MVT_e_4_6

Jürgen Tomas und Torsten Gröger:

Verfahrenstechnische Bewertung

einer mehrstufigen Querstrom-

Aerosortierung mineralischer Stoffe

Prof. Dr.-Ing. habil. J. Tomas Magdeburg, 15. Dezember 1999 (ergänzt 6/2011)

MVT_e_4_6neu Mechanische Verfahrenstechnik - Partikeltechnik mehrstufige Querstromtrennung Prof. Jürgen Tomas, 27.06.2011

Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung ........................................................................................................... 3

2 Wirkprinzipien turbulenter Stromtrennprozesse ............................................ 4

2.1 Partikeltrennungen im Querstrom und Gegenstrom ......................................... 4

2.2 Charakteristische Turbulenzkennzahlen von Querstromtrennapparaten ......... 5

2.3 Mehrstufige Querstromtrennung im Zick-Zack-Kanal ....................................... 8

3 Theoretische Modellierung des Trennprozesses............................................ 9

3.1 Physikalisches Wirkprinzip ............................................................................... 9 3.1.1 Stationäre Sinkgeschwindigkeit 9 3.1.2 Gleichfälligkeitsbedingung 9

3.2 Charakterisierung des Trennerfolges einer einstufigen Dichtesortierung ....... 11 3.2.1 Trennfunktion und Bilanzierung der stationären Stoffströme 11 3.2.2 Diskussion der Brauchbarkeit bisheriger Trennmodelle 13 3.2.3 Ähnlichkeitsmodell des turbulenten Partikeltransportes 15 3.2.4 Ermittlung der Partikelanzahlkonzentrationsverteilung 17 3.2.5 einstufiges Querstromtrennmodell 18

3.3 Trennfunktion für die mehrstufige Dichtesortierung........................................ 20

3.4 turbulenter Diffusionskoeffizient und BODENSTEIN-Zahl .............................. 24

3.5 Trennfunktionen, Trennmerkmale und Trennschärfe ..................................... 26 3.5.1 Modellherleitung der Trennmerkmale und Trennschärfe 26 3.5.2 Schlußfolgerungen für die notwendige Apparatetrennstufenzahl 28

3.6 wirksame Trennstufenzahl und Trennstufen-Ausnutzungsgrad ..................... 30

3.7 Energetische Prozeßbewertung ..................................................................... 33 3.7.1 Druckverlust 33 3.7.2 Spezifischer Energiebedarf und Energiedissipation 37

4 Aufbau und Funktionsweise der Versuchsanlage ........................................ 38

5 Versuchsergebnisse ........................................................................................ 40

5.1 Überprüfung des Trennmodells für eine Windsichtung .................................. 40

5.2 Ergebnisse der Aerosortierung....................................................................... 43 5.2.1 Ermittlung der Partikeldichteverteilung 43 5.2.2 Diskussion der Sortierergebnisse 45

6 Zusammenfassung und Ausblick ................................................................... 51

7 Symbolverzeichnis .......................................................................................... 53

8 Literaturverzeichnis ......................................................................................... 55


3

1 Einleitung

Beim Recycling von Bauschutt werden zum großen Teil mineralische Stoffe zerkleinert, um sie als Zuschläge für Recyclingbeton oder -ziegel zu verwenden. Die Qualität dieser Recyc-lingprodukte wird durch die Zusammensetzung des zerkleinerten Bauschutts beeinflußt, des-sen mineralischer Anteil im Allgemeinen als Stoffgemisch mit einer Dichteverteilung der Par-tikel von ρs = 1,8 ... 2,7 g/cm3 vorliegt. Der obere Dichtebereich wird vorwiegend aus den aufgeschlossenen und teilaufgeschlossenen Betonzuschlagstoffen gebildet. Der untere Bereich setzt sich aus Ziegelbruch und Zementstein bzw. Zuschlagstoffen mit einem hohen Anteil an anhaftendem Zementstein zusammen. Prinzipiell ist es möglich Betonbruch als Zuschlagstoff für Recyclingbeton zu verwenden. Wird jedoch ein hochwertiger Recyclingbeton angestrebt, so müssen hauptsächlich die ur-sprünglichen Zuschlagstoffe wiederverwendet werden. Es ist also erforderlich, die Stoffe des oberen Dichtebereichs aus dem Stoffgemisch abzutrennen. Infolge des relativ engen Dichte-bereiches werden an den Trennprozeß hohe Anforderungen bezüglich der Trennschärfe ge-stellt. Die derzeit im Baustoffrecycling eingesetzten Sortierprozesse dienen vorrangig zur Entfer-nung von leichten Störstoffen, wie Holz und Kunststoffe (ρs = 0,9 ... 1,2 g/cm3), durch Naß- und/oder Trockensortierung. Dabei kann häufig der Unschärfebereich des Trennschnittes in den Zwischenbereich gelegt werden, so daß für diese Aufgaben Apparate mit einer relativ geringen Trennschärfe ausreichend sind. In Tabelle 1.1 ist ein Überblick zum Stand der Tech-nik der Sortierprozesse im Baustoffrecycling [52, 1, 9, 15, 21, 22] dargestellt.

Tabelle 1.1: Ausgewählte Sortierprozesse im Bau- und Siedlungsabfallrecycling

nasse Sortierprozesse trockene Sortierprozesse Schwimm-Sink-Reinigung [31, 45] Aufstromsortierung [20] Setzmaschine [5, 21] Waschtrommel [16]

sortierende Klassierung [13] Handklaubung [15] automatische Klaubung [39] Gegen- u. Querstromwindsichtung [2, 9] Luftherd [14] Schrägsortierband [39] Schleuderband [15] Wirbelstromscheider [39, 42]

Die Naß- und Trockensortierung ergänzen sich auf Grund ihrer Vor- und Nachteile [9]. Die Trockensortierung ist die energetisch günstigere Variante, da die Probleme hinsichtlich der Aufbereitung des Prozeßwassers und dessen Entsorgung entfallen. Auf Grund dieses Vorteils ist die Trockensortierung insbesondere für mobile und semimobile Aufbereitungsanlagen ge-


4

eignet [9]. Die Naßsortierung kann zweckmäßig bei der Abtrennung von Schadstoffen aus kontaminierten Bauabfällen eingesetzt werden [20]. Zur Sortierung von Bauschutt werden in der Praxis überwiegend Stromtrennapparate einge-setzt. Das Kernstück der trockenen Sortierung im Luftstrom sind im allgemeinen Aufstrom- oder einstufige Querstromsichter, die das aufgegebene Gut nach der jeweiligen Sinkge-schwindigkeit trennen. Dabei wird das Trennverhalten entscheidend von der Partikelgröße, der Partikelform und der Partikeldichte der zu trennenden Komponenten beeinflußt. Ein Windsichter kann nach einem dieser drei Stoffeigenschaftsgrößen trennen, wenn der Einfluß der beiden anderen Größen ausgeschlossen oder zumindest minimiert wird. Die Abtrennung von aufgeschlossenen oder teilaufgeschlossenen Zuschlagpartikeln in einem Größenbereich von d = 2 ... 16 mm stellt daher eine Herausforderung an die Trennschärfe und damit an die Leistungsfähigkeit dar. Um die erforderliche hohe Trennschärfe zu erreichen wurde die mehrstufige turbulente Querstromtrennung in einem Zick-Zack-Kanal untersucht.

2 Wirkprinzipien turbulenter Stromtrennprozesse

2.1 Partikeltrennungen im Querstrom und Gegenstrom

Partikel, die infolge der Wirkung eines Kraftfeldes F mit einer gewissen Anfangsgeschwin-digkeit in einen Fluidstrom eintreten, werden durch diesen beschleunigt und von ihrer ur-sprünglichen Bewegungsbahn abgelenkt, Bild 2-1.

Bild 2-1: Wirkprinzip einer Partikelkreuzstrom- oder Partikelquerstromtrennung

Da diese Ablenkung je nach den Partikelumströmungseigenschaften unterschiedlich stark erfolgt (siehe Abschnitt 3.1), wird dieses Verhalten als Wirkprinzip für die Trennung von Partikelsystemen häufig genutzt, siehe auch Tabelle 2.1. Wegen der dominanten Schwerkraft kreuzen Schwergutpartikel bei vergleichsweise geringer Ablenkung den Fluidstrom. Leicht-gutpartikel werden durch die Wirkung der Widerstandskraft des Fluidquerstromes dagegen stärker abgelenkt und dann mitgeschleppt, Bild 2-1.

Aufgabegut

Leichtgut

Schwergut

Luft u

v

F y

x


5

Bild 2-2: Wirkprinzip einer Partikelaufstrom- oder Gegen-stromtrennung Im Falle einer Aufstrom- oder Gegenstromtrennung bewegt sich ein Partikel je nach dem Betrage seiner Sinkgeschwin-digkeit vs < u mit dem Fluid nach oben in den Oberlauf des Leichtgutaustrages oder in entgegengesetzter Richtung vs > u in den Unterlauf des Schwergutaustrages, Bild 2-2.

2.2 Charakteristische Turbulenzkennzahlen von Querstromtrennapparaten

In den meisten Stromtrennapparaten, in denen mit niedrigviskosen Suspendiermitteln (Was-ser, Luft) gearbeitet wird, laufen die Strömungsvorgänge turbulent ab. Bedingung hierfür ist, daß die REYNOLDS-Zahl einen bestimmten kritischen Wert überschreitet, Tabelle 2.1. In diesen Fällen sind dann Intensität und Struktur der Turbulenz entscheidende Einflußgrößen für die Erfolgs- oder Gütekenngrößen der Trennprozesse. Anschaulich läßt sich eine turbulente Strömung als die Überlagerung von Grundströmung und einer großen Anzahl von Wirbeln bzw. Wirbelfeldern unterschiedlicher Abmessungen deuten. Aufgrund dieser Überlagerung ändert sich auch bei im Mittel stationären Strömungen der Geschwindigkeitsvektor zeitlich nach Betrag und Richtung. Für die Charakterisierung turbulenter Strömungen werden folgende Größen benötigt, deren Bedeutung und Messung detailliert in der Strömungsmechanik [6] behandelt wird:

• Die nach Betrag und Richtung zeitlich gemittelten Bewegungs- und Zustandsgrößen, z.B. Druck (wirksame Größen werden durch den `-Strich gekennzeichnet)

)t(pp)t(p ′+= (2.1)

und Strömungsgeschwindigkeit u , wie sie durch eine träge Meßmethode ermittelt wird. )t()t( uuu ′+= (2.2)

• Die dieser zeitlich gemittelten Geschwindigkeit überlagerten Schwankungsbewegungen in Strömungsrichtung ux'(t) und senkrecht dazu uy'(t), uz'(t). Diese Zusatzbewegungen sind aufgrund des Charakters der Turbulenz zufallsbedingt und somit nur durch ihre statisti-schen Mittelwerte quantitativ beschreibbar.

Aufgabegut

Leichtgut

Schwergut

Luft

u

va

F

u - vs > 0

u - vs < 0


6

• Definitionsgemäß ist der integrale zeitliche Mittelwert der Beträge aller Schwankungsbe-wegungen gleich Null, da nach Gl.(2.2) uu =)t( erhalten werden muß:

0dt)t(u*t

1limu*t

0*t

=′⋅=′ ∫∞→ (2.3)

• Deshalb werden die mittleren Effektivwerte 2z

2y

2x 'u,'u,'u oder quadratischen Mittel-

werte benutzt:

∫∞→=

*t

0

2

*t

2 dt'u*t

1lim'u (2.4)

Diese durch die Hitzdrahtmeßtechnik meßbaren Effektivwerte sind in stationären turbulen-ten Strömungen zeitlich konstant.

• Von isotroper Turbulenz spricht man, wenn weitestgehende Richtungsunabhängigkeit der mittleren Effektivwerte gilt:

22z

2y

2x 'u'u'u'u === (2.5)

• Der Turbulenzgrad ist nun als dimensionslose Kennzahl definiert:

2

2

2

2z

2y

2x

u'u

u3'u'u'u

Tu ≈⋅

++= (2.6)

Für eine Rohrströmung liegt er beispielsweise im Bereich von 0,04 ≤ Tu ≤ 0,06 [6]. • Die Abmessungen von Wirbeln können durch ihre Wellenlänge λ oder einen Wirbelradius

rW = λ/4 charakterisiert werden. • Dabei entspricht der Makromaßstab Λ der Wellenlänge zweier großer Wirbel. In der Strömungsmechanik [6] wird gezeigt, daß in turbulenten Strömungen ein Austausch von Wirbelballen zwischen benachbarten Schichten erfolgt. Bestehen zwischen diesen Schichten Konzentrations-, Geschwindigkeits- oder Temperaturunterschiede, so tritt aufgrund dieser treibenden Zustandsgrößengradienten ein Austausch von Masse-, Impuls- oder Energie normal zur Strömungsrichtung ein. Deren Größe hängt von den charakteristischen Wirbel-abmessungen ab, svw. Makromaßstab Λ oder Mischungsweg, d.h. von der Strecke, über den diese makroskopischen Substanzgebiete normal zur Strömungsrichtung transportiert werden. Darüber hinaus sind die Zustandsgrößengradienten vom Effektivwert der Schwankungsbewe-

gung 2'xu normal zur Strömungsrichtung abhängig. Beide Größen - Makromaßstab und Ef-

fektivwert - besitzen Maximalwerte für die größten auftretenden Wirbel. Das Ausmaß dieser Transportphänomene wird daher durch die Intensität und Struktur der Makroturbulenz gesteuert [41]. Die Wirbel der Makroturbulenz entstehen durch Geschwindigkeitsgradienten in der Grundströmung. Ihre Größe und damit auch der Makromaßstab der Turbulenz sind so-mit proportional einer Länge, die normal zur Strömungsrichtung charakteristisch für die Stre-cke ist, über der der Geschwindigkeitsgradient auftritt [41].


7

Tabelle 2.1: Turbulente Stromtrennprozesse

REYNOLDS-Zahl

ν⋅= /DuRe

Turbulenz-grad

u/'uTu 2=

turb. Diffusions-koeffizient in cm2/s

2t 'uD ⋅Λ=

BODEN-STEIN-Zahl

s,tDLvBo ⋅=

Querstromtrennapparate Schraubenklassierer

VF.

B

∅Ds

.V

ns

ν⋅ 2

SS Dn

Rekrit ≈ 104

104 ... 5⋅105

0,05 ... 0,15 B

V48,0Dn014,0 F2SS

⋅+⋅⋅

5 ... 50≈ (2)2 ... (7)2

100D

Dn

t

2SS ≈

⋅

Rechenklassierer

VF.

LR nR

B

ν⋅ 2

RR Ln

104 ... 5⋅104

-

BV48,0Ln31,0 F2

RR

⋅+⋅⋅

30 ... 100 ≈ (5,5)2 ... (10)2

3...5,1D

Ln

t

2RR ≈

⋅

Zyklone

VF.

u

.V

VG.

Dc

ν⋅ CDu

Rekrit ≈ 103 105 ... 106

0,01 ... 0,05 ≈ 0,1 am Einlauf

Wasser:

C4 Du108 ⋅⋅⋅ −

Luft: CDu0035,0 ⋅⋅

1 ... 20 ≈ (1)2 ... (4,5)2

3

t

C 10DDu

≈⋅

Zick-Zack-Sichter

.V

VL.

VS.

u

b

ν⋅ bu

104 ... 6⋅105

≈⋅

≈bu

DTu t

0,11... 0,13

bu)13,0...11,0( ⋅⋅

2000 ... 4000 ≈ (45)2 ... (63)2

15...1D

bu

t

≈⋅

Gegenstromtrennapparate Aufstromklassierer

uVF.

