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Modulhandbuch

Ruprecht-Karls-Universität HeidelbergFakultät für Mathematik und Informatik

Lehramtsstudiengang „Mathematik“ (GymPO I)

Fassung vom 23.6.2014 zur Prüfungsordnung vom 28.7.2010mit letzter Änderung vom 11.11.2011

Studienform: Vollzeit

Art des Studiengangs: grundständig

Regelstudienzeit: 10 Semester

Einführungsdatum: 28.7.2010

Studienstandort: Heidelberg

Anzahl der Studienplätze: derzeit keine Begrenzung

Gebühren/Beiträge: gemäß allgemeiner Regelung der Universität Heidelberg

1

PräambelQualitätsziele der Universität Heidelberg in Studium und

Lehre

Anknüpfend an ihr Leitbild und ihre Grundordnung verfolgt die Universität Heidel-berg in ihren Studiengängen fachliche, fachübergreifende und berufsfeldbezogene Zielein der umfassenden akademischen Bildung und für eine spätere berufliche Tätigkeitihrer Studierenden. Das daraus folgende Kompetenzprofil wird als für alle Diszipli-nen gültiges Qualifikationsprofil in den Modulhandbüchern aufgenommen und in denspezifischen Qualifikationszielen sowie den Curricula und Modulen der einzelnen Stu-diengänge umgesetzt:

• Entwicklung von fachlichen Kompetenzen mit ausgeprägter Forschungsorientie-rung;

• Entwicklung transdisziplinärer Dialogkompetenz;

• Aufbau von praxisorientierter Problemlösungskompetenz;

• Entwicklung von personalen und Sozialkompetenzen;

• Förderung der Bereitschaft zur Wahrnehmung gesellschaftlicher Verantwortungauf der Grundlage der erworbenen Kompetenzen.

2

Fachliche und überfachliche Qualifikationsziele desLehramtsstudiengangs „Mathematik“

Das Studium für das Lehramt an Gymnasien hat das Ziel, die Professionalität undQualität künftiger Lehrkräfte am Gymnasium zu sichern. AbsolventInnen haben diefachwissenschaftlichen, fachdidaktischen, bildungswissenschaftlichen und ethisch-phi-losophischen Kenntnisse und Kompetenzen, einschließlich personaler Kompetenzen,die für die Erziehungs- und Bildungsarbeit an Gymnasien und Gemeinschaftsschulensowie für die Übernahme in den Vorbereitungsdienst erforderlich sind. Die Absol-ventInnen des Lehramtsstudienganges Mathematik

• kennen die mathematischen Begriffe und Konstruktionen, die hinter der Schul-mathematik stehen und künnen diese analysieren und vom hüheren Standpunktaus rechtfertigen,

• können mathematische Gebiete durch Angabe treibender Fragestellungen struk-turieren, durch Querverbindungen vernetzen und Bezüge zur Schulmathematikherstellen,

• können mathematische Sachverhalte adäquat mündlich und schriftlich darstellenund sich selbststündig mathematische Inhalte aneignen,

• besitzen die Fähigkeit zu schlüssiger Argumentation und exakter Beweisführungund sind in der Lage, auf Einwände einzugehen,

• können Argumentationsketten auf ihre Stichhaltigkeit überprüfen, Fehler oderLücken in verstündlicher Weise offen legen und Hilfestellung bei der Korrekturund Präzisierung geben,

• kennen Praxisfelder der Mathematik und können außermathematische Frage-stellungen modellieren, angemessene mathematische Methoden zur Behandlungvon Modellen finden und anwenden sowie die Lösung verständlich vermitteln,

• können auf Grund ihrer mathematischen Allgemeinbildung wesentliche mathe-matische Bezüge im Alltag, in öffentlichen Texten und in der Alltagssprachebenennen, verstehen und erklären

3

Modulbeschreibungen Lehramt Mathematik nach GymPO IPflichtmodule

Gesamtmodul AnalysisMA1 Analysis IMA2 Analysis II

Gesamtmodul Lineare AlgebraMA4 Lineare Algebra IMA5 Lineare Algebra II

MA7 Einführung in die NumerikMA8 Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und StatistikMB1 Algebra IMB3 Funktionentheorie IME1 Elementare ZahlentheorieME2 Einführung in die GeometrieSeminar

Wahlpflichtmodule

MA3 Höhere AnalysisMB2 Algebra IIMB4 Funktionentheorie IIMB5 Algebraische Topologie IMB6 Algebraische Topologie IIME3 Mathematische LogikMB10 Lie Algebren und Lie Gruppen IMB11 Lie Algebren und Lie Gruppen IIME4 Analysis auf MannigfaltigkeitenME5 Mengentheoretische TopologieME6 Einführung in die MengenlehreMC1 Gewöhnliche DifferentialgleichungenMC2 Partielle DifferentialgleichungenMC3 FunktionalanalysisMC4 WahrscheinlichkeitstheorieMD1 NumerikMD2 StatistikMD3 Lineare OptimierungMD4 Nichtlineare OptimierungMD5 Wissenschaftliches RechnenML1 Modellierung für Lehramtsstudierende

4

ML2 Einführung in die Algorithmische Geometrie

sowie darüber hinaus alle Vorlesungen aus dem Angebot der MasterstudiengängeMathematik bzw. Scientific Computing.

Fachdidaktik

MF1 Mathematik-Didaktik für den SchulunterrichtMF2 Grundlagen der Mathematik-Didaktik

5

Analysis I

Modul Code NameMA1 Analysis I

Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester jedes

WSVerwendbarkeit für Studiengänge BA Mathematik, BA Informatik, BA Physik, LA

Mathematik, LA Informatik jeweils ab dem 1. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundwissen über reelle und komplexe Zahlen und die Differential-

und Integralrechnung für Funktionen einer VeränderlichenInhalt I. Die Systeme der reellen Zahlen und komplexen Zahlen

II. Konvergenz von Folgen und Reihen, Potenzreihen, Exponenti-alfunktion (auch im Komplexen) und verwandte FunktionenIII. Stetigkeit und Differenzierbarkeit, monotone Funktionen, Um-kehrfunktion, gleichmäßige KonvergenzIV. Ein Integralbegriff (Regel- oder Riemann-Integral), Zusam-menhang zwischen Integration und Differentiation, Integrations-methodenV. Weiterer Ausbau der Theorie, z. B. Behandlung spezieller Funk-tionsklassen.

