Musterl¨osung - ETH Zürich · noch um den Regler fur die Position in L¨angsrichtung x(t)...

BSc - Sessionsprufung 30.01.2014

Regelungstechnik I (151-0591-00) Prof. L. Guzzella

Musterlosung

Dauer der Prufung: 120 Minuten + 15 Minuten Lesezeit am Anfang!

Anzahl der Aufgaben: 8 (unterschiedlich gewichtet, total 70 Punkte)

Bewertung: Um die Note 6 zu erlangen, mussen nicht alle Aufgabengelost werden.

Bei jeder Aufgabe ist die Punktezahl angegeben.

Erlaubte Hilfsmittel: 20 A4-Blatter (40 Seiten)

Taschenrechner (zur Verfugung gestellt)

Die Assistenten durfen keine Hilfe geben.

Zur Beachtung: Alle Losungen, ausser die Antworten bei Multiple-ChoiceAufgaben, sind zu begrunden.

Losen Sie die Aufgaben ausschliesslich auf den vorbereitetenBlattern.

Seite 2 Sessionsprufung Regelungstechnik I

Aufgabe 1 (Modellieren, Linearisieren) 8 Punkte

Ochsner (Amacher)

In dieser Aufgabe sollen Sie ein linearisiertes Modell des in Abbildung 1 dargestellten Systemserstellen. Das System besteht aus einem Druckzylinder mit beweglichem Kolben und einemBallon.Der Ballon und das Volumen im Zylinder, das nicht vom Kolben eingenommen wird, sindvollstandig mit Ol gefullt. Das Ol wird als inkompressibel angenommen. Das totale Olvolumenbetragt Vtot, das Olvolumen im Ballon betragt Vb(t). Da der Ballon und der Zylinder durch einegrosse Offnung verbunden sind, herrscht in beiden Kammern der gleiche Druck. Dieser Druckist vom Ballonvolumen abhangig und berechnet sich durch p(t) = ea∙Vb(t) + b, wobei a und bbekannte Parameter sind.Der Kolben mit Masse m und Frontflache F kann sich im Zylinder hin und her bewegen undseine Position wird mit r(t) beschrieben. Auf den Kolben wirken ausschliesslich die Druckkraftdes Ols und die aussere Kraft K(t) = v(t), welche den Systemeingang darstellt. Reibung wirdvernachlassigt.Der Systemausgang ist das Ballonvolumen w(t) = Vb(t).

Abbildung 1: Ballon und Druckzylinder.

a) (3 Punkte) Wahlen Sie den Zustandsvektor z(t) =[r(t) r(t)

]T und leiten Sie die nichtli-neare Zustandsraumdarstellung der Form

dz(t)dt

= f(z(t), v(t)

)w(t) = g

(z(t), v(t)

)

her. Benutzen Sie die Variablennamen z1(t), z2(t), v(t) und w(t).

b) (3 Punkte) Berechnen Sie die Kraft ve, die notig ist, um das System bei z1,e = 0 imGleichgewicht zu halten.

c) (2 Punkte) Linearisieren Sie das System nun um diesen Gleichgewichtszustand und gebenSie die Systemmatrizen A, b, c und d an.

Losung 1

a) Fur die Bewegung des Kolbens starten wir mit dem Impulssatz:

mr(t) = F ∙ p(t) − K(t).

Fur den Druck setzen wir die in der Aufgabe gegebene Gleichung ein:

mr(t) = F ∙[ea∙Vb(t) + b

]− K(t).

Sessionsprufung Regelungstechnik I Seite 3

Nun ersetzten wir das Ballonvolumen Vb(t) durch einen Ausdruck mit der Zustansvariabler(t): Vb(t) = Vtot − F ∙ r(t). Ausserdem teilen wir die ganze Gleichung durch die Masse m:

r(t) =F

m∙[ea∙(Vtot−F ∙r(t)

)+ b]−

K(t)m

.

Die nichtlineare Zustandsraumdarstellung lautet nun

dz1(t)dt

= f1

(z(t), v(t)

)= z2(t)

dz2(t)dt

= f2

(z(t), v(t)

)=

F

m∙ ea∙

(Vtot−F ∙z1(t)

)+

F

m∙ b −

v(t)m

w(t) = g(z(t), v(t)

)= Vtot − F ∙ z1(t).

b) Im Gleichgewicht muss gelten dz1(t)dt = dz2(t)

dt = 0. Daraus folgt direkt z2(t) = 0. Zurberechnung der benotigten Kraft benutzen wir die Wahl z1,e = 0 und die zweite Gleichung

der Zustandsraumdarstellung und setzten dz2(t)dt = 0 ein:

0 =F

m∙ ea∙Vtot +

F

m∙ b −

ve

m.

Nach ve aufgelost ergibt sich

ve = F ∙[ea∙Vtot + b

].

c) Nun werden die nichtlinearen Differentialgleichungen linearisiert:

A =

∂f1

∂z1

∣∣∣z=ze,v=ve

∂f1

∂z2

∣∣∣z=ze,v=ve

∂f2

∂z1

∣∣∣z=ze,v=ve

∂f2

∂z2

∣∣∣z=ze,v=ve

=

[0 1

−a∙F 2

m ∙ ea∙Vtot 0

]

b =

∂f1

∂v

∣∣∣z=ze,v=ve

∂f2

∂v

∣∣∣z=ze,v=ve

=

[0−1m

]

c =[

∂g∂z1

∣∣∣z=ze,ve

∂g∂z2

∣∣∣z=ze,ve

]=[−F 0

]

d =∂g

∂v

∣∣∣∣z=ze,v=ve

= 0.