.V

VG.

u

D

ν⋅ Du

103 ... 106

-

Du02,0 ⋅⋅

200 ... 2000 ≈ (14)2 ... (45)2

0,5 ... 50


8

Die charakteristischen Turbulenzgrößen eines Zick-Zack-Kanales gemäß Tabelle 2.1 lassen sich, wie später im Abschnitt 3.4 gezeigt wird, überschläglich aus den Trennergebnissen zu-rückrechnen und mit denen der anderen Trennapparate [41] vergleichen: • Die Kanal-Reynoldszahl Re = u⋅b/ν ≈ 104... 6⋅105 liegt in einer vergleichbaren Größen-

ordnung turbulenter Trennapparate wie Zyklone und Aufstromklassierer. • Der Turbulenzgrad Tu ≈ 0,11 bis 0,13 ist durch die zick-zack-förmige Strömungsführung

und zwangsweise Wirbelbildung an den Abrißkanten, s. Bild 2-3, vergleichsweise hoch. • Daraus folgt ein hoher turbulenter Diffusionskoeffizient Dt,s ≈ (45 cm)2/s ... (63 cm)2/s,

wobei die Klammerwerte im Sinne seiner physikalischen Definition – mittleres Verschie-bungsquadrat der ungeordneten Bewegung der Partikel bezogen auf ein Zeitinkrement dt - anschaulich eine mittlere Schwankungsweite der Partikel pro Sekunde im Prozeßraum an-geben. Dieses zweite Moment einer Geschwindigkeitsverteilung entspricht einer Streuung der Partikelkonzentration um die Ortslage x = const. herum im Vergleich zur geordneten Partikelbewegung mit der mittlere Geschwindigkeit v .

• Durch die turbulente Partikeldiffusion ist die BODENSTEIN-Zahl als Verhältnis von ge-ordnetem konvektiven zum zufälligen diffusiven Partikeltransport Bo = v⋅b/Dt,s ≈ 1 bis 15 recht niedrig.

2.3 Mehrstufige Querstromtrennung im Zick-Zack-Kanal

Bild 2-3: Wirkprinzip einer mehrstufigen Querstromtren-nung im Zick-Zack-Kanal1 Im Fall eines Zick-Zack-Kanales sind die Partikel be-strebt, der Richtung des Gravitationspotentials zu folgen. Infolge des mehrfach abgewinkelten Kanals werden sie in eine zick-zack-förmige Bewegung gezwungen. Beim Wechsel von einer Kanalseite auf die andere werden die Partikel vorzugsweise quer zu ihrer Bewegungsrichtung vom Luftstrom angeströmt und infolgedessen unter-schiedlich stark abgelenkt. Anhand der FEM-Berechnung eines ungestörten Luftstromes im Zick-Zack-Apparat wird im Bild 2-3 für den Fehlaustrag des Leichtguts ge-zeigt, daß je nach Stärke der Ablenkung das Gut in unter-schiedlich schnelle Strömungsgebiete gelangt. Dadurch wird die anfänglich geringe Abweichung der Trajektorien einzelner Partikel verstärkt, so daß leichtes Gut nach

1 Für die Simulationsrechnungen der unbeladenen Kanalströmung sei Herrn Dr. Pap vom Institut für Strö-mungsmechanik und Thermodynamik der OvGU sehr gedankt.

6,0

4,0

3,0

2,0

1,0

0,0

Strömungs-geschwindigkeit

v in m/s

g

Schwergut

Leichtgut


9

oben getragen wird und schweres nach unten fällt. An jedem Knickpunkt des Kanals erfolgt eine weitere Querstromtrennung, in der z. B. infolge kollektiver Behinderungen fehl-ausgetragenes Gut nachgesichtet wird. Demzufolge ist mit zunehmender Stufenzahl eine Ver-besserung des Trennerfolges zu erwarten.

3 Theoretische Modellierung des Trennprozesses

3.1 Physikalisches Wirkprinzip

3.1.1 Stationäre Sinkgeschwindigkeit

Partikel, die von einem Fluid umströmt werden, setzen diesem einen Widerstand entgegen, der von der Fluiddichte ρf , der angeströmten Fläche Ap als Funktion der Partikelgröße d und Partikelform, der Anströmgeschwindigkeit des Fluides relativ zum Partikel ur sowie vom di-mensionslosen Widerstandsbeiwert cW, der wiederum eine Funktion sowohl der Art der Umströmung (cW = f(Re(u)), laminar, turbulent) als auch der Partikelform ist, abhängt:

2Ac rr

fpWW

uuF

⋅⋅ρ⋅⋅= (3.1)

Für das Sinken eines kugelförmigen Partikels in einem ruhenden Fluid u = 0 und ur=u–v=-vs kann das Kräftegleichgewicht aus Auftrieb, Gewicht und Strömungswiderstand als

( ) 02vd

4cgd

6

2s

f2

Wfs3 =⋅ρ⋅⋅

π⋅+⋅ρ−ρ⋅⋅

π− (3.2)

geschrieben werden. Daraus ergibt sich für die Partikelgeschwindigkeit relativ zum Fluid, die im weiteren als stationäre Sinkgeschwindigkeit vs bezeichnet wird,

( )f

fs

Ws

gdc34v

ρ⋅⋅ρ−ρ

= (3.3)

Als wesentliches Trennmerkmal enthält sie die Partikeleigenschaftgrößen Größe, Dichte und Form – gleichwohl auch im Sinne von statistisch verteilten Parametern. Die vektorielle Addition der Fluid- und Sinkgeschwindigkeit liefert für den eindimensionalen Fall die Partikelabsolutgeschwindigkeit va im ortsfesten Bezugssystem.

sa vuv −= (3.4)

Das heißt, ein Partikel bewegt sich je nach dem Betrage seiner Sinkgeschwindigkeit mit dem Fluid nach oben (vs < u) oder in entgegengesetzter Richtung nach unten (vs > u), Bild 2-2.

3.1.2 Gleichfälligkeitsbedingung

Im Allgemeinen gilt für die stationäre Sinkgeschwindigkeit: ( )Wss c,d,fv ρ= (3.5)


10

d.h., es erfolgt die Trennung prinzipiell nach drei Partikeleigenschaften gleichzeitig. Für eine definierte Sortierung, bei der allein die Partikeldichte das Trennmerkmal darstellen soll, müs-sen deshalb Partikelform und –größe durch eine geeignete Vorklassierung näherungsweise konstant gehalten werden. Dies gelingt ideal nur mit kugelförmigen Partikeln aufgrund der rotationsinvarianten Gestalt. Für den Widerstandsbeiwert kann dann im gesamten NEWTON-Bereich, 53 102Re10 ⋅<< , cW ≈ 0,44 gesetzt werden und die Sinkgeschwindigkeit ist

( ) ( )f

fsss

gd3v

ρ⋅⋅ρ−ρ⋅

≈ρ . (3.6)

Berücksichtigt man zusätzlich die Partikelform mit einem von der Sphärizität ψA (Verhältnis der Oberfläche einer volumengleichen Kugel AS.K zur tatsächlichen Partikeloberfläche AS,P)

( )1

A/V6

AA

P,S

3/2P

P,S

K,SA ≤

π⋅⋅π==ψ (3.7)

abhängigen Formkorrekturkoeffizienten im turbulenten Umströmungsbereich (Re > 2000)

14,795,8

55,1kA

AN, ≤

ψ⋅−ψ⋅

=ψ (3.8)

und die Schwarmbehinderung (ϕs Feststoffvolumenanteil)

( ) 4,2s1k ϕ−=ϕ (3.9)

reduziert sich die Partikelsinkgeschwindigkeit gegenüber der von glatten Kugeln [41]: ( ) ( )sss,,s vkkv ρ⋅⋅=ρ ϕψϕψ (3.10)

Der wechselseitige Einfluß von Partikelgröße und –dichte ist in der Gl.(3.6) direkt ablesbar. Im Falle der Trennung von Partikeln unterschiedlicher Dichte ρs kann das Prinzip der soge-nannten "Gleichfälligkeitsklassen" [41], d.h. Klassen gleicher Sinkgeschwindigkeit, wie folgt formuliert werden. Bei konstanter Partikelform sinken "große" und "leichte" Partikel gleich schnell wie "kleine" und "schwere" Partikel. Mit di ... di+1 als Partikelgröße der Klasse i bis i+1 sowie ρs,S und ρs,L als Partikeldichten des Schwergutes (Index S) und des Leichtgutes (Index L) gilt im Falle einer turbulente Umströmung cW,s = const. ≠ f(vs):

)d,(v)d,(v iS,ss1iL,ss ρ=ρ + (3.11)

fL,p,s

fS,p,s

i

1i

dd

ρ−ρ

ρ−ρ=+ (3.12)

In Abhängigkeit von variablen Umströmungsbedingungen der Partikel, ausgedrückt durch die

Beziehungen α∝ dvs und 321

W Re(Re)fcα⋅−

∝= mit der Reynoldszahl ffs /dvRe ηρ⋅⋅= ,

folgt allgemein:

α⋅+α

+

ρ−ρ

ρ−ρ≤

31

fL,p,s

fS,p,s

i

1i

dd (3.13)


11

D.h., der Klassieraufwand ist bei laminarer Umströmung wegen der geringeren Breite der Partikelgrößenklassen - der Exponent ist 2/1)3/()1( =α⋅+α - höher als bei turbulenter Umströmung - Exponent 1)3/()1( =α⋅+α , siehe Tabelle 3.1.

Für die Sinkgeschwindigkeiten, Partikelgrößen und –dichten gelten also in Abhängigkeit von den Umströmungsbedingungnen folgende Verhältnisse:

31

fT,s

fs

TsT

s

dd

vv

+αα

ρ−ρρ−ρ

=

= (3.14)

Tabelle 3.1: Exponenten der Gleichfälligkeitsbedingung )3/()1( α⋅+α , des Widerstandsge-

setzes 3/)21( α⋅− und der Trennfunktion α

α-Wert Gleichfälligkeit )3/()1( α⋅+α

Widerstandsbeiwert

321

W Recα⋅−

∝

Umströmungs-bedingung

REYNOLDS-Zahl-bereich

2 1/2 1Re− laminar Re < 1 2 < α < 1/2 1/2 ... 1 0...1Re− Übergang 1 < Re < 103 1/2 1 0Re = const. turbulent 103 < Re < (2...4)⋅105 Berechnung des Exponenten des Widerstandsgesetzes Rek aus den beiden bekannten Exponentenpunkten α1 = 2, k1 = -1, α2 = ½¸ k2 = 0: nmk +α⋅=

mit dem Anstieg 32kkm

21

21 −=α−α

−= und dem Ordinatenabschnitt

31mkn 22 =α⋅−= und

321

31

32k α⋅−

=+α⋅−= (3.15)

3.2 Charakterisierung des Trennerfolges einer einstufigen Dichtesortierung

3.2.1 Trennfunktion und Bilanzierung der stationären Stoffströme

Die Trennfunktion T(ρs,j) wird für den diskontinuierlichen Trennprozeß als Verhältnis der Teilmasse einer differentiellen Partikelmerkmalsklasse – hier Partikeldichteklasse j - des Schwerguts zur Teilmasse des Aufgabeguts bzw. für den kontinuierlichen Trennprozeß als Verhältnis der entsprechenden Teilmassenströme definiert:

( ) ( )( )

( )( )j,sj,A

j,sj,S

j,sj,A

j,sj,Sj,s m

mmm

Tρ

ρ=

ρ

ρ=ρ

(3.16)

Die Trennfunktion gibt also im allgemeinen den Masseanteil der im Schwergut befindlichen Partikel einer Wertstoffkomponente k mit der differentiellen Dichteklasse ρs,j am insgesamt aufgegebenen Gut an. Wenn der interessierende, abzutrennende Wertstoff im Leichtgut ent-halten ist, kann auch das Verhältnis von Leicht- zu Aufgabegut als Trennfunktion definiert werden.


12

Bild 3-1: Darstellung des Trennerfolges mittels einer Trennfunktion.

Aufgabe Leichtgut (Berge)

Schwergut (Konzentrat)Trennprozeß

mA

mL

mS

ideale Trennungκ = 1 Kurve des Schwergutes S

Trennschnitt ξΤ = ξ50

ξ25 ξ50 ξ75 Trennmerkmal ξx

Tren

nfun

ktio

n T

j ( ξ

)

1

0,75

0,5

0,25

0

Fehlausträge

Gesamtmassebilanz (1) Komponentenbilanz (2)

Schwergutausbringen (3)

Wertstoffausbringen der (4) Komponente k

Anreicherverhältnis (5)

Trennfunktion der (6) Merkmalsklasse ∆ξj

Trennschärfe (7)

m m mA L S= +

k,SSk,LLk,AA mmm µ⋅+µ⋅=µ⋅

Rmmm S

S

A,

=

Rmm

mmk

S k

A k

S

A

S k

A k= = ⋅

,

,

,

,

µµ

κξξ

= ≤25

751

Tmm

mm

R AjS j

A j

S

A

S j

A jm S j( )

,

,

,

,,ξ

µ

µ= = ⋅ = ⋅

AkS k

A k= >

µµ

,

,1

Bewertung des Prozeßerfolges einer Sortierung

0,3 < κ < 0,6 befriedigend0,6 < κ < 0,8 gut0,8 < κ < 0,9 sehr gut


13

Im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt die Trennfunktion die Wahrscheinlichkeit eines Partikels mit der Dichte als Trennmerkmal ξx = ρs an, im Schwergut ausgetragen zu werden, Bild 3-1. Die Trennfunktion verknüpft die Austragwahrscheinlichkeit des Produkt-stromes – svw. Schwergutmasseausbringen RmS – mit dem Anreicherverhältnis (Konzentrati-onsverhältnis) Aj der jeweils interessierenden Partikelmerkmalsklasse j einer Wertstoffkom-ponente k, siehe Gl. (3.16) im Bild 3-1. Da sich der Strom des Aufgabegutes in einen Leicht- und einen Schwergutstrom teilt, läßt sich Gl. (3.16) mit Hilfe der Feststoffvolumenströme S,sV und L,sV als

( ) ( )( ) ( )j,sL,sj,L,sj,sS,sj,S,s

j,sS,sj,S,sj,sj VV

VT

ρρ+ρρ

ρρ=ρ

(3.17)

ausdrücken. Unter Verwendung der Anzahlvolumenkonzentrationen cn,j der Partikeldichteklasse j am Leichtgutaustrag bzw. cn,0,j am Schwergutaustrag sowie der Aero-suspensionsvolumenströme SV und LV ergibt sich:

Lj,L,sj,nSj,S,sj,0,n

Sj,S,sj,0,nj VcVc

VcT

⋅ρ⋅+⋅ρ⋅

⋅ρ⋅= (3.18)

Wird bei einer Windsichtung der Luftstrom weitestgehend im Überlauf des Leichtgutes aus-getragen, folgt ein sehr hohes Volumenstromverhältnis SL V/V , Bild 3-2. Deshalb ist bei den vergleichsweise geringen Dichteunterschieden ρs,L,j/ρs,S,j ≈ 1:

S

L

j,sj,0,n

j,sj,n

S

L

j,S,s

j,L,s

j,0,n

j,nj

VV

)(c)(c

1

1

VV

cc

1

1T

⋅

ρ

ρ+

≈⋅

ρ

ρ⋅+

= (3.19)

Da im Unterlauf gewöhnlich nur der Feststoff des Schwergutes ausgetragen wird und s,Lg,L VV >> ist, kann man mit der Partikelbeladung des Luftstromes gsg,s m/m =µ vereinfa-

chend für das Volumenstromverhältnis SL V/V schreiben:

gg,s

s

mSs

s,Lg,Ls

mSs

Ls

S

L

RmVV

RmV

VV

ρ⋅µρ

≈⋅

+⋅ρ=

⋅⋅ρ

=

(3.20)

Darüber hinaus läßt sich ein spezifischer, d.h. trennflächenbezogener Feststoffdurchsatz für überschlägliche Auslegungen und Vergleiche [48] mit anderen Trennapparaten angeben:

g,sKgg,sgA,s u

lbm

Am

µ⋅⋅ρ=⋅

µ⋅=

(3.21)

b, l Strömungskanalbreite und -tiefe

3.2.2 Diskussion der Brauchbarkeit bisheriger Trennmodelle

Mittels eines stationären Bilanzmodelles erhält Kaiser [19] die Trennfunktion für eine Rei-henschaltung mehrerer Trennstufen Gl.(3.62) und eine brauchbare empirische Beziehung für die Trennschärfe einer Klassierung, siehe auch Gl.(3.80), Tabelle 3.2.