VermittelteKompetenzen

Abstraktes und analytisches Denken, selbständiges Lösen von Auf-gaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übungen

Teilnahme-voraussetzungen

keine

NützlicheVorkenntnisse

Schulkenntnisse

Prüfungs-modalitäten

Lösung von Übungsaufgaben, mit benoteten 2-stündigen Klausu-ren.Es werden zwei Klausuren angeboten (eine am Ende der Vorle-sungszeit, die zweite am Ende der vorlesungsfreien Zeit); das Mo-dul gilt als bestanden, wenn eine davon bestanden wurde. Sofernes kapazitativ möglich ist, soll eine Teilnahme an beiden Klausu-ren zur Notenverbesserung möglich sein. Wiederholungsmöglich-keit mit der Vorlesung im Folgejahr. Wiederholungsmöglichkeitmit der Vorlesung im Folgejahr.

NützlicheLiteratur

O. Forster: Analysis I (bzw. II, bzw. III)K. Königsberger: Analysis I (bzw. II)H. Amann, J. Escher: Analysis I (bzw. II, bzw. III)

6

Analysis II

Modul Code NameMA2 Analysis II


SSVerwendbarkeit Studiengänge BA Mathematik, BA Informatik, BA Physik, LA

Mathematik, LA Informatik, jeweils ab dem 2. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundwissen über gewöhnliche Differentialgleichungen sowie über

die Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen.Inhalt I. Metrische und normierte Räume, Stetigkeit

II. Existenz und Eindeutigkeitssatz für das AnfangswertproblemIII. Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variabler, par-tielle und totale Differenzierbarkeit, Kettenregel, Taylor-Formel,lokale ExtremaIV. Lokaler Umkehrsatz und implizite Funktionen, Untermannig-faltigkeiten im Rn, Extremwerte mit NebenbedingungenV. Elementare Vektoranalysis, Kurvenintegrale, Integrabilitätsbe-dingungen, Existenz von PotentialenVI. Ein Integral im Rn, Transformationsformel, Volumina undOberflächen


Abstraktes und analytisches Denken, selbständiges Lösen von Auf-gaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übungen


keine


Analysis I (MA1), Lineare Algebra I (MA4)



NützlicheLiteratur

O. Forster: Analysis I (bzw. II, bzw. III)K. Königsberger: Analysis I (bzw. II)H. Amann, J. Escher: Analysis I (bzw. II, bzw. III)

7

Lineare Algebra I

Modul Code NameMA4 Lineare Algebra I



Mathematik, LA Informatik jeweils ab dem 1. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundwissen über Vektorräume mit Anwendung in der GeometrieInhalt I. Grundlagen: Logische Operatoren, Mengen, Relationen, Abbil-

dungen, Gruppen, Homomorphismen, Permutationen.II. Vektorräume: (affine) Unterräume, Faktorräume, direkte Sum-men, Basis, Dimension, Koordinaten, lineare Abbildungen, Matri-zen, lineare Gleichungssysteme.III. Lineare Operatoren: Determinanten, charakteristisches Poly-nom und Minimalpolynom, Eigenwerte und Eigenräume, Normal-formen von Matrizen und Diagonalisierung.IV. Innenprodukträume: Bilinearformen, Orthogonalität und Or-thonormalbasen, normale Operatoren, selbstadjungierte Operato-ren und Isometrien, Spektralsatz über C und R.


Abstraktes und strukturelles Denken, selbständiges Lösen vonAufgaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übun-gen


keine


Schulkenntnisse



NützlicheLiteratur

S. Bosch: Lineare AlgebraF. Lorenz: Lineare Algebra IG. Fischer: Lineare Algebra

8

Lineare Algebra II

Modul Code NameMA5 Lineare Algebra II


SSVerwendbarkeit für Studiengänge BA Mathematik, BA Informatik, BA Physik, LA

Mathematik, LA Informatik jeweils ab dem 2. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Vertiefende Kenntnisse der Linearen AlgebraInhalt Inhalt: Ringe und Ideale, Moduln und Homomorphismen, Basis

und Rang, direkte Summen und Produkte, Tensorprodukt, äuße-re und symmetrische Potenzen und Determinanten, Moduln überHauptidealringen, Elementarteilertheorie, Normalformen von En-domorphismen, verallgemeinerte Eigenräume, Jordansche Normal-form, nilpotente und halbeinfache Endomorphismen.


Abstraktes Denken, selbständiges Lösen von Aufgaben aus demThemenbereich mit Präsentation in den Übungen


keine


Lineare Algebra I (MA4)



NützlicheLiteratur

S. Bosch: Lineare AlgebraF. Lorenz: Lineare Algebra II

9

Einführung in die Numerik

Modul Code NameMA7 Einführung in die Numerik

Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester mind. jedes

zweiteSemester

Verwendbarkeit für Studiengänge BA Mathematik, BA Informatik, BA Physik, LAMathematik, LA Informatik jeweils ab dem 2. Studiensemester

Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWS (theoretisch und praktisch)Lernziel Prinzipien numerischer Algorithmen und ihrer praktischen Reali-

sierung für Grundaufgaben der numerischen Analysis und linearenAlgebra

Inhalt I. Rechnerarithmetik, Fehleranalyse, Konditionierung II. Inter-polation und Approximation, Numerische Integration III. Linea-re Gleichungssysteme und Ausgleichsprobleme (LR- und QR-Zerlegung) IV. Iterative Verfahren (Nullstellenberechnung, lineareGleichungssysteme, Eigenwertaufgaben)


Abstraktes und algorithmisches Denken, Anwendung von Techni-ken der Analysis und linearen Algebra, selbständiges Lösen vontheoretischen und praktischen Aufgaben aus dem Themenbereichmit Präsentation in den Übungen


keine


Analysis I (MA1) und Lineare Algebra I (MA4)Programmierkenntnisse


Lösung von Übungsaufgaben, mit benoteten 2-stündigen Klausu-ren, Wiederholungsmöglichkeit mit der Vorlesung im Folgejahr.

