekursive Definition von Folgen, Heron-Verfahren (ca. 1750 v. Chr.)

Zu c ∈ R+ soll eine Folge (an)n∈N mit limn→∞ an =

√c konstruiert werden. Wir wahlen

einen beliebigen Startwert a1 ∈ R+ . Wir setzen rekursiv an+1 :=

12(an +

c

an) fur n ∈ N .

(a) Zeichnen Sie fur c = 2 und a1 = 1 die Werte√c , a1 ,

c

a1, a2 ,

c

a2und a3 auf dem

Zahlenstrahl ein.

(b) Zeigen Sie: Fur jedes n ∈ N liegen an+1 ,c

an+1und

√c zwischen an und c

an.

(c) Zeigen Sie die Ungleichung |an+1 − c

an+1| ≦ 1

2|an − c

an| und leiten Sie daraus und

aus (b) die Ungleichungen |an+1−√c| ≦ |an+1− c

an+1| ≦ 1

2n|a1− c

a1| ab. Folgern Sie,

dass die Folge (an)n∈N gegen√c konvergiert.

(d) Wenden Sie (c) an, um fur c = 2 und a1 = 1 ein n so zu bestimmen, dass an und√2 in den ersten 6 Nachkommastellen ubereinstimmen.


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