Modellbilden 3.2.06 Georg Lilitakis Katja Schmidt.

ModellbildenModellbilden

3.2.063.2.06

Georg LilitakisGeorg LilitakisKatja SchmidtKatja Schmidt

GliederungGliederung

• Definition ModellbildenDefinition Modellbilden

• SachrechnenSachrechnen

• Deskriptive und normative ModelleDeskriptive und normative Modelle

• ModellkreislaufModellkreislauf

• ZieleZiele

• KalenderKalender

• Sonne, Erde, MondSonne, Erde, Mond

• Mathematische Teil (Modellbilden Beispiel)Mathematische Teil (Modellbilden Beispiel)

Definition ModellbildenDefinition Modellbilden

• Reale Situation mit Hilfe Reale Situation mit Hilfe mathematischer Modelle beschreiben mathematischer Modelle beschreiben und damit zur Problemlösung zu und damit zur Problemlösung zu gelangengelangen

• „„Etwas Bekanntes benutzen um Etwas Bekanntes benutzen um etwas Unbekanntes zu beschreiben“ etwas Unbekanntes zu beschreiben“ (Wollring)(Wollring)

Deskriptive und normative Deskriptive und normative Modelle Modelle Deskriptive Modelle Normative Modelle

- Gegenstandsbereiche (Realwelt) in best. Zügen und auf verschiedene Weisen nachahmen- Nachahmung kann physisch, bildlich oder sprachlich-symbolisch sein- gewonnene Daten und Schlussfolgerungen sollten auf den Realbereich zurückgespiegelt werden können und sich dort als zutreffend erweisen- daher sollen sie zu Einsichten führen, die man ohne Modellbildung nie hätte gewinnen können (explodierende Funktion von Modellen)- Paradebsp.: Globus als Modell der Erde

- dienen als Muster, Vorbild, als Norm für die Realisierung von Gegenständen oder Handlungen- Beurteilung: sie sollen praktikabel sein und sich möglichst freiwilliger Akzeptanz erfreuen- Paradebsp.: Schnittmuster (Schreinerei), Baupläne (Architektur)

Unterschied:Unterschied:

• Deskriptive Modelle beschreiben die Deskriptive Modelle beschreiben die Wirklichkeit und normative Modelle Wirklichkeit und normative Modelle nehmen Einfluss auf die Wirklichkeit.nehmen Einfluss auf die Wirklichkeit.

Wichtig:Wichtig:

• Dabei müssen zwischen Modell und Wirklichkeit Dabei müssen zwischen Modell und Wirklichkeit möglichst weitgehend Analogien bestehen.möglichst weitgehend Analogien bestehen.

• Die erarbeiteten Konsequenzen müssen schließlich Die erarbeiteten Konsequenzen müssen schließlich mit der Realität verglichen werden. Diese mit der Realität verglichen werden. Diese

Überprüfung kann zu einer Modifikation oder auch Überprüfung kann zu einer Modifikation oder auch zur zur Notwendigkeit eines neuen Ansatzes führen.Notwendigkeit eines neuen Ansatzes führen.

• Die Interpretation der Problemlösung im Modell Die Interpretation der Problemlösung im Modell führt führt zu Aussagen über die Lösung des realen Problems.zu Aussagen über die Lösung des realen Problems.

WegeWege

• Um die Lösung zu finden geht man Um die Lösung zu finden geht man einen ganz bestimmten Weg, den einen ganz bestimmten Weg, den man man MODELLIERENMODELLIEREN nennt. nennt.

• Den gegenteiligen Prozess nennt Den gegenteiligen Prozess nennt man man VERANSCHAULICHENVERANSCHAULICHEN

ModellkreislaufModellkreislauf

BeachtenBeachten

• Beim Modellierungsprozess werden neben Beim Modellierungsprozess werden neben mathematischen Kenntnissenmathematischen Kenntnissen und und Fertigkeiten auch Fertigkeiten auch interpretierende und interpretierende und wertende Fähigkeitenwertende Fähigkeiten im Zusammenspiel im Zusammenspiel von Mathematik und Wirklichkeit verlangt. von Mathematik und Wirklichkeit verlangt. Es geht also nicht ausschließlich um das Es geht also nicht ausschließlich um das Bearbeiten von innermathematischen Bearbeiten von innermathematischen Aufgaben, sondern um die Aufgaben, sondern um die Auseinandersetzung mit Problemen der Auseinandersetzung mit Problemen der LebensweltLebenswelt, die sich mit Hilfe von , die sich mit Hilfe von Mathematik behandeln lassen.Mathematik behandeln lassen.