14

Tabelle 3.2: Ausgewählte Stromtrennmodelle Trennfunktion

T(d) Trennkorngröße d50 = dT(T = 0,5)

Trennschärfe κ = d25/d75 = oder T‘

KAISER 1963 (GST, z) ( )z

z 1T/111

−+ -

z1zges κ≈κ

MOLERUS 1967/69 (GST)

( )

⋅−−⋅+

ax

s

s DHu)d(v

exp)d(v

u1

1 u

a)(k18

fs

⋅⋅ρ−ρ⋅

η⋅

ϕ

4D/Hu1

)d/d(ddT ax

T

⋅+=

NEESSE SCHUBERT 1969/73 (Teilung, QST)

⋅−−

⋅−−

t

s

t

Gs

DH)d(v

exp1

DH)d(v

exp1

⋅⋅

⋅ρ−ρη⋅

G

Ft

fs VV

FHD

a)(18

-

SCHUBERT, NEESSE 1973 (Anzapfung, QST)

⋅−⋅+

t

s

G

F

DH)d(v

expVV1

1

⋅⋅

⋅ρ−ρη⋅

G

Ft

fs VV

lnHD

a)(18

≡

⋅=

G

F

t VVln

DHuBo

( )( )

α

+−

1

GF

GF

3lnV/Vln3lnV/Vln

SENDEN 1979 (MP, z)

K

p1p1

p1p1

p1p1

p1p

p1

Kp1T

S

L

A

S

L

S

L

A

S

L

)0,0(S

A0,L

+

−

−

−

−⋅

−−

+

−

⋅

+−=

−−

−−

⋅−−⋅

+

−⋅

−

⋅−++=

−−

−−

L

S

2AZ

L

S

L

SLS1AZ

L

S

S

SL

LS

pp1

1

pp1

1

p)pp2(p

pp1

p1p)p1(

)Z,Z(p1

p1K

- -

BÖHME 1986 (GST)

⋅−−⋅

−

⋅−

+

−

⋅−−⋅

+

⋅−

+

t

Fs

F

s

t

Gs

G

s

DH)vu(

exp1uk

vu1

1D

H)vu(exp1

ukvu

1

1 -

⋅+

+⋅

⋅α

=

t

t

DHuk1

11D

Hu4

'T

HUSEMANN 1990 (GST, a)

⋅+

−⋅−−⋅

−

−+

−

+⋅⋅+−⋅⋅−

−⋅

+

⋅⋅−⋅

+

Fu

FSs

S,M

S,Qs

S,M

S,Q

SSSSSu

GSGs

As

s0

R)vu()RR()vu(

expAA

uvu

AA

1)as(R)vu()RR(R)vu(

exp1mvk

)vu(m

1

1

- -

QST Querstromtrennung; GST Gegenstromtrennung; z Trennstufenzahl; MP MARKOFF-Prozeß;

a Beschleunigung; α = 0,5 NEWTON; α = 2 STOKES.

Die Grundlagen für alle nachfolgenden Dispersionstrennmodelle wurden von Molerus [24, 23] ausgearbeitet. Diese Modelle der Gegenstromtrennungen und das von Gorzitzke [11] wurden von Böhme und Schubert [3, 4] für Hydrotrennungen wesentlich weiterentwickelt.


15

Graichen [12] betrachtet zusätzlich noch die entsprechenden Verweilzeitverteilungen. Huse-mann [18, 17] erweitert die Gegenstrommodelle für Windsichtprozesse im Zentrifugalkraft-feld – auf eine Diskussion aller Einflußgrößen seines Modelles, Tabelle 3.2, soll hier verzich-tet werden. Für eine Bewertung der vorliegenden mehrstufigen Querstromtrennung sind diese Modelle jedoch ungeeignet. Als zu aufwendig erwies sich das MARKOFF-Prozeßmodell von Senden [47, 46] und seine Ergänzungen von Rosenbrand [34, 32, 33]. Beim Suspensionsteilungsmodell [26] wird die im Prozeßraum der Höhe H aus einer räumli-chen Partikelanzahlkonzentrationsverteilung gebildete mittlere Konzentration i,H,nc des Auf-

gabestromes i,AV durch einen Höhenschnitt bei der Wehrhöhe HG in den Grobgutstrom i,GV

mit der mittleren Anzahlkonzentration i,H,n Gc und in den Feingutstrom i,FV aufgeteilt.

In einigen technischen Klassierapparaten kommt man der Realisierung des Anzapfmodells [37] nahe. Hierbei werden die Suspensionsströme mit den jeweiligen Partikelanzahlkonzent-rationen der Größenklassen i am unteren y = 0 (Boden) und oberen Ende y = h angezapft (großer Abstand notwendig!) und die Grobgutsuspension mit der Bodenkonzentration cn,0,i und die Feingutsuspension mit cn,i ausgetragen. Dadurch gelingen trotz der Turbulenz im Vergleich zur Suspensionsteilung mit einer Wehrhöhe HG relativ scharfe Trennungen. Beide Modelle werden bevorzugt für die Auslegung der Feinkornhydroklassierung, insbeson-dere von Hydrozyklonen, angewandt. Wie man der Übersicht in Tabelle 3.2 unmittelbar entnehmen kann, ist nur dieses Suspensi-onsanzapfmodell in der Lage, physikalisch sinnvoll sowohl Trennfunktion, Trennkorngröße und Trennschärfe mit vergleichsweise einfachen mathematischen Ausdrücken, analytisch zu beschreiben. Deshalb wurde zur Ermittlung des Prozeßerfolges das Trennmodell einer turbu-lenten Querstrom-Hydroklassierung von Schubert [37, 44, 40, 43, 38] und Neeße [26, 27, 25, 28] herangezogen und im Folgenden um ein Modell der mehrstufigen turbulenten Querstrom-Aerosortierung für turbulent umströmtes Grobkorn erweitert.

3.2.3 Ähnlichkeitsmodell des turbulenten Partikeltransportes

Für die weitere Modellbehandlung ist nun die Abschätzung der für die Trennung wesentlichen Partikelkonzentrationsverteilung im Prozeßraum notwendig. Diese wird entscheidend von der Turbulenz im Strömungskanal beeinflußt. Um nun den Zick-Zack-Kanal entsprechend des turbulenten Querstromtrennmodelles behandeln zu können, müssen folgende Modellvoraus-setzungen diskutiert werden: (1) Die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsverteilung (Partikelanzahlkonzentrationsverteilung pro

Volumenelement cn,i,j) ist hauptsächlich von der Höhe y abhängig und unabhängig von Folgeereignissen. Somit gilt für jede diskrete Partikelgrößenklasse i und Partikeldichteklasse j die eindimensionale FOKKER-PLANCK-Gleichung (Reihenent-


16

wicklung 2. Ordnung, siehe [8, 29, 30]) als Komponentenbilanz ohne Quellen- oder Senkenterm, d.h. ohne Agglomeration oder Zerkleinerung:

......yc

!21D

yc

!11)v(

tc

2j,i,n

2

s,tj,i,n

j,i,sj,i,n +−

∂

∂⋅⋅+

∂

∂⋅⋅−−=

∂

∂ (3.22)

Bei den üblichen geringen Partikelbeladungen, mit denen der Trennapparat gefahren wird, ist dies erfüllt.

(2) Es werden im Trennraum sowohl ein idealisiertes homogenes und freies Turbulenzfeld (keine wandnahe Grenzschichtturbulenz) als auch ein homogenes Kraftfeld vorausgesetzt.

(3) Im homogenen Turbulenzfeld des Prozeßraumes entspricht der turbulente Diffusionskoef-fizient der unbeladenen Fluidströmung Dt ≈ Dt,s dem Partikeldiffusionskoeffizienten, d.h. es gilt gemeinsam mit den Bedingungen (4) und (5)

t2

x D.constu =≈′⋅Λ (3.23)

Dies ist normaler Weise nur für feinste Partikel erfüllt. Auch bei freier turbulenter Umströmung grober Partikel ist mit einer Beeinflussung der Zufallsbewegungen zu rech-nen. Der Feststoffvolumenanteil sollte daher nicht zu hoch sein ϕs < 0,05. Darüber hinaus kann der Einfluß der Turbulenzverstärkung in den Wirbelschleppen der Partikeln einer Luftströmung größer angesetzt werden als die Turbulenzdämpfung infolge Partikelbeladung von Feingut und resultierender Viskositätserhöhung.

(4) Der Makromaßstab der Turbulenz (Durchmesser des größtmöglichen Wirbels dW,max = Λ/2), wird durch die charakteristische Abmessung des turbulenzerzeugenden Werkzeuges, hier Kanalbreite b ≈ 0,2 m, begrenzt: Λ ∝ b (3.24)

(5) Der mittlerer Effektivwert der turbulenten Schwankungsgeschwindigkeit quer zur Haupt-strömungsrichtung ist bei Starrkörperwirbeln proportional der Wirbelumfangsgeschwin-digkeit uϕ und entspricht der charakteristischen Geschwindigkeit im durchströmten Prozeß-raum, hier mittlere Kanalgeschwindigkeit u:

uuu 2x ∝∝′ ϕ (3.25)

(6) Die Partikelgröße sei klein gegenüber dem Makromaßstab der Turbulenz, d.h. klein ge-genüber der Apparatehauptabmessung (Breite)

d < 0,1⋅Λ < b (3.26)

(7) Im Falle einer Feinkornhydroklassierung [41] sollte die Partikelgröße klein gegenüber dem Mikromaßstab der Turbulenz (dW,min Durchmesser der kleinsten existenzfähigen Wir-bel, die in sich laminar fließen) sein. Für die Aerotrennung ist

d < dW,min ≈ 10⋅lD ≈ 0,3 mm (3.27)

mit einer Abschätzung des KOLMOGORFF’schen Längenmaßstabes für eine mittlere Energiedissipation von ε ≈ 4 W/g:


17

( ) ( ) m30g/W4/s/m1015/l 41

3618341

3D µ≈⋅=εν= − (3.28)

Das Wirbelgrößenspektrum liegt somit zwischen 0,3 mm bis 100 mm. Bedingung (3.27) ist somit für die Dichtetrennung im Luftstrom nicht erfüllbar, da der gewünschte Trennbereich zwischen d = 1 mm bis 20 mm innerhalb des Wirbelspektrums liegen wird.

(8) Als charakteristische Relativgeschwindigkeit zwischen Partikel und Fluid muß demzufol-ge die stationäre Sinkgeschwindigkeit v ≈ vs nach NEWTON Gl.(3.6) gesetzt werden.

(9) Der stationäre Fall 0t/c j,i,n =∂∂ (am Boden y = 0, cn,i,j = cn,i,j,0) der FOKKER-PLANCK-

Gleichung ergibt gemäß nachfolgender Herleitung eine exponentielle Partikelanzahlkonzentrationsverteilung [24, 23, 35, 36]:

⋅−= h

Dv

expcc

s,t

j,i,s

0,j,i,n

j,i,n (3.29)

3.2.4 Ermittlung der Partikelanzahlkonzentrationsverteilung

Diese exponentielle Partikelanzahlkonzentrationsverteilung im Prozeßraum läßt sich nun aus der Komponentenbilanzgleichung für eine Partikeldichteklasse j wie folgt ableiten:

( ) ( )j,ns,t2

j,nj,n cDc

tc

⋅∇+⋅−∇=∂

∂v (3.30)

Für den stationären, eindimensionalen Fall ohne räumliche Geschwindigkeitsänderungen gilt:

0t

c j,n =∂

∂ (3.31)

0z

vy

vx

v zyx =∂

∂=

∂

∂=

∂∂ (3.32)

Die Partikel bewegen sich in Richtung des Kraftfeldes mit der Sinkgeschwindigkeit vs,j entge-gen der positiven y-Richtung.

j,sy vv −= (3.33)

Wird außerdem der Partikel-Diffusionskoeffiezient Dt,s als konstant angenommen, läßt sich die partielle Differentialgleichung (3.30) in die gewöhnliche Differentialgleichung

yddc

Ddy

dcv0 2

2j,n

s,tj,n

j,s ⋅+⋅= (3.34)

überführen. Nach einmaliger Integration folgt zunächst der flächenbezogene Partikelanzahl-strom .constn j = durch das Volumenelement:

dydc

Dcvconstn j,ns,tj,nj,sj ⋅+⋅== (3.35)

Wenn im betrachteten Volumenelement des Prozeßraumes eine zeitliche An- oder Ab-reicherung der Dichteklasse j ausgeschlossen werden kann, folgt für diesen stationären Fall


18

mit 0n j = und cn,j(y = 0) = cn,j,0 die exponentielle Partikelkonzentrationsverteilung als Lö-

sung:

⋅−=

s,t

j,s

0,j,n

j,n

Dyv

expcc

(3.36)

3.2.5 einstufiges Querstromtrennmodell

Wird in dieser Lösung (3.36) für y die Höhe h des Trennraumes gesetzt – svw. Anzapfen der getrennten Partikelströme, so kann in Gleichung (3.19) das Verhältnis der Partikelanzahl-konzentrationen substituiert werden (auf die Angabe des Klassenindex j wird nun verzichtet):

( )

⋅ρ−⋅+

=ρ

s,t

ss

S

L

s

Dh)(v

expVV1

1T

(3.37)

Da der reale Diffusionskoeffizient Dt,s sowie die reale Sinkgeschwindigkeit vs schwer zu er-mitteln sind, ist es zweckmäßig die Trennfunktion in Abhängigkeit der Trenndichte ρs,T anzu-geben. Dazu wird zunächst Gl. (3.37) nach vs umgestellt:

( ) ( )( )

⋅

ρ−ρ

⋅=ρS

L

s

ss,tss V

VT1

Tln

hD

v

. (3.38)

Wegen ( ) 5,0T T,s =ρ gilt für die Partikel mit der Trenndichte

( )S

Ls,tT,ss V

Vlnh

Dv

⋅=ρ (3.39)

Problematisch ist nun die Quantifizierung des Partikeldiffusionskoffizienten Dt,s. Deshalb soll er hier eliminiert und durch das meßbare und anschaulichere mittlere Trennmerkmal vs,T bzw. ρs,T ersetzt werden. Aus dem Verhältnis der Gln. (3.38) und (3.39)

( )( )

( )( )

S

L

S

L

s

s

T,ss

ss

VVln

VV

T1Tln

vv

⋅

ρ−ρ

=ρρ (3.40)

läßt sich nun die Trennfunktion mit normiertem Trennmerkmal ermitteln vs/vsT:

( ) ( )( )sTs

ss

vv

1

S

L

sTs

VV1

1v/vTρρ

−

+

=

(3.41)

Die Sinkgeschwindigkeit kann mit Hilfe von Gl.(3.6) und (3.14) ersetzt werden und liefert die Trennfunktion sowohl für eine einstufige Klassierung bei enger Partikeldichteverteilung


19

( ) α

−

=ρ

+

=

T

s

dd1

S

L

.constT

VV1

1d/dT

(3.42)

als auch für eine Dichtesortierung bei enger Partikelgrößenfraktion:

( )3

1

fsT

fs1

S

L

.constds

VV1

1T +α

ρ−ρρ−ρ

−=

+

=ρ

(3.43)

Für turbulente Partikelumströmung α = ½, siehe Tabelle 3.1, folgt die Sortier-Trennfunktion des Schwergutes:

( )fsT

fs1

S

L

s

VV1

1Tρ−ρρ−ρ

−

+

=ρ

(3.44)

Bild 3-2: Einfluß des Vo-

lumenstromverhältnisses SL V/V auf die Trenn-

funktion

Typische Werte der Trennfunktion für einen einstufigen Trennprozeß treten auf bei:

(1) 0fsT

fs =ρ−ρρ−ρ , d.h. fs ρ=ρ und

( ) 0V/V1

1)0(T 1SL

≈+

=

Bei einem hohen Volumenstromverhältnis ist die Trennfunktion etwa Null, Bild 3-2.

mSA

S

LS

S Rmm

VVV

)0(T =≡+

=

Bei geringem Volumenstromverhältnis, z.B. Hydrotrennung, wird die T-Achse in einem Verhältnis geteilt, das dem Schwergutausbringen RmS entspricht. Dies könnte praktisch als

1

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

bezogene Partikeldichte ρs/ρs,T

Tren

nfun

ktio

n T

ges

20000

8000 2000

z = 1

VLVS

= 1000··_


20

anhaftendes oder mit dem Schwergutstrom irrtümlich mitgerissenes Leichtgut im Schwergutaustrag gedeutet werden, ähnlich eines Klassiererfehlaustrages bei d → 0.