Aufgabe 2 (Frequenz-Zeitbereich) 8 Punkte

Amacher (Ochsner)

Gegeben sind vier Ubertragungsfunktionen offener Regelkreise L1 (s) , L2 (s) , L3 (s) , L4 (s) (siehedas Losungsblatt zu dieser Aufgabe), die Nyquistdiagramme dieser offenen Regelkreise (sieheunten die Diagramme A, B, C und D; nur positive Frequenzen werden gezeigt), sowie die Sprung-antworten der daraus resultierenden geschlossenen Regelkreise (siehe auf der nachsten Seite dieSprungantworten 1 bis 4).

Ordnen Sie jeder Ubertragungsfunktion das entsprechende Nyquistdiagramm des offenen Re-gelkreises, sowie die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises zu. Verwenden Sie f ur dieLosung die vorbereitete Tabelle auf dem Losungsblatt zu dieser Aufgabe. Eine Begrundungder Antworten ist nicht notwendig.

Nyquistdiagramm A

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

Re

Im

Nyquistdiagramm B

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

Re

Im

Nyquistdiagramm C

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

Re

Im

Nyquistdiagramm D

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

Re

Im


Sprungantwort 1

0 1 2 3 4 5

0

0.5

1

1.5

Time [s]

Am

plitu

de [-

]

Sprungantwort 2

0 1 2 3 4 5

0

0.5

1

1.5

Time [s]

Am

plitu

de [-

]Sprungantwort 3

0 1 2 3 4 5

0

0.5

1

1.5

Time [s]

Am

plitu

de [-

]

Sprungantwort 4

0 1 2 3 4 5

0

0.5

1

1.5

Time [s]

Am

plitu

de [-

]

Losung 2

L1 (s) = L2 (s) = L3 (s) = L4 (s) =Ubertragungfunktion (

1 + 10.1∙s

)∙ 1

0.2∙s+11

(0.2∙s+1)2

(1 + 1

0.1∙s

)∙ 1

(0.2∙s+1)21

(0.2∙s+1)

Nyquistdiagramm C A D BSprungantwort 2 3 1 4

Erklarungen:Die vier Ubertragungsfunktionen beschreiben ein System erster Ordnung L4(s), ein System zwei-ter Ordnung L2(s), sowie dieselben Systeme mit einer Ubertragungsfunktion in Serie geschaltet,die derjenigen eines PI-Reglers entspricht (L1(s) und L3(s)).Die Systeme L1(s) und L4(s) haben einen relativen Grad von 1, die Systeme L2(s) und L3(s)haben einen relativen grad von 2. Des weiteren besitzen die Systeme L1(s) und L3(s) einenoffenen Integrator, was bei den beiden anderen Systemen nicht der Fall ist.


Aufgabe 3 (Reglerauslegung) 10 Punkte

Ott (Zsiga)

Ziel dieser Aufgabe ist es einen Regler fur die Positionsregelung eines Hubschraubers im Schwe-beflug auszulegen. Zur Vereinfachung konnen Sie davon ausgehen, dass sowohl die Flughohe alsauch die Position in Querrichtung bereits perfekt geregelt werden. Sie mussen sich somit nurnoch um den Regler fur die Position in Langsrichtung x(t) kummern. Die fur die Bewegung inLangsrichtung relevante Neigung des Hubschraubers um die Querachse wird mit γ(t) bezeichnet.

γ(t)

x(t)

Abbildung 2: Hubschrauber im Schwebeflug

Die linearisierten Bewegungsgleichungen wurden bereits hergeleitet:

x(t) = a ∙ γ(t) γ(t) = u(t)

Wobei u(t) die Steuergrosse und a eine positive Konstante ist. Die Position des Hubschrauberswird uber GPS gemessen. Die Ubertragungsfunktion der Strecke P (s) wurde bereits hergeleitet:

P (s) =a

s4

Sie sollen einen Regler C(s) mit folgender Ubertragungsfunktion verwenden:

C(s) = k1 ∙ s3 ∙

k2

(τs + 1)4

Alle Teilaufgaben konnen unabhangig voneinander gelost werden!

a) (2 Punkte) Konnte das System auch mit einem PD-Regler geregelt werden? Die Antwortist zu begrunden.

b) (3 Punkte) In einem ersten Schritt wird der Tiefpassfilter des Reglers nicht betrachtet, derRegler sei also nur C(s) = k1 ∙ s3.

i) Berechnen Sie die Reglerverstarkung k1 so, dass eine Durchtrittsfrequenz von 2 rads

erreicht wird.

ii) Wie gross ist die resultierende Phasenreserve?

c) (3 Punkte) Als nachstes soll der Tiefpassfilter des Reglers F (s) ausgelegt werden.