AlltäglichAlltäglich

• Modellbildungsprozesse sind im Alltag Modellbildungsprozesse sind im Alltag allgegenwärtig.allgegenwärtig.

• Grundlegendes Beispiel ist der Grundlegendes Beispiel ist der Abstraktionsprozess vom gegenständlichen Abstraktionsprozess vom gegenständlichen Zählen zum symbolischen Zählen.Zählen zum symbolischen Zählen.

• 2 Stühle + 3 Stühle = 5 Stühle 2 Stühle + 3 Stühle = 5 Stühle (gegenständlich)(gegenständlich)

• 2 + 3 = 5 (symbolisch)2 + 3 = 5 (symbolisch)

Ziele von Modellbildung:Ziele von Modellbildung:

• Erschließung der konkreten uns Erschließung der konkreten uns umgebenden Weltumgebenden Welt

• Erschließung der MathematikErschließung der Mathematik

Kurze Kurze PausePause

ModellbildungskreislauModellbildungskreislauf am Beispiel des f am Beispiel des

KalendersKalenders

Kalender werden von drei Kalender werden von drei Naturereignissen bestimmt:Naturereignissen bestimmt:

• Erdumdrehung (die Erde dreht sich Erdumdrehung (die Erde dreht sich um sich selbst)um sich selbst)

• Mondumlauf (Umlauf des Mondes um Mondumlauf (Umlauf des Mondes um die Erde)die Erde)

• Erdumlauf (Umlauf der Erde um die Erdumlauf (Umlauf der Erde um die Sonne)Sonne)

Sonne, Erde und Mond Sonne, Erde und Mond • Die ErdeDie Erde• Mittlerer Abstand zur SonneMittlerer Abstand zur Sonne 149.597.893 km 149.597.893 km

(=1 AE)(=1 AE)• Umlaufzeit um die Sonne: Umlaufzeit um die Sonne:

365,242196759 Tage365,242196759 Tage• Rotationsdauer um die eigene Achse Rotationsdauer um die eigene Achse 1,0 Tag1,0 Tag

• Der MondDer Mond• Mittlerer Abstand zur Erde Mittlerer Abstand zur Erde 384.405 km 384.405 km • Umlaufzeit um die ErdeUmlaufzeit um die Erde

siderisch siderisch 27,32166 Tage 27,32166 Tage synodischsynodisch 29,53059 Tage29,53059 Tage

• RotationsdauerRotationsdauer 27,32166 Tage27,32166 Tage

Nach einem siderischen Monat (27,32 d) nimmt der Mond wieder die gleiche Stellung zu den Fixsternen ein (von der Erde aus beobachtet). Nach einem synodischen Monat (29,53 d; Periode der Mondphasen) erreicht der Mond wieder die gleiche Stellung zur Sonne (von der Erde aus beobachtet), d.h. z.B. von Vollmond zu Vollmond.

Welche Bewegungen sind für die Welche Bewegungen sind für die Zeitmessung relevant?Zeitmessung relevant?

• Drehung der Erde um sich selbstDrehung der Erde um sich selbst

ErdumlaufbahnErdumlaufbahn

Sonnenumlauf: 365,242196759 Tage (tropisches Jahr)

Was wollen wir überhaupt Was wollen wir überhaupt ausrechnen?ausrechnen?• Unterschied zwischen dem tropischen Jahr Unterschied zwischen dem tropischen Jahr

zu dem Kalenderjahrzu dem Kalenderjahr

• Rest von 0,242196759 TagenRest von 0,242196759 Tagen

• Als Bruch Als Bruch 242196796 242196796 10000000001000000000

Zahl der Tage, die wir in 1000000000 Jahren mehr Zahl der Tage, die wir in 1000000000 Jahren mehr brauchen, um den Überschuss zu erhalten.brauchen, um den Überschuss zu erhalten.