(2) 1fsT

fs =ρ−ρρ−ρ ; d.h. T,ss ρ=ρ und ( ) ( ) %50

21

V/V111T 0

SL

==+

=

Die Trenndichte wird erreicht.

(3) ∞=ρ−ρρ−ρ

fsT

fs ; d.h. fs ρ>>ρ und ( ) ( ) %100V/V/11

1TSL

=+

=∞ ∞

Der Endwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung ist definitionsgemäß Eins.

Diese Trennfunktion für eine Trennstufe läßt sich nun durch eine einfache Überlegung auf die mehrstufige Trennung im Zick-Zack-Trennapparat erweitern.

3.3 Trennfunktion für die mehrstufige Dichtesortierung

Als Gesamttrennfunktion Tges eines mehrstufigen Sichters wird selbstverständlich als Verhält-nis des ausgetragenen Schwergutstromes zum aufgegebenen Massestrom einer differentiellen Partikeldichteklasse j definiert.

j,S

j,Lj,A

j,Sj,ges

mm

1

1mm

T

+== (3.45)

Bild 3-3: Teilmassenströme für 3 Trennstufen. Die im vorhergehenden Abschnitt hergeleitete ein-stufige Trennfunktion wird als die Wahrscheinlich-keit aufgefaßt, mit der die aufgegebenen Partikel einer differentiellen Partikeldichteklasse j als Schwergut von einer Trennstufe in die nächste ge-langen. Zur besseren Verdeutlichung der späteren wahrscheinlichkeitstheoretischen Herleitung sollen zuerst 3 bzw. 5 Trennstufen betrachtet werden, siehe Bild 3-3. Die stationären Stufenbilanzen einer differentiellen Partikeldichteklasse j liefern für 3 Stufen (Aufgabe-stufe 1, Oberlaufstufe 2 und Unterlaufstufe 3):

, ,m mS S j

, ,m mA A j

, ,m mL L j

, ,m mL L j1 1

, ,m mS S j2 2

, ,m mL L j3 3

, ,m mL L j2 2

, ,m mS S j1 1

, ,m mS S j3 3

Stufe 1

Stufe 2

Stufe 3


21

j,3Lj,2Sj,A

j,1Sj,1 mmm

mT

++= (3.46)

j,1L

j,2Sj,2 m

mT

=

bzw. j,1Lj,2j,2S mTm ⋅= (3.47)

j,1S

j,3Sj,3 m

mT

= bzw. j,1Sj,3j,3S mTm ⋅= (3.48)

Ersetzen der Teilströme: )T1(mmTmmmm j,2j,1Lj,1Lj,2j,1Lj,2Sj,1Lj,2L −⋅=⋅−=−=

j,1Sj,3

j,2j,1L

j,1Sj,3

j,2L

j,3S

j,2Lj,A

j,Sj,ges

mT)T1(m

1

1

mTm

1

1

mm

1

1mm

T

⋅

−⋅+

=

⋅+

=+

==

)T1()mmm(mmmmm j,1j,3Lj,2Sj,Aj,1Sj,3Lj,2Sj,Aj,1L −⋅++=−++=

j,3j,1

j,2j,1

j,1j,3Lj,2Sj,Aj,3

j,2j,1j,3Lj,2Sj,Aj,ges

TT)T1()T1(

1

1

T)mmm(T)T1()T1()mmm(

1

1T

⋅

−⋅−+

=

⋅++⋅

−⋅−⋅+++

=

Die Trennfunktion für 3 Sortierstufen ist somit:

j,3j,1

j,2j,1j,ges

TT)T1()T1(

1

1T

⋅

−⋅−+

= (3.49)

Trennfunktion mit 5 Stufen (Aufgabestufe 1, Oberlaufstufen 2, 4 und Unterlaufstufen 3, 5):

j,2L

j,4Sj,4 m

mT

= bzw. j,2Lj,4j,4S mTm ⋅= (3.50)

j,1L

j,2Sj,2 m

mT

= bzw. j,1Lj,2j,2S mTm ⋅= (3.51)

mit )T1(mmTmmmm j,4j,2Lj,2Lj,4j,2Lj,4Sj,2Lj,4L −⋅=⋅−=−=

und )T1(mmTmmmm j,2j,1Lj,1Lj,2j,1Lj,2Sj,1Lj,2L −⋅=⋅−=−=

folgt )T1()T1(mmm j,4j,2j,1Lj,4Lj,L −⋅−⋅==

j,5S

j,4j,2j,1L

j,5S

j,4Lj,A

j,Sj,ges

m)T1()T1(m

1

1

mm

1

1mm

T

−⋅−⋅+

=+

==

j,3S

j,5Sj,5 m

mT

= bzw. j,3Sj,5j,5S mTm ⋅= (3.52)

j,1S

j,3Sj,3 m

mT

= bzw. j,1Sj,3j,3S mTm ⋅= (3.53)


22

also j,1Sj,3j,5j,5S mTTm ⋅⋅=

j,5j,3j,1S

j,4j,2j,1Lj,ges

TTm)T1()T1(m

1

1T

⋅⋅−⋅−⋅

+=

( ) j,1j,3Lj,2Sj,Aj,1S Tmmmm ⋅++= ( ) )T1()mmm(mmmmm j,1j,3Lj,2Sj,Aj,1Sj,3Lj,2Sj,Aj,1L −⋅++=−++=

j,5j,3j,1j,3Lj,2Sj,A

j,4j,2j,1j,3Lj,2Sj,Aj,ges

TTT)mmm()T1()T1()T1()mmm(

1

1T

⋅⋅⋅++

−⋅−⋅−⋅+++

=

j,5j,3j,1

j,4j,2j,1j,ges

TTT)T1()T1()T1(

1

1T

⋅⋅

−⋅−⋅−+

= (3.54)

Die Aufgabetrennstufe 1 zählt sowohl im Ober- als auch im Unterlauf mit. Deshalb ist die gesamte Apparatestufenzahl:

1zz1)1z()1z(n SLSLZZ −+=+−+−= (3.55)

Für eine elegante wahrscheinlichkeitstheoretische Herleitung der Reihenschaltung von sto-chastisch unabhängigen Ereignissen lassen sich folgende einfache Betrachtungen anstellen: Werden die einzelnen diskreten Trennwahrscheinlichkeiten der Dichteklasse j der Leichtgut-trennstufen TL,j im Oberlauf von den Schwerguttrennstufen TS,j im Unterlauf entkoppelt, so läßt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit dafür, daß ein Partikel in das Schwergut ausgetragen wird, als Produkt der Stufentrennwahrscheinlichkeiten ausdrücken. Für den Massestrom im Unterlauf ergibt sich mit zS als Anzahl der Schwerguttrennstufen:

j,A

z

1kj,k,Sj,S mTm

S

S

S ⋅= ∏

=

(3.56)

Da die Trennfunktion (3.16) für das Schwergut definiert wurde, ist die Wahrscheinlichkeit eines Partikels, über den Oberlauf in das Leichtgut ausgetragen zu werden 1-TL,j. Somit gilt analog zu Gl. (3.56) mit zL als Anzahl der Leichtguttrennstufen:

( ) j,A

z

1kj,k,Lj,L mT1m

L

L

L ⋅−= ∏

=

(3.57)

Damit folgt allgemein für die Trennfunktion von zL Oberlauf- und zS Unterlauftrennstufen:

( )

∏

∏

=

=

−+

=

S

S

S

L

L

L

z

1kj,k

z

1kj,k

j,ges

T

T11

1T (3.58)


23

Unter der Voraussetzung, daß die jeweiligen Stufentrennwahrscheinlichkeiten näherungswei-se übereinstimmen und für sämtliche Trennstufen j,zj,k,Sj,k,L TTT

SL== gesetzt werden kann,

können die Gleichungen (3.56) und (3.57) als

j,Az

j,zj,S mTm S ⋅= (3.59)

und

( ) j,Az

j,zj,L mT1m L ⋅−= (3.60)

geschrieben werden. Einsetzen in Gl. (3.45) liefert:

( )S

L

zj,z

zj,z

j,ges

TT1

1

1T−

+

= (3.61)

Für einen symmetrischen Trennapparat, d.h. gleiche Trennstufenzahlen im Ober- und Unter-lauf zL = zS = z, folgt

( ) z

j,zz

j,z

zj,z

j,ges

1T11

1

TT1

1

1T

−+

=−

+

≈ (3.62)

Das entspricht einer Formel von Kaiser [19] Gl.(3.63), der diese mittels Bilanzierung über die gesamte Apparategliederzahl (zges = Zahl der Sichtstufen nZZ + 1 = 2⋅Stufenzahl des Ober- bzw. Unterlaufes z, 1nz2z ZZges +=⋅= ) erhielt.

z

j,z

2/z

j,z

j,ges

1T11

1

1T11

1Tges

−+

≡

−+

= (3.63)

Damit kann Gl.(3.43) in Gl.(3.62) eingesetzt werden

z

1

S

L

j,ges

1VV11

1T3

1

fT,s

fj,s

−

++

=+α

ρ−ρ

ρ−ρ−

und man erhält für die gesamte Trennfunktion die Gl.(3.64):

z1

S

L

j,ges3

1

fT,s

fj,s

VV1

1T⋅

ρ−ρ

ρ−ρ−

+α

+

=

(3.64)

Für eine turbulente Partikelumströmung α = ½ ist damit:

( )z1

S

L

j,sj,ges

fsT

fj,s

VV1

1T⋅

ρ−ρ

ρ−ρ−

+

=ρ

. (3.65)


24

Der Graph dieser stufenzahlabhängigen S-förmigen Wahrscheinlichkeitsfunktion ist im Bild 3-4 prinzipiell dargestellt.

Bild 3-4: Einfluß der Stu-fenzahl auf die Trennfunk-tion einer Dichtetrennung bei turbulenter Partikelum-strömung

3.4 turbulenter Diffusionskoeffizient und BODENSTEIN-Zahl

Der turbulente Partikeldiffusionskoeffizient kann wie folgt aus den Trennergebnissen abge-schätzt werden: Für das Trennmerkmal Sinkgeschwindigkeit läßt sich gemäß Abschnitt 3.2.5 schreiben:

⋅=ρ

S

Ls,tsTsT V

Vlnh

D)(v

(3.66)

mit der Gl.(3.6) für die Sinkgeschwindigkeit

( ) ( )f

fsss

gd3vρ

⋅⋅ρ−ρ⋅≈ρ (3.6)

Für die Abschätzung des turbulenten Diffusionskoeffizienten sind folgende Zusammenhänge wesentlich, siehe 3.2.3:

2xt uD ′⋅Λ≈ (3.67)

b∝Λ Makromaßstab der Turbulenz, svw. maximale Ausdehnung turbulenter

Schwankungen in x-Richtung quer zur y-Hauptströmungsrichtung, Λ = 2⋅dWirbel Durchmesser der größten Wirbel, proportional der charakteristischen Abmes-sung des turbulenzerzeugenden Werkzeuges, hier Kanalbreite b.

K2

x uu ∝′ mittlerer Effektivwert der turbulenten Schwankungsgeschwindigkeit, propor-

tional der mittleren charakteristischen Geschwindigkeit im turbulent durch-strömten Prozeßraum, hier mittlere Kanalgeschwindigkeit uK.

0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,1

1

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

z = 4

z = 3z = 1

z = 2

bezogene Partikeldichte ρs/ρs,T

Tren

nfun

ktio

n T

ges

VL / VS = 2000· ·


25

Über diese Ähnlichkeitsbeziehungen läßt sich der turbulente Diffusionskoeffizient ausdrücken bukD Ktt ⋅⋅= (3.68)

mit einer Turbulenzkonstanten kt ≈ 0,02 Freistrahl, kt ≈ 8⋅10-4 Hydrozyklon [41]. Mit den Gln. (3.39) und (3.20) folgt die Sinkgeschwindigkeit

ρ⋅µρ

⋅⋅

⋅≈

⋅

⋅⋅=ρ

gg,s

sKt

S

LKtsTsT ln

hbuk

VVln

hbuk)(v

(3.69)

und die Kanalgeschwindigkeit ließe sich auswählen:

[ ])/(lnbkhvu

gg,sst

sTK ρ⋅µρ⋅⋅

⋅= (3.70)

Wenn man näherungsweise h ≈ b setzt, folgt die Turbulenzkonstante kt ≈ 0,1...0,13 für den Zick-Zack-Apparat

[ ] [ ] 1136,0)m/kg2,1kg/kg046,0/(m/kg2040lns/m5,10

s/m55,12)/(lnu

vk 33gg,ssTK

sTt =

⋅⋅=

ρ⋅µρ⋅≈

Für die BODENSTEIN-Zahl (ansonsten beim molekulardispersen Stofftransport PECLET-Zahl genannt) als Maß für das Verhältnis des konvektiven zum diffusiven Partikeltransport lassen sich folgende Bereiche abgrenzen:

=

⋅⋅⋅

=⋅

=S

L

Kt

T,s

s,t

T,s

VVln

bukhv

Dhv

Bo

(3.71)

(1) Für Bo < 1 oder 718,2eV/V SL =< , (ρs,p ≈ ρf, d → 0, sehr geringes vsT → 0, hohe Turbu-

lenzintensität Dt,s >> 0) beobachtet man eine homogene Konzentrationsverteilung der Par-tikeln im Prozeßraum. Im Falle der Hydroklassierung sind diese Grenzen verschoben, d.h. Bohydro < 0,1.