F (s) =k2

(τs + 1)4

Die Phasenreserve des offenen Regelkreises soll durch den Filter bei der Druchtrittsfrequenzvon ωc = 2 rad

s nur um 30◦ reduziert werden. Ausserdem soll die Durchtrittsfrequenz desoffenen Regelkreises durch den Filter nicht verandert werden. Berechnen Sie k2 und τ .


d) (2 Punkte) Im realen Hubschrauber funktioniert Ihr Regler leider nich zufriedenstellend.Trotz Tiefpassfilterung macht die 3-fache Ableitung die im Regler enthalten ist Proble-me. Wie konnten Sie die Regelstrecke erganzen um die 3-fache Ableitung im Regler zuvermeiden?

Losung 3

a) Nein. Die Strecke hat unabhangig von der Frequenz eine Phase von -360◦. Ein PD-Reglerkann die Phase um hochstens 90◦ erhohen, um ein stabiles Regelsystem zu erhalten, mussIhr Regler aber bei der Durchtrittsfrequenz einen Phasengewinn von mindestens 180◦ er-reichen.

b) Fur den offenen Regelkreis gilt:

L(s) = C(s) ∙ P (s) = k1 ∙a

s

i) Bei der Durchtrittsfrequenz gilt:

|L(jωc)| = k1 ∙a

ωc

Somit folgt:

k1 =ωc

a=

2a

ii) Die Phase des offenen Regelkreises betragt unabhangig von der Frequenz -90◦. Somitfolgt fur die Phasenreserve:

ϕ = −90◦ + 180◦ = 90◦

c) Aus der Phasenbedingung kann direkt die Zeitkonstante bestimmt werden:

∠F (jωc) = −4 ∙ arctan(τ ∙ ωc

1

)= −30◦

Daraus folgt:

τ =tan(7.5◦)

ωc≈ 0.066s

Damit die Durchtrittsfrequenz nicht verandert wird, muss der Betrag des Filters bei derDurchtrittsfrequenz 1 betragen:

|F (jωc)| =k2

(√

τ2 ∙ ω2c + 12)4

= 1

Daraus folgt:

k2 = (τ2 ∙ ω2c + 1)2 ≈ 1.035

d) Der Hubschrauber konnte um einen Sensor zur Messung des Winkels γ erganzt werden. Ausdem Winkel γ kann direkt die 2. Ableitung der Hubschrauberposition errechnet werden.


Aufgabe 4 (Laplace-Transformation) 10 Punkte

Zsiga (Ott)

Die folgenden Teilaufgaben sind unabhangig voneinander losbar.

a) (4 Punkte) Betrachten Sie das Signalflussbild des folgenden Systems Σ1.

y

u

++- -

-+-1s

x1 x2 1s

2

3

1

Abbildung 3: Signalflussbild von Σ1.

i) (1 Punkt) Bestimmen Sie die dazugehorige Zustandsraumdarstellung {A, b, c, d}.

ii) (1 Punkt) Bestimmen Sie die Ubertragungsfunktion von Σ1.

iii) (2 Punkte) Berechnen Sie die Systemantwort fur das System Σ(s) = 2s−2(s+2)∙(s+1) im

Zeitbereich. Das System wird harmonisch angeregt mit

u(t) = h(t) ∙ sin(t).

b) (2 Punkte) Nachfolgende Grafik zeigt die Sprungantwort eines linearen, zeitinvariantenSystems Σ2.

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

t [s]

y(t)

[-]

Abbildung 4: Sprunganwort von Σ2.

Bestimmen Sie die Parameter des Systems unter der Annahme, dass es sich um ein System2. Ordnung handelt.

c) (2 Punkte) Berechnen sie die Sprungantwort des folgenden Systems 2. Ordnung Σ3 imZeitbereich.

Σ3(s) =6

s2 + 5s + 6.


d) (2 Punkte) Ihr Kollege behauptet dass es moglich sei zwei Systeme erster Ordnung in Seriezu schalten, so dass sich ein System zweiter Ordnung ergibt welches bei sprungfurmigerSollwertanderung schwingen kann.

i) (1 Punkt) Veranschaulichen sie die Systemantworten y1(t) und y2(t) auf eine sprungformigeSollwertanderung h(t) schematisch. Nehmen Sie an, dass beide Systeme eine statischeVerstarkung von 1 haben.Hinweis: Denken Sie an die Tangente zum Zeitpunkt des Sprungs und an die An-stiegszeit.

h(t) y1(t) y2(t)ΣA ΣB

Abbildung 5: Serienschaltung von zwei Systemen erster Ordnung ΣA und ΣB .

ii) (1 Punkt) Begrunden Sie ohne Rechnung, dass eine Serienschaltung von zwei Syste-men erster Ordnung bei einer Sprungantwort nicht zum Schwingen gebracht werdenkann.