NützlicheLiteratur

J. Stoer, R. Bulirsch: Numerische MathematikG. Hämmerlin, K.-H. Hoffmann: Numerische MathematikP. Deuflhard, A. Hohmann: Numerische Mathematik

10

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Modul Code NameMA8 Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie

und StatistikUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus

8 CP 240 h 1 Semester mind. jedeszweiteSemester

Verwendbarkeit für BA Mathematik, LA MathematikLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel In der Grundvorlesung Statistik werden statistische Methoden und

die ihnen zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt.Inhalt I. Wahrscheinlichkeitsräume: Ereignisse, diskrete Verteilungen,

Verteilungen mit Dichte, Dichtetransformation, bedingte Wahr-scheinlichkeiten, Unabhängigkeit, Formel von BayesII. Zufallsvariable: Erwartungswert, Varianz und Kovarianz, ge-meinsame Verteilungen von Zufallsvariablen, Faltung.III. Grenzwertsätze: Konvergenz von Zufallsvariablen und ih-ren Verteilungen, Schwaches Gesetz der großen Zahlen, zentralerGrenzwertsatz.IV. Testtheorie: Hypothesentest, Fehler erster und zweiter Art, Li-kelihood, Neyman-Pearson-Test, weitere Testmethoden.V. Schätztheorie: Konstruktionsprinzipien, Erwartungstreue,Bias-Varianz-Zerlegung, Konsistenz, Konfidenzbereiche.VI. Beispiele für statistische Methoden: wie lineare Regression,Varianzanalyse, Hauptkomponentenanalyse.


Mathematisches Modellieren zufälliger Phänomene, selbstständi-ges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mit Präsentationin den Übungen.


keine


Analysis I und II (MA1, MA2), Lineare Algebra I und II (MA4,MA5)



NützlicheLiteratur

Krengel, U.: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie undStatistik, ViewegRice, J.: Mathematical statistics and Data AnalysisGeorgii, H.: Stochastik, de Gruyter

11

Algebra I

Modul Code NameMB1 Algebra I



Mathematik, LA Informatik jeweils ab dem 3. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundwissen über Gruppen, Ringe und Körper einschließlich der

Galoisschen Theorie.Inhalt I. Gruppen: Homomorphie- und Isomorphiesätze, Normalreihen

und auflösbare Gruppen, Konstruktion und Darstellung von Grup-pen, endlich erzeugte abelsche Gruppen, Operation von Gruppen,Sylowsätze, einfache Gruppen.II. Ringe: Homomorphismen und Ideale, Polynomringe, Haupt-idealringe und euklidische Ringe, faktorielle Ringe, simultane Kon-gruenzen, Quotientenringe, symmetrische Polynome.III. Körper: Algebraische und transzendente Körpererweiterungen,endliche Körper, separable und normale Körpererweiterungen, al-gebraisch abgeschlossene Hülle, Fundamentalsatz der Galoistheo-rie, Berechnung der Galoisgruppe, abelsche und Kummererweite-rungen, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.


Abstraktes und strukturelles Denken, Erlernen einer begrifflichkomplexen mathematischen Theorie, selbständiges Lösen von Auf-gaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übungen


keine


Lineare Algebra I (MA4) und Lineare Algebra II (MA5)


Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter 2-stündiger Klausur.Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüfung wird vom Dozen-ten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung bekannt gegeben.

NützlicheLiteratur

S. Bosch: AlgebraS. Lang: AlgebraF. Lorenz, F. Lemmermeyer: Algebra

12

Funktionentheorie IModul Code Name

MB3 Funktionentheorie IUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus


Verwendbarkeit BA Mathematik, BA + MA Physik, LA Mathematik ab dem 3.Studiensemester

Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Einführung in die komplexe AnalysisInhalt I. Differentialrechnung im Komplexen: Komplexe Ableitung, die

Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen.II. Integralsätze: Der Cauchysche Integralsatz, die CauchyschenIntegralformeln.III. Singularitäten analytischer Funktionen, Residuensatz: Potenz-reihen, Abbildungseigenschaften analytischer Funktionen, Funda-mentalsatz der Algebra, Singularitäten analytischer Funktionen,Laurentzerlegung, der Residuensatz.IV. Konforme Abbildungen.V. Topologische Ergänzungen: Die Homotopieversion des Cauchy-schen Integralsatzes, Charakterisierungen von einfach zusammen-hängenden Gebieten.


Selbstständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen; Fähigkeit der Anwendung auf an-dere Gebiete wie z. B. Mathematische und Theoretische Physik


keine


Analysis I, II (MA1, MA2) und Lineare Algebra I, II (MA4, MA5)



NützlicheLiteratur

Freitag, Busam: Funktionentheorie IRemmert, Schumacher: Funktionentheorie IFischer, Lieb: Funktionentheorie

13

Elementare ZahlentheorieModul Code Name

ME1 Elementare ZahlentheorieUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus

8 CP 240 h 1 Semester mind. jedesvierteSemester

Verwendbarkeit LA Mathematik, BA Mathematik ab dem 3. Studiensemester.Das Modul kann nicht zur Verbreiterung von Grundlagenkennt-nissen für das Master-Studium Mathematik angerechnet werden.

Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Einführung in die Zahlentheorie und ihre AnwendungenInhalt I. Teilbarkeitslehre: Teilbarkeit, Euklidischer Algorithmus, Prim-

faktorzerlegung, Gruppe der primen Restklassen, ChinesischerRestsatz, RSA-VerfahrenII. Primzahlen: Quadratische Reziprozität, Summen von Quadra-ten, Primzahltests, elementare Resultate zur PrimzahlverteilungIII. Quadratische Zahlkörper: Ganzheitsring, Einheitengruppe,Kettenbrüche, Idealklassengruppe, Zerlegungsgesetz, diophanti-sche Gleichungen.


Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen


keine


Lineare Algebra I (MA4)



NützlicheLiteratur

Schmidt: Einführung in die algebraische Zahlentheorie

14

Einführung in die Geometrie

Modul Code NameME2 Einführung in die Geometrie


vierteSemester

Verwendbarkeit LA Mathematik, BA Mathematik ab dem 3. Studiensemester.Das Modul kann nicht zur Verbreiterung von Grundlagenkennt-nissen für das Master-Studium Mathematik angerechnet werden.

Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundbegriffe der Geometrie mit AnwendungenInhalt I. Euklidische Geometrie: Grundlagen der affinen und euklidi-

schen Geometrie, Isometriegruppen euklidischer Räume, Platoni-sche Körper, Kegelschnitte, Einblick in eine nicht-euklidische Geo-metrie.II. Projektive Geometrie: Projektive Räume und Koordinaten,projektive Abbildungen und Projektivitäten, Kollineationen, Dua-litätsprinzip, projektive Quadriken.III. Polyeder: Eulersche Polyederformel, Eulercharakteristik




keine


Lineare Algebra I und II (MA4, MA5)



NützlicheLiteratur

Bekanntgabe in der Vorlesung

15

SeminarModul Code Name

SeminarUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus

6 CP 180 h 1 SemesterVerwendbarkeit Mathematik Bachelor, Mathematik Master, Mathematik LehramtLehrform aktive und passive Teilnahme an Vorträgen 2 SWS + Tutorium 2

SWSLernziel Befähigung mathematische Literatur (in der Regel ein anspruchs-

vollerer Text) zu lesen, sich selbständig mit einer mathematischenFragestellung zu beschäftigen und hierüber vorzutragen. Dies bein-haltet insbesondere ein dem Vortrag vorausgehendes umfangrei-ches Beratungsgespräch.

Inhalt nach Absprache mit dem DozentenVermittelteKompetenzen

Die Befähigung, mathematische Argumente klar und verständlicheinem kleineren Kreis von Hörern mitzuteilen.


keine


werden vom Dozenten bekanntgegeben


ein ca. 45- bis 90-minütiger benoteter Vortrag

NützlicheLiteratur

wird vom Dozenten bekanntgegeben

16

Höhere Analysis

Modul Code NameMA3 Höhere Analysis


WSVerwendbarkeit für BA Mathematik, LA Mathematik, ab dem 3. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Ausbau der Differential- und Integralrechnung mehrerer Veränder-

licher.Inhalt I. Lebesgue-Integral

II. Lp-RäumeIII. FouriertransformationIV. Differenzierbare MannigfaltigkeitenV. Differentialformen und der Satz von Stokes


Erlangung höherer Abstraktionsfähigkeit, selbstständiges Lösenvon Aufgaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in denÜbungen.


keine


mindestens zwei der Module Analysis I, II (MA1, MA2) und Li-neare Algebra I, II (MA4, MA5)



NützlicheLiteratur


17

Algebra II

Modul Code NameMB2 Algebra II


SSVerwendbarkeit für Studiengänge BA und MA Mathematik, LA Mathematik je-

weils ab dem 4. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Aneignung vertiefter Kenntnisse im Bereich Algebra, z.B. Kommu-

tative Algebra, Homologische Algebra oder Darstellungstheorie,wobei die Stoffauswahl insbesondere die Bedürfnisse der algebrai-schen und arithmetischen Geometrie berücksichtigt.

Inhalt Der Dozent stellt eine Auswahl aus den folgenden Themenberei-chen vor:I. Kommutative Algebra: Noethersche und Artinsche Ringe undModuln, Hilbertscher Basissatz, Spektrum und Primärzerlegung,Komplettierung, weitere Themen aus dem Bereich kommutativeAlgebraII. Darstellungstheorie: Halbeinfache Algebren, Wedderburn-Theorie, Brauergruppe, Gruppencharaktere, induzierte Charak-tere und Darstellungen, weitere Themen aus dem Bereich Dar-stellungstheorie.III. Homologische Algebra: Universelle Konstruktionen, projektiveund injektive Moduln, Kategorien und Funktoren, abelsche Kate-gorien, abgeleitete Funktoren, Gruppenkohomologie, weitere The-men aus dem Bereich Homologische Algebra.IV. Unendliche Galoistheorie: unendliche Galoiserweiterungen, dieabsolute Galoisgruppe, Galoiskohomologie, Hilberts Satz 90, wei-tere Themen aus dem Bereich Unendliche Galoistheorie.V. Weitere Themenbereiche der Algebra.


Abstraktes und strukturelles Denken, Erlernen begrifflich komple-xer mathematischer Theorien, selbständiges Lösen von Aufgabenaus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übungen


keine


Algebra I (MB1)


Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. münd-licher Prüfung. Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüfungwerden vom Dozenten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung be-kannt gegeben.

NützlicheLiteratur

C. W. Curtis, I. Reiner: Representation Theory of Finite Groupsand Associative AlgebrasD. Eisenbud: Commutative AlgebraH. Matsumura: Commutative Ring TheoryJ.-P. Serre: Linear Representations of Finite GroupsC. H. Weibel: An Introduction to Homological Algebra

18

Funktionentheorie IIModul Code Name

MB4 Funktionentheorie IIUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus


Verwendbarkeit ür BA und MA Mathematik, BA + MA Physik, LA MathematikLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Fortsetzung der Vorlesung Funktionentheorie I (MB3)Inhalt I. Konstruktion analytischer Funktionen: Spezielle Funktionen

(z. B. Gammafunktion), der Weierstraßsche Produktsatz, derPartialbruchsatz von Mittag-LefflerII. Elliptische FunktionenIII. Modulformen

Mögliche Vertiefungen finden in den folgenden Gebieten statt:I. Riemannsche FlächenII. Funktionentheorie mehrerer VeränderlicherIII. Analytische ZahlentheorieIV. Wertverteilungstheorie, geometrische Funktionentheorie


Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen.


keine


Analysis I (MA1), Lineare Algebra I (MA4), Funktionentheorie I(MB3)



NützlicheLiteratur

Wird in der Vorlesung bekannt gegeben.

19

Algebraische Topologie I

Modul Code NameMB5 Algebraische Topologie I


vierteSemester

Verwendbarkeit BA und MA Mathematik, LA Mathematik, MA Physik ab dem 3.Semester

Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernzielInhalt Grundlagen der Punktmengentopologie,

Homotopie,Fundamentalgruppe, Satz von Seifert-Van Kampen,Theorie der Überlagerungen,Homologie,Grundlegende Begriffsbildungen aus der Kategorientheorie,Eilenberg-Steenrod Axiomatik,Mayer-Vietoris Sequenz,die Euler-Charakteristik,Anwendungen.




keine


Analysis I und II (MA1, MA2), Lineare Algebra I und II (MA4,MA5)



NützlicheLiteratur

Glen E. Bredon: Topology and GeometryJames R. Munkres: Elements of Algebraic Topology

20

Algebraische Topologie II

Modul Code NameMB6 Algebraische Topologie II


vierteSemester

Verwendbarkeit BA und MA Mathematik, LA Mathematik, MA Physik ab dem 4.Semester

Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernzielInhalt Kohomologie,

Koeffizienten, universelles Koeffiziententheorem,Produkte in der Kohomologie,Künneth-Theorem,Topologische und glatte Mannigfaltigkeiten,Orientierung und Fundamentalklasse,Dualitätssätze für Mannigfaltigkeiten,Homotopietheorie: Satz von Hurewicz, Satz von Whitehead,Faserungen und Kofaserungen, Schleifenräume, Puppe-Sequenz,Eilenberg-MacLane Räume.




keine


Analysis I (MA1), Lineare Algebra I (MA4), Algebraische Topo-logie I (MB5)



NützlicheLiteratur

Glen E. Bredon: Topology and Geometry,James R. Munkres: Elements of Algebraic Topology,Edwin H. Spanier: Algebraic Topology,James F. Davis, Paul Kirk: Lecture Notes in Algebraic Topology

21

Mathematische Logik

Modul Code NameME3 Mathematische Logik


vierteSemester

Verwendbarkeit BA Mathematik, BA Informatik, LA Mathematik, LA Informatikab dem 3. Semester.Das Modul kann nicht zur Verbreiterung von Grundlagenkennt-nissen für das Master-Studium Mathematik angerechnet werden.

Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Einführung in die verschiedenen Teilgebiete der Mathematischen

Logik.Inhalt I. Prädikatenlogik: Untersuchung der in der Mathematik üblichen

logischen Schlussweisen.II. Mengenlehre: Grundlagentheorie der Mathematik sowie Theo-rie der Ordinal- und Kardinalzahlen.III. Modelltheorie: Zusammenhang zwischen axiomatischen Theo-rien und ihren Modellen mit Beispielen aus der Algebra.IV. Berechenbarkeitstheorie: Eigenschaften des Begriffes der bere-chenbaren Funktion.V. Beweistheorie: Grenzen der Formalisierbarkeit, Unvollständig-keit und Unentscheidbarkeit.




keine


Lineare Algebra I (MA4), Praktische Informatik I (MA6)



NützlicheLiteratur


22

Lie Algebren und Lie Gruppen I

Modul Code NameMB10 Lie Algebren und Lie Gruppen I

Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester

Verwendbarkeit für Studiengänge BA/MA Mathematik, BA/MA Physik, LA Ma-thematik jeweils ab dem 3. Studiensemester

Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundwissen über Lie-Algebren und Lie-Gruppen.Inhalt I. Lie Gruppen, assoziierte Lie Algebra, Exponentialabbildung,

Beispiele (in der Physik)II. Abstrakte Lie-Algebren, Ideale, Homomorphismen, auflösbareund nilpotente Lie-Algebren.III. Halbeinfache Lie-Algebren: Theoreme von Lie und Cartan,Killing Form, Darstellungen (von sl2), Wurzelraumzerlegung


Abstraktes und strukturelles Denken, Erlernen einer begrifflichkomplexen mathematischen Theorie, selbständiges Lösen von Auf-gaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übungen


keine


Lineare Algebra I (MA4) und Lineare Algebra II (MA5), evtl.Algebra I (MB1)


Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter 2-stündiger Klausurbzw. mit mündlicher Prüfung.

NützlicheLiteratur

J. P. Serre: Complex Semisimple Lie AlgebrasJ. P. Serre: Lie algebras and Lie groupsJ. E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and RepresentationtheoryN. Jacobson: Lie algebrasV. S. Varadarajan: Lie Groups, Lie Algebras, and Their Represen-tations

23

Lie Algebren und Lie Gruppen II

Modul Code NameMB11 Lie Algebren und Lie Gruppen II


Verwendbarkeit für Studiengänge BA/MA Mathematik, BA/MA Physik, LA Ma-thematik jeweils ab dem 4. Studiensemester

Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Klassifikation von Lie-Algebren und Lie-GruppenInhalt I. Wurzelsysteme, Weyl Gruppe, Klassifikation, Gewichte

II. Isomorphie- und Konjugations-Teoreme, Existenzsatz, Univer-selle Einhüllende Algebra, Poincaré-Birkhoff-Witt TheoremIII. DarstellungstheorieIV. Komplexe und kompakte Gruppen


Abstraktes und strukturelles Denken, Erlernen begrifflich komple-xer mathematischer Theorien, selbständiges Lösen von Aufgabenaus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übungen


keine


Lie Algebren und Lie Gruppen I


Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. mündli-cher Prüfung.

NützlicheLiteratur

J. P. Serre: Complex Semisimple Lie AlgebrasJ. P. Serre: Lie algebras and Lie groupsJ. E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and RepresentationtheoryN. Jacobson: Lie algebrasV. S. Varadarajan: Lie Groups, Lie Algebras, and Their Represen-tations

24

Analysis auf Mannigfaltigkeiten

Modul Code NameME4 Analysis auf Mannigfaltigkeiten


Verwendbarkeit Mathematik Bachelor, Mathematik LehramtLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundkenntnisse über Analysis auf MannigfaltigkeitenInhalt Die Vorlesung Analysis auf Mannigfaltigkeiten gibt eine Einfüh-

rung in die Theorie der Differentialformen auf differenzierbaren,insbesondere Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

Hauptthemen sind

I. Überblick über Integrationstheorie (Radonmaße)II. Einführung in differenzierbare MannigfaltigkeitenIII. Kalkül der alternierenden DifferentialformenIV. Tensoren, Riemann’sche MetrikenV. Hodgetheorie




keine


Analysis I und II, Lineare Algebra I und II


Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. münd-licher Prüfung. Art und Zeitrahmen einer Wiederholungsprüfungwerden vom Dozenten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung be-kannt gegeben.

NützlicheLiteratur

Freitag, E.: Skript,Jänich, K.: VektoranalysisSpivak, M.: Calculus on Manifolds

25

Mengentheoretische Topologie

Modul Code NameME5 Mengentheoretische Topologie

Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240h 1 Semester

Verwendbarkeit Mathematik Bachelor, Mathematik LehramtLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2SWSLernziel Grundkenntnisse über mengentheoretische TopologieInhalt - Grundlagen (topologische Räume, Erzeugung topologischer

Räume, stetige Abbildungen, Trennungsaxiome, Eigenschaftentopologischer Räume)

Im Anschluß wird die Theorie in einem oder mehreren Themenvertieft:

- Konstruktion stetiger Funktionen auf topologischen Räumen- Uniforme Räume- Homotopietheorie- CW-Komplexe- Topologische Gruppen- Topologische Vektorräume




keine


Analysis I (MA1), Lineare Algebra I (MA4)



NützlicheLiteratur

Jänich: TopologieLaures, Szymik: Grundkurs TopologieSchubert: TopologieKelley: General TopologyWeitere Literatur wird gegebenenfalls in der Vorlesung bekannt-gegeben.