(2) Für 1 < Bo < 15 oder 6SL 103V/Ve ⋅<< tritt eine ausgeprägte exponentielle Konzentra-

tionsverteilung der Partikeln im Prozeßraum auf, d.h. 0,5 < Bohydro < 50. (3) Bei Bo > 15 oder 6

SL 103V/V ⋅> , (ρs,p >> ρf, dP >> 0, sehr hohes vsT >> 0, geringe oder

nahezu keine Turbulenzintensität Dt,s → 0) sedimentieren die schweren und groben Stücke aus, d.h. Bohydro > 100.

Eine Beispielrechnung nach Trennversuchen mit teilaufgeschlossenem Betonbruch im Zick-Zack-Kanal n = 15 Apparatestufen, ergibt mit der Partikelgröße d = 3,15...4 mm, ρsT = 2,04 g/cm3, µs,g = 46 g/kg, uK = 10,5 m/s die stationäre Sinkgeschwindigkeit für Kugeln:

s/m55,12s2,1

m81,904,2m15,33g)(d3v 2f

fsTisT =

⋅⋅⋅⋅

=ρ

⋅ρ−ρ⋅⋅≈

Die Partikel-REYNOLDS-Zahl ist 3

36

3

f

fisTP 105,2635

msPa1018skg2,1m1015,3m55,12dvRe >=

⋅⋅⋅⋅⋅

=η

ρ⋅⋅= −

−

D.h., die Partikeln werden turbulent umströmt.


26

5,102,1046,0

2040lnlnVVkln

Dhv

Bofg,s

T,p,s

S

L

s,t

T,s =

⋅

=

ρ⋅µ

ρ=

⋅=

⋅= ρ

(3.71)

Die BODENSTEIN-Zahl beträgt Bo ≈ 9,5 ... 11 und damit ist wegen 0,5 < Bo < 50 die Vo-raussetzung für eine ausgeprägte exponentielle Konzentrationsverteilung der Partikeln im Prozeßraum gegeben.

3.5 Trennfunktionen, Trennmerkmale und Trennschärfe

3.5.1 Modellherleitung der Trennmerkmale und Trennschärfe

Ausgangspunkt ist die Trennsinkgeschwindigkeit Gl. (3.39). Wenn T ≡ Tz,j die Stufentrenn-funktion sei, ist also:

−⋅⋅=ρ

j,z

j,z

S

Ls,tss T1

TVVln

hD

)(v

(3.72)

−⋅+

⋅=

−⋅⋅=ρ

j,ges

j,ges

S

Ls,t

z/1

j,ges

j,ges

S

Ls,tss T1

Tln

z1

VVln

hD

T1T

VVln

hD

)(v

Setzt man nun für die turbulente Partikelumströmung Gl.(3.6) ein folgt: 2

j,ges

j,ges

S

L2

2s,tf

s T1T

lnz1

VVln

hgd3D

−⋅+

⋅

⋅⋅⋅⋅ρ

≈ρ

(3.73)

Im Falle von Tges = 0,5 fällt der hintere Term ln 1 = 0 heraus. Die Trenndichte ρs,T oder Trennkorngröße dT hängen also nicht von der Trennstufenzahl ab. Mit der Gl.(3.68) für den turbulenten Partikeldiffusionskoeffizienten läßt sich nun ein überschläglicher Ausdruck für die Trenndichte finden:

ρ⋅µρ

⋅⋅⋅⋅⋅ρ

⋅≈ρgg,s

s22

22Kf

2t

sT lngdhbu

3k (3.74)

Als Trennschärfe wird im Allgemeinen das Verhältnis der Trennmerkmale, die zu 25% und 75% im Produkt enthalten sind, definiert. Für den Fall der Dichtesortierung gilt also

75,s

25,s

ρρ

=κ . (3.75)

Wegen fs ρ>>ρ kann die Trennschärfe auch als

f75,s

f25,s

ρ−ρρ−ρ

=κ (3.76)

definiert werden. Dieses dimensionslose Verhältnis läßt sich aus der umgestellten Trennfunk-tion Gl.(3.73) für ( ) 25,0T 25,sges =ρ und ( ) 75,0T 75,sges =ρ bestimmen:


27

2

SL

SL

3ln)V/Vln(z3ln)V/Vln(z

+⋅−⋅

=κ

(3.77)

Eine verbale Bewertung des Trennerfolges kann anhand der Darstellung der Trennfunktion im Bild 3-1 vorgenommen werden. Allerdings ist zu beachten, daß aufgrund des recht engen Dichtebereiches der zu trennenden Partikelströme, hier z.B. 67,0cm/g7,2/cm/g8,1 33 =≈κ ,

die Aussagefähigkeit des κ-Wertes eingeschränkt sein kann. Die gesamte Trennschärfe für SL zzz == gleiche Stufenzahlen im Ober- und Unterlauf ist

nun allgemein

( )( )

13

13

SL

SLges 3lnBoz

3lnBoz3lnV/Vlnz3lnV/Vlnz +α+α

+⋅−⋅

=

+⋅−⋅

=κ

(3.78)

und für turbulente Partikelumströmung ist:

( )( )

22

SL

SLges 3lnBoz

3lnBoz3lnV/Vlnz3lnV/Vlnz

+⋅−⋅

=

+⋅−⋅

=κ

(3.79)

Damit lassen sich folgende physikalisch sinnvolle Schlüsse ziehen: (1) Für z = 1 wird die Trennschärfe einer Stufe berechnet κges = κz. (2) Für z > 1 wird sich die Trennschärfe mit zunehmender Stufenzahl verbessern. Die Trenn-

funktion wird steiler. (3) Für z → ∞ wird die ideale Trennung mit κges → 1 erreicht. Die Trennfunktion ist bei ρs =

ρs,T eine scharfe Stufenfunktion.

(4) Für eine hohe Trenndichte 7,142,1001,0

3000lnlnBogg,s

T,s =

⋅

=

ρ⋅µρ

≈ bei geringster Parti-

kelbeladung oder bei etwa Bo > 15 wird die maximale theoretische Trennschärfe einer Stufe erreicht κz,max = 0,745 bzw. insgesamt κges(z = 8) = 0,963.

(5) Für z3lnBo = ist κges = 0, d.h. für etwa Bo ≈ 1,1 (z = 1) wird keine Trennung mehr er-

reicht. Man beobachtet eine homogene Partikelkonzentrationsverteilung im Prozeßraum. Falls am Schwergutaustrag ebenfalls Luft ausgetragen werden sollte, dies ist normaler Weise zu vermeiden, werden die Oberlauf- und Unterlaufströme nur geteilt.

Ein typisches Trennergebnis, z.B. für z = 8 (nZZ = 15) Stufen ist κz = 0,64 und

( )( ) 946,0

3ln20000ln83ln20000ln8

2

ges =

+⋅−⋅

=κ

soll nun mit einer empirischen Näherungsformel von Kaiser [19] verglichen werden, Tabelle 3.2, Gl. (3.63), Bild 3-5 und Bild 3-6. Der Exponent α der Abhängigkeit von der Partike-lumströmung wird hier zusätzlich mit einbezogen:

z/1z

z/2z

z1

13

zgesges κ=κ≈κ=κ

⋅α+ (3.80)


28

946,064,064,0 8/116/2z/2zges

ges ===κ≈κ

Beide Ergebnisse der Gln.(3.79) und (3.80) stimmen überein. Diese sehr gute Modell-Gesamt-trennschärfe wird naturgemäß nur teilweise durch die Meßergebnisse bestätigt, κm = 0,74 ... 0,84 - svw. befriedigend bis gut. Zusammenfassend kann dieses Mehrstufen-Trennmodell für die verfahrenstechnische Pro-zessbewertung sowohl einer Querstromklassierung als auch einer Querstromsortierung in

einem weiten Bereich der Partikelumströmung mit dem Widerstandsbeiwert 321

W Recα⋅−

∝ und der Partikelsinkgeschwindigkeit α∝ dvs , α = 0,5 NEWTON; 0,5 < α < 2 Übergangsbereich,

α = 2 STOKES, genutzt werden, Tabelle 3.3. Tabelle 3.3: Prozeßbewertungsgrößen für mehrstufige Querstromtrennungen (Anzapfmodell)

in einem symmetrischen Trennapparat, zo = zu = z Trennstufenzahl Trennfunktion

Tges(ξ/ξT) = Trennmerkmalsgröße ξT = ξ50(Tges = 0,5) =

Trennschärfe κges = ξ25/ξ75 =

Strom-trennung ξ = vs

( )( )

z,dv

,dv1

u

o sTTsT

ss

VV

1

1⋅

ρ

ρ−

+

( )T,PfT,W

T,PfsTsT Ac

gV2v

⋅ρ⋅

⋅⋅ρ−ρ⋅=

( )( ) 3lnV/Vlnz

3lnV/Vlnz

uo

uo

+⋅−⋅

Klassie-rung ξ = d ρs= const.

zdd1

G

F T

VV1

1

⋅

−

α

+

2

G

Fs,t

s

fT V

Vlnhkk

Dg3

d

⋅

⋅⋅⋅ρ⋅ρ

≈ϕψ

für Kugeln cW = 0,44

( )( )

α

+⋅−⋅

1

GF

GF

3lnV/Vlnz3lnV/Vlnz

Dichte-sortierung ξ = ρs d = const.

z1

S

L

31

fT,s

fj,s

VV1

1

⋅

ρ−ρ

ρ−ρ−

+α

+

2

S

Ls,tfsT V

Vlnhkk

Dgd3

⋅

⋅⋅⋅⋅ρ

≈ρϕψ

für Kugeln cW = 0,44

( )( )

13

SL

SL

3lnV/Vlnz3lnV/Vlnz +α

+⋅−⋅

LFo V,V,V Oberlauf-, Feingut-, Leichtgut-Suspensionsvolumenstrom

SGu V,V,V Unterlauf-, Grobgut-, Schwergut-Suspensionsvolumenstrom

3.5.2 Schlußfolgerungen für die notwendige Apparatetrennstufenzahl

Berechnet man nun Gl.(3.78) oder auch Gl.(3.80) für steigende Trennstufenzahlen, läßt sich aus Bild 3-5 unmittelbar ablesen, daß bei turbulenter Umströmung grober Partikel der größte Zuwachs an Trennschärfe nach etwa 2 bis 4 Trennstufen jeweils im Unter- und Überlauf, d.h. Apparatestufenzahlen n = 2⋅z – 1 = 3 bis 7, erreicht werden kann. Darüber hinaus ist keine nennenswerte Zunahme an Trennschärfe mehr zu erwarten. Demgegenüber würde bei laminarer Umströmung feiner Partikel vergleichsweise nur ein bis zwei Trennstufen jeweils


29

im Unter- und Überlauf, d.h. auch nur eine bis drei Apparatestufen (n = 2⋅z – 1 = 1...3), ausreichen, Bild 3-6.

Bild 3-5: Gesamte Trenn-schärfe κges versus Trennstu-fenzahl z, Vergleich des the-oretischen Modelles Gl.(3.78) mit der empiri-schen Gl.(3.80) nach Kaiser für 1000V/V SL = ,

NEWTON-Bereich der tur-bulenten Partikelumströ-mung α = 0,5 Bild 3-6: Gesamte Trenn-schärfe κges versus Trennstu-fenzahl z, Vergleich des the-oretischen Modelles Gl.(3.78) mit der em-pirischen Gl.(3.80) nach Kai-ser für 1000V/V SL = ,

STOKES-Bereich der lami-naren Partikelumströmung α = 2

Das physikalisch begründete Trennschärfemodell Gl.(3.78) stimmt mit der empirischen Gl.(3.80) nach Kaiser [19], der diese mittels Auswertung zahlreicher Trennversuche gewinnt, für das ausgewählte Durchsatzverhältnis 1000V/V SL = sehr gut überein. Das unterstreicht

erfreulicher Weise die praktische Anwendbarkeit der gesamten Modellierungsmethodik für die mehrstufigen Querstromtrennungen zumindest für Luft als Dispersionsmittel. Hinsichtlich seiner physikalischen Aussagefähigkeiten verbunden mit einer einfachen mathe-matischen Struktur ist das allgemeine Trennschärfemodell, Gl.(3.78), dem empirischen Mo-dell selbstverständlich überlegen.

Trennschärfe=f(Stufenzahl, VL/VS)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15

Trennstufenzahl z

Tren

nsch

ärfe

κge

s

VL/VS=20000VL/VS=1000nach Kaiser

Trennschärfe=f(Stufenzahl, VL/VS)

00,10,2

0,30,40,50,60,7

0,80,9

1

0 5 10 15

Trennstufenzahl z

Tren

nsch

ärfe

ge

s

VL/VS=20000VL/VS=1000nach Kaiser


30

3.6 wirksame Trennstufenzahl und Trennstufen-Ausnutzungsgrad

Zur Bewertung des Trennerfolges einer mehrstufigen Querstromtrennung kann ebenfalls die variable Stufenzahl als ein zusätzlicher Freiheitsgrad herangezogen werden, Bild 3-4. Es gibt drei Möglichkeiten, diese in der Tabelle 3.3 genannten Trennprozessgrößen experimen-tell zu ermitteln und danach zu bewerten: (1) Ermittlung der wirksamen Stufenzahl und Trenndichte mit der Trennfunktion T(ρs): Mittels eines Trennversuches wird eine Trennfunktion experimentell ermittelt und grafisch als T = f(ρs oder d) aufgetragen. Dann wird die Trenndichte ρs,T oder die Trennkorngröße dT abgelesen. Anschließend wird die Modellkurve, Gl.(3.64) oder (3.85), durch Vorgabe einer Trennstufenzahl z ≥ 1 eingetragen. Danach wird die Trennstufenzahl schrittweise verändert bis die Modell-Trennfunktion mit den Meßpunkten nahezu deckungsgleich ist. Das ergibt die wirksame Trennstufenzahl des gemessenen Trennprozesses. (2) Ermittlung der wirksamen Stufenzahl mittels Rückrechnung der Trennschärfen κ: Ausgehend vom Vorstehenden ist mit einer gemessenen Apparatetrennschärfe κges,m Gl.(3.79) eine Abschätzung der wirksamen oder effektiven Trennstufenzahl einer Trennraumhälfte sinnvoll,

( )( ) ( )

( )( ) Bo1

3ln1

V/Vkln1

3ln1z

m,ges

m,ges

SLm,ges

m,gese

⋅κ−

⋅κ+=

⋅⋅κ−

⋅κ+=

ρ

(3.81)

z.B. im Vergleich mit gemessenen Werten ρs,T = 2300 kg/m3, µs,g = 62 g/kg, κm= 0,8

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2909,1)2,1062,0/(2300ln8,01

3ln8,01V/Vkln1

3ln1z

SLm,ges

m,gese ≈=

⋅⋅−⋅+

=⋅⋅κ−

⋅κ+=

ρ

Daraus ergeben sich zwei wirksame Stufen einer Trennraumhälfte. Die gesamte wirksame Apparatestufenzahl ist damit:

( ) 1z211z2n eeZZ,e −⋅=+−⋅= (3.82)

( )( ) ( )

( )( ) 1

Bo1

3ln121

V/Vkln1

3ln12n

m,ges

m,ges

SLm,ges

m,gesZZ,e −

⋅κ−

⋅κ+⋅=−

⋅⋅κ−

⋅κ+⋅=

ρ

(3.83)

Für das gewählte Beispiel ist 382,2191,12n ZZ,e ≈=−⋅= . Oder für κges = 0,74 und 0,84 folgen

ze = 1,4 und 2,6 bzw. ne,ZZ ≈ 2 und 4. Damit läßt sich ein Trennstufen-Ausnutzungsgrad ηTr als Verhältnis der wirksamen zur vorhandenen Trennstufenzahl des Apparates definieren:

ZZ

e

ZZ

ZZ,eTr n

1z2nn −⋅

==η (3.84)


31

Mit dem 15-stufigen Trennapparat wurden nur geringfügige bis befriedigende Trennstufen-Ausnutzungsgrade von 13 bis 27 % erreicht, Tabelle 3.4.