Losung 4

a) i) Die Systemgleichungen lauten:

x1(t) = −2x1(t) + u(t)

x2(t) = −3x1(t) − x2(t) − u(t)

y(t) = 3x1(t) + x2(t)

Die Systemmatrizen {A, b, c, d} sind:

A =

[−2 0−3 −1

]

, b =

[1−1

]

, c =[

3 1], d = 0

ii) Die Ubertragungsfunktion Σ1(s) berechnet sich zu:

Σ1(s) = c ∙ (sI − A)−1 ∙ b + d =c ∙ Adj(sI − A) ∙ b

det(sI − A)+ d

=

[3 1

][s + 1 0−3 s + 2

] [1−1

]

det

[s + 2 0

3 s + 1

] =2s − 2

(s + 2) ∙ (s + 1)

iii) Die Laplace Transformation des Eingangssignals lautet:

U(s) =1

s2 + 1.

damit berechnet sich die Systemantwort im Frequenzbereich zu:

Y (s) = U(s) ∙Σ1(s) =1

s2 + 1∙

2s − 2(s + 2) ∙ (s + 1)

=2s − 2

(s + j) ∙ (s − j) ∙ (s + 2) ∙ (s + 1)


Mit Hilfe der Partialbruchzerlegung und der nachfolgenden Gleichung kann dieserAusdruck direkt in die Systemantwort im Zeitbereich transformiert werden.

y(t) =p∑

i=1

φi∑

k=1

ρi,k

(k − 1)!∙ t(k−1) ∙ eπit

Fur p Pole πi der Vielfachheit φi werden die Residuen ρi,k folgendermassen berechnet:

ρi,k = lims→πi

1(φi − k)!

[d(φi−k)

ds(φi−k)

{Y (s) ∙ (s − πi)

φi

}]

Die Pole und deren Vielfachheiten sind

π1 = −2, φ1 = 1π2 = −1, φ2 = 1π3 = +j, φ3 = 1π4 = −j, φ4 = 1

Daraus folgen die Residuen:

ρ1,1 = lims→−2

1(1 − 1)!

[d(1−1)

ds(1−1)

{2s − 2

(s + j) ∙ (s − j) ∙ (s + 1)

}]

= lims→−2

2s − 2(s + j) ∙ (s − j) ∙ (s + 1)

=65

ρ2,1 = lims→−1

1(1 − 1)!

[d(1−1)

ds(1−1)

{2s − 2

(s + j) ∙ (s − j) ∙ (s + 2)

}]

= lims→−1

2s − 2(s + j) ∙ (s − j) ∙ (s + 2)

= −2

ρ3,1 = lims→+j

1(1 − 1)!

[d(1−1)

ds(1−1)

{2s − 2

(s + j) ∙ (s + 2) ∙ (s + 1)

}]

= lims→+j

2s − 2(s + j) ∙ (s + 2) ∙ (s + 1)

=25− j

15

ρ4,1 = lims→−j

1(1 − 1)!

[d(1−1)

ds(1−1)

{2s − 2

(s − j) ∙ (s + 2) ∙ (s + 1)

}]

= lims→−j

2s − 2(s − j) ∙ (s + 2) ∙ (s + 1)

=25

+ j15

Eingesetzt ergibt sich die Systemantwort im Zeitbereich:

y(t) =65

(1 − 1)!∙t1−1 ∙e−2t−

2(1 − 1)!

∙t1−1 ∙e−t+25 − j 1

5

(1 − 1)!∙t1−1 ∙e+jt+

25 + j 1

5

(1 − 1)!∙t1−1 ∙e−jt

Die Verwendung der Eulerschen Formel fuhrt schliesslich auf:

y(t) =65∙ e−2t − 2 ∙ e−t +

(25− j

15

)

∙ (cos(t) + j sin(t)) +

(25

+ j15

)

∙ (cos(t) − j sin(t))

y(t) = h(t) ∙

[65∙ e−2t − 2 ∙ e−t +

45∙ cos(t) +

25∙ sin(t)

]


b)

k = 1.6 t90 = 0.9 (1)

ε = 0.25 δ = −ln(ε)

√π2 + ln(ε)2

≈ 0.4 (2)

T0 =t90

0.14 + 0.4 ∙ δ≈ 3 ω0 =

2π

T0≈ 2.1 (3)

Σ(s) =7.06

s2 + 1.68s + 4.41(4)

c)

Σ3(s) =6

s2 + 5s + 6=

6(s + 3) ∙ (s + 2)

Die Systemantwort im Frequenzbereich berechnet sich zu:

Y (s) =1s∙

6(s + 3) ∙ (s + 2)

Mittels Partialbruchzerlegung kann der Ausdruck umgeformt werden in:

Y (s) =A

s+

B

s + 3+

C

s + 2

Die Koeffizienten A, B, C werden durch einen Koeffizientenvergleich ersichtlich:

A(s + 3)(s + 2) + Bs(s + 2) + Cs(s + 3) ≡ 6

s2 : A + B + C = 0

s1 : 5A + 2B + 3C = 0

s0 : 6A = 6

Dies fuhrt auf die Koeffizienten A = 1, B = 2 und C = −3.

Y (s) =1s

+2

s + 3−

3s + 2

Diese Terme konnen einfach in den Zeitbereich transformiert werden. Fur die Systemant-wort ergibt sich:

y(t) = h(t) ∙[1 + 2 ∙ e−3t − 3 ∙ e−2t

]

d) i) Die nachfolgende Abbildung zeigt die Zeitverlaufe fur y1(t) und y2(t) wenn zweiSysteme erster Ordnung in Serie geschalten sind fur eine sprungformige Anderungdes Sollwertes.

ii) Eine Serienschaltung von zwei Systemen erster Ordnung hat zwei Pole mit negativemRealteil. Um bei der Laplace Rucktransformation eine Losung zu erhalten in der sin-und cos-Terme vorkommen mussen konjugiert komplexe Pole vorliegen.