26

Einführung in die Mengenlehre

Modul Code NameME6 Einführung in die Mengenlehre

Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus3 SWS 4 CP 120 h 1 SemesterVerwendbarkeit Mathematik (Bachelor, Lehramt)Lehrform Vorlesung 2 SWS + Übungen 1 SWSLernziel Die Axiome von Zermelo - Fraenkel mit Auswahlaxiom, transfinite

Zahlen und Wohlordnungen, fundierte Relationen und Rekursion,Kontinuumhypothese und Unabhängigkeitsbeweise.

Inhalt Mannichfaltigkeitslehre wurde in der 2. Hälfte des 19. Jahr-hunderts von Georg Cantor ex nihilo als “ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen” entwickelt.Im Mittelpunkt der Vorlesung steht die Axiomatisierung der Can-torschen Mengenlehre sowie die elementare Theorie der transfini-ten Zahlen. Ein weiteres Thema sind die erkenntnistheoretischenAspekte dieser Theorie, welche David Hilbert als “die bewunderns-werteste Blüte mathematischen Geistes” gepriesen hat.


Selbständiges Lösen von Problemen aus dem Themenbereich


Keine


Ein Grundverständnis von Mathematik, wie es beispielsweise inden Anfängervorlesungen der ersten beiden Semester vermitteltwird.


Lösung von Übungsaufgaben und benotete Abschlussprüfung. Artund Zeitrahmen einer Wiederholungsprüfung werden vom Dozen-ten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung bekannt gegeben.

NützlicheLiteratur

H. D. Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. Wissenschaft-liche Buchgemeinschaft, Darmstadt.

27

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Modul Code NameMC1 Gewöhnliche Differentialgleichungen


vierteSemester

Verwendbarkeit BA Mathematik, LA Mathematik ab dem 3. SemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Einführung in die Lösungstheorie gewöhnlicher Differentialglei-

chungenInhalt I. Elementare Lösungsmethoden: Trennung der Variablen, Varia-

tion der Konstanten, exakte DifferentialgleichungenII. Existenz- und Eindeutigkeitsätze: eindeutige Lösbarkeit vonAnfangswertproblemen, maximale Lösungen, Lemma von Gron-wallIII. Abhängigkeit von Parametern: stetige und differenzierbare Ab-hängigkeit von Anfangswerten und ParameternIV. Lineare Differentialgleichungen: Fundamentalsystem, Wrons-kideterminante, Evolutionsoperator, ExponentialfunktionV. Dynamische Systeme und Flüsse: Orbit, Phasenporträt, Satzvon Liouville, ebene lineare Flüsse, hyperbolische lineare Flüsse,Koordinatentransformation, FlussäquivalenzVI. Stabilität: Ljapunovstabilität, invariante Mengen, Ljapunov-funktionen




keine


Analysis I und II (MA1,MA2), Lineare Algebra I (MA4)


Klausur (2-stündig)

NützlicheLiteratur

H. Amann: Gewöhnliche DifferentialgleichungenW. Walter: Gewöhnliche DifferentialgleichungenV.I. Arnold: Gewöhnliche Differentialgleichungen

28

Partielle Differentialgleichungen

Modul Code NameMC2 Partielle Differentialgleichungen


vierteSemester

Verwendbarkeit BA, MA, LA Mathematik ab dem 4. SemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Einführung in das Gebiet der partiellen Differentialgleichungen an

Hand dreier klassischer Beispiele sowie Grundwissen über einenfunktionalanalytischen Zugang.

Inhalt I. Die Potentialgleichung: Fundamentallösung, Maximumprinzip,Perron-Verfahren, Newton-PotentialII. Die Wärmeflussgleichung: AnfangswertproblemIII. Die Wellengleichung: Wellengleichung in niederen Raumdi-mensionen, Cauchy-ProblemIV. Die Hilbertraummethode bei elliptischen Randwertproblemen




keine


Analysis I und II (MA1, MA2) , Lineare Algebra I und II (MA4,MA5), Höhere Analysis (MA3)


Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. münd-licher Prüfung. Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüfungwierden vom Dozenten festgelegt und zu Beginn der Vorlesungbekannt gegeben.

NützlicheLiteratur

J. Jost: Partielle Differentialgleichungen

29

Funktionalanalysis

Modul Code NameMC3 Funktionalanalysis


vierteSemester

Verwendbarkeit BA Mathematik, LA Mathematik, BA und MA PhysikLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernzielInhalt I. Metrische Räume und ihre Abbildungen: u.a. Vervollständigung,

Satz von Baire, (relativ) kompakte Teilmengen und ihre Charak-terisierung, Fortsetzbarkeit gleichmässig stetiger AbbildungenII. Normierte Räume und ihre Abbildungen: inklusiv Banach-Räume, Dualräume, schwache Topologien, topologische Vektor-räume, Beispiele von Funktionenräumen, Spektraltheorie kompak-ter Operatoren, mit den üblichen Sätzen (inklusiv Spektralsatz)III. Hilbert-Räume und ihre Abbildungen




keine


Analysis I und II (MA1, MA2) , Lineare Algebra I und II (MA4,MA5), Höhere Analysis (MA3)



NützlicheLiteratur


30

WahrscheinlichkeitstheorieModul Code Name

MC4 WahrscheinlichkeitstheorieUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus


Verwendbarkeit BA Mathematik, LA Mathematik ab dem 4. SemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundlagen für alle Gebiete der Wahrscheinlichkeitstheorie und

StatistikInhalt I. Maß- und Integrationstheorie: σ-Algebren, Borel-σ-Algebra,

messbare Abbildungen, Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsma-ßen, Produkträume. Erwartungswert als Maßintegral, Sätze vonLebesgue, Beppo Levi, Fubini und Radon-Nikodym.II. Konvergenz von Zufallsvariablen: Lp-Räume, Zusammenhangzwischen fast sicherer, stochastischer und Lp-Konvergenz, StarkesGesetz der großen Zahlen, Konvergenz in Verteilung, charakteris-tische Funktionen, zentraler Grenzwertsatz.III. Bedingte Verteilungen: Bedingte Erwartungen, Markov-Kerne,Martingale in diskreter Zeit.IV. Stochastische Prozesse: Brownsche Bewegung, Poisson-Prozess, Empirischer Prozess.




keine


Analysis I und II (MA1, MA2) , Lineare Algebra I und II (MA4,MA5), Höhere Analysis (MA3), Einführung in die Wahrscheinlich-keitstheorie und Statistik (MA 8)



NützlicheLiteratur

Bauer, H.: Wahrscheinlichkeitstheorie, de Gruyter.Billingsley, P.: Probability and Measure, Wiley.Dudley, R.N.: Real Analysis and ProbabilityDurrett, R.: Probability: Theory and Examples, Duxbury PressJacod, J. and Protter, P.: Probability Essentials, SpringerShiryaev, A.: Probability, Springer.