Tabelle 3.4: Beispiele für Trennstufen-Ausnutzungsgrade

κges 0,74 0,8 0,84

ze 1,4 1,9 2,6

ne,ZZ 2 3 4

ηTr,ZZ 13,015/2 = 2,015/3 = 27,015/4 =

(3) Ermittlung der wirksamen Stufenzahl und Trennkorngröße mit einer transformierten Trennfunktion y(T(d) = f(x(d)): Die wirksamen Stufenzahl und Trennkorngröße wird durch Linearisierung der Trennfunkti-on und Parameteranpassung ermittelt, z.B. für eine mehrstufige Klassierung, Gl.(3.85):

zdd1

G

FT

VV1

1)d(T⋅

−

α

+

=

(3.85)

Umstellen und Linearisieren durch Logarithmieren (für 0 < T(d) < 1) liefert:

zdd1

G

FT

VV1

)d(T1

⋅

−

α

+=

zdd1

G

FT

VV1

)d(T1

⋅

−

α

=−

,

⋅⋅

−=

−

α

G

F

T VVlgz

dd11

)d(T1lg

αα

αα

⋅−=

⋅−=

−⋅=

−

ddzz

ddzz

dd1z

VVlg

1)d(T

1lg

TTT

G

F

Dies ergibt eine lineare Beziehung zwischen der transformierten Trennfunktion y(T(d)) und der transformierten Partikelgröße dα (für α = 1 gilt das exakt):

αα ⋅−=

−

ddzz

VVlg

1)d(T

1lg

T

G

F

bzw. (3.86)


32

xbadbay ⋅−=⋅−= α (3.87)

Mit den Transformationsgleichungen für die x- und y-Werte der gemessenen d- und T-Werte: α= dx (3.88)

−

=

G

F

VVlg

1)d(T

1lgy

(3.89)

sowie Ordinatenabschnitt a und Anstieg b sind: za = (3.90)

α=Td

zb (3.91)

Zur grafischen Lösung trägt man die transformierten Meßpunkte y(T(d)) über x = dα auf, siehe auch Bild 3-7.

Bild 3-7: Lineare Beziehung zwischen der transformierten Trennfunktion y(T(d)) und der transformierten Partikelgröße dα (wegen α∝ dvs , α = 0,5 NEWTON; 0,5 < α < 2 Über-

gangsbereich, α = 2 STOKES) einschließlich der Ermittlung der wirksamen Stufenzahl z und der Trennkorngröße dT. Die numerische Lösung erhält man durch Minimierung der Summe der Abweichungsquadra-te zwischen den transformierten Meßwerten und den errechneten Kurvenpunkten mittels line-arer Regression. Aus dem Ordinatenabschnitt a folgt unmittelbar die wirksame (effektive) Trennstufenzahl ze

−

=

G

F

VVlg

1)d(T

1lgy

α−=−Td

zb

Transformierte Partikelgröße dα

a = z


33

eza = (3.90)

und aus dem Anstieg b folgt die Trennkorngröße dT:

bzd e

T =α (3.92)

3.7 Energetische Prozeßbewertung

3.7.1 Druckverlust

Die REYNOLDS-Zahl wird mit dem hydraulischen Durchmesser Dh,K als charakteristische Abmessung des Strömungskanales gebildet:

f

fK,hKK

DuRe

ηρ⋅⋅

= (3.93)

Für die Temperatur- und Druckabhängigkeit der Stoffwerte von Luft schreibt man

00,g

g

000 TT

TRM/mTRM/m

VpVp

⋅ρ

⋅ρ=

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅ und folglich

TT

pp 0

00,gg ⋅⋅ρ=ρ (3.94)

z.B. ρLuft,0 = 1,188 kg/m3 ≈ 1,2 kg/m3 bei θ0 = 20°C und p0 = 1 bar. Die Temperaturabhängigkeit der Luftviskosität läßt sich aus der Gaskinetik mit den molekula-ren Verteilungsgrößen (Index M) herleiten: (1) häufigste Gasmolekülgeschwindigkeit, Maximum der MAXWELL-Geschwindigkeitsver-

teilungsdichte,

Tk2

um B

2M

M ⋅=

d.h. M

BM m

Tk2u ⋅⋅= (3.95)

(2) mittlere Gasmolekülgeschwindigkeit, 50%-Wert der MAXWELL-Geschwindigkeitsver-teilungsfunktion,

( ) M0

MMMM u2duuuqu ⋅π

=⋅⋅=∫∞

(3.96)

(3) mittlere quadratische Gasmolekülgeschwindigkeit, wobei Tk)2/3(2/um B2MM ⋅⋅=⋅ gilt,

( ) 2M

M

B

0M

2MM

2M u

23

mTk3duuuqu ⋅=

⋅⋅=⋅⋅= ∫

∞

(3.97)

(4) mit dem Selbstdiffusionskoeffizienten der Gasmoleküle

constp

2/3

M

B2M.consTM

B2MM

MM,cg mTk

dp61

mTk

dn61ul

31D

==

⋅⋅

⋅π⋅⋅=

⋅⋅

⋅π⋅⋅=⋅⋅= (3.98)


34

(5) und der Gasviskosität.

2M

BMMgMMMM,c d6

TkmmnDmnul

31

⋅π⋅

⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=η (3.99)

Damit nehmen die Selbstdiffusion und Viskosität mit steigender Temperatur zu: 2/3

00,gg T

TDD

⋅= (3.100)

00,gg T

T⋅η=η (3.101)

Präziser ergibt sich mit der SUTHERLAND-Konstanten TS = 122 K für Luft [53]

00,g

2/3

0S

S00,gg T

TTT

TTTT

⋅η≈

⋅

++

⋅η=η , (3.102)

wobei ηg,0 = 18,1⋅10-6 Pa⋅s bei θ = 20°C und p0 = 1 bar gilt. Der Druckverlust im Strömungskanal läßt sich über die EULER-Zahl als charakteristisches Verhältnis der Druck- und Trägheitskraft des Fluides quantifizieren. Diese dimensionslose Kennzahl entspricht wiederum einem sog. Druckverlustbeiwert:

2upEu ges,K

f2K

KK

ξ≡

ρ⋅∆

= (3.103)

Der Druckverlust der Durchströmung eines Rohres ist (D = 2R Durchmesser und L Länge):

2u

A4LU

AFp

2Kf

Rohr

RohrRohr

Rohr

WRohr

⋅ρ⋅

⋅⋅

⋅λ==∆ (3.104)

Die mittlere Geschwindigkeit beträgt u = umax/2, wenn umax die Maximalgeschwindigkeit im quadratischem Strömungsprofil ist:

−⋅== 2

2

maxr Rr1u)r(uu (3.105)

Der Druckverlust im Strömungskanal ist allgemein:

2u

DLp

2Kf

K,hRohrK

⋅ρ⋅⋅λ=∆ (3.106)

K

KK,h U

A4D ⋅= hydraulisch gleichwertiger Durchmesser des Strömungskanals

zZZ hzHL ⋅== Länge oder Höhe des gesamten Strömungskanals,

hz Höhe eines Gliedes Der Beiwert (= cW Widerstandsbeiwert) - einer laminaren (reibungsbehafteten) Rohrströmung Re < 2320 (HAGEN-POISEUILLE):


35

Re64(Re)fRohr ==λ (3.107)

- oder einer turbulenten Rohrströmung läßt sich wie folgt berechnen [6, 53]: # hydraulisch glatt 2320 < Re < 105, laminare Grenzschicht der Dicke δG (BLASIUS)

4/1Rohr Re3164,0

=λ (3.108)

# hydraulisch glatt 105 < Re < 3⋅106, turbulente Grenzschicht (PRANDTL)

( )( )[ ]2Rohr

Rohr 7/Relg309,08,0Relg0,21

≈−λ⋅⋅=λ

(3.109)

oder für 105< Re< 108 (NIKURADSE)

4/1Rohr Re3164,0

=λ (3.110)

# Übergangsgebiet rauh, dr ≈ δG, rd/D1300Re ⋅> (COLEBROOK)

8,0Re

51,2D715,3

dlg0,21

Rohr

r

Rohr

−

λ⋅+

⋅⋅−=

λ (3.111)

dr mittlere Rauhigkeitsabmessung der Rohrwand

# vollkommen rauh, dr >> δG, für

⋅⋅⋅>

rr dD715,3lg

dD400Re (3.112)

2

r

Rohr

dD715,3lg

25,0

⋅

=λ (3.113)

Der Beiwert der Kanalkrümmungen bzw. Zickzack-Umlenkstellen des halben Kanalneigungs-winkels β = 120°/2 (hier Rechteck-Krümmer [6, 53]) ist:

LuKrümmer ξ+ξ=ξ (3.114)

• Beiwert für die Umlenkung

K,hm

AdReu D/R

ccccr⋅⋅⋅

=ξ β (3.115)

cβ = 0,17 Umlenkbeiwert für β = 60° cRe = 1 REYNOLDS-Zahl-Beiwert für Re > 105

cdr = 2 Rauhigkeitsbeiwert für dr/Dh,K > 10-3 sehr rauh cA = 1 Kanalquerschnittsform-Beiwert Rm = b/2 Krümmungsradius, auf die Kanalmittelachse bezogen

• Beiwert für die Wirbelnachlaufstrecke (λ = 0,02)


36

λ⋅⋅°β⋅π⋅

=ξK,h

mL D

R360

2 (3.116)

β = 60° Kanalneigungswinkel, β = 120°/2 • oder die Beiwerte für Knierohrstücke

- glattes Rohr 2/sin047,22/sin946,0 42Knie β⋅+β⋅=ξ (3.117)

- rauhes Rohr 17,24Knie 10676,0 β⋅⋅=ξ − (3.118)

• oder Rechteckkrümmer:

A90,chteckReKrümmer c/k °β ξ⋅=ξ (3.119)

cA = 1,45 Kanalquerschnittsform-Beiwert, da h/b = 0,5 kβ = 0,7 Beiwert für den Krümmungswinkel von β = 60°

Der Zusatzdruckverlust infolge der Gutbeladung kann wie bei der Durchströmung von dichten Packungen das flächenbezogene Gewicht des in Schwebe gehaltenen Gutes im Apparat nicht überschreiten:

gHA

gVA

gmp ZZgZZ,g,s

K

ZZgZZ,g,s

K

K,ss ⋅⋅ρ⋅µ=

⋅⋅ρ⋅µ=

⋅=∆

gHp ZZgZZ,g,ss ⋅⋅ρ⋅µ=∆ (3.120)

Bild 3-8: Vergleich gemessener und nach Gl.(3.121) bzw. Gl.(3.122) errechneter Druckver-luste des Zick-Zack-Kanales für n = 7 und 15 Stufen.

Der Gesamtdruckverlust von Einlauf (Index Ein), Kanal (Index K) und nZZ Zickzack-Umlenkstellen sowie infolge Gutbeladung (Index s) ist:

0

1

2

3

4

5

8 10 12 14 16 18

Kanalgeschwindigkeit uK in m/s

Dru

ckve

rlust

∆p Z

Z in

kP

a

Gl.(3.114) 15-stufigGl.(3.114) 7-stufigGl.(3.113) 15-stufigGl.(3.113) 7-stufigMessung 15-stufigMessung 7-stufig


37

sn

n,KEinK,h

ZZRohr

2Kg

sn

n,KEinKZZ pDH

2u

pppppZZ

ZZ

ZZ

ZZ∆+

ξ+ξ+⋅λ⋅

⋅ρ=∆+∆+∆+∆=∆ ∑∑ (3.121)

Der Gesamtdruckverlust läßt sich auch mit dem Beiwert einer Stufe ξ0 ≈ 2,0 nach KAISER [19] vereinfachend wie folgt abschätzen:

[ ]0ZZ

2Kg

ZZ n2u

p ξ⋅⋅⋅ρ

=∆ (3.122)

Die mit der Gl.(3.121) errechneten Druckverluste liegen nur geringfügig unter den Meßwer-ten, Bild 3-8. Die vorgestellte einfache Rechenmethodik ist damit für die Apparateauslegung gut geeignet.

3.7.2 Spezifischer Energiebedarf und Energiedissipation

Der partikelmassebezogene Energieverbrauch oder gleichbedeutend der massenstrombezoge-ne Leistungsbedarf eines Trennprozesses ist eine wesentliche verfahrenstechnische Prozeßcharakterististik.

gH2

upV

VpmPW ZZges,ZZ

g,s

2K

gg,s

ZZ

ggg,s

gZZ

A,s

ZZZZ,m ⋅+ξ⋅

µ⋅=

ρ⋅µ∆

=⋅ρ⋅µ

⋅∆== ∑

(3.123)

Mit der mittleren Kanalgeschwindigkeit Gl. (3.70) und der stationären Sinkgeschwindigkeit der Partikel mit der Trenndichte ρsT Gl. (3.6) folgt, daß der spezifische Energiebedarf und damit die durchsatzbezogenen Energiekosten nur etwas weniger als proportional mit steigen-der Trenndichte steigen und mit zunehmender Partikelbeladung fallen:

gHBogd

bh

k2)(3

W ZZg

T,p,s2

g,s

i2

2

2t

ges,ZZZZ,m ⋅+

ρ

ρ⋅

⋅µ⋅

⋅⋅⋅

ξ⋅≈ ∑ (3.124)

Der genannte Energieeintrag bewirkt, daß Intensität und Struktur der Mikroturbulenz, d.h. von Wirbeln, die hinreichend klein gegenüber den Wirbeln der Makroturbulenz sind, nur durch die Größe des Energietransports sowie die Viskosität des Fluids bestimmt werden. Die Größe des Energieflusses ist gleich der Dissipation ε = dEkin/(dt⋅dm), d.h. der kinetischen Energie, die der Hauptströmung je Masse- und Zeiteinheit entzogen und die letztendlich durch die laminaren Schubspannungen in den kleinsten Wirbeln in Wärme umgesetzt wird. Daraus folgt für die mittlere Dissipation (= spezifischer Leistungseintrag) ε in einem abgeschlosse-nen Behälter, in den beispielsweise die auf die Masse des Dispersionsmittels Luft bezogene Leistung P eingetragen wird:

guH2

uH

upV

VpmPP Kg,sges,ZZ

ZZ

3K

ZZg

KZZ

gg

gZZ

g

ZZZZ,m ⋅⋅µ+ξ⋅

⋅=

⋅ρ⋅∆

=⋅ρ

⋅∆===ε ∑

(3.125)


38

4 Aufbau und Funktionsweise der Versuchsanlage

Für die Sortierung mineralischer Stoffe wurde eine Versuchsanlage (Bild 4-1), bestehend aus einem Zick-Zack-Kanal, einer Dosiereinheit, einem Lüfter sowie aus einem Zyklon und ei-nem Gewebefilter, errichtet:

Hallen-fußboden

±0

-4000

Keller-fußboden

Aufgabesilo

Leichtgut Schwergut Filterleichtgut

Schwingrinne

Lüfter

Filter

Zyklon

Zick-Zack-Kanal

Bild 4-1: (Ehemaliger) Aufstellungsplan der Versuchsanlage Zick-Zack-Sichter. Die im Bild 4-2 und Bild 4-3 dargestellten Kanalsegmente besitzen einen rechteckigen Strö-mungsquerschnitt von 173×200 mm² und schließen zueinander einen Winkel von 120° ein. Da die mittlere Kanalgeschwindigkeit uK auf den quadratischen Kanalquerschnitt b⋅l = 200x200 mm2 am Knickpunkt bezogen wird, ist sie im Kanal selbst höher, z.B. für α = 120°:

KK

,K u155,12/sin

uu ⋅=α

=α (4.1)


39

100 100

120°

α

h

lb

Bild 4-2: Kanalsegmente. Bild 4-3: Geometrie des Zick-Zack-Kanales. Um den Trennprozeß beobachten zu können, wurden die Seitenwände aus Glas gefertigt. Das zu trennende Schüttgut wird mit einer Schwingrinne aus einem Aufgabesilo abgezogen und in halber Höhe dem Zick-Zack-Kanal zugeführt. Das Schwergut fällt entgegen der von unten durch einen Lüfter zugeführten Luftströmung direkt in den unter dem Kanal befindlichen Behälter. Das Leichtgut wird nach oben ausgetra-gen und über einen Aerozyklon ausgeschleust.