Ebenfalls akzeptierte Begrundung: Eine System erster Ordnung kann auf eine beliebi-ge Anderung des Sollwertes nicht uberschwingen. Daher wird weder y1(t), noch y2(t)uberschwingen konnen. Es handelt sich bei solch einem System um einen Tiefpasszweiter Ordnung.


-2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t [s]

y(t)

[-]

h(t)y

1(t)

y2(t)

Abbildung 6: Systemantworten y1(t) und y2(t).


Aufgabe 5 (Stabilisierung/Regelgute) 9 Punkte

Moser (Ashouri)

Sie mochten einen Regler fur eine Strecke auslegen von der Sie bereits die folgende Zustands-raumdarstellung gefunden haben.

x(t) = x(t) + u(t)

y(t) = (1 − a) ∙ x(t) + u(t) (5)

Der Parameter a (Einheit rad/s) stellt eine Charakteristik des Sensors dar und lasst sich imBereich 1 ≤ a ≤ 20 einstellen. Je grosser der Wert von a gewahlt wird, desto teurer ist derverwendete Sensor.Der verwendete Sensor wird mit Wechselstrom vom Haushaltsnetz gespiesen und weist darumein ausgepragtes Rauschen bei der Netzfrequenz von 50Hz (≈ 300 rad/s) auf.

Hinweis: Das Losen der Teilaufgabe a) ist Voraussetzung fur die nachfolgenden Teilaufgabenb)-e). Die Teilaufgaben b)-e) sind zum Teil unabhangig voneinander losbar.

a) (2 Punkte) Bestimmen Sie die Ubertragungsfunktion P (s) der gegebenen Strecke mit Ein-gang u(t), Ausgang y(t) und Zustand x(t) als Funktion des Sensorparameters a. BerechnenSie auch die Pole und Nullstellen dieser Strecke.

b) (3 Punkte) In welchem Bereich soll die Durchtrittsfrequenz ωc des gesuchten Regelsystemsliegen, damit uberhaupt ein sinnvoller Regler existiert? Welche Durchtrittsfrequenz wahlenSie, wenn gleichzeitig die Kosten des Sensors minimiert werden sollen? Geben Sie auch denresultierenden Sensorparameter a an, welcher die Sensorkosten minimiert.

Wichtig: Aufgrund eines Sonderangebots des Sensorherstellers entscheiden Sie sich einenSensor mit a = 5 rad/s zu kaufen. Verwenden Sie diesen Wert fur die Teilaufgaben c) bis e).

c) (2 Punkte) Sie mochten die Strecke mit einem P-Regler C(s) = kp stabilisieren. WelcheWerte von kp kommen dazu in Frage?

d) (1 Punkt) Der Betrag der Verstarkung des hochfrequenten Sensorrauschens soll exakt 1betragen. Welchen Wert des Reglerparameters kp mussen Sie dazu wahlen?

e) (1 Punkt) Verwenden Sie den in d) gefundenen Wert fur kp. Wie gross ist damit derstatische Nachlauffehler?

Losung 5

a) Die Zustandsraummatrizen lauten {A, b, c, d} = {1, 1, 1− a, 1}. Die Ubertragungsfunktionlautet damit

P (s) = c ∙ (sI − A)−1 ∙ b + d =s − a

s − 1

Die Strecke hat einen instabilen Pol bei π+ = 1 rad/s sowie eine nichtminimalphasige Null-stelle bei ζ+ = a.


b) Folgende 3 Begrenzungen fur eine geeignete Durchtrittsfrequenz existieren:

• Die Durchtrittsfrequenz sollte mindestens um einen Faktor 10 kleiner sein als dasvorhandene Rauschen ωn = 300 rad/s aufgrund der Netzfrequenz: ωc ≤ 0.1 ∙ ωn =30 rad/s.

• Die Durchtrittsfrequenz sollte mindestens um einen Faktor 2 grosser sein als derinstabile Pol: ωc ≥ 2 ∙ π+ = 2 rad/s.

• Die Durchtrittsfrequenz sollte mindestens um einen Faktor 2 kleiner sein als die nicht-minimalphasige Nullstelle: ωc ≤ 0.5 ∙ ζ+ = 0.5 ∙ a.

Zusammengefasst lautet der Bereich fur eine sinnvolle Durchtrittsfrequenz:

2 rad/s ≤ ωc ≤a

2

Die Durchtrittsfrequenz bei der die Sensorkosten minimiert werden betragt ωc = 2 rad/s.Der zugehorige Sensorparameter betragt a = 4 rad/s.

c) Fur die Beurteilung der Stabilitat mussen die Pole des geschlossen Regelkreises betrachtetwerden. Die komplementare Sensitivitat berechnet sich zu

T (s) =kp(s − 5)

(s − 1) + kp(s − 5).

Der Pol von T (s) muss negativ sein:

πT (s) =1 + 5 ∙ kp

1 + kp< 0.

Dies ist erfullt wenn −1 < kp < −1/5 gewahlt wird.

d) Der Betrag der Verstarkung des hochfrequenten Rauschens wird bestimmt durch

|T (s → ∞)| =

∣∣∣∣

kp

1 + kp

∣∣∣∣ .