Reale SituationReale Situation

• 1 Jahr = 365,242196759 Tage1 Jahr = 365,242196759 Tage

• Problem: wahrer Sonnentag nicht Problem: wahrer Sonnentag nicht immer immer gleich lang (Realität) gleich lang (Realität)

• Längster Tag: 23.DezemberLängster Tag: 23.Dezember

• Kürzester Tag: 16.SeptemberKürzester Tag: 16.September

• Unterschied: 51 SekundenUnterschied: 51 Sekunden

Mathematisches ModellMathematisches Modell

• Wir rechnen mit einem Wir rechnen mit einem durchschnittlichen Sonnentagdurchschnittlichen Sonnentag

• Annahme: alle Tage sind gleich langAnnahme: alle Tage sind gleich lang

• Mathematisch suchen wir eine Mathematisch suchen wir eine möglichst gute Näherung an den Restmöglichst gute Näherung an den Rest

242196796242196796 1000000000 1000000000

Mathematische LösungMathematische Lösung

• In 1.000.000.000 Jahren haben wir In 1.000.000.000 Jahren haben wir 242196759 Schaltjahre (mit 366 242196759 Schaltjahre (mit 366 Tagen) und 757803241 normale Tagen) und 757803241 normale Jahre (mit 365 Tagen)Jahre (mit 365 Tagen)

Abgleich mit dem realen Abgleich mit dem realen ModellModell

• Problem:Problem:

1.1. Verteilungsregel ist schwierigVerteilungsregel ist schwierig

2.2. Erdumlaufzeit (Jahr) schwankt Erdumlaufzeit (Jahr) schwankt innerhalb 1.000.000.000 erheblichinnerhalb 1.000.000.000 erheblich

• Modell passt nicht!!!Modell passt nicht!!!

Mathematisch neuer AnsatzMathematisch neuer Ansatz

• Ziel: Suche nach einer Näherung an Ziel: Suche nach einer Näherung an 0,2421967590,242196759

• Dieser Bruch sollte:Dieser Bruch sollte:

1.1. Möglichst genau seinMöglichst genau sein

2.2. Und einen möglichst kleinen Nenner Und einen möglichst kleinen Nenner habenhaben

Mathematische LösungMathematische Lösung

• Wir suchen Näherungsbrüche an Wir suchen Näherungsbrüche an 0,2421967590,242196759

• Diese erhalten wir durch:Diese erhalten wir durch:1.1. Euklidischen AlgorithmusEuklidischen Algorithmus2.2. KettenbrücheKettenbrüche3.3. Und aus den Kettenbrüchen die Und aus den Kettenbrüchen die

NäherungsbrücheNäherungsbrüche

Euklidischer AlgorithmusEuklidischer Algorithmus242 196 759 242 196 759 = = 0 0 ∙ ∙ 1 000 000 000 1 000 000 000 + + 242 242

196 759196 759

1 000 000 000 1 000 000 000 = = 4 ∙ 4 ∙ 242 196 759 242 196 759 + + 31 212 96431 212 964

242 196 759 242 196 759 = = 7 7 ∙ ∙ 31 212 964 31 212 964 + + 23 706 01123 706 011

31 212 964 31 212 964 = = 1 1 ∙ ∙ 23 706 011 23 706 011 + + 7 506 9537 506 953

23 706 01123 706 011 == 3 3 ∙∙ 7 506 9537 506 953 ++ 1 185 1521 185 152

7 506 9537 506 953 == 6 6 ∙∙ 1 185 1521 185 152 ++ 396 041396 041

1 185 1521 185 152 == 2 2 ∙∙ 396 041396 041 ++ 393 070393 070

396 041396 041 == 1 1 ∙∙ 393 070393 070 ++ 2 9712 971

393 070393 070 == 132 132 ∙∙ 2 9712 971 ++ 898898

2 9712 971 == 3 3 ∙∙ 898898 + + 277277

898898 == 3 3 ∙∙ 277277 ++ 6767

277277 == 4 4 ∙∙ 6767 ++ 99

6767 == 7 7 ∙∙ 99 ++ 44

99 == 2 2 ∙∙ 44 ++ 1 1

44 == 4 ∙4 ∙ 11 ++ 00

KettenbrücheKettenbrüche

• Zur Erinnerung:Zur Erinnerung:

• Kettenbrüche entwickeln sich wie folgt:Kettenbrüche entwickeln sich wie folgt:

)6,1,1,4(,

61

1

11

14

671

1

14

76

1

14

7131

413

74

13

59kurz

KettenbruchKettenbruch

c

11

2

16

13

11

17

14

1

Ein Kettenbruch funktioniert: weil man durch einen Bruch dividiert, indem man mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert.