TI4

FI3

PI2

MI1

PD6

WI6

MI7

TI8

WI10

WI11

PD9

ZZ

Zick-Zack-Sichter

Zyklon

Zyklon-leichtgut

Frequenz-umrichterSchwer-

gut

Aufgabegut

Filter-leichtgut

Filter

Luft

Lüfter

Bild 4-4: RI-Fließbild der Versuchsanlage


40

Eventuell vorhandene Staubanteile lassen sich mit Hilfe eines Taschenfilters, der bei Bedarf in den Luftkreislauf geschaltet werden kann, abscheiden. Die Lüfterdrehzahl kann über einen Frequenzumrichter gesteuert werden, so daß im Zick-Zack-Kanal von 173×200 mm² mittlere Strömungsgeschwindigkeiten von uK = 2 ... 16 m/s erreichbar sind. Bild 4-4 zeigt die Meßstellen für die Online-Erfassung der Prozeßdaten. Die Massenströme des Aufgabegutes sowie der Trennprodukte werden über Wägezellen ermittelt. Außerdem lassen sich während der Versuchsdurchführung der Luftvolumenstrom, die Luftgeschwindig-keit im Zick-Zack-Kanal, der Druckverlust über den Zick-Zack-Sichter, der Druckverlust über den Filter sowie Temperaturen und relative Feuchte messen.

5 Versuchsergebnisse

5.1 Überprüfung des Trennmodells für eine Windsichtung

Im Rahmen der Voruntersuchungen wurde das Trennmodell auf die Klassierung von Sand / Kies und Splitt angewendet. Die Trennfunktion, Gl. (3.41), mit der Sinkgeschwindig-keit als Trennmerkmal, kann für eine konstante Partikeldichte mit Hilfe von Gl. (3.3) auch als Funktion der Partikelgröße dargestellt werden. Für die Gesamttrennfunktion ergibt sich dem-zufolge aus Gl.(3.85) für turbulente Partikelumströmung α = 0,5:

( )z

dd1

S

L

ges

T

VV1

1dT⋅

−

+

=

(5.1)

Im Bild 5-1 sind die Meßwerte für drei Trennversuche mit den Trennpartikelgrößen dT = 2,1; 4,6 und 6,7 mm dargestellt. Zum Vergleich sind die zugehörigen Modellkurven mit angepaß-ten Stufenzahlen zL = zS = z = 1,4; 1,1 und 1,1 eingezeichnet. Mit diesem zusätzlichen Freiheitsgrad z können die experimentellen Trennverläufe mit ihren für die Windsichtung typischen S-förmigen Verläufen sehr gut wiedergegeben werden. Da-raus lassen sich Trennschärfen von κ = 0,7 ... 0,75 ablesen, die als gut (Bereich κ = 0,6 ... 0,8 [36]) eingeschätzt werden. Allerdings ergeben sich für diese Klassierung wirksame Stufen-zahlen ne = 2⋅z-1 im Bereich von ne = 1,2 ... 1,8. Das bedeutet, die sieben Trennstufen des Apparates werden zu ηTr = ne/n = 17% ... 26% wohl nur befriedigend ausgenutzt. Verfahrens-technisch bemerkenswert sind noch die trennflächenbezogenen Massendurchsätze von 3 ... 8,5 t/(m2⋅h) und die massebezogenen Energieverbräuche von nur 0,4 ... 1,7 kWh/t.


41

Tabelle 5.1: Vergleich von Klassierergebnissen mit dem Trennmodell Gl.(5.1)

σ λ υ Glas*

Kanalgeschwindigkeit u in m/s 7,5 8 10 13

Luftvolumenstrom gV in m³/s 0,3 0,32 0,38 0,34

Partikelsinkgeschwindigkeit vsT(dT) in m/s 11,5 16,8 20,1 18,2

Massendurchsatz sm in t/h 0,34 0,12 0,16 0,12

spez. Massendurchsatz A,sm in t/(m2⋅h) 8,5 3 4 3

Beladung µs,g in g/kg 262 82 94 82

Trennpartikelgröße dT in mm 2,1 4,6 6,6 5,4

Trennschärfe κ 0,75 0,7 0,7 0,89

wirksame Stufenzahl ne 1,8 1,2 1,2 5,8

Trennstufen-Ausnutzungsgrad ηTr in % 26 17 17 83

Druckverlust über Sichter ∆pZZ in Pa 440 440 700 440

spez. Energieverbrauch Wm,ZZ in kWh/t 0,39 1,25 1,72 1,25

* Klassierung von Glaskugeln zu Bild 5-2

0

0,25

0,5

0,75

1

Partikelgröße d in mm

Tren

nfun

ktio

n T(

d)

0,6 1,0 10,0 30,0

Sand / KiesdT = 2,1 mmu = 7,5 m/sne = 1,8κ = 0,75SplittdT = 4,6 mmu = 8 m/sne= 1,2κ = 0,7SplittdT = 6,6 mmu = 10 m/sne = 1,2κ = 0,7

Bild 5-1: Vergleich von Klassierergebnissen mit dem Trennmodell Gl.(5.1)


42

Die etwas geringere Trennschärfe bei der Klassierung von Splitt im Vergleich zu einem Sand-Kies-Gemisch ist auf den Einfluß der Partikelform zurückzuführen. Die Umströmungseigen-schaften der prismatischen, zum Teil elongierten oder abgeplatteten Splittpartikel sind sehr viel stärker von der rotatorischen Lage abhängig (Auftreten einer zusätzlichen dynamischen Auftriebskraft) als die des rundgeschliffenen Flußkieses.

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,0 10,0Partikelgröße d in mm

Tren

nfun

ktio

n T(

d)

Bild 5-2: Klassierung von Glaskugeln, log.-normalverteilt, d = 2 bis 16 mm Damit im Einklang steht auch das im Bild 5-2 und Tabelle 5.1 dargestellte Trennergebnis für die Klassierung von logarithmisch-normalverteilten Glaskugeln. Es wurde eine sehr gute Trennschärfe von κ = 0,89 bei einer effektiven Stufenzahl von ne = 5,8 mit einem sehr guten Trennstufen-Ausnutzungsgrad von 83 % erreicht.


43

5.2 Ergebnisse der Aerosortierung

5.2.1 Ermittlung der Partikeldichteverteilung

Die Versuche zur Dichtesortierung im Zick-Zack-Sichter wurden mit einem Gemisch aus Ziegel- und Betonbruch durchgeführt. Im Bild 5-3 ist die Verteilung der Partikeldichte des

verwendeten Betonbruchs dargestellt. Es lassen sich drei Bereiche unterscheiden. Der Dichte-bereich bis ρs = 2,3 g/cm3 wird aus reinem Zementstein gebildet, und der Dichtebereich ab ρs = 2,5 g/cm3 setzt sich vorwiegend aus reinen Zuschlagstoffen zusammen. Dazwischen, in dem verhältnismäßig kleinen Bereich von ρs = 2,3 ... 2,5 g/cm3, sind die Zuschlagpartikel im Zementstein verwachsen. In diesen Bereich sollte der Trennschnitt des Sortierprozesses gelegt werden. Es wird deutlich, daß an den Trennprozeß wesentlich höhere Anforderungen gestellt werden, als es für das Abtrennen von leichten Störstoffen (Bild 5-8), wie Holz, Papier, Gum-mi und Schaumstoffen, mit einer Dichte ρs ≤ 1 g/cm3 der Fall ist. Im Gegensatz zur Analyse der Klassierprodukte, die durch einfache Siebung erfolgen kann, ist die Auswertung der Sortierversuche wesentlich aufwendiger. Die Analyse erfolgte durch eine mehrstufige Schwimm-Sink-Sortierung in Natriummetawolframat-Lösungen. Die Dichte der Schwerflüssigkeiten wurde im Bereich von ρl = 1,8 ... 2,8 g/cm3 in 10 Stufen eingestellt, so daß die Trennprodukte in Dichteklassen mit einer Breite von ∆ρs = 0,1 g/cm3 sortiert wer-den können. Dazu werden die Partikel entsprechend Bild 5-4 mit einem Siebeinsatz in die Lösungen, beginnend mit der geringsten Dichte, getaucht. Die aufschwimmenden Partikel besitzen eine Dichte, die kleiner als die der jeweiligen Lösung und größer als die der vorher-gehenden ist. Sie werden zur Spülung, Trocknung und anschließenden Wägung aussortiert.

0

20

40

60

80

100

2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7

2,1

8-16 mm4-8 mm2-4 mm

Partikelgröße

Ver

teilu

ng d

er P

artik

eldi

chte

Q3 i

n %

Partikeldichte ρs in g/cm3

reiner Zementstein Zementstein + Zuschlag reiner Zuschlag

2,1

Bild 5-3: Verteilung der Partikeldichte von Betonbruch


44

Die am Boden verbliebenen Partikel werden mit dem Siebeinsatz in die Lösung mit der nächst höheren Dichte umgesetzt. Diese Methode verlangt eine sehr sorgfältige Ausführung. Insbesondere beim Umsetzen des Siebes ist darauf zu achten, daß so wenig wie möglich Schwerflüssigkeit verschleppt wird. Die Dichte der Schwerflüssigkeit sollte nach jeder Probe geprüft und gegebenenfalls neu ein-gestellt werden. Ein Fehler, der mit großer Wahrscheinlichkeit auf das Eindringen der Lösung in den porösen Zementstein bzw. Ziegel zurückzuführen ist, wird bei nahezu allen Messungen (z. B. Bilder 5-5 und 5-6) ersichtlich. Im Dichtebereich von ρs = 1,9 ... 2,1 g/cm3 tritt im allgemeinen min-destens ein Wert auf, der deutlich von der Trennkurve abweicht. Da sich diese Partikel weder in der Größe noch in der Form signifikant von anderen unterscheiden, ist anzunehmen, daß sich die Partikeldichte durch Austausch des Porenfluids verändert hat. Diese Vermutung muß noch durch die Analyse feuchter Partikel bestätigt werden. Waren je-doch die Partikel beim Sortierprozeß trocken, so tritt dabei ein Fehler auf, der sich in der Er-höhung der Dichte im unteren Bereich auswirkt. Im oberen Bereich, der aus den Zuschlagstof-fen mit einer weit geringeren Porosität gebildet wird, kann diese Abweichung nicht auftreten. Da im mittleren Dichtebereich ein Gemisch aus sehr unterschiedlich porösen Partikeln vor-liegt, wird die Ermittlung des systematischen Fehlers, z. B. durch Referenzmessungen mit einem Pyknometer, erschwert. Um die Dichte im Trennprozeß und in der Analyse konstant zu halten, sollte bei zukünftigen Untersuchungen an mineralischem Bauschutt die analytischen Dichtetrennung entweder mit nassen Partikeln durchgeführt werden, oder es könnte ggf. eine hydrophobe Beschichtung in Betracht gezogen werden.

ρi-1 ρi ρi+1

< ρi-1 ρi < ρi+1ρi-1 < ρi

Bild 5-4: Prinzip der Dichteanalyse mit Schwerflüssigkeiten


45

5.2.2 Diskussion der Sortierergebnisse

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0

(a)

(b)

(c)

(d)

Bild 5-5: Trennfunktion T(ρs) für die Sortierung von Beton-Ziegel-Bruch

(a), (b): d = 5 ... 6,3 mm (c), (d): d = 6,3 ... 8 mm


46

Tabelle 5.2: Verfahrenstechnische Bewertung der Trennergebnisse aus Bild 5-5

(a) (b) (c) (d)

Partikelfraktion du,i - do,i in mm 5 .. 6,3 5 .. 6,3 6,3 .. 8 6,3 .. 8

Kanalgeschwindigkeit u in m/s 10 10 12 11,7


Partikelsinkgeschwindigkeit vsT(du,i) in m/s 16,8 17,1 18,8 18,4


spez. Massendurchsatz A,sm in t/(m2⋅h) 3,5 3 3,3 3,5


Trenndichte ρs,T in g/cm3 2,3 2,4 2,4 2,3

Trennschärfe κ 0,84 0,77 0,81 0,75

Apparatestufenzahl 7 7 7 7

wirksame Stufenzahl ne 4 2,2 3,0 2,0




Während bei der Klassierung von Kies und Splitt im Zick-Zack-Sichter nur die Partikelform als Störgröße auftrat und die Dichte nahezu konstant war, kommt bei der Sortierung der Be-ton-Ziegel-Gemische zur Partikelform die Partikelgröße als Störfaktor hinzu. Deshalb müssen die zu sortierenden Güter hinsichtlich der Partikelgröße vorklassiert werden. Frühere Untersu-chungen [51] haben gezeigt, daß bei einem Verhältnis der Klassengrenzen von

5i,ui,o 10d/d ≈ (5.2)

starke Streuungen der gemessenen Trennzahlen auftraten. Durch Reduzierung der Klassen-breite auf das Verhältnis

10i,ui,o 10d/d ≈ (5.3)

konnten die Streuungen für die vorliegenden Versuchsergebnisse verringert werden. In den Bildern 5-5 und 5-6 sowie den zugehörigen Tabellen 5.2 und 5.3 sind repräsentative Ergeb-nisse zur Sortierung von Beton-Ziegel-Bruch der Partikelgrößenklassen d = 5 ... 6,3 mm, d = 6,3 ... 8 mm, d = 8 ... 10 mm und d = 10 ... 12,5 mm dargestellt. Mit Ausnahme der bereits erwähnten Abweichungen, die auf die Dichteanalyse zurückzuführen sind, lassen sich die Modellkurven sehr gut an die Meßwerte anpassen.