Die Gleichung |T (s → ∞)| = 1 ist erfullt fur kp = −0.5.

e) Der statische Nachlauffehler berechnet sich zu

e∞ = S(0) =1

1 + L(0)=

11 + 5 ∙ kp

= −0.667.


Aufgabe 6 (Bode-Diagram/Nyquist Criterion) 10 Punkte

Ashouri (Moser)

Sie mochten eine Strecke mit der Ubertragungsfunktion

P (s) =K(s2 + 3s + 7)(s2 − 8s + 400)

(s + 7)(s2 − s + 1)(s2 + 30s + 700)

regeln, wobei K in P (s) eine positive Konstante ist. Das geschlosse Regelsystem (closed-loopsystem) mit dem Regler C(s) ist in der Abbildung unten dargestellt. Da der Sensor drahtlos dieMessung der Ausgangsgrosse ubertragt, ist in der Ruckfuhrung des Regelsystems eine Totzeitmit τ Sekunden eingefuhrt. Ein Nyquist-Diagramm der Strecke P (s) ist gemessen und ebenfallsunten dargestellt (das Kreuz stellt den Nyquistpunkt −1 + 0j dar).

Block-Diagram des Regelsystems.

Nyquist-Diagram der Strecke P (s)

-5 0 5 10-15

-10

-5

0

5

10

15

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

ω = 0-

ω = 0+

Alle Teilaufgaben konnen unabhangig voneinander gelost werden.

a) (3 Punkte) Nehmen Sie an, dass C(s) = 1 und τ = 0 ist. Wenden Sie das Nyquist-Kriteriuman und analysieren Sie die Stabilitat des Regelsystems.

b) (2 Punkte) Verwenden Sie das Bode-Diagramm der Strecke in der Abbildung 7 und be-stimmen Sie die Konstante K in der Ubertragungsfunktion der Regelstrecke P (s).Hinweis : Sie finden die Abbildung 7 nochmals auf dem Losungsblatt zu dieser Aufgabe!

c) (3 Punkte) Nehemen Sie an, dass C(s) = 1 ist. Finden Sie die grosste Totzeit des Sensorsτ (in Sekunden), fur die das geschlossene Regelsystem asymtotisch stabil bleibt.Hinweis : Bestimmen Sie die Phasenreserve des Regelsystems und setzen Sie es in Relationzur Totzeit τ .

d) (2 Punkte) Nehemen Sie an, dass τ = 0 ist und dass ein P-Regler C(s) = kp eingesetztwird. Finden Sie heraus, fur welche Werte des Verstarkungsfaktors kp das geschlosseneRegelsystem asymptotisch stabil bleibt.


-20

-10

0

10

20

Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

102

103

-90

0

90

180

270

Pha

se (

deg)

Bode-diagram of P(s)

Frequency (rad/s)

21.2

Abbildung 7: Bode-Diagramm der Strecke P (s).

Hinweis : Bestimmen Sie die Verstarkungsreserve des Regelsystems und setzen Sie es inRelation zum Verstarkungsfaktor kp.


Losung 6

a) The open-loop gain

L(s) = C(s) ∙ P (s) ∙ e−sτ = P (s) =K(s2 + 3s + 7)(s2 − 8s + 400)

(s + 7)(s2 − s + 1)(s2 + 30s + 700)

has the following five poles:

−7, 0.5 ±

√3

2j, −15 ± 5

√19j.

Therefore there are two unstable poles but no pole on the imaginary axis;

n+ = 2, n0 = 0.

According to the Nyquist criterion, the critical point s = −1 + 0j should be encircled 2times counter-clockwise:

nc = n+ + n0/2!= 2.

Looking at the Nyquist curve we observe that nc = +2. Therefore the closed-loop systemis asymptotically stable.

b) The constant K is calculated by reading the static gain from the Bode-diagram.

|P (j0)| =K(0 + 0 + 7)(0 + 0 + 400)

(0 + 7)(0 + 0 + 1)(0 + 0 + 700)!= 21.2 dB = 11.48 ⇒ K ≈ 20.

c) According to the Figure 8, the magnitude curve is crossing the unity gain (0 dB) atapproximately ωϕ = 7 rad/s, where the phase is around 250◦. Thus, the phase marginϕ = 250◦ − 180◦ = 70◦ = 1.22 rad. The maximum value of delay τ for which the systemremains asymptotically stable is calculated as

τmax =ϕ

ωϕ=

1.22 rad

7 rad/s≈ 0.17 s ⇒ τ < 0.17 s.

d) According to the Figure 8, the phase curve crosses the phase 180◦ at two points: ωγ1 ≈1.9 rad/s and ωγ2 ≈ 17 rad/s, where the corresponding magnitudes are 10 dB and −10 dB.Therefore, a positive and a negative gain-margin is resulted:

γ− = 0 − 10 = −10 dB = 0.32, γ+ = 0 − (−10) = 10 dB = 3.16.

This leads to a boundary for the controller gain kp:

γ− < kp < γ+ ⇒ 0.32 < kp < 3.16.


-20

-10

0

10

20

Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

102

103

-90

0

90

180

270

Pha

se (

deg)

Bode-diagram of P(s)

Frequency (rad/s)

Abbildung 8: Bode-diagram of the plant P (s).