Kettenbrüche liefern sehr schnell und sehr genaue Näherungen an einen Dezimalbruch.

Der folgende Kettenbruch entspricht

41

2

17

14

13

13

1132

1

c

Kurz: (0, 4, 7, 1, 3, 6, 2, 1, 132, 3, 3, 4, 7, 2, 4)

0000000001

759196242

Näherungsbrüche?Näherungsbrüche?

Die Näherungsbrüche lauten:

0000000001

242196759;

361830223

98821054

;556678104

80735225;

24947314

3745053;

8133653

189815;

9970091

618244;

822335

33581;

2531

613;

1730

419;

801

194;

128

31;

33

8;

29

7;

4

1;0

00 4

104,0

71

4

107,4,0

3,1,7,4,0 1,7,4,0 6,3,1,7,4,0

ÜberlegungÜberlegung

• Näherungsbrüche ergeben so keine Näherungsbrüche ergeben so keine „schöne“ Verteilung der Schaltjahre„schöne“ Verteilung der Schaltjahre

BeispielBeispiel

• Verteilung von 194 Schaltjahre auf 801 Verteilung von 194 Schaltjahre auf 801 JahreJahre

• 800 Jahre unser Kalender800 Jahre unser Kalender

• 802 würde eine neue Periode beginnen802 würde eine neue Periode beginnen

• Periode würde mit Jahr 1 beginnenPeriode würde mit Jahr 1 beginnen

• Dann wäre 805 das erste SchaltjahrDann wäre 805 das erste Schaltjahr

• Kritik?Kritik?

• Keine Schaltjahre mehr im gewohnten Keine Schaltjahre mehr im gewohnten RhythmusRhythmus

(Teilbarkeit durch 4)(Teilbarkeit durch 4)

Mathematische Idee:Mathematische Idee:• Wir suchen Brüche, die dem Überschuss Wir suchen Brüche, die dem Überschuss

0,242196759 möglichst nah kommen.0,242196759 möglichst nah kommen.• Dazu multipliziert man den Nenner mit Dazu multipliziert man den Nenner mit

dem Überschuss und bestimmt die dem dem Überschuss und bestimmt die dem Produkt am nächsten liegende ganze Produkt am nächsten liegende ganze Zahl.Zahl.

RangRang Periode in Periode in JahrenJahren

Produkt vonProdukt vonJahresüberschuss Jahresüberschuss

undundPeriodenlängePeriodenlänge

Schalttage Schalttage pro pro PeriodePeriode

Abweichung in Abweichung in Tagen pro Tagen pro 1000 Jahre1000 Jahre

1 Tag Abweichung 1 Tag Abweichung nach … nach … JahrenJahren

11 801801 193,99960396193,99960396 194194 0,0004944330,000494433 20225182022518

22 929929 225,00078911225,00078911 225225 0,000849420,00084942 11772741177274

……

2525 900900 217,97708310217,97708310 218218 0,0254632220,025463222 3927239272

2626 450450 108,98854155108,98854155 109109 0,0254632220,025463222 3927239272

……

197197 10001000 242,19675900242,19675900 242242 0,1967590,196759 50825082

198198 500500 121,09837950121,09837950 121121 0,1967590,196759 50825082

……

243243 3333 7,992493057,99249305 88 0,2274834240,227483424 43964396

……

307307 800800 193,75740720193,75740720 194194 0,3032410,303241 32983298

308308 400400 96,8787036096,87870360 9797 0,3032410,303241 32983298

……

705705 2929 7,023706017,02370601 77 0,8174486550,817448655 12231223

……

976976 44 0,968787040,96878704 11 7,8032417,803241 128128

……

998998 33 0,726590280,72659028 11 91,1365743391,13657433 1111

999999 22 0,484393520,48439352 00 242,196759242,196759 44

10001000 11 0,242196760,24219676 00 242,196759242,196759 44

SeminaraufgabenSeminaraufgaben

• Überlegt Euch eine Verteilung fürÜberlegt Euch eine Verteilung für

1.1. 900 Jahre mit 218 Schaltjahren900 Jahre mit 218 Schaltjahren



Vielen Dank für Eure ZeitVielen Dank für Eure Zeit

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