47

0,00

0,25

0,50

1,00

1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 3,0

0,00

0,25

0,50

1,00

1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 3,0

0,00

0,25

0,50

1,00

1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 3,0

0,00

0,25

0,50

T(ρs)

1,00

1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 ρs in g/cm³ 3,0

ρs in g/cm³

ρs in g/cm³

ρs in g/cm³

T(ρs)

T(ρs)

T(ρs)

(a)

(b)

(d)

(c)

Bild 5-6: Trennfunktion T(ρs) für die Sortierung von Beton-Ziegel-Bruch, (a), (b): d = 8 ... 10 mm (c), (d): d = 8 ... 12 mm


48


(a) (b) (c) (d)

Partikelfraktion du,i - do,i in mm 8 .. 10 8 .. 10 10 .. 12,5 10 .. 12,5

Kanalgeschwindigkeit u in m/s 13 12 14,5 14,5


Partikelsinkgeschwindigkeit vsT(du,i) in m/s 21,7 21,7 24,3 23,7


spez. Massendurchsatz A,sm in t/(m2⋅h) 3,5 4,0 5,3 3,3


Trenndichte ρs,T in g/cm3 2,4 2,4 2,4 2,3

Trennschärfe κ 0,86 0,82 0,86 0,83

Apparatestufenzahl n 7 7 7 7

wirksame Stufenzahl ne 4,6 3,4 4,6 3,6




Es wurden Trennschärfen von κ = 0,75 ... 0,86, die als gut bis sehr gut einzuschätzen sind [36], erreicht. Die zugehörigen effektiven Stufenzahlen des Modells liegen im Bereich von ne = 2 .. 4,6. Demnach wird die siebenstufige Versuchsanlage zu 29 ... 66% ausgenutzt. Ob-wohl die Kanalgeometrie nicht im Modell berücksichtigt wird, kann davon ausgegangen wer-den, daß für die verwendeten Beladungen von µs,g = 53 ... 83 g/kg eine geringere Stufenzahl ausreichend ist. Die Trennschärfe ist offensichtlich nicht infolge kollektiver Behinderungen, sondern durch die Störeinflüsse der übermäßig turbulenten Partikeldiffusion, der Partikelgrößen- und Partikelformverteilung beschränkt. Nach einer Aufrüstung der Versuchs-anlage soll diese Annahme bestätigt werden. Versuche mit wesentlich höheren Beladungen werden zeigen, ob die Trennstufenauslastung zunimmt. Hinsichtlich der Wirtschaftlichkeit kann der Trennprozeß im Zick-Zack-Apparat mit einem spezifischen Energieverbrauch von Wm,ZZ = 1,5 ... 4,3 kWh/t bei einem spezifischen Massen-durchsatz von hmt3,5...3m 2

A,s = als geeignet eingeschätzt werden.


49

Bild 5-7: Trennfunktion T(ρs) für die Sortierung von Beton-Ziegel-Bruch an der 15-stufigen Versuchsanlage.


Partikelfraktion du,i - do,i in mm 10 .. 12

Kanalgeschwindigkeit u in m/s 14

Luftvolumenstrom gV in m³/s 0,56

Partikelsinkgeschwindigkeit vsT(du,i) in m/s 23,7

Massendurchsatz sm in t/h 0,06

spez. Massendurchsatz A,sm in t/(m2⋅h) 1,5

Beladung µs,g in g/kg 25

Trenndichte ρs,T in g/cm3 2,0

Trennschärfe κ 0,81

Apparatestufenzahl 15

wirksame Stufenzahl ne 4

Trennstufen-Ausnutzungsgrad ηTr in % 26,7

Druckverlust über Sichter ∆pZZ in Pa 1700

spez. Energieverbrauch Wm,ZZ in kWh/t 17

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

Dichte ρs in g/cm3

Tren

nfun

ktio

n T

( ρs)


50

Zum Vergleich mit den oben diskutierten Ergebnissen der 7-stufigen Anlage sind im Bild 5-7 und Tabelle 5.4 einige der von Tomas und Friedrichs [51] veröffentlichten Ergebnisse des 15-stufigen Apparates dargestellt. Aus der zur Bewertung der Meßwerte eingezeichneten Trenn-kurve lassen sich eine wirksame Stufenzahl von ne = 4 und eine Trennschärfe von κ = 0,81 ermitteln. Dieses Ergebnis bestätigt die wirksame und somit erforderliche Stufenzahl, die auch mit dem 7-stufigen Apparat ermittelt wurde. Damit sinkt der Trennstufen-Aus-nutzungsgrad auf 26,7 %. Da der Druckverlust und der spezifische Energieverbrauch infolge der hohen Stufenzahl auf ∆pzz = 1,7 kPa und Wm,ZZ = 17 kWh/t ansteigen, arbeitet ein solcher Apparat wegen der geringen Beladung von µs,g = 25 g/kg äußerst unwirtschaftlich. Aufgrund der aus finanziellen Gründen unterdimensionierten Aufgabevorrichtung konnten keine we-sentlich höheren Beladungen untersucht werden, so daß bisher noch keine Aussagen zu opti-malen Stufenzahlen für praktisch relevante, hohe Beladungen bis 1 kg/kg getroffen werden konnten. Auffällig sind bei allen Trennergebnissen des 15-stufigen Apparates ([51] und Bild 5-7) die starken Schwankungen der Meßwerte. Diese Schwankungen lassen sich nicht allein auf die Empfindlichkeit der Analysemethode zurückführen, sondern sind in einem früheren Konstruktionsfehler begründet. Der Querschnitt des Überlaufes entsprach dem Querschnitt b⋅l = 200x200 mm2 im Kanalknick, siehe Bild 4-2, und war zunächst größer als der Kanalquer-schnitt im geneigten Zick-Zack-Bereich 173x200 mm2. Dadurch wurde im Überlaufbereich die Strömungsgeschwindigkeit verringert, statt sie zu vergrößern, um die Partikeln beschleu-nigt auszutragen. So kam es zur Ansammlung von Partikelwolken, die ab einer kritischen Be-ladungsgröße die gesamte Strömungsgeschwindigkeit soweit reduzierten, so daß es zu einem hohen Fehlaustrag kommen konnte.

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0,9 1,3 1,7 2,1 2,5 2,9

Tren

nfun

ktio

n T(

ρ s)

Partikeldichte ρs in g/cm³ Bild 5-8: Sortierung von Beton-Ziegel-Bruch mit Gummigranulat ● d = 4 ... 5 mm; ▲ d = 5 ... 6,3


51

Das gleiche Problem führte bei der 7-stufigen Anlage aufgrund des sehr langen Auslaufes dazu, daß zunächst keine Trennung nachgewiesen werden konnte. Erst durch die Reduzierung des Auslaufquerschnitts konnten die oben dargestellten Ergebnisse gewonnen werden. Das Abtrennen von leichten Störstoffen aus mineralischem Bauschutt ist mit dem Zick-Zack-Apparat vergleichsweise einfach zu bewältigen. Die im Bild 5-8 und Tabelle 5.5 dargestellten Ergebnisse der Abtrennung von Gummigranulat aus Beton-Ziegel-Bruch zeigen, daß der Un-schärfebereich des Trennschnitts in den freien Dichtebereich gelegt werden kann und sich somit die Gummipartikel vollständig herausblasen lassen.


Beton - Gummi

Partikelfraktion du,i - do,i in mm 4 ... 5 5 ... 6,3

Kanalgeschwindigkeit u in m/s 8,5 8,5

Luftvolumenstrom gV in m³/s 0,35 0,35

Partikelsinkgeschwindigkeit vsT(du,i) in m/s 14,3 14,9

Massendurchsatz sm in t/h 0,15 0,63

spez. Massendurchsatz A,sm in t/(m2⋅h) 3,7 15,8

Beladung µs,g in g/kg 98 417

Trenndichte ρs,T in g/cm3 2,1 1,8

Trennschärfe κ 0,80 0,78

Apparatestufenzahl n 7 7

wirksame Stufenzahl ne 3 3,4

Trennstufen-Ausnutzungsgrad ηTr in % 43 49

Druckverlust über Sichter ∆pZZ in Pa 350 350

spez. Energieverbrauch Wm,ZZ in kWh/t 0,83 0,19

6 Zusammenfassung und Ausblick

Nach einem nachgewiesener Maßen erfolgreichen Aufschluß bzw. Teilaufschluß der Zu-schlagpartikel durch Prallzerkleinerung von Betonbruch stellte deren Abtrennung in einem Größenbereich von d = 2 ... 16 mm infolge des relativ engen Dichtebereiches von ρs = 1,8 bis 2,7 g/cm3 eine Herausforderung an die Trennschärfe und damit an die Leistungsfähigkeit dar.


52

Zur Bewertung des Prozeßerfolges einer Dichtetrennung im Luftstrom wurde das Trennmo-dell von Schubert und Neeße für die Anzapfung der Suspensionsteilströme im Prozeßraum um ein Modell der mehrstufigen turbulenten Querstrom-Aerosortierung erfolgreich erweitert und ergänzt. Dieses Mehrstufen-Trennmodell läßt sich ebenfalls für die Bewertung einer Querstromklassierung in einem weiten Bereich der laminaren bis turbulenten Partikelumströ-mung anwenden. Es werden drei Möglichkeiten aufgezeigt, und zwar durch schrittweise Kur-venanpassung, durch Rückrechnung der Trennschärfe und mittels einer transformierten Trennfunktion die Trennschärfekennwerte, experimentell zu ermitteln. Zur Bewertung des Trennerfolges einer mehrstufigen Querstromtrennung kann ebenfalls die wirksame Stufenzahl als ein zusätzlicher Freiheitsgrad herangezogen werden. Mit dem Trenn-stufenausnutzungsgrad steht eine weitere Bewertungsgröße der Güte eines Trennprozesses zur Verfügung. Bei der Klassierung kugelförmiger Partikel konstanter Dichte lassen sich mit einem Zick-Zack-Sichter sehr gute Trennschärfen bis 0,9 und sehr hohe Trennstufen-Ausnutzungsgrade bis zu 83% erreichen. Die auch hier beobachteten geringfügigen Fehlausträge sind auf die unvermeidbare turbulente Vermischung im Prozeßraum zurückzuführen. Diese sehr hohen Trennschärfen können nicht realisiert werden, wenn reale nichtkugelige Partikelformen – wie nun praktisch üblich - den Trennprozeß störend beeinflussen. In diesem Fall liefert die Nachsichtung in den sieben Stufen des Apparates nur eine vergleichsweise geringfügige Verbesserung. Im Fall der Dichtesortierung stellt neben der Partikelform auch die Partikelgröße einen erheb-lichen Störfaktor dar. Deshalb ist eine möglichst enge Vorklassierung des zu trennenden Pro-dukts erforderlich. Unter dieser Bedingung lassen sich gute bis sehr gute Trennschärfen, be-friedigende bis gute Trennstufen-Ausnutzungsgrade bei vergleichsweise geringem Energie-aufwand erreichen. Die sieben Stufen des Apparates wurden bis zu maximal zwei Dritteln ausgenutzt. Das heißt, für die untersuchten Massendurchsätze und Beladungen könnte die Stufenzahl bei geringfügig abnehmender Trennschärfe auf etwa 5 reduziert werden. Diese würde neben konstruktiven Vorteilen zu einer Verringerung des Energiebedarfs führen. Dieser läßt sich außerdem noch durch weitere Erhöhung der Beladung vermindern. Gegenwärtig wird die Versuchsanlage umgebaut. Um den Vergleich mit weiteren vorliegen-den Messungen zu ermöglichen wird zunächst die Anzahl von sieben Stufen beibehalten. Vorgesehen ist die Änderung der Kanalgeometrie, dahingehend, daß die inneren Kanten in einer Flucht liegen. Dadurch soll vermieden werden, daß die Partikel direkt, auf gerader Bahn nach oben fliegen können. Es ist zu untersuchen, ob diese Änderungen zu besseren Trenner-gebnissen führen. Dies ist insbesondere für sehr hohe Beladungen, bei denen starke kollektive Behinderungen auftreten, sehr wahrscheinlich.


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Es ist zu untersuchen ob die aus dem Modell ermittelte Auslastung der Stufenzahl mit den Trennversuchen übereinstimmt. Durch fotografische Langzeitaufnahmen lassen sich auf ein-fache Weise die Trajektorien der Partikel aufzeichnen. Bei nicht vollständiger Ausnutzung der Stufenzahl muß der Trennprozeß dadurch gekennzeichnet sein, daß in den äußeren Stufen keine Rückströmung von fehlausgetragenem Gut nachgewiesen werden kann.

7 Symbolverzeichnis

Ap mm2 projizierte, angeströmte Fläche eines Partikels Aj - Anreicherverhältnis der Partikelmerkmalsklasse j ARohr mm² Rohrquerschnitt Bo - Bodensteinzahl b mm Breite des Strömungskanals cA - Kanalquerschnittsform-Beiwert cβ - Umlenkbeiwert cn - Partikelkonzentration am Leichtgutaustrag cn,0 - Partikelkonzentration am Schwergutaustrag cRe - Reynoldszahl-Beiwert cdr - Rauhigkeitsbeiwert cW - Beiwert des Strömungswiderstandes D mm Rohrdurchmesser Dg - Selbstdiffusionskoeffizient der Gasmoleküle Dt m2/s turbulenter Diffusionskoeffizient Dh,K mm hydraulischer Kanal-Durchmesser d mm Partikelgröße dT mm Trennpartikelgröße Eu - Eulerzahl F N Kraftvektor FW N Strömungswiderstand g m/s2 Gravitationskonstante h m Höhe des Sichtraums k - Exponent des Widerstandsgesetzes k - Wertstoffkomponente kβ - Beiwert für den Krümmungswinkel l mm Tiefe des Strömungskanals L mm Länge des Strömungskanals mA kg Masse des Aufgabeguts mL kg Masse des Leichtguts


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mS kg Masse des Schwerguts sm t/h Massedurchsatz

Am t/h Massestrom des Aufgabeguts

Sm t/h Massestrom des Schwerguts

A,sm t/h trennflächenbezogener Massedurchsatz

n - Partikelanzahlstrom ne - wirksame Stufenzahl nZZ - Zahl der Umlenkstellen Re - Reynoldszahl RmS - Schwergutmasseausbringen Rm mm Krümmungsradius, auf die Kanalmittelachse bezogen rw mm Wirbelradius T, TL, TS - Trennfunktion, ~ im Oberlauf, ~ im Unterlauf t s Zeit Tges - Gesamttrennfunktion aller Sichtstufen TS - Sutherland-Konstante Tu - Turbulenzgrad Tz - Trennfunktion für eine Sichtstufe URohr mm Rohrumfang u m/s Fluidgeschwindigkeit im festen Bezugssystem ur m/s Fluidgeschwindigkeit relativ zum Partikel um m/s Gasmolekülgeschwindigkeit v, v m/s Vektor bzw. Betrag der Partikelgeschwindigkeit relativ

zum Fluid va m/s Partikelabsolutgeschwindigkeit im festen Bezugssystem vs m/s Sinkgeschwindigkeit

LV m3/h Suspensionsvolumenstrom des Leichtguts

L,sV m3/h Feststoffvolumenstrom des Leichtguts

S,sV m3/h Feststoffvolumenstrom des Schwerguts

SV m3/h Suspensionsvolumenstrom des Schwerguts

Wm,ZZ kWh/t spezifischer Energieverbrauch z - halbe Stufenzahl im symmetrischen Sichter zL, zS - Stufenzahl im Ober- bzw. Unterlauf α - Exponent der Trennfunktion β ° halber Kanalneigungswinkel ε W/g Energiedissipation ∆ps Pa Druckverlust infolge Gutbeladung ∆pZZ Pa Druckverlust über den Zick-Zack-Kanal


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∆pK Pa Druckverlust im Strömungskanal ηf Pa·s Viskosität ηTr % Trennstufen-Ausnutzungsgrad κ - Trennschärfe λ mm Wellenlänge von Wirbeln λRohr - Beiwert für Rohrströmung Λ - Makromaßstab von Wirbeln µs,g g/kg Beladung (Feststoffmasse/Gasmasse) ρf g/cm3 Fluiddichte ρg g/cm3 Gasdichte ρs g/cm3 Partikeldichte ρs,T g/cm3 Partikeltrenndichte θ °C Temperatur ξx - physikalisches Trennmerkmal

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