Aufgabe 7 (Systemanalyse) 7 Punkte

Alberding (Shafai)

Die Fahrdynamik eines LKW-Sattelzuges wahrend Vorwartsfahrt sei beschrieben durch

ddt

x(t) =

−0.5 5 0

0 −16 10 0 −22

x(t) +

008

u(t), y(t) =(10 2.5 0

)x(t)

und wahrend Ruckwartsfahrt durch

ddt

x(t) =

0.5 5 00 −16 10 0 −22

x(t) +

008

u(t), y(t) =(−10 −2.5 0

)x(t).

Der Systemeingang u(t) ist der Lenkwinkel des Zugfahrzeugs und der Ausgang y(t) der Knick-winkel zwischen Zugfahrzeug und Auflieger, wie in Abb. 9 definiert.

u(t)

y(t)

Zugfahrzeug

Auflieger

Abbildung 9: LKW-Sattelzug, bestehend aus Zugfahrzeug und Auflieger

a) (4 Punkte) Aus der Geradeausfahrt in Vorwartsrichtung heraus wird auf den Lenkwinkelein Sprung gegeben, u(t) = k ∙ h(t), k > 0.

i) Welches Vorzeichen hat der sich langfristig (t → ∞) einstellende Knickwinkel?

ii) In welche Richtung (positiv/negativ) verandert sich der Knickwinkel unmittelbar?

Begrunden Sie Ihre Antworten mathematisch.

b) (3 Punkte) Aus der Geradeausfahrt in Ruckwartsrichtung heraus soll der Knickwinkel aufeinen Sollwert yref 6= 0 gelenkt und dort gehalten werden. Erklaren Sie, warum der Lenk-winkel wahrend dieses Manovers das Vorzeichen wechseln muss. Verwenden Sie fur IhreErklarung eine der folgenden Systemeigenschaften und begrunden Sie diese mathematisch:

• asymptotisch stabil / instabil

• vollstandig steuerbar / nicht vollstandig steuerbar

• vollstandig beobachtbar / nicht vollstandig beobachtbar


Losung 7

a) Die Ubertragungsfunktion des Systems fur die Vorwartsfahrt lautet

Σ(s) =c ∙ (sI − A)−1 ∙ b + d =c ∙ Adj(sI − A) ∙ b

det(sI − A)+ d

=

(10 2.5 0

)

∗ ∗ 5∗ ∗ s + 0.5∗ ∗ ∗

008

(s + 0.5)(s + 16)(s + 22)+ 0

=20s + 410

s3 + 38.5s2 + 371s + 176=

20(s + 20.5)(s + 0.5)(s + 16)(s + 22)

.

i) Alle Pole der Ubertragungsfunktion liegen in der linken Halbebene,

π1 = −0.5, π2 = −16, π3 = −22,

das System ist BIBO-stabil und die Sprungantwort kann aus der stationaren Verstarkungbestimmt werden. Damit ergibt sich

limt→∞

y(t) = lims→0+

s ∙ Y (s) = lims→0+

s ∙ Σ(s) ∙ k ∙1s

= k ∙ Σ(0) = k ∙410176

> 0,

ein positiver Sprung auf den Eingang (Lenkwinkel) hat langfristig also einen positivenAusgang (Knickwinkel) zur Folge.

ii) Der Ausgang verandert sich anfangs genau dann in die der Sprungantwort entgegen-gesetzten Richtung (inverse response behavior ), wenn das System eine nichtminimal-phasige Nullstelle besitzt. Das System hat eine Nullstelle

ζ1 = −20.5

in der linken Halbebene, das System ist also minimalphasig, hat kein inverse responsebehavior und der Knickwinkel wird unmittelbar positiv.

b) Die Systemmatrix der Ruckwartsfahrt ist eine Dreiecksmatrix, die Eigenwerte sind dieElemente der Hauptdiagonalen,

λ1 = 0.5, λ2 = −16, λ3 = −22.

Der Eigenwert λ1 liegt in der rechten Halbebene, somit ist das System instabil.

Wenn das Fahrzeug (z.B. mit einem positiven Lenkwinkel) aus der instabilen Ruhelagegelenkt wird und in die gewunschte Richtung (Knickwinkel negativ) einknickt, strebt derZustand und somit auch der Knickwinkel fur u(t) = 0 ins Unendliche. Fortgesetztes Lenkenin die anfangliche Richtung (positiv) verstarkt diese Bewegung. Um sie zu stoppen undden Knickwinkel im Sollwert zu stabilisieren, muss der menschliche Fahrer als Regler indie entgegengesetzte Richtung lenken (Lenkwinkel negativ).


Aufgabe 8 (Multiple-Choice) 8 Punkte

Shafai (Alberding)

Entscheiden Sie bei den folgenden Aussagen, ob sie richtig oder falsch sind. Markieren Sie aufdem Losungsblatt zu dieser Aufgabe das entsprechende Kastchen mit einem Kreuz (�×).

Die Antworten sind nicht zu begrunden. Alle Fragen sind gleich gewichtet (1 Punkt). Falschbeantwortete Fragen geben je einen Punkt Abzug1. Nicht beantwortete Fragen geben 0 Punkte.Das Punkteminimum fur die gesamte Aufgabe betragt 0 Punkte.