31

NumerikModul Code Name

MD1 NumerikUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus


Verwendbarkeit für Studiengänge BA Mathematik, BA Informatik, BA Physik, LAMathematik, LA Informatik jeweils ab dem 3. Studiensemester

Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Kenntnisse der numerischen Lösung von Anfangswert- und Rand-

wertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen und einfacherpartieller Differentialgleichungen

Inhalt I. Theorie von Anfangs- und RandwertaufgabenII. Einschrittmethoden: Konsistenz, Stabilität, Konvergenz.III. Numerische Stabilität und steife AnfangswertaufgabenIV. Andere Verfahrensklassen: Lineare Mehrschrittmethoden, Ex-trapolationsmethoden, Galerkin-Methoden (optional).V. Lösung von Differentiellalgebraischen AufgabenVI. Lösung von Randwertaufgaben: Schießverfahren, Differenzen-und Galerkin-Verfahren (optional).VII. Differenzenverfahren für elliptische partielle Differential-gleichungen, Laplace-Gleichung, 5-Punkte-Approximation.VIII. Iterative Lösungsverfahren für diskretisierte Probleme.


Abstraktes und algorithmisches Denken, Anwendung von Techni-ken der Analysis und linearen Algebra, selbständiges Lösen vonAufgaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übun-gen


keine


Analysis I (MA1), Lineare Algebra I (MA4), Einführung in dieNumerik (MA7)



NützlicheLiteratur

Bekanntgabe in der Vorlesung (Vorlesungsskripum)

32

StatistikModul Code Name

MD2 StatistikUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus


Verwendbarkeit BA Mathematik, LA Mathematik ab dem 4. SemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Prinzipien der mathematischen StatistikInhalt I. Entscheidungstheorie: Dualität von Tests und Konfidenzberei-

chen, Neyman-Pearson-Theorie, allgemeine Entscheidungsverfah-ren, Risikofunktionen, Bayes- und MinimaxoptimalitätII. Asymptotische Statistik: Verteilungsapproximation, Fisher-Information, relative asymptotische Effizienz von Tests und Schät-zern, Likelihood-basierte Verfahren, nichtparametrische Verfah-ren.




keine


Analysis I (MA1), Lineare Algebra I (MA4), Einführung in dieWahrscheinlichkeitstheorie u. Statistik (MA8), Wahrscheinlich-keitstheorie (MC4)



NützlicheLiteratur

Bickel, P. J. and Doksum, K. A.: Mathematical Statistics, PrenticeHallLehmann, E. L.: Testing Statistical Hypotheses, Springer VerlagVan der Vaart, A. W.: Asymptotic Statistics, Cambridge Univer-sity Press

33

Lineare Optimierung

Modul Code NameMD3 Lineare Optimierung


Verwendbarkeit BA Mathematik, LA Mathematik ab dem 2. SemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Probleme, Theorie, Methoden und Algorithmen der Linearen Op-

timierungInhalt Die Vorlesung behandelt die folgenden Themen:

Formulierung von linearen OptimierungsproblemenDualitätstheorieStruktur von PolyedernDie Simplexmethode, Grundversion und VariantenDer duale Simplex-AlgorithmusPostoptimale Analyse und Re-OptimierungPolynomiale Algorithmen zur Linearen OptimierungInnere-Punkte-Methoden


Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen, Bearbeiten von praktischen Pro-grammieraufgaben


keine


Lineare Algebra I, Programmierkenntnisse



NützlicheLiteratur

Padberg: Linear Optimization and ExtensionsChvátal: Linear ProgrammingWright: Primal-Dual Interior-Point Methods

34

Nichtlineare Optimierung

Modul Code NameMD4 Nichtlineare Optimierung


Verwendbarkeit BA Mathematik, LA Mathematik ab dem 3. SemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Probleme, Theorie, Methoden und Algorithmen der Nichtlinearen

OptimierungInhalt Die Vorlesung behandelt die folgenden Themen:

Endlich-dimensionale, glatte, kontinuierliche, nichtlineare Opti-mierungsprobleme, Optimalitätsbedingungen für unbeschränkteund beschränkte Optimierungsprobleme, Gradientenverfahren,Konjugierte Gradienten-(CG-)Verfahren, Line Search, Newton-und Quasi-Newton-SQP-Verfahren, Gauß-Newton-Verfahren,Behandlung von Ungleichungsbeschränkungen, Trust-Region-Verfahren, Automatische Differentiation


Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen, Bearbeiten von praktischen Pro-grammieraufgaben


keine


Lineare Algebra I, Analysis I und II, Programmierkenntnisse


Lösung von Übungsaufgaben. Benotete Klausur bzw. mündlichePrüfung. Art und Zeitrahmen einer Wiederholungsprüfung werdenvom Dozenten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung bekanntgegeben.

NützlicheLiteratur

Nocedal, Wright: Numerical OptimizationGill, Murray, Saunders, Wright: Practical OptimizationGeiger, Kanzow: Numerik (un)restringierter OptimierungJarre, Stoer: Optimierung

35

Wissenschaftliches RechnenModul Code Name

MD5 Wissenschaftliches RechnenUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus

8 CP 240 h 1 Semester mind. jedesvierteSemester

Verwendbarkeit BA und MA Mathematik, LA MathematikLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundlegende Methoden der Modellbildung und Simulation.

Schwerpunktmäßig werden die Prozesse betrachtet, die sich mitHilfe partieller Differentialgleichungen beschreiben lassen.

Inhalt Hauptthemen sind:I. Modellbildung: Modellierungssystematik, Diskrete Systeme,kontinuierliche Prozesse, Standardansätze zur Modellierung, Er-haltungsgleichung.II. Simulationsmethoden: Grundlegende Diskretisierungsverfah-ren, elementare Lösertechniken.III. Anwendungsbeispiele: Hier kommen einfache Anwendungenaus Biologie, Medizin, Physik u. a. zur Diskussion.




keine


Mathematische Grundvorlesungen MA1 bis MA8



NützlicheLiteratur

Es wird ein Skriptum angeboten.