Sie finden die Aussagen nochmals auf dem Losungsblatt zu dieser Aufgabe!

a) Die Differentialgleichung δx = −30 ∙ δx + 12 ∙ δu beschreibt das linearisierte System desnichtlinearen Systems x = −x3 − 3x + u2 um den Gleichgewichtspunkt {xe = 3, ue = 6}.

b) Das System mit der Ubertragungsfunktion Σ(s) = s+12s2−4s+3

erzeugt fur ein konstantesEingangssignal u(t) = 1 und fur t → ∞ ein konstantes Ausgangssignal von 4.

c) Eine instabile Regelstrecke mit der Ubertragungsfunktion 1s∙(s−2) kann mit einem P-Regler

C(s) = kp (kp ∈ R) stabilisiert werden.

d) Eine Regelsrecke mit der Ubertragungsfunktion P (s) = s−12s2−s−2

soll mit einem Regler stabi-lisiert werden. Eine Durchtrittsfrequenz von ωc = 6 rad/s ist fur die Auslegung des Reglerseine sinnvolle Spezifikation.

e) Das folgende Zustandsraummodel {A, b, c, d} stellt eine Realisierung fur ein System mitder Ubertragungsfunktion Σ(s) = s+5

s2−2s+3:

A =

[0 1−3 −2

]

, b =

[01

]

, c =[

5 1], D =

[0]

f) Die Matlab-Instruktion tf([1 -7],[1 -2 5]) stellt den Frequenzgang eines Systems mitder Ubertragungsfunktion s−7

s2−2s+5dar.

g) Der Ausgang eines Systems mit der Ubertragungsfunktion 2s+5s+5 (Anfangsbdingung = 0)

erreicht hochstens einen Wert von 1, falls es am Eingang mit einer Sprungfunktion h(t)angeregt wird.

h) Sei T (s) = 2s+1s2+7s+1

die Ubertragungsfunktion eines Regelsystems vom Referenzsignal r auf

das Ausgangssignal y. Die Sensitivitat dieses Systems ist S(s) = s(s+5)s2+7s+1

.

Losung 8

a) Richtig. Die Systemparameter A und b in der linearisierten Differentialgleichung

δx = A ∙ δx + b ∙ δu

1Seien Sie also vorsichtig!


erhalten wir durch partielle Differentiation der Funktion f(x, u) = −x3 − 3x + u2 nach xresp. u und deren Auswertung an der Gleichgewichtslage wie folgt:

A =∂f(x, u)

∂x|x=xe,u=ue = −3 ∙ 32 − 3 = −30

b =∂f(x, u)

∂u|x=xe,u=ue = 0 + 0 + 2ue = 2 ∙ 6 = 12

b) Falsch. Das System weist zwei instabile Pole π1 = 1 und π2 = 3 auf, da diese Werte dieNullstellen des Nennerpolynoms sind: s2 − 4s + 3 = (s− 1)(s− 3) = 0. Aus diesem Grundkann der Endwertsatz lim

t→∞y(t) = lim

s→0s ∙ Y (s) = Σ(0) nicht angewendet werden, da der

Limes limt→∞

y(t) nicht existiert.

c) Falsch. Das charakteristische Polynom des Regelsystems ist s2 − 2s + kP = 0. Unabhangigvon kP ist der Realteil der Pole dieses Regelsystems immer 1 > 0, so dass das Regelsystemfur beliebige Einstellung des P-Reglers (kP beliebig!) instabil bleibt.

d) Richtig. Durch Faktorisierung des Nenners der Ubertragungsfunktion der Strecke P (s) =s−12

(s−2)(s+1) wird ersichtlich, dass die Regelstrecke neben der instabilen Nullstelle ξ+ = 12

rad/s auch einen instabilen Pol π+ = 2 rad/s besitzt. Die spezifizierte Bandbreite vonωc = 6 rad/s ist sinnvoll, da sie mit einem Faktor 3 hoher als π+ und gleichzeitig mit einemFaktor 2 tiefer als ξ+ liegt und somit die Voraussetzungen fur eine sinnvolle Spezifikationknapp erfullt.

e) Falsch. Das Vorzeichen des zweiten Elements in der zweiten Zeile der A-Matrix A(2, 2)stimmt nicht. Das richtige Zustamdsraummodell lautet:

A =

[0 1−3 2

]

, b =

[01

]

, c =[

5 1], D =

[0]

f) Richtig.

g) Falsch. Die Sprungantwort im Frequenzbereich ist: 2s+5s+5 ∙ 1

s . Durch Partialbruchzerlegungund Laplace-Rucktransformation erhalten wir fur die Sprungantwort: yh(t) = 1+e−5t. Furt = 0 erhalten wir einen Wert von 2 > 1.

h) Richtig. Die Summe aus Sensitivitat S(s) und komplementarer Sensitivitat T (s) muss 1ergeben, d.h. S(s) + T (s) = 1. Im vorliegenden Fall ist diese Bedingung erfullt:

S(s) + T (s) =s(s + 5)

s2 + 7s + 1+

2s + 1s2 + 7s + 1

=s(s + 5) + 2s + 1

s2 + 7s + 1=

s2 + 7s + 1s2 + 7s + 1

= 1

Musterl¨osung - ETH Zürich · noch um den Regler fur die Position in L¨angsrichtung x(t)...

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