36

Modellierung für Lehramtsstudierende

Modul Code NameML1 Modellierung für Lehramtsstudierende


Verwendbarkeit Mathematik LehramtLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Einführung in deterministische und stochastische Methoden zur

Modellierung von Phänomenen im menschlichen Erfahrungsbe-reich. Anwendungen von Mathematik bei außermathematischenFragestellungen.

Inhalt Deterministische und stochastische Modelle in verschiedenen An-wendungsgebieten wie Physik, Biologie oder Technik:Stochastische Prozesse. Markovketten, Markovprozesse in ste-tiger Zeit mit diskretem Zustandsraum, stationäre Prozesse.Gewöhnliche Differentialgleichungen. Lineare und nichtlinea-re Modelle, explizite Lösungen, qualitative und quantitative Un-tersuchung der Lösungen.Partielle Differentialgleichungen: klassische Beispiele.Numerische Methoden und Simulationsmethoden bei derUntersuchung spezieller Beispiele.


Kenntnisse bei der Anwendung mathematischer Methoden zurVerbesserung des Verständnisses des menschlichen Umfelds.


keine


Analysis 1 (MA1), Analysis 2 (MA2), Lineare Algebra 1 (MA4),Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (MA8),Einführung in die Numerik (MA7).Bereitschaft zur Bearbeitung nichtmathematischer Probleme mitMethoden der Mathematik.


Klausur (2-stündig)

NützlicheLiteratur

G.R. Grimmett, D.R. Stirzaker: Probability and random processesJ.D. Murray: Mathematical BiologyC. Hesse: Angewandte WahrscheinlichkeitstheorieW. Strang: Introduction to Applied Mathematics

37

Einführung in die Algorithmische Geometrie

Modul Code NameML2 Einführung in die Algorithmische Geometrie


Verwendbarkeit Mathematik LehramtLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundkenntnisse in algorithmischer algebraischer GeometrieInhalt Die Vorlesung Algorithmische Geometrie stellt einen algorithmi-

schen Zugang zur algebraischen Geometrie bereit. Hauptthemensind:I. Affine Varietäten und Ideale in multivariaten PolynomringenII. Gröbnerbasen: Monomordnungen, Monomideale, multivariatePolynomdivision, Dicksons Lemma und Hilbertscher Basissatz,Gröbnerbasen, Buchbergeralgorithmus, reduzierte GröbnerbasenIII. Eliminationstheorie: Eliminations- und Fortsetzungssatz, Geo-metrie der Elimination, Implizitisierung, Faktorisierung, multiva-riate ResultantenIV. Beziehungen zwischen Algebra und Geometrie: HilbertscherNullstellensatz, Radikalideale, Operationen auf Idealen einschließ-lich Algorithmik, Zariski-Abschluss und Idealquotienten




keine


Lineare Algebra II



NützlicheLiteratur

Cox, D., Little, J., O’Shea, D.: Ideals, Varieties and Algorithms

38

Mathematikdidaktik für den SchulunterrichtModul Code Name

MF1 Mathematikdidaktik für den SchulunterrichtUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus

4 CP 120 h 1 Semester mind. jedesvierte Sem.

Verwendbarkeit Lehramt MathematikLehrform Vorlesung 2 SWSLernziel Grundkenntnisse für die Aufbereitung von Unterrichtsinhalten

und die alters- und schulgerechte Umsetzung an wesentlichen Bei-spielen der Schulmathematik

Inhalt I. Grundlagen mathematischen Denkens und mathematischerLernprozesseII. Methoden und Organisationsformen im MathematikunterrichtIII. Finden und Beweisen von SätzenIV. Aufgabenkultur und Problemlösenjeweils mit Unterrichtsbezug aus mindestens einem der folgendenTeilgebieteAnalysis: Funktionales Denken, Begriffsbildung,Geometrie: Grundlagen der Schulgeometrie, Gestaltung des Geo-metrieunterrichtsZahlentheorie und Algebra: Gestaltung von Arithmetik- und Al-gebraunterricht, fachliche GrundlagenStochastik: stochastisches Denken, Modelle, fachliche Grundlagen


Die StudierendenI. kennen Grundlagen des Mathematiklernens (Problemlösen, Mo-dellieren, Argumentieren) und sowie wichtige fachdidaktische Kon-zepte,II. kennen Verfahren, Inhalte der Grundvorlesungen auf ihre Be-deutung für die Schulmathematik zu untersuchen und alters- undschulgerecht aufzubereiten,III. kennen Möglichkeiten der Binnendifferenzierung


keine


Analysis I (MA1), Lineare Algebra I und II (MA4 und MA 5)


Klausur oder zweistündige Übungen im zweiwöchigen Abstand

NützlicheLiteratur

A. Schmid, Verständnis lehren, Klett-VerlagTietze u.a. , Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, 3 Bän-de, Viewegwird entsprechend der Teilgebiete in der Vorlesung bekannt gege-ben

39

Grundlagen der Mathematikdidaktik

Modul Code NameMF2 Grundlagen der Mathematikdidaktik


vierteSemester

Verwendbarkeit Lehramt MathematikLehrform Vorlesung 2 SWSLernziel Einführung in die Grundlagen der Mathematikdidaktik, Überblick

über zentrale Ideen des Mathematikunterrichts (MU)Inhalt I. Schulische Bedingungen des Lehren und Lernens von Mathema-

tikII. Inhalts- und prozessbezogene Ziele und Leitideen des MU, Bil-dungsplan konkret, zentrale Erkenntnisse mathematikdidaktischerForschungIII. Organisation von mathematischen Lernprozessen: Konzeptedes MU, Motivation, Differenzierung, Umgang mit Fehlern, Inte-gration des Computers im MUIV. Mathematiktreiben im MU: Aneignung mathematischer Be-griffe und Regeln, Problemlösen, Argumentieren und Beweisen,Arbeiten mit mathematischen DarstellungenV. Lernstandserhebung und Leistungsfeststellung im MUVI. Spannungsfelder des MU


Fähigkeit zur kritischen Reflexion von Mathematikunterricht


keine


Schulkenntnisse


Klausur oder Übungen

NützlicheLiteratur

Leuders, T. (2003): Mathematik Didaktik. Berlin: Cornelsen Scrip-torWittmann, E. Chr. (1981): Grundfragen des Mathematikunter-richts. Braunschweig: ViewegZech, F. (2002): Grundkurs Mathematikdidaktik. Weinheim: Beltz

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